Sintonización de controladores PID

Sintonización de controladores PID

Introducción Más de 30% de los lazos de control PID se operan en forma manual, más de 20% de los lazos presentan oscilaciones significativas al operar en automático y más de 10% de los lazos exceden los límites de operación de las plantas. Estos datos son impresionantes al considerar que la inversión que una empresa grande realiza en los sistemas de control puede ascender a varios millones de dólares y un porcentaje significativo no está cumpliendo con su especificación, lo cual implica importantes pérdidas económicas. La sintonización correcta de los controladores PID representa una excelente herramienta para ayudar a reducir estas estadísticas en favor de la productividad y la calidad en la empresa. En esta lectura se presentan algunas técnicas para sintonizar controladores PID. Se utilizarán sistemas de control de propuestos por diversos autores para mostrar el análisis y métodos de sintonización. Los parámetros de la función de transferencia son propuestos y también calculables por el lector. Método de Ziegler-Nichols Consiste en un conjunto de recomendaciones sobre la selección de parámetros de acuerdo con distintas combinaciones de acciones en un controlador PID, tomando 1 en cuenta que la respuesta a una entrada escalón tuviera una relación de 4 en el decaimiento de las dos primeras amplitudes de esa respuesta, cuando se usa un control proporcional, tanto para el rechazo a perturbaciones como para el seguimiento a cambios en el punto de ajuste. Ziegler y Nichols propusieron dos métodos para definir los parámetros de este controlador: • Prueba a lazo abierto • Prueba a lazo cerrado.

Prueba de lazo abierto Esta prueba consiste en obtener la curva de reacción de un proceso por medio de una entrada escalón y operando aquél en lazo abierto. De esta manera, la función de transferencia es de la forma: ������������(������) = ������������ ������ −������������ (1) ������������+1 Con base en esta aproximación a la función de transferencia real del sistema, en la Tabla 1 se presentan los ajustes recomendados para distintas acciones del controlador PID. ������������ ������������ ������������ P 1 ������ −1 - - ������������ (������) PI 0.9 ������ −1 ������ - ������������ (������) 0.3 PID 1.2 ������ −1 2 ������ ������ ������������ (������) 2 Tabla 1. Relación de parámetros del PID. Método de Ziegler-Nichols. Prueba de lazo abierto Estas fórmulas las determinaron Ziegler y Nichols con base en su experiencia y tomando como referencia que en el controlador tipo P la relación entre las dos primeras crestas de la respuesta en tiempo de la variable de proceso está fuera de 41. Estos parámetros tienen la característica de producir una relación de 1 en las 4 amplitudes de los primeros dos sobretiros.

La restricción para usar esta tabla es que la relación entre la constante de tiempo y el retraso debe ser: 0.1 < ������ < 0.6 ������ (2) Ejemplo 1: Un determinado proceso tiene como función de transferencia aproximada: ������−2������ ������(������) = 2.1 5������ + 1 Calcule los parámetros de los controladores P, PI y PID de acuerdo con el criterio de Ziegler-Nichols en lazo abierto y encuentre la respuesta del sistema a un escalón unitario para cada conjunto de parámetros. Evalúe las respuestas obtenidas con los tres controladores propuestos. Solución: A partir de la función de transferencia tenemos que ������= 2, ������= 5, ������ = 2.1, por lo que los parámetros de los diferentes controladores son los mostrados en la Tabla 2, de acuerdo con las fórmulas mencionadas en la tabla 1: ������������ ������������ ������������ P 1.1905 --- --- PI 1.0714 6.6667 --- PID 1.4285 4 1 Tabla 2. Resultados para los valores de las acciones de control de ejemplo 1. Se construye el sistema de control en Simulink como se muestra en la Figura 1 y se configuran los valores obtenidos por el método. Los resultados son mostrados en la Figura 2.

Figura 1. Controladores P, PI y PID, configurados con los valores obtenidos en los cálculos Figura 2. Resultados obtenidos en Simulink para el sistema con P, PI y PID.

