Kelas XII_SMA IPA_Matematika_Pesta ES

Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah §1 0 · , sehingga ©¨ 0 1 ¹¸ B § ac· §1 0· §a· ¨ ¸ ¨© 0  1¹¸ ©¨ b ¹¸ © bc ¹ y • Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu-y menghasilkan bayangan titik Cac, bc) dengan ac a dan bc b.C(a, b) b A(a, b) Sumbu-y C(a, b) a O ax A(a, b) Gambar 6.8 ac a Ÿ ac 1 ˜a  0 ˜bPencerminan titik A ter- bc b Ÿ bc 0 ˜a  1 ˜bhadap sumbu-y Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah § 1 0 · , sehingga ¨ 1 ¸ © 0 ¹ C § ac· § 1 0 · § a · ¨ ¸ ©¨ 0 1¹¸ ©¨ b ¹¸ © bc ¹ y • Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y x menghasilkan bayangan a D(b, a) titik D(ac, bc) dengan ac b dan bc a. b A(a, b) Garis y x O ba x A(a, b) D(b, a) yx ac b Ÿ ac 0 ˜a  1 ˜b Gambar 6.9 bc a Ÿ bc 1 ˜a  0 ˜bPencerminan titik A ter-hadap garis y x Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah §0 1 · , sehingga ¨ 0 ¸ © 1 ¹ D § ac· §0 1· §a· ¨ ¸ ¨© 1 0 ¸¹ ¨© b ¸¹ © bc ¹ y • Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y x menghasilkan bayangan titik E(ac, bc) dengan ac b dan bc a. b A(a, b) Garis y x ax b O A(a, b) E(b, a)E(b, a) a y x Gambar 6.10 ac b Ÿ ac 0 ˜a  1 ˜bPencerminan titik A ter- bc a Ÿ bc 1 ˜a  0 ˜bhadap garis y x Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah §0  1 · , sehingga ©¨ 1 0 ¹¸ E § ac· § 0 1· §a·  ¨ bc ¹¸ ©¨ 0 ¹¸ ©¨ b ¹¸ © 1140 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam140

• Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan y titik F(ac, bc) dengan ac a dan bc b. b A(a, b) A(a, b) O(0, 0) F(a, b) a O ax Titik asal b F(a, b)ac a Ÿ ac 1 ˜a  0 ˜bbc b Ÿ bc 0 ˜a  1 ˜b Gambar 6.11 Pencerminan titik A ter-Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah § 1 0 · , sehingga hadap titik asal ¨© 0 1 ¸¹ F § ac· § 1 0 · § a · ¨ ¸ ¨© 0  1¸¹ ¨© b ¸¹ © bc ¹• Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x h menghasilkan bayangan y titik G(ac, bc) dengan ac 2h a dan bc b. xh Garis x h b A(a, b) G(2h  a, b) A (a, b) G (2h  a, b) O a 2h  a xac 2h  a Ÿ ac 1 ˜a  0 ˜b)  2h Gambar 6.12bc b Ÿ bc (0 ˜a  1 ˜b)  0 Pencerminan titik A ter- hadap garis x hJika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut.G § ac· § 1 0· § a·  § 2h · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ © bc ¹ © 0 1 ¹ © b ¹ © ¹• Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y k menghasilkan bayangan y titik H(ac, bc) dengan ac a dan bc 2k  b. 2k  b H(a, 2k  b) Garis y k b yk A(a, b) H(a, 2k  b) O A(a, b) axac a Ÿ ac 1 ˜a  0 ˜b)  0 Gambar 6.13 Pencerminan titik A ter-bc 2k  b Ÿ bc (0 ˜a  1 ˜b)  2k hadap garis y kJika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut.H § ac· §1 0· §a·  § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2k ¸ © bc ¹ © 0  1 ¹ © b ¹ © ¹Bagaimana jika dua refleksi dikomposisikan?Misalnya, titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis x h. Kemudian,dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x k.Untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut! 141Bab 6 Transformasi Geometri

y Accc2h  a, 2m  b m ym b A(a, b) Ac (2h  a, b) Acc(2(k  h)  a , b) Oa h k x xh xk Gambar 6.14 Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x = h dan x = kDari gambar, tampak bahwa:A(a, b) Garis x h Ac (2h  a, b) Garis x k Acc (2(k  h)  a, b)Dengan cara yang sama, kalian dapat menentukan bayangan titik A(a, b)yang dicerminkan terhadap garis y m, dilanjutkan dengan pencerminanterhadap garis y n sebagai berikut. Garis y m Garis y nA(a, b) Ac (a, 2m  b) Acc (a, 2(n  m)  b)Sekarang, jika titik A(a, b) dicerminkan terhadap dua garis yang salingberpotongan tegak lurus, misalnya pencerminan terhadap garis x h,dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y m. Diperoleh bayanganAccc sebagai berikut. Garis x h Garis y m Accc (2h  a, 2m  b)A(a, b) Ac(2h  a, b)Contoh 1. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan titik sudut A(2, 4), B(0, 5), C(3, 2), dan D(1, 11) jika a. dicerminkan terhadap sumbu-x b. dicerminkan terhadap sumbu-y c. dicerminkan terhadap sumbu-x. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y d. dicerminkan terhadap sumbu-y. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x.142142 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Jawab:a. Pencerminan terhadap sumbu-x§ x1c x2c x3c x4c · §1 0 · § 2 0 3 1·¨ ¸ ¨ 1 ¹¸ ¨ ¸©¨ y1c y2c y3c y4c ¹¸ © 0  © 4 5 2 11 ¹ § 2 0 3 1· ¨© 4 5  2  11 ¸¹Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu-x adalah jajargenjang AcBcCcDc dengan titik sudutAc2,  4 , Bc0, 5 , Cc3, 2 , dan Dc1, 11 .b. Pencerminan terhadap sumbu-y§ x1c x2c x3c x4c · § 1 0 · § 2 0 3 1·¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨© y1c y2c y3c y4c ¹¸ © 0 1 ¹ © 4 5 2 11 ¹Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu-y adalah jajargenjang A’B’C’D’ dengan titik sudutAc2, 4 , Bc0,  5 , Cc3, 2 , dan Dc1, 11 .c. Pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y. Pada jawaban a, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang ABCD yang dicerminkan terhadap sumbu-x. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-y sehingga diperoleh § x1cc x2cc x3cc x4cc · § 1 0·§ 2 0 31 · ¨ ¸ ©¨ 0 1 ¹¸©¨4 5  2  1¹¸ ©¨ y1cc y2cc y3cc y4cc ¹¸ § 2 0 3 1· ¨ ¸ © 4 5 2  11 ¹Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-yadalah jajargenjang Acc BccCccDcc dengan titik sudut Acc2,  4 ,Bcc0, 5 , Ccc3,  2 , dan Dcc1,  11 .Bayangan jajargenjang ABCD ini dapat pula kalian tentukandengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksiterhadap sumbu-x dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-y sebagaiberikut.§ x1cc x2cc x3cc x4cc · § 1 0 · § 1 0 · § 2 03 1·¨ ¸ ©¨ 0 1¹¸ ©¨ 0  1 ¹¸ ©¨ 4 5 2 11 ¹¸©¨ y1cc y2cc y3cc y4cc ¹¸ § 1 0 · § 2 0 3 1· ©¨ 0 1¸¹ ¨© 4 5  2  1 ¸¹ § 2 0  3  1· ©¨ 4 5  2  11 ¹¸ 143Bab 6 Transformasi Geometri

Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu–yadalah jajargenjang AccBccCccDcc dengan titik sudut Acc2,   4 ,Bcc0,  , Ccc3,  , dan Dcc1,  .d. Pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x. Pada jawaban b, kalian telah menemukan bayangan jajargenjang ABCD yang dicerminkan terhadap sumbu-y. Sekarang hasil pencerminan tersebut, cerminkan lagi terhadap sumbu-x sehingga diperoleh§ x 1 cc x2 cc x 3 cc x 4 cc · § 1 0 · § 2 0 3 1·¨©¨ y 1 cc y 2 cc y 3cc y 4cc ¹¸¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 0 1 ¹ © 4 5 2  1 ¹ § 2 0 3 1· ¨ ¸ © 4 5 2  11 ¹Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-xadalah jajargenjang AccBccCccDcc dengan titik sudut Acc2,   4 ,Bcc0,  , Ccc3,  , dan Dcc1,  .Bayangan jajargenjang ABCD ini dapat pula kalian tentukandengan terlebih dahulu menentukan matriks komposisi refleksiterhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu-x sebagaiberikut.§ x1cc x2cc x3cc x4cc · § 1 0 · § 1 0 · § 2 0 3 1·¨ ¸ ¨© 0  1¸¹ ¨© 0 1¸¹ ¨© 4  5 2 11¸¹¨© y1cc y2cc y3cc y4cc ¸¹ § 1 0 · § 2 0  3  1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 0  1 ¹ © 4 5 2 11 ¹ § 2 0 3 1· ¨ ¸ © 4 5 2  11 ¹Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-xadalah jajargenjang AccBccCccDcc dengan titik sudut Acc2,   4 ,Bcc0,  , Ccc3,  ,dan Dcc1,  .2. Tentukan bayangan parabola y x2  2x  1 yang dicerminkan terhadap garis y 3. Jawab: Ambil sembarang titik P(a, b) pada y x2  2x  1, sehingga b a2  2a  1 (*). Refleksikan titik P terhadap garis y 3 sehingga kalian memperoleh titik Pc(ac , bc) .144144 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Dengan mencerminkan titik P(a, b) terhadap garis y 3, kalianmemperoleh titik Ac(ac, bc) P(a, b) Garis y 3 Pc(a, 2 ˜ 3  b) Pc(a, 6  b)Jadi, titik Pc(a, 6  b).Perhatikan bahwa: ac a bc 6  b. Dari persamaan ini, didapat b 6  bc.Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalianmemperoleh:6  bc ( ac )2  2 ac  1 bc ( ac )2  2 ac  5Jadi, bayangan parabola y x2  2x  1 yang dicerminkan terhadapgaris y 3 adalah y x2  2x  5.Asah Kompetensi 21. Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 6). Tentukan bayangan segitiga ABC tersebut jika: a. dicerminkan terhadap sumbu-x b. dicerminkan terhadap sumbu-y c. dicerminkan terhadap garis y x d. dicerminkan terhadap garis y x e. dicerminkan terhadap titik O f. dicerminkan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x g. dicerminkan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O h. dicerminkan terhadap titik O, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 2 i. dicerminkan terhadap garis y 2, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1 j. dicerminkan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 2x.2. Tentukanlah bayangan titik A(3, 2) oleh: a. pencerminan terhadap garis x 1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 4 b. pencerminan terhadap garis x 4, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1 c. pencerminan terhadap garis y 1, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 3 d. pencerminan terhadap garis y 3, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 1.3. Tentukanlah bayangan titik A(4, 3) oleh: a. pencerminan terhadap garis y 2x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x b. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y 2x c. pencerminan terhadap sumbu-x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x 145Bab 6 Transformasi Geometri

d. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x e. pencerminan terhadap garis y x, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-y f. pencerminan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x.4. Tentukanlah bayangan kurva berikut! a. Garis x  2y  2 0 dicerminkan terhadap garis x 9. b. Parabola y x2  2 dicerminkan terhadap sumbu-y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x 1. c. Lingkaran x2  y2  2x  4y  3 0 dicerminkan terhadap garis y x, dan dilanjutkan dengan dua kali pencerminan terhadap sumbu-x. C. Rotasi Dengan menggunakan jangka, Anakota membuat sebuah busur lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian memutar jangka dengan sudut putar D berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Anakota telah melakukan rotasi sebesar a dengan pusat titik O. Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah dirotasi sebesar D dengan pusat titik O, posisi pensil jangka ini berada pada titik A(ac, bc) seperti pada gambar berikut. y Ac(ac, bc) r D r A(a, b) Bx O T Bc Gambar 6.15 Rotasi titik A(a, b) sebesar D dengan pusat titik OPosisi awal pensil jangka ini dapat pula ditulis dalam koordinat kutub,A(r cos T , r sin T ). Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesarD dengan arah berlawanan dengan arah perputaran jarum dapat ditulissebagai Acr cosT  D  .Jadi, dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut menjadimatriks berikut.Ac § ac· § r cos (T  D ) · ¨ ¸ ¨ ¸ © bc ¹ © r sin (T  D ) ¹146146 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

§ r cosT cosD  r sinT sinD ·¨© r cosT sinD  r sinT cosD ¸¹§ a cosD  b sinD ·¨ ¸© a sinD  b cosD ¹ § cosD  sinD · § a · ¨© sinD cos D ¸¹ ¨© b ¸¹Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesarD tersebut adalah § cos D  sin D · § a · ¨© sin D cos D ¹¸ ©¨ b ¸¹Uraian ini menggambarkan rumus rotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0)sebagai berikut. Ac § ac· § cosD · § a · ¨ ¸ ¨© sinD ¸¹ ¨© b ¸¹ © bc ¹Adapun untuk rotasi sebesar D dengan pusat titik P(m, n) dapat ditentukansebagai berikut. Ac § ac· § cosD  sinD · §a  m·  §m· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨  ¸ ¨ ¸ © bc ¹ © sinD cosD ¹ © b n ¹ © n ¹Nilai D bertanda positif jika arah putaran sudut berlawanan dengan arahperputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searahdengan arah perputaran jarum jam. Bagaimana jika titik A(a, b) dirotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0).Kemudian, rotasi lagi sebesar E dengan pusat yang sama?Perhatikan gambar berikut! Acc(acc, bcc) ED Ac(ac, bc) A(a, b) O Gambar 6.16 Rotasi titik A(a, b) dengan pusat titik O sebesar D dan dilanjutkan rotasi sebesar E 147Bab 6 Transformasi Geometri

Tampak bahwa posisi rotasi sebesar D dengan pusat titik O(0, 0). Kemudiandilanjutkan rotasi sebesar E dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasisebesar Dǃ dengan pusat titik O(0, 0).Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut.Acc § acc· § cos (D  E )  sin(D  E )· § a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © bcc ¹ © sin (D  E ) cos (D  E ) ¹ © b ¹Contoh1. Tentukan bayangan titik A(1, 2) yang dirotasi berturut-turut sebesar 180q dan 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0). Jawab: Merotasi titik A(1, 2) berturut-turut sebesar 180° dan 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0) sama artinya dengan merotasi titik A sebesar 270q dengan pusat O(0, 0). Bayangan titik A adalah sebagai berikut. Acc § acc· § cos 270q  sin 270q · § 1 · ¨ ¸ ©¨ sin cos 270q¹¸ ©¨ 2 ¹¸ © bcc ¹ 270q § 0 1· § 1 · § 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 1 0 ¹ © 2 ¹ © 1 ¹ Jadi, bayangan titik A(1, 2) adalah Acc (2, 1).2. Tentukan bayangan parabola y x2  1 yang dirotasi sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2). Jawab: Ambil sembarang titik A(a, b) pada y x2  1 sehingga b a2  1 (*). Rotasikan titik A sebesar 90q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2). Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik Ac(ac, bc) . § ac· § cos 90q  sin 90q · § a1 · §1· ¨¸ ¨ ¸  ¨¸ ¨ ¸ ©¨¨ sin 90q cos 90q ¹¸¸ ¨¸ © bc ¹ ¨ 2 ¸ ©¨¨ b2¹¸¸ © ¹ § 0 1· § a  1· § 1 · § b  3· ¨ ¸ ¨ ¸  ¨ ¸ ¨¸ ¨ b 2 ¸ ©¨ ¨ a 1 ¸ ¨© 1 0 ¸¹ ©  ¹ 2 ¹¸ © ¹ Jadi, titik Ac (b  3, a  1). Perhatikan bahwa: ac b  3, dari persamaan ini didapat b ac  3 dan dari bc a  1 didapat a  bc  1.148148 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalianmemperoleh:ac  3 ( bc  1)2  1ac  3 ( bc )2  2bc  2 ac ( bc )2  2bc  5Jadi, bayangan parabola y x2  1 yang dirotasi sebesar 90q searahdengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, 2) adalahx y2  2y  5.Asah Kompetensi 31. Tentukanlah bayangan titik-titik berikut! a. Titik P(1, 5) dirotasi 270q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). b. Titik Q(5, 2) dirotasi 60q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar A(2, 2). c. Titik R(3, 4) dirotasi 90q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 30q dengan arah dan pusat yang sama. d. Titik S(6, 7) dirotasi 45q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar B(3, 5). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 135q dengan arah dan pusat yang sama. e. Titik T(2, 9) dirotasi 240q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar C(3, 6). Kemudian, dilanjutkan dirotasi 15q dengan pusat yang sama dan arah putar berlawanan.2. Tentukanlah bayangan bangun berikut. Kemudian, tentukan pula luas bangun bayangan tersebut! a. Segitiga ABC dengan A(5, 0), B(10, 10), dan C(0, 15) dirotasi sebesar 225q berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). b. Lingkaran x2  y2  6x  10y  10 0 dirotasi 30q searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar P(2, 3).3. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini!a. Garis x  y 3 0 dirotasi S berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). 3b. Garis y x 2 dirotasi S searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar O(0, 0). 6 S dengan arah dan pusat yang sama. Dilanjutkan dirotasi 02)d.irDoitlaasni jSu3tkbaenrlad4wiraontaansideS2ngdanenagraahnc. Parabola x2  6y perputaran jarum jam dengan P(4, pusat yang sama dan arah pusat putar berlawanan. 149Bab 6 Transformasi Geometri

1 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(8, 2), B(2, 1), dan C(3, 4). Bobot soal: 20 Z adalah titik berat segitiga ABC. Translasi T §a· memetakan Bobot soal: 60 ¨ ¸ Bobot soal: 20 © b ¹ segitiga ABC dan titik beratnya menjadi segitiga Ac BcCc dan Cc (2,3). Tentukanlah translasi tersebut dan koordinat Ac, Bc, dan Cc2. A adalah translasi §3· dan B adalah translasi § 1 · . ¨ ¸ ©¨ 2 ¹¸ © 4 ¹ Tentukanlah (B D A D B D A D B)(1, 2).3. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini! a. Garis y  3x  1 dirotasikan sebesar 90° berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik O(0, 0). Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-x. b. Lingkaran yang berpusat di titik (2, 3) dan menyinggung sumbu-x dirotasi sebesar 90° searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar titik P(2, 0). Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y x. c. Lingkaran x2  y2 4x  6y  9 0 dicerminkan terhadap garis y 3x. Kemudian, dilanjutkan dengan translasi T § 4 · . ¨ 1 ¸ © ¹Tentukanlah matriks pencerminan terhadap garis y x tan D sebagai komposisi transformasi!150150 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

D. Dilatasi Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, merekamengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbangini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya,tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang initelah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnyapencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkandiperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi.Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.• Jika k   1 atau k ! 1, maka hasil dilatasinya diperbesar• Jika 1  k  1, maka hasil dilatasinya diperkecil• Jika k 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahanSekarang, perhatikan lingkaran pada Gambar 6.10 yang berpusat dititik P(4, 2) dan melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusatO(0, 0) dengan faktor skala 1 . Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran 2yang berpusat di titik Pc(2, 1) dan melalui titik Qc(2, 2). Lingkaran inisebangun dengan lingkaran P dengan ukuran diperkecil. y 4Q 3 Qc 2 1 P 3 2 1 O Pc 1 x 1 2 34 56 2 Gambar 6.10 Dilatasi lingkaran P terhadap pusat O dengan faktor skala 1 2kalian dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakanmatriks seperti berikut. § x1c x2c · §1 0 · P Q Pc Qc ¨ ¸ ¨ ¸ 4 4· §2 2· ¨ 2 1 ¸ § 2 4 ¹¸ ©¨ 1 2 ¹¸ 2 ¸¸¹ ©¨ ©¨ y1c y2c ¹¸ ¨©¨ 0Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala 1 , diperoleh 2lingkaran dengan titik pusat Pc(2, 1) dan melalui titik Qc(2, 2). 151Bab 6 Transformasi Geometri

Secara umum, dilatasi ini sebagai berikut.• Titik P(a, b) didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k menghasilkan titik Pcka, kb. Secara matematis, ditulis: P(a, b) >O, k@ Pcka, kb Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut. Pc § ac· §k 0· §a· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © bc ¹ © 0 k ¹ © b ¹• Titik P(a, b) didilatasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k menghasilkan titik Pck a  m  m, k b  n  n. Secara matematis, ditulis: P(a, b) >F(m, n), k@ Pc(k(a  m)  m, k(b  n)  n)Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut.Pc § ac· §k 0 ·§a  m·  §m· ¨ ¸ ©¨ 0 k ¹¸ ©¨ b  n ¹¸ ©¨ n ¹¸ © bc ¹Contoh Tentukanlah bayangan titik P(5, 6) jika didilatasikan oleh: 1. [O, 3] Jawab: Pc(3 ˜5, 3 ˜6) Pc (15, 18) P(5, 6) >O, 3@ Jadi, titik Pc(15, 18). 2. [F(2, 3), 4] Jawab: Pc(4(5  2)  2, 4(6  3)  3) Pc(14, 15) >F (2, 3) , 4@ P(5, 6) Jadi, titik Pc(14, 15).152152 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

A Kktivitas di elasKomposisi transformasi dengan menggunakan matriks akan diperlukan pada pembahasanselanjutnya. Kalian telah membahas matriks transformasi pada subbab sebelumnya. Sekarangrangkumlah semua matriks komposisi tersebut dengan menyalin dan melengkapi tabel berikut! No. Jenis Transformasi Matriks 1. Refleksi terhadap sumbu-x ª¬...... ......¼º 2. Refleksi terhadap sumbu-y ¬ª...... ......¼º 3. Refleksi terhadap sumbu y x ª¬...... ......º¼ 4. Refleksi terhadap sumbu y x ª¬...... ......¼º 5. Rotasi sejauh T terhadap titik pusat O ¬ª...... ......¼º 6. Dilatasi terhadap O dengan faktor skala k ¬ª...... ......º¼ 7. Dilatasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k ¬ª...... ......¼ºDiskusikan dengan teman-temanmu dan hasilnya tuliskan di papan tulis.E. Komposisi Transformasi dengan Matriks Transformasi T memetakan titik P(x, y) o Pc(xc, yc). Hubungan antara(xc, yc) dengan (x, y) ditentukan oleh:     xc yc ax  by atau xc a bx cx  dy yc c dyDengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan transformasi Ta adalah Mb .c d Berikut ini adalah tabel matriks-matriks transformasi geometri berordo2 u 2.No. Transformasi Pemetaan Matriks (x, y) o (x, y) transformasi 1. Identitas (I) (x, y) o (kx, ky)  1 0 2. Dilatasi dengan faktor skala k 3. Refleksi (M) 01 a. terhadap sumbu-x (Mx)  k 0 0k (x, y) o (x, y)  1 0 0 1 153Bab 6 Transformasi Geometri

b. terhadap sumbu-y (My) (x, y) o (x, y)  1 0 c. terhadap garis y x (My x) (x, y) o (y, x) 01 d. terhadap garis y x (My x) (x, y) o (y, x)4. Rotasi terhadap titik asal O(0,0)  0 1 a. sebesar T (RT) 10  0 1 1 0b. sebesar S 90q (x, y) o (xc, yc)  cos T sin T 2 xc x cos T  y sin T yc x cos T  y cos T sin T cos Tc. sebesar  S 90q 2 (x, y) o (y, x)  0 1d. sebesar S (setengah putaran) (x, y) o (y, x) 10 (x, y) o (x, y)  0 1 1 0  1 0 0 1JmikaatrTik1 sd-amnaTtr2imksa.sing-masing adalah transformasi yang bersesuaian dengan    M1a b e f c d dan M2 g hmaka komposisi transformasi yang dinyatakan dengan:a. T2 D T1 bersesuaian dengan perkalian matriks    M2 ˜ M1 e f u a b g h c db. T1 D T2 bersesuaian dengan perkalian matriks    M1 ˜ M2 a b u e f c d g hHasil perkalian M1 ˜M2 belum tentu sama dengan hasil perkalian M2 ˜M1.Contoh1. dDeinkgeatanhmuiatTri1kds.an T2 adalah transformasi yang bersesuaian    M1 0 2 0 1 3 0 dan M2 1 1Dengan menggunakan matriks-matriks yang bersesuaian,tentukanlah koordinat bayangan yang dinyatakan dengankomposisi transformasi berikut ini.a. T2 D T1 (2, 3)b. T2 D T1 (1, 4)Jawab:a. T2 D T1 (2, 3)         0 2 0 1 2 2 2 2 10 3 01 13 0 33 9 Jadi, T2 D T1 (2, 3) (10, 9)154154 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

b. T2 D T1 (1, 4)         0 1 0 2 1 3 0 1 3 1 13 0 4 3 2 4 5 Jadi, T2 D T1 (1, 4) (3, 5)2. T1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y x. T2 adalah transformasi perputaran setengah putaran terhadap titik asal. Tentukan bayangan titik P(3, 5) yang ditrans- formasikan terhadap T1 dan dilanjutkan terhadap T2.Jawab: M1 0 1  M2 1 0 1 0 0 1Transformasi T2 D T1:P 3,  5 T2 DT1 o Pcc   Pcc 1 0 0 1 3 0 1 1 0 5   0 1 3 1 0 5  5 3Jadi, bayangan akhir titik P(3, 5) terhadap transformasi T1 danT2 adalah (5, 3).2 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Tentukanlah bayangan titik-titik berikut ini! Bobot soal: 20 Bobot soal: 40a. P(2, 4) didilatasikan oleh ª«¬O, 1º 4 ¼» 155b. R(9, 6) didilatasikan oleh [O, 9]c. S(12, 8) didilatasikan oleh >F(3, 2), 2@d. T(10, 21) didilatasikan oleh «ª¬G §¨©  1 , 5 ¹¸· ,  1 º 2 2 ¼»2. Tentukanlah bayangan kurva-kurva berikut ini!a. Garis 3x  5y  15 0 yang didilatasikan oleh [O, 5]b. y 1 yang didilatasikan oleh «¬ªO,  2 º x 5 ¼»c. x2  4y2 9 yang didilatasikan oleh ª¬«F(5, 1), 3º 4 »¼d. Lingkaran x2  y2  2x  6y  14 0 yang didilatasikan oleh >G(10, 10),  5@Bab 6 Transformasi Geometri

3. Tentukanlah bayangan bangun-bangun berikut. Kemudian, tentukan Bobot soal: 30 pula luas bangun bayangan tersebut! Bobot soal: 10 a. Segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(2, 1), B(4, 3), dan C(3, 6) oleh dilatasi ª«¬O,  2 º . 7 ¼»b. Persegi panjang ABCD dengan titik-titik sudut A(1, 2), B(4, 2), C(1, 7), dan D(4, 7) oleh dilatasi >O, 3@ .c. Lingkaran yang berpusat di titik P(5, 2) dan berjari-jari 4 oleh dilatasi >F(6,  7),  [email protected]. Tentukanlah bayangan dari parabola y x2  1 yang ditranslasi olehT § 1 · , dilanjutkan oleh dilatasi >O, 3@ . ¨ 2 ¸ © ¹Rangkuman1. Translasi (pergeseran) merupakan transformasi yang memindahkan titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu. • Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 (h, k), maka akan diperoleh Pc sebagai berikut P(a, b) T1 §h· Pc (a  h, b  k) ¨© k ¹¸• Jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan T1 (h, k) dilanjutkan dengan T2 (l, m), maka akan diperoleh Pcc sebagai berikut. T2 D T1 §h  l · ¨© k  m ¹¸ P(a, b) Pcc (a  h  l, b  k  m)2. Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan sifat bayangan cermin. • Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap sumbu-x, maka akan diperoleh A(a, b) Sumbu-x B(a, b)• Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap sumbu-y, maka akan diperoleh A(a, b) Sumbu-y C (a, b)156156 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

• Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap garis y x, maka akan diperoleh A(a, b) Garis y x D(b, a)• Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap garis y x, maka akan diperoleh A(a, b) Garis y x E(b, a)• Jika titik A(a, b) direfleksikan terhadap titik asal O(0, 0), maka akan diperoleh A(a, b) Titik asal F(a, b)• Jika titik A(a, b) direfleksikan garis x terhadap garis x h, maka akan diperoleh A(a, b) Garis x = h G(2h  a, b)• Jika titik A(a, b) direflesikan terhadap garis y k, maka akan diperoleh Garis y k H(a, 2k  b) A(a, b)3. Rotasi (perputaran) merupakan transformasi yang memutar suatu bidang. • Jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar D dengan titik dengan titik pusat O, maka akan diperoleh Ac § ac· § a cosD  b sinD · ¨© bc¸¹ ¨ ¸ © a sinD  b cosD ¹• Jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar D dengan titik pusat P(m, n), maka akan diperolehAc § ac  m· §(a  m) cosD  (b  n) sinD · ¨ ¸ ¨ ¸ © bc  n ¹ © (b  m) sin D  (b  n) cosD ¹4. Dilatasi (perkalian) merupakan transformasi yang memperkecil atau memperbesar suatu bidang. • Jika titik A(a, b) didilatasikan terhadap titik pusat F(m, n) dengan faktor skala k, maka akan diperoleh [O, k] Ac(ka, kb) A(a, b)• Jika titik A(a, b) dilatasikan terhadap titik pusat F(m, n) dengan faktor skala k, maka akan diperoleh: >F(m, n, k@ A(a, b) Ac(k(a  m)  m, k(b  n) n) 157Bab 6 Transformasi Geometri

Ulangan Bab 6I. Pilihlahlah jawaban yang paling tepat! ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 6. Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut1. Bayangan titik A(1, 4) oleh translasi T(2, 3) 45qdengan V dan 30q dengan W. Sinus sudut adalah . . . . antara l dan g adalah . . . .A. Ac(3, 7) D. Ac(4, 6) A. 1 D. 3 2 2B. Ac(3, 5) E. Ac(4, 4) 2 1C. Ac(4, 3) B. 2 E. 3 32. Jika titik M(2, 1) direfleksikan terhadap garis C. 3 3x 3 dan terhadap garis y 3, makabayangan Mcc adalah . . . . 7. Diketahui satu transformasi T dinyatakanA. Mcc(4, 1) D. Mcc(2, 4)B. Mcc(2, 5) E. Mcc(5, 1) oleh matriks §0 1· , maka transformasi T ¨ ¸C. Mcc(5, 4) © 1 0 ¹ adalah . . . .3. Jika titik P(1, 2) diputar 90q berlawanan arah A. Pencerminan terhadap sumbu-x jarum jam terhadap titik asal koordinat O, maka bayangan dari titik P adalah . . . . B. Pencerminan terhadap sumbu-yA. Pc(2,  1) D. Pc(2, 1) C. Perputaran 1 S 2B. Pc(2,  1) E. Pc(1,  2) D. Perputaran  1 S 2C. Pc(2, 1) 1 E. Perputaran 4 S4. Jika titik B(2, 6) dilatasi terhadap T(0, 1), 8. Diketahui T1 dan T2 adalah transformasi maka bayangan titik B adalah . . . .A. Bc(4, 12) D. Bc(2, 12) yang bersesuaian dengan matriksB. Bc(1, 3) E. Bc(2, 6) §0 2· §1 1 · ©¨ 2 0 ¹¸ ©¨ 0 1 ¹¸C. Bc(2, 12) M1 dan M2 ,5. Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang maka T2 D T1 (3, 1) . . . . W membentuk sudut lancip dengan V. Jika W memotong V menurut suatu garis s, maka A. (4, 12) D. (4, 6) proyeksi g pada W . . . . B. (4, 12) E. (4, 6) A. tegak lurus pada V C. (4, 12) B. tegak lurus pada s C. sejajar dengan V 9. Diketahui 'PQR dengan titik-titik sudut D. sejajar dengan s P(1, 3), Q(1, 4), dan R(2, 1). Jika 'PQR E. sejajar dengan W158158 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

direfleksikan terhadap sumbu-x kemudian ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ Titik A(a, b) dicerminkan terhadap sumbu-xdilanjutkan dengan dilatasi (0, 1), maka dan bayangannya dicerminkan pula terha-koordinat bayangannya adalah . . . . dap sumbu-y. Bayangan terakhir titik A merupakan . . . .A. Pc1, 3,Qc1,  4, dan Rc2, -1 A. Perputaran titik A dengan titik pusat OB. Pc1, 3,Qc1, 4, dan Rc2, 1 sebesar Sradian berlawanan perputaran jarum jam.C. Pc1, 3,Qc1,  4, dan Rc2,  1 B. Perputaran titik A dengan titik pusat OD. Pc1, 3,Qc1, 4, dan Rc2,  1 sebesar 2S radian berlawanan perpu-E. Pc1, 3,Qc1, 4, dan Rc2, 1 taran jarum jam.10. Suatu lingkaran digambarkan sebagai C. Pencerminan titik A terhadap garis y xberikut y D. Pencerminan titik A terhadap garis y  x y x 4 P(3, 4) E. Pencerminan titik A terhadap sumbu-y 4 O 3 x 12. Jika garis 3x  2y 6 ditranslasikan terhadap 3 T(2, 3), maka . . . . Pc(4, 3) A. 3x  2y 6 D. 3x  2y 4 B. 3x  2y 3 E. 3x  2y 11 C. 3x  2y 4 Jika lingkaran yang berpusat di (3, 4) dan II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas menyinggung sumbu-x dicerminkan pada dan tepat! y x, maka persamaan lingkaran yang terjadi adalah . . . . 1. Sebuah lingkaran target dibuat warna-warni A. x2  y2  8x  6y  9 0 seperti gambar berikut. B. x2  y2  8x  6y  9 0 C. x2  y2  8x  6y  9 0 Kuning D. x2  y2  8x  6y  9 0 E. x2  y2  8x  6y  9 0 Hitam11. Suatu pencerminan ditunjukkan seperti gambar berikut. y Putih A(a, b) Merahr 1 r2 r3 r4 dengan: r1 1 r2 r3 3 r4 2 4 1 r2 2 r4 O x Tentukanlah faktor skala dari: A. Merah ke Putih Acc (a, b) Ac(a, b) B. Merah ke Hitam C. Merah ke Kuning D. Kuning ke Putih E. Hitam ke Putih 159Bab 6 Transformasi Geometri

2. Sebuah bangun mula-mula ditransformasikan ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○D. A A dengan refleksi terhadap garis y x, dilanjutkan dengan rotasi 90q searah dengan A E. AA A jarum jam terhadap titik asal O. Tentukanlah A bayangannya! A A A3. Sebutkan jenis transformasi yang F. A memetakan tiap gambar berikut ini! AA. A AB. A AA AC. A AA AA 4. Tentukanlah persamaan bayangan dari garis 3x  y 2 0 oleh refleksi terhadap garis y x dilanjutkan dengan rotasi 90q terhadap O. 5. Titik P(x, y) direfleksikan terhadap y x A menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian, diputar 90° dengan titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1, 2). Tentukan: A. koordinat titik P B. koordinat titik Q160160 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Fungsi, Persamaan, dan BPertidaksamaan AEksponen dan Logaritma B 7 A. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma B. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen C. Persamaan dan Pertidaksamaan LogaritmaSumber: http://peacecorpsonline.orgGempa pemicu tsunami yang telah memporak-porandakanNanggroe Aceh Darussalam merupakan gempa terdashyatketiga di dunia dengan kekuatan R 9 skala Richter. Kekuatangempa ini dicatat dengan alat yang dinamakan seismografdengan menggunakan rumus dasar R log M . Penerapan M0pada seismograf ini merupakan salah satu kegunaan logaritma.Pada bab ini, kalian juga akan mempelajari penerapan lainnya. 161Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

A. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi LogaritmaA. 1. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a ! 1 Di Kelas X, kalian telah mengetahui bahwa fungsi eksponen danfungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Untuk memahamisifat-sifat kedua fungsi tersebut, pada bab ini kalian akan menggambargrafik kedua fungsi itu. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x) 2x daninversnya, yaitu g(x) 2log x dalam satu sumbu koordinat. Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebihdahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) 2x seperti berikut.x f . . . 3 2 1 0 12 3 ... f 24 8 ... ff(x) 2x 0 ... 1 1 1 1 8 4 2 Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius.Lalu hubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafikf(x) 2x. Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garis y xsehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitu g(x) 2log x. y f(x) 2x 8 yx 7 6 5 g(x) 2log x 4 3 2 1 x O 12 34 1 2 3 Gambar 7.1 Grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 2logx Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) 2x dan g(x) 2log x yangmasing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritmadengan bilangan pokok 2, kalian dapat mengetahui bahwa:No. Fungsi f(x) = 2x Fungsi g(x) = 2log x 1. Daerah asalnya {x xR} Daerah asalnya {x x ! 0, x R} 2. Daerah hasilnya {y y ! 0, y R} Daerah hasilnya {y yR} 3. Sumbu-x asimtot datar Sumbu y asimtot tegak 4. Grafik di atas sumbu-x Grafik di sebelah kanan sumbu-y 5. Memotong sumbu-y di titik (0, 1) Memotong sumbu-x di titik (1, 0) 6. Merupakan fungsi naik untuk Merupakan fungsi naik untuk setiap x setiap x162162 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Sifat-sifat ini berlaku juga untuk setiap fungsi eksponen f(x) ax danfungsi logaritma g(x) alog x dengan a ! 1.A. 2. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok 0  a  1 Untuk menggambar grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritmadengan bilangan pokok 0  a  1, kalian dapat menggunakan prinsipyang sama seperti pada bilangan pokok a ! 1, yaitu terlebih dahulugambarkan grafik fungsi eksponennya. Kemudian, cerminkan terhadapgaris y x untuk mendapatkan inversnya, yaitu fungsi logaritma. Sekarang, coba gambar grafik fungsi f(x) 1x dan inversnya, yaitu 2 1g(x) 2 log x dalam satu sumbu koordinat. Untuk memudahkanmenggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai- nilai x dan f(x) 1 x berikut. 2 seperti x f … 3 2 1 0 12 3 …f f(x) =1 x 0 …8 4 21 11 1 … 0 2 24 8 Setelah itu, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Lalu, h21ubxu. ngkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik Grafik yang kalian dapatkan ini, cerminkan terhadap garisf(x)y x sehingga kalian mendapatkan grafik fungsi inversnya, yaitug(x) 1 log x . y 2  f(x)1x 6 2 5 4 yx 3 123 x 2 1 g(x) 1 3 2 1 O 2 log x 1 2 3 Gambar 7.2 x  Grafik fungsi f(x) 1 dan g(x) 1 2 2 log x 163Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Dengan memperhatikan grafik fungsi f(x) 1 x dan g(x) 1 2 2 log x yang masing-masing merupakan grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 1 , kalian dapat mengetahui bahwa: 2  No. 1x Fungsi g(x) = 1 Fungsi f(x) = 2 2 log x 1. Daerah asalnya {x|x  R} Daerah asalnya {x|x > 0, x  R} 2. Daerah hasilnya {y|y > 0, y  R} Daerah hasilnya {y|y  R} 3. Sumbu-x asimtot datar Sumbu-y asimtot tegak 4. Grafik di atas sumbu-x Grafik di sebelah kanan sumbu-y 5. Memotong sumbu-y di titik (0, 1) Memotong sumbu-x di titik (1, 0) 6. Merupakan fungsi turun untuk Merupakan fungsi turun untuk setiap x setiap x Sifat-sifat ini berlaku juga untuk setiap fungsi eksponen f(x) ax dan fungsi logaritma g(x) alog x dengan 0  a  1.Asah Kompetensi 11. Gambarlah grafik dari tiap fungsi berikut ini!a. f(x) 2x  1 c. f (x) 3x  1b. f(x) 2  3x d. f (x) 3x  32. Gambarlah grafik dan invers dari tiap fungsi berikut!a. f(x) §¨© 1 ·¹¸x c. f (x) § 1 ·x1b. f(x) 3 d. f (x) ¨© 4 ¸¹ §¨© 2 ¸¹·x ©¨§ 2 ¹¸·x  3 5 31 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Gambarkan grafik fungsi-fungsi eksponen berikut ini! Bobot soal: 40a. f(x) 23x  2 c. k(x) § 1 ·3x 2b. g(x) 23x  2 d. l(x) ¨© 2 ¸¹ § 1 ·3x 2 ¨© 2 ¹¸164164 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

e. h(x) 23x  2 g. m(x) ©¨§ 1 ·¹¸3x2 2 f. j(x) 23x  2 h. n(x) § 1 ·3x2 ¨© 2 ¸¹ 2. Gambarkan grafik fungsi-fungsi logaritma berikut ini. Bobot soal: 40 Bobot soal: 20 a. f(x) 3log (x  1) e. k(x) 1 log (x  1) 3 b. g(x) 3log (x  1) f. l(x) 1 log (x  1) 3 c. h(x) 3log x  1 g. m(x) 1 log x  1 3 d. j(x) 3log x  1 h. k(x) 1 log x  1 3 3. Tentukanlah titik potong grafik fungsi f(x) 2x  1  ( 2 )x  3 terhadap sumbu-x dan sumbu-y! B. Persamaan dan Pertidaksamaan EksponenB. 1. Sifat-sifat Fungsi Eksponen Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen, sebaiknyakalian mengingat kembali sifat-sifat fungsi yang telah dipelajari di Kelas X. Jika a, b  R, a z 0, m dan n bilangan rasional, maka sifat-sifat fungsieksponen adalah sebagai berikut.• am ˜ an am  n • (am ˜ bn)p amp ˜ bnp § am ·p• am am  n • ¨ ¸ am˜ p an © bn ¹ bn˜p• (am)n amn p 1 • m n ap mn ap amn am• am • a0 1Contoh 1. Sederhanakanlah! a. (3x2 ˜ y5)(3x8 ˜ y9) b. 5x5 ˜ y2 7x3 ˜ y5 Jawab: a. (3x2 ˜ y5)(3x8 ˜ y9) (3x2)(3x8)(y5)(y9) (3)(3)x2 ˜ x8 ˜ y5 ˜ y9 9 ˜ x2  8 ˜ y5  9 9x  6 ˜ y4 9y4  x6 165 Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

b. 5x5 ˜ y2 5x5 ˜ y2 7x3 ˜ y5 7x3 y 5 5 x5  3 · y2  (5) 7 5 7 x2 · y2  5 5 x2 y7 72. Sederhanakanlah!a.  x 3 1b. (8x3 ˜ y12 )6Jawab: a. x3 1  ( x 2 )3 3 x2b. (8 x3 ˜ y 12 1 (23 1 ˜ ( x 3 1 ˜ ( y12 1 )6 )6 )6 )6 1 ˜ 1 ˜ y2 22 x2 y2 2x3. Sederhanakanlah! § x ·10a. ©¨¨ y5 ¸¸¹b. 6 4 x2Jawab: § § x 1 ·10 § x 1 ˜ 10 § x ·5 x5 x5 ¨ ¨©¨ y5 ¸ ©¨¨ y5 ¹¸¸ y 25a. ©¨¨ ·2 ¸¹¸ ·2 y5 5 ¸¹¸ ¨¨© y5 ¹¸¸b. 6 4 x2 6 ˜ 4 x2 24 x2 2 1 12 x x 24 x 12166166 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Asah Kompetensi 21. Sederhanakanlah!  c. 2 m2 3 e. (a5 ˜ b3 1 a. 2x3 ˜ x5 3 )15 4a5  d. 1 § 3k2 1 b. 2a3 2m4 2 f. ·6 ¨¨© 5l3 ¸¹¸2. Sederhanakanlah! a. (4x3y2)(3x2y0) c.  4x 5 e. § 2x2 ·5 ¨ y4 ¸ ¨© ¸¹ x7 10y5 b. 9x3y 2 d. (4x2y6) 1 f. 4 3 x2y6 3 § 1 § x · · 1 § 1 ¨©§ 4 ¹¸·2 · 1 ©¨¨ ¨ y ¸ ¹¸¸ 2 ©¨¨ x ¸¹¸ 2 © ¹   1 1 2 2 ....  2.§1 43 ·1. 1 1 ©¨¨  13  13  ¹¸¸ .... ·2 § § x ¸ 1 ·2 § ¨§© y ·2 1 · 2 ¨ ¨ y ¹ ¸ ¨©¨ x ¸¹ ¸¹¸ ¨© ©  ¸¹ B. 2. Persamaan Eksponen 167 Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilanganpokoknya memuat variabel. Simaklah contoh-contoh berikut ini.• 42x  1 32x  3 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel x.• (y  5)5y  1 (y  5)5 – y merupakan persamaan eksponen yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel y.• 16t  2 ˜ 4t  1 0 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel t.Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya:a. af(x) am Jika af(x) am, a ! 0 dan a z 1, maka f(x) m Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

ContohTentukanlah penyelesaian 3 271  x.Jawab: 271  x 33(1  x) 3 313(1  x) 11x 1 x 3 2 3 2 3Jadi, penyelesaian 3 271  x adalah x .b. af(x) ag(x) Jika af(x) ag(x), a ! 0 dan a z 1, maka f(x) g(x)ContohTentukanlah penyelesaian 25x  3 5x  1.Jawab: 5x  1 adalah x 7. 25(x  3) 5(x  1) 52(x  3) 5(x  1)2(x  3) x  1 2x  6 x  1 x 7Jadi, penyelesaian 25x  3c. af(x) bf(x), a z b Jika af(x) bf(x), a ! 0, a z 1, b ! 0, b z 1, dan a z b, maka f(x) 0ContohTentukanlah penyelesaian 45x  6 50x  6.Jawab: 0, sehingga 450 = 50045x  6 50x  6Supaya ruas kiri dan kanan sama, x  6x6 0 x6Jadi, penyelesaian 45x  6 50x  6 adalah x 6.168168 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

d. f(x)g(x) f(x)h(x) Jika f(x)g(x) f(x)h(x), maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut. • g(x) h(x) • f(x) 1 • f(x) 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif • f(x) 1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjilContoh (3x  10)2x. Tentukanlah himpunan penyelesaian (3x  10) x2Jawab: 2x • 3x  10 0• x2 0 3x 10 0 x2  2x 0 atau x 2 x 10 x(x  2) 3 1 x 11• 3x  10 3x x 11 3 10Sekarang periksa apakah untuk x 3 , g(x) dan h(x) keduanyapositif?   g10 10 3 100 ! 0 3 3 9 h10 2 ˜ 10 20 ! 0 3 3 3Jadi, untuk x 10 , g(x) dan h(x) keduanya positif, sehingga 3x 10 merupakan penyelesaian. 3• 3x  10 1 3x 9 x3Sekarang periksa apakah untuk x 3, g(x), dan h(x) keduanyagenap atau keduanya ganjil?g(3) 32 9 dan h(3) 2 . 3 6Perhatikan bahwa untuk x 3, g(x) ganjil dan h(x) genapsehingga x 3 bukan penyelesaian.Dengan demikian, himpunan penyelesaian3x  10x2 (3x  10)2x adalah ®­0, 2, 10 , 11 ½ . 3 ¾ ¯ 3 ¿ 169Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

e. A(af(x))2  B ˜ af(x)  C 0, a ! 0, a z 1, A, B, C  R, A z 0 Terlebih dahulu, misalkan y af(x). Dari pemisalan ini, diperoleh Ay2  By  C 0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y af(x) sehingga kalian memperoleh nilai x. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian 16t  2 ˜ 4t  1 0. Jawab: 16t  2 ˜ 4t  1 0 42t  2 ˜ 4t  1 0 Misalkan y 4t, sehingga diperoleh: y2  2y  1 0 (y  1)2 0 y 1 Substitusi nilai y yang kalian peroleh ke pemisalan y 4t œ 4t 1. Oleh karena untuk setiap t  R, 4t ! 0, maka tidak ada nilai t yang memenuhi 4t 1. Jadi, himpunan penyelesaian 16t  2 ˜ 4t  1 0 adalah ‡ .Asah Kompetensi 31. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut! a. 2 § 1 ·3  2x ©¨ 2 ¹¸ 25 u 83 b. 2x  y  1 16 c. 32x  y  3 9x d. 35x  1 27x  3 e. 4x  2 8x 8 f. 12x2  x  2 24x2  x  2 g. 6x  2  6x  1 5 h. 32x  4 ˜ 3x  3 02. x1 dan x2 memenuhi persamaan log(x  1) ˜ log(x  1) ˜ 1 log 10 x log 10 Tentukanlah x1 ˜ x2 100 log x5 5 100 100 log x3. x1 dan x2 memenuhi persamaan 100 log x ˜ 100 log x Tentukanlah 5 x1x2 .170170 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

x x 3 2 32 2  32 2   Tentukan nilai x yang memenuhi .B. 3. Pertidaksamaan Eksponen Sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat-sifat fungsi eksponen, yaitu Catatansebagai berikut.• Untuk a ! 1, fungsi f(x) ax merupakan fungsi naik. Artinya, untuk Himpunan penyelesaian dapat disingkat dengan setiap x1, x2  R berlaku x1  x2 jika dan hanya jika f(x1)  f(x2). HP.• Untuk 0  a  1, fungsi f(x) ax merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap x1, x2  R berlaku x1  x2 jika dan hanya jika f(x1) ! f(x2).Sifat-sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen.ContohTentukan himpunan penyelesaian 2x  2 ! 16x  2.Jawab: 2x  2 ! 16x  2 2x  2 ! 24(x  2)x  2 ! 4(x  2) ..................... a ! 1, maka fungsi naikx  2 ! 4x  8 3x  10 x  10 3^ `Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP x x  10 , x  R . 3Asah Kompetensi 3Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!1. ©§¨ 1 ¸¹·2 22x1 d 25 4. 32x  4  32x  3 2 42. 3x  5 ! 3x2  6x  11 5. (x2  2x  3)2x  1 t (x2  2x  3)x  3 § 1 ·x2  2x  1 § 1 ·x  1 6. 62x  1  8 · 6x  2 ! 0 ©¨ 2 ¸¹ ¨© 4 ¹¸3.  171Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

2 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Tentukanlah himpunan penyelesaian persamaan-persamaan berikut. Bobot soal: 20 Bobot soal: 20a. § 1 ·3x  1 32 c. 22x  2x  2  32 0 Bobot soal: 20 ©¨ 64 ¸¹ d. 32x  5 · 34x  1  6 0 Bobot soal: 20b. (3x  1)2x  8 (5x  3)3 x2  8 Bobot soal: 202. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan- pertidaksamaan berikut!a. § 1 ·2  2x t 8 c. 3x  3 4 !0 ¨© 2 ¹¸ 3xb. (x  2)2x  6  (x2  4x  4)3x  5 d. 22x  2x  2  3 03. Sebuah koloni lebah meningkat 25% Sumber: www.soccer.net setiap tiga bulan. Pak Tahomadu ingin memelihara lebah-lebah ini. Ia menargetkan lebah-lebah tersebut mencapai 18.000 dalam 18 bulan mendatang. Berapa banyak lebah yang harus dipeliharanya sekarang?4. Jika populasi suatu koloni bakteri Sumber: Microsoft Encarta berlipat dua setiap 30 menit, berapa Reference Library, 2005 lama waktu yang diperlukan oleh koloni itu agar populasinya menjadi berlipat tiga?5. Segelas kopi kira-kira mengandung100 mg kafein. Jika kalian meminumsegelas kopi, kafein akan diserap kedalam darah dan akhirnya dimeta-bolisme oleh tubuh. Setiap 5 jam,banyak kafein di dalam darah Sumber: Microsoft Encartaberkurang 50%. Reference Library, 2005a. Tulislah sebuah persamaan yang menyatakan banyak kafein di dalam darah sebagai suatu fungsi eksponen dari waktu t sejak kalian minum kopi!b. Setelah berapa jam kafein di dalam darah tinggal 1 mg?172172 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

C. Persamaan dan Pertidaksamaan LogaritmaC. 1. Sifat-Sifat Fungsi Logaritma Di Kelas X telah dipelajari sifat-sifat logaritma. Secara umum bentuklogaritma dituliskan ab  c œ alog c bdengan a ! 0 dan a z 1Sifat-sifat logaritma: • alog b  alog c alog b• alog 1 0 c• alog a 1 • a a log b b• alog 1 1 • alogb c log b a c log a• alog ab b • a log b 1 b log a• alog b  alog c alog bc • a c log bd a log b d d ˜ a log b c cContohHitunglah!a. 4log 1 e. 16 log 4b. 1 1 f. 8 log 32 3 3 logc. 1 g. 1  1 2 log 6 2 log 8 3 log 6d. 5 log 1 h. 3 log 18  3 log 2 5Jawab: 2 log 4a. 4 log 1 0 e. 16 log 4 2 log 16b. 1 log 1 1 2 log 22 3 3 2 log 24c. 1 1 log § 1 ·3 3 2 2 ¨© 2 ¹¸ 2 log 8 4 1d. 5 log 1 1 5 2 173Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

f. 8log 32 23 log 25 5 ˜ 2log 2 5 3 3g. 1  1 6log 3  6log 2 2 log 6 3 log 6 6 log 3 ˜ 2 6 log 6 1h. 3log 18  3log 2 3log 18 2 3 log 9 3 log 32 2C. 2. Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagainumerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. Perhatikancontoh berikut ini.• log x  log (2x  1) 1 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x• 5log 4m  5log m2 0 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel m• xlog 5  xlog 2 2 merupakan persamaan logaritma yang bilangan pokoknya memuat variabel x• 2tlog (t  2)  2tlog 2t 2 merupakan persamaan logaritma yang numerus dan bilangan pokoknya memuat variabel tAda beberapa bentuk persamaan logaritma ini, di antaranya:a. alog f(x) alog m Jika alog f(x) alog m, f(x) ! 0, maka f(x) m.ContohTentukanlah penyelesaian 2log (x  2) 4.Jawab:2log (x  2) 42log (x  2) 2log 24 24 x2 x 18Jadi, penyelesaian 2log (x  2) 4 adalah x 18.174174 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

b. alog f(x) blog f(x) Jika alog f(x) = blog f(x), a z b, maka f(x) = 1.Contoh 4log (x2  3). Tentukanlah penyelesaian log (x2  3)Jawab: 4log (x2  3)log (x2  3) 1 4 x2  3 2 atau x 2 x2 xJadi, penyelesaian log (x2  3) 4log (x2  3) adalah x 2 atau x 2.c. alog f(x) alog g(x)Jika alog f(x) = alog g(x), a ! 0, a z 1, f(x) ! 0, dan g(x) ! 0,maka f(x) = g(x).ContohTentukanlah penyelesaian 7log (x2  2x  3) 7log (4x  2).Jawab:7log (x2  2x  3) 7log (4x  2) x2  2x  3 4x  2 x2  6x  5 0(x  1)(x  5) 0 x 1 atau x 5Sekarang, selidiki apakah f(x) ! 0 dan g(x) ! 0?• f(1) 12  2 ˜ 1  3 1  2  3 2 ! 0g(1) 4 ˜ 1  2 4  2 2 ! 0• f(5) 52  2 ˜ 5  3 25  10  3 18 ! 0g(5) 4 ˜ 5  2 20  2 18 ! 0Karena untuk x 1 dan x 5, f(x) ! 0 dan g(x) ! 0, maka x 1dan x 5 merupakan penyelesaian.Jadi, penyelesaian 7log (x2  2x  3) 7log (4x  2) adalah x 1 danx 5.d. f(x)log g(x) f(x)log h(x)Jika f(x)log g(x) f(x)log h(x), f(x) ! 0, g(x) ! 0, h(x) ! 0, danf(x) z 1, maka g(x) h(x). 175Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

ContohTentukanlah himpunan penyelesaian darix  1 log (x  2) x  1log (x2  3x  2)Jawab:x  1 log (x  2) x  1log (x2  3x  2) x2  3x  2 x2 x2  2x 0 x(x  2) 0 x 0 atau x 2Sekarang, selidiki apakah f(x) ! 0, f(x) z 1, g(x) ! 0, dan h(x) ! 0f(0) 0  1 1  0f(2) 2  1 3  0Oleh karena untuk x 0 dan x 2, f(x)  0, maka x 0 ataux 2 bukan penyelesaian.Jadi, himpunan penyelesaian darix  1log (x  2) x  1log (x2  3x  2) adalah ‡.e. Aplog2 f(x)  Bplog f(x)  C 0 Terlebih dahulu, misalkan y plog f(x). Dari pemisalan ini, diperolehAy2  By  C 0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali padapemisalan y plog f(x), sehingga kalian memperoleh nilai x.Contoh Tentukan penyelesaian 4log2 x  4log x3  2 0. Jawab: 4log2 x  4log x3  2 0. 4log2 x  34log x  2 0. Misalkan y 4log x, maka y2  3y  2 0 (y  1)(y  2) 0 y 1 atau y 2 Untuk mendapatkan nilai x, substitusilah nilai y yang kalian peroleh ke pemisalan y 4log x y 1 Ÿ 4log x 1, sehingga x 4. y 2 Ÿ 4log x 2, sehingga x 16. Jadi, penyelesaian 4log2x – 4log x3  2 0 adalah x 4 atau x 16.176176 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Asah Kompetensi 51. Tentukan penyelesaian persamaan-persamaan logaritma berikut.a. 3log (x2  5x  7) 0 d. 2 log2x  9 log x 4b. 3log (x2  3x  2) 3log (2x  4) e. 3 log (2x  3)  x log (x  6) 1 3 log x x  2 log xc. xlog (3x  4) xlog (x2  2x  10)2. Hitunglah!a. 2log 10 5log 10  (2log 5  5log 2)b. log 30  1  1 Olimpiade Matematika SMU, 2000 48log 10 16 log 10c. ( 5 log x)2  ( 5 log y)2 5 log x  5 log yd. log x y  log y x  log xy log xye. 2log sin x  2log cos x  2log sin 2x, untuk sin x ! 0 dan cos x ! 0 GaMeMath 177 Nini Sentera dan Uci bermain tebak-tebakan. Nini Sentera merahasiakan dua bilangan. Bilangan pertama terdiri atas 14 angka sedangkan bilangan kedua terdiri atas 18 angka. Ia meminta Uci memperkirakan banyak angka di depan koma jika bilangan pertama dibagi bilangan kedua.C. 3. Pertidaksamaan Logaritma Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat-sifatfungsi logaritma, yaitu sebagai berikut.• Untuk a ! 1, fungsi f(x) alog x merupakan fungsi naik. Artinya, untuk setiap x1, x2  R berlaku x1  x2 jika dan hanya jika f(x1)  f(x2).• Untuk 0  a  1, fungsi f(x) alog x merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap x1, x2  R berlaku x1  x2 jika dan hanya jika f(x1) ! f(x2).Sifat-sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma. Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Contoh Tentukan himpunan penyelesaian 3log (x  5) ! 0. Jawab: 3log (x  5) ! 0 3log (x  5) ! 3log 1 x  5! 1 .................. karena a ! 1, maka fungsi naik x ! 4 Perhatikan pula bahwa numerusnya harus lebih dari nol. Berarti, x  5 ! 0. Didapat x ! 5. Jadi, himpunan penyelesaian 3log (x  5) ! 0 adalah HP {x_x !  5 atau x ! 4, x  R}Asah Kompetensi 6Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan logaritma berikut.1. 3log x ! 2 11 6. 2 log (3x  1)  2 log (x  7)2. 3log (x  2) t 4 1 7. 3 log (x  3) t 23. 2log (x2  2x) ! 3 8. 1 (x2  3)  0 2 log4. 9log (x2  x  3) d 1 9. 1 log (3x2  4x  1) ! 0 25. log (x2  2x  1) d log (3x  4) 10. 23log2x  5 3log x  2 d 03 A KSAH EMAMPUANWaktu : 60 menit1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan logaritma Bobot soal: 70berikut!a. log x  log 3 log (x  3) 0b. loglog (x  2) 2  log 3c. 0,5log (x  2)  4log (x  2)d. log x log (log x  4)  4e. 255 log x  1 4f. 2log(3log (2x  1)) 2g. 2 log x  6 2178178 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

2. Diketahui log (x  y) log 3 ˜ 9log 4 dan 2x  1 4y  x. Tentukanlah Bobot soal: 10 nilai x dan y. Bobot soal: 10 Bobot soal: 103. Diketahui xy 80 dan log x  2 log y 1. Tentukanlah nilai x – 4y Olimpiade Matematika SMU, 20004. Banyak desibel suatu suara yang berintensitas I didefinisikan sebagaiB 10 log I . Jika dua suara yang berintensitas I1 dan I2 mempunyai I0desibel B1 dan B2, tunjukkan bahwa B1 B2 10 log I1 . I2 Olimpiade Matematika SMU, 2000x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 3log (9x  18) 2  x. Tentukanlah nilai x1  x2. Olimpiade Matematika SMU, 2000Rangkuman1. Fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. f(x) ax Ÿ g(x) alog x dengan f(x): fungsi eksponen g(x): fungsi logaritma2. Bentuk-bentuk persamaan eksponen. 0 • Jika af(x) am, a ! 0 dan a z 1, maka f(x) m • Jika af(x) ag(x), a ! 0 dan a z 1, maka f(x) g(x) • Jika af(x) bf(x), a ! 0, a z 1, b ! 0, b z 1, dan a z b, maka f(x) • Jika f(x)g(x) f(x)h(x), maka g(x) h(x)3. Sifat-sifat fungsi eksponen• am . an = am+n • (am  bn)p  amp  bnp• am amn • § am ¹¸·p amp an ©¨ bn bnp • am n amn • p m n ap mn ap amn• am 1 • a0 1 am 179Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

4. Bentuk-bentuk persamaan logaritma • Jika alog f(x) alog m, f(x) ! 0, maka f(x) m • Jika alog f(x) blog f(x), a z b, maka f(x) 1 • Jika alog f(x) alog g(x), g(x) ! 0, dan g(x) ! 0, maka f(x) g(x) • Jika f(x)log g(x) f(x)log h(x), f(x) ! 0, g(x) ! 0, h(x) 0, dan f(x) 15. Sifat-sifat fungsi logaritma • a log b  a log c a log b • alog 1 = 0 c• alog a = 1 • a a log b b• alog 1 1 • a log b c log b a c log a• alog ab = b • a log b 1 b log a• alog b + alog c = alog bc • ac log bd alog d d ˜ alog b c bc180180 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

Ulangan Bab 7I. Pilihlah jawaban yang paling tepat! ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 6. Jika x1 dan x2 memenuhi 1 3 1  3 , maka  2 2 6 ¨©§ x ¹·¸1. Jika a 1 3 dan b 4 log x  4 log 2  1 0, 1 3 maka x1  x2 . . . .ab .... A. 20 D. 4A. 4 3 D. 4 B. 12 E. 2B. 4 E. 6 C. 6C. 1 7. Nilai x yang memenuhi2. Nilai x yang memenuhi 2n  3 n  4 64 42x2  3x  5 1adalah . . . .  64 adalah . . . .A. 6 dan 1B. 1 D. 1 dan 6 A. 1  x  2 D. 2  x  1C. 6 E. 2 dan 8 2 23. Jika 3 log 5 p dan 3 log 11 q , maka B.  1  x  2 E. 4 < x < 2 2 115 log 275 . . . . C. 2  x   2A. 2p  q D. (2p  q)(p  1) 8. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan p1B. p  2q E. pq 2 log ©¨§ x  12 ¸·¹ t 3 adalah . . . . p1 2q xC. 2q  1 A. ^x x d 2 atau x t 6, x  R` p4. Nilai dari log(a2  x2 )  a log «ª1  x 2º B. ^x 0  x d 2 atau x t 6, x  R` adalah . . . . log a ¬« A. 2 a2 » C. ^x x  0 atau 2 d x d 6, x  R` B. 1 ¼» C. 1 D. 3 D. ^x x  0 atau x t 1` E. 2 E. {x_x < 0 atau x t 2}5. Nilai x yang memenuhi 9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4 log x 2 2 log 3 x  2 d 3 adalah . . . . 4 x x   0adalah . . . . A. ^x x t 1, x  R`A. 16 atau 4 D. 8 atau 1 ^ `B. 1 2 x x d 2 atau x t 1, x  RB. 16 atau 1 E. 8 atau 4 C. ^x 0  x d 1 , x  R` 4C. 8 atau 2 D. ¯®­x x ! 0 atau  1  x  0, x  R¿½¾ 2 E. ^x x  1 atau x t 2 ` 181Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

10. Himpunan penyesaian pertidaksamaan ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ A. 3 D.  3 log 4  log (x3) d log x² adalah . . . . 2 2 A. ^x x t 6,x  R ` B.b. 2 E. 1 B. ^x 3  x d 2 atau x t 6` 3 C. ^x 3  x d 2 atau 0 d x d 6` D. ^x x d 2 atau x t 6` C.  2 3 E. {x_x d 4 atau x t 4} 15. 5 log 27 ˜ 9 log 125  16 log 32  . . . .11. Jika 61 41 35x  1  27x  3 0 A. 36 D. 12 Nilai x yang memenuhi adalah . . . . B. 9 E. 7 4 2 A. 2 D. 6 B. 3 E. 7 C. 61 20 C. 5 §1 2 16. Penyelesaian dari 2log x 1 adalah . . . .12. Bentuk ¨ a2 b3 ·3 dapat disederhanakan A. 0 D. 2 menjadi ¸ B. 1 E. 10 ¨ b 3 ¸ ¨ 2 ¸ ©. a1 ¹ C. 1 .. . 10 A. b D. ab   17. Jika a log (3x  1) 5 log a 3 , maka nilai a E. a b a B. b x adalah . . . . D. 45 A. 36 E. 48 C. b a B. 39 C. 4213. Nilai-nilai yang memenuhi persamaan 18. Jika 1000(x2  3x  4) 1(x2  2x  3) adalah . . . . a log 81  2 ˜ a log 27  a log 27  a log 243 6 , 9 A. x1 1, x2 2 maka nilai a sama dengan . . . . B. x1 C. x1  1, x2 9 A. 3 D. 9 D. x1 2 B. 3 E. 12 E. x114. Bila 1, x2 7 C. 3 2 19. Jika 1, x2  7 (x  1) log (x3  3x2  2x  4) 3 , 2  1 , x2 9 maka nilai x adalah . . . . 2 A. 0 D. 5 B. 1 E. 9 C. 3 (23x2 4 ) 8x 1, 20. Jika nilai 5 log 3 a dan b, maka nilai dari 5 20  maka nilai x adalah . . . . 4 log 15 adalah . . . .182182 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

A. a1 D. a1 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ e. x2 log x x4 ab ab 8B. ab E. ab f. 2 log x  2  2 log x  3 2 log 3 . 3 log 2 a1 a1 g. 6 log x  2 d 1 abC. a1  h. log x2  4x  4 d l og 5x  10II. Jawablah pertanyaan berikut dengan jelas 2. Suatu zat radioaktif yang meluruh dapat dan tepat! dinyatakan dengan persamaan1. Hitunglah nilai x yang memenuhi tiap x(t) x(0) . eOt persamaan berikut ini! dengan x(t) : Massa yang ditinggal setelah t detika. ©¨§ 1 ¸¹·x 1 3 23x1 x(0) : Massa awal 4 O : Konstanta peluruhan ¨§© 3 ·2b. 3x2 ¸¹   Tunjukkanlah:  § dx · c. 3 5x ! 93x  7 a. Laju peluruhan ©¨ dt ¸¹ yang memenuhi d. 5 x3  x2  3 x persamaan dx  O ˜ x t . 4 dt 25 b. t1 0, 693 , jika t1 adalah waktu paruh O 2 2 183Bab 7 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Tugas Akhir1. Nilai dari ³ 2x  33 dx adalah . . . . A. 19 1 D. 21 1 2 3 1 1A. 2 2x  34  c D. 8 2x  34  c B. 19 1 E. 22 1 3 3 1 1B. 4 2x  34  c E. 10 2x  34  c C. 20 1 3 1C. 6 2x  34  c 6. Suku ke-n dari barisan 3, 7, 11, . . . adalah . . . . A. 15 D. 472. Nilai dari ³ x sin x dx adalah . . . . B. 39 E. 51 C. 43 A. xcos x  c B. xcos x  c 7. Jumlah 24 suku deret 2  4  6  . . . C. xcos x  sin x  c adalah . . . . D. xcos x  sin x  c A. 50 D. 600 E. xcos x  sin x  c B. 150 E. 1.200 S C. 3003. Nilai dari ³ cos x dx adalah . . . . 8. Suku kesembilan dari barisan 16, 8, 4, . . . 0A. 0 D. 1 adalah . . . .B. 1 E.d. 1 A. 2 D. 1 4 2 B. 1 E. 1C. 2 16 8 4. Diketahui f x ³ x2  2x  5 dx C. 0dan f(0) 5 nilai f(x) . . . . 9. JikaA. 4 x3  x2  5x  5 §1 2· §4 3 · §1 0· 3 ¨ ¸ ©¨ 2 1 ¹¸ ©¨ 2 3 ¹¸ , A ¨ 3 4 ¸ , B , CB. 2 x3  x2  5x  5 ¨© 0 1 ¸¹ 3 2 maka A(BC) adalah . . . . 3 x3 2x2C.   5x  5 A. § 10 9· D. §9  10 · ¨© 4 3 ¹¸D. 1 x3  2x2  5x  3 ¨ 3  4 ¸ 9 © ¹ 1 x3 x2 §8 5· § 18 16 ·E. 9 5x 5 ¨ ¸ ¨ ¸    B. ¨¨© 20 13 ¹¸¸ E. ¨©¨ 46 38 ¹¸¸ 2 1 4 45. Jika daerah yang dibatasi oleh grafikf(x)  1 x  2 , sumbu-x, garis x 0 dan garis § 18 15 · 4 ¨ ¸x 4 diputar 360q mengelilingi sumbu-y, C. ¨¨© 46 39 ¸¸¹ 4 3maka volume benda putar adalah . . . .184184 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

