Aproximación digital de controladores PID

Aproximación digital de controladores PID

Sistemas de control en tiempo discreto, aproximación digital de controladores PID. Diseñar un controlador digital para controlar una planta continua puede ser tan sencillo como empezar desde un controlador continuo ya diseñado previamente e implementar una versión discreta adecuada del mismo, o puede pasar por el uso de herramientas de diseño específicas para el caso digital, partiendo de objetivos de diseño, un modelo discreto de la planta y analizando el comportamiento completo del sistema en lazo cerrado mediante las técnicas de modelado de sistemas discretos para verificar o asegurar el cumplimiento de los objetivos del diseño. El enfoque más sencillo para el diseño es tener un controlador continuo diseñado previamente y que satisface los requerimientos en lazo cerrado y proponer simplemente su reemplazo por una versión discretizada de dicho controlador continuo. En este caso el problema se reduce a tres problemáticas menores: 1. Seleccionar el mejor método de discretización 2. Elegir el periodo de muestreo adecuado 3. Evitar la distorsión de la respuesta de frecuencia Diferentes aproximaciones discretas Existen varias aproximaciones discretas para sistemas continuos. Cualquiera de estas puede ser utilizada para obtener versiones discretas de controladores continuos. Todas ellas producen un error con respecto a la versión continua, siendo por lo general las más simples las que producen mayor error. En la tabla 1 se presenta un resumen de algunas aproximaciones y sus características más sobresalientes. Método de Reemplazar Características aproximación Diferencias hacia s por _z_h-1._ Sencillez, puede s por _1-_hz.-_1 perder estabilidad adelante ( )s por._2_zz_+-1_1 . Sencillez conservando Diferencias hacia atrás h estabilidad Regla trapezoidal ( )G(s) por (1-z-1) Z _G_(ss_). Complejidad (Tustin) intermedia, conserva Invariante al escalón estabilidad Conserva estabilidad, es exacta ante entradas constantes Tabla 1. Aproximaciones discretas y sus características

EJEMPLO: Para este ejemplo, no consideramos todo el sistema de control, sino solamente una función de transferencia. “Un sistema de control en lazo cerrado usualmente incrementa el ancho de banda.” Utilizamos la función de transferencia publicada en DC Motor Speed: System Modeling de la universidad de Michigan, la cual se expresa como: El ancho de banda del sistema se obtuvo por medio de Matlab y el resultado es: B=0.306 Hz Seleccionamos el multiplicador para la frecuencia de muestreo, que para este ejemplo seleccionamos 10. Entonces tenemos que la frecuencia de muestreo es: fs=10B Multiplicando fs por B obtenemos: fs=3.06 Hz Finalmente, el periodo de muestreo Con estas líneas de código en Matlab se puede realizar el cálculo del periodo de muestreo para la función de transferencia que estamos trabajando.

Figura 1. Código en Matlab para la realización del cálculo del periodo de muestreo ideal para el sistema. Ahora, teniendo la función de transferencia: Habiendo obtenido un periodo de muestreo h=0.3268 Se utilizará la regla trapezoidal mostrada en la Tabla 1 para obtener el equivalente discreto del sistema. Aplicándola al sistema y obteniendo la siguiente expresión. Simplificando obtenemos como resultado el equivalente discreto: Comprobando en Matlab la respuesta de la función de transferencia y su equivalente discreto, obtenemos los siguientes resultados:

Figura 2. Respuesta del sistema en tiempo continuo ante una entrada escalón unitario. Figura 3. Respuesta del sistema en su equivalente discreto ante una entrada escalón unitario.

Elección del periodo de muestreo Como se puede advertir del ejemplo, el periodo de muestreo utilizado en la implementación del controlador digital es crucial para obtener un buen desempeño del sistema en lazo cerrado. En ausencia de más información se deberá elegir el periodo de muestreo lo más pequeño posible para mantener un desempeño lo más parecido posible al controlador continuo ya diseñado. Sin embargo, al elegir un periodo de muestreo demasiado pequeño, el controlador estará recalculando el algoritmo de control más veces por segundo y por lo tanto consumirá una mayor potencia de cálculo, en algunas aplicaciones esto podría ser una exigencia muy difícil de cumplir, por esta razón si se tiene información sobre el modelo de la planta es posible elegir periodos de muestreo no tan pequeños, pero que cumplan la siguiente regla empírica, la cual está basada en permitir una disminución del margen de fase aproximado de 5° a 15°: Elegir el periodo de muestreo h de manera que hc≈0.15 0.5 donde hc es la frecuencia de corte de la función de transferencia de lazo abierto de la planta. Se observa en el ejemplo que el periodo de muestreo obtenido fue de h=0.3268. Vemos que este valor se encuentra dentro de lo recomendado. PID analógicos El controlador PID se ha convertido en un controlador estándar en la mayoría de los procesos industriales y otras aplicaciones de control, tales como servomecanismos, subsistemas automotrices, electrodomésticos, etc. En su origen, los controladores PID eran implementados usando tecnología analógica, que a lo largo de la historia fue desde válvulas neumáticas, relevadores, motores, transistores, hasta circuitos integrados. Actualmente casi la totalidad de controladores PID son implementados en forma digital. En la Figura 4 se muestra la ubicación del bloque de control PID en el esquema de control analógico clásico.

Figura 4. Esquema de un sistema de control con PID. La versión analógica de un controlador PID es: Donde u(t) es la acción de control o entrada a la planta, et=rt-yt es la señal de error actuante, rt es la señal de referencia o “Set point”, yt es la salida de la planta y K, pTrio, Tpdorscoionncaol,ntsietamnpteosdae elegir para lograr un comportamiento deseado, denominadas Ganancia integración y tiempo derivativo respectivamente. Otra versión del control PID ligeramente modificada y mostrada en algunas literaturas es la siguiente: Donde se cambiaron las constantes, de manera que:

Las primeras implementaciones digitales de controladores PID eran una discretización directa de sus ecuaciones, tanto la clásica como la modificada. En la actualidad se han introducido algunas mejoras que incorporan la larga experiencia ganada a lo largo del uso histórico del PID. Algunas de estas mejoras se describen con: La incorporación de estas mejoras y las diferentes alternativas de discretización producen como resultado que no hay una, sino varias versiones de PID digital, dependiendo de la estrategia de discretización utilizada y de las mejoras incorporadas. El PID digital Una versión digital del controlador PID se obtiene discretizando cada término de la ecuación: Parte proporcional: Esta es una parte estática y su discretización es directa (cambiando el tiempo continuo t por (kh), luego: Parte integral: Se puede aproximar la integral por el método de los rectángulos, es decir, se aproxima por la ecuación recursiva: O por el método de los trapecios como:

Parte derivativa: La parte derivativa de la ecuación Us en el dominio del tiempo corresponde a la ecuación diferencial: La cual se puede discretizar mediante diferencias hacia atrás para conservar estabilidad como sigue: Es decir: Finalmente se suman los tres términos dados. A esta versión del PID se le llama algoritmo absoluto o de posición, ya que su salida es directamente la acción de control u(kh).

Referencias Astrom, K. & Wittenmark, B. (1977). Computer Controlled Systems. Dover Publications, Inc. Kuo, B. (1995). Digital Control Systems. Prentice Hall