Prueba de lazo Cerrado Esta prueba consiste en llevar al sistema, operando en lazo cerrado, al punto en que su salida produzca una oscilación sostenida, aumentando la ganancia del sistema sin ninguna otra acción de control. La ganancia que produce esta oscilación se designa como ganancia crítica ������������ y al periodo de la oscilación se le llama periodo crítico ������������. Los parámetros de los controladores respectivos se calculan con base en la Tabla 3. Controlador Parámetros ������������ P ������������ ������������ PI PIID ������������ - - 2 ������������ ������������ - 2.2 1.2 ������������ ������������ ������������ 1.7 2 8 Tabla 3. Parámetros del controlador PID para prueba de lazo cerrado. Prueba de Ziegler- Nichols Ejemplo 2: Si un sistema tiene una retroalimentación unitaria negativa y la función de transferencia de la trayectoria hacia adelante está dada por: 1 ������(������) = (������ + 3)(������ + 4)(������ + 8) 1. Calcule la ganancia y la frecuencia crítica ������������ y ������������. 2. Calcule los parámetros de cada acción del controlador PID de acuerdo con las fórmulas de la tabla 3. 3. Evalúe las respuestas obtenidas con los tres controladores propuestos.

Solución: Usando el método analítico, tenemos que el polinomio característico del sistema es el siguiente: ������(������) = ������3 + 15������2 + 68������ + ������ + 96 Al evaluar s en ������������ obtenemos: ������(������) = −15������2 + ������ + 96 + ������(68������ − ������3) = 0 Al resolver para ������ y ������ tenemos: ������ = 0 y ������ = 8.24 rad/s ������ = 0 y ������ = 924 Se recomienda elaborar el código del lugar geométrico de las raíces del sistema para verificar los valores de ganancia crítica ������������ = 924 y periodo crítico ������������ = 0.762. Este último se obtiene también dividendo 2������. ������ Teniendo ahora los valores de ganancia crítica ������������ = 924 y periodo crítico ������������ = 0.762 se procede a realizar los cálculos mencionados en las formulas de la Tabla 3, obteniendo los resultados mostrados en la Tabla 4: Controlador Parámetros ������������ ������������ ������������ P 462 --- --- PI 420 0.635 --- PIID 543.1 0.381 0.0952 Tabla 4. Resultados para los valores de las acciones de control de ejemplo 2. La simulación de este sistema en Simulink arroja las respuestas mostradas en la Figura 3. En ellas podemos observar que la respuesta del controlador PI (color verde) presenta oscilaciones grandes, las cuales pueden ser nocivas para el sistema. En cambio, el controlador PID (color turquesa) mejora considerablemente la respuesta al tener una reducción en las oscilaciones y en el tiempo de asentamiento. También se observa que el control P (color azul) tiene oscilaciones, pero no alcanza al set point.

Figura 3. Resultados obtenidos en Simulink para el sistema con P, PI y PID.

Sintonización de controladores PID con criterios óptimos Ciertos métodos de sintonización como el método de Ziegler-Nichols, son el resultado de la experiencia de los autores al trabajar con sistemas de control. El ingeniero de instrumentación en una planta industrial puede tomar estos ajustes como una primera aproximación para el ajuste final de los controladores, y, con base en su experiencia y políticas de operación de la planta, hará los ajustes que se consideren necesarios. Una alternativa para la selección de un conjunto de parámetros de los controladores PID está basada en métodos analíticos, los cuales utilizan el comportamiento dinámico del sistema mediante su función de transferencia para reducir una medida de la señal de error, de acuerdo con diversos criterios. Considere un sistema representado por el siguiente formato de función de transferencia: ������������������−������������ ������������ + 1 ������������(������) = Los criterios más usados se basan en minimizar una determinada función del error. En la tabla 5 se presentan los criterios más comunes utilizados para sintonización de controladores PID basados en métodos de optimización, en donde ������(������) contempla los parámetros sobre los que se va a minimizar el criterio en cuestión; en este caso son los parámetros ������������, ������������ ������ ������������. Criterio Acrónimo Índice de desempeño Integral del valor absoluto del IAE ∞ error (integral absolute error) ������(������) = ∫ |������ (������)|������������ Integral del error cuadrático I∑E 0 (Integral square error) ∞ ������(������) = ∫ ������(������)2������������ Integral del tiempo por el error ITSE 0 cuadrático IT2SE ∞ (Integral time square error) ������(������) = ∫ ������������(������)2������������ Integral del tiempo cuadrático por el error cuadrático 0 (Integral square time square error) ∞ ������(������) = ∫ ������2������(������)2������������ 0 Tabla 5. Criterios de optimización para ajuste de controladores

