Muestreo mediante impulsos y retención de datos

Muestreo mediante impulsos y retención de datos

Análisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto Introducción El método de la transformada z es particularmente útil para analizar y diseñar sistemas de control en tiempo discreto, lineales e invariantes en el tiempo, de una entrada yuna salida. En el transcurso de esta presentación el propósito que se busca es precisamente conocer el material para el análisis y el diseño de sistemas de control en tiempo discreto en el plano z. A lo largo de esta lectura se supone que la operación de muestreo es uniforme; esto es, solo existe una tasa de muestreo y un periodo de muestreo constante. Si un sistema de control en tiempo discreto incluye dos o más muestreadores en el sistema, se supone que los muestreadores están sincronizados y tienen la misma tasa de muestreo o frecuencia de muestreo.

Muestreo mediante impulsos y retención de datos Los sistemas de control en tiempo discreto pueden operar en parte en tiempo discreto y tiempo continuo. Al analizar sistemas de control en tiempo discreto la teoría de la transformada z juega un papel importante. Para demostrar porque el método de la transformada se presenta z es útil en el análisis de los sistemas de control en tiempo discreto, primero se presenta el estudio de muestreo mediante impulsos y luego se estudia la retención de datos. Muestreo mediante impulsos: Se considera un muestreador ficticio comúnmente llamado muestreadormediante impulsos. La salida de este muestreador se considera como un tren de impulsos que comienza en t = 0, con el periodo de muestreo igual aTyla magnitud de cada impulso igual al valormuestreado de la señal en tiempo continuo. Figura 1-1: Muestreador mediante impulsos Se empleará la notación x*(t) para representarla salida muestreada mediante impulsos. La señal muestreada x*(t), un tren de impulsos se puede representar mediante la sumatoria. Se definirá un tren de impulsos unitarios como: δT(t), O: Ecuación 1.1

La salida del muestreador es igual al producto de la señal en tiempo continuo dmeueesnttrreaaddaorx(st)eppour eedl etrceonndseideimrapruclsoomsounuintamrioosduδlTa(td).oEr ncocnonlaseecnuterandcaia,xe(t)l como la señal moduladora y el tren de impulsos δT(t) como la portadora. Figura 1-2: Muestreador mediante impulsos como modulador. Después, se considera la transformada de Laplace de la ecuación 1.1: Nótese que si se define Ecuación 1.2 o Ecuación 1.3 Entonces la ecuación 1.2 se convierte en:

El segundo miembro de la ecuación 1.3 es la transformada z de la secuencia x(0), x(T), x(2T),...,, generada a partir de x (t) en t , donde k = 0,1,2, …. Por tanto, se puede escribir: Y la ecuación 1.3 se convierte en: Ecuación 1.4 Se debe de observar que la variable z es una variable compleja y T es el periodo de muestreo. [Se debe enfatizar que la notación X(z) no significa X(s) reemplazando s por z, sino que X*(s=(T-1 Inz)] Resumen. Se resumirá justamente lo que se acaba de establecer. Si la señal en tiempo continuo x(t) se muestrea mediante impulsos en forma periódica, la señal muestreada se puede representarde forma matemática mediante: En el muestreador mediante impulsos se puede pensar que el interruptor se cie instantáneamente cada periodo de muestreo T y genera impulsos x(kT)δ(t-kT). Dicho proceso muestreo se conoce como muestreo mediante impulsos. El muestreador mediante impulsos presenta por conveniencia matemática; éste es un muestreadorque no existe en el mundo real.

Circuitos para la retención de datos. En un muestreador convencional, un interruptor se cierra cada periodo de muestreo T para admitir una señal de entrada. En la práctica, la duración del muestreo es muy corta en comparación con la constante de tiempo más significativa de la planta. Un muestreador convierte una señal en tiempo continuo en un tren de pulsos que se presenta en los instantes de muestreo t=0,T,2T,…, donde T es el periodo de muestreo. Se debe de observar que entre dos instantes de muestreo consecutivos el muestreadorno transfiere información. Dos señales cuyos respectivos valores en los instantes de muestreo son iguales darán como resultado la misma señal muestreada. La retención de datos es un proceso de generación de una señal en tiempo continuo h(t) a partirde una secuencia de tiempo discreto x(kT). Un circuito de retención convierte una señal muestreada en una señal en tiempo continuo, que reproduce aproximadamente la señal aplicada al muestreador. La señal h(t) durante el intervalo kT< k < (k+1)T se puede aproximar mediante un polinomio en τ como sigue: Donde 0≤τ < T. Obsérvese que la señal h(kT) debe serigual a x(kT),0 h(kT) = x(kT) Ecuación 1.5 Portanto, la ecuación 3.5 se puede escribircomo sigue: Ecuación 1.6 Si el circuito de retención de datos es un extrapolador polinomial de n -ésimo orden, se conoce como retenedor de n-ésimo orden. De este modo, si n=1, se denomina retenedor de primer orden. [El retenedor de n-ésimo orden completa los n+1 datos discretos anteriores de x((k-n)T),x((k- n+1)T),…,x(kT) para generaruna señal h(kT+τ)].

