set2

10 2. สบั เซตและเพาเวอรเ์ ซต (Subset or Power Set) ❤ สับเซต ●บทนยิ าม เซต A เปน็ สับเซตของเซต B ก็ต่อเมือ่ สมำชิกทุกตวั ของเซต A เปน็ สมำชิกของเซต B และไม่ สำมำรถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A B Let A and B be two sets. The set A is said to be a subset of the set B if every element of A is also an element of B. Symbolically: We write A B. ตวั อย่างท่ี 1 A = {1,2,3} B = {1,2,3,4,5} ∴A B ขอ้ สงั เกต ตวั อย่างที่ 2 C = {x | x เปน็ จำนวนเต็มบวก} = {1,2,3,…} สับเซต ต้องเป็นเซต D = {x | x เปน็ จำนวนค}ี่ = {…,-3,-1,1,3,…} ∴C  D เซตวา่ งเป็นสับเซตของทกุ เซต ตัวอย่างท่ี 3 E = {0,1,2} F = {2,1,0} ∅ A เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A A ∴ E  F และ F  E จำกตัวอยำ่ งที่ 3 จะเหน็ วำ่ ถ้ำ E  F และ F  E แลว้ E = F ลักษณะของสบั เซต มี 2 แบบ คือ 1) สับเซตแท้ (Proper Subset) คือสบั เซตที่เล็กกว่ำเทำ่ น้ัน ไมน่ ับตัวมนั เอง A B และ A ≠ B 2) สบั เซตไมแ่ ท้ (Improper Subset) คอื เซตตวั มันเอง

11 จานวนสบั เซต ถำ้ A เป็นเซตท่ีมีสมำชกิ n สมำชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2������ เซต และในจำนวนน้ีเป็นสบั เซตแท้ 2������ – 1 เซต ❤ เพาเวอร์เซต ●บทนยิ าม เพำเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมำชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และ สำมำรถเขียนแทนไดด้ ้วยสัญลักษณ์ P(A) The collection of all possible subsets of a given A is called the power set of A, and is denoted by P(A). ตวั อย่างท่ี 1 A = ∅ [ n(A) = 0 จานวนสบั เซตเทา่ กบั 20 = 1 ] สับเซตท้งั หมดของ A คือ ∅ ∴ P(A) = {∅} ตวั อย่างท่ี 2 B = {1} [ n(B) = 1 จานวนสับเซตเท่ากับ 21 = 2 ] สบั เซตทั้งหมดของ B คอื ∅, {������} ∴ P(B) = {∅, {������}} ตวั อยา่ งท่ี 3 C = {1,2} [ n(C) = 2 จานวนสบั เซตเทา่ กบั 22 = 4 ] สับเซตท้ังหมดของ C คือ ∅,{1},{2},{1,2} ∴ P(C) = {∅, {������}, {������}, {������, ������}} {a, b}  A หมายความว่า aA และ bA

12 Exercise 2 1. กำหนด A = {0,1,2,3} ________2) {0}  A ข้อต่อไปนข้ี ้อใดถูก และข้อใดผิด ________4) 3  A ________1) 0  A ________6) {1,2}  A ________3) {2}  A ________8) {0,1,2,4}  A ________5) 4  A ________7) {1,2,3}  A ________2) b  B 2. กำหนด B = {a,b,c} ________4) {a}  B ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู และข้อใดผดิ ________6) {a}  B ________1) a  B ________8) {b}  B ________3) {c}  B ________5) {a,b,c}  B ________2) 2  C ________7) {a,c}  B ________4) {4}  C 3.กำหนด C = {{1},2,3,{4,5}} ________6) 3  C ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู และข้อใดผิด ________8) {2,3}  C ________1) {1}  C ________3) {{4}}  C ________5) {1}  C ________7) {4,5}  C