Los valores de los parámetros de los controladores PI y PID se calculan con un método numérico y para dos rangos distintos de la relación entre el tiempo muerto ������ y la constante de tiempo ������. Las fórmulas para el cálculo de la ganancia proporcional, el tiempo integral y derivativo son las siguientes: ������������ = ������1 ( ������ ������1 ������������ = ������ ������������ = ������3������ ( ������ ������3 ������ ������2 +������2(������������ ) ������ ) ������ ) En la Tabla 6 se presentan los parámetros empleados para un controlador PI y el criterio de desempeño de interés, en función de la relación entre el tiempo muerto y la constante del tiempo de la función de transferencia. En la Tabla 7 se muestran los parámetros correspondientes a un control PID y el correspondiente criterio de optimización. Criterio ISE ISTE IST2E ISE ISTE IST2E Rango ������ 0.980 0.1-1.0 0.569 1.072 1.1-2.0 0.628 ������ -0.892 -0.951 -0.560 -0.583 0.690 0.712 1.023 0.648 0.786 1.007 ������1 -0.155 -0.921 -0.179 -0.114 -0.559 -0.167 ������1 0.968 0.883 ������2 -0.247 -0.158 ������2 Tabla 6. Parámetros para sintonización de PI para cambios en punto de ajuste Criterio ISE ISTE IST2E ISE ISTE IST2E Rango ������ 1.048 0.1-1.0 0.968 1.154 1.1-2.0 1.061 -0.897 -0.904 -0.567 -0.583 ������ 1.195 1.042 0.977 1.047 1.142 0.892 -0.368 -0.897 -0.253 -0.220 -0.579 -0.165 ������1 0.489 0.987 0.316 0.490 0.919 0.315 ������1 0.888 -0.238 0.892 0.708 -0.172 0.832 ������2 0.385 0.384 ������2 0.906 0.839 ������3 ������3 Tabla 7. Parámetros para sintonización de PID para cambios en punto de ajuste

Ejemplo 3: Mediante el control PI tipo ISA, compare su desempeño ajustando los parámetros de control de acuerdo con la Tabla 6 con los tres criterios de optimización y el ajuste que sugieren las reglas de Ziegler-Nichols para el siguiente sistema: ������������(������) = 3������−3������ 5������ + 1 Aplicando un cambio en el punto de ajuste del tipo escalón unitario Solución • En la Tabla 8 aparecen los valores de los parámetros del controlador PI para los criterios ISE, ISTE e IST2E, así como para el caso de Ziegler-Nichols. Método ������������ ������������ Ziegler-Nichols 0.55556 10 ISE 0.55238 5.13242 ISTE 0.549218 5.92277 IST2E 0.512042 6.05914 Tabla 8. Valores de los parámetros del controlador PI para diversos criterios En la Figura 4 se muestran los resultados para estos criterios a partir de estas respuestas, podemos decir que el método de Ziegler-Nichols produce una respuesta con mayor sobrepaso que los demás criterios. El criterio ISE produce el menor sobrepaso de los tres criterios de optimización. Con respecto a los tiempos de asentamiento, podemos decir que los cuatro métodos tienen aproximadamente el mismo comportamiento.

Figura 4. Comparación de respuestas del controlador PI, sintonizado con métodos de optimización.

Referencias • García, L. E. (2009). Control digital. Teoría y práctica. Politécnico colombiano. • Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. • Fernández del Busto, R. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. • Zhuang, M., & Atherton, D. P. (1993, May). Automatic tuning of optimum PID controllers. In IEE Proceedings D (Control Theory and Applications) 140 (3), pp. 216-224. IET Digital Library. • Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación. • Castaño, S. (s.f.). Todo sobre Ziegler Nichols – Sintonia de Control PID. Control Automático Educación. https://controlautomaticoeducacion.com/control- realimentado/ziegler-nichols-sintonia-de-control-pid/