10. Misalkan A ª1 0º . 13. Jika B §3 5 · , A §2  5 · , «¬2 3 ¼» ¨© 1 2 ¸¹ ¨© 1 3 ¸¹ Nilai A3 adalah . . . . maka BA . . . . A. ª1 0º D. ª0 0º A. §0 1· D. §3  10 · «¬26 27 »¼ ¬« 4 4 ¼» ¨ ¸ ©¨ 1  4 ¹¸ ª 2  1º © 1 1 ¹ «¬5 3 »¼ ª 1 0º B. §1 0· E. § 1 2· « » ¨© 4 3 ¹¸ B. ¬«« 26 1 » E. ¨ 0 1 ¸ 27 27 ¼» © ¹ ª3 2 º C. § 6  25· ¨© 1 6 ¹¸ C. « 5 3 » « 2  2 » ¬ ¼ 14. A adalah titik (1, 2, 3), B adalah titik ª cos T sin T º (2, 4, 6), dan C adalah (5, 10, 15). Nilai dari «¬ sin T cosT ¼»11. Invers dari adalah . . .. AB : BC adalah . . . . A. ªcos T  sin T º A. 1 : 2 D. 2 : 3 «¬sin T cos T ¼» B. 1 : 3 E. 2 : 4 C. 1 : 4 B. ª sin T cos T º 15. Jika vektor a (1 1 2). Besar dari vektor a ¬« cos T  sin T ¼» adalah . . . . A. 4 C. ª cos T sin T º B. 5 ¬« sin T  cos T ¼» C. 6 D. 8 D. ª cos T  sin T º E. 10 «¬ sin T  cos T »¼ E. ªcos T sin T º 16. Jika P adalah (1, 2, 3) dan Q (4, 5, 6). «¬sin T cos T ¼» Panjang vektor PQ adalah . . . . A. 212. Jika A §1 2 · , B §3 2 · , maka nilai B. 3 ©¨ 1 3 ¹¸ ©¨ 2 2 ¹¸ C. 4 D. 5 B1A1 = . . . . E. 6 §1 1· §7 6· A. ¨ ¸ D. 17. Nilai x dari (2x2  3  1) x2  3x  2 ¨ 1 3 ¸ ¨ 9 8 ¸ 1 © © ¹ 2¹ adalah . . . . B. § 3 2· E. § 7  6 · A. x  1 atau x  2 ¨ ¸ ¨© 9  8 ¸¹ 2 © 1 1 ¹ B. x 1 C. x 4 atau x  4  §4 3·  2 atau x  2 ¨ ¸ C. ¨  9 7 ¸ D. x  3 atau x  3 © 2 2¹ 1 2 E. x   atau x 2TCugaatastaAnkhir 185

18. Diketahui x2 1 log x2  3 x2 1 log x  3 . A. x 3 atau x 1 B. x 3 atau x 1 Nilai dari x adalah . . . . C. x 3 atau x 1 A. x 3 atau x  2 D. x 3 atau x 1 B. x 4 atau x 2 E. x 3 atau x 2 C. x 5 atau x  2 D. x  3 atau x 2 20. Diketahui 2 log 2x  3 2 log x  1 . E. x  3 atau x  2 Nilai x adalah . . . . D. 5 A. 2 19. Diketahui 2 log x2  2x 2 log 3 . B. 3 E. 6 C. 4 Nilai x adalah . . . .186186 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

GLOSARIUMabsis : jarak di sepanjang sumbu horisontal pada grafik koordinatasimtot : garis putus-putus pada sebuah grafik yang mewakili batasbarisan nilai dimana fungsi rasional atau hiperbola terdefinisibarisan aritmetika : suatu daftar bilangan-bilangan dalam urutan dan pola tertentubarisan geometri : barisan bilangan dimana setiap suku setelah suku pertamabayangan berlaku tambahkan bilangan tertentu pada suku sebelumnyabeda : suatu barisan bilangan dengan suku-sukunya merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan pengali yang tetapbilanganbilangan pokok : posisi akhir dari suatu bangun yang dihasilkan dari suatubilangan rasional transformasibilangan real : selisih suatu suku dengan suku sebelumnya pada barisandaerah asal aritmetikadaerah hasil : kombinasi angka-angka, seperti 12.254 atau 36.650 : pada pemangkatan xn, x adalah bilangan pokokdaerah kawan : suatu bilangan yang mungkin dituliskan dalam bentuk aderet aritmetika bderet geometri dimana a dan b adalah bilangan asli dan b tidak samadiagonal dengan noleksponenelemen : suatu bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimaleliminasi : himpunan semua nilai x (bilangan pertama dalam setiapfaktor pasangan berurutan) dalam suatu relasifaktor skala : himpunan semua nilai y (bilangan kedua pada setiap pasangan berurutan) pada sebuah relasi : himpunan semua nilai y (bilangan kedua dalam setiap pasangan berurutan) dalam suatu relasi : jumlah dari suku-suku barisan aritmetika : jumlah dari suku-suku pada barisan geometri : suatu garis lurus yang menghubungkan dua sudut yang berbeda dari suatu bangun : pada pemangkatan xn, n adalah eksponen : anggota sebuah himpunan : dalam sistem persamaan, eliminasi berarti proses menggabungkan persamaan untuk menghilangkan salah satu peubahnya sehingga lebih mudah dikerjakan : suatu bilangan yang membagi bilangan lain dengan tepat, disebut juga pembagi : suatu bilangan yang mengalikan bilangan-bilangan lain untuk merubah ukurannya 187Glosarium

fungsi : suatu aturan, biasanya berupa persamaan, tabel, atau grafik yang menghubungkan setiap anggota (biasanya suatugaris berpotongan : bilangan) dari satu himpunan bilangan pada anggotagradien : tertentu himpunan bilangan lain. Persamaan y 2x adalah suatu fungsi yang menggandakan setiap bilangan xgrafik : garis-garis yang tepat berpotongan pada sebuah titikinvers :jajargenjang : gradien dari suatu garis adalah rasio dari perubahan padakeliling : y terhadap perubahan di xkongruen :konstanta : sebuah gambar yang menyatakan jawaban persamaankoordinat : matematikakoordinat cartesius : operasi kebalikan dari suatu operasi tertentukuadrat : suatu segiempat yang memiliki dua pasang sisi yang sejajarlingkaran : jarak di sekeliling bangun datarlogaritma : mempunyai ukuran dan bentuk yang samaluas :matriks : sesuatu yang tidak berubah, yang bukan merupakan variabelordinat : suatu pasangan terurut dari bilangan-bilangan yangparabola : dipasangkan dengan suatu titik pada bidang koordinatpencerminan : sistem untuk menyatakan posisi suatu titik pada sebuah bidang grafikpersamaan : hasil kali sebuah bilangan dengan dirinya sendiripersegi panjang :pertidaksamaan : kumpulan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak sama dari titik tertentu (tetap) pada bidang tersebut.pertidaksamaan linear : Titik tertentu tersebut terletak di tengah lingkaran sebuah bilangan yang sudah ditentukan (bilangan pokok) yang dipangkatkan untuk menghasilkan sebuah bilangan ukuran ruang di dalam bangun dua dimensi sebuah kumpulan bilangan atau peubah yang disusun sehingga berbentuk persegi panjang yang bisa digunakan untuk mewakili sistem persamaan jarak di sepanjang sumbu vertikal pada grafik koordinat suatu grafik yang persamaannya y ax2  bx  c, dengan az0 suatu transformasi (gerakan) dari bentuk geometri dengan suatu cermin kalimat matematika yang memiliki simbol “sama dengan” di dalamnya suatu segi empat yang mempunyai empat sudut siku-siku suatu kalimat/pernyataan yang memiliki satu dari simbol- simbol: z, , !, d, t suatu kalimat linear yang tidak mengandung tanda “sama dengan” ( )188188 Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

rasio : hasil bagi dari dua bilangan yang memiliki satuan samasubstitusi : dalam sistem dua persamaan dengan dua peubah, substitusisuku merupakan proses penyelesaian sebuah persamaan untuksumbu simetri mencari sebuah peubah dan mensubstitusikan hasilnya kesumbu-x persamaan kedua untuk mendapatkan satu persamaansumbu-y dalam satu peubahtransformasitranslasi : semua bilangan dalam sebuah barisan atau bagianvolume polinomial yang terpisah dengan tanda  atau  : garis putus-putus atau lipatan suatu bangun datar untuk menghasilkan tepat dua bagian yang sama : garis bilangan horisontal pada grafik koordinat : garis bilangan vertikal pada grafik koordinat : suatu operasi pada bangun geometri pada setiap titik-titiknya sehingga bangun tersebut menjadi bangun yang baru : suatu transformasi (gerakan) dari bentuk geometri dengan suatu pergeseran tanpa perputaran : jumlah satuan kubik bagian dalam suatu bangun ruang 189Glosarium