Estabilidad en el plano Z

Estabilidad en el plano z

Análisis de estabilidad de un sistema en lazo cerrado. A continuación, se analiza la estabilidad de los sistemas de control en Como sigue: tiempo discreto lineales e invariantes con el tiempo de una entrada/una salida. Considere el siguiente sistema con función de transferencia de 1.Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces pulso en lazo cerrado: de la ecuación característica deben presentarse en el plano z dentro del círculo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo La estabilidad del sistema que define la ecuación anterior, así como la de unitario hace inestable al sistema. otros tipos de sistemas de control en tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano z, o por las 2.Si un polo simple se presenta en z = 1, entonces el sistema se raíces de la ecuación característica convierte en críticamente estable. También el sistema se convierte en críticamente estable si un solo parde polos complejos conjugados se presentan sobre el círculo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el círculo unitario hace al sistema inestable. 3.Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y porlo tanto pueden quedarlocalizados en cualquierparte del plano z. Entonces, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo de una entrada/una salida se vuelve inestable si cualquiera de los polos en lazo cerrado se presenta porfuera del círculo unitario y/o cualquier polo múltiple en lazo cerrado se presenta sobre el círculo unitario del plano z.

Ejemplo Considere el siguiente sistema de control en lazo cerrado cuya ganancia es K =1: Su transformada Z es: La ecuación característica es: La función de transferencia pulso en lazo cerrado para el sistema es: La cual se convierte en: Simplificando:

Las raíces de la ecuación característica son: Imaginario 1i En vista que El Sistema es estable. -1 0 Real 1 -1i

Métodos para probar la estabilidad absoluta. Se pueden aplicar tres pruebas de estabilidad directamente a la ecuación característica P(z) = 0, sin tener que resolver las raíces. Dos de ellas son la prueba de estabilidad de Schur-Cohn y la prueba de estabilidad de Jury. Estas dos pruebas revelan la existencia de cualquier raíz inestable (raíces que en el plano z se presentan fuera del círculo unitario). Sin embargo, estas pruebas no dan las localizaciones de las raíces inestables, ni indican los efectos de cambios en los parámetros sobre la estabilidad del sistema, excepto en el caso sencillo de sistemas de bajo orden. Un tercer método está basado en la transformación bilineal juntamente con el criterio de estabilidad Routh. Tanto la prueba de estabilidad de Schur-Cohn como la prueba de estabilidad de Jury pueden aplicarse a ecuaciones polinómicas con coeficientes reales o complejos. Los cálculos requeridos en la prueba de Jury, cuando la ecuación polinómica implica únicamente coeficientes reales, son mucho más sencillos En vista de que los coeficientes de las ecuaciones características correspondientes a sistemas físicamente realizables son siempre reales, es preferible la prueba de Jury sobre la prueba de Schur-Cohn. que los requeridos en la prueba de Schur-Cohn.

La prueba de estabilidad de Jury. Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dada P(z) = 0, construimos una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P(z). Suponga que la ecuación característica P(z) es un polinomio en z, como sigue: donde a0 > 0. Entonces la tabla de Jury se construye como se ve en la tabla 1. Tabla 1.- Forma general de la tabla de estabilidad de Jury

Observe que los elementos del primer renglón están formados por los coeficientes en P(z) arreglados en orden de potencias ascendentes de z. Los elementos del segundo renglón están formados por los coeficientes de P(z) arreglados en orden de potencias descendentes de z. Los elementos correspondientes a los renglones 3 hasta 2n -3 se obtienen mediante los siguientes determinantes: Note que el último renglón de la tabla está formado portres elementos. (Para sistemas de segundo orden, 2n - 3 = 1y la tabla de Jury estará sólo formada por un renglón, que contiene tres elementos.) Observe que los elementos en cualquier renglón par son simplemente los inversos del renglón imparinmediatamente anterior.

Criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury. Un sistema con la ecuación característica P(z) = 0 y rescrito de la formaque Ejemplo: Un sistema de control tiene la siguiente ecuación característica: los requeridos en la prueba de Schur-Cohn. donde a0 > 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se satisfacen: Determine la estabilidad del sistema Primero se identifican los coeficientes: Es claro que se satisface la primera condición de estabilidad |a3| <a0. A continuación, examinamos la condición segunda para estabilidad: P(1) = 1-1.3 - 0.08 + 0.24 = -0.14 < 0 La prueba indica que la segunda condición de estabilidad es violada. El sistema es, por lo tanto, inestable. Podemos detener la prueba aquí.

Referencias • Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. • Fernández del Busto, R. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. • Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación.