IMEC2701_M1_Álgebra booleana

Algebra booleana: reglas y leyes.

¿Qué es el álgebra booleana? El álgebra booleana o álgebra de Boole, es un sistema matemático que se utiliza para representar cualquier circuito lógico en forma de ecuaciones algebraicas, en otras palabras, es una herramienta de gran aplicación que permite resolver y a simplificar cualquier problema que sea planteado dentro de los sistemas digitales. Se denomina así en honor a George Boole, matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. El uso del álgebra de Boole en la Automatización se debe a que, en su mayoría, los automatismos responden a la lógica binaria. En efecto, las variables binarias de entrada son leídas y producen variaciones en las señales binarias de salidas.

Leyes fundamentales del álgebra booleana Las leyes del álgebra de Boole fueron creadas para una mejor comprensión de los sistemas digitales y para simplificar de una mejor manera los circuitos lógicos, de hecho, si no, tendríamos que utilizar decenas de compuertas, que los haría más complicados. Leyes basadas en la compuerta OR Estas cuatro reglas que se basan por representar el funcionamiento de una compuerta OR, cabe mencionar que se expresan con la variable “A”, pero bien puede ser cualquier variable, por ejemplo, B + 0 = D o X + 0 = X. 1- A + O = A 2- A + 1 = 1 3- A + A = A 4- A + A’ = 1 Leyes basadas en la compuerta AND Estas se basan su funcionamiento en la compuerta AND 5- A • 0 = 0 6- A • 1 = A 7- A • A = A 8- A • A’ = 0 Ley basada en la compuerta NOT Esta ley describe el funcionamiento de la compuerta NOT 9- A” = A

Leyes o Teorema de Morgan (NAND y NOR) Estos teoremas son llamados así en honor al que los descubrió y se fundamentan en el funcionamiento de las compuertas NAND y NOR. 10- (A + B)’ = A’ • B’ 11- (A • B)’ = A’ + B’ Ley de propiedad distributiva 12- A• B + A• C = A (B + C) Reglas básicas del álgebra booleana 1. A + 0 = A 2. A + 1 = 1 3. A • 0 = 0 4. A • 1 = A 5. A + A = A 6. A + Ā = 1 7. A • A = A 8. A • Ā = 0 9. Ā = A 10. A + AB = A 11. A+ ĀB = A + B 12. (A+B)(A+C)=A+BC Las letras A, B o C pueden representar una única variable o combinación de variables. Leyes conmutativas de suma y multiplicación A+B=B+A B B+A A A B A+B A•B=B•A AB B BA A A B

Leyes asociativas de suma y multiplicación A (B + C) = (A + B) + C A A+B B (A + B) + C A B A + (B + C) C AB C B+C (AB)C A (B • C) = (A • B)C A B A B A(BC) C C BC Ejemplos de simplificación. Ejercicio No. 1 Simplifica la siguiente expresión booleana. AB + A(B + C) + B(B + C) 1.- Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer término de la expresión del siguiente modo: AB+AB+AC+BB+BC 2.- Aplicar la regla 7(BB=B) al cuarto término: AB+AB+AC+B+BC 3.- Aplicar la regla 5(AB+AB=AB) a los dos primeros términos: AB+AC+B+BC 4.- Aplicar la regla 10(B+BC=B) a los dos últimos términos: AB+AC+B 5.- Aplicar la regla 10(AB+B=B) a los términos primero y tercero: B+AC

Ejercicio No. 2 A + AB + AB'C El primer paso es identificar si es que alguna de las variables se repite en los tres grupos, en este ejemplo la variable A se repite debemos hacer una factorización A (1 + B + B’C); posteriormente, utilizamos la ley número 2 que dice que a cualquier variable que se le sume un 1 es igual a 1 (A + 1 = 1) entonces la ecuación quedaría A•(1) que equivale a la regla 6 A•1= A. Al final de la simplificación del circuito observamos que equivale a un cable con la variable A. Primer paso A + AB + ABC A (1 + B + BC) Regla 2: A+1=1 A(1 + B+ BC) = A(1 + BC) = A(1) Regla 4: \"A • 1=A'' A (1) = A A______________A Equivale a un cable

Ejercicio No. 3 [AB (C + BD) +AB] C Ten en cuenta que los corchetes y paréntesis significan lo mismo: el término en su interior se multiplica (AND) por el término exterior. 1.- Aplicar la ley distributiva a los términos entre corchetes. (ABC + ABBD + AB)C 2.- Aplicar la regla 8(BB = 0) al segundo término entre paréntesis. (ABC +A • 0 • D + AB)C 3.-Aplicar la regla 3(A• 0 • D=0) al segundo término contenido dentro (ABC + 0 + AB)C de los paréntesis. 4.- Aplicar la regla 1 (quitar el 0) dentro del paréntesis (ABC + AB)C 5.- Aplicar la ley distributiva. ABCC + ABC 6.- Aplicar la regla 7(CC = C) al primer término. ABC + ABC 7.- Sacar BC factor común. BC(A + A ) 8.- Aplicar la regla 6(A + A = 1). BC • 1

Ejercicio No. 4 ABC + ABC + ABC + ABC + ABC 1.- Sacar factor común BC del primer y último término. BC(A + A) + ABC +ABC + ABC 2.- Aplicar la regla 6(A + A =1) al término entre paréntesis y sacar factor común AB del segundo y último término. BC • 1 + AB(C +C) + ABC 3.- Aplicar la regla número 4 (quitar el 1) al primer término y la regla 6 (C + C = 1) al término entre paréntesis. BC + AB • 1 + ABC 4.- Aplicar la regla 4 (quitar el 1) al segundo término. BC + AB + ABC 5.- Sacar B factor común al segundo y tercer término. BC + B (A + AC) 6.- Aplicar la regla 11(A + AC = A + C) al término entre paréntesis. BC + B (A + C) 7.- Utilizar las leyes distributiva y conmutativa para obtener la siguiente expresión. BC + AB + BC

Ejercicio No. 5 Encuentra la expresión booleana del circuito mostrado. Posteriormente, simplifica la expresión encontrada. A B C Se debe llegar a la expresión Booleana del circuito mostrado: AB + A(B + C) + B(B + C) La expresión simplificada y su correspondiente circuito son B + AC

Bibliograf ía: Ingeniería Mecafenix. (20 de Mayo de 2020). ¿Qué es él álgebra booleana y para qué sirve? Ingeniería Mecafenix. https://www.ingmecafenix.com/electronica/algebra-booleana/