Acciones básicas de control

ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL

OBJETIVOS • Conocer e interpretar las acciones básica proporcional (P), integral (I) y derivativa (D) de un control PID y sus efectos sobre los sistemas. • Aplicar herramientas de simulación para evaluación del desempeño de controladores PID. • Conocer los aspectos operacionales más comunes para la implementación práctica de controladores PID.

Es muy común hablar de controladores industriales y que tengamos como primera idea al controlador proporcional integral y derivativo (PID). La primera referencia registrada sobre el análisis del controlador PID fue de Nicolás Minorsky (1922). Desde el año 1936 el controlador ha permanecido en el mercado hasta nuestros días, mediante una gran variedad de versiones y uso de tecnologías: neumática, electrónica discreta, electrónica integrada, electrónica digital, etc. Es común referirse al controlador PID como un controlador ubicuo, debido a su tremenda penetración en la industria de procesos.

Para comprender la estructura y las acciones que un controlador PID en conveniente primero hacer una revisión del mismo en su forma continua y posteriormente revisar su versión digital. En la Figura 1 se muestra un sistema de control realimentado continuo, el cual se tomará como base para el análisis. Figura 1. Sistema de control realimentado.

En la Figura 1, la función de tPra(nss)fqerueenacfiaecGtac (s) representa al controlador por analizar, la función Gn (s) a la dinámica de la perturbación a la salida del proceso Y(s). Para el caso del controlador PID, Ilamado versión ISA (propuesto por la Sociedad Internacional de Automatización, por sus siglas en inglés), también conocido como la forma interactiva, tenemos que su función de transferencia está dada por: Y en el dominio del tiempo es: ( )= 1 + ( )+ = ( )+ +

Cada uno de los componentes de este controlador realiza una función diferente sobre el error e(t), como se muestra en la Figura 2. A cada componente se le conoce como acción de control PID. A esta versión del controlador PID también se le conoce como controlador PID no interactivo, debido a que las acciones integral y derivativa no se afectan entre sí. Kce(t) Kc edt Kc Td de Ti dt Acción Acción Acción proporcional Integral derivativa P I D Figura 2. Acciones de control PID.

Acción de control proporcional (P) La acción proporcional la vamos a interpretar en forma aislada, de manera que la relación entre el error e(t) y la señal de control u(t) está dada por: cAEull atpénardrmáomineoel teuror0roKrrecpessreecsleeernoct,oalnleaolmcveaadlcooor meonfof-egsseattna.adLnoacefiausntpacrcioóiponnodarceriiootrndaanel.slfaesreenñcailaddeeceosntterol controlador es:

¿CÓMO PUEDO AGILIZAR EL PROCESO PARA LA OBTENCIÓN DE UN CONTROLADOR PID? A continuación, revisaremos lo que podemos lograr utilizando Simulink.

Ejemplo 1. Control Proporcional (P) utilizando Simulink Con ayuda de simulink obtenga la respuesta a un escalón unitario y un controlador proporcional para el caso de tener una planta: Suponiendo que la retroalimentación es unitaria, que no hay perturbación y que los valores de la ganancia Kc se ajustaron a 1,2.5 y 4. RESPUESTA: Figura 3. Control proporcional en Simulink. En la Figura 3 se puede observar un controlador PID utilizando Simulink. En la figura 4 se observa como se caacntivcaelaselaeastcacbiólencde ecroivnatvivaalo(r Tdde=K0c)=y4l,a(yacdcoinódneinptueegdrael (Ti=0.001), mientras que la acción proporcional y 1), teniendo sí un control sustituirse ese valor por 2.5 proporcional.

En la Figura 5 se puede observar la respuesta del sistema cuando se somete a una entrada escalón unitario y se modifican los valores de Kprcease4n,t2a.r5mya1yoreresspeocstcivilaacmioennetes., Se puede observar que entre más grande es la ganancia, el sistema tiende a pero el error en estado estacionario disminuye. Figura 4. Sección de configuración de valores en el bloque PID.

Figura 5. Resultados bajo los tres valores de ganancia en el control Proporcional.

