Kare Köklü İfadeler (2)

Çumra Anadolu Lisesi Kare Köklü İfdeler / & ^9 Hedefinde % + -√ Kendine Yol Belirler KEEP LEARNING WITH WEB 2

KAREKÖK NEDİR?

.Karekök ' √' Verilen sayının hangi sayının sembolü ile karesi olduğunu bulma işlemine gösterili karekök alma işlemi denir Basit bir örnek verirsek ÖRNEK: 16 hangi sayıların karesidir bulalım 16 = 4.4 = 16 16 = (-4).(-4) = (-4)2 olduğundan 16 hem 4’ün hem de -4’ün karesidir

Tam Kare Sayılar Bir tam sayının karesi olan, diğer bir ifade ile karekökü tam sayı olan doğal sayılara tam kare sayılar denir.1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 192, 256, 289, … sayıları tam kare sayılardır Tam kare sayılar karekök dışına çıkarlarsa yine tam sayıdır.

Aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi 1, 4, 9 gibi tam kare sayılarla kenarları tam sayı olan kareler elde edilebiliyor Ancak 2, 3, 5, 7 gibi sayılarla kenarları tam sayı olan kareler elde edilemiyor. ÖRNEK: Alanı 25 br2 olan bir karenin bir kenarı kaç birimdir? Kenar=√25= 5 birimdir.

√ÖRNEK: 196 sayısının değerini bulalım.

TAM KARE OLMAYAN SAYILAR 1,4,9,16,25,… gibi sayılara tam kare sayılar denildiğini öğrenmiştik Bu sayılar dışındaki sayılara tam kare olmayan sayılar diyoruz. Bu konumuzda tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi sayılar arasında olduğunu bulmayı ve tam kare olmayan sayıların yaklaşık değerini en yakın tahmin etme yöntemini öğreneceğiz. HANGİ İKİ SAYI ÖRNEK:√8 sayısının hangi iki ARASINDA Tam kar e sayıların tam sayı arasında karekökleri doğal olduğunu bulalım sayıdr. Ancak tam kare olmayan 8’e en yakın 8’den büyük ve 8’den küçük tam kare sayıların sayıları buluruz. karekökleri ne bir doğal sayıdır, ne bir 8’den küçük 8’e en yakın tam kare sayı = 4 tam sayıdır, ne de 8’den büyük 8’e en yakın tam kare sayı = 9’dur. bir rasyonel √ 8nin değeri bu tam kare sayıların sayıdır. Şimdi tam karekökleri kare olmayan arasındadır sayıların 4<8<9 karekökleri hangi sayılar arasında √4 <√8<√9 yer alır bulalım. 2<√8<3 yazılır √8 'in değeri 2 ile 3 arasındadır

KAREKÖKLÜ SAYIlARIN YAKLAŞIk DEĞERİNİ TAHMİN ETME Tam kare olmayan bir sayının karekökünün hangi sayılar arasında olduğunu bulduk. Şimdi ise biraz daha yakın bir tahmin yapmayı bir örnekle öğrenelim. ÖRNEK: √62 sayısının yaklaşık değerini tahmin edelim √62 sayısı 7 'nin karesi ve 8'in karesi'nin arasındadır √62'nin 7 'e mi yoksa 8'e mi yakın olduğunu bulalım 62 sayısı 64'de 49'dan yakın oldugu için √62'nin 8’e daha yakın olduğunu da söyleyebiliriz

alıştırma:

