IMEC2701_M2_Función incompleta

Función incompleta

La disyunción de La conjunción de conjunciones es igual a la disyunciones es el producto de sumas suma de productos Estas formas facilitan el manejo de expresiones lógicas complicadas. Una suma de productos estándar es aquella en la que todas las variables del dominio aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Un producto de sumas estándar es aquel en el que todas las variables de dominio o sus complementos aparecen en cada uno de los términos de la expresión. Cuando se trabaja con expresiones booleanas, es deseable que estas se encuentren expresadas en una de dos formas: como suma de productos o como producto de sumas estándar; sin embargo, muchas veces ocurre que no se encuentran expresadas en forma estandarizada. Observa que interesante es lo que sucede: si a algún producto de la suma de productos de la función le falta alguna variable de entrada. Hagamos el siguiente ejercicio fundamentado en la idea anterior.

S= Primer producto (a´x b x c). (a x b) + Segundo producto Aprecia que en el primer producto está ausente la variable c. La solución es un poco más compleja, por lo que es altamente recomendable emplear la Tabla de la Verdad, este procedimiento permite obtener lo que se conoce como “Expresión Canónica\" de la función, la cual se puede explicar cómo una suma de productos en la que todos los productos tengan las 3 variables, de acuerdo al número de variables pueden ser 2, las 4, las 5, realmente acata a las variables que tenga la función. En la expresión canónica es muy importante considerar que debe ser una función equivalente, es decir que no cambie con relación a la función inicial. En cuanto al empleo del Álgebra de Boole, se conoce que una variable sin invertir más la misma variable invertida el resultado es 1 (a + a’ = 1), e igualmente sabemos que, un producto que es multiplicado por 1, sigue siendo el mismo producto, expresado de la siguiente manera (a x b x 1 = a x b). Hasta aquí mantenemos un orden específico de pasos, ahora bien, si se selecciona el producto de la función al que le falta una variable y es multiplicado por la suma de la variable que le falta sivn invertir e invertida. La expresión quedaría así (c + c´), puesto que ya saben que esta suma da un valor de 1 y no cambia el valor de la multiplicación inicial.

Observa atentamente el siguiente ejemplo, en el cual se utiliza todo lo explicado anteriormente. Al producto que le faltaba una variable era (a x b) y le faltaba la variable c: a x b x (c + c´) = a x b x c + a x b x c´ Puedes apreciar que no hay cambios, la única divergencia es que en este momento poseemos en lugar de un producto al que le falta una variable (a x b), dos productos con todas las variables cada uno (a x b x c + a x b x c´), pero que dan el mismo resultado que el producto de a x b. El segundo término de la función inicial como no le faltaba ninguna variable queda como está. La expresión canónica de la función sería: S = a x b x c + a x b x c´ + a´x b x c Es imprescindible que tome en cuenta lo siguiente, si se obtienen diversas sumas se debe probar si se repite alguna, es decir que, si hay más de un producto igual, si lo anterior ocurre, se invalidarían todas las expresiones iguales y solo se desiste de una en la suma de productos. En el ejemplo puede verificar y apreciar lo señalado: EJEMPLO Hallar la expresión canónica de la siguiente función incompleta F=A+B’C Solución: A= A (B + B’) = AB + AB’ Esta función todavía le falta una variable, por lo tanto, A= AB (C + C’) + AB’ (C + C’) = ABC + ABC’ + AB’ C + AB’C’ Al segundo término le falta una variable; por lo tanto, B’C = B’C (A + A’) = AB’C + A’B’C Combinando todos los términos tenemos F= A + B’C = ABC + ABC’ + AB’C + AB’ C’ + AB’C+ A’B’C Pero AB’C aparece dos veces, y es posible eliminar una. Finalmente obtenemos F= A’B’C + AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC

En este sentido, al obtener la expresión anterior, se tiene la función lista para ser empleada, y poder simplificar a través del Mapa de Karnaugh. Bien, en este procedimiento se inicia agrupando los 1 de la siguiente forma: se debe tomar los grupos de 1 de dos en dos, de cuatro en cuatro, de ocho en ocho, así sucesivamente. hasta que estén asociados todos los UNOS de la tabla. Se tienen que hacer grupos de 1 de 2 consiguiendo que los valores 0, 1, 2, 3.y siguientes, dan como resultado los valores anteriores (1, 2, 4, 8, 16, ...) Resumiendo, el procedimiento se debe congregar UNOS en grupos de 1, 2, 4, 8, 16... estos UNOS también, deben ser la mayor cantidad posible de unos, y no interesa que un 1 o varios 1 conciernen a diferentes agrupaciones siempre y cuando estos grupos se efectúen en vertical o en horizontal (cuadrados o rectángulos) nunca en diagonal. Algo que jamás se debe hacer es formar grupos de 3 o 5 unos. Se puede evidenciar la explicación anterior en los cuadros siguientes: AB BIEN 10 AB MAL 10 C 00 C 00 01 11 1 01 11 1 01 1 01 1 11 11 10 01 10 0 1 1111 1111 1111 1111 Como se puede verificar con los cuadros anteriores, los grupos de los cuadros de la columna del extremo derecho de la tabla y extremo izquierdo se consiguen agrupar. Asimismo, se logran agrupar los grupos de unos de la fila de arriba y de abajo. Esto se puede entender como que la tabla terminará por sus extremos y volviera a iniciar por el otro lado.

Observa otros ejemplos, para mejorar por medio de varias alternativas según sea los casos o variables. Grupo Azul A veces puede quedar un 1 solo BC 01 11 10 AB A 00 C 00 01 11 10 1 1 1 01 00 1 0 0 1 3 2 0 11 0 1 1 10 0 1 1 45 76 Grupo Rojo Grupo Verde Las tablas pueden hacerse también en vertical C 1 C 1 C 1 AB 0 AB 0 AB 0 0 0 1 00 1 0 00 1 0 00 0 1 01 1 01 0 01 0 1 0 1 11 0 1 11 0 0 11 0 1 10 0 10 1 10 0 AB YZ YZ CD 00 01 11 10 WX 00 01 11 10 WY 00 1 0 0 1 00 1 01 0 1 1 0 01 1 11 0 1 1 0 11 1 1 10 1 0 0 1 WX 10 1 1 1 1 Es así como se obtienen de los grupos, la nueva función simplificada. Cada grupo de unos proporcionará un término (un producto de la suma de productos), estos productos se suman logrando la nueva función. Para obtener el término de la función: se selecciona un grupo de unos y evidenciamos si dentro de ese grupo, alguna variable modifica su valor, pasa de 0 a 1 (o de invertida a sin invertir). En esta situación, la variable (o variables), se descartan del producto que proporciona ese grupo de unos.

Al respecto, es necesario observar que las variables que no cambian de valor multiplicadas, serán uno de los productos de la suma final de productos de la función simplificada. Importante a considerar, que se tomen las variables multiplicadas con o sin invertir, de acuerdo a como estén en el grupo. Igualmente, se realizará en cada grupo de unos que se hayan y se conseguirá tantos productos como agrupaciones de unos realizados en la tabla. Entonces, se suman todos los productos logrados, obteniendo de esta manera la función simplificada. Todo lo explicado es fácil detallar con los ejemplos que a continuación se presentan: Ecuación SIN Simpificar S= a' xb'xc+a'xbxc' + axb'x c'+axb'xc+axbxc'+axbxc AB a'b' a'b ab ab' C 00 01 11 10 c' 0 0 1 1 1 c1 1 0 1 1 3 grupos de UNOS, Verde y Azul de dos UNOS y Rojo de 4. Verde: a cambia y b y c quedan como están = término para la función = bxc Azul: a cambia y b y c no cambian = término para la ecuación = b'xc Rojo: c y b cambian y solo a no cambia = término para la ecuación = a La Ecuación Simplificada Será: S = bxc' + b'x c+a Es importante explicar, brevemente, las causas por las cuales se deben eliminar las variables que se modifican. Si no se descartan, quedaría esa variable en la multiplicación dos veces, una invertida y otra no invertida, algo que no debe ocurrir porque es lo mismo que 1 y lo que queremos es simplificar la función.

Por lo tanto, es necesario, realizar los siguientes pasos, una variable cuando se multiplica por ella y por su invertida es como si no hubiera variable, ya que el resultado sería 1. Por este motivo es que, cuando se tiene una variable que cambia de valor dentro de un grupo de 1, en el momento de obtener el producto de ese grupo, absolutamente es eliminada. Observa este otro ejemplo, y la gran simplificación que se puede lograr: S = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 11 10 1 1 1 1 S=B

Bibliograf ía: Recabarren, P. G. (2020). Introducción a la electrónica digital: teoría, circuitos y ejercicios de aplicación. Córdoba, Jorge Sarmiento Editor - Universitas. Recuperado de: https://elibro-net.eu1.proxy.openathens.net/es/lc/anahuac/titulos/172319. Corona Ramírez, L. G. Abarca Jiménez, G. S. y Corona Ramírez, L. G. (2018). Diseño digital con aplicaciones. Ciudad de México, México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de: https://elibro-net.eu1.proxy.openathens.net/es/lc/anahuac/titulos/40543.