Debido a que un retenedor de alto orden utiliza las muestras anteriores para extrapolar una señal en tiempo continuo entre el instante de muestreo presente y el siguiente, la exactitud en la aproximación de la señal en tiempo continuo se mejora a medida que el número de muestras anteriores utilizadas se incrementa. Sin embargo, esta mejoría en la exactitud se obtiene a costa de un tiempo de retraso mayor. En sistemas de control de lazo cerrado, cualquier tiempo de retardo adicional en el lazo decrementará la estabilidad del sistema y en algunos casos podría aún causarla inestabilidad del mismo. El retenedor de datos más sencillo se obtiene cuando n=0 en la ecuación 1.6 cuando: h(kT+τ)=x(kT) Ecuación 1.7 Donde 0 ≤ τ < T y k =0,1,2,…. La ecuación 1.7 implica que el circuito retiene la amplitud de la muestra de un instante de muestreo al siguiente. Dicho retenedor de datos se conoce como retenedor de orden cero, o sujetador, o generador de la señal escalera. La salida del retenedor de orden cero es una función escalonada. k Figura 1-3: Muestreadory retenedorde orden cero Se verá posteriormente que la función de transferencia de Gh del retenedor de orden cero está dada por:

Retenedorde orden cero. En la figura 1-3 Se muestra un muestreador y retenedor de orden cero. La señal de entrada x(t) se muestra en instantes discretos y la señal muestreada se pasa a través del retenedor de orden cero. El circuito del retenedor de orden cero suaviza la señal muestreada para producir la señal h(t), la cual es constante desde el último valor muestreado hasta que se puede disponer de la siguiente muestra. Esto es: Ecuación 1.8 Se obtendrá un modelo matemático de la combinación de un muestreador real y de un circuito de retención de orden cero, como el que se muestra en la figura1-4a). A partirdel hecho de que la integral de una función impulso es una constante, se puede suponerque el retenedorde orden cero es un integrador, y la entrada al circuito de retención de orden cero es un tren de impulsos. Entonces un modelo matemático para el muestreador real y el retenedor de orden cero se puede construircomo se muestra eonrdlaefnigcuerrao1y-4xb* )(,t)deosndlaesGehñ0 (as)l es la función de transferencia del retenedor de muestreada mediante impulsos de x(t). h1(t) Figura 1-4a) Muestreador real y retenedor de orden cero; 1-4b) Modelo matemático que consiste en un muestreadormediante impulsos y una función de transferencia.

Considere que el muestreadory el retenedor de orden cero se muestra en la figura 1-4a). Suponga que la señal c(t) es cero para t < 0. Entonces la salida h1 (t) está relacionada con x(t) como sigue Puesto que: Ecuación 1.9 La transformada de Laplace de la ecuación 1.9 se convierte en: Ecuación 1.10 Después, considere el modelo matemático que se muestra en la figura 1.4b). La salida de este modelo debe serla misma que la del retenedorde orden cero real, o De este modo, Ecuación 1.11

A partirde la figura 1-4b), se tiene Debido a que: Ecuación 1.12 La ecuación 1.11 se puede escribircomo: Ecuación 1.13 Al compararlas ecuaciones 1.12 y1.13. se ve que la función de transferencia del retenedorde orden cero está dada por: Función de transferencia de un retenedorde primerorden. Aunque los retenedores de primerorden no se utilizan en sistemas de control, vale la pena ver cuál podría ser su función de transferencia. Se mostrará que la función de transferencia del retenedorde primerorden está dada por: Ecuación 1.14 Ahora se obtendrá la ecuación 1.14: Se ha establecido que la ecuación 1.6 describe la salida de un circuito de retención de n-ésimo orden. Para el retenedor de primer orden, n=1. Se sustituye n=1 en la ecuación 1.6. Entonces se tiene: Ecuación 1.15

Donde 0≤τ < T y k=0,1,2,…. Al aplicarla condición que establece La constante a1 se puede determinarcomo sigue: o Porlo tanto, la ecuación 1.15 se convierte en: Ecuación 1.16 Donde 0 ≤ τ < T. El proceso de extrapolación del retenedor de primer orden está basado en la ecuación 1.16. La señal de la salida en tiempo continuo h(t) que se obtiene al utilizar el retenedor de primer orden es una señal lineal por secciones, como se muestra en la figura 1-5. Figura 1-5 Entrada y salida de un retenedor de primer orden. Para obtener la función de transferencia del circuito de retención de primer orden, es conveniente suponer una función sencilla para x(t). Por ejemplo, una función escalón unitario, una función impulso unitario o una función rampa unitaria serian buenas elecciones para x(t).

Suponga que se elige una función escalón unitario como x(t). Entonces, para el muestreador real el retenedor de primer orden que se muestra en la figura 1-6a), la salida x(t) del retenedor de primer orden consiste en líneas rectas que son extrapolaciones de los dos valores muestreados precedentes. La salida h(t) se muestra en el diagrama. La curva de salida x(t) se puede escribir como sigue: La transformada de Laplace de esta última ecuación es: Ecuación 1.17 1 Figura 1-6 a) Muestreadorreal en cascada con un retenedorde primerorden. 1 Gh1(s) Figura 1-6 b) Modelo matemático que consiste en un muestreador mediante impulsos Gh1(s)..

En la figura 1-6 a) se muestra un modelo matemático del muestreador real en cascada con el retenedorde primerorden que se observa en la figura 1-6 b) El modelo matemático consiste en un muestreador mediante impulsos y sGahl1i(dsa), la función de transferencia del retenedor de primer orden. La señal de de este modelo es la misma que la salida del sistema real. Porlo tanto, la salida H(s) está dada también porla ecuación 1.17. La transformada de Laplace de la entrada x*(t) al retenedor de primer orden es: Por lo tanto, la función de transferencia del retenedor de primer orden está dada por: Referencias: Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. Fernández del Busto, R. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación.