Kelas XII_SMA_Matematika_geri ahmadi

Sifat-Sifat Perkalian SkalarMisalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama,maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut1. aD + aH = a(D + H)2. aD + bD = (a + b)D3. a(bD) = (ab)D4. Perkalian MatriksDua buah matriks atau lebih selain dapat dijumlahkan atau dikurangkan,juga dapat dikalikan. Untuk memudahkan Anda dalam memahamiperkalian matriks, pelajari uraian berikut dengan baik. Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah bukuRp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masing-masing siswa tersebut? Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut. Bolpoin Buku Harga 1.000Riki 3 2 BolpoinFera 2 5 Buku 2.500Penyelesaian dari permasalahan tersebut bisa diselesaikan denganmenggunakan aljabar biasa atau menggunakan matriks. Dalam hal ini,permasalahan tersebut akan diselesaikan menggunakan matriks, sebagaipengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari.Langkah pertama adalah menuliskan model dari masalah tersebutmenjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh:• Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera(dinyatakan oleh matriks P), yaituP = È3 2˘ ÍÎ2 5˚˙• Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaituQ = È1.000 ˘ ÎÍ2.500˙˚Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakanbanyaknya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dankolom pertama matriks Q menyatakan harga bolpoin. Dengan demikian,untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki adalah dengancara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P denganelemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, (3)(1.000).Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan caramengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriks P dengan elemenbaris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini (2)(2.500). Hargabelanjaan yang dibayar Riki adalah penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu(3)(1.000) + (2)(2.500) = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan RikiRp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera? Matriks 45

Dari uraian tersebut, dapat Anda ketahui bahwa untuk mendapatkan besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut adalah dengan cara mengalikan matriks P dan Q, sebagai berikut PQ = È ˘ È1.000˘ = È( .000) (2 2. )˘ = È 8.000 ˘ ÎÍ2 5˚˙ ÎÍ2.500˚˙ ÎÍ( .000) (5 2. )˙˚ ÎÍ16.500˙˚ Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom pengali (matriks pertama yaitu P) sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu Q). Dari uraian diketahui bahwa ordo P2 × 2 dan Q 2 × 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1.Catatan P × Q =RJika matriks A dapat dikalikan ordo hasildengan matriks B, belum tentumatriks B dapat dikalikan (2 × 2) (2 × 1)= (2 × 1)dengan matriks A sama Secara umum, jika matriks P berordo m × p dan matriks Q berordo p × n maka matriks hasil kali PQ berordo m × n. Definisi Definisi Perkalian Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan (ditulis AB) jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Elemen-elemen pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris pada matriks A dengan elemen kolom pada matriks B. Contoh Soal 2.11 Diketahui matriks-matriks berikut. P= È-1 0˘ Q= È-3 2˘ R= È2 5 -1˘ ÍÎ 2 1˚˙ ÎÍ 5 7 ˙˚ ÎÍ4 3 0 ˚˙ Tentukan: a. PQ b. QR c. RP Jawab: a. PQ = È-1 0˘ È-3 2˘ ÎÍ 2 1˚˙ ÍÎ 5 7 ˚˙ È( (-3)) + ( ) ( )+( )˘ È3 2˘ = ÎÍ ( (-3)) + ( ) (2 ¥ 2) + (1¥ 7) ˚˙ = ÎÍ-1 11 ˙˚ b. QR = È-3 2˘ È2 5 -1˘ ÍÎ 5 7˚˙ ÎÍ4 -3 0 ˚˙ = È( ¥ ) +( ¥ 4) ( ) + ( (-3)) ( (-1) (0)˘ ÍÎ (5 2) (7 4) (5 ¥ 5) (7 ¥ ( 3)) (5 ¥ ( 1)) 7(0) ˚˙ = È2 21 3 ˘ ÎÍ38 4 5˚˙ c. RP = Hasil kali matriks R dan matriks P tidak dapat dicari karena matriks R tidak dapat dikalikan dengan matriks P (banyak kolom matriks R tidak sama dengan banyak baris matriks P).46 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Contoh Soal 2.12Diketahui matriks-matriks berikut. Pembahasan SoalA = È2 5˘ , B = È-3 2˘ , C = È4 1˘ Diketahui matriks A dan matriks B ÎÍ1 0 ˚˙ ÎÍ 1 1˙˚ ÎÍ7 2 ˙˚ berordo 2 × 2.Tentukan: Harga (A + B)2 adalah .... a. A2 + 2A·B + B2a. AB c. A(BC) b. A2 + A·B + A·B + B2 c. A·A + 2A·B + B·Bb. BA d. (AB)C d. A(A + B) + B(A + B) e. A2 + 2B·A + B2Jawab: Jawab: (A + B)2 = (A + B)(A + B)a. AB = È2 5˘ È-3 2˘ ÍÎ1 0 ˚˙ ÍÎ 1 1˚˙ = A(A + B) + B(A + B) = A·A + B·B + B·A + B·B = È( ( ( )) (-5 1) (2 ¥ 2) + ( - 5 ¥ 1)˘ = È-11 -1˘ = A2 + A·B + B·A + B2 ÎÍ ( 3)) + ( ) (1¥ 2) + (0 ¥ 1) ˚˙ ÎÍ -3 2 ˚˙ Oleh karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifatb. BA = È-3 2˘ È2 5˘ komutatif AB ≠ BA maka harga ÎÍ 1 1˚˙ ÎÍ1 0 ˚˙ (A + B)2 = A(A + B) + B(A + B) = È( )+( ) ( ( )) (2 ¥ 0)˘ = È-4 15 ˘ Jawaban: d ÎÍ ( )+( ) (1¥ ( - 5)) (1 0) ˙˚ ÎÍ 3 -5˚˙ Sumber: Sipenmaru, 1984c. A(BC) BC = È-3 2˘ È4 1˘ ÎÍ 1 1˚˙ ÎÍ7 2 ˚˙ = È( 4) + ( (-3 ¥ ( - 1)) + (2 ¥ 2)˘ = È2 7˘ ÎÍ ( 4) + ( (1¥ (-1)) (1 2) ˚˙ ÎÍ11 1˚˙ A(BC) = È2 5˘ È 2 7˘ ÍÎ1 0 ˚˙ ÎÍ11 1˚˙ = È( )+( )( )( )˘ = È-51 9˘ ÎÍ ( )+( )( )+( ) ˚˙ ÎÍ 2 7 ˚˙d. (AB)C = È-11 -1˘ È4 1˘ ÎÍ -3 2 ˚˙ ÍÎ7 2 ˚˙ = È( 4) + ( 1 ) ( (-1) (-1¥ 2)˘ ÍÎ ( 4) + ( ) (-3 ¥ (-1)) + (2 ¥ 2) ˚˙ È-51 9˘ = ÍÎ 2 7 ˚˙Dari Contoh Soal 2.12, diketahui beberapa sifat dari perkalian matriksselain sifat-sifat lainnya.Sifat-Sifat Perkalian Matriks1. AB π BA Tidak komutatif2. A(BC) = (AB)C Asosiatif3. A(B + C) = AB + AC Distributif4. (A + B)C = AC + BC Distributif5. k(AB) = kA(B) = A(kB) Asosiatif6. IA = AI = A Perkalian dengan Identitas7. (AB)t = BtAt8. (BA)t = AtBt Matriks 47

5. Perpangkatan Matriks PersegiCobalah Di Kelas X Anda telah mengenal perpangkatan suatu bilangan ataupunJika diketahui perpangkatan suatu variabel. Perpangkatan adalah perkalian berulang dari Ê 4 x - 2ˆ Ê -6 8ˆ bilangan atau variabel tersebut sebanyak bilangan pangkatnya. ËÁ 3 2 ¯˜ ËÁ -11 -6˜¯A = + Misalkan, Ê 3 1ˆ Ê 0 3ˆ 22 = 2 × 2 atau a2 = a × a ËÁ -2 4¯˜ ËÁ -1 1¯˜ 23 = 2 × 22 = 2 + a3 = a × a2 dan seterusnya. dan seterusnya.tentukanlah nilai x. Pada matriks pun berlaku aturan seperti itu. Sumber: UMPTN, 1998 Misalkan A adalah matriks persegi dengan ordo n × n maka bentuk pangkat dari matriks A didefinisikan sebagai berikut. A2 = A × A A3 = A × A2 = A × A × A An = A × An – 1 = A × A × A ... × A Sebanyak n buah Pembahasan Soal Contoh Soal 2.13 È1 0˘ Diketahui matriks ÎÍ2 3˚˙Jika A = dan I È1 2˘ ÍÎ0 1˙˚matriks satuan ordo dua maka A=A2 – 2A + 1 = .... a. Tentukan A2 dan A3a. È4 0˘ d. È0 0˘ b. Tentukan 2A3 – 3A2 ÎÍ0 4 ˙˚ ÎÍ4 4 ˚˙ Jawab: È0 0˘ È2 0˘b. ÎÍ3 4 ˙˚ e. ÎÍ4 4 ˚˙ × È1 2 ˘ È1 2˘ È1 0˘ ÍÎ0 1˚˙ ÎÍ0 1˚˙ ÎÍ0 1˙˚ È1 0˘ a. A2 = A A = 2 ˘ È1 = 2˘ ÎÍ3 4 ˙˚ 1˚˙ ÍÎ0 1˚˙c.Jawab: A3 =A × A2 = È1 0˘ = È1 ÎÍ0 1˙˚ ÎÍ0A2 = A · A = È1 0˘ È1 0˘ b. 2A3 – 3A2 = 2 È1 2˘ – 3 È1 0˘ ÍÎ2 3˚˙ ÎÍ2 3˚˙ ÍÎ0 1˚˙ ÎÍ0 1˙˚ È1 0˘ = È2 4˘ – È3 0˘ = ÎÍ8 9˚˙ ÎÍ0 2˚˙ ÍÎ0 3˚˙I matriks satuan ordo dua. È1 0˘ = È-1 4˘Berarti I = ÎÍ0 1˙˚ ÎÍ 0 -5˙˚A2 – 2A + I È1 0˘ È1 0˘ È1 0˘ Contoh Soal 2.14= ÎÍ8 9˚˙ –2 ÍÎ2 3˚˙ + ÎÍ0 1˚˙= È1 0˘ – È2 0 ˘ + È1 0˘ Diketahui matriks-matris ÎÍ8 9˚˙ ÎÍ4 6 ˚˙ ÍÎ0 1˙˚= È0 0˘ B= È2 1˘ dan D = È2x y˘ ÎÍ4 4 ˙˚ ÎÍ4 3 ˚˙ ÎÍ - z w ˚˙ Jawaban: d Tentukan nilai-nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B2 = 3D. Sumber: UMPTN, 1993 Jawab: 2B2 = 3D 2 B × B = 3D 48 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

2 È2 1˘ È2 1˘ = 3 È2x y˘ ÎÍ4 3 ˚˙ ÎÍ4 3 ˙˚ ÎÍ - z w ˙˚2 È0 5˘ = È 6x 3y ˘ ÎÍ20 5 ˚˙ ÎÍ-3 3w ˚˙È0 10˘ = È 6x 3y ˘ÎÍ40 10 ˚˙ ÎÍ-3 3w ˙˚Dengan memperhatikan elemen-elemen matriks yang seletak, diperoleh6x = 0 ¤ x = 03y = –10 ¤ y = – 10 3–3z = 40 ¤ z = – 40 33w = 10 ¤ w = 10 3Nilai w, x, y dan z yang memenuhi persamaan 2B2 = 3D adalahw = 10 , x = 0, y = – 10 dan z = – 40 . 3 33Tes Pemahaman 2.3Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 3. Carilah nilai w, x, y, dan z pada persamaan berikut.1. Carilah hasil operasi matriks berikut. a. È-5 3˘ + È4 0˘ 3 Èx 2˘ + È-1 w˘ = È8 -7 ˘ ÎÍ 4 -2˚˙ ÎÍ-7 11˚˙ ÎÍ5 4˚˙ ÎÍ y 2 ˚˙ ÎÍ1 z ˚˙ È5 3 -5˘ È3 4 1˘ 4. Diketahui matriks-matriks ÎÍ2 7 9 ˚˙ ÍÎ2 5 0˙˚ b. – A = È-1 3˘ , B = È2 1˘ , dan C = È3 1˘ ÎÍ 2 0˙˚ ÎÍ-1 2˙˚ ÎÍ-2 2 ˚˙ È3˘ È-2˘ Tentukan nilai : c. 2 ÎÍ-5˚˙ + 3 ÍÎ 4 ˙˚ a. A · B d. BtAt b. (B + C)A e. A(BC) d. È2 1˘ È1˘ c. (3A)(2B) ÎÍ3 0 ˚˙ ÎÍ2˚˙ 5. Diketahui matriks-matriks2. Carilah matriks X, yang memenuhi P = È1 1˘ , Q = È1 2˘ dan R = È-1 0˘ ÎÍ2 0 ˚˙ ÎÍ2 -1˚˙ ÍÎ 1 1˙˚ È-2 5˘ È-4 5˘ Tentukan nilai: 4 ÎÍ 3 4˙˚ + 2 X = 7 ÎÍ 2 -1˚˙ a. 2P + Q2 – 3R c. P2 – Q2 b. (P – Q)(P + Q) d. (P – Q)(P + Q) = P2 + Q2D. Determinan dan Invers MatriksPengalaman mempelajari subbab sebelumnya akan dipergunakan dalammempelajari determinan dan invers matriks pada subbab ini.1. Determinan Matriks PersegiPada bagian sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitumatriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasanmateri determinan matriks persegi yang dibahas di buku ini dibatasi hanyasampai matriks 3 × 3. Matriks 49

a. Determinan Matriks 2 × 2 Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2× 2 dengan bentuk A= Èa b ˘ . ÎÍ c d ˚˙Cobalah DefinisiJika A =Í 2x3+ 1 x - 1 Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen- x elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|.maka jumlah semua nilaix, Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.sehingga A = 27 adalah ....Sumber: SPMB, 1976 Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu: Èa ˘ diagonal sekunder ÍÎ c ˚˙ det A = |A| = b =a×d–b×c= ad – bc d diagonal utama Contoh Soal 2.15 Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut P= È 2 3˘ È3 2˘ È -2 3z ˘ ÎÍ 1 0˚˙ Q = ÎÍ a 1 ˚˙ R = ÎÍ-10 y - y ˚˙ Jawab: det P = -2 3 = (–2 × 0) – (1 × 3) = 0 – 3 = –3 10 det Q = 3 2 = (3a × 1) – (a × (–2)) = 3a + 2a = 5a a1 det R = -2 3z = (–2z × (–y)) – (–10y × 3z) = 2yz + 30yz = 32yz -10 y - y Contoh Soal 2.16 Diketahui matriks A = È2a 10 4˘ . ÎÍ -3 a ˚˙ Hitunglah nilai-nilai a yang memenuhi det A = 0. Jawab: det A = 0 det A = 2a 10 4 = ((2a – 10) × a) – (–3 × 4) = 2a2 – 10a + 12 -3 a Oleh karena det A = 0 maka 2a2 – 10a + 12 = 0 1 a2 – 5a + 6 = 0 kedua ruas dikali 2 (a – 2)(a – 3) = 0 a – 2 = 0 atau a – 3 = 0 a = 2 atau a = 3 Jadi, nilai a yang memenuhi det A = 0 adalah 2 dan 3.50 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

b. Determinan Matriks 3 × 3 CobalahPada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3. Jika det Èt -2 -3 ˘ = 0 ,Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk ÎÍ -4 t - 1˚˙A = ÈÍÍaa1211 a12 a13 ˘ tentukan nilai t yang memenuhi a22 a23 ˙ ˙ persamaan tersebut. ÍÎa31 a32 a33 ˚˙ dari matriks persegi berordo 3 × 3, akanUntuk mencari determinandigunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkah-langkah yang harus Anda lakukan untuk mencari determinan matriksberordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelahkanan tanda determinan.2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utamadan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar).Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Du = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a323. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunderdan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar).Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Ds = a31 a22 a13 + a32 a23 a31 + a33 a21 a124. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan darimatriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds. a11 a12 a13 a11 a12det A = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a31 + a33 a21 a12)Contoh Soal 2.17 È-3 4 2˘ Í 1 ˙Diketahui matriks A = Í 2 0 3 ˙ . Tentukan nilai determinan matriks A.Jawab: ÎÍ 1 -1˙˚ -3 4 2 -3 4det A = 2 1 3 2 1 1 0 -1 1 0= [(–3 × 1 × (–1)) + (4 × 3 × 1) + (2 × 2 × 0)] – [(1 × 1 × 2) + (0 × 3 × (–3)) + (–1 × 2 × 4)]= (3 + 12 + 0) – (2 + 0 – 8) = 21Jadi, nilai determinan matriks A adalah 21. Matriks 51

2. Invers Matriks PersegiPada bagian D.1, Anda telah mempelajari determinan dari suatu matrikspersegi. Konsep determinan tersebut akan dipergunakan untuk mencariinvers dari suatu matriks. Pembahasan dibatasi hanya untuk matrikspersegi ordo 2 × 2. Ketika di SMP, Anda telah mempelajari operasi hitung pada bilangan.Pada saat mempelajari konsep tersebut, Anda dikenalkan dengan istilahinvers (kebalikan) bilangan. Suatu bilangan jika dikalikan dengan inversnyaakan menghasilkan unsur identitas. Senada dengan hal tersebut, dalamaljabar matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Ketika Anda mengalikansuatu matriks dengan matriks inversnya, akan dihasilkan identitas, yangdalam hal ini adalah matriks identitas. Sebagai ilustrasi bagi Anda, perhatikanlah perkalian matriks-matriksberikut.• Misalkan A = È-3 -1˘ dan B = È-2 -1˘ maka ÎÍ 5 2 ˚˙ ÎÍ 5 3 ˙˚ AB = È-3 -1˘ È-2 -1˘ ÎÍ 5 2 ˙˚ ÎÍ 5 3 ˙˚ = È6 5 3 3˘ ÎÍ-10 + 10 -5 6˚˙ = È1 0˘ = I2 ÎÍ0 1˚˙ Perkalian AB menghasilkan I2 (matriks identitas berordo 2 × 2)• Misalkan P = È-7 2˘ dan Q = È1 2˘ maka ÍÎ 4 1˚˙ ÎÍ4 7 ˚˙ PQ = È-7 2˘ È1 -2˘ ÍÎ-4 1˚˙ ÎÍ4 -7 ˚˙ = È-7 + 8 14 - 14˘ = È1 0˘ = I2 ÍÎ-4 + 4 8 - 7 ˚˙ ÎÍ0 1˙˚Perkalian PQ menghasilkan I2. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Andaingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriksidentitas (AB = I ) Ini menunjukkan matriks B merupakan matriksinvers dari matriks A, yaitu B = A–1 atau bisa juga dikatakan bahwamatriks A merupakan invers dari matriks B, yaitu A = B–1. Begitu pulauntuk perkalian matriks P dan matriks Q berlaku hal serupa. Dengan demikian, didapatkan definisi dari invers matriks.Definisi Definisi Invers Matriks Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB = BA = I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.52 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Contoh Soal 2.18 Diketahui matriks-matriks berikut. A = È-1 -2˘ C = È-1 2˘ B= È1 2˘ D= È1 0˘ ÍÎ 1 1 ˙˚ ÎÍ 0 1˚˙ ÎÍ-1 1˚˙ ÎÍ-2 1˚˙ Tentukan: a. Apakah matriks B merupakan invers dari matriks A? b. Apakah matriks C merupakan invers dari matriks D? Jawab: a. Matriks B merupakan invers dari matriks A jika memenuhi persamaan AB = I AB = È-1 -2˘ È 1 2˘ = È-1+ 2 -2 + 2˘ = È1 0˘ =I ÍÎ 1 1 ˚˙ ÎÍ-1 -1˚˙ ÎÍ 1- 1 2 - 1 ˙˚ ÎÍ0 1˚˙ Oleh karena AB = I maka matriks B merupakan invers dari matriks A. b. Matriks C merupakan invers dari matriks D jika memenuhi persamaan CD = I CD = È-1 2˘È 1 0˘ = È-1- 4 0 + 2˘ = È-5 2˘ π I ÎÍ 0 1˚˙ ÍÎ-2 1˚˙ ÍÎ 0 - 2 0 + 1˙˚ ÎÍ-2 1˚˙ Oleh karena CD π I maka matriks C bukan invers dari matriks D.Setelah Anda memahami definisi invers matriks, selanjutnya akandiperlihatkan kepada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2sebagai berikut.Misalkan A = Èa b˘ dan B= Èp q ˘ . Jika B = A–1, bagaimana hubungan ÎÍ c d ˚˙ ÎÍ r s ˙˚antara elemen-elemen pada matriks A dan elemen-elemen pada matriks B?Untuk menjawabnya, Anda mulai dari B = A–1, dengan demikian AB = I. Èa b˘Èp q˘ = È1 0˘ ÎÍ c d ˚˙ ÎÍ r s ˙˚ ÎÍ0 1˚˙ Èap + br aq + bs ˘ È1 0˘ ÎÍcp + dr aq + ds ˚˙ = ÎÍ0 1˚˙Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda perolehap + br = 1 ... (1) aq + bs = 0 ... (3)cp + dr = 0 ... (2) cq + ds = 1 ... (4)Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear (1) dengan (2) dan (3)dengan (4), diperolehp= d q = -b ad - bc ad - bcr = -c s= a ad - bc ad - bcDengan demikian, Èd -b ˘ Èp q˘ Í ˙ Èd b˘B = A–1 = ÎÍ r s ˚˙ = Í ad - bc ad - bc ˙ = 1 ) ÎÍ-c a ˚˙ Í -c a ˙ db ( ÎÍ ad - bc ad - bc ˚˙ Matriks 53

Jadi, B = A–1 = 1 Èd b ˘ , dengan ad – bc π 0 ) ÎÍ-c a ˙˚ ( d b Oleh karena ad – bc = det A, maka A–1 = 1 Èd b˘ det A ÎÍ-c a ˚˙Catatan Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2A–1 terdefinisi jika Misalkan A = È d ˘ , invers dari A adalah A–1, yaitu ÎÍ c ˚˙det A π 0, artinya suatu 1 Èd ˘ A–1 = det A ÎÍ-c b ˚˙ , dengan det A π 0matriks A mempunyai invers ajika determinan matriks Atersebut tidak sama dengan nolCobalah Contoh Soal 2.19Jika M–2 adalah invers Tentukan invers dari matriks-matriks berikut.matriks 1 È-1 4˘ , È ˘ È1 5 ˘ 5 ÍÎ 2 3 ˙˚ a. D= ÎÍ-7 11 ˚˙ b. W= Í ˙ Í 2 ˙tentukan M È x ˘ Jawab: ÎÍ 4 22 ˚˙ ÎÍ y ˚˙ a. det D = 3 6 = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9 -7 11 ÈÍ- 11 6 ˘ D–1 = 1 È11 6˘ = 1 È11 6˘ = Í 9 - 9 ˙ det D ÎÍ 7 3˚˙ -9 ÍÎ 7 3˚˙ ˙ Í 7 3 ˙ ÎÍ - 9 - 9 ˚˙ = ÈÍ- 11 - 2 ˘ Í 9 3 ˙ ˙ Í 7 1 ˙ ÎÍ - 9 - 3 ˚˙ b. 1 5 = 1 (22) - 4(5) = 1 det W = 2 22 2 4 W–1 = 1 È22 -5˘ 1 È22 -5˘ È22 -5˘ detW Í ˙ = 1 Í ˙ = Í ˙ ÍÍÎ-4 1 ˙˚˙ ÍÎÍ-4 1 ˚˙˙ ÍÍÎ-4 1 ˙˙˚ 2 2 2 Contoh Soal 2.20 Tentukan invers dari matriks-matriks berikut, jika ada. a. A= È 2˘ b. B= È6 3˘ ÎÍ 5 1˙˚ ÎÍ4 2˙˚ Jawab: a. Periksa nilai determinan dari matriks A. det A = 11 2 = 11(1) – 5(2) = 1 51 Oleh karena det A ≠ 0 maka matriks A memiliki invers A–1 = 1 È1 2˘ = 1 È1 2˘ det A ÎÍ-5 11 ˚˙ 1 ÎÍ-5 11 ˚˙54 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

b. Periksa nilai determinan dari matriks B Catatan det B = 6 3 = 6(2) – 4(3) = 0 42 • Matriks yang tidak memiliki Oleh karena det B = 0 maka matriks B tidak memiliki invers invers (determinannya nol) disebut matriks singular.Sifat-Sifat Invers suatu MatriksMisalkan A dan B adalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB • Matriks yang memilikidan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. invers (determinannya tidak1. (AB)–1 = B–1 · A–1 sama dengan nol) disebut2. (BA)–1 = A–1 · B–1 matriks nonsingularUntuk lebih memahami sifat-sifat invers matriks tersebut, pelajarilahcontoh-contoh berikut.Contoh Soal 2.21Diketahui matriks-matriks berikut. Pembahasan SoalA= È1 0˘ dan B = È -1 2˘ Jika invers A= Èa 1 + a˘ ÎÍ2 1˚˙ ÎÍ-3 5˚˙ ÎÍ0 a ˚˙Tentukan: adalah A-1 = È1 b˘ maka ÎÍ0 1˚˙a. A–1 f. BAb. B–1 g. (AB)–1 konstanta b adalah ....c. A–1 · B–1 h. (BA)–1 a. –4 d. –1d. B–1 · A–1 i. Apa kesimpulan yang diperoleh? b. –2 e. 1e. AB c. –1 Jawab:Jawab: A = Èa 1 + a˘ ÎÍ0 a ˙˚a. det A = 1 0 = 1(1) – 2(0) = 1 21 A–1 = 1 Èa 1 a˘ det A ÍÎ0 a ˙˚ A–1 = 1 È1 0˘ = 1 È1 0˘ = È1 0˘ det A ÎÍ-2 1˚˙ 1 ÎÍ-2 1˙˚ ÍÎ-2 1˚˙ 1 Èa 1 a˘ = a2 ÎÍ0 a ˚˙b. det B = -1 2 = –1(5) – (–3)(2) = 1 È1 1 - a˘ -3 5 Í ˙ = Í a a2 ˙ B–1 = 1 È5 2˘ = 1 È5 2˘ = È5 2˘ ÍÎ 0 a ˚˙ det B ÎÍ3 1˙˚ 1 ÎÍ3 1˚˙ ÎÍ3 1˙˚ Oleh karena A-1 = È1 b˘ maka ÍÎ0 1˚˙ È1 0˘ È5 2˘ È5 0 -2 0˘ È5 2˘c. A–1 · B–1 = ÎÍ-2 1˚˙ ÎÍ3 1˚˙ = ÎÍ-10 + 3 4 - 1 ˙˚ = ÎÍ-7 3 ˚˙ 1 = 1 ¤ a 1 a Dengan demikian,d. B–1 · A–1 = È5 2˘È 1 0˘ = È5 4 0 2˘ b = -1 - a = -1 - 1 = -2 ÎÍ3 1˚˙ ÎÍ-2 1˚˙ ÎÍ3 2 0 1˚˙ a2 12 Jadi, nilai konstanta b adalah –2 = È9 2˘ Jawaban: b ÎÍ5 1˙˚ Sumber: SMPB, 2007e. AB = È1 0˘ È-1 2˘ = È-1+ 0 2 + 0˘ ÎÍ2 1˚˙ ÎÍ-3 5˙˚ ÎÍ-2 - 3 4 + 5˚˙ = È -1 2˘ ÍÎ-5 9˚˙ Matriks 55

Pembahasan Soal f. BA = È -1 2˘ È1 0˘ = È -1+ 4 0 + 2˘ = È3 2˘ ÎÍ-3 5˚˙ ÍÎ2 1˚˙ ÎÍ-3 + 10 0 + 5˚˙ ÎÍ7 5˙˚Diketahui = È1 2˘ dan ÎÍ3 4 ˚˙ g. det AB = -1 2 = –1(9) – (–5)(2) = 1B = È-6 -5˘ .  -5 9 ÎÍ 5 4 ˚˙ 1 È9 2˘ 1 È9 2˘ È9 2˘Nilai dari (AB)-1 = .... (AB)–1 = det AB ÎÍ5 1˚˙ = 1 ÎÍ5 1˚˙ = ÎÍ5 1˚˙Jawab:AB = È1 2˘ È-6 5˘ h. det BA = 32 = 3 (5) – 7 (2) = 1 ÍÎ3 4˙˚ ÎÍ 5 4 ˙˚ 75 È4 3˘ = ÎÍ2 1˙˚ (BA)–1 = 1 È5 2˘ 1 È5 2˘ È5 2˘ det BA ÎÍ-7 3 ˚˙ 1 ÎÍ-7 3 ˚˙ ÎÍ-7 3 ˚˙ = = 1 È1 3˘ i. Berdasarkan hasil dari poin a sampai h, kesimpulan yang didapat(AB)–1 = ) ÎÍ-2 4 ˚˙ det ( 1 È 1 3˘ adalah = 4 6 ÎÍ-2 4 ˚˙ 1. (AB)–1 = B–1 · A–1 = - 1 È1 -3˘ 2. (BA)–1 = A–1 · B–1 2 ÎÍ-2 4 ˙˚ 3. (AB)–1 ≠ (BA)–1 = ÎÍÍÍÈ-112 11 ˘ Contoh Soal 2.22 2 ˙ ˚˙˙ -2Jadi, (AB)–1 = ÍÎÈÍÍ-112 11 ˘ Jika A = È2 5˘ , tentukan nilai x agar matriks A merupakan matriks 2 ˙ ÍÎ-2 4˚˙ ˚˙˙ singular. -2 Jawaban: e ÎÍÍÈÍ-112 11 ˘ Jawab: 2 ˙ ˙˚˙ Syarat agar A singular adalah det A = 0.det A = È ˘ = (2x)(4) – (–2) -2 (5) = 8x + 10 = 0 ÎÍ-2 ˚˙ Sumber: UMPTN, 1995 4 8x + 10 = 0 8x = –10 x = -10 8 =–5 4 Jadi, nilai x yang memenuhi agar matriks A singular adalah – 5 . 4Tes Pemahaman 2.4Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1. Dengan menggunakan kata-kata sendiri, jelaskan 3. Tentukan apakah matriks-matriks berikut memiliki apa yang dimaksud dengan: invers. Jika ya, tentukan inversnya. a. determinan suatu matriks, b. dua matriks yang saling invers. a. È1 0˘ c. È-3 -1˘ ÍÎ2 3˚˙ ÍÎ 6 2 ˚˙2. Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks È1 1 ˘ berikut. Í - 4 ˙ È10 5˘ ÎÍÍ ˙˙˚ ÍÎ 4 2˚˙ È-5 3 -2˘ b. 2 d. 0 a. È-5 7 ˘ c. Í 4 1 -1˙˙ 2 ÎÍ 9 -4˚˙ Í ÎÍ 2 0 3 ˙˚ È 5 3˘ È4 8˘ È-11 1˘ 4. Diketahui P = ÎÍ x - 2 7 ˚˙ dan Q= ÎÍ5 2 ˚˙ ÎÍ 2 4˚˙ b. Jika det P = det Q, tentukan nilai x.56 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

5. Di bawah ini merupakan matriks-matriks singular, 6. Diketahui matriks-matriks berikut. tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi. È-2 5˘ È7 1˘ È-3 -x ˘ È3 2 8˘ P = ÎÍ 3 1˚˙ Q = ÍÎ2 1 ˚˙ ÍÎ 2 1 ˚˙ ÎÍ 6 1˙˚a. c. Tentukan:b. È2 y 5˘ a. (PQ)–1 ÍÎ 4 2˚˙ b. P–1Q–1E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua VariabelPada bagian ini, Anda akan mempelajari lebih lanjut tentang pe- Pembahasan Soalnyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Namun sebelumnya,pelajarilah terlebih dahulu bagaimana mencari matriks dari persamaan Jika B = È1 2˘ danAX = B dan XA = B. ÎÍ3 5˚˙ Misalkan A, B, dan X adalah matriks persegi berordo 2 × 2 dan A matriks AB–1 = È 2 1˘ , maka A = ....non singular. Persamaan AX = B dan XA = B dapat diselesaikan dengan ÎÍ 4 3˚˙menggunakan konsep invers matriks yang Anda pelajari pada subbab Dsebelumnya. a. È5 9˘ d. È13 5˘ ÎÍ13 23˚˙ ÎÍ 2 10˚˙ Dalam hal ini, konsep yang digunakan adalah A–1A = AA–1 = I. b. È5 3˘ e. È9 5˘Kasus 1 untuk AX = B ÎÍ9 13˚˙ ÎÍ13 3˚˙AX = BA–1AX = A–1B Kedua ruas dikalikan invers matriks A yaitu A–1 dari kiri.Oleh karena A–1A = I maka diperolehIX = A–1 BX = A–1 B karena I X = XJadi, jika A X = B, maka X = A–1 BKasus 2 untuk XA = BXA = BXA A–1 =B A–1 Kedua ruas dikalikan invers matriks A yaitu A–1 dari kanan.Oleh karena A A–1 = I maka diperolehXI = B A–1X = B A–1 karena XI = XJadi, jika XA = B, maka X = B A–1Contoh Soal 2.23 c. È3 5 ˘ ÎÍ9 23˙˚ È ˘ È-3 2˘ Jawab:Misalkan A = ÍÎ6 1˙˚ ÎÍ -1 0˚˙ , tentukanlah matriks X yang berordo dan B = Misalkan C = È2 1˘ maka AB–1 = C ÎÍ4 3˚˙2 × 2 yang memenuhi persamaan AB–1 B = CBa. AX = B AI = CB karena B–1 B = Ib. XA = B A = CBJawab: È2 1˘ È1 2˘ = ÎÍ4 3˚˙ ÎÍ3 5˚˙ È7 1˘ 71A = ÎÍ6 1˚˙ maka det A = 6 1 = 7 (1) – 6 (1) = 1 = È5 9˘ ÎÍ13 23˚˙A–1 = 1 È1 1˘ = 1 È1 1˘ = È1 1˘ Jawaban: a det A ÎÍ-6 7 ˙˚ 1 ÎÍ-6 7 ˚˙ ÎÍ-6 7 ˚˙ Sumber: UMPTN, 1990 Matriks 57

a. AX = B ¤ X = A–1B X= È1 1˘ È-3 2˘ = È-2 2˘ ÎÍ-6 7 ˚˙ ÍÎ-1 0˚˙ ÎÍ11 -12˚˙ b. XA = B ¤ X = BA–1 X = È-3 2˘ È 1 1˘ = È-15 17 ˘ ÎÍ -1 0˙˚ ÍÎ-6 7 ˚˙ ÍÎ -1 1 ˚˙ Sebelumnya Anda pasti telah mengenal beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, di antaranya adalah metode grafik, metode subtitusi, metode eliminasi, dan gabungan antara metode subtitusi eliminasi. Pada subbab ini akan dibahas dua metode lagi untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Dua metode tersebut adalah 1. metode Invers Matriks, 2. metode Determinan. 1. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks Untuk memahami penggunaan invers matriks dalam mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, pelajari uraian berikut. Misalkan diketahui sistem persamaan linear berikut. 3x 4y = 10¸ ... (1) 2x 3y = ˝ 7 ˛ Sistem persamaan (1) akan diselesaikan dengan menggunakan invers matriks. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. a. Nyatakan sistem persamaan linear tersebut ke dalam bentuk matriks sehingga diperoleh È3x 4y ˘ = È10˘ ¤ È3 4˘ È x ˘ = È10˘ ÎÍ2x 3y ˚˙ ÎÍ 7 ˚˙ ÎÍ2 3˙˚ ÎÍ y ˚˙ ÎÍ 7 ˚˙Catatan b. Tentukan matriks koefisien serta nilai determinannya. MisalkanJika det A = 0 maka sistem matriks koefisien dari sistem (1) diberi nama A, makapersamaan linear AX = Bataupun XA = B A = È3 4˘ dan det A= È3 4˘ = 9 – 8 =1tidak memiliki penyelesaian ÎÍ2 3˚˙ ÎÍ2 3˚˙ È ˘ È10˘ dan misalkan X = ÎÍ x ˚˙ , B = ÍÎ 7 ˙˚ y c. Tentukan invers dari matriks koefisiennya. Invers dari matriks A adalah A–1 = 1 È3 4˘ = È3 4˘ 1 ÎÍ-2 3 ˙˚ ÎÍ-2 3 ˚˙ d. Gunakan konsep jika AX = B maka X = A–1B dan jika XA = B maka X = BA–1. Dalam hal ini, sistem (1) memenuhi persamaan AX = B maka X = A–1B X = Èx˘ = È3 -4˘ È10˘ = È2 ˘ ÍÎ y ˚˙ ÎÍ-2 3 ˚˙ ÎÍ 7 ˚˙ ÍÎ1 ˚˙ Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear pada sistem (1) adalah x = 2 dan y = 1.58 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Contoh Soal 2.24Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan Cobalahmenggunakan metode invers matriks5x – 3y = 3 Perhatikan SPL berikut.4x – 2y = 4 a1 x + b1 y = c1Jawab: a2 x + b2 y = c2Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebutdengan menggunakan metode invers matriks, terapkanlah langkah-langkah Jika D = a1b2 – a2b1 ≠ 0,yang telah dibahas sebelumnya. gunakan matriks untuk menunjukkan bahwa penyelesaiannya adalahLangkah 1: x = 1 (c b -c b ) DÈ5 3˘ È x ˘ = È3˘ , misal A = È5 -3˘ , B = È3˘ , dan X = Èx˘ y = 1 (a c -a c )ÎÍ4 2˚˙ ÎÍ y ˚˙ ÎÍ4˚˙ ÍÎ4 -2˚˙ ÎÍ4˚˙ ÎÍ y ˙˚ DLangkah 2: Tunjukkan pula SPL tidak punyaA = È5 -3˘ , maka det A = È5 -3˘ = –10 – (–12) = 2 penyelesaian jika a1c2 ≠ a2c1, ÍÎ4 -2˙˚ ÎÍ4 -2˚˙ dan punya banyak penyelesaian jika a1c2 = b1c2 dan b1c2 = b2c1Langkah 3: Sumber: Ebtanas, 1998A–1 = 1 È-2 3˘ 2 ÎÍ-4 5˚˙Langkah 4:X= 1 È-2 3˘ È3˘ = 1 È6˘ 2 ÎÍ-4 5˙˚ ÎÍ4˚˙ 2 ÍÎ8˚˙Èx˘ = È3˘ÎÍ y ˚˙ ÎÍ4˚˙x = 3 dan y = 4Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 4)}.Contoh Soal 2.25 Imas dan Dewi pergi belanja ke pasar. Imas membeli 3 kg kentang dan 2 kg wortel, untuk itu Imas harus membayar Rp13.500,00. Adapun Dewi membeli 2 kg kentang dan 1 kg wortel. Dewi diharuskan membayar Rp8.500,00. Misalkan harga 1 kg kentang adalah a rupiah dan harga 1 kg wortel b rupiah. a. Buatlah model matematika dari masalah tersebut dalam bentuk sistem persamaan linear dua variabel dalam variabel a dan b. b. Tentukan penyelesaian dari model matematika pada soal a dengan menggunakan metode invers matriks. c. Berdasarkan jawaban pada soal b jika Rani membeli 4 kg kentang dan 5 kg wortel, berapakah besarnya uang yang harus dibayar oleh Rani? Jawab: a. Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel berikut. Kentang Wortel Harga yang Dibayar Imas 3 2 13.500 Dewi 2 1 8.500 Misalkan harga 1 kg kentang = a rupiah Dan misalkan pula harga 1 kg wortel = b rupiah Matriks 59

Sistem persamaan linear dari model tersebut adalah 3a 2b = 13.500¸ ...(1) 2 b ˝ 8.500 ˛ b. Penyelesaian dari sistem persamaan linear (1) dengan menggunakan metode invers matriks adalah sebagai berikut. Bentuk matriks dari sistem persamaan linear (1) adalah È3 2˘ Èa˘ = È13.500˘ ÎÍ2 1˚˙ ÍÎb ˚˙ ÍÎ 8.500 ˚˙ AX B 32 det A = 2 1 = 3 – 4 = –1 A–1 = 1 È1 2˘ = 1 È1 2˘ = –1 È1 2˘ det A ÍÎ-2 3 ˙˚ -1 ÎÍ-2 3 ˙˚ ÍÎ-2 3 ˚˙ = È-1 2˘ ÎÍ 2 -3˚˙ X = A–1B X = È-1 2˘ È13.500˘ = È-13.500 + 17.000˘ = È2.500˘ ÎÍ 2 -3˚˙ ÍÎ 8.500 ˙˚ ÎÍ 27.000 - 25.500 ˚˙ ÎÍ1.500 ˙˚ Oleh karena X = Èa˘ maka ÎÍb ˚˙ a = 2.500 b = 1.500 c. Besarnya uang yang harus dibayar Rani = 4a + 5b = 4 (2.500) + 5 (1.500) = 10.000 + 7.500 = 17.500 Jadi, besarnya uang yang harus dibayar Rani adalah Rp17.500,00. 2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan DeterminanCobalah Selain digunakan dalam mencari nilai invers dari suatu matriks, determinan dapat pula digunakan dalam mencari penyelesaian sistem persamaan linear.Diketahui sistem persamaanberikut. Perhatikan sistem persamaan linear berikut.Ï 3x 2y - z = 3ÌÔ- x + 2 y 4z = -3 a1x + b1 y = c1 ¸ÔÓ x 2 y 3z = 4 a2 x + b2 y = c2 ˝Tentukanlah penyelesaian ˛sistem persamaan linear berikut Sistem persamaan linear tersebut, jika diselesaikan akan diperoleh nilai-dengan aturan cramer nilai x dan y sebagai berikut: Sumber: Ebtanas, 1995 x = c1b2 - c2b1 a1b2 - a2b1 y = a1c2 - a2c1 a1b2 - a2b1 Bentuk-bentuk (c1b2 – c2b1), (a1b2 – a2b1), dan (a1c2 – a2c1) jika dinyatakan dalam bentuk determinan adalah sebagai berikut: • c1b2 – c2b1 = c1 b1 c2 b260 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

• a1b2 – a2b1 = a1 c1 a2 c2• a1c2 – a2c1 = a1 c1 a2 c2 Dengan demikian, nilai x dan nilai y jika dinyatakan dalam bentukdeterminan adalah sebagai berikut c1 b1 a1 c1 c2x = c2 b2 dan y = a2 a1 b1 a1 b1 b2 a2 b2 a2atau Dy Dx= Dx dan y = Ddengan:• D = a1 b1 , yaitu determinan dari matriks koefisien x dan y a2 b2• Dx = c1 b1 , yaitu determinan dari matriks koefisien x dan y yang c2 b2 kolom pertamanya diganti oleh konstanta c1 dan c2• Dy = a1 c1 , yaitu determinan dari matriks koefisien x dan y yang a2 c2 kolom keduanya diganti oleh konstanta c1 dan c2 Berdasarkan uraian tersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Misalkan diberikan sistem persamaan linear dua variabel Catatan Paa21exxn++yebble21syya==iancc21 dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = Dx dan y = Dy , dengan D ≠ 0 Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan DD metode determinan, tidak akan didapat penyelesaiannya jika nilai determinannya sama dengan nol. Metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel cara terse-but dikenal sebagi metode Cramer.Contoh Soal 2.26 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear variabel berikut dengan menggunakan metode determinan 3x – y = –2 –2x + 5y = –12 Jawab: Misalkan, A matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut A = È3 -1˘ ÎÍ-2 5 ˚˙ D = det A = È3 -1˘ = 15 – 2 = 13 ÎÍ-2 5 ˚˙ Matriks 61

Oleh karena det A ≠ 0 maka metode determinan bisa digunakan 5 -1x= Dx = -12 5 = 13 = 1 D 13 13 35y= Dy = -2 -12 = -26 = -2 D 13 13Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x = 1 dan y = –2Contoh Soal 2.27 Dani dan Firman bekerja di perusahaan yang sama. Dalam seminggu, Dani bekerja 5 hari dan 4 hari lembur, untuk itu upah yang diterimanya dalam seminggu itu Rp260.000,00. Adapun Firman bekerja 6 hari dan 3 hari lembur, upah yang diterimanya Rp285.000,00. Jika Ade bekerja di perusahaan yang sama, berapakah upah yang diterima Ade jika Ade bekerja 4 hari dan 4 hari lembur? Jawab: Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel berikut. Kerja Lembur Besarnya UpahDani 5 4 260.000Firman 6 3 285.000Misalkan kerja per harinya dinyatakan dengan x, dan lembur per harinyadinyatakan dengan ySistem persamaan linear dari model tersebut adalah 5x + 4y = 260.000 6x + 3y = 285.000 Misalkan, A matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut A= È5 4˘ ÍÎ6 3˚˙ det A = 5 4 = 15 – 24 = –9 63 Oleh karena det A ≠ 0 maka metode determinan bisa digunakan 26.0000 4 x = 28.5000 3 = -36.0000 = 40.000 -9 -9 5 26.0000 y = 6 28.5000 = -13.5000 = 15.000 -9 -9 Diperoleh x = 40.000 dan y = 15.000 Model matematika dari masalah Ade adalah 4x + 4y 4x + 4y = 4 (40.000) + 4 (15.000) = 160.000 + 60.000 = 220.000Jadi, upah yang diterima Ade setelah bekerja 4 hari dan 4 hari lemburadalah Rp220.000,00.62 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Metode determinan dapat pula digunakan dalam menyelesaikan Pembahasan Soalsistem persamaan linear tiga variabel. Perhatikan uraian berikut. Jika (a, b, c) adalah solusi Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabel berikut. sistem persamaan linear a1x + b1y + c1z = d1 x + y + 2z = 9 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 2x + 4y – 3z = 1 Dengan melakukan cara yang sama seperti pada sistem persamaan 3x + 6y – 5z = 0linear dua variabel, diperoleh penyelesaian sebagai berikut. maka a + b + c = .... a. 6 d. 9 b. 7 e. 10 c. 8 x = Dx , y = Dy , z = Dz Jawab: DD D Misalkan A matriks koefisien dari sistem persamaan lineardengan tersebut. a1 b1 c1 È1 1 2 ˘• D = a2 b2 c2 , yaitu determinan dari matriks koefisien x, y, dan z. A = ÍÍ2 4 -3˙˙ a3 b3 c3 ÎÍ3 6 -5˚˙d1 b1 c1 È1 1 2 ˘ 1 1 det A = ÍÍ2 4 -3˙˙ 2 4 = -1• Dx = d2 b2 c2 , yaitu determinan dari matriks koefisien x, y, dan z ÎÍ3 6 -5˚˙ 3 6d3 b3 c3 yang kolom keduanya diganti dengan konstanta d1, È9 1 2 ˘ 9 1 d2, dan d3. Dx = ÍÍ1 4 -3˙˙ 1 4 = -1a1 d1 c1 ÎÍ0 6 -5˚˙ 0 6• Dy = a2 d2 c2 , yaitu determinan dari matriks koefisien x, y, dan z È1 9 2 ˘ 1 9 a3 d3 c3 yang kolom keduanya diganti dengan konstanta d1, Dy = ÍÍ2 1 -3˙˙ 2 1 = -2 d2, dan d3. ÍÎ3 0 -5˚˙ 3 0 È1 1 9˘ 1 1 Dz = ÍÍ2 ˙a1 b1 d1 4 1 ˙ 2 4 = -3• Dz = a2 b2 d2 , yaitu determinan dari matriks koefisien x, y, dan z ÎÍ3 6 0˙˚ 3 6a3 b3 d3 yang kolom ketiganya diganti dengan konstanta d1, x = Dx = -1 =1 d2, dan d3. D -1 y= Dy = -2 = 2 D -1Contoh Soal 2.28 z= Dz = -3 =3 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear variabel berikut dengan D -1 menggunakan metode determinan 2x – y + 2z = –2 Dengan demikian, diperoleh 3x + 2y – z = 0 –x + y + z = 4 penyelesaian Jawab: (a, b, c) = (x, y, z) = (1, 2, 3) Misalkan A matriks koefisien dari sistem persamaan linear tersebut Jadi, nilai 2 12 a+b+c=1+2+3=6 A = 3 2 -1 -1 1 1 Jawaban: a 2 1 22 1 Sumber: SPMB, 2007 D = det A = 3 2 -1 3 2 = 4 – 1 + 6 + 4 + 2 + 3 = 18 -1 1 1 -1 1 -2 -1 2 -2 -1 Dx = 0 2 -1 0 2 = –4 + 4 + 0 – 16 – 2 + 0 = –18 4 1 14 1 Matriks 63

2 2 22 2 Dy = 3 0 -1 3 0 = 0 – 2 + 24 + 0 + 8 + 6 = 36 -1 4 1 -1 4 2 1 -2 2 1 Dz = 3 2 0 3 2 = 16 + 0 – 6 – 4 + 0 + 12 = 18 -1 1 4 -1 1 x = Dx = -18 = –1 D 18 y = Dy = 36 = 2 D 18 z = Dz = 18 = 1 D 18 Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = –1, y = 2, dan z = 1. Tugas 2.2 Bersama teman sebangkumu, carilah masalah dalam kehidupan sehari- hari yang bisa dimodelkan ke dalam bentuk sistem persamaan linear tiga variabel, kemudian tentukan penyelesaiannya dengan menggunakan metode determinan. Presentasikan hasilnya di depan kelas.Tes Pemahaman 2.4Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1. Jika X matriks berordo 2 × 2, tentukan matriks X 4. Rian dan Anwar bekerja pada perusahaan yang sama. Minggu kemarin mereka melaksanakan pertemuanyang memenuhi persamaan berikut. selama seminggu di luar kota sehingga keduanya harus menginap di hotel. Selama seminggu tersebuta. È1 2˘ X = È1 5˘ mereka menginap di dua hotel. Rian menginap di ÎÍ-1 0˚˙ ÎÍ4 1˙˚ hotel A selama 4 hari dan di hotel B selama 3 hari, sedangkan Anwar menginap di hotel A selama 2 harib. X È4 2˘ = È8 1˘ dan sisanya dari 1 minggu tersebut Anwar menginap ÎÍ0 1˚˙ ÎÍ-12 -1˚˙ di hotel B. Jika biaya penginapan yang dihabiskan Rian selama seminggu tersebut Rp2.250.000,00 dan2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem biaya penginapan Anwar Rp2.000.000,00, tentukan tarif dari masing-masing penginapan per harinya.persamaan linear berikut dengan menggunakan 5. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linearmetode invers mariks dan metode determinan. tiga variabel berikut dengan menggunakan metode determinan.a. 3x – 2y = –8 a. –a + 7b + c = –6 4x + 2y = 2 4a + b – 2c = 1 3a – 2b + 4c = 20b. 2x + y = 1 b. 3a – b – 2c = –9 a + 5b – 3c = –7 3x + 4y = 14 –2a + 3a + 4c = 32c. –2x + 6y = –12 4x – 5y = 17d. –2x – y = –5 5x + 3y = 113. Diketahui a dan b memenuhi persamaanÈ3 1˘ Èa ˘ = È 11 ˘ÎÍ4 2 ˚˙ ÎÍb ˙˚ ÎÍ-2˙˚Tentukan nilai-nilai dari:a. x + yb. 2x2 + y64 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Rangkuman1. Matriks adalah sekelompok bilangan yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap disusun menurut baris dan kolom dalam tanda kurung dan berbentuk seperti sebuah elemen matriks A dengan elemen-elemen persegipanjang. matriks B yang seletak. Hal ini berlaku pula pada2. Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang dimiliki suatu matriks. pengurangan matriks.3. Jenis-jenis matriks di antaranya matriks nol, 7. Perkalian antara sebarang bilangan real k dengan matriks baris, matriks kolom, matriks persegi, matriks segitiga, matriks diagonal, matriks skalar, matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dan matriks identitas. dari hasil perkalian k dengan setiap elemen4. Transpos matriks A adalah matriks baru yang disusun dengan menuliskan elemen setiap matriks A. baris matriks A menjadi elemen setiap kolom pada matriks baru. Notasi transpos mastriks 8. Perkalian antara dua matriks terdefinisi apabila A adalah At. banyaknya kolom matriks pengali sama dengan5. Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama dan banyaknya baris matriks yang dikalikan. elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua matriks tersebut sama. 9. Determinan adalah selisih antara perkalian6. Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo elemen-elemen pada diagonal utama dengan sama, maka jumlah dari matriks A dan B ditulis (A + B) adalah sebuah matriks baru yang perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. 10. Jika A = Èa b˘ maka ÎÍ c d ˚˙ A–1 = 1 Èd b˘ , det A ≠ 0 det ÎÍ-c a ˚˙Peta Konsep MatriksJenis-Jenis Transpos Kesamaan Operasi pada Invers Aplikasi MatriksMatriks Matriks Dua Matriks Matriks• Matriks Nol • Penjumlahan Penyelesaian Sistem Penyelesaian Sistem• Matriks Baris Matriks Persamaan Linear Persamaan Linear• Matriks Kolom Dua Variabel Tiga Variabel• Matriks Persegi • Pengurangan• Matriks Segitiga Matriks• Matriks Diagonal• Matriks Skalar • Perkalian• Matriks Identitas Bilangan Real dengan matriks • Perkalian Matriks • Perpangkatan Matriks Persegi Memiliki Invers jika Tidak Memiliki Invers Determinan D ≠ 0 jika Determinan D = 0 disebut disebut Matriks Non Singular Matriks Singular Matriks 65

Tes Pemahaman Bab 2Kerjakanlah di buku latihan Anda.I. Pilihlah satu jawaban yang benar.1. Di antara bentuk berikut, manakah yang memenuhi È3b 4a + b˘ È9 3˘ ÎÍ c 4 ˚˙ ÎÍ2 4˚˙ definisi matriks? 6. Diketahui A = dan B= . Jika a a A = B maka nilai a + b + c = .... a. d. a. 5 d. 8 bc bcd b. a b a b. 6 e. 9 cd e. d b c. 7 c c. Èa b ˘ 7. Jika A = È1 2˘ maka A2 = .... ÎÍc d ˚˙ ÎÍ2 3 ˚˙2. Diketahui G = È11 0˘ , matriks G merupakan a. È-3 -8˘ d. È-2 4 ˘ ÎÍ 0 11˚˙ ÎÍ 8 5 ˚˙ ÍÎ-4 -6˚˙ matriks .... b. È2 4˘ e. È 1 2˘ ÎÍ4 6 ˙˚ ÎÍ-2 3˚˙ a. skalar d. persegi È3 8˘ b. diagonal e. kuadrat c. ÎÍ-8 5˚˙ c. Identitas3. Transpos dari matriks K = È-1 3˘ adalah .... 8. Invers dari matriks P = È4 5˘ adalah .... ÎÍ 2 1˚˙ ÍÎ3 4˚˙ a. È1 3˘ d. È3 1˘ a. È4 3˘ d. È4 5˘ ÎÍ-2 1˚˙ ÎÍ1 2 ˙˚ ÎÍ5 4˚˙ ÍÎ-3 4 ˙˚ b. È-1 2˘ e. È-1 2˘ b. È4 3˘ e. È-4 3 ˘ ÎÍ 3 1˚˙ ÎÍ 1 3˙˚ ÎÍ-5 4 ˚˙ ÎÍ 5 -4˚˙ c. È 2 1˘ c. È-4 5 ˘ ÎÍ-1 3˙˚ ÎÍ 3 -4˚˙4. Jika L = È7 2 ˘ dan M = È3 1˘ maka nilai L – 2M 9. Jika Q = È5 2˘ maka Q = .... ÎÍ-1 4 ˙˚ ÎÍ-2 2˙˚ ÍÎ-1 1 ˚˙ adalah .... a. –7 d. 8 a. È2 1˘ d. È 1 0˘ b. 3 e. 10 ÎÍ1 2˚˙ ÎÍ-5 0˚˙ c. 7 b. È 4 1˘ e. È1 0˘ 10. Jika x -3 = 6 maka nilai x = .... ÎÍ-3 2˚˙ ÎÍ3 0˚˙ -2 x - 1 È4 1˘ c. ÎÍ1 2˚˙ a. –2 dan 6 d. –4 dan 3 b. –6 dan 2 e. –4 dan –35. Matriks-matriks berikut dapat dikalikan dengan c. –3 dan 4 matriks A = Èa b ˘ , kecuali .... 11. Matriks P yang memenuhi È3 1˘ P= È1 1˘ ÎÍ c d ˚˙ ÎÍ5 2˚˙ ÎÍ1 1˚˙ Èe f˘ adalah .... ÎÍ g h ˙˚ a. d. ÈÎa b ˘˚ È3 1˘ È1 3˘ ÎÍ2 8˚˙ ÎÍ-2 8˚˙ Èe f ˘ a. d. b. Èe f g˘ e. Í g h ˙ È 3 0˘ È 2 1˘ ÎÍh i j ˙˚ Í ˙ ÎÍ-4 2˙˚ ÎÍ-5 3 ˙˚ Íi j ˙ b. e. Èe f ˘ ÍÎk l ˙ È-1 3 ˘ ˚ ÎÍ-2 -8˚˙ Í ˙ c. c. Í g h ˙ ÎÍ i j ˚˙ 66 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

12. Jika È-1 2 ˘Èx˘ = È9˘ maka nilai x dan y 17. Diketahui persamaan x 4 = -3 9 . Nilai x ÍÎ 5 -8˚˙ ÎÍ y ˚˙ ÎÍ-9˚˙ 3 2x 4 8 berturut-turut adalah .... yang memenuhi persamaan tersebut adalah .... a. –5 dan –2 d. 2 dan –5 a. 6 dan –6 d. 9 dan –9 b. –2 dan 5 e. 5 dan –2 b. 7 dan –7 e. 5 dan –5 c. –5 dan 2 c. 8 dan –813. Diketahui sistem persamaan linear berikut. 18. Jika ABX = C maka X = .... 2x – 3y = –18 4x + y = –8 a. CB–1A–1 d. B–1A–1C Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah .... b. CA–1B–1 e. A–1B–1C a. x = 3 dan y = –4 d. x = –3 dan y = –4 b. x = 3 dan y = 4 e. x = 4 dan y = 3 c. B–1CA–1 c. x = –3 dan y = 4 19. Jika A–1= È1 4˘ dan B = È5 1˘ ÎÍ2 3˚˙ ÍÎ1 3˚˙ maka (A – B–1)–1 = ....14. Nilai x dan y yang memenuhi persamaan È 3˘ È 9 13˘ Èx 5˘ + 3 Èy -2˘ = È5 1˘ adalah .... a. ÎÍ7 13˚˙ d. ÎÍ13 11˚˙ ÍÎ-2 y ˚˙ ÍÎ 2 3 ˚˙ ÎÍ4 12 ˚˙ a. x = 2 dan y = –3 d. x = –3 dan y = 4 È7 7˘ È 9 11˘ b. ÎÍ23 13˚˙ e. ÎÍ13 13˙˚ b. x = 3 dan y = –4 e. x = 2 dan y = –4 c. x = –2 dan y = 3 c. È7 7˘ ÎÍ13 23˚˙15. Diketahui matriks A = È 0 ˘ , nilai k yang me- ÍÎ1 ˚˙ menuhi persamaan det At = k det A–1 adalah .... 20. Jika D adalah invers dari matriks 1 È6 2˘ maka 2 ÎÍ-5 2 ˚˙ a. 1 d. 4 È-1˘ b. 2 e. 5 nilai D ÎÍ 2 ˙˚ adalah .... c. 3 a. È-2˘ d. ÈÎ2 7˚˘ È2x 1 3˘ ÎÍ 7 ˚˙16. Jika matriks A = ÍÎ6 1 5˚˙ tidak memiliki invers, maka nilai x adalah .... b. È -7 ˘ e. È2˘ ÍÎ 2 ˚˙ ÎÍ 7 ˚˙ a. –2 d. 1 È-2˘ b. –1 e. 2 c. ÎÍ -7 ˙˚ c. 0II. Kerjakan soal-soal berikut.1. Jika A = È5 7 ˘ , B = È-2 6˘ , dan 3. Jika matriks A = È0 1˘ dan ÎÍ4 2 ˚˙ ÎÍ 1 4˙˚ ÎÍ2 3˚˙ È3 2˘ B= È5 1˘ tentukan (AB)–1 – At. C = ÍÍ1 ˙ ÎÍ2 1 ˚˙ 0 ˙ , tentukan: ÍÎ4 2 ˚˙ 4. Jika A = È-1 2˘ dan f(x) = x2 + 2x, ÎÍ 3 -4˚˙ a. BC tentukan f(A). b. Ct B 5. Pada liburan semester, sekolah A dan sekolah c. AB – (AB)–1 B mengadakan karyawisata ke Bali. Sekolah A2. Diketahui sistem persamaan linear menyewa 10 bus dan 5 mobil. Sekolah B menyewa 4x + 3y = 17 7 bus dan 3 mobil. Biaya sewa kendaraan sekolah 2x – 5y = 15 A sebesar Rp41.250.000,00, sedangkan sekolah B Gunakan metode invers dan determinan untuk Rp28.250.000,00. Jika diasumsikan biaya sewa per menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut. bus dan per mobil kedua sekolah tersebut sama, tentukan harga sewa 1 bus dan 1 mobil. Matriks 67