13 4.ขอ้ ใดต่อไปนี้จริง และข้อใดตอ่ ไปน้เี ทจ็ ________1) ∅  A เม่อื A เปน็ เซตใดๆ ________2) ∅ ∅ ________3) ∅{∅} ________4) {1,5}  {x  R | x2 − 6x + 5 = 0} ________5) {2} เปน็ สับเซตแทข้ องเซต {xR | x2 − 2x = 0 } ________6) ถ้า A เป็นเซตใดๆแลว้ สำมำรถหำสับเซตแท้ของ A ได้เสมอ ________7) ∅ เป็นสบั เซตแท้ของทุกเซต ________8) ถำ้ A เป็นสบั เซตใดๆแล้ว A  A เสมอ ________9) {x  R | ������ = 0}  {x  R | ������2 > 0} 2 ________10) {x  R | ������2 + 2 = 0}  {x  R | ������2 = 2} ________11) {x  I | x เปน็ จำนวนเฉพำะ และ 2< x <20} เปน็ สบั เซตของ {x  I+ | x เป็นจำนวนคที่ ี่มีค่ำน้อยกวำ่ 20} ________12) {x  N | x หำรด้วย 3 ลงตวั } เป็นสบั เซตของ {x  I+ | x เปน็ จำนวนเต็มคี่} 5. จงหำสบั เซตทัง้ หมดของเซตทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) A = ∅ สบั เซตทงั้ หมดของ A ได้แก่ ______________________________________ 2) B = {1} สับเซตทั้งหมดของ B ได้แก่ ______________________________________

14 3) C = {1,2} สบั เซตทงั้ หมดของ C ไดแ้ ก่ ______________________________________ 4) D = {1,2,3} สบั เซตท้ังหมดของ D ไดแ้ ก่ ______________________________________ 5) E = {a,{b}} สบั เซตท้งั หมดของ E ได้แก่ ______________________________________ 6) F = {1,{2,3}} สบั เซตทั้งหมดของ F ได้แก่ ______________________________________ 7) G = {{1}} สับเซตทั้งหมดของ G ได้แก่ ______________________________________ 8) H = {0,{1},{2}} สับเซตทัง้ หมดของ H ได้แก่ ______________________________________ 6.กำหนด A = {1,2,3} จงตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี 1) จำนวนสบั เซตของ A ทีม่ ีสมำชิก 0 ตัว ___________________________________________________ 2) จำนวนสบั เซตของ A ทมี่ ีสมำชิก 1 ตัว __________________________________________________ 3) จำนวนสบั เซตของ A ที่มีสมำชกิ 2 ตัว __________________________________________________ 4) จำนวนสบั เซตของ A ทีม่ ีสมำชิก 3 ตัว __________________________________________________

15 5) จำนวนสบั เซตทั้งหมดของ A __________________________________________________ 6) จำนวนสับเซตแท้ของ A _________________________________________________ 7. กำหนด A เป็นเซตที่มีสมำชิก 10 สมำชกิ จงหำจำนวนสบั เซตของ A ท่ีมีสมำชิก 1 ตวั ___________________________________________________ 8. กำหนด A เป็นเซตทมี่ ีสมำชกิ n สมำชิก จงหำจำนวนสับเซตของ A ที่มีสมำชิก 1 ตวั ___________________________________________________ 9. กำหนด A เปน็ เซตท่มี ีสมำชิก n สมำชิก จงหำจำนวนสบั เซตท้งั หมดท่ีมีสมำชิกอย่ำงนอ้ ย 1 ตวั __________________________________________________ 10. ถ้ำ A เป็นเซตที่มีสมำชิก n สมำชกิ จงหำจำนวนสับเซตท้งั หมดของ A ___________________________________________________ 11. ถ้ำ A เปน็ เซตท่ีมีสมำชิก n สมำชิก จงหำจำนวนสับเซตแทท้ งั้ หมดของ A ___________________________________________________ 12. ถำ้ A เปน็ เซตที่มีสมำชกิ n สมำชิก จงหำจำนวนสับเซตของ A ที่มสี มำชิก n-1 สมำชิก ___________________________________________________ 13. จงเขียนคำตอบลงในชอ่ งวำ่ ง 1) กำหนด A = ∅ ∴ P(A) = ________________________________________ 2) กำหนด B = {a} ∴ P(B) = ________________________________________

16 3) กำหนด C = {2,5} ∴ P(C) = ________________________________________ 4) กำหนด D = {1,3,5} ∴ P(D) = ________________________________________ 5) กำหนด A = {{a}} ∴ P(A) = ______________________________________ 6) กำหนด A = {1,{1}} ∴ P(A) = _______________________________________ 7) กำหนด A = {∅,{∅}} ∴ P(A) = _______________________________________ 8) P(P(∅)) = _______________________________________ 14. ถำ้ A มีสมำชกิ n สมำชกิ แล้ว P(A) มีสมำชิกเทำ่ ไหร่ ___________________________________________________ 15. ถ้ำ P(P(A)) มสี มำชกิ 16 สมำชิก แล้ว A มสี มำชิกเท่ำไหร่ ___________________________________________________ 16. กำหนด A = {x  N | ������2 − 9������ + 20 = 0} จงหำ P(A) ___________________________________________________