Se recomienda calcular el lugar geométrico de las raíces para este sistema con el controlador proporcional a fin de que ubique las raíces particulares para cada ganancia proporcional y establezca la relación entre su ubicación y el tipo de respuesta en tiempo que se obtiene. Como estamos manejando sistemas en tiempo continuo, se sugiere el código mostrado en la Figura 6 para implementar el lugar de las raíces del sistema (Recuerda los pasos aprendidos en módulos anteriores para implementar dicho procedimiento tanto de manera analítica como en simulación). Figura 6. Código para la implementación del lugar geométrico de las raíces.

Acción de control Proporcional-Integral (PI) Con el fin de explicar el papel que juega la acción integral en el controlador PID, vamos a considerar las acciones proporcional e integral conjuntamente, de manera que la relación entre la acción de control y el error está dada por la siguiente expresión, tanto en el tiempo como en la transformada de Laplace: Este controlador introduce un polo en el origen, por lo que el controlador PI ayuda a eliminar el error en estado estacionario de la variable a controlar Y(s) cuando la demanda R(s) sea del tipo escalón. También introduce un cero en función del parámetro Ti, ubicado en _-1_ . Ti Con el fin de entender el efecto duenlitpaariroá,mesetdroecTiri,: vamos a suponer que el error cambia instantáneamente de cero a uno como en un escalón

Tomando la transformada inversa de Laplace tenemos que: Entonces tenemos que cuando t=0 y t=Ti, la señal de control es, respectivamente: En el tiempo Ti la señal de control es el doble con respecto a su Figura 7. Acción proporcional-integral. valor por ello se le en el tiempo t=0; conoce al instante Ti como tiempo de reset o tiempo integral, es decir, es el tiempo en que se repite el valor de la señal de control. En la Figura 7 podemos observer esta relación; además en el instante t=0, la acción proporcional es la que se manifiesta primero y después la acción integral entra en operación.

Ejemplo 2. Control PI utilizando Simulink Con ayuda de Simulink calcula la respuesta a un escalón unitario y un controlador proporcional + integral (PI) para el caso de tener una planta descrita por: Suponiendo que la retroalimentación es unitaria, que no hay perturbación y que los valores de la ganancia Kc se ajustaron a 2.5 valor fijo y los valores del control integral 1.5,1 y 0.5. Ti se ajustaron a RESPUESTA: Figura 8. Control proporcional-integral en Simulink.

En la Figura 8 se puede observar un controlador PI utilizando Simulink. En la Figura 9 se observa que se ha establecido un valor de ganancia proporcional Kc fija de 2.5 y un valor de la parte integral I= o. 5 (que puede cambiarse por 1.5 y 1). En la Figura 10 puede observar la respuesta del sistema cuando se somete a una entrada escalón unitario y se modifican los valores de I a 1.5, 1 y 0.5 respectivamente. Se observa que mientras más grande es el valor de I la respuesta del Sistema tiende a ser más oscilatoria. Figura 9. Sección de configuración para el bloque PI.

Figura 10. Resultados bajo los tres valores de I.

Acción de control proporcional-derivativa Para comprender el efecto que produce la acción derivativa de un controlador PD, vamos a considerar la combinación de esta acción con la proporcional, de manera que el controlador tiene la siguiente expresión tanto en el tiempo como en la transformada de Laplace, y tomando variables de desviación u(t)-u0 : A partir de la función de transferencia de esta acción de control podemos ver que ésta introduce un cero squebumieciappdulaoendeoeniaz_-Tqy1_uui di.earTrdeoaó.rhicaacmereenltes,isatel umsaarmuánscroánptidrool PD se está introduciendo un cero en el sistema, de manera del moviendo el lugar geométrico de las raíces hacia el interior Supongamos que el error cambia como una rampa unitaria, entonces la acción de control es: La respuesta en tiempo es:

La señal de control en tiempo cero y en el tiempo Td es, respectivamente: En qlauFeiguunrcao1n1trsoelaidluosrtrpauerasmtaernetseppureosptao,rceinonlaalcpuraoldteunceemlaoms ieslmtiaemsepñoadl deedceorivnatrcoilóennTedl. Este tiempo es aquel en momento del cambio del error, es decir, el control PD se anticipa al control P en un tiempo igual a Td. Figura 11. Acción proporcional-derivativa.

Debido a que el control PD tiene la característica en frecuencia de ser un filtro pasa altas, debemos tener cuidado en la implementación práctica. Consideremos que si el error variara como e(t)=Asenωt, la acción de control sería: A partir de esta expresión podemos observar que la señal de control, ante señales de alta frecuencia, aumentará en magnitud y esto provocará inestabilidades en el sistema. Para evitar este comportamiento, la parte derivativa D(s) se puede implementar con la siguiente función de transferencia: Tomando en cuenta esta aproximación a la acción derivativa, la función de transferencia del controlador PD queda expresada así: Con esta aproximación, el controlador PD introduce un polo y un cero, es decir, este controlador representa un compensador de adelanto. Esta implementación es la más comúnmente usada en los controladores industriales, aunque éstos aplican la acción derivativa modificada, en la mayoría de los casos, en la variable de proceso y no en el error.

Ejemplo 3 Control PD utilizando Simulink Calcule con ayuda de Simulink la respuesta a un escalón unitario y un controlador proporcional + derivativo (PD) para el caso de tener una planta descrita por: Suponiendo que la retroalimentación es unitaria, que no hay perturbación y que los valores de la ganancia Kc se ajustaron a 2.5 fijo y los valores del control derivativo se ajustaron a 0.2,0.5 y 1. Td RESPUESTA: 1 - s3 + 3s2 + 3s + 1 Figura 12. Control proporcional-derivativo en Simulink. En la Figura 12 se puede observar el controlador PD utilizando Simulink. En la Figura 13 se observa que se ha establecido un valor de ganancia proporcional Kc fijo de 2.5 y valores de la parte derivativa D=1 (que puede cambiarse por 0.2 y 0.5 ).

En la Figura 14 se puede observar la respuesta del sistema cuando se somete a una entrada escalón unitario y se modifican los valores de D a 0.2,0.5 y 1 respectivamente. Se observa que mientras más grande es el valor de D la respuesta del Sistema tiende a ser menos oscilatoria. Figura 13. Sección de configuración para el bloque PD.

Figura 14. Resultados bajo los tres valores de D.

Acción proporcional, integral y derivativa (PID) Al combinar las tres acciones de control sus efectos se suman, lo cual puede acarrear tanto beneficios en la operación como problemas serios de inestabilidad. La función de transferencia del controlador PID tipo ISA es la siguiente: Esta función de transferencia introduce al sistema un polo en el origen (por la acción integral) y dos ceros, los cuales pueden ser reales o complejos, dependiendo de la combinación del tiempo integral y del derivativo. Esto hace que la respuesta de un sistema con controlador PID tenga una gama infinita de posibilidades en cuanto a su respuesta, haciendo complicada la selección de estos parámetros. Esta situación ha dado origen a un sinfín de técnicas de sintonización para estos controladores, yendo desde métodos de prueba y error hasta métodos analíticos y heurísticos de propietarios de empresas del ramo de control de procesos.

Ejemplo 4 Control PID utilizando Simulink Calcule con ayuda de Simulink la respuesta a un escalón unitario y un controlador proporcional + Integral + derivativo (PID) para el caso de tener una planta descrita por: Suponiendo que la retroalimentación es unitaria, que no hay perturbación y que los valores de la ganancia proporcional Kc, de la ganancia integral Ti y la ganancia derivativa Td se ajustaron con tres valores diferentes cada una. RESPUESTA: - PID (s) 1 s3 + 3s2 + 3s + 1 Figura 15. Control PID implementado en simulink.

En la Figura 15 se puede observar el controlador PID utilizando Simulink. En la Figura 16 se muestra que se han establecido valores cdoemgoanloanmcuiaesptrroaploarsciigouniaelnKtec=ta2b.l5a, integral I=0.5 y derivativa D= 0. 01. Se establecerán también ganancias ID PID 1 2.5 0.5 0.01 PID 2 4.5 1 0.5 PID 3 2.5 0.4 0.1 Figura 16. Sección de configuración para el bloque PID.

En la Figura 17 se puede observar la respuesta del sistema cuando se somete a una entrada escalón unitario. Se observa que los mejores parámetros según la respuesta del sistema fueron PID1 2.1, 0.5 y 0.01. Figura 17. Resultados de la respuesta del sistema utilizando diferentes valores en los parámetros del controlador PID.

REFERENCIAS: • Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital control engineering: analysis and design. Academic Press. • Fernández del Busto, R. (2013). Análisis y diseño de sistemas de control digital. McGraw-Hill Interamericana. • Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. Pearson educación.