KAREKÖK DIŞINA NASIL SAYI ÇIKARILIR? Tam kare sayıları karekökten çıkarmayı Kareköklü Sayılar ve Tam Kare Sayılar konusunda görmüştük. Şimdi ise tam kare olmayan sayıların çarpanlarını kökten çıkarmayı öğreneceğiz. kareköklü bir sayı a√b şeklinde yazmak için karekök içindeki sayı çarpanlarından en az biri tam kare sayı olacak şekilde iki sayının çarpımı olarak yazılır. Tam kare olan çarpanların karekökleri, karekök dışına katsayı olarak yazılır. __ -a ≥ 0 olmak üzere √(a)2.b = a√b eşitliği vardır. NOT: Karekök içindeki sayının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı değilse karekök dışına çıkarılamaz. -√ÖRNEK: 72 SAYISINI a√b şeklinde yazalım. Bu işlemi 2 farklı yolla yapabiliriz. 1. YOL: 72’yi birisi tam kare olmak şartıyla iki sayının çarpımı şeklinde kökün içine yazarız. Tam kare olan çarpan kök dışına çıkartılır. Diğer çarpanın 1’den büyük tam kare çarpanı yoksa kök içinde kalır. = __ = √√72 √36.2 6 2 72 sayısını bu şekilde kare kök dışına alabiliriz

ÖRNEK: Aşağıdaki kareköklü sayıları a√b şeklinde yazalım √8 = √4.2 = 2√2 √27 = √ 75 = √62 =

KATSAYI NASIL KAREKÖK İÇİNE ALINIR öğreKnmarieşktiökk.lŞüibmirdisiasyeıykıaa t√sabyşıekköliknidçeinyeanzamsıalyaılınır öğreneceğiz. Katsayı karekök içine alınırken katsayının karesi alınarak (kendisi ile çarpılarak) kök içindeki sayı ile çarpılır ve kök içine yazılır yani şu şekilde yazılır _a√b = √(a)2. b eşitliği vardır. ÖRNEK: 2√3 __ _ sayısında katsayıyı kök içine alalım 2√3 =√(2)2.3 =√4.3=√12 olur NOT: Karekök dışındaki sayı negatif ise “–” kök dışında bırakılır. ___√ÖRNEK: −2 5 sayısında katsayıyı kök içine alalım. −2√5 = − √(2)2 .5 = −√4.5 = −√20 şeklin de yazılır

KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA kareköklü sayılarda sıralama işl emi yapılırken ilk önce katsayısı kök derecesini alarak kök içine girer ve kök içindeki sayı ile carpılır ve çıkan sonuca göre büyük'ten küçük'e doğru sıralanır yada küçük'ten büyük'e , ,ÖRNEK: 3√5 4√2 2√11 sayılarını karşılaştıralım. Sıralayacağımız sayılardaki katsayıları köklerin içine alalım __ _ =3√5 = √(3)2 .5 √9.5 =√45 __4√2 __ = √(4)2.2 = = √32 √16.2 = __ = =2√11 √(2)2.11 √4.11 √44 3√5 > 2√11 > 4√2 bu şekilde sıranılır

KAREKÖKLÜ SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ NASIL YAPILIR? Kareköklü bir sayıyı a √b şeklinde yazmayı görmüştük.Bu konuda bu bilgiden de faydalanarak Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi nasıl yapılır öğreneceğiz. Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken, kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. Katsayılar arasında işlem yapılır ve bulunan sonuç ortak köke katsayı olarak yazılır. + =► Toplama işlemi için a√x b√x (a+b)√x eşitliği vardır −► Çıkarma işlemi için ise a√x b√x =(a−b)√x şeklinde yazılır +ÖRNEK: 2√3 5√3 işlemini yapalım Köklerin içlerindeki sayı aynı olduğundan toplama işlemi yapabiliriz. 2√3 +5√3 = (2+5)√3 = 7√3 bulunur NOT: Başında katsayı bulunmayan kareköklü sayıların katsayıları 1’dir.

ÖRNEK:Bir kenarının uzunluğu √7 cm olan eşkenar üçgenin çevresini bulalım. Çevre = √7+√7+√7=(1+1+1)√7=3√7 ÖRNEK: 9√5 − 3√5 işleminin sonucunu bulalım. 9√5 − 3√5 = (9−3)√5 =6√5 NOT: Kök içleri aynı olmayan/yapılamayan sayılarla toplama çıkarma işlemi yapılmaz √2 + √3 ≠√5

KAREKÖKLÜ SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ NASIL YAPILIR? Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yapılırken katsayılar kendi arasında çarpıldıktan sonra sonuca katsayı olarak yazılır. Kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılarak sonuç kök içinde yazılır. örnekle açıklıyalım x√a . y√b = x.y√a.b eşitliği vardır. ÖRNEK: 4√3 . 2√2 işleminin sonucunu bulalım 4√3 . 2√2 = 4.2√3.2 = 8√6 şeklinde bulunur eyer katsayı negatif bi r sayıysa şöyle yapılır ÖRNEK: −3√7 . 5√14 işleminin sonucunu bulalım Katsayıları kendi arasında kök içindeki sayıları kendi arasında çarparız. Kök içinden kök dışına çıkma işlemi yapılabiliyorsa yaparız. -3√7 . 5√14 = -3 . 5√7.14 = -15√98= -15√49.2 = -15.7√2 = -105√2 eşitliği vardır Karekök içinin aynı olduğu durumlarda köklü sayı direk kök dışına çıkartılabilir √a.√a = a

Ondalık Kesirlerin Karekökleri ONDALIK KESİRLERİN KAREKÖKLERİ NASIL BULUNUR Ondalık kesirlerin karekökünü bulma konusuna geçmeden önce ondalık kesirleri rasyonel gösterimle yazma konusunu bir hatırlayalım. ÖRNEK: 1,44 sayısını kesir olarak yazalım. Tam kısmı (virgülden önceki kısım) kesrin tam kısmına, Ondalık kısmındaki sayıyı (virgülden sonraki kısım) kesrin payına, ve yanına virgülden sonraki basamak kadar sıfırı kesrin paydasına yazarız _44 1 100 Şimdi ise kesirli bir sayıyı ondalıklı gösterimle nasıl gösteririz _ÖRNEK: 121 100 kesrini ondalıklı gösterimle yazalım. Paydadaki 2 tane sıfır virgülden sonra 2 basamak olacağı anlamına gelir. _ , _ _ şeklinde. Daha sonra payda bulunan sayıyı sağa yaslı olarak yazarız. Eğer solda boş basamak kalırsa o basamaklara “0” koyarız. Kesrin ondalık gösterimi = 1,21’dir. Şimdi ondalık kesirlerin karekökünü almaya geçebiliriz.

Ondalık kesirler, rasyonel sayıya çevrildikten sonra karekök dışına çıkartılabilir. ÖRNEK: √0,25 sayısının değerini bulalım. Önce kesir olarak yazarız, daha sonra pay ve paydayı √__ _ =√0,25 = ayrı ayrı karekök dışına çıkartırız. = =25 √25 5 0,5 olarak bulunur 100 √100 10 kareköklü ifadelerle ilgili konu anlatımı burda bitiyor konuyu daha iyi anlamak için çokça soru çözmeniz gerek bundan sonraki 2 sayfada örnek sorular var

KAREKÖKLÜ SAYILARLA İLGİLİ SORULAR ÖRNEK: AŞAĞIDAKİLERDEN KAÇ TANESİ ? DOĞRUDUR ? 1. √48 = 4√3 2. √180 = 6√5 3. √200 = 10√2 4.√75 - √108 =-√3 ÖRNEK: √2 < x < √3 olduğuna göre , x aşağıdakilerden hangisi olabilir _ _ _A) 4 B) 1 C) 3 D) 9 E) 2 5 2 5

ÖRNEK: _a =√31 birim _şekildeki verilen ve bir kenarı a =√13 birim olan karenin alanı b birimkare ve çevresi c birim olduğuna göre,aşağıdakilerden hangisi yanlıştır ? A) a < b B ) a < c C) b < c D) c > ab E) c < a+b Kaynakça: Okul kitapları ,internetteki web siteleri ,kendime öz yazdıgım yazılar ve hocalarımdan aldığım yazılarla oluşturduğum kitap