Kelas XI_SMK Kelompok Teknologi_Matematika_Sumadi

Hubungan antara Unsur-Unsur dalam Bangun RuangSumber: www.egyptian.org Tiga jenis bangun ruang yang paling mendasar Piramida besar Khufu adalah kubus, piramida, dan bola. Teori dan pe- mahaman mengenai ketiga bangun ini sangat penting dalam bidang sains dan teknik. Sebagai contoh pembangunan piramida oleh bangsa Mesir Kuno. Peninggalan terbesar pada masa itu adalah Piramida Besar Khufu di Gizeh yang memiliki rusuk alas berukuran 230 m (760 kaki) dan tinggi 146 m (480 kaki). Keempat sisi pada piramida memiliki posisi miring dengan satu titik puncak sebagai titik potongnya. Kata ”sisi”, ”bangun”, ”bidang”, ”rusuk”, ”alas”, dan ”titik” satu dengan yang lainnya saling berhubungan. Untuk mengetahui hubungan- hubungan tersebut terlebih dahulu kita pelajari uraian berikut. Uraian Materi Info A. Pengertian Titik, Garis, dan Bidang 1. Titik A C Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, B tetapi tidak mempunyai ukuran (tidak berdimensi). Sebuah titik digambarkan dengan sebuah noktah, kemudian dibubuhi nama dengan huruf kapital (A, B, C, dan seterusnya). Sumber: www.egyptian.org 2. Garis k Garis hanya mempunyai panjang saja, tidak mem- m Euclid punyai ukuran lebar. Nama garis ditentukan dengan menyebutkan nama dengan huruf kecil atau dengan lTitik-titik, garis-garis, sudut- menyebutkan segmen garis dari titik pangkal dan titiksudut, dan bidang dijadikan ujung. Sebagai contoh k, l, m.sebagai dasar dari bentuk-bentuk geometris. Pembahas- 3. Bidangan mengenai geometri per- Sebuah bidang mempunyai ukuran panjang dantama kali dikenalkan oleh Euclid. lebar. Nama bidang diambil berdasarkan huruf kapital di titik-titik sudutnya atau huruf Yunani misalnya α, β, δ. α α β144 Geometri Dimensi Tiga

B. Aksioma Garis dan Bidang Di dalam teori dimensi tiga, terdapat aksioma (ketetapan umum) yang berlaku sebagai berikut. Aksioma 1 Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus. Aksioma 2 Jika sebuah garis dan sebuah bidang mem- punyai dua titik persekutuan maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.C. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Intisari Bidang 1. Kedudukan Titik Terhadap Garis a. Titik terletak pada garis. Jika sebuah titik dilalui garis maka titik itu terletak pada garis. Dimensi di dalam geometri antara lain: • Dimensi satu (berben- tuk garis)b. Titik di luar garis. Jika sebuah titik tidak dilalui garis maka titik itu terletak di luar garis. • Dimensi dua (berben- tuk bidang) α2. Kedudukan Titik terhadap Bidang • Dimensi satu (berben- tuk ruang) Ya. Titik terletak pada bidang. Jika sebuah titik dapat dilalui suatu bidang X α maka titik terletak pada bidang tersebut. Z Dimensi selanjutnya dipela- jari pada pembahasan geo- metri topologi untuk tingkat lebih lanjut.b. Titik di luar bidang. Jika sebuah titik tidak dapat dilalui suatu bidang α maka titik itu terletak di luar bidang. Matematika XI SMK/MAK 145

D. Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Bidang 1. Kedudukan Garis Terhadap Garis Kedudukan garis terhadap garis yang lain dalam sebuah bangun adalah berpotongan, sejajar, atau bersilangan. Dua garis berpotongan: Dua buah garis dikatakan berpotongan jika keduanya terletak pada sebuah bidang dan mempunyai satu titik persekutuan. Dua buah garis sejajar: Dua buah garis dikatakan sejajar jika keduanya terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Dua garis saling bersilangan: Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak α berpotongan dan tidak sejajar), jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. 2. Perpotongan Garis dengan Bidang Jika ada sebuah garis dan sebuah bidang maka akan diperoleh 3 kemungkinan sebagai berikut. a. Garis terletak pada bidang, jika semua titik α pada garis itu terletak pada bidang tersebut. b. Garis sejajar bidang, jika antara garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik α persekutuan. c. α Garis memotong bidang, jika antara garis dan bidang hanya mempunyai satu titik per- potongan.146 Geometri Dimensi Tiga

E. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang yang Lain Kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu berimpit, sejajar, dan berpotongan. Dua bidang berimpit: Dua bidang saling berimpit jika setiap titik yang terletak pada bidang yang satu juga terletak pada bidang yang lain. α β Dua bidang sejajar: Dua bidang saling sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Dua saling berpotongan: Dua bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu mempunyai titik persekutuan.F. Jarak Titik ke Titik, Titik ke Garis, Titik ke Bidang Kedudukan titik terhadap titik yang lain, garis, dan bidang ada tiga kemungkinan sebagai berikut. 1. Jarak Titik ke Titik Jarak titik ke titik dalam suatu ruang dengan cara menghubungkan titik itu ke titik yang lain sehingga terjadi sebuah garis. Jarak kedua titik ditentukan oleh panjang garis itu. 2. Jarak Titik ke Garis Jarak titik ke garis adalah jarak terpendek antara titik dan garis. Jarak antara titik dan garis dapat dengan meng- gunakan langkah-langkah sebagai berikut. i. Membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. ii. Jarak titik ke garis adalah panjang dari AP. 3. Jarak Titik ke Bidang Jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut.Matematika XI SMK/MAK 147

G. Jarak Garis ke Garis, Garis ke Bidang 1. Jarak Garis ke Garis Adalah jarak terpendek antara dua garis itu, atau panjang garis yang memotong tegak lurus kedua garis itu. 2. Jarak Garis ke Bidang Jarak garis ke bidang adalah panjang garis proyeksi garis pada bidang. Contoh: Diketahui sebuah kubus dengan panjang rusuk H G 8 cm, titik P pertengahan rusuk CG , hitunglah: E M F a. jarak titik A ke titik B, 8 D b. jarak titik A ke titik C, A C c. jarak titik A ke titik D, 8 8 d. jarak titik A ke titik G, B e. jarak titik A ke garis BC, f. jarak titik C ke garis FH, dan g. jarak titik P ke garis BD. Penyelesaian: a. Jarak titik A ke titik B = panjang garis AB = 8 cm. b. Jarak titik A ke titik C = panjang diagonal AC = 8 2 cm. c. Jarak titik A ke titik D = panjang garis AD = 8 cm. d. Jarak titik A ke titik G = panjang garis AG . AG = AC2 + CG2 = (8 2)2 +82 = 128 + 64 = 192 = 8 3 cm e. Jarak titik A ke garis BC = panjang garis AB = 8 cm. f. Jarak titik C ke garis FH = CO, di mana titik O adalah titik pertengahan FH. Perhatikan ΔCOF, CF = 8 2 cm, OF = 4 2 cm. Maka: CO = CF 2 − OF 2 = (8 2)2 − (4 2)2 = 128 − 32 = 96 = 4 6 cm g. Jarak titik P ke garis BD adalah PR, dengan R titik di tengah garis BD. Perhatikan ΔRCP siku-siku di C, RC = 4 2 cm, dan PC = 4 cm. PR = RC2 + PC2 = (4 2)2 +42 = 32 + 16 = 48 = 4 3 cm H. Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang tersebut. Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, tentukan besar sudut antara garis AH dengan bidang BFHD.148 Geometri Dimensi Tiga

Perhatikan garis AH, diproyeksikan ke bidang HG FBFHD maka titik A jatuh di M. Besar sudut yangterbentuk adalah sudut AHM. EAM = 1 AC = 1 × 8 2 =4 2 . Perhatikan segitiga 2 2AHM siku-siku di M maka berlaku: 8sin ∠AHM = AM = 4 2 = 1 maka sudut AHM = 30° DM C AH 8 2 2 8 A 8BI. Sudut antara Dua Bidang Sudut antara dua bidang yang berpotongan pada A B Vgaris AB adalah sudut antara dua garis yang terletak Q Pbidang yang masing-masing tegak lurus pada AB dan Rberpotongan pada satu titik. Bidang V dan W ber- H Wpotongan pada garis AB. Diperoleh: PQ ⊥ AB dan RQ⊥ AB. G∠PQR adalah sudut yang terbentuk antara bidangV dan bidang W.Contoh: E FDiketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan besarsudut antara bidang ABCD dengan bidang ADGF!Penyelesaian: DAF dan AB berpotongan di A A CAF pada bidang ADGF dan ⊥ AD BAB pada bidang ABCD dan ⊥ ADMaka sudut yang dibentuk antara bidang ABCDdan bidang ADGF adalah FAB = 1 × sudut siku-siku 2 = 1 × 90° 2 = 45° Latihan 4Kerjakan soal-soal berikut!1. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. P di tengah-tengah BC. Hitunglah jarak: a. titik C ke BFHD, b. titik P ke BFHD.2. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 13 cm, tinggi limas 10 cm. P di tengah-tengah TC. Hitunglah jarak P ke bidang alas!3. Limas tegak T.ABCD dengan alas berbentuk persegi panjang. Jika panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm, hitunglah besar sudut antara TA dan bidang alas!4. Diketahui sebuah kerucut lingkaran tegak tingginya 6 cm dan diameter alas 6 dm. Tentukan besar sudut antara apotema kerucut dengan bidang alas!5. Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm, AE = 3 cm. Hitunglah jarak unsur-unsur: a. antara AE dengan bidang BCGF, b. antara ABCD dan EFGH. Matematika XI SMK/MAK 149

Rangkuman 1. Luas sisi (permukaan) untuk kubus, balok, prisma, tabung, limas, kerucut, dan bola sebagai berikut. a. Luas permukaan kubus L = 6 ⋅ a2 b. Luas permukaan balok L = 2(p ⋅ A + p ⋅ t + A ⋅ t) c. Luas permukaan prisma L = 2 ⋅ La + K × t dimana La = luas alas K = keliling alas t = tinggi prisma d. Luas permukaan tabung L = 2π ⋅ r(r + t). e. Luas permukaan limas segi empat beraturan L = 2at + a2 L = a(2t + a) dimana a = panjang rusuk alas t = tinggi sisi tegak f. Luas permukaan kerucut L = πr2 + πrs L = πr(r + s) g. Luas permukaan bola L = 4πr2 (r = jari-jari bola) L = πd2 (d = 2r = diameter bola) 2. Volume kubus : V = a × a × a = a3 3. Volume balok : V=p×l×t 4. Volume prisma tegak: V = La × t 5. Volume tabung : V = La × t alas berupa lingkaran La = πr2 (dimensi jari-jari) La = 1 πd2 (dimensi diameter) 4 6. Volume limas V = 1 La × t 3 7. Volume kerucut V = 1 La × t, alas berupa lingkaran 3 La = πr2 (dimensi jari-jari) La = 1 πd2 (dimensi diameter) 4 8. Volume bola V = 4 πr3 3 9. Jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak terpendek dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang. 10. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang. 11. Sudut antara dua garis yang terletak pada bidang yang masing-masing tegak lurus pada sebuah garis dan berpotongan pada satu titik.150 Geometri Dimensi Tiga

Evaluasi KompetensiA. Pilihlah jawaban yang tepat!1. Suatu limas beraturan T.ABCD di samping memiliki tinggi TP = 4 cm. Luas permukaan limas adalah . . . cm2. a. (22 – 6 17 ) d. (22 + 3 17 ) D C e. (22 + 6 17 ) b. (17 – 3 17 ) 2 cm c. (17 + 6 17 ) A 6 cm B2. Luas permukaan kerucut yang diameter alasnya 14 cm dan tingginya 24 cm adalah . . . . d. 682 cm2 a. 570 cm2 e. 704 cm2 b. 572 cm2 c. 594 cm23. Luas bahan yang diperlukan untuk membuat pipa saluran udara dari plat seng berdiameter 42 cm dan panjang 2 meter adalah . . . . a. 0,132 cm2 d. 2,64 cm2 b. 0,264 cm2 e. 5,28 cm2 c. 1,32 cm24. Sebuah limas beraturan dengan alas berbentuk persegi panjang, panjang alas = 16 cm, lebar alas = 12 cm, panjang rusuk tegak = 26 cm. Volume limas tersebut adalah . . . . d. 2.304 cm3 a. 1.248 cm3 b. 1.536 cm3 e. 2.496 cm3 c. 1.664 cm35. E Diketahui prisma ABC.DEF, AB = 8 cm, AC = 6 cm, D dan AB = AC dan volume prisma 240 cm3. Tinggi A F prisma tersebut adalah . . . . a. 5 cm b. 10 cm B c. 15 cm d. 20 cm C e. 30 cm6. T Limas segitiga beraturan T.PQR dengan dimensi tinggi limas 12 cm. Jika volume limas tersebut 100 3 cm3 maka panjang rusuk alasnya . . . . a. 6 cmA C b. 7 cm c. 8 cm d. 9 cm B e. 10 cm7. Volume sebuah kerucut yang berdiameter 21 cm adalah 1.155 cm3, tinggi kerucut adalah . . . . a. 6 cm d. 11 cm b. 8 cm e. 12 cm c. 10 cm8. Volume sebuah bola yang jari-jarinya 10 cm adalah . . . . a. 2.364,3 cm3 d. 5.544,7 cm3 b. 3.872,6 cm3 e. 6.217,6 cm3 c. 4.186,7 cm3 Matematika XI SMK/MAK 151

9. T Volume sebuah kerucut yang berjari-jari 14 cm adalah 7.392 cm3. Tinggi kerucut adalah . . . . a. 10 cm b. 11 cm c. 12 cm d. 13 cm 14 cm e. 14 cm 10. H G Pada kubus ABCD.EFGH kedudukan bidang ABGH E F dengan bidang DCFE adalah . . . . D a. berpotongan di satu titik A b. berimpit C c. sejajar d. tegak lurus B e. berpotongan pada satu garis B. Kerjakan soal-soal berikut! 1. H G Perhatikan gambar di samping! Apabila luas E F daerah yang diarsir adalah 36 2 cm2, tentukan luas permukaan kubus! DC A B 2. H G Pada balok di samping, diketahui perbandingan E F BF : FC : AF = 3 : 4 : 5. Jika diketahui luas selimut balok 376 dm2, tentukan volume balok! DC A B 3. Perhatikan gambar di samping! Tentukan luas permukaan bangun di samping! 60 cm 20 cm 4. 7 dm Sebuah tempat dudukan tiang bendera dirancang seperti gambar di samping. 5 dm Tentukan volume tempat dudukan 0,5 dm tiang bendera tersebut! 15 dm 5. H G Hitunglah jarak dari unsur-unsur berikut! E a. titik A ke titik C D F b. titik B ke garis DH A c. titik A ke titik G d. ruas segitiga ACH C e. jarak titik F ke bidang ABCD f. jarak bidang BCGF ke bidang BCHE B g. jarak titik G ke garis BH152 Geometri Dimensi Tiga

Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasiini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saatmerancang konstruksi pesawat terbang. Konstruksi sebuah pesawat terbang telah dirancang sedemikian rupa sehinggaketika mengudara pesawat tetap berada dalam posisi stabil. Selain konstruksiyang memerlukan perhitungan mendetail, kapasitas muatan pesawat juga perludilakukan pembatasan. Hal ini bertujuan untuk menstabilkan kondisi pesawatsehingga berat yang harus ditumpu oleh pesawat dapat seimbang. Di dalam ilmufisika, pada sebuah pesawat terbang yang sedang mengudara bekerja empat buahmacam gaya dengan besar dan arah yang berbeda-beda. Diagram gaya yangbekerja pada pesawat digambarkan sebagai berikut. gaya angkatgaya dorong gaya hambat gaya berat 153 Perhatikan keempat gaya yang bekerja pada pesawat tersebut. Gaya angkatmemiliki arah ke atas, gaya hambat memiliki arah ke kanan (belakang), gayadorong memiliki arah ke kiri (depan) dan gaya berat memiliki arah ke bawah.Tiap-tiap gaya memiliki besaran dalam sebuah satuan Newton. Besaran yangmemiliki arah disebut vektor. Lebih lanjut mengenai vektor akan kita pelajari padauraian bab berikut. Matematika XI SMK/MAK

Vektor pada Bidang DatarSumber: www.southpolestation.com Sarana transportasi darat, laut, maupun udaraSalah satu kapal pengangkut minyak yang mengalami kebocoran masing-masing memiliki peluang yang sama untuk terjadinya kecelakaan. Apabila kecelakaan terjadi di tengah lautan lepas tentunya kapal yang mengalami kerusakan harus dibawa ke pelabuhan terdekat untuk segera diperbaiki. Untuk menarik kapal tersebut dibutuhkan dua buah kapal dengan dilengkapi kawat baja. Agar kapal dapat sampai ke pelabuhan yang dituju dan posisi kapal selama perjalanan tetap stabil, besar gaya yang dibutuhkan oleh masing-masing kapal penarik dan sudut yang dibentuk oleh kawat baja harus diperhitungkan dengan cermat. Dari kedua gaya dan sudut yang dibentuk oleh kapal penarik dapat kita hitung besarnya resultan gaya yang bekerja. Untuk menghitung resultan gaya terlebih dahulu kita pelajari uraian berikut. Uraian Materi A. Vektor dan Notasinya Apabila kita memindahkan atau menggeser sebuah benda (materi) yang berbentuk apa saja, maka perpindahan benda itu akan memenuhi dua unsur yaitu seberapa jauh kepindahannya dan ke arah mana benda itu berpindah. Kedua unsur yang memengaruhi perpindahan benda itu disebut sebagai besaran vektor. Jadi, vektor adalah besaran yang selain mempunyai nilai kuantitatif (besar) juga mempunyai arah, misalnya besaran kecepatan, gaya, dan momen. Secara grafis, vektor dilambangkan dengan arah panah. Contoh: Sebuah mobil melaju dengan kecepatan 100 km/jam ke arah barat. Peristiwa tersebut merupakan salah satu bentuk penggunaan vektor dalam kehidupan sehari-hari. Vektor yang digunakan mempunyai besar 100 km/jam dan melaju ke arah barat. U BS T v mobil = 100 km/jam ke arah barat154 Vektor

Secara geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang B Gruas garis menyatakan besar vektor dan anak JpJJaGnah menyatakan arah avektor. Gambar dJiJJsGamping menunjukkan vektor AB, dengan A adalah tiJtJJiGk AB dan B adalah titik (terminal) dari vektor AB.pangkaJJlJGvektor G ujung kecil bergaris panah atas).Vektor AB dapat huruf ditulis sebagai vektor a (B. Vektor pada Bangun Datar R2 (Ruang Dimensi Dua) A Vektor dimensi dua adalah vektor yang mempunyai dua unsur yaitu unsur vertikal (sumbu Y) dan horizontal (sumbu X). Vektor pada bidang datar (dimensi dua) ditandai dengan sumbu X dan sumbu Y, yang saling berpotongan di titik pusat O (0, 0). Secara analitis vektor dimensi dua dapat disajikan menurut unsur-unsurnya yaitu:G = ⎛ x⎞ G Infoa ⎜⎝ y⎟⎠ atau a = (x, y)Dengan x adalah unsur mendatar. Apabila x > 0 (positif) maka xmempunyai arah ke kanan dan apabila x < 0 (negatif) x mempunyaiarah ke kiri. Selanjutnya y adalah unsur vertikal. Apabila y > 0 (positif)maka arahnya ke atas dan jika y < 0 (negatif) arahnya ke bawah. Perhatikan beberapa contoh berikut. Y G = ⎛3⎞ a ⎜⎝⎜ 2 ⎠⎟⎟ G = ⎛ 3⎞ Sumber: www.motograndprix.com b ⎜⎝⎜ −3 ⎟⎠⎟ Motor balap G G G ⎛ −3 ⎞ d e c ⎜⎝⎜ 0 ⎟⎟⎠ Contoh lain penggunaan vektor adalah pada trans- = formasi, kecepatan, medan elektrik, momentum, tenaga, G G = ⎛ −5 ⎞ dan percepatan. Besaran c d ⎜⎝⎜ −2 ⎟⎠⎟ vektor juga berlaku pada G gaya gravitasi dengan arah G b ke pusat bumi sebagai arah a positif.O G = ⎛0 ⎞ e ⎜⎜⎝ 7 ⎠⎟⎟ XC. Ruang Lingkup Vektor1. Kesamaan Dua Vektor GG Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila G G keduanya mempunyai besar (panjang) dan arGah yang a b sGama. Perhatikan gambar di sampiGng. TGerlihata sejajar b dan besarnya sama. Diperoleh a = b . Matematika XI SMK/MAK 155

GG 2. Vektor Negatif ab G VsaGae,mkttpeotiranpng.iegVaaretaGkifhtodnrayaraGiGsabeeajardljaaawrlaadhnavanenkstdaomarnayadpniatgunbljiaesns–agraGGdn.eyPnaegsraGahnmatvaiekkdatenonrggbGaa.nmKvbaearkretnodari arah vektor a dan b saling berlawanan maka a = – b. 3. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar/panjangnya nol dan arahnya tak tentu. Pada sistem koordinat cartesius vektor nol digambarkan berupa Perlu Tahu titik. Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan O = ⎛ 0 ⎟⎟⎞⎠. ⎜⎜⎝ 0 → ⎛x⎞Vektor posisi A = ⎜⎝⎜ y ⎟⎠⎟ pada 4. Vektor Posisidimensi 2 dapat dinyatakan Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pusat → ⎛x⎞ → →dengan A = ⎜⎜⎝y ⎟⎟⎠ = x i + y j koordinat O (0,0) dan titik ujungnya berada pada koordinat lain. Vektor posisi pada R2 dari titik A (x, y) dinyatakan sebagai kombinasi linear Y vektor satuan sebagai berikut. G = ⎛x⎞ = G + G A ⎜⎝ y ⎟⎠ xi yj GG Penulisan vektor i dan jGmenyatakan vektor satuan pada sistem koordinat. Vektor satuan i adalah vektor yang seGarah dengan sumbu X positif dan besarnya 1 satuan. Vektor satuan j adalah vektor yang searah dengan sumbu Y dan besarnya 1 satuan. G Contoh: Nyatakan j G A G 5 ⎛ 3⎞5j ⎜⎝ 5⎟⎠ G vektor = dalam bentuk kombinasi linear vektor satuan + 3i G = A dan tentukan panjangnya! GX Penyelesaian: G = ⎛ 3⎞ adalah GG 3i Kombinasi linear vektor A ⎜⎝ 5⎟⎠ 3i + 5 j . Yy P (x, y) |A| = 32 + 52 = 9 + 25 = 34 Jadi, panjang vektor A adalah 34 satuan. Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut juga vektor JJJG posisi titik P dan dituliskan OP . Jika koordinat titik P adalah (x, y) makaO (0, 0) x X vektor posisinya adalah JJJJG = ⎛x ⎞ OP ⎝⎜⎜ y ⎟⎟⎠ JJJG Jika koordinat titik A (x1,y1) dan titik B (x2, y2) maka AB dapat dinyatakan sebagai vektor posisi sebagai berikut. Y JJJJG JJJG JJJG A (x 1, y 1) AB = OB – OA O B (x2, y2) = ⎛ x2 ⎞ − ⎛ x1 ⎞ X ⎜⎜⎝ y2 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ y1 ⎟⎟⎠ ⎛ x2 − x1 ⎞ = ⎜⎜⎝ y2 − y1 ⎟⎟⎠156 Vektor

Contoh:1. Diberikan koordinat titik P (2, –3) dan Q (7, 1). Nyatakan kedua JJJJG JJJG koordinat titik tersebut sebagai vektor posisi PQ dan QP !Penyelesaian; JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG b. QP = OP − OQa. PQ = OQ − OP = ⎛ 7 ⎞ − ⎛ 2 ⎞ = ⎛ 2⎞ − ⎛7 ⎞ ⎜⎜⎝ 1 ⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜ −3 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ −3 ⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ 1 ⎠⎟⎟ ⎛7 −2⎞ ⎛ 2 −7 ⎞ = ⎝⎜⎜1 + 3⎟⎟⎠ = ⎝⎜⎜ −3 −1⎟⎠⎟ ⎛5 ⎞ ⎛ −5 ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ −4 ⎠ JJJJG JJJGPerhatikan bahwa PQ dan QP memiliki besar yang sama danberlawanan arah. JJJJG Vektor AB merupakan vektor posisi, yaitu vektor yang JJJJGmenunjukkan posisi vektor AB pada koordinat cartesius. Posisi JJJJG A = ⎛ x1 ⎞ dan B = ⎛x2 ⎞ dapat ditulis ⎜ ⎟ ⎜ ⎟vektor AB dengan komposisi ⎝ y1 ⎠ ⎝ y2 ⎠dengan koordinat kutub sebagai berikut. Perlu Tahu JJJG AB = (r∠θ)dengan r = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Vektor dalam bentuk koordinat cartesius maupun koordinat tan θ = y2 − y1 kutub dapat dicari resultan x2 − x1 dan besar sudut yang diapit. JJJG JJJJGBentuk AB = (r∠θ) disebut juga resultan vektor AB .2. Diberikan dua buah vektor yang masing-masing besarnya 4 kN dan 3 kN. Tentukan besarnya vektor resultan kedua vektor beserta arahnya! Penyelesaian:r = (3)2 + (4)2 = 9 + 16 = 25 = 5tan α = 3 = 0,75 4⇔ α = 36º52'Jadi, vektor resultan beserta arahnya adalah (5 ∠ 36º52')5. Modulus atau Besar VektorModulus menyatakan panjang atau besar vektor. Karena panjang ataubesar vektor selalu bernilai positif maka cara menulis modulus( )menggunakan tanda mutlak . . Jika diketahui koordinat titik P (x, y) JJJJGmaka panjang vektor posisi OP = ⎛x ⎞ dirumuskan sebagai berikut. ⎜⎜⎝ y ⎟⎠⎟JJJJGOP = x 2 + y2Diketahui titik A (x1, y1) dan B (x2, y2). Secara analitis, diperolehkomponen vektor JJJJG = ⎛x2 − x1 ⎞ . AB ⎜⎝⎜ y2 − y1 ⎠⎟⎟ Matematika XI SMK/MAK 157

JJJJG Panjang vektor AB dapat dirumuskan: JJJJG (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 AB = Contoh: Diketahui titik A (3 , –5) dan B (–2 , 7), tentukan hasil operasi vektor tersebut! JJJJG a. Komponen vektor AB JJJJG b. Modulus/besar vektor AB Penyelesaian: a. Komponen vektor JJJJG = ⎛ −2 − 3 ⎞ = ⎛ −5 ⎞ AB ⎜⎝⎜7 − (−5)⎟⎠⎟ ⎝⎜⎜12 ⎠⎟⎟ JJJJG b. Besar vektor AB = (−5)2 +122 = 25 +144 = 169 = 13 6. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang (besar) 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar (panjang) vektor semula. G G Vektor satuan dari vektor a dirumuskan G aG e = a Contoh: G G Diketahui vektor a = (–3 , 2 ). Hitunglah vektor satuan dari vektor a ! Penyelesaian: GG (−3)2 + 22 = 13 Besar vektor a = a = G G a adalah e = ( )Diperoleh vektor satuan dari −3 , (−3,2) = 2 atau dapat 13 13 13 G ⎛ −3 ⎞ dituliskan dalam bentuk vektor kolom e = ⎜ ⎟ ⎜ 13 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ ⎝ 13 ⎠ Untuk membuktikan bahwa jawaban tersebut benar dapat kita cek G ⎛ −3 ⎞2 + ⎛ 2 ⎞2 kembali menurut definisi panjang vektor e = ⎜⎝ 13 ⎟⎠ ⎜⎝ 13 ⎟⎠ = 9+4 = 13 = 1 = 1. 13 13 13 Karena modulus G adalah 1, terbukti G = −3 , 2 adalah vektor e bahwa e 13 13 G satuan dari e = (–3, 2). Aplikasi Di dalam sebuah rangkaian listrik arus bolak-balik terdapat tiga buah komponen penting yaitu L = induktor, C = kapasitor, dan R = resistor. Kombinasi vektor dari resistor dengan reaktansi di dalam L disebut impedansi yang dilambangkan dengan z dan memiliki satuan ohm ( Ω ).158 Vektor

DiberikaGn impedansi dari rangkaian seri yang dinyatakan sebagai berikut.z = 6 + j . 8 ohmTentukan vektor impedansi tersebut dalam koordinat kutub.Penyelesaian:Vektor impedansi dari z ekuivalen dengan mencari modulus dari z.|z| = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10Sudut yang dibentuk vektor z sebagai berikut.tan μ = 8 = 4 = 1,333 6 3⇔ μ = 53,1Jadi, koordinat kutub dari vektor impedansi z adalah (10 ∠ 53,1°).D. Operasi Hitung Vektor di R21. Penjumlahan Dua VektorSecara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu:a. Aturan segitiga Perlu Tahu G b G Pada penjumlahan vektor a GG GG ⇒ a +b ab berlaku: 1. Sifat komutatif G G G G a + b =b + a 2. Sifat asosiatif G G G G G b Gb. Aturan jajaran genjang ( a + b ) + c = a + ( + c ) ⇒ G GG a a +b GG Info ab G b G G a4Secara analitis penjumlahan dua vektor dirumuskan sebagai berikut. G a G a3 G a2 G ⎛⎝⎜aa12 ⎞ G ⎛ b1 ⎞ GG ⎝⎛⎜aa12 + b1 ⎞ a1Jika vektor a = ⎟ dan vektor b = ⎜ b2 ⎟ maka a +b = + b2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ Penjumlahan vektor dapat di-Contoh: lakukan dengan cara potigon yaitu tidak perlu tergantung G G ⎛8 + 3⎞ pada urutannya. Pada gambar d= d G ⎛8⎞ ⎛3⎞ G ⎜ ⎟ ⎛11⎞ dGi ataGs dipGeroleGh: GJika vektor c = dan vektor ⎜ ⎟ maka c + = ⎝ ⎠ = ⎜⎝13⎠⎟ a = a1 + a2 + a3 + a4 ⎜ 4 ⎠⎟ ⎝ 9 ⎠ 4 + 9 ⎝2. Selisih Dua Vektor Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. GG G G a – b = a + (– b ) Matematika XI SMK/MAK 159

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut. GG –b b G G GG G a b a –b a G ⎛a1 ⎞ G ⎛⎝⎜bb12 ⎞ maka Secara analitis jika diketahui vektor a = ⎜⎝a2 ⎟ dan vektor b = ⎟ ⎠ ⎠ GG = ⎛ a1 − b1 ⎞ a –b ⎜ a2 − b2 ⎟ ⎝ ⎠ Contoh: G ⎛8⎞ G = ⎛3⎞ maka G – G = ⎛ 8 ⎞ − ⎛ 3⎞ = ⎛8 − 3⎞ Jika vektor c = ⎜ ⎟ dan vektor d ⎜ ⎟ c d ⎜ 4 ⎟ ⎜ 9 ⎠⎟ ⎜ 9⎠⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 4 − ⎛ 5⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ 3. Perkalian Vektor a. Perkalian VektoGr dengan Skalar Hasil kali vektor a dengaG n skalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya bergantung dengan nilai k. Info YApabila titik–titik dalam 3 . Gvektor dapat dinyatakan asebagai perkalian vektoryang lain, titik-titik itu disebut Gtitik-titik kolinear (segaris). a 0X Perlu TahuSifat-sifat perkalian vektor. Jika vektor G = ⎛ a1 ⎞ maka k . G = ⎛k ⋅ a1 ⎞ a ⎜ a2 ⎟ a ⎜⎝k ⋅ a2 ⎟Jika a suatu vektor tak nol ⎝ ⎠ ⎠dan ((nnnnnnn(aa,–pGG(+pa)aGG==aGp∈+)|=)aGb=\GnnanG|)m−(=n|p=aanakGGanGaaG)aG|b++ernplabaGGku: Ada 3 kemungkinan hasil kali suatu vektor dengan skalar k sebagai1.2. berikut. G3.4. 1. Jika k > 0 mGaka k . a adalah suatGu vektor yang panjangnya k5. kali vektor a dan seaG rah dengan a .6. 2. Jika k = 0 maka k . aG adalah vektor nol. 3. Jika k < 0 mGaka k . a adalah suatu vektor yaGng panjangnya k kali vektor a dan berlawanan arah dengan a . Contoh: G ⎛ 4⎞ Diketahui vektor a = ⎜ ⎟ . Tentukan hasil operasi vektor berikut! ⎝ −8 ⎠ G G c. 1 . G a. 3 . a b. –2 . a 2 a160 Vektor

Penyelesaian:a. G = 3 . ⎛ 4⎞ ⎛ 3 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ Kilas Balik 3. a = ⎜ (−8)⎠⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ −8⎟⎠ ⎝ 3 ⋅ ⎝ −24 ⎠ ⎝b. –2 . G = –2 . ⎛ 4⎞ = ⎛ −2⋅4 ⎞ = ⎛ −8⎞ Skalar adalah besaran yang a ⎜ ⎟ ⎝⎜16 ⎟ hanya mempunyai nilai dan ⎜ −8 ⎟ ⎝ −2 ⋅ (−8) ⎠ ⎠ tidak mempunyai arah. ⎝ ⎠ Contoh: panjang, lebar, arus listrik, volume, jarak, danc. 1 . G = 1 . ⎛ 4⎞ = ⎛ 1 ⋅4 ⎞ = ⎛ 2⎞ suhu. 2 a 2 ⎜ ⎟ ⎜ −4⎟⎠ 2 ⎝ ⎜ −8 ⎟ ⎜⎜⎝ 1 ⋅ (−8)⎟⎠⎟ ⎝ ⎠ 2b. Vektor Segaris (Kolinear) G Perkalian suatu vektor c dengan skalar k menghasilkan sebuah GG vektor baru yang panjangnya k kali vektor c . Misalnya vektor c dapat JJJG dengan A = ⎛ x1 ⎞ dan B = ⎛x2⎞ .dinyatakan sebagai vektor AB ⎜ ⎟ ⎜⎝y2 ⎟⎠ ⎝ y1 ⎠Dengan demikian k. G JJJG = k ⎛ x2 − x1⎞ . Apabila diberikan c = k . AB ⎝⎜ y2 − y1 ⎠⎟ GGketentuan bahwa titik pangkal vektor c dan vektor k . c salingberimpit, diperoleh titik pangkal vektor k . G adalah A = ⎛ x1⎞ . Untuk c ⎜⎝y1 ⎟⎠jelasnya perhatikan gambar berikut. G C = ⎛ x3 ⎞ −2c ⎜ y3 ⎟ ⎛ x4 ⎞ ⎝ ⎠ B ⎜⎝ y4 ⎟⎠ D = G = ⎛ x2 ⎞ Diperoleh bahwa JJJG JJJG JJJG c ⎜ y2 ⎟ AC = 2 ⋅ AB = 2 ⋅ BC ⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ A = ⎝⎜ y1 ⎠⎟Selanjutnya, diambil sembarang titik D = ⎛x4⎞ yang terletak pada ⎝⎜y4 ⎠⎟ JJJGvektor AC . Titik A, B, dan D dikatakan segaris apabila vektor yangdibangun oleh dua titik di antaranya dapat dinyatakan sebagaiperkalian vektor dua titik yang lain.Contoh:1. Diberikan tiga buah titik A = ⎛ −2⎞ , B = ⎛ 2⎞ , dan C = ⎛ 6⎞ . ⎜⎝ −2⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ Tunjukkan bahwa titik A, B, dan C segaris! Penyelesaian: JJJG = ⎛ 2⎞ − ⎛ −2⎞ = ⎛2 + 2⎞ = ⎛ 4⎞ . . . (1) AB ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ −2⎠⎟ ⎝⎜ 0 + 2⎠⎟ ⎝⎜ 2⎠⎟ JJJG = ⎛ 6⎞ − ⎛ −2⎞ = ⎛6 + 2⎞ = ⎛ 8⎞ . . . (2) AC ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜ −2⎠⎟ ⎝⎜ 2 + 2⎠⎟ ⎝⎜ 4⎠⎟ JJJG JJJG Dari bentuk (1) dan (2) dapat dilihat bahwa AC = 2AB . Dengan demikian terbukti bahwa titik A, B, dan C segaris. Matematika XI SMK/MAK 161

JJJG = ⎛ 6⎞ − ⎛ 2⎞ = ⎛ 4⎞ . . . (3) BC ⎜⎝ 2⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 2⎟⎠ JJJG = ⎛ 6⎞ − ⎛ −2⎞ = ⎛ 8⎞ . . . (4) AC ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜ −2⎠⎟ ⎝⎜ 4⎠⎟ JJJG JJJG Dari bentuk (3) dan (4) dapat dilihat bahwa AC = 2BC . Dengan demikian terbukti bahwa titik A, B, dan C segaris. JJJG = ⎛ 2⎞ − ⎛ −2⎞ = ⎛ 4⎞ . . . (5) AB ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ −2⎠⎟ ⎝⎜ 2⎠⎟ JJJG = ⎛ 6⎞ − ⎛ 2⎞ = ⎛ 8⎞ . . . (6) CB ⎝⎜ 2⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟ ⎝⎜ 2⎠⎟ JJJG JJJG Dari bentuk (5) dan (6) dapat dilihat bahwa CB = 2AB . Dengan demikian terbukti bahwa A, B, dan C segaris. Secara gambar dapat ditunjukkan bahwa titik A, B, dan C segaris. Y C (6, 2) B (2, 0) X A (–2, –2) c. Perkalian Vektor Operasi perkalian pada vektor dapat dikerjakan melalui dua cara sebagai berikut. 1) Sudut Antara Kedua Vektor TidaGk Diketahui G Diberikan vektor a = (a1, a2) dan b = (b1, b2). Hasil kali kedua vektor dirumuskan sebagai berikut. GG a ⋅ b = a1 b1 + a2 b2 Contoh: Diberikan vektor G = ⎛ 5⎞ dan G = ⎛ 3 ⎞ . Tentukan hasil kali GG p ⎜⎝ 7⎟⎠ q ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ vektor p dan q ! Perlu Tahu Penyelesaian:Hasil perkalian dua buah Diketahui G = ⎛ 5⎞ → p1 = 5 dan p2 = 7vektor menghasilkan besaran p ⎜⎝ 7⎟⎠skalar. G = ⎛ 3⎞ → q1 = 3 dan q2 = –2 q ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ GG = p1 q1 + p2 q2 p ⋅q = 5 . 3 + 7 (–2) = 15 + (–14) =1 GG Jadi, hasil kali vektor p dan q adalah 1.162 Vektor

AplikasiDua buah gaya bekerja masing-masing 40 kN dan 60 kN. YKedua gaya tersebut membentuk sudut apit seperti padagambar di samping. Tentukan hasil kali kedua gaya 30° = 40 kNtersebut! F2Penyelesaian: 0F 1 = 60 kNF1 . F2 = (40) . (60) . cos 30°= 2.400 . 1 3 2= 1.200 3Jadi, hasil kali kedua gaya adalah 1.200 3 kN. X2) Sudut Antara Kedua Vektor DikGetahui G Diberikan vektor a = (a1, a2),G b = (b1, b2), dan sudut yang G dibentuk oleh vektor a dan b adalah α. Perkalian antara GG vektor a dan b dirumuskan sebagai berikut. G G GG a ⋅ b = a b cos α Contoh: Tentukan hasil kali kedua vektor pada gambar di bawah ini! Penyelesaian: Y 6 Diketahui dua buah vektor sebagai berikut. ⎛ 3⎞ ⎝⎜ 6⎠⎟ G = ⎛ 6⎞ → a1 = 6 dan a2 = 1 B a ⎜⎝1 ⎟⎠ G = a12 + a22 = 62 + 12 G a b = 36 + 1 = 37 ⎛ 6⎞ ⎜⎝1 ⎟⎠ G ⎛ 3⎞ 60° G A b ⎝⎜ 6⎠⎟ a = → b1 = 3 dan b2 = 6 1 G 03 6X b = b12 + b22 = 32 + 62 = 9 + 36 = 45 GG GG = a b cos α a ⋅b = 37 ⋅ 45 ⋅ cos 60° = 37 ⋅ 45 ⋅ 1 2 = 3 185 2 Jadi, hasil kali kedua vektor adalah 3 185 . 2 Matematika XI SMK/MAK 163

Sementara itu, dari dua buah vektor pada sistem koordinat cartesius dapat kita cari besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor yang dirumuskan sebagai berikut. cos α = a1b1G+aG2b2 ab Contoh: G u Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor = ⎛ 6⎞ dan ⎜⎝ 2⎟⎠ G ⎛ 3⎞ v = ⎝⎜ 4⎠⎟ ! Penyelesaian: G = ⎛ 6⎞ → u1 = 6 dan u2 = 2 u ⎜⎝ 2⎟⎠ G = ⎛ 3⎞ → v1 = 3 dan v2 = 4 v ⎝⎜ 4⎠⎟ 6⋅3+2⋅4 18 + 8 40 25 62 +22 32 +42 = ( )( ) ( )( )cos α = u1v1G+uG2v2 = uv 26 26 = 10 10 = 13,62 = 0,822 ⇔ α = arc cos (0,822) = 34,71° Jadi, sudut yang dibentuk oleh vektor u1 dan v2 sebesar 34,71°. E. Besar dan Arah Vektor Resultan 1. Resultan Dua Buah Vektor B C Perhatikan gambar di samping. DJJGiberikaJGn dua buah vektor yaitu vektor JG JG A danJGB serta sudut yanJgJGdibentuk oleh B C =R vektor B terhadap vektorJJGA yaitJuG sebesar α. Resultan dari vektor A dan B adalah α sama dengan mencari panjang OC. 0 θ JJG α Menggunakan aturan segitiga, panjang A A OC dapat kita cari dengan cara sebagai berikut. ( )( )JJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJG JJJJG OC2 = OA2 + AC2 + 2 OA AC cos α JJG JG Dengan demikian resultan dua buah vektor A dan B adalah: JJJJJG JJJJJG JJJG JJJJG OA2 + AC2 + 2 OA AC cos α ( )( )JJJG OC = atau R= G 2 + BG 2 + JJJG A 2AB cos α RJJGumus dJiG atas adalah rumus untuk mencari resultan dua buah vektor A dan B JyJGang mJGembentuk sudJGut α . Selanjutnya, apabila resultan dJJGari vektor A dan B yaitu vektor R membentuk sudut θ terhadap vektor A maka arah dari vektor resultan R dapat dicari dengan rumus sebagai berikut. sin θ = B sin α R164 Vektor

Contoh: JJGDiberikan dua buah vektor yaitu A dJeJGngan panjang 4 satuan dan vektorJG JGB dengan panjang 6 satuan. Vektor A dan vektor B membentuk sudut60°. Tentukan besar dan arah vektor resultannya!Penyelesaian:Vektor resultan R diperoleh dengan menggunakan rumus berikut.R = AG 2 + BG 2 + JJJG cos α Y 2AB = 42 + 62 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ (cos 60°) G G B R = 16 + 36 + 48 ⋅ 1 6 2 = 16 + 36 + 24 60° θ G X = 76 4 AJadi, besar vektor resultan adalah 76 satuan.Selanjutnya besar sudut θ diberikan sebagai berikut.sin θ = B sin α R = 6⋅sin 60o 76 6⋅( 1 3 ) Kilas Balik =2 76 = 3 3 × 76 76 76 = 3⋅2 57 Pada bab 1 telah dipelajari 76 tentang trigonometri antara 1 3. lain sin 60° = 2 3 57 = 38Dengan demikian θ = arc sin 3 57 38 ⇔ θ = 36,87JJG° JGJadi, arah resultan vektor A dan B adalah 36,87°. Aplikasi = 80 N R1Sebuah kapal mengalami kemacetan di tengahlaut. Untuk membawa kapal tersebut kembali ke 75°pelabuhan dibutuhkan dua buah kapal penarik. RGaya yang dibutuhkan kedua kapal serta sudut 2 = 105 Nyang dibentuk tampak pada gambar di samping.Tentukan besarnya resultan gaya yang dihasilkanoleh kedua kapal! Matematika XI SMK/MAK 165

Penyelesaian: R 1= 80 N RResultan gaya kedua kapal digambarkan 75°pada diagram gaya di samping. RResultan gaya kedua kapal diberikan sebagai 2 = 105 Nberikut.R = R12 + R22 + 2R1R2 cos α = 802 + 1052 + 2 ⋅ 80 ⋅105 ⋅ cos 75° = 6.400 + 11.025 + 16.800 ⋅ 0,26 = 6.400 + 11.025 + 4.368 = 21.793 = 147,62Jadi, resultan gaya kedua kapal adalah 147,62 N. 2. Resultan Tiga Buah Vektor Atau Lebih Sebuah vektor pada R2 dapat dijabarkan menjadi vektor komponen Y berdasarkan sumbu koordinat. B PerhatikJaJGn gambar di samping. GG Vektor A dapat diuraikan menjadi dua macam vektor komponen. Ay A JJG G JJG Komponen vektor A pada sumbu Y adalah Ay dan komponen vektor A G pada sumbu X adalah Ax. Selanjutnya, dengan menggunakan θ perbandingan sinus dan cosinus pada segitiga siku-siku OAB diperoleh G 0 Ax A X persamaan sebagai berikut. sin θ = AB = Ay ⇔ Ay = A sin θ OB A cos θ = OA = Ax ⇔ Ax = A cos θ OB A Vektor komponen tersebut dapat kita gunakan untuk mencari besarnya resultan tiga buah vektor atau lebih. Langkah-langkahnya sebagai berikut. 1. Nyatakan sudut yang dibentuk tiap-tiap vektor pada tiap- tiap kuadran menjadi sudut yang besarnya bergantung terhadap sumbu X. 2. Jabarkan tiap-tiap vektor sebagai vektor-vektor komponen. 3. Tentukan resultan vektor tiap-tiap komponen. 4. Hitung resultan vektor dari dua komponen. 5. Tentukan besar sudut arah resultan vektor dengan rumus tan θ = Ry . Rx Untuk memahami lebih lanjut mengenai langkah-langkah tersebut, perhatikan contoh berikut. Contoh: Hitung resultan vektor dari diagram vektor dan tentukan arah resultan vektor tersebut!166 Vektor

Penyelesaian:Langkah 1: D2 = 4N D1 = 6 N 30° 30°Besar sudut masing-masing vektor terhadap sumbu X yaituθ1 = 30°, θ2 = 30°, dan θ3 = 90° – 30° = 60°Langkah 2:• Untuk vektor D1 = 6 N dan θ1 = 30°, diperoleh:D1x = 6 · cos 30° = 6 (1 3) = 3 3 30° D3 = 8 N 2D1y = 6 · sin 30° = 6 ⎜⎛⎝ 1 ⎞⎟⎠ =3 2• Untuk vektor D2 = 4 N dan θ2 = 30°, diperoleh:D2x = 4 · cos 30° = 4 (1 3) = 2 3 2D2y = 4 · sin 30° = 4 ⎝⎜⎛ 1 ⎟⎠⎞ =2 Trik 2 Perhatikan bahwa besarnya• Untuk vektor D3 = 8 N dan θ3 = (90° – 30°) = 60°, diperoleh: sudut harus bergantung terhadap sumbu X.D3x = 8 · cos 60° = 8( (1) ) = 4 2D3y = 8 · sin 60° = 8 (1 3) = 4 3 2Langkah 3:Resultan vektor masing-masing komponen sebagai berikut.• Komponen sumbu X Rx = D1x + D2x + D3x = 3 3+2 3+4 =4+5 3• Komponen sumbu Y Ry = D1y + D2y + D3y =3+2+4 3 =5+4 3Langkah 4:Resultan vektor kedua komponen dirumuskan dengan:R = (Rx )2 + (Ry )2 = (4 + 5 3)2 + (5 + 4 3)2 Kilas Balik= (16 + 2 ⋅ 4 ⋅ 5 3 + 75) + (25 + 2 ⋅ 5 ⋅ 4 3 + 48) Ingat kembali menghitung= 91 + 40 3 + 73 + 40 3= 164 + 80 3 bentuk kuadrat yang telah dipelajari pada kelas X bab 3 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.Langkah 5:Arah resultan vektor dirumuskan dengan:tan θ = Ry = 5+4 3 = 5+6,93 = 11,93 = 0, 94 Rx 3 4+5 4+8,66 12,66⇔ θ = arc tan (0,94)⇔ θ = 43,22°Jadi, resultan dari ketiga vektor pada gambar adalah 164 + 80 3dengan arah 43,22°. Matematika XI SMK/MAK 167

F. Phasor 1. Pengertian dan Bentuk Phasor Phasor adalah vektor yang memiliki titik pangkal dan panjang yang tetap, tetapi memiliki arah yang berubah-ubah. Phasor merupakan kuantitas yang perubahan arahnya bergantung terhadap fungsi waktu. Contoh phasor antara lain: medan magnet dan tegangan yang ditimbulkan oleh arus bolak-balik. Bentuk phasor secara umum dibedakan menjadi dua macam yaitu: a. Bentuk koordinat cartesius, phasor dituliskan sebagai berikut. G z = a + bj a = bagian real −1 ) b = bagian imajiner GG j = satuan bilangan imajiner ( j = b. Bentuk koordinat kutub, phasor dituliskan sebagai berikut. z · (r ∠ θ) r = besar/panjang phasor θ = arah phasor yang ditempuh setelah t detik, dinyatakan dengan θ = ωt Phasor dalam bentuk koordinat kutub dapat diubah ke bentuk koordinat cartesius begitu pula sebaliknya. a. Mengubah bentuk koordinat cartesius ke bentuk koordinat kutub G Diketahui z = a + bj, nilai r dan besarnya θ dapat kita peroleh dengan rumus berikut. r = a2 + b2 tan θ = b a b. Mengubah bentuk koordinat kutub ke bentuk koordinat cartesius Diketahui z = (r ∠ θ), nilai a dan b dapat kita peroleh dengan rumus berikut. a = r · cos θ b = r · sin θ Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Contoh: G 1. Diberikan phasor z = 3 – 3 3 j. Nyatakan phasor tersebut dalam Trik koordinat kutub! G Penyelesaian: 3 j, diperoleh a = 3 dan b = –3 3 .b = komponen ya = komponen x Diketahui 2 = 3 – 3 b (−) r = a2 + b2 = 32 + (−3 3)2 = 9 + 27 = 36 = 6Jadi, a = (+) berada dikuadran IV. tan θ = b = −3 3 = − 3 a3 3 j adalah z = (6 ∠ 300°). ⇔ θ = arc tan ( − 3 ) ⇔ θ = 300° Jadi, koordinat kutub dari z = 3 – 3168 Vektor

2. Nyatakan phasor z = (8, 45°) dalam koordinat cartesius. Penyelesaian: Diketahui z = (8 ∠ 45°), diperoleh r = 8 dan q = 45°. a = r cos θ = 8 · cos 45° = 8 · ( 1 2)=4 2 2 b = r · cos θ = 8 · cos 45° = 8 ( 1 2)=4 2 2 Jadi, koordinat cartesius dari (8, 45°) adalah (4 2 , 4 2 ).2. Operasi pada Phasor Operasi pada phasor dapat dikerjakan apabila phasor berbentuk cartesius. Apabila phasor dalam bentuk koordinat kutub maka diubah ke bentuk cartesius terlebih dahulu. a. Penjumlahan Phasor Operasi penjumlahan phasor dikerjakan dengan menjumlahkan tiap-tiap komponen bilangan real danGtiap-tiap komponenG bilangan imajiner. Misal diberikan z1 = a1 + b1 j dan z2 = a2 + b2 j . Penjumlahan phasor z1 dan z2 dirumuskan sebagai berikut. GG z1 + z2 = (a1 + b1 j ) + (a2 + b2 j ) G = (a1 + a2) + (b1 + b2) jContoh: GGTentukan hasil penjumlahan z1 = 2 + 5 j dan z2 = 4 + 5 j !Penyelesaian: G Gz1 + z2 = (2 + 5 j ) + (4 + 5G j ) = (2 + 4) G+ (5 + 5) j = 6 + 10 jApabila dua buah phasor yang dijumlahkan merupakan fungsi terhadapwaktu, penjumlahannya merupakan resultan kedua vektor. Diberikan duabuah phasor E1 = a1 sin ωt dan E2 = a2 sin (ωt + θ), maka penjumlahan E1 danE2 dirumuskan sebagai berikut.E = E1 + E2= a12 + a 2 + 2a1a2 cos θ sin (ωt +ψ ) 2dengan sin ψ = a2 ⋅sin θ E AplikasiDiberikan dua buah gaya gerak listrik (ggl) sebagai berikut.E1 = 10 sin ωtE2 = 15 sin (ωt + 60)Tentukan hasil penjumlahan dua buah ggl tersebut!Penyelesaian:Dari soal diperoleh a1 = 10, a2 = 15, dan θ = 60°.E = E1 + E2 = a12 + a22 + 2a1a2 cos θ sin (ωt + ψ ) Matematika XI SMK/MAK 169

= 102 + 152 + 2 ⋅10 ⋅15 ⋅ cos 60o sin (ωt + ψ ) = 100 + 225 + 300 ⎝⎜⎛ 1 ⎞⎠⎟ sin(wt +ψ ) 2 = 475 sin (ωt +ψ ) = 21,8 sin (ωt + ψ) Besar sudut ψ dapat dicari sebagai berikut. sin ψ = a2 ⋅sin θ E = 15⋅sin 60o 21,8 15( 1 3 ) =2 21,8 15(1,732) = 21,8 = 25,98 Jadi, jumlah kedua buah ggl adalah E = 21,8 sin (ωt + 36,5°). b. Pengurangan Phasor Operasi pengurangan phasor dikerjakan sama seperti penjumlahan phasor, yaitu mengurangkan tiap-tiap komponen real dan imajiner. Pengurangan phasor z1 dan z2 dirumuskan sebagai berikut. z1 – z2 = (a1 + b1 G ) – (a2 + b2 G ) j j G = (a1 – a2) + (b1 – b2) j Contoh: GG Tentukan hasil pengurangan z1 = 2 + 3 j dan z2 = 5 – j , kemudian nyatakan hasilnya dalam bentuk koordinat kutub! Penyelesaian: G G z1 – z2 = (2 + 3 j ) – (5 – j ) G = (2 – 5) G+ (3 – (–1)) j = –3 + 4 j G GG Jadi, hasil pengurangan z1 = 2 + 3 j dengan z2 = 5 – j adalah –3 + 4 j . Diperoleh a = –3 dan b = 4. Trik r = a2 + b2 = (−3)2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5θ seharusnya berada pada tan θ = b 4kuadran III. Akan tetapi, a = −3karena tan pada kuadrat IIIbernilai positif, maka θ berada ⇔ θ = arc tan ( 4 )pada koordinat II dan IV. −3 ⇔ θ = 270° + 53,1° ⇔ θ = 323,1° G Jadi, bentuk koordinat kutub dari z = –3 + 4 j adalah (5 ∠ 323,1°).170 Vektor

c. Perkalian dan Pembagian Phasor Operasi perGkalian dan pembagian dua buah phasor z1 = a1 + b1 dan z2 = a2 + b2 j diberikan dalam rumus berikut. G z1 · z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) jdan + b1b2 ) + (−a1b2 Gz1 (a1a2 a22 + b22 + a2b1) jz2 =Pada operasi perkalian dan pembagian phasor, kedua buah phasor tidakharus berbentuk cartesius. Dengan demikian operasi perkalian danpembagian dapat dikenakan apabila phasor berbentuk koordinat kutub.Misalnya diberikan z1 = (r1 ∠ θ1) dan z2 = (r2 ∠ θ2). Operasi perkaliandan pembagian kedua buah phasor diberikan sebagai berikut.z1 · z2 = (r1r2) (θ1 + θ2)danz1 = ⎛ r1 ⎞ θ1 − θ2z2 ⎜ r2 ⎟ ⎝ ⎠Contoh: GG1. Diberikan dua buah phasor z1 = 4 – 3 j dan z2 = 5 + 4 j . Tentukan hasil operasi berikut! a. z1 · z2 z1 b. z2 PenyelesaG ian: z1 = 4 – 3 Gj → a1 = 4 dan b1 = –3 z2 = 5 + 4 j → a2 = 5 dan b2 = 4 Intisari G a. z1 · z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)Gj Operasi hitung pada phasor = (4 · 5 – (–3)4) + (4 · 4 G+ 5(–3)) j akan selalu Gmenghasilkan = (20 +G12) + (16 – 15) j bentuk a + bj atau bentuk = 32 + j phasor itu sendiri. G z1 (a1−a2 + b1b2 ) + (−a1b2 + a2b1) j b. z2 = a22 + b22 G 4 ⋅ 6 + (−3)4) + (−4 ⋅ 4 + 5(−3)) j = (5)2 + (4)2 G (20 − 12) + (−16 − 15) j = 25 + 16 G = 8 − 31 j = 8 − 31 G j 41 41 41 Matematika XI SMK/MAK 171

Latihan 1 Kerjakan soal-soal berikut! JJJJG 1. Tentukan besar vektor AB jika A (–2, 3) dan B (1, –4)! JJJJG 2. Tentukan komponen vektor AB jika A (5, –2) dan B (7, 2)! G ⎛ 3⎞ 3. Tentukan vektor satuan dari vektor a = ⎜ ⎟ ! ⎝ −4 ⎠ 4. Diketahui G = ⎛ −4 ⎞ dan G ⎛1 ⎞ . Tentukan (3 . G ) – ( 1 . G a ⎜ ⎟ b= ⎝⎜⎜ 4 ⎠⎟⎟ b 2 a )! ⎝ −4 ⎠ G ⎛2⎞ G ⎛ 3⎞ G 1 G 5. Jika a = ⎝⎜ 5 ⎟ dan b = ⎜ ⎟ , tentukan 2 . a – 2 . b! ⎠ ⎝ −7 ⎠ G ⎛ 5⎞ G ⎛ 4⎞ 1 G 1 G 6. Jika p = ⎜ ⎟ dan q = ⎜ ⎟ , tentukan . p – . q! ⎝ −3 ⎠ ⎝ −2 ⎠ 22 G ⎛ 4⎞ G ⎛x ⎞ G G ⎛ −2⎞ 7. Jika diketahui p = ⎜ ⎟ dan q = ⎜⎝ y ⎟ , tentukan x dan y jika p +q= ⎜ ⎟ ! ⎝ −6 ⎠ ⎠ ⎝ −3 ⎠ G ⎝⎛⎜ aa12 ⎞ G ⎛ −9⎞ G G ⎛4⎞ 8. Jika a= ⎟ dan b= ⎜ ⎟ , tentukan a1 dan a2 jika a – b = ⎜ ⎟ ! ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 7 ⎠ G ⎛ 5⎞ 9. Jika diketahui d = ⎝⎜G−12 ⎟ , tentukan hasil operasi vektor: ⎠ a. modulus vektorG d , b. vektor negatif dG, dan c. vektor satuan d . G ⎛ 3⎞ G ⎛ −4 ⎞ 10. Diketahui u= ⎜ ⎟ dan v = ⎜ ⎟, nyatakan secara aljabar bentuk vektor- ⎝ −8 ⎠ ⎝ 7 ⎠ vabe.. kt2ouGruG+b+evGrivGkut! c. G – 2 G GG d. 3u v e. 3( u + v ) G G + 3 v 3u172 Vektor

Vektor pada Bangun Ruang Roda pada sebuah kendaraan bermotor dapat Sumber: www.abltechnology.combergerak akibat adanya tenaga yang dihasilkan oleh Gambar poros engkolgerakan batang torak yang diubah menjadi gerak putaranpada poros engkol. Poros engkol menerima pasokan bebanyang besar dari torak dan batang torak sekaligus berputarpada kecepatan tinggi. Dengan demikian poros engkolharus terbuat dari bahan yang memiliki daya tahan tinggi,yaitu baja carbon. Pada poros engkol crank pin bergeraksecara memutar. Apabila pada posisi di atas, pistonbergerak ke atas, begitu pula sebaliknya. Gerakanmemutar dari crank pin merupakan gerak pada ruangdimensi tiga yang dapat dijabarkan ke dalam bentukvektor dimensi tiga. Lebih lanjut mengenai vektor dimensitiga akan kita pelajari pada uraian berikut.Uraian MateriA. Vektor pada Ruang (Dimensi 3) Vektor pada ruang adalah vektor yang terletak di Y– Z+dalam ruang dimensi 3. Ruang ini dibentuk oleh 3 sumbu X+ X–yaitu sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. O Y+ Ketiga sumbu ini berpotongan tegak lurus. Hasilperpotongan ini adalah O. Selanjutnya, titik O disebut Z–sebagai sumbu pusat. Perhatikan gambar kaidah jari Z 1tangan kanan di samping. Kaidah ini menerangkanbeberapa hal, yaitu: B (1, 1, 1)1. Jari telunjuk menunjukkan sumbu Y. Bilangan- Y bilangan yang terletak setelah O dan searah telunjuk O1 merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya berarti bilangan negatif.2. Ibu jari menunjukkan sumbu X. Bilangan yang searah ibu jari dan terletak setelah O merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya merupakan bilangan negatif.3. Jari tengah menunjukkan sumbu Z. Bilangan yang searah jari tengah dan terletak setelah O merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya merupakan bilangan negatif. Perhatikan contoh gambar vektor ruang di samping. 1 JJJJGVektor OB di samping merupakan vektor ruang dengan JJJJGpangkal O (0, 0, 0) dan ujung B (1, 1, 1). Vektor OB inidapat ditulis menjadi: XJJJJGOB = (1, 1, 1) GGVeGktor ruang Gdapat pula ditulis dalam satuan i , jG,dan k . Satuan i sesuai dengan sumG bu X, satuan jsJJeJsJGuai dengan sumbu Y, dan satuan kG sesGuai dGengaGn sGumbGu Z.OB = (1, 1, 1) dapat ditulis menjadi 1 i + 1 j + 1 k = i + j + k . Matematika XI SMK/MAK 173

B. Ruang Lingkup Vektor Z Ruang lingkup vektor dimensi tiga meliputi: G 1. Vektor Posisi k JJJJG Vektor posisi titik P adalah vektor OP yaitu vektor yang berpangkal di titik O GY O (0, 0, 0) dan berujung di titik P (x, y, z). j JJJJG X G i Secara aljabar vektor OP dapat ditulis sebagai berikut. JJJJG ⎛x ⎞ OP ⎜ ⎟ = ⎜ y ⎟ atau JJJJG = (x, y, z) ⎝⎜ z ⎠⎟ OP JJJJG Vektor OP = (x, y, z) pada dimensi tiga dapat dinyatakan sebagai G GG kombinasi linear dari vektor satuan i , j , k sebagai berikut. JJJJG ⎛x ⎞ G G G OP ⎜ ⎟ i j zk = ⎜⎜⎝ y ⎠⎟⎟ = x + y + z JJJJG Sebuah vektor AB dengan koordinat titik pangkal A (x1, y1, z1) dan koordinat titik ujung B (x2, y2, z2) memiliki vektor posisi sebagai berikut. JJJJG JJJJG JJJJG ⎛x2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛x2 − x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = OB − OA = ⎝⎜⎜ y2 ⎠⎟⎟ − ⎜ y ⎟ = ⎝⎜⎜ y2 − y1 ⎠⎟⎟ z2 ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ z2 − z1 1 z1 Contoh: JJJJG ⎛ 5⎞ OR ⎜ ⎟ 1. Gambarkan vektor = ⎜ 2 ⎟ pada dimensi tiga! Penyelesaian: ⎜⎝ −3 ⎟⎠ Z 02 Y 5 –3 X JJJG ⎛5 ⎞ 2. Vektor Satuan OR ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎝ −3⎠ Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan. Vektor JG JG satuan dari vektor a didefinisikan vektor a dibagi dengan besar vektor JG JG G a a sendiri, yang dirumuskan dengan: e= G a174 Vektor

Contoh: vektor satuan dari vektor JG ⎛ 2 ⎞ !Tentukan ⎜ 4 ⎟ a= ⎜ ⎟Penyelesaian: ⎜⎝ 5⎟⎠ JGTerlebih dahulu ditentukan panjang vektor a .G 22 + 42 + ( 5)2 = 25 = 5 JG adalaha= Jadi, vektor satuan vektor a ⎛ 2⎞JG ⎜ 5⎟ ⎜ 4⎟e = ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜⎝ 5 ⎠⎟ 5Selain vektor satuan terdapat vektor-vektor satuan yang sejajar dengansumbu-sumbu koordinat antara lain sebagai berikut. G ⎛1 ⎞a. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu X dinotasikan i = ⎜ 0⎟⎟ ⎜ ⎝ 0⎠ JG ⎛ 0⎞b. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu Y dinotasikan j = ⎜⎜1 ⎟ ⎟ ⎝ 0⎠ JG ⎛ 0⎞ kc. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu Z dinotasikan = ⎜ 0⎟⎟ ⎜ ⎝1 ⎠3. Modulus VektorModulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor. Panjang vektorJJJJG ⎛x ⎞OP ⎜ ⎟ = ⎜ y ⎟ dirumuskan sebagai berikut. ⎝⎜ z ⎠⎟ JJJJG x2 + y2 + z2 OP = JJJJGJika diketahui vektor AB dengan koordinat titik A (x1, yJ1JJ,JGz1) danB (x2, y2, z2) maka modulus/besar/panjang vektor AB dapatdinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu: JJJJG (x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 AB = JG JG G JG JGJika vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2 j + a3k JG G = a12 + a22 + a32 amaka modulus vektor a adalahContoh:Tentukan modulus/besar vektor berikut! JJJJGa. AB , dengan titik A (1, 4, 6) dan B (3, 7, 9) JG G JG JGb. a = 2i + j + 3k Matematika XI SMK/MAK 175

Penyelesaian: ⎛1 ⎞ ⎛ 3⎞ JJJG ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎛3 −1⎞ ⎛ 2⎞ AB − 4⎟⎟ ⎜⎜ 3⎟⎟ a. Diketahui A = ⎜ 4⎟⎟ dan B = ⎜ 7⎟⎟ , maka = ⎜ 7⎟⎟ − ⎜ 4⎟⎟ = ⎜ 7 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝6⎠ ⎝9⎠ ⎝ 9⎠ ⎝6⎠ ⎝ 9 − 6⎠ ⎝3⎠ JJJJG (3 −1)2 + (7 − 4)2 + (9 − 6)2 = 22 + 32 + 32 = 22 AB = JJJG Jadi, modulus vektor AB adalah 22. b. G 22 + 12 + 32 = 14 a= G Jadi, modulus vektor a adalah 14. JG JG 4. Kesamaan Vektor b a JG JG Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila keduanya mempunyai JJG besar dan arah yang sama. Perhatikan gambar di samping. Terlihat a JG JG JG sejajar b dan sama panjang. Dengan demikian a = b . Misal: JG JG G ⎛ a1 ⎞ JG G G JG G ⎛ b1 ⎞ JG G G JG a ⎜ a2 ⎟ a1i a2 j + a3k , dan b ⎜ b2 ⎟ b b1i + b2 j b3k a =b ⎜ ⎟ a ⎜ ⎟ = atau = + = atau = + ⎜ a 3 ⎟ ⎜ b3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ JG JG a = b jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 Contoh: ⎛3 ⎞ ⎛6 ⎞ = ⎜⎜a ⎟ Diberikan dua buah vektor G ⎟ = dan G = ⎜ −3⎟⎟ . m n ⎜ ⎝ −1⎠ G G ⎝ −c ⎠ m n Tentukan nilai a, b, c agar dipenuhi = ! Penyelesaian: GG m =n Syarat vektor adalah m1= n1, m2 = n2 dan m3 = n3. Dari yang dmGik=etnGamhuaki adinpielarioale=h 3= b, a = –3, dan –1 = –c. Jadi, agar dipenuhi –3, b = 3, dan c = 1. JG JG 5. Vektor Negatif ab JJG JG JG Vektor negatif dari a adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor a =b JJG JJG a tetapi arahnya berlawanan dan ditulis – a . Perhatikan gambar di JJG JG JJG samping. a sejajar dan sama panjang b , artinya karena antara a JG JJG JG dan b berlawanan arah maka a = – b . Contoh: G ⎛ a1 ⎞ JG G G G a ⎜⎜a2 ⎟ a1i a2 j + a3k = ⎟ atau a = + ⎝a3 ⎠ G ⎛ b1 ⎞ JG G GG b ⎜ ⎟ atau b = b1i + b2 j + b3k = ⎜ b2 ⎟ ⎝b3 ⎠ JG JG a = – b jika dan hanya jika a1 = –b1, a2 = –b2, a3 = –b3176 Vektor

Contoh: ⎛2 −a ⎛ −1 ⎞ ⎜⎜c − 2⎟⎟Diberikan dua buah vektor G = ⎜ 4 ⎞ dan G = r ⎜ ⎟ s ⎟ ⎝ −b + 1⎠ ⎝3⎠Tentukan nilai a, b, dan c agar persamaan r + s = 0.Penyelesaian: G G r +sAkan ditunjukkan = 0 ⎛2 − a ⎞ ⎛ −1 ⎞⇔ ⎜ 4 ⎟ + ⎜⎜c − 2⎟⎟ =0 ⎜ ⎟ ⎝ −b + 1⎠ ⎝ 3 ⎠⇔ 2–a–1=0 → a =1 4 + c – 2 = 0 → c = –2 –b + 1 + 3 = 0 → b = 4Jadi, agar dipenuhi r + s = 0 maka nilai a = 1, b = 4, dan c = –2.6. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar/panjangnya nol satuan dan arahnya tak tentu (berupa titik).Vektor nol pada dimensi 3 dilambangkan dengan O (0 , 0 , 0) atau ⎛0⎞ ⎜ ⎠⎟⎟⎟.O = ⎜⎝⎜ 0 0C. Operasi Hitung Vektor di R31. Penjumlahan Vektor dalam Ruang G ⎛ a1 ⎞ G ⎛ b1 ⎞ a b ⎜ ⎟a. Jika dua vektor = ⎜⎜a2 ⎟ dan vektor = ⎜ b2 ⎟ adalah vektor-vektor ⎟ ⎝a3 ⎠ ⎝b3 ⎠ tidak nol di R3 maka operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut. G G ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ a b ⎜ + b2 ⎟ + = ⎜⎜a2 ⎟ + ⎜ b2 ⎟ = ⎜a2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a3 ⎠ ⎝b3 ⎠ ⎜ a3 + b3 ⎟ ⎝ ⎠ JG G GG JG G GGb. Jika vektor a = a1i + a2 j + a3k dan vektor b = b1i + b2 j + b3k maka operasi penjumlahannya didefinisikan sebagai berikut. JG JG G G G a + b = (a1 + b1)i + (a2 + b2) j + (a3 + b3 )k Contoh: Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut! JG ⎛ 2⎞ JG ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ b ⎜ ⎟ a. a = ⎜ −3 ⎟ dan = ⎜ 4 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ JG G G G JG G G G b. a = 2i + j − 4k dan b = 3i + 5 j + k Matematika XI SMK/MAK 177

Penyelesaian: JG JG ⎛ 2 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2 + (−1)⎞ ⎛1⎞ b ⎜ −3 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a. a + = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ −3 + 4 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜⎝ −2 ⎟⎠ ⎜ 5 + (−2)⎟⎠ G ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ G ⎝ ⎠ JG JG ⎝G b. a + b = (2 + 3)i + (1 + 5) j + (−4 + 1)k GGG = 5i + 6 j − 3k 2. Selisih Dua Vektor pada R3 a. Jika dua vektor JG = ⎛ a1 ⎞ dan vektor JG = ⎛ b1 ⎞ maka operasi ⎜ a2 ⎟ b ⎜ b2 ⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a 3 ⎟ ⎝ b3 ⎠ ⎝ ⎠ pengurangan kedua vektor didefinisikan sebagai berikut. JG JG = ⎛ a1 ⎞ – ⎜⎜⎛bb12 ⎞ = ⎛ a1 − b1 ⎞ ⎜ a2 ⎟ ⎟ ⎜ a2 − b2 ⎟ a –b ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝b3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a3 ⎟ ⎠ ⎝ a 3 − b3 ⎠ ⎝ ⎠ JG G G G JG G G G b. Jika vektor a = a1i + a2 j + a3k dan vektor b = b1i + b2 j + b3k maka operasi pengurangan kedua vektor didefinisikan sebagai berikut. JG JG G G G a – b = (a1 − b1)i + (a2 − b2) j + (a3 − b3 )k Contoh: JG JG Hitunglah a – b jika: JG ⎛8⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ JG ⎜ ⎟ a. a = ⎜⎝⎜ 6 ⎠⎟⎟ dan b= ⎜ 1 ⎟ 7 G JG G G ⎜ 4 ⎟ GGG ⎝ ⎠ JG b. a = 8i + 6 j + 9k dan b = 3i + 5 j + 2k Penyelesaian: JG JG ⎛8 − 3⎞ ⎛5⎞ b ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a. a – JG = ⎜⎝⎜ 6 − 1 ⎟⎟⎠G = ⎝⎜⎜ 5 ⎠⎟⎟ 7 − 4 3 JG G G GG G b. a – b = (8 – 3) i + (6 – 5) j + (9 – 2) k = 5i + j + 7k 3. Perkalian Skalar dengan Vektor a. Hasil kali vektor JG = ⎛ a1 ⎞ dengan suatu skalar c didefinisikan ⎜ a2 ⎟ a ⎜ ⎟ sebagai berikut. ⎜ a3 ⎟ ⎝ ⎠ JG ⎛ c ⋅ a1 ⎞ ⎜ ⎟ c. a = ⎜⎝⎜ c ⋅ a2 ⎟⎠⎟ c ⋅ a3 JG G G G b. Hasil kali vektor a = a1i + a2 j + a3k dengan skalar c didefinisikan sebagai berikut. G GGG c . a = c ⋅ a1i + c ⋅ a2 j + c ⋅ a3k Contoh: ⎛5 ⎞ G ⎛ 3 ×5⎞ ⎛15 ⎞ G ⎜ ⎟ maka 3 . h 3 ⎜⎝⎜⎜162G⎠⎟⎟⎟ = G⎜⎝⎜ 2 ⎟⎟⎠G = ⎜ 3 × 2 ⎟ = 4⋅ j − 1. Diberikan vektor h 4 j G G⎜⎝⎜ = × 4 ⎟⎟⎠ G − 3k , maka G G 2i + 4 ⋅u 4 ⋅ 2i + 4 ⋅ 3k 2. DibeGrikaGn vektGor u = = 8i + 4 j + 12k178 Vektor

4. Perkalian Dua Vektor di R3 Perkalian vektor di R3 dibedakan menjadi dua macam sebagai berikut.a. Perkalian Skalar Dua Vektor (Dot Product)Yang dimaksud perkalian skalar dua vektor adalah perkalian vektordengan vektor yang menghasilkan skalar. Jika diberikan JG G G G JG G G Gvektora =a1i + a2 j + a3k dan vektorb = b1i + b2 j + b3k maka perkalian JG JG JG JGskalar dua vektor dapat ditulis dengan : a . b (dibaca: a dot b ) dandirumuskan sebagai berikut. JG JG 1. Jika sudut antara vektor a dan vektorb diketahui sama dengan α (0° ≤ α ≤ 180°), maka: JG JG JG JG a . b = | a |.| b |. cos α , dengan α adalah sudut antara JG JG vektor a dan b. JG JG 2. Jika sudut antara vektor a dan vektor b tidak diketahui maka: JG JG a . b = (a1 . b1) + (a2 . b2) + (a3 . b3)Hal ini dapat kita pahami dengan aturan cosinus dan rumus jaraksebagai berikut. A (a1, a2, a3) JG a α JG B (b1, b2, b3) b . . . (1) CJAJJBJG2 = OJJJAJG2 + OJJJBJG2 JJJJG JJJJG cos α − 2 OA OB = G 2 + bG2 G G cos α a −2a bDengan rumus jarak dua titik diperoleh:JAJJBJG2 = (b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3 )2 ( ) ( ) ( )= b12 − 2b1a1 + a12 + b22 − 2b2a2 + a22 + b32 − 2b3a3 + a32 = a12 + a22 + a32 + b12 + b22 + b32 − 2a1b1 − 2a2b2 − 2a3b3 = a2 + b2 − 2(a1b1 + a2b2 + a3b3) . . . (2)Dari (1) dan (2) diperoleh persamaan: Perlu Tahu G GG 2 + b2 − 2 Ga a b cos α = a2 + b2 − 2 (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) G G Sifat-sifat perkalian skalar: a G G⇔ + b cos α = (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) untuk setiap vektor a , b , JG JG GG dan G berlaku:Menurut rumus definisi a . b = a ⋅ b cos α , diperoleh: c G G JJG JG 1. G . b = b . G a a a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3 G G 2. G ( b + G ) = ( G . b ) + a c a ( G . G ) a cContoh: = 2i + j – 3k dan = 3i – 4j + 7k. JG = 2 . 3 + 1 . (–4) + (–3) . 71. Diberikan vektor u = –19 JG JG Diperoleh u . v Matematika XI SMK/MAK 179

2. Jika diketahui | G | = 6 dan | JG | = 5 dan sudut antara vektor G dan a b a JG vektor b adalah 60° maka perkaliannya adalah: G . JG = | G |.| JG | . cos α a b a b = 6 . 5 . cos 60° = 30 . 1 = 15 2 b. Perkalian Vektor dari Dua Vektor Yang dimaksud perkalian vektor dari dua vektor adalah perkalian yang menghasilkan vektor. Perkalian vektor dua vektor ditulis G JG JG dengan a × b (dibaca a cross b ) dirumuskan dengan determinan matriks sebagai berikut. GG i j k a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 dengan aturan Sarrus akan diperoleh hasil perkalian sebagai berikut. G G i j ki j a × b = a1 a2 a3 a1 a2 b1 b2 b3 b1 b2 – – – +G+ + G G = (a2b3 – a3b2) i + (a3b1 – a1b3) j + (a1b2 – a2b1) k Contoh: GG G JG G G G Diketahui vektor G = 2i − j + 3k dan vektor b = 3i − 2 j + k. a Tentukanlah hasil operasi vektor berikut! JG JG JG a. G × b b. b × G c. | G × b| a a a Penyelesaian: GGG a. G × JG i j k a b =2 −1 3 3 −2 1 −1 3 G 2 3 G 2 −1 G = −2 ⋅i − ⋅ j+ ⋅k 13 13 −2 GG GG = (–1 – (–6)) . i – (2 – 9) . j + (–4 – (–3)) . k = 5i + 7j – k GGG i jk JG G b. b × a = 3 −2 1 2 −1 3 −2 1 G 3 1 G 3 −2 G = −1 ⋅i − ⋅ j+ ⋅k 32 32 −1 G GG = (–6 – (–1)). i – (9 – 2). j + (–3 – (–4)). k G GG = −5i − 7 j + k c. G JG 52 + 72 + (−1)2 |a × b | = = 25 + 49 + 1 = 75 = 5 3180 Vektor

5. Sudut Antara Dua Vektor G G b |.| bBerdasarkan rumus perkalian skalar dua vektor G . = | G |. cos α a G a bmaka besar sudut antara vektor G dan vektor dapat ditentukan, ayaitu: GG cos α = a ⋅ bG = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 G a12 + a22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32 a ⋅bContoh: G ⎛1 ⎞ G ⎛1 ⎞ G G a b ⎜⎜⎜⎝10⎟⎟⎟⎠ , nyatakan vektor a b sebagaiJika vektor = ⎜ 00⎟⎠⎟⎟ dan vektor = dan ⎝⎜⎜ GG Gkombinasi linear vektor satuan i , j , k . Kemudian carilah sudut antarakeduanya!Penyelesaian:G Ga = i IntisariG GGb= i + j GG a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 Besar sudut antara vektor G aG ⋅ bG a a ⋅b Gcos α = = a12 + a 2 + a 2 ⋅ b12 + b22 + b32 dan vektor bG adalah: 2 3 G = 1⋅1 + 0 ⋅1 + 0 ⋅ 0 1 = 1× 2 = 1 2 cos α = aG ⋅bG 2 2 2 |a||b| 12 + 02 + 02 ⋅ 12 + 12 + 02 = 2 arc cos ⎝⎛⎜⎜|aaGG|⋅|bbGG|⎠⎞⎟⎟ 1 ⇔ α = 2 = 2Diperoleh: α = arc . cos 1 2 2 = 45°6. Vektor Tegak LurusDua buah vektor pada R3 mempunyai posisi saling tegak lurus apabilasudut yang dibentuk oleh kedua vektor besarnya 90°. Dengan demikianhasil dot GprodGuct kedua vektor sebagai berikut.GG = |a||b|cosαa ⋅b G = G ||b|cos 90° |a GG = |a ||b|0 =0 Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Dua buah vektor tegak lurus apabila hasil dot product kedua vGekGtor bernilai nol. + a3b3 a ⋅b = a1b1 + a2b2 =0Contoh: G ⎛3⎞ G ⎛ 2⎞ k ⎜ ⎟ l ⎜ −22 ⎟⎟⎟⎠1. Tunjukkan bahwa vektor = ⎜⎝⎜ 4 ⎟⎟⎠ dan = ⎜⎜⎝ saling tegak lurus! 1 Matematika XI SMK/MAK 181

Penyelesaian: GG k ⋅ l = k1 l1 + k2 l2 + k3 l3 = 3 . 2 + 4(–2) + 1 . 2 = 6 + (–8) + 2 =0 G G Hasil dot product vektor k dan l adalah 0. Dengan demikian terbukti GG bahwa vektor k tegak lurus dengan vektor l . G ⎛7 ⎞ G ⎛ 3⎞ a p⎟⎟ b ⎜ 3⎟⎟ 2. Diberikan dua buah vektor = ⎜ 2 + dan = ⎜ . ⎜ ⎝ −3 ⎠ ⎝ 2⎠ Trik Tentukan nilai p agar vektor G tegak lurus G !Perkalian dua vektor dikerja- a bkan dengan cara mengalikanvektor-vektor yang seGkomG - Penyelesaian: G apabila dipenuhi persamaanponenG (komponen i , j , G GGatau k ). Vektor a tegak lurus b berikut. a ⋅b = 0 ⇔ (a1 b1) + (a2 b2) + (a3 b3) = 0 ⇔ (7 . 3) + (2 + p) 3 + (–3) 2 = 0 ⇔ 21 + 6 + 3p – 6 = 0 ⇔ 3p + 21 = 0 ⇔ 3p = –21 ⇔ p = –7 Jadi, vektor G G saling tegak lurus apabila nilai p = –7. a dan b Latihan 2 Kerjakan soal-soal berikut! G GG G GG GG G G G 1. Diketahui vektor-vektor u = 2i − j + 3k ; v = 3i − 2 j + k dan w = 2i − k . Tentukan hasil operasi vektor berikut! G e. u a. GG c. G × G u ⋅v v u GG f. vw b. GG d. GG u +w 3w + 2v ( )2. Diketahui vektor PQ dengan titik P (2, 5, –4) dan Q (1, 0, –3). Tentukan hasil di bawah ini! ( )a. Koordinat titik R jika SR sama dengan vektor PQ dan titik S (2, –2, 4). ( )b. Koordinat titik N jika MN merupakan negatif vektor PQ dan titik M (–1, 3, 2). 3. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut! G ⎛ 0⎞ u ⎜ −01⎟⎠⎟⎟ a. = ⎜⎝⎜ b. MN dengan M (2, 1, 2) dan N (2, 0, 3)182 Vektor

4. Diketahui titik-titik di R3 masing-masing A ( 3, 5, 7 ), B ( 8, 6, 1), C (7, 11, –5 ), dan D ( 2, 10, 1). Nyatakan vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear G GG dari vektor-vektor satuan i , j , k ! a. AB c. BC b. AD d. DC G G GG G GG G5. Jika p = 3i + 2 j − k dan q = 2i + j − 3k , tentukan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut!6. Carilah luas segitiga ABC jika diketahui titik A ( 2, –3, 1); B (1, –1, 2), dan C ( –1, 2, 3)! Rangkuman1. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.2. Modulus vektor adalah besar atau panjang vektor.3. Modulus/besar/panjang vektor JG = ⎛ a1 ⎞ adalah JJG = a12 + a22 . a ⎜ ⎟ a ⎝ a2 ⎠4. Vektor posisi titik P(x, y) adalah OP = ⎛x ⎞ . ⎜ ⎟ ⎝ y ⎠5. Dua vektor sama bila besar dan arahnya sJGama.6. Vektor yang besarnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan JG disebut vektor negatif dari a dituliskan – a .7. Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan arahnya tak tentu.8. Vektor satuan dari vektor JG JG = a . a dirumuskan a a9. Pada bangun bidang datar, jika diketahui vektor JG = ⎛ a1 ⎞ dan vektor a ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ 2 JG = ⎛ b1 ⎞ , maka: b ⎜ ⎟ ⎝ b2 ⎠ a. Perkalian vektor JG dengan skalar k adalah k ⋅ JG = ⎛k ⋅ a1 ⎞ . a a ⎜⎝k ⋅ a2 ⎟ ⎠ b. Penjumlahan vektor JG dan vektor JG adalah JG + JG = ⎛ a1 + b1 ⎞ . a b a b ⎜ + b2 ⎟ ⎝ a ⎠ 2 JG JG JG JG c. Selisih pengurangan vektor a dan vektor b adalah a – b = ⎛ a1 − b1 ⎞ . ⎜ − b2 ⎟ ⎝ a2 ⎠10. Modulus/besar/panjang vektor atau a = a1i + a2j + a3k adalah JJG a = a12 + a22 + a32 .11. JG G = a . Vektor satuan dari vektor a adalah e a Matematika XI SMK/MAK 183

Evaluasi Kompetensi A. Pilihlah jawaban yang tepat! G GGG 1. Diketahui vektor a = 5i − 3 j + 2k, panjang vektor G adalah . . .. a a. − 3 d. 38 b. 8 e. − 38 c. 3 G G G 2. Panjang vektor a = 3, panjang vektor b = 2, dan sudut antara vektor a G GG dan b adalah 60°. Besar a + b adalah . . . . a. 10 d. − 13 b. 13 e. 15 c. − 10 G ⎛ 2⎞ G ⎛ −1⎞ GG Jika diketahui a ⎜ −01⎟⎟⎟⎠ b ⎜ ⎟ 2a + 3b 3. = ⎜⎝⎜ dan = ⎜⎝⎜ 2 ⎠⎟⎟ maka adalah . . . . ⎛1 ⎞ 1 ⎛5⎞ a. ⎜ 4 ⎟ d. ⎜⎜⎜⎝13 ⎟ ⎝⎜⎜ 3 ⎟⎟⎠ ⎟⎟⎠ ⎛7⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜⎜⎝13 ⎟ b. ⎜⎜⎝ 4 ⎟⎠⎟ e. ⎠⎟⎟ 3 ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ C c. ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ 45° 3 B 4. Perhatikan gambar di samping! Gaya yang menekan tembok yaitu AB A adalah sebesar . . . . 100 kg a. 50 kg d. 100 kg BA C’ b. 50 2 kg e. 100 3 kg C G = 6 ton c. 50 3 kg ⎛1 ⎞ ⎛ −5⎞ 5. Diketahui vektor G = ⎜ 3 ⎟ dan G = ⎜ 3 ⎟ maka GG =.... a ⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟⎟ b ⎜⎝⎜ 1 ⎠⎟⎟ a ⋅b a. –6 d. 10 b. 6 e. 12 6. c. 8 G =G GGG dan G = G GG G G =.... VektGor a 2i G+ 3 j + 4k b i − 2 j + kGmakGa a ×G b a. i G− 11 jG+ 2kG d. 5i G− 2 jG+ 3kG b. 6i G− 2 jG+ 2kG e. 11i − 2 j + 7k c. 11i + 2 j − 7k 7. Perhatikan gambar tiang katrol di samping! Besar gaya yang menekan tubuh katrol yaitu AC, sebesar . . . . a. 4 ton d. 8 ton b. 4 2 ton e. 8 3 ton c. 4 3 ton GG G G GGG GG G 8. Diketahui a = 2i − 3 j + pk dan b = 4i + 2 j + 3k, apabila a ⋅ b = 8 maka nilai untuk p adalah . . . . a. 5 d. 2 b. –4 e. 3 c. –2184 Vektor

9. Diketahui vektor G dan G denGganG | G |= 4 dan G |= 2. Sudut antara a b a |b kedua vektor adalah 90°. Nilai a + b adalah . . . . a. 2 3 d. 2 5 b. 4 3 e. 2 7 c. 4 5 ⎛ −3⎞ ⎛ 5⎞ ⎛1 ⎞10. Diketahui vektor G = ⎜ 4 ⎟ , G ⎜ −3 ⎟ , dan G = ⎜ 2 ⎟ maka nilai dari G GG a ⎝⎜⎜ 5 ⎠⎟⎟ b= ⎝⎜⎜ 2 ⎟⎠⎟ c ⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠⎟ 2a + b − c adalah . . . . ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a. ⎝⎜⎜ 3 ⎠⎟⎟ d. ⎝⎜⎜ −3 ⎟⎠⎟ 9 −9 ⎛1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b. ⎜⎝⎜ 5 ⎟⎟⎠ e. ⎜⎜⎝ −5 ⎠⎟⎟ 3 3 ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ c. ⎜⎜⎝ −3 ⎠⎟⎟ 9B. Selesaikan soal-soal berikut!1. Jika diketahui koordinat titik P (6, 3) dan Q (4, 5), tentukan hasil di bawah ini! Y JJJG a. Bentuk aljabar (komponen) vektor PQ . JJJG b. Besar vektor PQ .2. Perhatikan gambar di samping! P Q Gambarkanlah vektor berikut! X JJJG a. Vektor yang sama panjang dengan PQ . V = 30 km/jam JJJG b. Vektor negatif dari PQ . JJJG c. Vektor posisi yang sama dengan PQ .3. Tentukanlah besar vektor-vektor berikut! a. G = ⎛5⎞ O u ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ b. G = ⎛ −1⎞ v ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ G ⎛ 4⎞ c. w = ⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠4. Diketahui vektor G = ⎛ 6⎞ dan G = G p ⎜ −1⎟⎠ q 2p . Tentukan vektor satuan dari ⎝ vektor G jika G = GG r r p − q!5. Dua buah kapal A dan B melaju dari titik 60° 0 dengan kecepatan masing-masing VA 30° dan VB. Resultan vektor kecepatan kedua kapal sebesar 30 km/jam dengan sudut yang terbentuk ditunjukkan pada gambar di samping! Matematika XI SMK/MAK 185

Latihan Ulangan Kenaikan Kelas A. Pilihlah jawaban yang tepat! 1. Diketahui segitiga siku-siku ABC. ∠CAB merupakan sudut siku-siku. ∠ABC = α, ∠ACB = β, AB = 12 cm, sedangkan cos α= 4 . Nilai cos β adalah . .. . 5 a. – 9 d. 4 12 5 b. – 12 e. 1 15 5 c. 3 5 2. Jika tan α = 4 dan 180°< α <270° maka sin α = . . . . 3 a. – 4 d. 3 5 5 b. – 3 e. 4 5 5 c. 3 4 3. Jika 90°< α <180° dan sin α = 4 maka cos α = . . . . 5 a. – 4 d. 3 3 5 b. – 4 e. 4 5 5 c. – 3 5 4. Jika sin β = – 1 3 maka sudut β berada pada kuadran . . . . 2 d. II dan IV a. II saja e. III dan IV b. III saja c. II dan III 5. Suatu segitiga siku-siku di C dengan sisi AC = 4 cm dan BC = 8 cm. Harga cos A = . . . . a. 1 3 d. 2 3 3 3 b. 1 2 e. 1 2 2 4 c. 1 5 5 6. Jika Δ XYZ dengan ∠X = 30°, ∠Y = 45°, dan x = 8 cm maka sisi y adalah . . . . a. 4 2 d. 8 3 b. 4 3 e. 16 3 c. 8 2 7. Diketahui segitiga ABC. Panjang sisi AC = b cm, sisi BC = a, dan a + b = 10 cm. Jika ∠A = 30° dan ∠B = 60° maka panjang sisi AB = . . . . a. (10 + 5 3 ) cm d. (5 3 + 5) cm b. (10 – 5 3 ) cm e. (5 3 + 15) cm c. (5 3 – 10) cm186 Latihan Ulangan Kenaikan Kelas

8. Sebuah balok dengan beban merata dijepit pada salah satu ujungnya. Balok tersebut memenuhi persamaan garis Dx = –qx dengan Dx berada pada sumbu vertikal. Grafik dari persamaan tersebut adalah . . . . a. Dx d. Dx X X b. Dx e. Dx X X c. Dx X9. Lintasan benda yang bergerak selama t detik dan menempuh jarak s meter diberikan dengan rumus s = 10 + 8t – 2t2. Nilai s pada saat t = 5 detik dan nilai s maksimum berturut-turut adalah . . . . a. 0 m dan 18 m d. 3 m dan 36 m b. 0 m dan 36 m e. 2 m dan 18 m c. 5 m dan 18 m10. Relasi pada diagram panah di samping y dapat ditentukan dengan rumus . . . . 1 2 a. y = 2x + 1 d. y = 3x + 1 3 b. y = 2x – 1 e. y = 4x – 1 2 8 c. y = 3x – 1 2611. Jika x = 27, y = 4, dan z = 3 maka nilai dari f(x, y, z) = 13 ⋅ z–1 ( x3 ⋅y2 ) adalah . . . . d. 8 a. –72 e. 72 b. –8 c. 012. Perhatikan gambar di samping! y Gambar ini menunjukkan lintasan (–3,0) (3,0) renang seorang anak. Persamaan 0 kuadrat yang menunjukkan lintasan ini adalah . . . . (0,–2) a. y = 2x2 – 3 b. y= 2 x2 – 3 3 c. y= 2 x2 – 2 9 d. y= 3 x2 – 2 2 e. y = x2 – 3 Matematika XI SMK/MAK 187

13. Tabel berikut menunjukkan variasi koefisien kekentalan suatu cairan terhadap temperatur (t) yang berbeda. t (°C) 0 6 12 18 z 40,0 23,3 . . . . . . Hubungan z dan t diberikan dengan persamaan z = Ae–at. Jika log 23,3 = 1,4; log 40 = 1,6; dan log e = 0,4 maka nilai A dan a berturut-turut adalah . . . . a. 4 dan 0,8 d. 40 dan 0,8 b. 40 dan 0,08 e. 0,8 dan 4 c. 4 dan 0,08 14. Gaya gerak listrik yang dibangkitkan oleh arus bolak-balik diberikan dengan rumus e = Emax sin 2πft. Jika f = 15 Hz, Emax = 120 volt, dan t= 1 detik, nilai e adalah . . . . 90 a. 60 volt d. 90 volt b. 60 2 volt e. 120 volt c. 60 3 volt 5 15. Nilai dari ∑ 2n ialah . . . . n =1 d. 64 a. 10 b. 26 e. 128 c. 62 16. Beda dari barisan 1 , 2 , 1, 4 , 5 adalah . . . . 3 3 3 3 a. 2 d. 1 2 b. 3 e. 1 5 3 c. 2 3 17. Seorang petani jeruk mencatat hasil panennya selama 11 hari pertama. Setiap harinya mengalami kenaikan tetap, yaitu dimulai hari pertama, kedua, ketiga berturut-turut 15 kg, 19 kg, 23 kg dan seterusnya. Jumlah panen selama 11 hari pertama adalah . . . . a. 260 kg d. 385 kg b. 271 kg e. 405 kg c. 285 kg 18. Pada tahun pertama berproduksi, suatu tanaman memproduksi 5.000 butir buah. Pada tahun-tahun berikut jumlah produksi turun secara tetap sebesar 80 butir buah per tahun. Tanaman tersebut memproduksi 3.000 butir buah pada tahun ke . . . . a. 24 d. 27 b. 25 e. 28 c. 26 19. Rasio dari barisan bilangan 2, 2 , 2 , 2 adalah . . . . 3 9 27 a. 1 d. 1 4 b. 1 e. 3 3 2 c. 1 2188 Latihan Ulangan Kenaikan Kelas

20. Suku pertama suatu barisan geometri ialah 16 dan suku ketiga 36, besar suku kelima adalah . . . . a. 81 d. 46 b. –52 e. 56 c. –4621. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 4 dan suku kelimanya 324. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah . . . . a. 6.174 d. 13.120 b. 6.074 e. 3.078 c. 5.97422. Sudut 60,75° jika dinyatakan dalam derajat, menit, dan detik adalah . . . . a. 60°30'00'' d. 60°45'45'' b. 60°45'00'' e. 60°50'00'' c. 60°45'30'' 14 cm23. Luas daerah yang diarsir adalah . . . . (π = 22 ) 7 a. 102 cm2 b. 105 cm2 14 cm c. 110 cm2 d. 119 cm2 7 cm e. 129 cm224. Keliling bangun pada gambar berikut adalah . . . . 7 cm 10 cm a. 61 cm b. 71,5 cm 14 cm d. 100 cm d. 82 cm e. 93 cm 20 cm25. Pada gambar di samping O adalah pusat lingkaran P dan panjang OP = 7 cm. Jika ∠POQ = 135° dan π= 22 maka luas juring lingkaran POQ adalah . . . . O Q 7 a. 16 1 cm2 d. 57 3 cm2 2 4 b. 44 cm2 e. 115 1 cm2 2 c. 611 cm2 226. Daun pada kipas angin listrik berbentuk juring lingkaran dengan jari- jari 21 cm dan memiliki luas 231 cm2. Besar sudut juring pada kipas angin listrik tersebut adalah . . . . a. 30° d. 90° b. 45° e. 120° c. 60°27. Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping 7 cm adalah . . . . 7 cm a. 42 cm2 b. 16 cm2 c. 24,5 cm2 d. 28 cm2 e. 29,8 cm2 Matematika XI SMK/MAK 189

28. Dalam kubus ABCD.EFGH, pernyatan berikut ini benar, kecuali . . . . H G a. garis AB berada di bidang alas E F b. titik G terletak di bidang atas c. garis CG memotong bidang alas dan atas d. garis AB sejajar dengan CG e. bidang ABFE tegak lurus terhadap bidang D C alas AB 29. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH sama dengan 6 cm. Jarak titik A ke bidang BDE sama dengan . . . . a. 6 3 d. 6 6 b. 2 3 e. 3 6 c. 6 2 cm Suatu limas beraturan T.ABCD di samping 30. T memiliki tinggi TP = 4 cm. Luas permukaan limas adalah . . . cm2. DC a. 20 A 6 cm B b. 24 c. 28 d. 32 e. 36 31. Tabung tertutup seperti gambar di samping memiliki tinggi 8 cm dan diameter 28 cm. Luas tabung ini adalah . . . . 8 cm a. 704 cm2 b. 660 cm2 14 cm c. 1.320 cm2 d. 1.584 cm2 e. 1.936 cm2 32. Luas permukaan sebuah tabung berdiameter 21 cm adalah 1.485, volume tabung tersebut adalah . . . . a. 3.240 cm3 b. 4.158 cm3 c. 4.632 cm3 d. 4.860 cm3 e. 4.882 cm3 33. Jika A = (5, –3, 2) dan B = (1, 5, –2) maka komponen vektor AB adalah . . . . ⎛6⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a. ⎜ 2 ⎟ d. ⎜ 8 ⎟ ⎝⎜0 ⎠⎟ ⎜⎝ −4 ⎠⎟ ⎛ −6 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b. ⎜ −2 ⎟ e. ⎜ −8 ⎟ ⎜⎝ 0 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ c. ⎜ 8 ⎟ 34. ⎝⎜ −4 ⎟⎠ G = 2i – 3j + 4k dan G = i – 2j – 3k maka GG adalah . . . . Diketahui a b a ⋅b a. 18 d. –12 b. –16 e. 10 c. –4190 Latihan Ulangan Kenaikan Kelas

35. Perhatikan gambar di samping! Gaya yang C B menekan tembok yaitu AB sebesar . . . . 45° 100 kg a. 50 kg b. 50 2 kg A c. 50 3 kg d. 100 kg e. 100 3 kgB. Kerjakan soal-soal berikut!1. Tentukan nilai dari bentuk trigonometri berikut!a. sin2 30° + cos2 30° c. cos 330° + tan 240° – sin 45°b. cos 300° – cos 180° + cos 90° d. sin 135° – cos 225° – sin 240°2. Lengkapilah tabel di bawah ini!Sudut 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° αsin αcos αtan α3. Jika f(x) = x2 – 1, tentukan f(3) dan f(2). Selanjutnya untuk f(a) = 80, tentukan nilai a!4. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat dan koordinattitik puncak dari fungsi berikut!a. f(x) = x2 + x – 2 b. f(x) = 8 – 2x – x25. Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (0, 16), (1, 9), dan (2, 4)!6. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari barisan: 162 + 158 + 154 + 150+....!7. Tentukan rumus dari luas daerah pada masing-masing bangun datarberikut!a. Segitiga d. Lingkaranb. Jajaran genjang e. Persegi panjangc. Trapesium8. Pak Aryo membeli tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 800 m dan lebar 500 m. Jika harga tanah Rp250.000,00/m2, tentukan jumlah uang yang harus dikeluarkan oleh Pak Aryo!9. H G Perhatikan gambar di samping! Apabila luas E F daerah yang diarsir adalah 36 2 cm2, tentukan luas permukaan kubus! DC AB10. Jika diketahui koordinat titik P (6, 3) dan Q (4, 5), tentukan hasil di bawah ini! JJJJG a. Bentuk aljabar (komponen) vektor PQ . JJJJG b. Besar vektor PQ . Matematika XI SMK/MAK 191

codomain : daerah hasil suatu fungsi diagonal bidang : diagonal ruang : garis penghubung dua titik sudut berhadapan yang sebidang domain : daerah asal : garis penghubung dua titik sudut berhadapan yang tidak sebidang daerah hasil : daerah asal suatu fungsi dilatasi : fungsi : pada R: A → B, A disebut daerah asal pada R: A → B, himpunan bagian dari B yang anggotanya merupakan bayangan gradien : anggota A disebut daerah hasil keliling : dilatasi merupakan transformasi yang memerlukan pusat dilatasi dan faktor dilatasi luas : fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota domain secara tunggal modulus vektor : dengan anggota kodomain pasangan berurutan : tangen sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan sumbu X positif penyelesaian : keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya atau jarak yang kalian tempuh, bila kalian mengitari bangun tersebut refleksi : rotasi : luas suatu bangun datar adalah banyaknya satuan luas yang digunakan untuk menutup permukaan bangun tersebut translasi : sisi : besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah translasi : trigonometri : urutan a dan b yang tidak dapat ditukar urutannya, ditulis (a,b) penyelesaian suatu persamaan adalah nilai variabel yang membuat suatu vektor : persamaan menjadi kesamaan yang bernilai benar vektor posisi : refleksi merupakan suatu jenis transformasi yang memerlukan sumbu refleksi rotasi merupakan suatu transformasi yang memerlukan pusat rotasi dan jarak rotasi. Jarak rotasi biasa disebut sudut putar translasi merupakan suatu transformasi yang memerlukan besar dan arah translasi bidang yang menyelimuti bangun ruang translasi merupakan suatu transformasi yang memerlukan besar dan arah translasi cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan besar sudut dan perbandingan sisi pada bangun segitiga besaran yang memiliki nilai dan arah yang dinyatakan sebagai segmen garis berarah vektor yang menyatakan kedudukan setiap titik pada koordinat cartesius192 Glosarium

A linear 35, 42, 43, 44, 67, 156, 160, 161, 174, 175, 181, 183,aritmatika 75, 79, 80, 82, 88, 90 188aturan simpson 108, 109 lingkaran 15, 65, 73, 83, 92, 93, 100, 101, 102, 103, 104, 105,B 112, 123, 124, 129, 130, 137, 144, 149, 150balok 25, 52, 69, 129, 131, 133, 135, 136, 139, 141, 143, 149, M 150, 152 mid-ordinat 110, 111barisan 72, 73, 75, 79, 80, 83, 88 modulus 23, 157, 158, 159, 172, 175, 183, 187belah ketupat 98, 99, 123bijektif 40, 47, 67, 188 Nbola 35, 48, 49, 63, 66, 68, 70, 84, 87, 88, 130, 139, 141, notasi 38, 43, 47, 72, 74, 75, 77, 78, 80, 87, 88, 92, 100, 143, 144, 150, 151, 158, 168 154, 175C Ocartesius 9, 10, 31, 33, 42, 58, 64, 156, 157, 164, 168, 169, onto 3, 4, 6, 7, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 36, 171, 187 37, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 53, 54, 55, 57, 58, 60,centisimal 93 61, 64, 67, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80, 83, 85, 86, 91, 92,cosecan 2 94, 95, 96, 101, 103, 106, 109, 111, 113, 114, 116, 117,cosinus 2, 4, 6, 11, 13, 14, 15, 22, 29, 31, 32, 63, 166, 118, 119, 120, 121, 129, 130, 131, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 142, 144, 148, 149, 154, 155, 156, 157, 179, 188 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 168, 169,cotangen 2 170, 171, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 188D PDesargues, Girard 142 pencerminan 113, 115, 116, 117, 118, 122, 123divergen 86 persegi 56, 97, 98, 122, 123, 128, 129, 134, 137, 139, 149,dilatasi 113, 120, 121, 122, 123, 125, 126, 187 151E phasor 168, 169, 170, 171Euclid 145 Plato 128, 129, 140 prisma 129, 131, 132, 133, 135, 136, 139, 140, 142, 143,Ffungsi 6, 19, 25, 27, 29, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 150, 151 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, R 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 168, 169, 187, 188 radian 52, 64, 93, 94, 123 refleksi 113, 115, 116, 187G relasi 6, 7, 36, 37, 38, 41, 187gon 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, resultan 154, 156, 157, 164, 165, 166, 167, 169, 185, 188 rotasi 92, 113, 119, 120, 123 25, 26, 27, 29, 30, 32, 34, 35, 63, 64, 67, 93, 94, 97, 98, 99, 104, 114, 122, 123, 127, 128, 129, 133, 134, 148 Sgradien 43, 44, 45, 46, 48, 68 secan 2, 24grade 93, 94 segitiga 1, 2, 4, 6, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 29, 31, 34, 78, 95,H 96, 97, 98, 104, 105, 114, 118, 120 122, 123, 124, 125,Hipparchos 8, 19, 93 129, 130, 131, 132, 133, 135, 136, 137, 138, 142, 143, 149, 151, 152, 159, 164, 166, 183, 187I sigma 72, 74, 75, 77, 78, 88injektif 40, 67, 188 sinus 2, 4, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 22, 29, 31, 32, 63, 166, 179, 188J surjektif 40, 67, 188jajar genjang 98, 122, 159 TK tabung 108, 127, 129, 131, 132, 137, 139, 141, 143, 150kerucut 35, 132, 138, 139, 141, 142, 143, 144, 149, 150, tangen 2, 4, 6, 17, 49, 63, 187, 188 tembereng 100, 101, 141 151, 152 trapesium 99, 100, 123, 124kolinear 160, 161konvergen 86, 87 Vkuadran 4, 5, 6, 7, 10, 11, 19, 28, 29, 33, 166, 169, 170, vektor 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 188 163, 164, 165, 166, 167, 168, 1 69, 172, 173, 174,kubus 128, 130, 131, 133, 134, 135, 139, 140, 142, 143, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 187 144, 148, 149, 150, 152Llayang-layang 99, 122, 123limas 18, 19, 130, 132, 133, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 149, 150, 151 Indeks 193