Refleksi Akhir BabBerilah tanda √ pada kolom yang sesuai dengan pemahaman Anda mengenai isi bab ini. Setelah mengisinya,Anda akan mengetahui pemahaman Anda mengenai isi bab yang telah dipelajari.No Pertanyaan Tidak Jawaban Sebagian Kecil Sebagian Besar Seluruhnya 1. ApakahAndamemahamipengertian, ciri-ciri, jenis-jenis, dan transpos matriks? 2. Apakah Anda memahami cara- cara menuliskan informasi dalam bentuk matriks? 3. Apakah Anda mamahami cara-cara menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan memangkatkan matriks? 4. Apakah Anda memahami langkah- langkah menentukan determinan martis berordo 2 × 2 dan 3 × 3? 5. Apakah Anda memahami cara menentukan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3? 6. A p a k a h A n d a m e n g u a s a i cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan menggunakan invers matriks dan metode cramer? 7. Apakah Anda menguasai cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear tiga variabel dengan metode cramer? 8. Apakah Anda mengerjakan soal- soal pada bab ini? 9. Apakah Anda melakukan Kegiatan dan mengerjakan Tugas pada bab ini?10. Apakah Anda berdiskusi dengan teman-teman Anda apabila ada materi-materi yang belum Anda pahami?68 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Evaluasi Semester 1 4.Kerjakanlah di buku latihan Anda.I. Pilihlah satu jawaban yang benar.1. y 5 2 3x –4 0 x 0 35Daerah himpunan yang diarsir menunjukkandaerah .... Daerah yang diarsir pada gambar di atas, ditunjukkana. –x + 2y ≤ 4 d. x – 2y > 4 oleh sistem pertidaksamaan ....b. –x + 2y > 4 e. x – 2y ≥ 4 a. 5x + 3y ≤ 15, 3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0c. x – 2y < 4 b. 5x + 3y ≥ 15, 3x + 5y ≥ 15, x ≥ 0, y ≥ 0 c. 5x + 3y ≤ 15, 3x + 5y ≥ 15, x ≥ 0, y ≥ 02. y d. 5x + 3y ≥ 15, 3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0 e. 5x + 3y ≤ 15, 3x + 5y < 15, x ≥ 0, y ≥ 0(0, 3) 5. Nilai maksimum dari fungsi objektif z = x + 3y pada daerah yang diarsir di bawah ini adalah .... 0 x (7, 0) ySistem pertidaksamaan yang menunjukkan him- (0, 40)punan penyelesaian dari daerah yang diarsir padagambar di atas adalah ....a. 7x + 3y ≥ 21, x ≥ 0, y ≥ 0 (60, 0)b. 7x + 3y ≤ 21, x ≥ 0, y ≥ 0 xc. 3x + 7y ≥ 21, x ≥ 0, y ≥ 0d. 3x + 7y ≤ 21, x ≥ 0, y ≥ 0 0e. 3x + 7y ≤ 21, x ≤ 0, y ≥ 0 a. 220 d. 603. y b. 180 e. 40 c. 1205 6. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidak-4 samaan 2y – x ≤ 2 x 4x + 3y ≤ 12 0 56 x≥0 y≥0Sistem pertidaksamaan yang memenuhi himpunan terletak di daerah ....penyelesaian pada gambar di atas adalah ....a. x + y ≤ 5, 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 yb. x + y ≥ 5, 2x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0c. x + y ≤ 5, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 4 xd. x + y ≤ 5, 3x + 2y ≥ 12, x ≤ 0, y ≤ 0 IIIe. x + y ≤ 5, 3x + 2y ≤ 12, x ≤ 0, y ≥ 0 V II 1 IV I –2 3 Evaluasi Semester 1 69

a. I d. I dan IV 11. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kainb. II e. II dan III bergaris 10 m seorang penjahit akan membuatc. III pakaian jadi. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan7. Nilai minimum fungsi f(x, y) = 40x + 10y dengan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi akan maksimum jika model I dansyarat 2x + y ≥ 12, x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah model II masing-masing ........a. 100 d. 240 a. 4 dan 8 d. 7 dan 5 b. 5 dan 9 e. 8 dan 6b. 120 e. 400 c. 8 dan 4c. 1608. Diketahui (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y 12. Suatu tempat parkir luasnya 200 m2. Untuk memarkir sebuah mobil, rata-rata diperlukan tempat seluas 10 m2≥ 6, 5x + 2y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. Nilai maksimum fungsi dan untuk bus rata-rata 20 m2. Tempat parkir itu tidak dapat menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Jika ditujuan f(x, y) = x + 2y adalah .... tempat parkir itu akan di parkir x mobil dan y bus, maka x dan y harus memenuhi syarat-syarat ....a. 3 d. 16 a. x + y ≤ 12, x + 2y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0 b. x + y ≤ 12, x + 2y ≥ 20, x ≥ 0, y ≥ 0b. 7 e. tidak ada c. x + y ≤ 12, x + 2y ≤ 20, x ≤ 0, y ≤ 0 d. x + y ≤ 12, x + 2y ≥ 20, x ≥ 0, y ≥ 0c. 11 e. x + y ≥ 5, x + 2y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 09. y x=3 x=8 y=5 13. Diketahui y=2 È3 p 2˘ Èp+8 2˘ ÍÎ 4 5q ˚˙ ÎÍ 4 30˙˚ A = dan B = x Jika A = B maka ....0 a. p = 3, q = 6 d. p = –3, q = 6Daerah yang diarsir pada gambar tersebut merupakan b. p = 4, q = 6 e. p = 4, q = –6himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan c. p = 3, q = –63 ≤ y ≤ 8 dan 2 ≤ y ≤ 5, x, y ŒR. 14. P= È2 3˘ dan Q = È1 0˘Nilai maksimum fungsi tujuan f(x, y) = 3x – y dari ÎÍ2 4˙˚ ÎÍ3 1˙˚himpunan penyelesaiannya adalah ....a. 4 d. 22 maka P + Q = ....b. 7 e. 29 a. È3 3˘ d. È-3 -3˘ ÍÎ5 5˙˚ ÎÍ 5 5 ˚˙c. 1910. Nilai maksimum fungsi z = 3x + 4y terletak pada titik b. È-3 3˘ e. È3 3˘ ÎÍ 5 5˚˙ ÎÍ-5 5˚˙ y 5x + 2y = 10 c. È3 3˘ ÎÍ-5 5 ˙˚ 15. Diketahui A = È2 1˘ dan B = È-1 1˘ ÎÍ0 1˚˙ ÎÍ 0 2˚˙ x Nilai A – 2B = .... 0 2x + 3y = 6 a. È4 1˘ d. È0 3˘ ÎÍ0 5˚˙ ÎÍ0 3˚˙a. {z˙ 0 ≤ z ≤ 2}b. {z˙ –2 ≤ z ≤ 0} b. È4 1˘ e. È0 1˘c. {z˙ –4 ≤ z ≤ 4} ÎÍ0 5˚˙ ÎÍ0 3 ˚˙d. {z˙ 2 ≤ z ≤ 11}e. {z˙ 4 ≤ z ≤ 13} È0 1˘ ÎÍ0 5˚˙ c.70 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

16. Diketahui È1 2˘ È4 1˘ ÎÍ1 3˚˙ ÎÍ1 3˚˙ È2 3˘ È2 5˘ 21. Jika A = , B = , dan matriks C ÍÎ0 1˙˚ ÎÍ1 3˚˙ A = dan B = Nilai B · A = .... memenuhi AC = B, maka det C = .... a. È7 19˘ d. È4 11˘ a. 1 ÍÎ1 3 ˚˙ ÎÍ2 6 ˙˚ b. 6 6˘ c. 9 b. È4 8˘ e. È2 11˚˙ d. 11 ÍÎ1 4˚˙ ÎÍ4 e. 12 È2 11˘ 22. Jika A = È1 2˘ dan B = È3 2˘ maka A–1 B ÎÍ4 6 ˚˙ ÍÎ1 3˙˚ ÎÍ2 2˚˙ c. adalah ....17. Diketahui a. È3 1˘ d. È0 2˘ ÎÍ2 1˚˙ ÍÎ1 3˚˙ È6 2˘ È-1 -5 ˘ È2 3˘ A= ÍÎ-3 2˚˙ B = ÎÍ 0 3k + 1˙˚ , dan C = ÎÍ3 5˚˙ b. È 5 2˘ e. È5 1˘ ÎÍ-1 0˚˙ ÎÍ1 3˙˚ Nilai k yang memenuhi A + B = C–1 adalah .... È1 2˘ a. –1 c. ÍÎ0 1˚˙ b. –3 c. 2 È3 2˘ È x ˘ È12˘ ÎÍ-1 4˚˙ ÎÍ y ˙˚ ÎÍ10˚˙ d. 1 23. Jika = maka 5x – y = .... e. 318. Ditentukan a. 7 È6˘ È2˘ È1˘ È7˘ b. 8 A = ÍÍ3˙˙ , B = ÍÍ2˙˙ , C = ÍÍ2˙˙ dan D = ÍÍ3˙˙ c. 9 ÎÍ1˙˚ ÎÍ2˙˚ ÎÍ1˙˚ ÎÍ2˚˙ d. 10 e. 11 Pernyataan berikut yang benar adalah .... 24. Determinan matriks B yang memenuhi persamaan a. A + B + C = 2D È7 5˘ = È1 11˘ B = ÎÍ2 1˙˚ ÎÍ1 2 ˙˚ adalah .... b. (A + B) – C = D – C c. A – B = D – C a. 3 d. D – B = A – C b. 4 e. A + C = B + D c. 519. Diketahui matriks P = Èx 2˘ dan Q = È4 3˘ . d. 6 ÎÍ3 2x ˚˙ ÎÍ-3 x ˙˚ e. 7 Agar determinan matriks P sama dengan dua kali 25. Diketahui A = È ˘ dan B–1 = È4 7˘ maka ÎÍ4 1˚˙ ÎÍ1 2˚˙ determinan matriks Q, maka nilai x adalah .... a. x = –6, x = –2 (B–1 A)–1 = .... b. x = 6, x = –2 c. x = 6, x = 2 a. È36 -3˘ d. È36 -3˘ d. x = 3, x = –4 ÎÍ10 -1˚˙ ÎÍ-1 10 ˚˙ e. x = 3, x = 4 b. È 9 16˘ e. È36 -1˘ ÎÍ15 26˚˙ ÎÍ10 -3˙˚20. Diketahui A = Èa b˘ ÎÍ c d ˚˙ È 9 26˘ Jika At = A–1, maka ad – bc = .... c. ÍÎ15 16˚˙ a. –1 atau – 2 b. 1 atau 2 c. – 2 atau 2 d. –1 atau 1 e. 1 atau – 2 Evaluasi Semester 1 71

II. Kerjakan soal-soal berikut.26. Perhatikan gambar berikut. 28. Diketahui matriks y A = È2 k˘ , B = È1 2˘ , dan C = È-1 -8˘ . ÍÎ1 0˚˙ ÎÍ3 4 ˙˚ ÎÍ 1 -2˙˚ (2, 3) Jika A × B = C, tentukan nilai k yang memenuhi (5, 1) persamaan tersebut. (1, 1) x 29. Jika matriks A = Èx 3˘ tidak memiliki invers,0 ÎÍ6 5˚˙Tentukan sistem pertidaksamaan yang menunjukkan 1himpunan penyelesaian dari daerah yang diarsirpada gambar di atas. tentukan nilai x dari matriks tersebut.27. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah Ï x + y + z = 12 tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A, diperlukan 30. Sistem persamaan linear ÌÔ2x - y + 2z = 12 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan ÓÔ 3x + 2 y - z = 8 rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00/unit dan memiliki himpunan penyelesaian {(x, y, z)} tipe B adalah Rp4.000.000,00/unit. Tentukan Tentukan nilai: keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari a. x y z penjualan rumah tersebut. b. x2 + 2yz72 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Bab .jakarta.go.id Sumber: www3Barisan dan DeretMatematika dapat dikatakan sebagai bahasa simbol. Hal ini A. Barisan dan Deret Aritmetikadikarenakan matematika banyak menggunakan simbol-simbol.Dengan menggunakan simbol-simbol tersebut, ungkapan- B. Barisan dan Deretungkapan yang panjang dapat ditampilkan dalam bentuk yang Geometripendek dan sederhana. Salah satu simbol dalam matematika adalah notasi sigma yangdilambangkan dengan \"S\". Notasi ini banyak digunakan untukmenyatakan jumlah dari suku-suku barisan atau deret. Salah satu contoh penggunaan barisan dan deret adalahuntuk menyelesaikan permasalahan berikut. Misalnya, sebuahbank swasta memberikan bunga 2% per bulan terhadaptabungan para nasabahnya. Jika seorang nasabah menabungsebesar Rp500.000,00, berapa jumlah uang nasabah tersebut jikatabungannya baru diambil setelah 5 bulan. 73

Kuis Cobalah kerjakan soal-soal berikut untuk mengetahui pemahaman Anda mengenai bab ini. 1. Carilah barisan bilangan kelipatan 5 mulai dari 1 sampai dengan 50. 2. Carilah barisan bilangan kelipatan 4 mulai dari 1 sampai dengan 30. 3. Carilah jumlah sepuluh bilangan asli ganjil yang pertama. 4. Carilah jumlah sepuluh bilangan kelipatan tiga yang pertama. 5. Carilah jumlah dua puluh bilangan asli pertama. A. Barisan dan Deret Aritmetika Materi barisan dan deret telah Anda pelajari sewaktu di SMP. Sebelum mengkaji kembali mengenai barisan dan deret aritmetika, berikut ini akan diuraikan kembali mengenai istilah barisan dan deret bilangan. Untuk mengingatkan definisi dan baris bilangan, coba Anda perhatikan beberapa contoh berikut. • Susunan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, ..., n, ... • Susunan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ... • Susunan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... • Susunan bilangan kelipatan tiga: 3, 6, 9, 12, ..., 3n, ... Berdasarkan contoh-contoh tersebut, Anda dapat melihat bilangan seperti inilah yang dinamakan barisan bilangan. Definisi Definisi Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu. Jika barisan bilangan tadi dijumlahkan maka terbentuklah deret bilangan. Definisi Definisi Deret Bilangan Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan. Sebagai contoh, jika 1, 2, 3, 4, ... merupakan barisan bilangan maka deret dari barisan bilangan tersebut adalah 1 + 2 + 3 + 4 + .... 1. Barisan Aritmetika Untuk memahami barisan aritmetika, pelajari uraian berikut. Di suatu counter pulsa, dijual berbagai macam kartu perdana dan voucher pulsa dengan harga beragam. Jika Heru membeli sebuah kartu perdana maka dikenakan harga Rp12.000,00, jika Heru membeli dua kartu perdana maka dikenakan harga Rp20.000,00. Jika Heru membeli tiga kartu perdana, dikenakan harga Rp28.000,00. Begitu seterusnya, setiap penambahan pembelian satu kartu perdana, harga pembelian bertambah Rp8.000,00. Apabila harga pembelian kartu perdana tersebut disusun dalam suatu bilangan maka terbentuk barisan berikut (dalam ribuan), yaitu 12, 20, 28, 36, 44, dan seterusnya. Dari contoh tersebut, Anda lihat bahwa setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang tetap. Barisan yang memiliki beda yang tetap dinamakan barisan aritmetika.74 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Definisi Cobalah Definisi Barisan Aritmetika Jumlah suatu deret aritmetika Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika selisih antara dua adalah 20. Suku pertama suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut deret tersebut adalah 8 dan sebagai beda (b). bedanya–2. Jika banyaknya suku adalah n, maka n adalahDefinisi tersebut jika diubah ke bentuk notasi adalah sebagai berikut. Jika U1, U2, U3, ..., Un–1, Un adalah suatu barisan bilangan maka barisan tersebut Sumber: SPMB, 2004dikatakan sebagai barisan aritmetika apabila memenuhi hubungan berikut. U2 – U1 = U3 – U2 = ... Un – Un–1Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Contoh Soal 3.1 Di antara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika. a. 1, 4, 7, 10, ... b. 3, 6, 12, 24, ... c. 44. 41, 38, 35, ... Jawab: Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika. a. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 1, 4, 7, 10, ... adalah 4 – 1 = 3, 7 – 4 = 3, 10 – 7 = 3 Beda dari barisan ini tetap sehingga 1, 4, 7, 10, ... adalah barisan arimetika. b. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 3, 6, 12, 24,... 6 – 3 = 3, 12 – 6 = 6, 24 – 12 = 12 Beda dari barisan ini tidak tetap sehingga barisan 3, 6, 12, 24, ... bukan barisan aritmetika. c. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 44, 41, 38, 35, ... 41 – 44 = –3, 38 – 41 = –3, 35 – 38 = –3 Beda dari barisan ini tetap sehingga barisan 44, 42, 38, 35, ... adalah barisan aritmetika. Jika Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan asli,tentu saja Anda dengan mudahnya dapat menjawab pertanyaan tersebut.Akan tetapi, Bila Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisanbilangan ganjil, Anda akan menemui kesulitan Bila diminta menjawabsecara spontan dan tidaklah mungkin jika Anda harus mencarinya denganmengurutkan satu per satu dari suku awal sampai suku yang ditanyakan.Untuk itulah diperlukan suatu aturan untuk menentukan suku-suku yangdicari, supaya dapat menentukan suku tertentu dari suatu barisan aritmetika.Untuk itu, pelajarilah penurunan rumus suku ke–n berikut dengan baik. Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmetika dengan sukupertama a dan beda b maka Anda dapat menuliskan: U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)b U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 – 1)b Un = Un – 1 + b = a + ( n – 1)b Barisan dan Deret 75

Berdasarkan pola dari suku-suku pada barisan tersebut, Anda dapat menentukan rumus suku ke–n suatu barisan aritmetika, sebagai berikut. Rumus suku ke–n dari suatu Barisan Aritmetika. Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U1, U2 ..., Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertama a dan beda b adalah Un = a – (n – 1)bPembahasan Soal Contoh Soal 3.2Lima belas bilangan membentuk Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, ... a. Tentukan rumus suku ke–n dari barisan tersebut.deret aritmetika dengan beda b. Suku ke–11 dari barisan tersebut.positif. Jika jumlah suku ke-13 Jawab: a. 7, 11, 15, 19, ...dan ke-15 sama dengan 188 dan Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 7 dan beda barisanselisih suku ke-13 dan ke-15 b = 11 – 7 = 15 – 11 = 19 – 15 = 4. Dengan demikian, suku ke–n dari barisan tersebut adalahsama dengan 14, maka jumlah Un = a + ( n – 1) bdari lima suku terakhir adalah.... Un = 7 + ( n – 1) 4 Un = 4n + 3a. 362 d. 428 Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 4n + 3. b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n + 3. Dengan demikian,b. 384 e. 435 U11 = 4 (11) + 3 = 44 + 3 = 47 Jadi, suku ke–11 dari barisan tersebut adalah 47.c. 425 Contoh Soal 3.3Jawab: Suku ke–4 dari suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke–12 dari• U15 – U13 = 14 barisan tersebut adalah 81. Tentukan suku ke–25 dari barisan tersebut. (a + 14b)–(a + 12b) = 14 Jawab: b=7 Suku ke–4 = U4 = a + 3b = 17 ... (1) Suku ke–12 = U12 = a + 11b = 81 ...(2)• U13 + U15 = 188 Dengan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua (a + 12b) + (a + 14b) = 188 variabel, diperoleh suku pertama a = –7 dan beda barisan b = 8. Coba Anda buktikan. Dengan demikian, suku ke–25 dari barisan tersebut adalah 2a + 26 (7) = 188 Un = a + (n–1)b a =3 U25 = –7 + (25 – 1) 8 = –7 + 192 = 185 Jadi, suku ke–25 dari barisan aritmetika tersebut adalah 185.S15 = 15 ÈÎ2 3 + 14 ◊ 7˘˚ = 780 2S10 = 10 ÎÈ2 3+9 7˘˚ = 345 2Jadi, jumlah lima suku terakhir= S15– S10 = 780 – 345 = 435 Jawaban: e Sumber: SPMB, 2004 Contoh Soal 3.4 Diketahui tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 15 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 80 maka tentukan nilai ketiga bilangan tesebut. Jawab: Misalkan, suku tengah ketiga bilangan tersebut adalah x, beda barisan tersebut adalah b maka suku pertama barisan adalah x – b dan suku ketiganya x + b. Jadi, barisan aritmetikanya adalah x – b, x, x + b. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 15. Artinya, (x – b) + x + (x + b) = 15 3x = 15 x =5 Substitusikan nilai x = 5 ke dalam barisan, diperoleh 5 – b, 5, 5 + b76 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 80, artinya:(5 – b)(5)(5 + b) = 80 125 – 5b2 = 80 45 = 5b2 b2 = 9 b = ±3Ambil b > 0 maka ketiga bilangan tersebut adalahx – b, x, x + b5 – 3, 5, 5 + 3 2, 5, 8Jadi, nilai ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika tersebutadalah 2, 5, dan 8.2. Deret Aritmetika Tokoh MatematikaAnda telah mengetahui bahwa penjumlahan dari barisan bilangan dikenalsebagai deret bilangan. Begitu pula jika Anda menjumlahkan suatu barisan Johan Gaussaritmetika maka Anda akan mendapatkan suatu deret aritmetika. Berikut (1771 - 1885)definisi dari deret aritmetika. Sumber: www.upload.Definisi wifimedia.org Definisi Deret Aritmetika Johan Gauss adalah seorang Misalkan U1, U2, ...,Un adalah barisan aritmetika maka penjumlahan jenius dalam aritmetika. U1 + U2 + ... + Un adalah deret aritmetika. Ketika ia berusia 9 tahun seorang guru menyuruh Sebagai contoh, jika Anda memiliki barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, ... murid-muridnya di kelas untuk menjumlahkan deret bilangankemudian menjumlahkan setiap suku dalam barisan aritmetika tersebut 1 + 2 + 3 + ... + 40. Gauss hanya memerlukan waktumaka Anda akan memperoleh deret aritmetika 2 + 5 + 8 + 11 + .... Secara beberapa saat saja untuk memperoleh jawaban “820”.umum, dari suatu barisan U1, U2, ..., Un dengan U1 = a dan beda b, Anda Bahkan tanpa menulis sesuatudapat memperoleh bentuk umum deret aritmetika, yaitu pun, ia dapat menjawab dalam otaknya. Jumlah itu dapatU1 + U2 + ...+ Un = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1) b) dipikirkan sebagai berikut (1 Dari suatu deret aritmetika, Anda dapat memperoleh suatu jumlah. + 40) + (2 + 39) + ...+ (20 + 21) = 41 + 41 + ... +41 = 20 ×Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika 41 = 820maka Anda memperoleh Sumber: Khazanah Pengetahuan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n–1) b). Bagi Anak-Anak Matematika, 1979Sebagai ilustrasi, pelajari uraian berikut ini. Jika Anda memiliki barisan 30, 40, 50, ..., 100, 110, 120 maka untukmendapatkan jumlah S, Anda memerlukan rumus yang lebih praktisdibandingkan dengan cara menjumlahkan satu per satu. Sebaiknya Andaperhatikan yang berikut ini.S10 = 30 + 40 + 50 + ... + 100 + 110 + 120 sama nilainya denganS10 = 120 + 110 + 100 + ... + 50 + 40 + 30 +2S10 = 150 + 150 + 150 + ... + 150 + 150 + 150Dengan demikian, 2S10 = 10 × 150S10 = 10 ¥ 150 2 = 1.500 2S10 = 750 Barisan dan Deret 77

Anda dapat melihat bahwa banyak suku dari barisan tersebut adalah 10 dan 150. Kedua angka ini merupakan angka yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku pertama dan suku terakhir dari barisan tersebut. Dengan demikian, Anda dapat menyatakan S10 = 10(30 120) = 5(150) = 750 2 Berdasarkan uraian tersebut, Anda dapat menghitung jumlah n suku pertama (Sn) dengan cara mengalikan banyak suku (n) dengan jumlah suku pertama dan suku terakhir (a + Un), kemudian membaginya dengan 2.Cobalah Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret AritmetikaSuku ke-6 sebuah barisan Misalkan Sn = U1 + U2 + ... + Un merupakan deret aritmetika denganaritmetika adalah 24.000 dan suku pertama a dan beda b makasuku ke-10 adalah 18.000.Supaya suku ke-n sama dengan n(a Un ) n0 maka nilai n adalah .... 2 2 ( )Sn = Sumber: UMPTN, 2000 atau Sn = 2a n 1b Contoh Soal 3.5 Diketahui barisan 6, 17, 28, 39, ... Tentukan : a. rumus jumlah n suku pertama, b. jumlah 10 suku pertamanya. Jawab: (a.Sn = n 2a n 1 b) = n (2.6 (n - 1)11) 2 = n2 (12 + 11n - 11) 2 ( )=n = 11 n2 + 1n 2 11n + 1 2 2 Jadi, rumus umum barisan tersebut adalah 11 n2 + 1n 2 2 b. Jumlah 10 suku pertamanya adalah Sn = 11 (10)2 + 1 (10) 2 2 = 550 + 5 = 555 Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 555. Contoh Soal 3.6 Dari suatu deret aritmetika, diketahui U5 = 5 dan U10 = 15. Tentukan S20. Jawab: Dari soal tersebut diketahui bahwa U5 = 5 dan U10 = 15 maka U5 = a + 4b = 5 ...(1) U10 = a + 9b = 15 ...(2) Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear (1 dan 2) tersebut, diperoleh nilai a = –15 dan b = 5 sehingga ( )S20 = 20 2( 15) (20 1)5 = 10 (–30 + 95) = 650 2 Jadi, besar S20 = 65078 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Contoh Soal 3.7 Pembahasan SoalDari suatu deret aritmetika diketahui jumlah 4 suku pertamanya sama Diketahui matriks A = ÍÈÎUU12 U3 ˘dengan 20 dan jumlah 7 suku pertamanya sama dengan 35. Tentukan U4 ˙suku pertama dari deret tersebut. ˚Jawab: dan Un adalah suku ke-n barisan aritmetika.(Sn=n 2a n 1b) Jika U6 = 18 dan U10 = 30, maka 2 4 1b) determinan matriks A sama dengan ....(S4=4 2a (S7 = 7 2a 7 1b) a. –30 d. 12 2 2 6b ) b. –18 e. 18 7 (2a c. –12 220 = 2(2a + 3b) 35 = Jawab:4a + 6b = 20 ...(1) 70 = 14a + 42b U10 = 4 + 9b = 30 ...(1) 14a + 42b = 70 U6 = 4 + 5b = 18 – ...(2) 4b = 12Dengan melakukan eliminasi persamaan (1) terhadap persamaan (2), b=3diperoleh Substitusikan b = 3 ke (2) a + 5b = 184a + 6b = 20 ˙ × 7˙ 28a + 42b = 14014a + 42b = 70 ˙ × 1˙ 14a + 42b = 70 – a + 5(3) = 18 14a = 70 a=3 a = 70 14 U1 = a = 3 U2 = a + b = 3 + 3 = 6 =5 U3 = a + 2b = 3 + 2(3) = 5 U4 = a + 3b = 3 + 3(3) = 12 Dengan demikian,Jadi, suku pertama dari deret tersebut adalah 5. A = ÎÈÍUU12 U3 ˘ = È3 9˘ maka U4 ˙ ÍÎ6 10˙˚ ˚3. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmetika det A = È3 9˘ ÍÎ6 10˚˙Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang bisa diselesaikan = 36 – 54 = –18dengan menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika. Dalam Jadi, det A = –18menyelesaikan suatu masalah yang ada dalam keseharian kita, langkah Jawaban: b Sumber: UMPTN, 1998pertama yang harus dilakukan adalah mengubah masalah nyata tersebutke dalam model matematika, setelah itu dicari solusinya. Solusi yangdidapat diinterpretasikan kembali ke masalah nyata yang tadi dimodelkan,sehingga diperoleh penyelesaian secara nyata.Agar dapat memahami konsep barisan dan deret aritmetika, perhatikanuraian berikut. Seorang pegawai mendapat gaji pertama Rp1.000.000,00.Setiap ia mendapatkan kenaikan gaji Rp100.000,00. Berapakah jumlahpendapatan yang diterima pegawai tersebut dalam waktu 10 bulan.Jika Anda perhatikan, masalah tersebut sebenarnya permasalahanderet aritmetika dalam menentukan jumlah n suku pertama. Suku pertamadari deret tersebut 1.000.000 dan bedanya 100.000 dengan demikian,deret aritmetika dari masalah tersebut adalah1.000.000 + 1.100.000 + ... + U10Suku ke-10 dari deret tersebut adalahU10 = a + 9b = 1.000.000 + 9 (100.000) = 1.900.000sehingga jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut( )S10= 10 2 a U10 = 5 (1.000.000 + 1.900.000) = 5 (2.900.000) = 14.500.000Jadi, jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut selama kurunwaktu 10 bulan adalah Rp14.500.000,00. Barisan dan Deret 79

Contoh Soal 3.8 Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 3.000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya, usahanya meningkat sehingga produksinya naik secara tetap sebesar 100 unit per tahun. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut memproduksi 5.600 unit barang? Jawab: Dengan cara memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika, Sumber: www.eba.com.hk diperoleh suku pertama 3.000 dan bedanya 100, serta Un = 5600. Dengan demikian, yang dicari adalah n. Gunakan rumus suku ke–n, yaituGambar 3.1 : Pabrik Tekstil Un = a + (n – 1) b 5600 = 3000 + (n – 1) 100 5600 = 3000 + 100 n – 100 5600 = 2900 + 100 n 100 n = 5600 – 2900 100 n = 2700 n = 2700 = 27 100 Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 5600 unit barang pada tahun ke 27. Contoh Soal 3.9 Suatu keluarga memiliki 5 orang anak. Saat ini, usia kelima anak tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 12 tahun dan usia anak ke-5 adalah 7 tahun, tentukan jumlah usia kelima anak tersebut. Jawab: Dengan memodelkan permasalahan tersebut, diperoleh n =5 U3 = 12 = a + 2b ...(1) U5 = 7 = a + 4b – ...(2)Gambar 3.2 : Keluarga 5 = –2b b = –2,5 Dengan menyubstitusikan b = –2,5 ke persamaan (1), diperoleh a + 2b = 12 a + 2(–2,5) = 12 a – 5 = 12 a = 12 + 5 = 17 Dengan demikian, 5 )1 b = 5 2 17 5 2 2 2 ( ) ( )S5 = (5 (34 10) 2a 4(-2 5) = - = 60 Jadi, jumlah usia kelima anak tersebut adalah 60 tahun.Gambar 3.3 : Uang Contoh Soal 3.10 Ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 5 orang anaknya. Semakin muda usia anak maka semakin kecil jumlah uang yang diterima anak. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan anak sulung menerima uang paling banyak maka tentukan jumlah uang yang diterima anak ke–4. Jawab: Model matematika dari permasalahan tersebut adalah S5 = 100.000 b = 5.00080 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Rumus jumlah n suku pertama adalahn( )Sn =2 2a n 1b5( )( )S5 =2 2 5 - 1 5 000( )( )100.000 = 5 2a 4 5 000 2200.000 = 5(2a + 20.000) kedua ruas dikalikan 2200.000 = 10a + 100.000 10a = 100.000 a = 10.000Jumlah uang yang diterima anak ke–4 U4 = a + (4 – 1)b U4 = 10.000 + 3(5.000) = 25.000Jadi, jumlah uang yang diterima anak ke-4 adalah Rp25.000,00Tes Pemahaman 3.1Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1. Diketahui barisan aritmetika berikut. 8. Sebuah gedung pertunjukan memiliki 35 baris kursi. Kursi yang terdapat di baris depan ada 25a. 3, 6, 9, 12,... c. 1 ,1, 3 ,2,... kursi. Setiap baris, lebihnya dua kursi dari baris 22 sebelumnya. Tentukan: b. 11, 17, 23, 29,... d. 64, 60, 56, 52,... a. jumlah seluruh kursi di gedung tersebut, b. banyaknya kursi pada baris ke–35. Dari barisan-barisan tersebut, tentukan U7 dan U11. 9. Seorang petani apel di Malang memanen apelnya2. Tentukan suku ke-19 dari barisan aritmetika jika setiap hari. Setiap kali a. U4 = 15 dan U9 = 75 panen, ia selalu mancatat b. U7 = 105 dan U14 = 42 banyaknya apel yang berhasil dipanen. Banyaknya apel3. Diketahui suku terakhir dari suatu deret aritmetika yang dipetik pada hari ke-n Sumber: www.balipost.com memenuhi persamaan Un = 50 + 15n. adalah 43. Banyaknya suku dari deret tersebut Tentukan berapa banyaknya apel yang telah ia petik selama 20 hari pertama. adalah 22 dan jumlah deret tersebut 484. Tentukan suku pertama dan beda dari deret tersebut.4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama adalah 42 dan jumlah 8 suku pertama adalah 72. Tentukan suku ke–11.5. Berapakah jumlah 10 suku yang pertama dari suku 10. Pak Harry meminjam uang ke–n barisan aritmetika berikut. a. Un = 5n + 2 pada sebuah Bank untuk b. Un = 5 – 3 n keperluan sekolah anaknya.6. Suku ke-2 dari deret aritmetika adalah 11, jumlah suku ke-3 dan ke-4 adalah 31. Setelah dihitung, total Tentukan: a. suku pertama dan beda dari deret tersebut, pinjaman dan bunga yang b. rumus suku ke–n, c. jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut. harus dibayar oleh Pak Harry adalah Rp3.560.000,00. Sumber: www.jakarta.go.id Ia melakukan pembayaran utang dengan cara angsuran. Setiap bulannya, angsuran yang ia berikan naik Rp20.000,00 per bulannya. Jika angsuran pertama yang7. Diketahui deret Un = 2an + b + 4 dan Sn = 3bn2 + an. ia bayarkan Rp60.000,00, tentukan berapa lamakah Tentukan nilai a dan b yang memenuhi. waktu yang diperlukan Pak Harry untuk melunasi utangnya tersebut. Barisan dan Deret 81

B. Barisan dan Deret GeometriPola dari barisan dan deret geometri tidaklah sama dengan pola dari barisandan deret aritmetika. Untuk itu, Anda perlu berhati-hati jika menemukansuatu barisan atau deret bilangan. Supaya tidak keliru maka Anda harusbisa membedakan antara barisan dan deret aritmetika dengan barisan danderet geometri. Untuk itu, pelajarilah materi pada subbab ini dengan baik,kemudian bandingkan dengan materi pada subbab sebelumnya.1. Barisan GeometriPerhatikan barisan bilangan berikut.• 2, 4, 8, 16,...• 81, 27, 9, 3,... Pada kedua barisan tersebut, dapatkah Anda menentukan polayang dimiliki oleh masing-masing barisan? Tentu saja pola yang didapatakan berbeda dengan pola yang Anda dapat ketika mempelajari barisanaritmetika. Selanjutnya, cobalah Anda bandingkan antara setiap dua sukuyang berurutan pada masing-masing barisan tersebut. Apa yang Andaperoleh? Ketika Anda membandingkan setiap dua suku yang berurutanpada barisan tersebut, Anda akan mendapatkan perbandingan yang sama.Untuk barisan yang pertama, diperoleh perbandingan sebagai berikut.4 = 2, 8 = 2, 16 = 2,....2 4 8Bilangan 2 disebut sebagai rasio dari barisan yang dilambangkan dengan r.Barisan yang memiliki rasio seperti ini dinamakan barisan geometri.Definisi Definisi Barisan Geometri Misalkan U1, U2, ...,Un suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan sebagai barisan geometri apabila memenuhi U2 = U 3 = ... = Un =r , dengan r = rasio atau pembanding. U1 U 2 Un 1 Jika diketahui suatu barisan geometri U1, U2, ...,Un, dan dimisalkanU1 = a dengan rasionya r maka Anda dapat menuliskan: U1 = a U2 = 1.r = a.r = ar 2 – 1 U3 = U2.r = (ar) r = ar 2 = ar3 – 1 Un = a.r.r...r = ar n – 1 n –1 Dengan demikian, Anda dapat menentukan suatu rumus umumuntuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri. Rumus Suku ke–n Barisan Geometri Misalkan terdapat suatu barisan geometri U1, U2, ...,Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah Un = ar n–182 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Contoh Soal 3.11 Pembahasan SoalDiketahui barisan geometri 2, 8, 32, .... Tentukan: Suku kelima dan suku kede-a. suku pertama dan rasionya, lapan suatu barisan geometrib. rumus suku ke–n,c. U5 dan U11 berturut-turut adalah 48 danJawab: 384. Suku keempat barisan tersebut adalah .... U2 8 a. 24 d. 38 U1 2 b. 30 e. 42a. Suku pertama U1 = a = 2. Rasionya adalah = = 4 c. 34 Jawab: Oleh karena a = 2 dan r = 4 maka U5 = ar4 = 48 U8 = ar7 = 384 Un = ar n – 1 Un = 2 (4)n – 1 U8 = ar 7 = 384 U5 ar 4 48 Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah 2(4)n – 1 r2 = 8c. Berdasarkan hasil dari soal b maka r = 38 2 U5 = 2 (4)5 – 1 U11 = 2 (4)11 – 1 r U5 ¤ U4 = U5 = 48 = 24 = 2 · 44 = 512 = 2 · 410 = 2.097.152 U4 r 2 Jadi, U5 dan U11 dari barisan tersebut adalah 512 dan 2.097.152. Jawaban: a Sumber: EBTANAS, 2000Contoh Soal 3.12Diketahui suku ke-9 barisan geometri adalah 256 dan suku ke-6 barisan Cobalahtersebut 32. Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan tersebut. Jika U1, U2, ... U7 membentukJawab: barisan geometri, U3 = 12 dan log U1 + log U2 + ... + log U7U9 = ar 9 – 1 = ar 8 = 256 ...(1) = 7 log 3.U6 = ar 6 – 1 = ar 5 = 32 Tentukan U5. ...(2) Sumber: SPMB, 2007Bagilah persamaan (1) oleh persamaan (2) diperolehU9 = ar 8 = 256U6 = ar 5 = 32 : r3 = 8 r =2Substitusi r = 2 ke persamaan (2), diperoleh ar 5 = 32 a (2)5 = 32 a (32) = 32 a =1Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut adalah 1 dan rasionya 2.Contoh Soal 3.13Diketahui tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahketiga bilangan tersebut adalah 31 dan hasil kali ketiga bilangan tersebutadalah 125 tentukan nilai ketiga bilangan tersebut.Jawab:Misalkan suku tengah dari ketiga bilangan tersebut adalah x dan rasiobarisan tersebut adalah r maka suku pertama dari barisan adalah x dan suku rketiganya x.r. Dengan demikian, barisan geometrinya adalah x , x, xr . rHasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 125,( )( )artinyaÊxˆ x xr = 125 ËÁ r ¯˜ x3 = 125 x =5 Barisan dan Deret 83

Pembahasan Soal Dengan menyubstitusikan x = 5 ke dalam barisan, diperolehSuku ke-n suatu barisan 5 , 5, 5r rgeometri adalah Un.Jika U1 = k, U2 = 3k, dan Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 31, artinyaU3 = 8k + 4 maka U5 = ....a. 81 d. 648 5 + 5 5r = 31 rb. 162 e. 864c. 324 5 kedua ruas ditambah (–31) rJawab: + 5 26 0U1 = k, U2 = 3k, U3 = 8k + 4, 5 + 5r 2 – 26r = 0 kalikan dengan rlangkah pertama tentukan nilai r.r = U2 = U3 5r2 – 26 r + 5 = 0 U1 U2 (r – 5) (5r – 1) = 0 pemfaktoran persamaan kuadratr = 3k = 3 r – 5 = 0 atau 5r – 1 k r=5 r= 1Selanjutnya, tentukan nilai k. 5U2 = U3 Dengan demikian, ketiga bilangan yang dimaksud adalahU1 U2 5 ; 5; 5 (5) atau 5 ; 5; 5 Ê 1ˆ3k 8k + 4 5 1 ËÁ 5 ˜¯k = 3k 5 3 = 8k 4 1; 5; 25 atau 25; 5; 1 3k Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 1; 5; 25.9k = 8k + 4 2. Deret Geometri k=4 Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri.Oleh karena U1 = k maka U1 = 4Dengan demikian, DefinisiU5 = ar 5 – 1 Definisi Deret Geometri = ar 4 = 4 · 34 Misalkan U1, U2, ...,Un adalah barisan geometri maka pemjumlahan = 4 · 81 U1 + U2+ ... + Un adalah deret geometri. = 324 Jawaban: c Sumber: SPMB, 2007 Secara umum, dari suatu barisan geometri U1, U2, ...,Un dengan U1 = a dan rasio r, Anda dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu U1+ U2+ U3 + ...+ Un = a + ar + ar 2+ ... + arn – 1 Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret geometri. Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh Sn = a + ar + ar2 + ... + ar n – 1 ...(1) Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1) dengan r, diperoleh Sn· r = ar + ar2 + ar3 + ... + ar n ...(2) Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini, Sn – (Sn · r). Sn = a + ar + ar2 +...+ ar n – 1 (Sn · r) = ar + ar2 + ...+ ar n – 1 + arn – Sn – (Sn · r) = a – arn Sn(1 – r) = a (1 – rn) faktorkan masing-masing ruas ( )a 1 rn sehingga diperoleh Sn = 1 - r ,r π 184 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret GeometriMisalkan U1, U2 + ...+Un merupakan deret geometri, dengan sukupertama a dan rasio r, maka jumlah n suku pertama (Sn) dari derettersebut adalah ( ) ( )a 1 rn a rn - Sn = 1 - r ,r π 1 atau Sn = r - 1 ,r π 1Contoh Soal 3.14Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 .... Pembahasan SoalTentukan:a. rumus jumlah n suku pertama, Jika jumlah n suku pertamab. jumlah 7 suku pertamanya. dari suatu deret geometri yangJawab: rasionya r adalah Sn maka S6n = .... S3n4 + 12 + 36 + 108 .... a. r3n d. r2n + 1Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12 = 3 b. r2n e. r3n – 1 4 c. r3n + 1( ) ( ) ( )a. Jawab: a rn - = 4 3n - 1 = 4 3n - 1 = 2(3n – 1) Sn = r -1 31 2 ( )Sn =arn - r -1 maka Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ( )a r6n - 1 2 (3n –1). ( )S6n r 6n r 3n S3n -1b. Jumlah suku pertamanya = r -1 = -1 a r3n - 1 S7 = 2 (37 – 1) = 2 (2187 – 1) = 4.372 r -1 Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372. ( )S6n = r 3n 2 - 1 S3n r 3n - 1 1) ( )(r3nContoh Soal 3.15 r 3n = r3n - 1Dari suatu deret geometri, diketahui suku ke-3 = 8 dan suku ke-5 = 32. S6n = r3n + 1Tentukan S15. S3nJawab: Jadi, nilai S6n = r3n + 1Dari soal diketahui S3nU3 = 8 = ar2 ...(1) Jawaban: cU5 = 32 = ar4 ...(2) Sumber: SPMB, 2004Dari persamaan (1) dan (2), Anda peroleh r = 2 dan a = 2 (buktikan),sehingga( ) ( ) ( )S15 =rn - a r -1 = 2 215 - 1 = 2 32.768 - 1 = 2 (32.767) = 65.534 21 1Jadi, besar S15 = 65.534.Contoh Soal 3.16Diketahui jumlah n suku pertama pada suatu deret geometri adalah68.887. Jika suku pertama dari deret itu a = 7 dan rasio r = 3 makatentukanlah nilai n.Jawab:a = 7 dan r = 3( )Sn = 68887arn -Sn = r -1 Barisan dan Deret 85

( )68.887 = 7 3n - 1 31 137.774 = 7 (3n – 1) 3n – 1 = 19.682 3n = 19.683 3n = 39 Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 9. 3. Deret Geometri Tak HinggaPembahasan Soal Pada Subbab B.2, Anda telah mempelajari deret geometri. Deret geometri yang telah Anda pelajari merupakan deret geometri berhingga. Pada bagianPada matriks A = È1 a˘ , ini, Anda akan mempelajari deret geometri tak hingga. ÍÎb c ˙˚ Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyakbilangan positif 1, a, c sukunya tak hingga. Anda telah mengetahui bahwa untuk menentukanmembentuk barisan geometri jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:berjumlah 13 dan bilangan ( )Sn rn - r -1positif 1, b, c membentuk barisan = a = a ar n 1- raritmetika, maka det A = ...a. 17 d. –6 a ar n 1 1- rb. 6 e. –22 = -c. –1 rJawab:1, a, c membentuk barisan Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n Æ ∞ sebagai berikut.geometri berjumlah 13 makaa = c ¤ a2 = c ...(1)1 a a. Untuk r > 1 atau r < –1dan1 + a + c = 13 ¤ c + a = 12 ...(2) Oleh karena r > 1 atau r < –1 maka nilai rn akan semakin besar jika nSubstitusi (1) ke (2) diperoleh makin besar. Dalam hal ini,a2 + a – 12 = 0 • Untuk r > 1 dan n Æ ∞ maka rnÆ ∞.(a – 3)(a + 4) = 0a – 3 atau a + 4 = 0 • Untuk r < –1 dan n Æ ∞ maka r Æ –∞.a = 3 a = –4 (tidak memenuhi sehingga diperoleh karena a > 0) ( )Sn =1, b, c membentuk barisan a - a ±• 1- raritmetika maka 1 rb–1=c–b2b = c + 1 = ±∞ Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < –1 disebut deret divergenb = 1 (c + 1) ...(3) (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecenderungan pada suatu nilai 2 tertentu. Oleh karena itu, deret ini tidak memiliki limit jumlah.Substitusi a = 3 ke (1) diperolehc = a2 = 32 = 9,substitusi c = 9 ke (3)b = 1 (c + 1) = 1 (9 + 1) = 5 b. Untuk –1 < r < 1 22 Oleh karena –1 < r < 1 maka nilai rn akan semakin kecil dan mendekatiDengan demikian, nol. Dalam hal ini untuk n Æ ∞ maka rn Æ 0A = È1 a˘ = È1 3˘ sehingga diperoleh ÍÎb c ˚˙ ÎÍ5 9˚˙ ( )Sn a0maka det A= È1 3˘ = 9– 15 = a - 1- r ÎÍ5 9˚˙ = –6 1- r =aJadi, det A = –6 1- r Jawaban: d Sumber: SPMB, 2007 Deret geometri tak hingga dengan –1 < r < 1 disebut deret konvergen. Deret ini memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu, deret ini memiliki limit jumlah.86 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Contoh Soal 3.17 Pembahasan SoalTentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut. Jumlah deret tak hingga 1 – tan2 30º + tan4 30º – tan6 30º2 + 2 + 2 + ... + ... + (–1)n tan2n 30º adalah .... 3 9 a. 1 d. 3Jawab: 2 b. 1Berdasarkan deret tersebut dapat Anda ketahui a = 2 dan r = 1 . Dengan 2 e. 2demikian, 3 c. 3 4 =a = 2= 2 =3S∞ 1- r 1 2 Jawab: 3 3 1 – tan2 30º + tan4 30º – tan6 30º 1- + ... + (–1)n tan2n 30º + ...Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 3. Berdasarkan deret tersebut,Contoh Soal 3.18 diketahui: a=1 r = – tan2 30º Jumlah deret tak hingganyaSuku ke-n dari suatu deret geometri tak hingga adalah 5–n. Tentukan jumlah S• = 1 a rderet geometri tak hingga tersebut. -Jawab:     = 1 + 1 30o tan2 1 1 1Un = 5–n maka a = U1 = 5–1 = 5 , U2 = 5–2 = 52 = 25 = 1 + 1 1 1 3 U2 1 5 5= 1r= U1 = 25 = 25 ¥ 1 = 25 5 = 1 1 4 5 3 11 = 3 4S∞ = a= 5 = 5 = 1 5 = 1Jadi, 1- r 4 5 ¥ 4 4 Jadi, jumlah deret tak hingga jumlah 1 1 - 5 5 1. tersebut adalah 3 tersebut adalah 4 deret Jawaban: c 4 Sumber: UMPTN, 1999Contoh Soal 3.19Dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga, nyatakan pecahandesimal 0,2222... ke dalam bentuk pecahan biasa.Jawab:0,2222... = 0,2 + 0,02 + 0,002 + ... = 0,2 + 0,2 (0,1) + 0,2 (0,01) + ... = 0,2 + 0,2 (0,1) + 0,2 (0,1)2 + ...Ternyata bentuk 0,2222... dapat dibentuk ke dalam bentuk deret geometritak hingga dengan suku pertama a = 0,2 dan rasio r = 0,1. Oleh karena r =0,1 (–1 < r < 1) maka deret ini konvergen dengan:S∞ = a = 0, 2 1- r 1 0,1 = 0,2 0, 9 =2 9Jadi, bentuk desimal 0,2222... ekuivalen dengan pecahan 2 . 9 Barisan dan Deret 87

Contoh Soal 3.20 Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan limit jumlah 9. Jika suku pertama deret tersebut adalah 6, tentukan rasio dari deret tersebut. Dari soal diketahui bahwa a = 6 dan S∞ = 9. Jawab: S∞ = a 1- r 9= 6 1- r 9 – 9r = 6 9r = 3 r= 1 3 Jadi, rasio dari deret geometri tersebut adalah 1 . 3 4. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri Sama halnya seperti barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri pun dapat digunakan dalam memecahkan masalah-masalah yang ada dalam kehidupan sehari-hari. Contoh Soal 3.21 Akibat adanya wabah flu burung, seorang peternak ayam mengalami kerugian. Setiap dua puluh hari, jumlah ayamnya berkurang menjadi setengah. Jika setelah 2 bulan jumlah ayam yang tersisa tinggal 200 ekor, berapakah jumlah ayam semula yang dimiliki peternak tersebut? Jawab: Sumber: www.iptekda.lipi.go.id Masalah tersebut merupakan aplikasi dari barisan geometri. DariGambar 3.4 : Peternakan ayam permasalahan tersebut diketahui Un = 200, r = 1 , dan n = 2 bulan = 2 30 hari = 3 2 20 hari 20 hari Berdasarkan konsep barisan geometri, diperoleh Un = arn–1 Ê 1ˆ3 1 ËÁ 2 ˜¯ 200 = a 200 = a Ê 1ˆ2 ËÁ 2 ¯˜ a = 4 × 200 = 800 Jadi, jumlah ayam yang dimiliki peternak tersebut adalah 800 ekor. Sumber: www.ldb.com.do Contoh Soal 3.22Gambar 3.5 : Bola basket Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 6 m. Pada setiap pantulan, bola memantul dan mencapai ketinggian 2 dari ketinggian semula. Tentukan 3 panjang lintasan yang terjadi hingga bola benar-benar berhenti.88 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

Jawab: 6mPanjang lintasan total bola hingga berhenti dinyatakan oleh deret berikut.S∞ = h0 + 2(h1 + h2 + ...)ho = ketinggian mula-mula 6 mh1 = 2 h0 = 2 ×6=4m 3 3 2 2 2. Ê 2ˆ Ê 2 ˆ 4 24h2 = 3 h1 = 3 ËÁ 3˜¯ h0 = ËÁ 3 ¯˜ h0 = 9 ¥6 = 9 m 2 2. Ê 2 ˆ 2 Ê 2 ˆ 3 8m 3 3 ËÁ 3 ˜¯ ËÁ 3 ¯˜ 27h3 = h2 = h0 = h0 =hn = 2 hn–1 3Dengan demikian, Anda dapat menuliskan Ê 2 Ê 2 ˆ 2 ˆ ÁËÁ 3 ÁË 3 ¯˜ + ...¯˜˜( ) ( )S∞ = h0 + 2(h1 + h2 + ... + h50) = 6 2 6 + 6 Ê Ê 2 ˆ Ê 2 ˆ 2 ˆ ÁÁË ËÁ 3 ˜¯ ËÁ 3 ˜¯ ...¯˜˜ =6 2 4 + 4 + 4 +Dapat Anda lihat bahwa Ê 2 ˆ Ê 2 ˆ 2 ËÁ 3 ˜¯ ËÁ 3 ˜¯4 + 4 + 4 + ...merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan a = 4 dan r = 2 . 3Oleh karena itu, jumlah dari deret tersebut (misalkan D) adalahD = a = 4 = 4 = 12 1- r 2 1 1 - 3 3Dengan demikian,S∞ = 6 + 2D = 6 + 2 (12) = 6 + 24 = 30Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola sampai bola berhenti adalah 30 m.Contoh Soal 3.23 Sumber: www.ropefailed.com Seutas tali dipotong menjadi 4 bagian, sedemikian sehingga panjang dari Gambar 3.6 potongan tali tersebut membentuk barisan geometri. Jika potongan tali Tali putus yang terpendek adalah 0,5 cm dan yang paling panjang 108 cm, tentukan panjang tali semula. Jawab: Dengan memodelkan masalah tersebut ke dalam bahasa matematika, n = 4, U1 = a = 0,5 cm, dan U4 = 108 cm. U4 = ar4 – 1 = 108 0,5r3 = 108 r3 = 216 r =6 Barisan dan Deret 89

( )Selanjutnya, carilah jumlah dari potongan-potongan tali tersebut, yaitu S4 S4 = a r4 -1 r -1 ( )0,5 64 1 = 61 = 0,5(1296 - 1) 5 = 0,1 (1295) = 129,5 Jadi, panjang tali semula adalah 129,5 cm.Tes Pemahaman 3.2Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.1. Tentukan rasio dan suku ke-5 dari barisan-barisan 6. Suku pertama dari suatu barisan sama dengan geometri berikut ini. 5, sedangkan suku ketiganya sama dengan 80. a. 2, –6, 18, –54, ... Tentukan: b. 9, 3, 1, ... a. rasio dari barisan (ambil rasio yang positif ), b. rumus suku ke-n.2. Tentukan suhu ke 6 dan suhu ke 9 dari barisan- 7. Pada saat awal diamati terdapat 8 virus jenis tertentu.barisan geometri berikut. Setiap 24 jam masing-masing virus membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat daria. –44, 22, –11, ... seluruh virus dibunuh, tentukan banyaknya virus pada hari ke-6.b. 111 1, , , , ... 8. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian dan panjang 248 masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Panjang potongan tali terpendek 6 cm3. Diketahui suku pertama dari suatu barisan geometri dan potongan tali terpanjang sama dengan 486 cm. Tentukan panjang tali secara keseluruhan.adalah 5, sedangkan suku keduanya adalah 12. 9. Diketahui suku ke-5 dari deret geometri adalah 96Tentukan rasio dan rumus suku umum ke-n dari dan suku ke-3 dari deret tersebut adalah 24. Jika S4 = 90, tentukan nilai a (suku pertama).barisan geometri tersebut. 10. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian4. Diketahui deret geometri 4 + 2 + 1 + ... + 1 . 4 m, dan ketinggian bola setiap kali memantul 108 adalah 3 dari ketinggian semula. Tentukan:Tentukan: 4 a. ketinggian bola pada pantulan ke-4,a. banyak suku deret tersebut, b. panjang lintasan bola sampai bola benar-benar berhenti.b. jumlah 7 suku pertama,c. jumlah deret tersebut.5. Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga berikut. a. –2, 4, –8, 16, ... b. 4 , 2 , 1 , 1 , ... 5 5 5 10Rangkuman1. Barisan Aritmetika 2. Deret Aritmetika Suatu barisan dikatakan sebagi barisan aritmetika jika selisih antara setiap dua suku yang berurutan Misalkan U1, U2, ... Un adalah barisan aritmetika selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut maka penjumlahan U1 + U2 + ... + Un adalah disebut sebagai beda (b). deret aritmetika. Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika: Un = a + (n – 1)b Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika ( )( ) ( )Sn =na +Un n 2 atau Sn = 2 2a n 1b90 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

3. Barisan Geometri 5. Deret Geometri Tak Hingga U1, U2, ..., Un suatu barisan bilangan geometri a. Deret geometri tak hingga adalah deret apabila memenuhi geometri yang banyak sukunya tak hingga.U2 U 3 Un b. Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atauU1 U 2 Un = = ... = =r , dengan r = rasio atau r < –1 adalah deret divergen. Deret ini tidak 1 memiliki limit jumlah.pembanding. c. Deret geometri tak hingga dengan –1 < r < 14. Deret Geometri adalah deret konvergen. Deret ini memilikiU1, U2, ..., Un adalah barisan geometri maka limit jumlah dengan rumuspenjumlahan U1 + U2 + ... + Un adalah deretgeometri. Sn = a , r ≠ 1 1- r ( ) ( )a 1 rnSn = 1- r atau Sn = a rn - , dengan r ≠ 1 r -1Peta Konsep membentuk Deret Bilangan Barisan Bilangan terdiri atas terdiri atas Barisan Barisan Deret Deret Aritmetika Geometri Aritmetika GeometriRumus Suku ke-n Aplikasi Rumus Suku ke-n Aplikasi Jumlah n SukuUn = a + (n – 1)b Un = arn – 1 Pertama Aplikasi ( )a r n Sn = 1 - r ( )a r n - Sn = r - 1 Jumlah n Suku Aplikasi Deret Geometri Tak Pertama 1) b) Hingga S• = a ( (n 1-r Sn = 2 2a n Barisan dan Deret 91

Tes Pemahaman Bab 3Kerjakanlah di buku latihan Anda.I. Pilihlah satu jawaban yang benar.1. Suku ke-6 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, .... 10. Pada suatu deret geometri suku keduanya 5, jumlaha. 11 d. 20 suku keempat dan keenam adalah 28. Suku ke-9 darib. 14 e. 23 deret tersebut adalah ....c. 17 a. 28 d. 192. Jumlah 15 bilangan asli yang pertama adalah .... b. 26 e. 17a. 120 d. 123 c. 21b. 121 e. 124 11. Sebuah tali dibagi menjadi enam bagian denganc. 122 panjang yang membentuk barisan geometri. Jika tali3. Jumlah 6 suku pertama pada barisan bilangan 3, 8, yang paling pendek panjangnya 3 cm dan yang paling13, 18, ... adalah .... panjang 96 cm, panjang tali semula adalah ....a. 47 d. 84 a. 183 cm d. 189 cmb. 65 e. 95 b. 186 cm e. 191 cmc. 72 c. 187 cm4. U5 + U7 pada barisan bilangan 3, 6, 9, ... adalah .... 12. Jika a, b, dan c barisan geometri, hubungan yanga. 33 d. 42 mungkin adalah ....b. 36 e. 45 a. a2 = bc d. c = a2bc. 39 b. b2 = ac e. b = a2r25. Diketahui barisan bilangan 3, 7, 11, 15, ... adalah .... c. c2 = abJika Sn = 528, maka n = .... 13. Jumlah dari suatu deret tak hingga adalah 10.a. 10 d. 16 Jika suku pertamanya 2, rasio dari deret tersebutb. 12 e. 18 adalah ....c. 14 a. 2 d. 56. Jumlah semua bilangan genap antara 100 dan 200 36yang habis dibagi 5 adalah .... b. 3 e. 6a. 1150 d. 1450 47b. 1250 e. 1500 c. 4c. 1350 5 14. Suatu jenis bakteri dalam satu detik membelah7. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah( )Sn =n3n 17 . menjadi dua. Jika pada permulaan ada 5 bakteri2 maka banyaknya waktu yang diperlukan supayaRumus suku ke-n deret ini adalah .... bakteri yang ada menjadi 160 adalah ....a. 3n – 10 d. 3n – 4 a. 3 detik d. 6 detikb. 3n – 8 e. 3n – 2 b. 4 detik e. 7 detikc. 3n – 6 c. 5 detik8. Jumlah 6 suku pertama pada barisan bilangan 2, 6, 15. Seorang petani mencatat hasil panennya selama 1118, 54, adalah .... hari. Jika hasil panen hari pertama 15 kg mengalamia. 728 d. 722 kenaikan sebesar 2 kg setiap hari, jumlah hasil panenb. 726 e. 720 yang dicatat adalah .... (SPMB 2003)c. 724 a. 200 kg d. 275 kg9. U7 + U5 pada barisan bilangan 3, 6, 12, 24, ... b. 235 kg e. 425 kg adalah .... c. 325 kga. 236 d. 242b. 238 e. 244c. 24092 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa

16. Syarat supaya deret geometri tak hingga dengan suku 19. Dari deret aritmetika diketahuipertama a konvergen dengan jumlah 2 adalah .... U6 + U9 + U12 + U15 = 20 maka S20 = ....a. –2 < a < 0 d. 0 < a < 4 a. 50 d. 200b. –4 < a < 0 e. –4 < a < 4 b. 80 e. 400c. 0 < a < 2 c. 10017. Dari suatu barisan geometri, ditentukan U1 + U2 + 20. Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah U3 = 9 dan U1·U2 ·U3 = –216. Nilai U3 pada barisan geometri itu adalah .... 20. Hasil kali suku ke-2, suku ke-4, dan suku ke-5a. –12 atau –24 d. –3 atau –12 adalah 324. Jumlah 8 suku pertama deret tersebutb. –6 atau –12 e. 6 atau 24 adalah ....c. –3 atau –6 a. –4 atau 68 d. –64 atau 124 b. –52 atau 116 e. –5 atau 13818. μ1, μ2, μ3, ... adalah barisan aritmetika dengan suku- c. –64 atau 88suku positif. Jika μ1 + μ2 + μ3 = 24 dan μ12 = μ3–10maka μ4= ....a. 16 d. 30b. 20 e. 32c. 24II. Kerjakan soal-soal berikut. 4. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan1. Diketahui suku ke-2 dari suatu deret aritmetika sampai bulan keempat Rp30.000,00, dan sampai adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama bulan kedelapan Rp172.000,00, tentukan dengan 28, tentukan keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut a. suku pertama dan beda deret aritmetika sampai tepat 1 tahun. tersebut, b. rumus suku ke-n, 5. Jumlah penduduk sebuah kota setiap 10 tahun c. jumlah 15 suku pertama. berubah menjadi 2 kali lipatnya. Berdasarkan perhitungan, pada tahun 2020 nanti akan dicapai2. Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri 6,4 juta orang. adalah 33. Jika rasionya -2, tentukan jumlah nilai suku ke-5 dan ke-9 deret geometri tersebut. Tentukan berapakah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 1980.3. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 maka diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2 maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. Barisan dan Deret 93

Refleksi Akhir BabBerilah tanda √ pada kolom yang sesuai dengan pemahaman Anda mengenai isi bab ini. Setelah mengisinya,Anda akan mengetahui pemahaman Anda mengenai isi bab yang telah dipelajari.No Pertanyaan Tidak Jawaban Sebagian Kecil Sebagian Besar Seluruhnya 1. Apakah Anda memahami pengertian dan sifat-sifat notasi sigma? 2. Apakah Anda dapat menjelaskan ciri barisan aritmetika dan baris geometri? 3. Apakah Anda memahami cara merumuskan dan menentukan suku ke–n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri? 4. Apakah Anda dapat menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah? 5. Apakah Anda memahami cara menghitung jumlah deret geometri tak hingga? 6. Apakah Anda memahami cara menuliskan suatu deret aritmetika dan deret geometri dengan notasi sigma? 7. Apakah Anda dapat merumuskan masalah yang model matematikannya berbentuk deret aritmetika dan deret geometri? 8. Apakah Anda memahami cara menentukan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas? 9. Apakah Anda mengerjakan soal- soal yang ada pada bab ini?10. Apakah Anda berdiskusi dengan teman-teman Anda apabila ada materi yang tidak dimengerti?94 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa