หนังสือฝึก คิด พิชิตคณิต PISA

พชิ ิต สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

ค�ำ นำ� สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) มุ่งเน้นพัฒนาการศึกษา วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยีของประเทศไทยให้ทัดเทียมกับนานาชาติ โดยทำ�หน้าท่ี หลกั เป็นผู้ขับเคลือ่ นการจดั การศึกษาวทิ ยาศาสตร์ คณติ ศาสตร์ และเทคโนโลยี ด้วยการศึกษาค้นคว้า วิจัย พัฒนา ออกแบบ จัดทำ�ต้นฉบับ และเผยแพร่นวัตกรรมทางการศึกษา โดยมีเป้าหมายเพ่ือ ยกระดับคุณภาพการศึกษาวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยีของประเทศไทยได้อย่างท่ัวถึง และมีมาตรฐานทดั เทียมกับนานาชาติภายใตบ้ รบิ ทของความเป็นไทย สสวท. ไดจ้ ดั ท�ำ โครงการพฒั นาต�ำ ราและสอื่ ส�ำ หรบั หลกั สตู รการผลติ และพฒั นาครวู ทิ ยาศาสตร์ คณติ ศาสตร์ และเทคโนโลยี ขนึ้ เพอื่ พฒั นาต�ำ ราทส่ี อดคลอ้ งกบั บรบิ ทไทยและไดม้ าตรฐานทดั เทยี มนานา ประเทศ หนังสอื “ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA” นี้ เป็นหนังสอื ทพ่ี ัฒนาข้ึนโดยคณะท�ำ งานของโครงการ ดงั กลา่ ว มเี นอ้ื หาประกอบดว้ ยโจทยป์ ญั หาทส่ี อดคลอ้ งกบั สถานการณป์ ญั หาในปจั จบุ นั การเสนอแนวคดิ ในการแก้โจทย์ปัญหาซึ่งผู้อ่าน ครูผู้สอน ผู้ปกครอง และแม้แต่นักเรียนเองสามารถนำ�โจทย์ปัญหา เหลา่ นน้ั มาใชใ้ นการฝกึ ฝน เพอ่ื ใหเ้ กดิ การพฒั นาดา้ นการคดิ วเิ คราะห์ การใหเ้ หตผุ ล และการน�ำ ความรู้ คณิตศาสตร์ที่เรียนมาไปใช้แก้ปัญหา อันเป็นสมรรถนะสำ�คัญที่พึงบังเกิดกับผู้เรียน ในอันท่ีจะเป็น พลเมืองทมี่ ีความสามารถในการดำ�รงชวี ิตที่ดตี ่อไป สสวท. ขอขอบคณุ คณุ หญงิ สมุ ณฑา พรหมบญุ ประธานมลู นธิ ิวทิ ยาศาสตร์ ดร.ปรชี า-ประไพ อมาตยกลุ ในการเปน็ ทป่ี รกึ ษาของโครงการ และขอขอบคณุ คณาจารยแ์ ละผทู้ รงคณุ วฒุ จิ ากมหาวทิ ยาลยั โรงเรยี น และสถาบันอืน่ ๆ ท่ใี หค้ วามร่วมมือในการพัฒนาหนังสอื เลม่ นี้ สสวท. หวังเป็นอยา่ งยงิ่ ว่า หนังสือเล่มน้ีจะเป็นประโยชน์สำ�หรับครูผู้สอนวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ได้นำ�ไปใช้ หรอื ปรบั ให้เหมาะสมกับศักยภาพและความสามารถของผู้เรียน หากมีข้อเสนอแนะใดท่ีจะทำ�ให้หนังสือเล่มนี้สมบูรณ์ย่ิงข้ึน โปรดแจ้ง สสวท. ทราบด้วย จักขอบคณุ ยงิ่ (นางพรพรรณ ไวทยางกูร) ผอู้ �ำ นวยการสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี Aก ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ชี้แจง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) มบี ทบาทและภารกจิ ในการพฒั นา ครูและบุคลากรทางการศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ซ่ึง สสวท. ได้จัดทำ�และ ดำ�เนนิ โครงการเพ่ือพฒั นาศกั ยภาพของครปู ระจำ�การในสาขาวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี เป็นประจ�ำ เสมอมา สสวท. ได้เคยร่วมกับกระทรวงศึกษาธิการและทบวงมหาวิทยาลัยดำ�เนินการพัฒนาเอกสารชุด การเรยี นการสอนส�ำ หรับครูวิทยาศาสตร์และครูคณิตศาสตร์ เพือ่ ใหส้ ถาบนั การผลิตครูตา่ ง ๆ ไดน้ ำ�ไปใช้ เอกสารดงั กลา่ วไดถ้ กู น�ำ ไปใชอ้ ย่างแพร่หลายในระดับหนึ่ง ปจั จุบนั เวลาไดล้ ว่ งเลยมาและความก้าวหน้า ทางวชิ าการมมี ากขนึ้ สสวท. เหน็ วา่ ต�ำ ราและสอ่ื ในการพฒั นาครปู ระจ�ำ การและการผลติ นกั ศกึ ษาครนู น้ั ควรไดร้ บั การพฒั นาเพอื่ ใหส้ อดคลอ้ งกบั ความกา้ วหนา้ ทางวชิ าการและเทคโนโลยที กี่ า้ วหนา้ ขนึ้ เปน็ ล�ำ ดบั มีมาตรฐานสูงและสามารถเทียบเคียงกับนานาชาติได้ สสวท. จึงได้ดำ�เนินโครงการพัฒนาตำ�ราและส่ือ สำ�หรับหลักสตู รการผลติ ครวู ทิ ยาศาสตร์ คณติ ศาสตร์ และเทคโนโลยี โดยมวี ตั ถปุ ระสงค์เพ่อื พัฒนาต�ำ รา วทิ ยาศาสตรศ์ กึ ษาและคณติ ศาสตรศ์ กึ ษาทจ่ี ะเปน็ ประโยชนท์ งั้ ส�ำ หรบั ครปู ระจ�ำ การและนกั ศกึ ษาครู โดย ไดร้ บั ความรว่ มมอื จากสถาบนั การผลติ ครแู ละผทู้ เ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การพฒั นาครวู ทิ ยาศาสตรแ์ ละคณติ ศาสตร์ ทั่วประเทศ เพ่ือใหไ้ ด้ตำ�ราและสื่อทีม่ ปี ระสทิ ธิภาพสูง เหมาะสมกับบริบทไทย และมีมาตรฐานทัดเทียม กับนานาชาตอิ กี ดว้ ย ส�ำ หรบั ต�ำ ราวทิ ยาศาสตรศ์ กึ ษาและคณติ ศาสตรศ์ กึ ษาท่ี สสวท. ไดพ้ ฒั นาขน้ึ เปน็ ต�ำ ราทปี่ ระกอบ ด้วยเนื้อหาพื้นฐานและแนวทางในการจัดการเรียนรู้ที่จำ�เป็นสำ�หรับครูวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ประกอบดว้ ยต�ำ รา 2 ชดุ ชดุ หนงึ่ เปน็ ดา้ นวทิ ยาศาสตรศ์ กึ ษา อกี ชดุ หนง่ึ เปน็ ดา้ นคณติ ศาสตรศ์ กึ ษา สสวท. หวังเป็นอย่างยิ่งว่า ตำ�ราวิทยาศาสตร์ศึกษาและคณิตศาสตร์ศึกษาทั้งสองชุดน้ีจะเป็นประโยชน์สำ�หรับ ครูและนักศึกษาครูในการพัฒนาศักยภาพและสมรรถนะในการจัดการเรียนรู้ ซ่ึงจะส่งผลต่อสัมฤทธิผล ทางการเรียนของนักเรียนและการยกระดบั คุณภาพการศกึ ษาต่อไป (นายพิศาล สร้อยธหุ ร่�ำ ) ประธานโครงการพฒั นาต�ำ ราและสือ่ ส�ำ หรับหลักสูตรการผลติ และพฒั นาครวู ิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ขB ฝึก คิด พชิ ติ คณติ PISA สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ï บทนำ� สารบัญ ï สถานการณ์ หน้า • รูปแบบขนั้ บนั ได 1 • สวนฝร่ัง • ทางเลอื ก 2 • ชัน้ วางหนังสือ 8 • สเก็ตบอร์ด 23 • บันได 28 • ลูกเตา๋ 32 • สามเหล่ียม 43 • ชา่ งไม้ 48 • โรงงาน 54 • ลูกอมสตี ่าง ๆ 60 • แบบทดสอบวิทยาศาสตร์ 71 • การส่งออก 81 • ขยะ 87 • แผน่ ดนิ ไหว 92 • การสนับสนุนประธานาธบิ ดี 97 • คดปี ล้น 104 • รถยนตท์ ่ีดที ่สี ุด 110 • อตั ราแลกเปลี่ยน 114 • คยุ ผา่ นอินเทอรเ์ น็ต 123 • พื้นทที่ วีป 132 • สงู ข้ึน 141 • รอยเท้า 150 • ความเร็วของรถแข่ง 162 • ทางเลื่อน 171 ï บรรณานกุ รม 178 ï คณะผู้จดั ท�ำ 188 199 202 ฝกึ คดิ พิชิตคณิต PISA คC สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)



บทนำ� โครงการ PISA (Programme for International Student Assessment) เปน็ โครงการประเมนิ ผล นักเรียนระดับนานาชาติ ซึ่งจะสะท้อนถึงคุณภาพของการศึกษาของประเทศไทยเมื่อเทียบกับนานาชาติ การประเมนิ ตามโครงการ PISA เนน้ การประเมนิ สมรรถนะของนกั เรยี นในการใชค้ วามรแู้ ละทกั ษะทเ่ี กยี่ วขอ้ งกบั ชวี ติ จรงิ เพอ่ื การเรยี นรตู้ ลอดชวี ติ โดยเฉพาะอยา่ งยง่ิ การใชช้ วี ติ ในสงั คมยคุ ใหม่ นอกจากนนั้ ยงั รวมถงึ การศกึ ษา ตอ่ ในระดบั สงู การประกอบอาชพี และการด�ำ เนนิ ชวี ติ โดยเรมิ่ ท�ำ การประเมนิ ในปี พ.ศ. 2543 (ค.ศ. 2000) และ จะประเมนิ ทุก ๆ 3 ปี โครงการ PISA จะประเมินสมรรถนะของนักเรียนอายุ 15 ปี โดยไม่ระบุชั้นเรียน และประเมินใน 3 ด้านหลกั ๆ ไดแ้ ก่ การรเู้ ร่อื งการอา่ น (Reading Literacy) การรูเ้ รื่องคณิตศาสตร์ (Mathematics Literacy) และการรู้เรือ่ งวิทยาศาสตร์ (Scientific Literacy) ตอ่ มาภายหลงั มกี ารประเมนิ เพ่ิมเตมิ เกย่ี วกบั การแก้ปัญหา (Problem Solving) และการร่วมมอื กนั ในการแกป้ ัญหา (Collaborative Problem Solving) ดว้ ย การรเู้ รื่องคณิตศาสตรใ์ นโครงการ PISA จะประเมนิ สมรรถนะของนกั เรยี นในการเลือกและประยุกตใ์ ช้ คณติ ศาสตรใ์ นการจดั การกบั ปญั หาและแกป้ ญั หาในบรบิ ทหรอื สถานการณท์ หี่ ลากหลาย ซงึ่ ตอ้ งใชก้ ารใหเ้ หตผุ ล แนวคดิ กระบวนการ ข้อเทจ็ จรงิ และเครื่องมือต่าง ๆ ทางคณติ ศาสตร์ และสามารถเลอื กคำ�ตอบทเ่ี หมาะสม และสมเหตุสมผลกับบริบทของปัญหา ซ่ึงสมรรถนะการรู้เรื่องคณิตศาสตร์น้ี จะช่วยให้เข้าใจถึงบทบาทของ คณิตศาสตร์ที่มีต่อโลกและสร้างพื้นฐานท่ีดีให้แก่พลเมืองของโลกในการคิดและตัดสินใจอย่างสร้างสรรค์และ รบั ผดิ ชอบต่อสงั คม บรบิ ทหรอื สถานการณข์ องปญั หาทใี่ ชใ้ นการประเมนิ การรเู้ รอื่ งคณติ ศาสตรจ์ ะเปน็ บรบิ ทหรอื สถานการณ์ เกยี่ วกบั บคุ คล สังคม/ชุมชน อาชพี และวทิ ยาการ/วทิ ยาศาสตร์ เน้อื หาทางคณติ ศาสตรท์ ี่ใช้ในการประเมิน หลกั ๆ ไดแ้ ก่ ปรมิ าณ (Quantity) ความไม่แน่นอนและขอ้ มลู (Uncertainty & Data) การเปล่ียนแปลงและ ความสมั พนั ธ์ (Change & Relationships) และปรภิ มู แิ ละรปู รา่ ง (Space & Shape) ซงึ่ ทง้ั หมดนตี้ อ้ งใชแ้ นวคดิ (Concepts) ความรู้ (Knowledge) และทักษะทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งใช้สมรรถนะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ซึ่งได้แก่ การสื่อสารและการสื่อความหมาย การแปลงสถานการณ์ปัญหาในชีวิตจริงเป็นปัญหาคณิตศาสตร์ ตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตร์ การใหเ้ หตผุ ลและสรา้ งขอ้ สรปุ กลวธิ กี ารใชค้ ณติ ศาสตรใ์ นการแกป้ ญั หา การใชส้ ญั ลกั ษณ์ และภาษาทางคณิตศาสตร์ การดำ�เนินการทางคณิตศาสตร์ และการใช้เครื่องมือตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์ หนังสือ “ฝึก คิด พิชิตคณติ PISA” ไดน้ ำ�โจทย์ปัญหาทใ่ี ชใ้ นการประเมินดา้ นการรเู้ ร่อื งคณิตศาสตรท์ ่ี เผยแพรแ่ ลว้ มาเปน็ ตวั อยา่ งในการวเิ คราะหแ์ ละเสนอแนวคดิ ในการแกโ้ จทยป์ ญั หา รวมทง้ั เสนอแนะโจทยป์ ญั หา เพ่มิ เติมเพือ่ ให้ครูและนกั เรียน ได้เห็นแนวทางในการฝกึ ฝนการคดิ แกโ้ จทยป์ ัญหาในสถานการณต์ า่ ง ๆ เพ่อื ฝกึ ใหน้ กั เรยี นคดิ วเิ คราะห์ และสามารถแกโ้ จทยป์ ญั หาในสถานการณท์ ห่ี ลากหลายได้ ซง่ึ เปน็ หนทางหนงึ่ ทจี่ ะชว่ ย ให้นกั เรยี นแกโ้ จทยป์ ัญหาตามแนวทางของการประเมนิ การรู้เร่อื งคณติ ศาสตร์ในโครงการ PISA ฝึก คดิ พิชติ คณติ PISA 1 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

รูปแบบข้นั บนั ได เรวตั สรา้ งรูปแบบขัน้ บันไดโดยการใช้รูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั ดังรปู ขั้น 1 ขนั้ 2 ขน้ั 3 จะเหน็ วา่ เขาใช้รูปสี่เหล่ยี มหนึง่ รปู ส�ำ หรบั บันได 1 ขั้น สามรูปส�ำ หรบั บนั ได 2 ขั้น และหกรูปส�ำ หรบั บันได 3 ข้ัน ค�ำ ถามท่ี 1 : รปู แบบขัน้ บนั ได เขาจะต้องใชร้ ปู สีเ่ หลยี่ มจตั รุ ัสจำ�นวนกีร่ ปู เพอ่ื สร้างบันได 4 ข้นั ค�ำ ตอบ: ............................................รปู ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ คะแนนเตม็ เนอื้ หา : ปรมิ าณ ตอบ 10 แขนงวิชา : - สถานการณ์ : ในเชิงการศกึ ษา ไม่มีคะแนน สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ ค�ำ ตอบอ่นื ๆ แบบของข้อสอบ : สรา้ งคำ�ตอบแบบปดิ ประเทศ % ตอบถูก ญ่ปี นุ่ 87.59 เกาหลี 79.82 ฮอ่ งกง-จีน 83.00 มาเกา๊ -จีน 80.45 ไทย 70.69 2 ฝึก คิด พิชิตคณิต PISA สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะหแ์ ละแนวคดิ ในการแก้โจทย์ปญั หา สถานการณ์โจทย์ ในสถานการณน์ ี้ กลา่ วถงึ แบบรปู ของขนั้ บนั ไดทแี่ สดงความสมั พนั ธด์ ว้ ยรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั มาเรียงกันในลักษณะขั้นบันไดซ่ึงถือว่าเป็นแบบรูปทางเรขาคณิตที่นำ�ไปสู่แบบรูปของจำ�นวนท่ี นกั เรยี นสามารถระบจุ �ำ นวนรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ของบนั ได 4 ขนั้ ได้ โดยการสงั เกตจ�ำ นวนรปู สเี่ หลย่ี ม จัตุรัสท่ีเพิ่มข้ึนในแต่ละข้ัน สำ�หรับนักเรียนท่ีมีความสามารถในด้านความรู้สึกเชิงจำ�นวนและ ความรู้สกึ เชิงปรภิ ูมิ อาจระบุรปู ทั่วไปของแบบรูปน้ีได้ ซึง่ การเรยี นรู้เกี่ยวกับแบบรปู ลักษณะน้ี มคี วามสอดคลอ้ งกับแนวทางการจดั การเรยี นรใู้ นหลักสูตรปัจจบุ ัน ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ที่เกยี่ วข้อง ความรคู้ วามสามารถทนี่ กั เรยี นตอ้ งใชใ้ นการตอบค�ำ ถาม คอื ความสามารถในการวเิ คราะห์ ความสัมพันธเ์ พอ่ื หาแบบรูป ซงึ่ นักเรยี นต้องอาศัยความรสู้ ึกเชงิ จำ�นวนและความร้สู ึกเชิงปริภูมิ ประกอบกนั แนวคิดในการแกโ้ จทย์ปัญหา ค�ำ ถามท่ี 1 เขาจะตอ้ งใชร้ ปู ส่ีเหล่ียมจตั ุรัสจำ�นวนก่รี ปู เพ่ือสร้างบันได 4 ข้นั แนวคดิ 1 ขนั้ 1 ข้นั 2 ขน้ั 3 จากรูปข้างตน้ และค�ำ สั่งใหห้ าจำ�นวนรปู สี่เหล่ียมจัตุรสั ทง้ั หมดในการสร้างบนั ได 4 ขั้น จากแบบรปู ทสี่ งั เกตเหน็ นกั เรยี นสามารถเขยี นรปู ในขนั้ 4 ตอ่ จากรปู ในขน้ั 3 โดยเขยี นรปู สเี่ หลยี่ ม จัตุรัสสร่ี ูปเรียงกนั ต่อจากขั้น 3 ดังรูป ฝึก คดิ พชิ ิตคณิต PISA 3 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

เมือ่ นับจำ�นวนรปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ทใี่ ช้ พบวา่ จะตอ้ งใช้จ�ำ นวนรปู ส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั ท้ังหมด 10 รูป ข้นั 4 แนวคดิ 2 วเิ คราะห์ความสมั พนั ธ์ของแบบรูป จะไดด้ งั นี้ ขน้ั 1 ใชร้ ูปส่เี หล่ยี มจตั รุ ัส 1 รปู ข้ัน 2 ใช้รปู สีเ่ หล่ียมจัตุรัส เพ่ิม 2 รปู รวมเป็น 1 + 2 รูป ขัน้ 3 ใช้รูปสเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัส เพมิ่ 3 รปู รวมเป็น 1 + 2 + 3 รูป ขั้น 4 ใชร้ ปู สีเ่ หลี่ยมจตั รุ ัส เพม่ิ 4 รปู รวมเป็น 1 + 2 + 3 + 4 รปู ดังน้นั ขน้ั 4 จะมรี ูปส่เี หลยี่ มจตั ุรสั ทงั้ หมด 1 + 2 + 3 + 4 = 10 รปู ขอ้ สังเกต/ข้อเสนอแนะ 1. ความสมั พนั ธข์ องจ�ำ นวนรปู สีเ่ หลยี่ มจัตุรัสในแบบรูปทกี่ �ำ หนดให้ มีความสำ�คัญทนี่ �ำ ไปสู่การเรียนรู้เรื่องตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ในรูปของนิพจน์ หรือสมการที่สามารถนำ�ไปใช้แก้ ปญั หาหรอื ตอบค�ำ ถามในโจทยท์ างคณติ ศาสตร์ วทิ ยาศาสตรแ์ ละสาขาอนื่ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งได้ ดงั นนั้ ครูควรให้นักเรียนมีประสบการณ์ในการทำ�โจทย์ท่ีเกี่ยวข้องกับแบบรูปให้มากข้ึนและสม่ำ�เสมอ เท่าทม่ี โี อกาสจะสอดแทรกได้ ส�ำ หรับสถานการณโ์ จทย์ปัญหารปู แบบข้ันบนั ไดน้ี นกั เรยี นไทย จ�ำ นวนมากถงึ 70.69 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นไทยทเ่ี ขา้ สอบ สามารถหาค�ำ ตอบไดถ้ กู ตอ้ ง แต่ก็ยังมีจำ�นวนน้อยกว่าชาติอ่ืน ๆ ปัจจัยหน่ึงที่ทำ�ให้นักเรียนไทยทำ�โจทย์ข้อน้ีได้เป็นจำ�นวน มาก อาจเป็นเพราะเป็นแบบรูปที่ง่ายต่อการหาคำ�ตอบประกอบกับในหลักสตู รคณติ ศาสตร์ แกนกลางการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 ไดก้ �ำ หนดเรอ่ื งของแบบรปู ใหน้ กั เรยี นทกุ ระดบั ชน้ั ได้เรียนรู้ จึงทำ�ให้นักเรียนมีประสบการณ์และมีทักษะเพียงพอท่ีจะแก้ปัญหาลักษณะนี้ได้ แต่ครูก็ยังคงต้องคำ�นึงถึงการสอดแทรกและตระหนักถึงความสำ�คัญของแบบรูปที่จะเชื่อมโยง ไปสกู่ ารสรา้ งตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ และพฒั นาความสามารถในดา้ นทักษะและกระบวนการ ทางคณติ ศาสตร์ในเรื่องการให้เหตุผลดว้ ย 4 ฝึก คดิ พิชิตคณิต PISA สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

2. ครอู าจใชส้ ถานการณน์ ีเ้ ปน็ คำ�ถามที่ 1 เพื่อให้นักเรียนหาจำ�นวนรูปส่ีเหลีย่ มจัตุรัสท่ี ประกอบเป็นบันไดในขั้น 5 หรืออาจข้ามไปหาในขั้น 10 เลยก็ได้ ทั้งนี้ครูอาจให้นักเรียน เขา้ กลมุ่ ช่วยกนั ระดมความคิด หาแนวคดิ ที่จะหาคำ�ตอบไดเ้ รว็ กว่าการนบั ตอ่ ไปเรอ่ื ย ๆ ครูอาจถือโอกาสแนะนำ�ให้นักเรียนเขียนความสัมพันธ์ของจำ�นวนรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส อยา่ งเปน็ ระบบ งา่ ยตอ่ การมองเหน็ ค�ำ ตอบไดเ้ รว็ ขน้ึ ตลอดจนสามารถเขยี นความสมั พนั ธใ์ นขน้ั n เม่ือ n เปน็ จำ�นวนนับ ได้ดงั น้ี จ�ำ นวนข้ันบนั ได จ�ำ นวนรูปสเี่ หล่ียมจัตุรสั =1 1 1 =3 2 1+2 =6 3 1+2+3 = n_(n1...20+1) 4... 1 + 2 + 3 + ...4 = n 1+2+3+4+…+ n ครูอาจตง้ั เป็นค�ำ ถามท่ี 2 ดงั นี้ คค�ำ ำ�ถถาามมท่ี 2 เรวตั จะต้องใชร้ ปู สเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั เพิม่ ขึน้ กี่รปู ในการสรา้ งบนั ได 12 ข้ัน แนวคิด ต่อจากบนั ได 4 ขัน้ จากการวิเคราะห์แบบรปู จะได้วา่ ในการสรา้ งบนั ได 12 ขั้น จะตอ้ งใช้รูป สเ่ี หลยี่ มจตั ุรัสเพ่ิมขนึ้ จากบนั ได 4 ขัน้ เท่ากบั (1 + 2 + 3 + … + 12) – (1 + 2 + 3 + 4) รูป = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 รูป = 68 รปู ดังนนั้ เรวตั จะตอ้ งใชร้ ูปสเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัสเพิม่ อกี 68 รปู ฝึก คิด พิชติ คณิต PISA 5 สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ครอู าจใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ทกั ษะในเรอ่ื งแบบรปู เพม่ิ เตมิ เพอ่ื พฒั นาการน�ำ ความรสู้ กึ เชิงปริภูมิและความรู้สึกเชิงจำ�นวนมาใช้ประกอบการวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ของ แบบรูป โดยอาจใชต้ วั อยา่ งตอ่ ไปน้ี รปู แบบการกอ่ อิฐ ธนภูมิสร้างแบบรูปการก่ออิฐให้แขง็ แรง ดังรปู กองท่ี 1 กองที่ 2 กองท่ี 3 คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ่ี11 ธนภมู จิ ะตอ้ งใชอ้ ฐิ กก่ี อ้ นในการกอ่ กองอฐิ กองท่ี 4 แนวคดิ วเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธข์ องแบบรปู จะได้ ดงั น้ี กองท่ี 1 มี 2 แถว ใชก้ อ้ นอฐิ 1 + 2 = 3 กองท่ี 2 มี 3 แถว ใชก้ อ้ นอฐิ 1 + 2 + 3 = 6 กองท่ี 3 มี 4 แถว ใชก้ อ้ นอฐิ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 กองท่ี 4 มี 5 แถว ใชก้ อ้ นอฐิ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ดงั นน้ั ธนภมู จิ ะตอ้ งใชก้ อ้ นอฐิ ในการกอ่ อฐิ กองท่ี 4 จ�ำ นวน 15 กอ้ น คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ่ี22 ธนภมู จิ ะตอ้ งใชอ้ ฐิ กก่ี อ้ นในการกอ่ กองอฐิ กองท่ี 10 แนวคดิ วเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธข์ องแบบรปู ของการกอ่ อฐิ กองท่ี n เมอ่ื n เปน็ จ�ำ นวนนบั ไดด้ งั น้ี กองท่ี จ�ำ นวนแถวของกองอฐิ จ�ำ นวนอฐิ ในแตล่ ะกอง 12 1+2 = 3 23 1+2+3 = 6 3... 4... 1 + 2 + 3 +... 4 = 10 n n+1 1 +2+…+n+ (n + 1) = (_n+1)2(n+2) ดงั นน้ั ธนภมู จิ ะตอ้ งใชอ้ ฐิ ในการกอ่ อฐิ กองท่ี 10 เทา่ กบั (_10+1)2(10+2) = 66 กอ้ น 6 ฝึก คิด พิชติ คณติ PISA สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คค�ำ ถำ�ถามามทท่ี 3ี่ 3 ถ้าธนภูมิมีอิฐ 200 ก้อนเขาจะก่อกองอิฐในแบบรูปนี้ได้สูงที่สุดกี่ชั้น และมีอิฐเหลือกี่ก้อน จ ะได ้ (สnม( _nม++ต11ใิ )ห)2((nแ้nถ++ว2ท2))่ี =n ของแบบรปู นม้ี จี �ำ นวนอฐิ ประมาณ 200 กอ้ น 200 = 400 เราสามารถหาจ�ำ นวนนบั n ได้ 2 วธิ ี ดงั น้ี วธิ ที ่ี 1 จาก (n + 1)(n + 2) = 400 n2 + 3n + 2 = 400 n2 + 3n – 398 = 0 = - 3 ± 9 − 4(-398) n 2 - 3 ± 1601 n = 2 n ≈ - 3 ±2 40 n ≈ -21.5, 18.5 แตเ่ นอ่ื งจาก n ตอ้ งเปน็ จ�ำ นวนนบั ดงั นน้ั n = 18 วธิ ที ่ี 2 จาก (n + 1)(n + 2) = 400 เนื่องจาก n + 1 กับ n + 2 เป็นจำ�นวนนับที่ต่างกันอยู่ 1 ทดลองนำ� จ�ำ นวนนบั สองจ�ำ นวนทม่ี ากทส่ี ดุ ซง่ึ ตา่ งกนั หนง่ึ แลว้ ผลคณู ไมเ่ กนิ 400 เชน่ 20 x 21 = 420 ซง่ึ ใชไ้ มไ่ ดเ้ พราะผลคณู มากกวา่ 400 ทดลองน�ำ จ�ำ นวนนบั สองจ�ำ นวนทม่ี ากทส่ี ดุ คใู่ หมท่ ่ี ตา่ งกนั หนง่ึ แลว้ ผลคณู ไมเ่ กนิ 400 จะได ้ (n + 1)(n + 2) = 19 x 20 = 380 จะได้ n + 1 = 19 หรอื n + 2 = 20 ดงั นน้ั n = 18 โจทยข์ อ้ นต้ี อ้ งการทราบวา่ ธนภมู จิ ะกองอฐิ ไดส้ งู สดุ กช่ี น้ั จากการค�ำ นวณ หาจ�ำ นวนนบั n ทง้ั สองวธิ ี ได้ n = 18 แสดงวา่ กองท่ี 18 กอ่ กองอฐิ ในแบบรปู นไ้ี ด้ สงู ทส่ี ดุ 19 ชน้ั ซง่ึ ใชอ้ ฐิ (_n+1 )2(n+2) = (_18+1)2(18+2) = 190 กอ้ น จะเหลอื กอ้ นอฐิ เทา่ กบั 200 – 190 = 10 กอ้ น ดงั นน้ั ธนภมู จิ ะกอ่ กองอฐิ ในแบบรปู นไ้ี ดส้ งู ทส่ี ดุ 19 ชน้ั และมอี ฐิ เหลอื 10 กอ้ น ฝกึ คิด พิชติ คณติ PISA 7 สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

10 สวสนวฝนรฝรง่ั ัง่ ชาวสวนปลูกฝรั่งในแปลงปลูกรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส นอกจากน้ียังปลูกตนสนไวรอบๆ แปลง เ พฝแอ่ื ถรป่ังวอ้ ขเงชพอกางื่อนั วตปลสนอมวฝงดนรกว้ปัง่ ันยลลูกแมฝผดรนวง่ั ผใยนังใแนผปรนลปู งผตปังอ่ ใลไนูกปรรนูปูปี้แตสสอี่เดหไงปลแนย่ี ปมี้แลจสงัตดฝุรงรัสแ่ังดปนงัลอกงกลฝจา่ราว่ังกดนโังดีย้กยังลปาnลวูกคตือโดน้ จยสำ�นนnไววคนร้ ือแอถบจวําๆขนอวแงนปตลน้ งฝฝรร่งั ่งั n=1 n=2 n=3 n=4 XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XX X X X  X XXX XX XX X   X X X X  X XX X แทน ตน สน XXXXX XX  แทน ตน ฝรงั่ X  X X   X XXXXXXX XX X   X XX X   X XXXXXXXXX คาํ ถามที่ 1: สวนฝรง่ั ลกั ษณะเฉพาะของขอสอบ คเต�ำ ิมถขnาอมมทูลเี่ ตล1ิมจง: ใขาํสนนอ้ วตวมนานูลฝรขลารองงง่ั ใงต นตอตนไปาฝรนราั่งี้ใงหตส ่อมไบปูรนจณาํใี้ หน ้สวมนบขอรู ณงต์ นสน เนอ้ื หา : การเปล่ยี นแปลงและ 2143n132 จำ�นวนข1องตน้ 14ฝรัง่ จ�ำ นวนของต้นสน8 แสแสควบขถมลสสเแนาาขนรมักถบมอ้ืนรนษางรขสหถกวนรงณอัมนาถชิาวกงพะระนาิชาข:นัณเระาฉอ::ธณกสพ:::-าพอ์าร:-ีชพบใะเนคปขีชใเ:ณนลคอชีย่เณงิงิตสชขนกริงิตาอ้แากรงปสาศครอลึกําศบงตษกึแอาลษบะาแคบวบามปสด มั พนั ธ์ แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งค�ำ ตอบแบบปิด 4 8 54 5 คะแนนเตม็ คเตะแมิ นขอนมเตลู ม็ในตารางไดถ ูกตอ งทง้ั 7 แหง ดงั น้ี เตมิ ข้อn1มลู ในตาจรําานงไวดน้ถขูก1อตง้อตงทน ้ังฝ7ร่ังแหง่ ดงัจนํา้ี นวนข8องตน สน n2 จำ�นวนของตน้ ฝร4ัง่ จำ�นวนของตน้ สน 16 ประปญเทรป่ี ะศนุ เทศ %%ต8ตอ1อบ.5บถ0ถกู กู ญ่ีปเนุ่ กาหลี 8713.5.400 13 1 9 8 24 เกาหฮอลงี กง-จนี 7738.4.100 2 4 4 16 16 32 ฮ่องไกทงย-จนี 7188.1.209 3 5 9 25 24 40 ไทย 18.29 4 16 32 5 25 40 8 ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ได้คะแนนบางส่วน มคี ำ�ตอบผดิ หรอื ไม่ตอบ 1 แหง่ ไม่มคี ะแนน มีค�ำ ตอบผดิ หรอื ไม่ตอบมากกว่า 1 แหง่ นกั เรยี นสามารถคำ�นวณหาจำ�นวนของต้นฝร่ังและจำ�นวนของตน้ สนโดยใช้สตู ร 2 สตู ร ต่อไปน้ี จำ�นวนของตน้ ฝรั่ง = n2 จำ�นวนของต้นสน = 8n เมื่อ n คือ จำ�นวนแถวของตน้ ฝรัง่ จะมีคา่ ของ n อยู่คา่ หนึง่ ทจี่ �ำ นวนของตน้ ฝร่งั จะเทา่ กบั จำ�นวนของต้นสน คำ�ถามท่ี 2 : สวนฝร่ัง จงหาคา่ ของ n นั้น โดยแสดงวธิ ีคำ�นวณดว้ ย ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... คะแนนเต็ม - คำ�ตอบถ•••ูกnnnค222ือ===n888=2nn,=8nด62งัแ4น-ลนั้ ะ,8แn8สnn=ด=ง=0ว8ธิ8, ีคnxดิ (nถ8ูก-=ห8)ร6อื=4ไม0ก่ ,ไ็ nด้ ดังน้ี 8 ดังน้นั n=8 = 0 และ • 8 x 8 = 64 , n = 8 - • n = 8 = 82 • 8 x 8 อาจใช้วิธ•ีคnดิ 2ต=า่ ง8อnอก,ไnป2 ได้ค�ำ ตอบ 2 ค�ำ ตอบ คือ n =8 และ n = 0 กไ็ ด้ - 8n = 0, n(n - 8) =0, n= 0 และ n = 8 - อาจใช้วิธีเขยี นรปู ขยายออกไป และไดค้ �ำ ตอบ n = 8 กไ็ ด้ ไมม่ คี ะแนน ค�ำ ตอบอน่ื ๆnn22ร==วม88ทn้งั ค(เ�ำขตียอนบปรnะโ=ยค0ซอ�ำ้ กยบั่างคเ�ำดถียาวม) • • • n = 0 ตอบค�ำ ตอบเดยี วไม่ไดเ้ พราะทุก ๆ ตน้ ฝรั่ง 1 ตน้ จะมีตน้ สน 8 ต้น ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถูก เน้ือหา : การเปลยี่ นแปลงและความสัมพันธ์ ญี่ปนุ่ 50.80 แขนงวิชา : พชี คณติ เกาหลี 60.60 สถานการณ์ : ในเชิงการศึกษา ฮ่องกง-จีน 56.40 สมรรถนะ : - ไทย 10.56 แบบของขอ้ สอบ : สร้างค�ำ ตอบแบบปิด ฝกึ คดิ พิชิตคณติ PISA 9 สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามท่ี 3 : สวนฝรงั่ สมมตุ ิวา่ เจ้าของสวนต้องการขยายสวนให้ใหญ่ข้นึ โดยเพ่ิมจ�ำ นวนแถวของตน้ ไมใ้ หม้ ากขึ้น เมอ่ื สวน ขยายใหญ่ขน้ึ จงหาวา่ จ�ำ นวนของต้นฝร่ังหรอื จำ�นวนของตน้ สนอย่างไหนจะเพม่ิ ข้นึ เรว็ กว่ากัน และอธบิ ายว่า นักเรยี นคดิ หาคำ�ตอบอยา่ งไรดว้ ย ......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... คะแนนเต็ม ค�ำ ตอบถูกตอ้ งตามด้วยคำ�อธบิ ายท่ีสมเหตุสมผล ตวั อย่างเช่น • จำ�นวนต้นฝรัง่ = n x n และจ�ำ นวนต้นสน = 8 x n ทั้งสองสูตรนี้มี n เปน็ ตวั ประกอบ แตจ่ ำ�นวนตน้ ฝรั่งม n อีก หนงึ่ ตัว ซึ่งจะทำ�ใหม้ จี ำ�นวนมากขึ้น ในขณะที่ 8 ยังคงเปน็ ตวั ประกอบเดมิ คอื จ�ำ นวนของตน้ ฝรง่ั จะเพม่ิ ขึ้นเร็วกว่า • จ�ำ นวนตน้ ฝร่งั เพ่มิ ขึ้นเรว็ กว่า เพราะจ�ำ นวนต้นฝร่ังเพม่ิ เปน็ กำ�ลงั สอง แทนท่จี ะคูณดว้ ย 8 • จ�ำ นวนต้นฝรัง่ เปน็ สมการกำ�ลงั สอง จ�ำ นวนตน้ สนเปน็ สมการเชงิ เส้น ดงั นนั้ จำ�นวนตน้ ฝร่ังจะเพิม่ ข้นึ เร็วกวา่ • ตอบโดยอาศัยกราฟ เพ่อื แสดงวา่ n2 มคี ่ามากกว่า 8n เม่อื n มากกวา่ 8 [ใหถ้ กู ถ้านกั เรียนอธบิ ายในเชิงพีชคณิตอยบู่ นพ้นื ฐานของสตู ร n2 และ 8n] ได้คะแนนบางส่วน คำ�ตอบถูกต้อง อยบู่ นพื้นฐานของการยกตัวอย่างเป็นเฉพาะกรณไี ป หรือเติมขอ้ มลู ในตารางออกไปอีก • จำ�นวนตน้ ฝรงั่ จะเพ่มิ ขนึ้ อย่างรวดเร็วกว่า เพราะจากข้อมูลในตารางจะเห็นว่า จำ�นวนตน้ ฝรัง่ เพม่ิ ขึ้นเร็วกว่า จ�ำ นวนต้นสน กรณีนีเ้ กิดขนึ้ ภายหลังจากจ�ำ นวนตน้ ฝรัง่ และจ�ำ นวนต้นสนเทา่ กันแล้ว • จากข้อมลู ในตารางแสดงให้เห็นว่า จำ�นวนตน้ ฝรงั่ เพม่ิ ขน้ึ เรว็ กวา่ หรอื ค�ำ ตอบถูกตอ้ ง รถู้ งึ ความสมั พันธบ์ างประการระหวา่ ง n2 และ 8n ทีล่ ะไว้ในฐานท่ีเขา้ ใจ หลงั จาก n > 8 • หลงั จาก 8 แถวแลว้ จ�ำ นวนต้นฝรง่ั จะเพม่ิ ขน้ึ เร็วกว่าจ�ำ นวนตน้ สน • จนกว่าต้นสนจะครบ 8 แถวแลว้ จ�ำ นวนตน้ ฝร่งั จึงจะมากกวา่ ไมม่ คี ะแนน ลักษณะเฉพาะของขอ้ สอบ เน้ือหา : การเปลยี่ นแปลงและความสัมพันธ์ คำ�ตอบถูกตอ้ ง แตไ่ มอ่ ธิบาย หรอื อธบิ ายไมเ่ พยี งพอ แขนงวิชา : พีชคณติ หรืออธบิ ายผิด เช่น สถานการณ์ : ในเชงิ การศึกษา สมรรถนะ : - • ต้นฝร่งั แบบของขอ้ สอบ : สร้างคำ�ตอบแบบปดิ • ต้นฝรง่ั ที่อยภู่ ายในมากกว่าตน้ ฝรัง่ ท่ีอยรู่ อบ ๆ ดา้ นนอก • ต้นฝรง่ั เพราะถกู ล้อมรอบด้วยตน้ สน ประเทศ % ตอบถกู หรอื ค�ำ ตอบทไ่ี มถ่ ูกตอ้ งอน่ื ๆ เชน่ ญ่ีปุ่น 21.10 • ตน้ สน เกาหลี 30.40 • ต้นสน เพราะทุกครง้ั ทีเ่ พม่ิ แถวของตน้ ฝรัง่ ฮ่องกง-จนี 26.80 ท่านต้องใช้ตน้ สนเปน็ จำ�นวนมาก ไทย 2.28 • ตน้ สน เพราะต้นฝรงั่ ทุก ๆ ต้น มีตน้ สน 8 ตน้ • ขา้ พเจ้าไม่ทราบ 10 ฝกึ คดิ พชิ ิตคณติ PISA สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะห์และแนวคิดในการแกโ้ จทยป์13ญั หา การวเิ คราะหแ ละแนวคดิ ในการแกโ จทยปญ หา สถานกสารถณาน์โกจาทรณย์โจทย สถานสกถาารนณก์ใานรโณจใทนยโ์ขจ้ทอยนข้ี อกนำ�้ีหกนําหดแนบดแบบรบูปรขูปอขงอกงากราปรลปูกลูตก้ตนนฝฝรรั่งั่งใในนแแปปลลงงรูป ตขสแอี่เาถหมงวลเทสขตแขมอ่ีย่ีเี่โน้ผอ่อืหจงมนฝงลตทnจตรผ่ียนยตััง่้นงั=มฝกทรุ จฝรเํา1ัสมโ่ีัง่ัตหรจ,ทอ่ืุร่ังน2ทโป่ีัสทดด,nยล่ีป3ยโก์ูกแด=ปลแ�ำบยนูกลหลบป1อูกะน,ลรกนตูปดู2ก4จอ้นขต,แากกฝอน3เบปนงจรฝบนแแง่ั้ีารรยดปลเั่งกปปูังเังะลนปปน็นขง้ีลยน4ี้อปแูกังแงลถเตปถแปูกวนวลปต็นสูกๆลๆนดนตงฝงัไจปจ้นรวนําั่งำ�รลสน้ี ทอนกู นวบี่กวตนไํานน้วตๆหต้รนฝนแอน้รฝดปบง่ัฝรใลทั่งรหงใก่ีง่ัๆฝนnใ�ำรแนหง่ัแเตแเปนปพลตนดะื่อล่ลจแใปงะํหาถฝอนแ้วงรnวถเกั่งทนวเนัเปาแพเลกทน็ถม่ือับ่าวจปจกตข�ำ ํ้าอบัาอนนมงงจววแตก�ำนนผนันนแแนฝลวถถผรนมวว่ังงั n=1 n=2 n=3 n=4 XXX XXXXX XXXXXXX XXXXXXXXX X X X  X XX XX XX X   X XXX X X X  X XX XXXXX XX X  X X   X X แทน ตนสน XXXXXXX XX  แทน ตน ฝรั่ง X   X XX X   X XXXXXXXXX โจทยใ์ โหจข้ ทอ้ ยสใหงั เขกอตสเกังเย่ี กวตกเกบั ่ียจว�ำ กนับวจนําขนอวงนตขน้ อฝงรตง่ันแฝลระั่งจแ�ำลนะวจนํานขวอนงตขอน้ งสตนนสจนากจแาบกบแบรปูบ 2 แบรูบปร2ูปแคบือบรจูป�ำ นควือนขจอํางนตวน้ ฝขรอัง่ เตทน่าฝกรบั ่ัง nเท2ากแับละnจ2ำ�นแวลนะจขําอนงวตน้นขสอนงเตทน่าสกนับ เ8ทnากับเม8อ่ืn n คอืเมจ่ือ�ำ นnวคนือแจถําวนขวนอแงตถว้นขฝอรงง่ั ตนแฝลรว้ ั่งโจแทลวยโ์ใจหท้แยสใหดแงวสิธดีหงวาิธวหี ่าาวnาเnป็นเปเนทเา่ ทใาดใดททีท่ ี่ท�ำ ําใหใหจ้ จำ�ํานนวน ของขตอน้ งฝตรน ัง่ ฝเรทัง่ ่าเทกาบั กจับ�ำ จนําวนนวนขขอองตงต้นน สสนนหรอื n22 == 88nn นอกจนากอนกจ้ี าโจกทน้ียโ์ใจหท้วยิเคใหรวาิเะคหร์ตาะ่อหวต่าอเวมา่อื เแมปื่อลแงปตลน้งตฝนรฝงั่ ขร่ังยขายยาใยหใญหญ่ขขน้ึ ึ้นตตาามมแแบบบบรูป ทก่ี �ำ ทห่ีกนําดหในหด้ ใหจำ�นจํวานวขนอขงอตงน้ ตฝนรฝง่ั รหั่งรหือรจือำ�จนําวนนวขนอขงอตงต้นนสสนนออยยา่ างงไหไหนนจจะะเเพพ่ิมิ่มขข้นึ นเรรว็ วกวา่ กนั โดยใโหดยอ้ ใธหิบอ าธยิบทาย่ีมทาี่มขาอขงอคง�ำคตําตออบบดดว้ วยย ความรคู้ทวาามงรคทู ณใานงิตกคศาณราติตสอศตบาครสํา์ทตถรีเ่ ากทมยี่เี่ทกว่ี่ยี 1ขว้อขนองักงเรียนจะตองสังเกตจากแบบรูปการปลูกตนฝรั่งและตนสน เมื่อในnก=า1รต, 2อ,บ3ค, ำ�4ถ, า5มแทลี่ ว1เตนิมจักําเรนยี วนขจอะงตต้อนงฝสรังั่งเแกลตะจจาํากนแวบนบขอรงูปตกนาสรนปทล่ีนูกับตไน้ดจฝารกั่งแบลบะ ตน้ สรนูปลเมงใอ่ืนตnาร=าง1ท,โ่ี จ2ท,ย3ก,าํ 4ห,น5ดใแหล ้วเติมจ�ำ นวนของต้นฝรัง่ และจ�ำ นวนของตน้ สนท่นี บั ได้จากแบบรใูปนลกงาใรนตตอาบรคาํางถทาี่โมจทท่ี ย2์ก�ำ โหจทนยดใใหหห้ าคา n เมื่อ n2 = 8n นักเรียนอาจใชวิธีแก สมกใานรกกาํ รลตังสออบงคหำ�รถือาลมอทงแี่ ท2นคโจาทnยท์ใหี่สอ้หดาคคล่าองnกับเมสื่อมกnา2รก=็สา8มnารถนหกั าเครําียตนออบาไจดใหชรว้ ือธิ อีแากจ้ สมกใาชรว กธิ ำ�ีเขลยี งั นสรอูปงขหยราอืยลออกงแไปทจนนคถา่งึ nnท=่ีส8อดกคไ็ ดล ้องกับสมการกส็ ามารถหาคำ�ตอบไดห้ รอื อาจใช้วิธเี ขียสนํารหปู รับขยคําถยาอมอทก่ี ไ3ปจโจนทถยึงตอnงก=าร8ใหกหไ็ ดา้วา เม่ือสวนขยายใหญข้ึน จํานวนของ ตนฝรั่งหรือจํานวนของตนสนอยางไหนจะเพิ่มข้ึนเร็วกวากัน ใหอธิบายวิธีคิดประกอบ ฝกึ คดิ พชิ ติ คณติ PISA 11 สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ส�ำ หรับค�ำ ถามที่ 3 โจทย์ต้องการใหห้ าว่า เมอื่ สวนขยายใหญ่ข้นึ จ�ำ นวนของต้นฝรง่ั หรอื จ�ำ นวน ของต้นสนอย่างไหนจะเพิม่ ขน้ึ เร็วกว่ากนั ให้อธิบายวิธคี ิดประกอบจ�ำ นวนตน้ ฝรง่ั เทา่ กบั n2 และ จ�ำ นวนตน้ สน เทา่ กบั 8n เม่อื n เป็นจำ�นวนแถวของตน้ ฝร่งั โดยนกั เรยี นอาจหาจำ�นวนของ ตน้ ฝรั่งและจำ�นวนของตน้ สน เมือ่ n เพม่ิ ขนึ้ โดยใช้ความรสู้ กึ เชิงจำ�นวน หรือ อาจใชค้ วามร้เู รื่อง อสมการและสมการพจิ ารณาในกรณที ่ี n < 8 , n = 8 และ n > 8 หรอื นกั เรยี นอาจใชค้ วามรเู้ รื่อง กราฟ เขียนกราฟแสดงการเพมิ่ ของจ�ำ นวนตน้ ฝร่ังจากสมการ y = n2 และจากสมการ y = 8n เม่ือ n เปน็ จ�ำ นวนแถวของตน้ ฝรั่ง และ y แทนจำ�นวนของตน้ ไม้ (อาจเปน็ ต้นฝรั่งหรือต้นสนกไ็ ด)้ แล้วเปรียบเทียบกราฟทง้ั สองทีไ่ ด้ แนวคดิ ในการแกโ้ จทยป์ ัญหา คคำ�ถ�ำ ถามามทท่ี 1ี่ 1 ให้เตมิ จำ�นวนของต้นฝรง่ั และตน้ สนลงในตารางเม่อื n = 1, 2, 3, 4, 5 โดยเขียนแผนผงั เมื่อ n = 5 ตามแบบรปู ทใ่ี หม้ า ไดด้ งั นี้ เมอื่ นับจำ�นวนของต้นฝรง่ั และต้นสนจากแผนผัง แลว้ เตมิ จำ�นวนที่ได้ลงในตารางได้ดังน้ี n จ�ำ นวนของต้นฝรั่ง จำ�นวนของตน้ สน 11 8 24 16 39 24 4 16 32 5 25 40 12 ฝึก คิด พชิ ติ คณิต PISA สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถามที่ 22 นักเรยี นสามารถค�ำ นวณหาจ�ำ นวนของต้นฝรง่ั และจ�ำ นวนของต้นสนโดยใชส้ ูตร 2 สูตร ต่อไปนี้ จำ�นวนของตน้ ฝร่งั เทา่ กับ n2 จำ�นวนของตน้ สน เทา่ กับ 8n เมือ่ n คอื จ�ำ นวนแถวของต้นฝรง่ั จะมคี า่ ของ n อย่คู า่ หนึ่งท่จี �ำ นวนของ ต้นฝร่ังจะเท่ากบั จ�ำ นวนของตน้ สน จงหาค่าของ n นั้น โดยแสดงวธิ ีคำ�นวณด้วย แนวคิด 1 หาคา่ ของ n ที่จ�ำ นวนของต้นฝร่ังเทา่ กบั จ�ำ นวนของตน้ สน จากสมการ n2 = 8n นำ� 8n ลบทงั้ สองขา้ งของสมการ จะได้ n2 - 8n = 8n - 8n n2 - 8n = 0 n (n - 8) = 0 n = 0 หรือ n - 8 = 0 นนั่ คอื n = 0 หรือ n = 8 แต่เนือ่ งจาก n เปน็ จำ�นวนแถวของต้นฝร่งั ดงั น้ัน n เป็นจำ�นวนนับ n จึงไมเ่ ท่ากับ 0 นน่ั คอื n = 8 ตรวจสอบ แทน n ดว้ ย 8 จะได้จำ�นวนของตน้ ฝรัง่ เทา่ กับ n2 = 82 = 64 และจะไดจ้ �ำ นวน ของตน้ สนเทา่ กบั 8n = 8 x 8 = 64 ซงึ่ เทา่ กัน ดังน้ัน เมือ่ n = 8 จะไดจ้ �ำ นวนของตน้ ฝรง่ั เท่ากับจ�ำ นวนของตน้ สน แนวคิด 2 ใชว้ ธิ ลี องแทนค่า n ดว้ ยจำ�นวนนบั 1, 2, 3, … จนกวา่ จะได้ n2 และ 8n เทา่ กัน n123456 7 8 n2 1 4 9 16 25 36 49 64 8n 8 16 24 32 40 48 56 64 จากตารางข้างตน้ จำ�นวนของต้นฝร่งั เท่ากบั จำ�นวนของต้นสน เท่ากับ 64 เมอ่ื จ�ำ นวนแถวของต้นฝร่งั เปน็ 8 ดงั น้ัน จำ�นวนของต้นฝรั่งเทา่ กบั จำ�นวนของต้นสน เมอ่ื n = 8 นนั่ คอื n = 8 ฝกึ คิด พิชติ คณติ PISA 13 สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ 3 ใชว้ ธิ เี ขียนรปู ขยายออกไปจาก n = 4 เป็น n = 5, n = 6, n = 7 และ n = 8 ในแตล่ ะ n ก็นบั จ�ำ นวนของต้นฝรง่ั และต้นสนเปรยี บเทยี บกนั ไปเร่อื ย ๆ ในที่สุดจะได้วา่ n = 8 เป็นค�ำ ตอบทีต่ อ้ งการหา ค�ำ ถามทท่ี ี่ 33 เมอ่ื ขยายสวนใหใ้ หญข่ นึ้ จงหาวา่ จ�ำ นวนของตน้ ฝรงั่ หรอื จ�ำ นวนของตน้ สนอยา่ งไหน จะเพิ่มขึ้นเรว็ กว่ากนั และอธบิ ายว่านกั เรียนคิดหาค�ำ ตอบอยา่ งไรด้วย แนวคดิ 1 พจิ ารณาจากสตู ร 2 สตู ร ตอ่ ไปน้ี จำ�นวนของต้นฝรง่ั เทา่ กบั n2 จ�ำ นวนของตน้ สน เท่ากับ 8n เม่อื n คือ จ�ำ นวนแถวของต้นฝรั่ง จากค�ำ ถามที่ 2 พบวา่ เมอื่ n = 8 ท�ำ ให้ n2 = 8n ดังนัน้ จงึ ควรพจิ ารณาใน 2 กรณี คอื n < 8 และ n > 8 ดังนี้ กรณที ี่ 1 n < 8 คณู ทั้งสองขา้ งของอสมการดว้ ย n และเน่อื งจาก n > 0 จะได้ n x n < 8 x n หรอื n2 < 8n ดังน้ัน ถ้าจำ�นวนแถวของฝร่งั น้อยกว่า 8 จะไดจ้ ำ�นวนของต้นฝร่งั นอ้ ยกวา่ จำ�นวน ของตน้ สน กรณที ี่ 2 n > 8 คูณท้งั สองขา้ งของอสมการด้วย n และเนือ่ งจาก n > 0 จะได้ n x n > 8n หรอื n2 > 8n ดงั น้นั ถ้าจ�ำ นวนแถวของตน้ ฝร่งั มากกว่า 8 จะไดจ้ �ำ นวนของต้นฝรั่งมากกว่าจำ�นวน ของตน้ สน จากกรณที ั้ง 2 จะเห็นวา่ ถ้าสวนฝรั่งขยายใหญข่ นึ้ มากกวา่ 8 แถว จะได้จำ�นวนของ ต้นฝร่งั เพม่ิ ขนึ้ เรว็ กว่าจ�ำ นวนของตน้ สน แนวคดิ 2 พจิ ารณาโดยใชค้ วามรสู้ กึ เชงิ จำ�นวนจากสตู ร 2 สูตร ตอ่ ไปน้ี จ�ำ นวนของต้นฝรง่ั เท่ากบั n2 จำ�นวนของตน้ สน เท่ากบั 8n เมื่อ n แทนจำ�นวนแถวของตน้ ฝรั่ง เนื่องจาก n2 = n x n และ 8n = 8 x n ดงั น้ัน ถา้ n เพิม่ ขน้ึ มากกว่า 8 แล้ว n x n ยอ่ มมากกว่า 8 x n เสมอ นั่นคอื ถ้าสวนฝรั่งขยายใหญ่ขนึ้ มากกว่า 8 แถว จ�ำ นวนของต้นฝรง่ั เพิม่ ขนึ้ เร็วกวา่ จ�ำ นวน ของตน้ สน ดงั นัน้ เมอ่ื สวนฝรัง่ ขยายใหญ่ขน้ึ เรื่อย ๆ จนจำ�นวนแถวของต้นฝรัง่ มากกว่า 8 จำ�นวนของตน้ ฝรั่งจะเพม่ิ ข้ึนเรว็ กวา่ จ�ำ นวนของตน้ สน ซง่ึ สามารถเขยี นแสดงไดด้ ังนี้ ถา้ n > 8 แลว้ n x n > 8n หรือ n2 > 8n เสมอ 14 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ 3 จากสูตรจำ�นวนของต้นฝรัง่ เท่ากับ n2 และ จ�ำ นวนของต้นสน เท่ากบั 8n เมอ่ื n คือ จ�ำ นวนแถวของต้นฝรง่ั ให้ y แทนจ�ำ นวนของตน้ ไม้ 17 เขียนกราฟของ y = n2 และ y = 8n ได้ดังนี้ แนวคิด 3 จากสตู รจาํ นวนของตนฝรง่ั เทา กับ n2 และ จํานวนของตน สน เทา กับ 8n เมื่อ n คือ จาํ นวนแถวของตนฝร่งั ให y แทนจํานวนของตนไม เขียนกราฟของ y = n2 และ y = 8n ไดดงั น้ี y y = n2 160 140 120 y = 8n 100 80 60 40 20 0n 0 2 4 6 8 10 12 จากกราฟขางตนจะเห็นวา เมอื่ n > 8 กราฟของ y = n2 จะเพ่มิ ขึน้ เรว็ มากกวากราฟของ y = 8n แสดงวาจาํ นวนของตนฝร่งั เพม่ิ ขึน้ เรว็ กวา จาํ นวนของตน สน เมอ่ื ขนาดของสวนฝรัง่ ขยายใหญขึน้ โดยจํานวนแถวมากกวา 8 แถว ขอ สงั เกต/ขอเสนอแนะ 15 ในการตอบคําถามที่ 1 ถานักเรียนพยายามหาสูตรเพื่อหาจํานวนของตนฝรั่ง และจํานวนของตนสน นักเรียนอาจประสบปญหาอยูบาง อยางไรก็ตามถานักเรียนใชวิธี นับจํานวนของตนฝร่ังและจํานวนของตนสนจากแผนผัง นักเรียนก็สามารถตอบคําถามท่ี 1 ไดไมยาก แตปรากฏวามีนักเรียนไทยไมถึง 20 เปอรเซ็นตของจํานวนนักเรียนไทยที่เขา สอบ ตอบคําถามขอน้ีไดถูกตองแสดงวานักเรียนสวนใหญยังไมสามารถเขียนแผนผังของ จํานวนของตน สนและจาํ นวนของตนฝรั่ง เมอ่ื n = 5 เพื่อนํามาเตมิ ในตารางไดถูกตอ ง ซึ่ง อาจเปน ไปไดว า นักเรียนมองไมเหน็ แบบรูปของการปลูกตนฝรง่ั และตนสน สําหรับการตอบคําถามท่ี 2 ใหหาคาของ n ท่ีทําให n2 = 8nฝกึซึ่งคเิดปพนิชสิตมคกณาติ รPISA กําลังสอง ตัวแปรเดียว นักเรียนไดเรียนเรส่ืถอางบนนั ้ีใสนง่ ชเส้ันริมมกัธายรมสอศนึกวษทิ ยาาปศทาสี่ 2ตรแ์ ใลนะคเทณคโิตนศโลายสี (ตสรสวท.)

ขอ้ สังเกต/ข้อเสนอแนะ ในการตอบคำ�ถามที่ 1 ถ้านักเรียนพยายามหาสูตรเพื่อหาจำ�นวนของต้นฝรั่งและจำ�นวนของ ต้นสน นักเรียนอาจประสบปัญหาอยู่บ้าง อย่างไรก็ตามถ้านักเรียนใช้วิธีนับจำ�นวนของต้นฝร่ังและ จ�ำ นวนของตน้ สนจากแผนผงั นกั เรยี นกส็ ามารถตอบค�ำ ถามท่ี 1 ไดไ้ มย่ าก แตป่ รากฏวา่ มนี กั เรยี นไทย ไมถ่ งึ 20 เปอรเ์ ซน็ ต์ของจ�ำ นวนนักเรียนไทยทีเ่ ขา้ สอบ ตอบค�ำ ถามข้อน้ไี ด้ถกู ต้อง แสดงว่านักเรยี น สว่ นใหญย่ งั ไมส่ ามารถเขยี นแผนผงั ของจ�ำ นวนของตน้ สนและจ�ำ นวนของตน้ ฝรงั่ เมอ่ื n = 5 เพอื่ น�ำ มา เติมในตารางได้ถกู ต้อง ซึง่ อาจเป็นไปได้วา่ นกั เรียนมองไมเ่ หน็ แบบรปู ของการปลูกต้นฝรงั่ และตน้ สน ส�ำ หรบั การตอบค�ำ ถามท่ี 2 ใหห้ าคา่ ของ n ทท่ี �ำ ให้ n2 = 8n ซง่ึ เปน็ สมการก�ำ ลงั สองตวั แปร เดยี ว นักเรียนได้เรียนเรื่องน้ีในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ในคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม เล่ม 2 ซ่ึงมีนักเรียน บางคนทเี่ ลอื กเรยี นคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ เทา่ นนั้ ทไ่ี ดผ้ า่ นการเรยี นเรอื่ งนม้ี ากอ่ น อาจเปน็ เหตใุ หน้ กั เรยี น ไทยส่วนน้อย คือ ประมาณ 10 เปอร์เซ็นต์ของจำ�นวนนักเรียนไทยที่เข้าสอบ ตอบคำ�ถามข้อนี้ได้ ถูกตอ้ ง อาจเป็นไปได้วา่ นกั เรยี นทีต่ อบถูกใชว้ ิธลี องแทนคา่ ของ n ในสมการ n2 = 8n ซงึ่ ถ้าใชก้ าร แทนคา่ ในใจกจ็ ะใชเ้ วลาไมม่ ากนกั แตน่ กั เรยี นอาจนกึ ไมถ่ งึ วา่ อาจใชว้ ธิ เี ขยี นรปู ขยายออกไปตามแบบรปู ที่ให้มาก็ได้ ส�ำ หรบั การตอบค�ำ ถามท่ี 3 นกั เรยี นควรเลอื กตอบค�ำ ถามโดยใชแ้ นวคดิ 1 หรอื แนวคดิ 2 ส�ำ หรบั แนวคดิ 3 นน้ั อาจเปน็ วธิ ที ท่ี �ำ ใหเ้ สยี เวลามากเกนิ ไปในการท�ำ ขอ้ สอบ มจี �ำ นวนนกั เรยี นไทยนอ้ ยมากทต่ี อบ ค�ำ ถามขอ้ นไ้ี ดถ้ กู ตอ้ ง คอื มเี พยี ง 2.28 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจ�ำ นวนนกั เรยี นไทยทเ่ี ขา้ สอบ แสดงวา่ นกั เรยี น สว่ นใหญย่ งั ไมค่ นุ้ เคยกบั การตอบค�ำ ถามประเภทปลายเปดิ เกย่ี วกบั การเปลย่ี นแปลงและความสมั พนั ธ์ ซง่ึ ตอ้ งอาศยั การคดิ วเิ คราะหท์ ก่ี ารจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรม์ กั ละเลยกนั ในเรอ่ื งน้ี จากผลการตอบค�ำ ถามทง้ั สามขอ้ ขา้ งตน้ แสดงใหเ้ หน็ วา่ นกั เรยี นสว่ นใหญย่ งั ขาดประสบการณ์ ในการทำ�โจทยเ์ กย่ี วกับแบบรปู ต่าง ๆ ทีซ่ ับซอ้ นข้ึนจงึ ตอบค�ำ ถามไม่ได้ หรือไมไ่ ด้ตอบค�ำ ถาม ปัจจุบันครูคณิตศาสตร์จำ�นวนมากยังไม่ค่อยตระหนักถึงความสำ�คัญของแบบรูปท่มี ีอย่มู ากใน สิ่งแวดล้อม เราโชคดีที่หลายสิ่งหลายอย่างในโลกนี้มีลักษณะความสัมพันธ์กันเป็นแบบรูป ทำ�ให้ สามารถก�ำ หนดตวั แบบเชงิ คณติ ศาสตรม์ าวเิ คราะห์ คาดการณถ์ งึ ผลทเี่ กดิ ในอดตี ปจั จบุ นั และอนาคต ท�ำ ใหส้ ามารถเตรียมการรับมือกบั ผลลัพธต์ า่ ง ๆ ท่อี าจเกิดขึ้นได้ดี สามารถใช้เทคโนโลยมี าประยุกตใ์ ช้ ทำ�ให้การด�ำ เนินชีวติ มีประสทิ ธภิ าพและคุณภาพมากขึน้ เรื่องเก่ยี วกบั แบบรปู และความสมั พนั ธข์ อง แบบรูปเป็นเร่ืองที่กำ�หนดไว้ในหลักสูตรแกนกลางคณิตศาสตร์ พุทธศักราช 2551 ไว้อย่างชัดเจนใน สาระท่ี 4 พีชคณติ มาตรฐาน ค 4.1 เข้าใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั และได้ ก�ำ หนด ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแ้ กนกลางไวต้ ัง้ แตร่ ะดับชั้นประถมศึกษาและระดับมธั ยมศกึ ษา ตอนต้น โดยแทรกสาระไว้ในเรือ่ งสมการ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 1 และในเรื่องอสมการชั้นมัธยมศึกษา ปที ่ี 3 ถ้าครไู ดจ้ ัดการเรียนรตู้ ามมาตรฐานหลักสูตรและตัวช้ีวัดดงั กล่าวอย่างเหมาะสม โดยปูพ้นื ฐาน และใหน้ กั เรยี นมปี ระสบการณอ์ ยา่ งเพยี งพอในการท�ำ โจทยป์ ญั หาเกยี่ วกบั เรอื่ งเหลา่ น้ี นกั เรยี นนา่ จะ ไมม่ ีปัญหาทำ�โจทยใ์ นท�ำ นองนี้ แต่ในการจดั การเรียนการสอนในระดับมธั ยมศกึ ษา นักเรียนยงั ขาด ประสบการณ์ในการวิเคราะห์แบบรูปอย่างหลากหลายโดยเฉพาะแบบรูปท่ีเป็นรูปเรขาคณิตมากกว่า หนง่ึ ชนดิ ดงั เชน่ โจทยส์ ถานการณเ์ รอ่ื งสวนฝรงั่ ยงั มแี บบรปู ทส่ี ามารถน�ำ มาใชพ้ ฒั นาความคดิ วเิ คราะห์ ของนักเรยี นอกี มากท่ีครูผ้สู อนสามารถน�ำ มาให้นกั เรียนไดฝ้ ึกวเิ คราะห์ จะขอยกตัวอย่างตา่ ง ๆ รวม ทงั้ สถานการณบ์ างสถานการณ์ทค่ี รสู ามารถนำ�มาปรบั ใช้ได้ ดังน้ี 16 ฝกึ คดิ พชิ ิตคณิต PISA สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ตวั อยา่ งที่ 1 ก�ำ หนดแบบรูปทใี่ ช้ชนิ้ สว่ นทีม่ ีลกั ษณะ , และ ในการออกแบบ จงส�ำ รวจและวิเคราะหแ์ บบรูปดงั กล่าวแล้วตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ี คคำ�ำ�ถถาามมทท่ี ่ี11 มี , และ อยา่ งละกชี่ ้นิ 1 ในการออกแบบครั้งท่ี 39 ของแบบรปู ท่ีกำ�หนดให้ และจะต้องใช้ชิน้ สว่ นในการออกแบบทั้งหมดกีช่ ิ้น แนวคดิ พจิ ารณาจำ�นวนชนิ้ ของ , และ ในการออกแบบแตล่ ะครง้ั ตามลำ�ดบั ดังนี้ 2 คร้ังที่ จำ�นวน จำ�นวน จำ�นวน 1222 2333 3444 3 4555 5... 6... 6... 6... 4 n n+1 n+1 n+1 รวมจ�ำ นวนชิ้นส่วนท้ัง 3 ชนิดในการออกแบบ ครัง้ ท่ี n เท่ากบั 3(n + 1) ช้ิน ดังนน้ั ในการออกแบบครั้งท่ี 39 จะมี จ�ำ นวน 39 + 1 ชิน้ หรอื 40 ชิน้ 12....00 จำ�นวน 39 + 1 ชนิ้ หรือ 40 ชน้ิ จำ�นวน 39 + 1 ช้นิ หรือ 40 ชิ้น นน่ั คอื จะต้องใช้ชิน้ สว่ นทง้ั สามรปู แบบรวมเปน็ 3 x 40 = 120 ชน้ิ คคำ��ำ ถถามท่ี 2 เปน็ ไปไดห้ รือไม่ทใ่ี นการออกแบบครง้ั หน่งึ จำ�นวนชน้ิ ของ , และ รวมกันเป็น 100 ชนิ้ จงใหเ้ หตผุ ลประกอบค�ำ ตอบ แนวคิด เปน็ ไปไมไ่ ด้ เพราะว่า ในการออกแบบแตล่ ะคร้งั จะต้องใช้ , และ อย่างละเทา่ ๆ กนั ดงั น้ันผลรวมของชนิ้ สว่ นในการออกแบบครั้งหนึง่ ๆ จะตอ้ งหารดว้ ย 3 ลงตัว แต่ 100 หารดว้ ย 3 ไมล่ งตัว ฝกึ คิด พิชิตคณิต PISA 17 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ตัวอย่างที่ 2 กำ�หนดการออกแบบท่ใี ชร้ ูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ และรูปหกเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ ทม่ี ีแบบรูปดงั ต่อไปน้ี 1 ค�ำ ถามท่ี 1 มรี ปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ และรปู หกเหล่ยี มดา้ นเทา่ มุมเทา่ อย่างละก่รี ปู ในการออกแบบครงั้ ท่ี 29 2 แนวคิด พจิ ารณาจ�ำ นวนรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ และจ�ำ นวน รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าในการออกแบบ ในแต่ละคร้งั ตามลำ�ดับดังนี้ 3 ครั้งท่ี จำ�นวน จ�ำ นวน 1 1 1×3 =3 2 1+2=3 3×3 =9 3 1+2+3=6 6 × 3 = 18 4 4... 1 + 2 + 3 + 4 =... 10 10 × 3... = 30 n 1 + 2 + 3 + … + n = _n(n2+1) _n(n2+1) x 3 5 รเนปู อ่ื สงาจมาเกหกลาย่ี รมอดอา้ กนแเบทบ่าเคทร่าั้งกทับี่ nn_จ(ะn2ต+้อ1ง)ใชด้ ังนนั้ ในการออกแบบครัง้ ที่ 29 จะตอ้ งใช้รูป . ส ามเหล ีย่ มดา้ น เทา่ เท ่ากบั 2_=9( 2294+315) รูป 21n....00 และเน่อื งจากจ�ำ นวนรปู หกเหล่ยี มด้านเทา่ มุมเท่า เป็น 3 เท่าของจ�ำ นวนรูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า ดังนั้น รปู หกเหลี่ยมด้านเท่ามมุ เทา่ มีจ�ำ นวน 3 x 435 = 1,305 รูป 18 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ตัวอยา่ งท่ี 3 แกว้ มที ว่ี า่ งหนา้ บา้ นจะทำ�แป2ล1งปลูกตน้ ไม้ดอกโดยปลูกตน้ มะลิ และต้นดาวเรืองใหม้ ีแบบรูปต่อไปนี้ × ตวั อยางท่ี 3 แกว มที ่วี างหนาบานจ×ะทําแปลงปลูกตนไมดอกโดย×ปล•กู ตน ×มะลแิ ละตน × ดาวเรอื งใหมแี บ×บรูปต•อไป×น้ี ו •× ו • • • •• × ... ×× × ×× × ×× • •×n× × ×• n×= 1 n= 2 = 3 ×•× × • •• × • •• × ... ×× × × ×× ×× n= 1 n = 2× • × n= 3 ו • × × • × • • × × •×• × • × • • × • •× × × × × • •n =• 4 × •• โดย • แทน ตน้ มะลิ • • x แทน ตน้ ดา×วเรอื ง× ×× × n= 4 คค�ำ ำ�ถถามท่ี 1 ถา้ แกว้ ต้องการปลกู ตน้ มะลิ 4 แถว จะต้องใชต้ น้ มะลิและต้นดาวเรอื ง โดย • แทน ตอนยม่างะละิ กี่ต้น แนวค×ดิ แทน นจตะนบั ไดตดา้น้วมเตระ้นือลมงิแะลละิ ตเท้นา่ ดกาับวเร1อื ง+จา2ก+แบ3บ+รปู 4เม=อื่ n=4 10 ตน้ ค ําถา มท่ี 1 รเนพจถจหเดพรนะรนะาับิจวะองัหะรจิ่ือแไ่อืามตนมือยหดาวงกรงนตจานั้ีตารวณวจงงมาน้ณ้นา่ตตพลาตกาะงดนอดจกาิจะตนลตางมตมะากานมิแน้กวมวีตตะรน้ี่ตดะลเามเีตณลนอ้รนดราละระน้ิอืมงวือาปิตาเลใทเงมะวงงนลชรทิลรเ่าาะอืกูดร้ตกะยิดั้งลงตอืา้นหับหาริดวนงๆมนอมวเา้รมระลบ่า1ดนอวอืะลงะนา่เบลลง+ตทิปอจะ4ิน1น้่า4กา2ล0อกต4มกูกแก+นับแะตจตถตบลน้ะ3ว้น้น(จดิบพ3ม+ะแ้ารบจะxพลนูปะว4ละเบลา3ตมิ ตแะ)อวn=ือ่ ต้น่าง+3แใลแดช1nะถ3ตาตต0ดวว่ล=น้นาตเ=ะตรมน4นแดือ้นะม3ลา้งลดีตนะxแินา1ทมลว2ด4่มีีตะเารต้นตุม=วือนน้เทดงร1ดาง้ัเอื 2ทาวสงวเ่าาปตรเกมรลือน้ ับอือกูงงกีป3ลn3ูกตตน้น้ แ นวค ดิ จะมตี น ดาวเรืองระหวางตนมะลดิ า นละ 3 ตน และทม่ี มุ ทง้ั สามอีก 3 ตน รวม ตนดาวเรืองทง้ั หมดเทา กับ (3 × 3) + 3 = 12 ตน หรือ พิจารณางา ย ๆ วาปลูกตนมะลิ n แถว ตนดาวเรืองเทากบั 3 n ตน ดังน้นั จะตอ งใชต น มะลิ 10 ตน และตนดาวเรอื ง 12 ตน ฝกึ คดิ พชิ ติ คณิต PISA 19 สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�ถ ามท่ี 2 ถา้ แก้วต้องการปลกู ตน้ มะลิ 10 แถวเนื่องจากมที ่วี า่ งหนา้ บา้ นมาก แกว้ จะตอ้ งปลูกต้นมะลิและต้นดาวเรืองอย่างละกี่ต้น แนวคดิ พิจารณาจำ�นวนตน้ มะลแิ ละจำ�นวนต้นดาวเรือง จากแบบรปู ทกี่ ำ�หนดให้ ดังตาราง ตอ่ ไปน้ี จ�ำ นวนแถว จำ�นวนต้นมะลิ จ�ำ นวนต้นดาวเรอื ง 1 1 3 = 3x1 2 1+2 = 3 6 = 3x2 3 1+2+3 = 6 9 = 3x3 4 1 + 2 + 3 + 4 = 10 12 = 3 x 4 n 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n2+1) 3n จากตาราง เมอ่ื ปลูกตน้ มะลิ n แถว จจ��ำำ นนววนนตตน้น้ ดมาะวลเเิรทือ่างกเทบั ่ากnับ(n2+31n) ตน้ ตน้ ดังนน้ั แก้วต้องการปลกู ต้นมะลิ 10 แถว จะต้องใช้ ตต้น้นมดาะวลเิเรทอื า่ งกเทับ่ากบั10(312(01+01)) = 55 ต้น = 30 ตน้ ค�ำ ถามท่ี 3 แกว้ จะต้องปลกู ตน้ มะลิกี่แถว จ�ำ นวนตน้ มะลจิ งึ เทา่ กับจ�ำ นวนตน้ ดาวเรือง แนวคิด จจำ��ำ นนววนนตต้น้นมดาะวลเิรnืองแถเทวเ่าทก่าบั กบั 3nn(ตn2้น+1) ต้น พิจารณาสมการ nn2(+n2+n1 ) จะได้ = 3n = 6n หรือ n2 – 5n = 0 n(n – 5) = 0 นนั่ คอื n = 0 หรือ n = 5 เนือ่ งจาก n เป็นจ�ำ นวนนับ ดงั นนั้ n = 5 20 ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ตรวจสอบคำ�ตอบ ตน้ จำ�นวนตน้ มะลิ n แถว มตี ้นมะลิ n(n2+1) ต้น จำ�นวนตน้ มะลิ 5 แถว มีต้นมะลิ 5(52+1) = 15 ต้น จ�ำ นวนต้นดาวเรือง เมือ่ ปลกู ตน้ มะลิ n แถว เทา่ กับ 3n ตน้ ดงั น้ัน ต้นดาวเรืองเมอ่ื ปลูกมะลิ 5 แถว เทา่ กับ 3 x 5 = 15 ต้น น่นั คอื เมอื่ ปลูกตน้ มะลิ 5 แถว จ�ำ นวนต้นมะลเิ ทา่ กบั จำ�นวนตน้ ดาวเรือง คือ 3 x 5 = 15 ตน้ นอกจากแบบรูปต่าง ๆ แล้ว การวิเคราะห์แบบรูปเพ่ือหานิพจน์แทนรูปท่ัวไปของ แบบรูปที่นำ�ไปสู่ความสัมพันธ์ในเร่ืองสมการและอสมการก็เป็นเนื้อหาที่ควรให้นักเรียนได้รับ การพัฒนา ท้ังน้เี พื่อนำ�ไปสกู่ ารแก้ปัญหาในสถานการณ์ทซี่ ับซอ้ นขน้ึ ดังเช่น จากเรอ่ื งสวนฝรัง่ ครสู ามารถสรา้ งสถานการณ์โจทยใ์ ห้นักเรียนใชอ้ สมการแกป้ ญั หา ดังตัวอย่างสถานการณต์ อ่ ไปนี้ ตัวอย่างที่ 4 เจา้ ของสวนมเี งิน 5,000 บาท ต้องการปลูกต้นฝรั่งและต้นสนตามแบบรูป ที่โจทย์ก�ำ หนดให้ โดยตน้ ฝรงั่ ราคาตน้ ละ 10 บาท และต้นสนราคาต้นละ 5 บาท แทน ต้นสน แทน ต้นฝรง่ั ฝกึ คิด พชิ ติ คณติ PISA 21 สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ คถ�ำ าถมาม เจา้ ของสวนสามารถปลกู ตน้ ฝรง่ั จ�ำ นวนมากทสี่ ดุ กตี่ น้ ในทดี่ นิ รปู สเ่ี หลย่ี ม จตั ุรสั 625 ตารางวา โดยปลูกต้นฝรั่งห่างกัน 3 เมตร แนวคดิ สมมุติปลกู ตน้ ฝรั่งแถวละ n ตน้ ดังนนั้ จำ�นวนตน้ ฝร่ัง เทา่ กบั n2 ตน้ จ�ำ นวนตน้ สน เทา่ กับ 8n ต้น ตน้ ฝร่งั ราคาต้นละ 10 บาท ต้นฝรั่ง n2 ตน้ คดิ เป็นเงนิ 10n2 บาท ตน้ สนราคาตน้ ละ 5 บาท ตน้ สน 8n ต้น คดิ เป็นเงิน 5(8n) = 40n บาท เจ้าของสวนลงทนุ เปน็ เงิน 10n2 + 40n บาท เจา้ ของสวนมที ุน 5,000 บาท ดงั นั้น 10n2 + 40n ตอ้ งไม่เกิน 5,000 หรอื n2 + 4n ตอ้ งไมเ่ กิน 500 บาท พจิ ารณา n2 + 4n = n(n + 4) ใช้ความรสู้ ึกเชงิ จำ�นวนหาจำ�นวนสองจำ�นวนคูณกัน มผี ลลัพธม์ ากทส่ี ดุ และไมเ่ กิน 500 โดยจำ�นวนทง้ั สองต่างกนั 4 จะพบว่า ถา้ ให้ n = 20 จะได้ n + 4 = 24 และ n(n + 4) = 20 x 24 = 480 ไมเ่ กิน 500 ดงั นน้ั เจ้าของสวนมีเงินพอปลูกต้นฝร่งั มากท่ีสุดไมเ่ กินแถวละ 20 ตน้ --- 1 ตอ้ งการปลกู ตน้ ฝรง่ั ห่างกนั 3 เมตร และปลกู แถวละ n ต้น จะมีช่วงหา่ ง 3 เมตรอยู่ n – 1 ช่วง ดังน้นั ระยะจากต้นฝรั่งต้นที่ 1 ถงึ ต้นท่ี n จะยาว 3(n – 1) เมตร แต่ต้องปลูกต้นสนห่างจากตน้ ท่ี 1 และตน้ ที่ n ออกไปข้างละ 1.5 เมตร นั่นคอื เม่อื ปลูกต้นสนแล้วแตล่ ะแถวจะยาว 3(n – 1) + 3 = 3n เมตร พิจารณาที่ดนิ ท่ใี ชป้ ลกู ต้นไมม้ ี 625 ตารางวา เปน็ รปู สี่เหลีย่ มจตั ุรัส ดนังน่ั นคัน้ ือ 3แnต่ล≤ะด5้า0นขหอรงือทีด่ nนิ จ≤ะ5_ย30าว≈2516ว.7า หรือ 50 เมตร เมตร แต่ n เป็นจ�ำ นวนนับ ดังนนั้ n < 16 ดังนัน้ มที ่ดี นิ ปลกู ต้นฝรง่ั ไมเ่ กนิ แถวละ 16 ต้น ------------- 2 พจิ ารณา 1 และ 2 จะได้วา่ ถึงแม้ว่าจะมีทุนพอปลูกตน้ ฝร่ัง แถวละ 20 ต้นก็จริง แตม่ เี นื้อท่ีพอปลกู ตน้ ฝรง่ั ไดเ้ พียงแถวละ 16 ตน้ เทา่ น้ัน ดงั น้ัน สามารถปลูกต้นฝรั่งได้ไม่เกนิ แถวละ 16 ตน้ น่ันคือ เจ้าของสวนปลูกตน้ ฝรง่ั ไดอ้ ยา่ งมาก 16 x 16 = 256 ตน้ 22 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ทางเลือก ค�ำ ถามท่ี 1: ทางเลือก ในร้านพิซซา่ แหง่ หนึง่ โดยปกตทิ างร้านจะมหี น้าให้สองอย่างอย่แู ลว้ คือ ชสี และมะเขือเทศ นอกเหนอื จากน้ี ท่านสามารถเลอื กหนา้ พเิ ศษเพม่ิ เติมไดอ้ กี หน้าพิเศษมใี หเ้ ลอื ก 4 อยา่ งคือ มะกอก แฮม เหด็ และซาลามิ ระพีต้องการที่จะสั่งพิซซ่าที่เพิ่มหน้าพิเศษอีกสองชนิด อยากทราบว่าระพีจะสามารถสั่งพิซซ่า หนา้ ตา่ ง ๆ กัน ไดท้ ง้ั หมดก่แี บบ ค�ำ ตอบ: ...............................................แบบ คะแนนเตม็ ตอบ 6 แบบ ไม่มีคะแนน ค�ำ ตอบอนื่ ๆ ลักษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ประเทศ % ตอบถูก เนื้อหา : ปริมาณ ญปี่ ่นุ 66.08 แขนงวชิ า : วยิ ตุ คณิต เกาหลี 58.54 สถานการณ์ : ในเชิงอาชีพ ฮ่องกง-จีน 46.37 สมรรถนะ : การเชอ่ื มโยง มาเก๊า-จนี 44.35 แบบของข้อสอบ : ตอบสั้นๆ ไทย 27.60 ฝึก คดิ พชิ ติ คณติ PISA 23 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะห์และแนวคิดในการแกโ้ จทยป์ ัญหา สถานการณ์โจทย์ สถานการณ์ในโจทย์ข้อนี้กล่าวถึงการสั่งพิซซ่า ซึ่งร้านพิซซ่าแต่ละร้านจะมีหน้า พิซซ่าชนิดตา่ ง ๆ ใหล้ กู คา้ เลอื ก สำ�หรบั โจทย์ข้อน้ี ทางรา้ นจะก�ำ หนดหนา้ พซิ ซ่าสองชนิด คือ ชสี และมะเขอื เทศ ซ่ึงจะใส่ในพิซซ่าทกุ ชนดิ และลูกคา้ เลือกสงั่ หน้าเพ่มิ เติมอกี 2 ชนดิ จากหน้าทง้ั หมดอีก 4 ชนดิ คอื มะกอก แฮม เห็ด และซาลามิ สถานการณ์ในลักษณะนี้จะพบเห็นได้ท่ัวไปในการเลือกของ 2 ส่ิงจากของท่ีมีอยู่ หลายสิง่ เช่น เลอื กหนา้ ไอศกรีม 2 ชนดิ จากท้งั หมด 5 ชนดิ เลือกใส่เสือ้ และกางเกงจาก เสื้อผ้าที่มีอยู่ โจทย์ต้องการให้หาทางเลือกท้ังหมดท่ีสามารถเกิดขึ้นได้จากการเลือกหน้า พิซซา่ พิเศษเพิ่มเติม 2 ชนิดจากท้ังหมด 4 ชนิด ความรทู้ างคณิตศาสตร์ท่ีเกีย่ วข้อง การตอบคำ�ถามนี้ นักเรียนต้องใช้ความรู้เร่ืองหลักการนับเบ้ืองต้น ต้องแจกแจง เหตกุ ารณ์ท้ังหมดทีอ่ าจเกดิ ขึ้นได้ ซึง่ เป็นพนื้ ฐานของการหาความน่าจะเปน็ ในการทดลอง สุ่มและเหตกุ ารณ์ โจทย์ถามว่าระพีสามารถส่ังพิซซา่ หนา้ ต่าง ๆ ไดก้ แ่ี บบ คือ เหตุการณ์ ทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นจากการเลือกของ 2 ส่ิงพร้อมกันจาก 4 ส่ิง ซ่ึงเนื้อหาน้ีอยู่ในเรื่อง ความนา่ จะเป็น ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 เลม่ 2 รายวชิ าพื้นฐาน แนวคิดในการแก้โจทย์ปญั หา คคำ�ำ�ถถาามมทที่ 1ี่ 1 ระพีต้องการท่ีจะสั่งพิซซ่าท่ีเพ่ิมหน้าพิเศษอีกสองชนิด อยากทราบว่า ระพสี ามารถส่ังพิซซ่าต่าง ๆ กัน ได้ทั้งหมดกแ่ี บบ แนวคิด จากโจทย์คำ�ถามท่ีให้ นักเรียนอาจใช้วิธีการเขียนแจกแจงเหตุการณ์ท้ังหมดท่ี สามารถเกิดขน้ึ หรือสามารถใชว้ ธิ กี ารเขยี นแผนภาพตน้ ไม้ช่วยในการแจกแจง ระพสี ามารถสั่งหน้าพิซซ่าพเิ ศษเพมิ่ เติมอีก 2 ชนิด จากหน้าทง้ั หมดทีม่ ีอยู่ 4 ชนิด คือ มะกอก แฮม เห็ด และซาลามิ ในการเลือกหน้าพิซซ่าจะเป็นการเลือกพร้อมกัน ดงั น้นั ผลลพั ธท์ ี่ไดจ้ ะไม่มีอันดับ และการเลอื กจะไม่เลอื กหน้าซำ�้ กัน 24 ฝึก คดิ พชิ ติ คณิต PISA สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การเขียนแจกแจงเหตกุ ารณ์ทัง้ หมด จากขอ้ กำ�หนดดงั กล่าวสามารถเขียนแจกแจงเหตกุ ารณ์ทัง้ หมด ไดด้ งั นี้ (มะกอก, แฮม) (มะกอก, เหด็ ) (มะกอก, ซาลาม)ิ (แฮม, เหด็ ) (แฮม, ซาลามิ) และ (เห็ด, ซาลามิ) ซง่ึ มที งั้ หมด 6 แบบ การเขียนแผนภาพต้นไม ้ จากทโี่ จทย์ก�ำ หนดระพีจะเลอื กหนา้ พิซซ่า 2 ชนดิ จาก มะกอก แฮม เห็ด และซาลามิ ได้ดังนี้ ม ะกอ ก แฮม ------- (มะกอก, แฮม) เหด็ ------- (มะกอก, เห็ด) แฮม ซาลามิ ------- (มะกอก, ซาลาม)ิ เห็ด ------- (แฮม, เห็ด) ซาลามิ ------- (แฮม, ซาลามิ) เห็ด ซาลามิ ------- (เห็ด, ซาลาม)ิ จะไดว้ า่ สามารถสัง่ พซิ ซา่ หน้าพิเศษเพ่มิ เติมต่าง ๆ กนั ได้ 6 แบบ คอื (มะกอก, แฮม) (มะกอก, เห็ด) (มะกอก, ซาลาม)ิ (แฮม, เห็ด) (แฮม, ซาลามิ) และ (เห็ด, ซาลาม)ิ ข้อสังเกต/ข้อเสนอแนะ 1. มีข้อสังเกตเกี่ยวกับคะแนนสอบของนักเรียนไทย ซึ่งได้คะแนนน้อยกว่าประเทศ อื่น ๆ ค่อนข้างมาก คือ มีนักเรียนไทยตอบถูกเพียง 27.60 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนไทยที่ เข้าสอบ ขณะท่ีนักเรียนจากประเทศญี่ปุ่นตอบถูก 66.08 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนญี่ปุ่นท่ี เข้าสอบ ทั้งน้ีอาจจะเกิดจากความสับสนในโจทย์ท่ีกำ�หนด ถ้านักเรียนอ่านโจทย์โดยขาด ความระมดั ระวงั นกั เรยี นอาจจะเขา้ ใจวา่ เลอื กหนา้ พซิ ซา่ เพยี งหนา้ เดยี วหรอื ไมเ่ ลอื กกไ็ ด้ ซงึ่ ไมใ่ ชค่ �ำ ตอบทโ่ี จทยต์ อ้ งการ นอกจากนน้ี กั เรยี นอาจสบั สนในการท�ำ ความเขา้ ใจโจทย์ เพราะ ในโจทยข์ อ้ น้ีไดก้ ำ�หนดไว้วา่ รา้ นจะมหี น้าให้สองอยา่ งอยู่แล้ว คอื ชสี และมะเขอื เทศ ซึง่ ใน การทำ�ข้อสอบไม่ต้องนำ�ข้อมูลน้ีมาใช้ ถ้านักเรียนเข้าใจผิดนำ�ข้อมูลน้ีมาใช้ในการหาวิธีของ การเลือกดว้ ยก็จะท�ำ ให้ได้คำ�ตอบที่ผดิ ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA 25 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

2. สถานการณจ์ ากโจทยถ์ ้านกั เรยี นไมม่ ปี ัญหาในการอา่ นโจทย์ให้เข้าใจ ถือว่าเปน็ โจทยท์ คี่ อ่ นข้างง่ายและตรงไปตรงมา อกี ท้ังในหลกั สูตรกร็ ะบุอยา่ งชัดเจนถงึ เนือ้ หาเร่ืองนี้ และมรี ายละเอยี ดพรอ้ ม ตวั อยา่ งในหนงั สอื เรยี นมคี อ่ นขา้ งมาก ถา้ นกั เรยี นไดผ้ า่ นการเรยี น ในเรื่องการแจงนับในหนังสือเรียนมาแลว้ นักเรียนควรจะท�ำ โจทย์ข้อน้ไี ด้ อาจเปน็ ไปไดว้ า่ ครูไม่ได้ให้นักเรียนได้ฝึกการวิเคราะห์และลองทำ�จริงมากพอ หรือไม่ก็ไม่ได้ให้หลักในการ แจงนับ ซ่ึงถ้านกั เรยี นแจกแจงกรณตี ่าง ๆ อย่างไม่เปน็ ระบบกม็ โี อกาสจะผดิ พลาดได้ คอื อาจได้กรณตี ่าง ๆ ไมค่ รบถว้ นหรอื ไมก่ ็อาจไดก้ รณที ซี่ �้ำ กนั ซ่งึ ท�ำ ใหไ้ ด้คำ�ตอบท่ีไม่ถกู ต้อง ในการจัดการเรียนการสอนครูควรเพ่ิมสถานการณ์โจทย์ท่ีมีข้อมูลที่เก่ียวกับ ชวี ติ จรงิ ฝกึ ใหน้ กั เรยี นแยกแยะใหอ้ อกวา่ ขอ้ มลู สว่ นไหนในโจทยเ์ ปน็ ขอ้ มลู ทเ่ี ปน็ ตวั ประกอบ ใหเ้ หตกุ ารณส์ มจรงิ และขอ้ มลู สว่ นไหนทเี่ ปน็ ขอ้ มลู หลกั ในการน�ำ ไปใชห้ าค�ำ ตอบของโจทย์ เพราะตวั อยา่ งในหนงั สอื เรยี นสว่ นใหญไ่ มว่ า่ จะเปน็ ตวั อยา่ งหรอื แบบฝกึ หดั ในสว่ นทเ่ี ปน็ เรอ่ื ง การหากรณตี า่ ง ๆ ของเหตกุ ารณม์ กั จะเปน็ โจทยต์ รงไปตรงมาไมซ่ บั ซอ้ น สถานการณโ์ จทย์ ท่ีครูอาจนำ�มาให้นักเรียนวิเคราะห์อาจเป็นเรื่องเก่ียวกับการซ้ือขาย การสั่งซ้ืออาหาร การเลอื กของขวญั การแจกรางวัล โดยเปน็ สถานการณ์ที่เกดิ ขน้ึ ไดจ้ รงิ ในชีวิตประจำ�วัน ตัวอย่างสถานการณ์หนง่ึ เป็นดงั น้ี ในการประชมุ เพอ่ื จดั คา่ ยของโรงเรยี น มคี รรู ว่ มประชมุ 6 คน ในการสง่ั อาหารกลางวนั ครูแตล่ ะคนสามารถเลอื กส่ังอาหารได้ 4 รายการ จากรายการอาหารต่อไปนี้ 1. ข้าวเหนยี ว 2. สม้ ต�ำ ปู, สม้ ตำ�ไทย, ส้มตำ�ปลาร้า 3. น้ำ�ตก 4. ซุปหน่อไม้ 5. ลาบหมู, ลาบไก่, ลาบเป็ด คค�ำ ำ�ถถาามม ถา้ ครูทกุ คนสง่ั ขา้ วเหนียว ครแู ตล่ ะคนจะมีวธิ ีสงั่ อาหารกลางวนั ทแี่ ตกตา่ งกนั ทัง้ หมดกีว่ ิธี โดยแตล่ ะวธิ จี ะไม่มีส้มตำ�มากกวา่ หน่ึงชนดิ และไม่มลี าบมากกวา่ หน่ึงชนิด แนวคดิ เนอ่ื งจากอาหารทส่ี งั่ จะตอ้ งมขี า้ วเหนยี ว ดงั นนั้ ชนดิ ของอาหารทเ่ี ลอื กไดม้ ที ง้ั หมด 4 รายการ คือ ส้มต�ำ นำ้�ตก ซุปหน่อไม้ และลาบ โดยแต่ละชุดจะเลือกมาอกี 3 รายการ ดงั นั้น จ�ำ นวนชดุ อาหารท่ีจะเลือกไดเ้ ทา่ กบั จ�ำ นวนวธิ ีในการเลอื กของ 3 ส่ิง จากของท้ังหมด 4 สิง่ แสดงได้ดังน้ี ชุดท่ี 1 ส้มตำ� นำ้�ตก ซปุ หนอ่ ไม้ ชดุ ท่ี 2 ส้มตำ� นำ�้ ตก ลาบ ชุดท่ี 3 สม้ ต�ำ ซุปหนอ่ ไม้ ลาบ ชดุ ท่ี 4 น้�ำ ตก ซปุ หนอ่ ไม้ ลาบ 26 ฝึก คดิ พิชิตคณิต PISA สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ดังน้นั จะมีชดุ อาหารกลางวนั ทั้งหมด 4 ชดุ โดยชุดท่ีมสี ้มต�ำ จะเลือก สม้ ต�ำ ได้ 3 วธิ ี และชุดทมี่ ีลาบจะเลอื กลาบได้ 3 วธิ ี ดงั นั้น อาหารชดุ ที่ 1 สามารถเลอื กส้มตำ�แตกต่างกันได้ 3 วธิ ี ดังนี้ อาหารชดุ ท่ี 1 วธิ ีที่ 1 ส้มตำ�ไทย น�ำ้ ตก ซปุ หนอ่ ไม้ วิธที ่ี 2 สม้ ตำ�ปู น้ำ�ตก ซปุ หน่อไม้ วิธที ี่ 3 ส้มต�ำ ปลาร้า น�ำ้ ตก ซุปหนอ่ ไม้ อาหารชดุ ที่ 2 สามารถเลอื กส้มตำ�แตกต่างกันได้ 3 วิธี และแต่ละวิธเี ลือก ลาบได้ 3 วธิ ี ดงั นี้ อาหารชดุ ท่ี 2 วิธที ี่ 1 ส้มตำ�ไทย น�้ำ ตก ลาบหมู วิธที ่ี 2 ส้มตำ�ไทย นำ�้ ตก ลาบไก่ วธิ ที ี่ 3 สม้ ตำ�ไทย นำ�้ ตก ลาบเปด็ วธิ ที ่ี 4 สม้ ต�ำ ปู นำ้�ตก ลาบหมู วิธที ่ี 5 สม้ ต�ำ ปู น�้ำ ตก ลาบไก่ วธิ ีท่ี 6 สม้ ต�ำ ปู น�ำ้ ตก ลาบเปด็ วธิ ีที่ 7 สม้ ต�ำ ปลาร้า น�้ำ ตก ลาบหมู วิธีที่ 8 ส้มต�ำ ปลารา้ น้�ำ ตก ลาบไก่ วิธที ่ี 9 ส้มตำ�ปลารา้ นำ�้ ตก ลาบเปด็ ในท�ำ นองเดยี วกันอาหารชดุ ท่ี 3, 4 สามารถเลือกไดด้ งั น ี้ อาหารชดุ ที่ 3 เลือกส้มตำ�ได้ 3 วิธี และแต่ละวิธีเลือกลาบได้ 3 วธิ ี ดงั นั้น อาหารชุดท่ี 3 เลอื กไดท้ ง้ั หมด 3 x 3 = 9 วิธี อาหารชดุ ท่ี 4 เลอื กลาบได้ 3 วธิ ี ดังน้นั เลอื กได้ทงั้ หมด 3 วิธี ดงั นั้น มีวิธเี ลือกสงั่ อาหารทงั้ หมด ดังนี้ อาหารชดุ ที่ 1 เลือกได้ 3 วธิ ี อาหารชุดที่ 2 เลือกได้ 9 วิธี อาหารชดุ ที่ 3 เลือกได้ 9 วธิ ี อาหารชุดที่ 4 เลอื กได้ 3 วิธ ี รวม 3 + 9 + 9 + 3 = 24 วิธี นน่ั คอื จะมวี ิธสี ง่ั อาหารกลางวนั ทั้งหมด 24 วธิ ี ฝกึ คดิ พิชติ คณิต PISA 27 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ชั้นวาชงน้ั หวานง3ห3ังนสังอืสือ กกาารรปปรระะกกออบบชช้ัน้ันวาวงาหงหนนงั สงั อืสหือนหง่ึนชงึ่ ุดชใุดหใสหม้สบมรู บณูรณช์าชง่าไมงไต มอ้ตงอ้ใชงใ ชส้ ว สนว่ ปนรปะรกะอกบอตบาตงๆ่างดๆงั นดี้ ังน้ี แผนไมยาว 4 แผน , แผน ไมส ั้น 6 แผน , ตัวหนบี ตัวเลก็ 12 ตัว, ตวั หนีบตัวใหญ 2 ตวั และ สกรู 14 ตัว ค�ำ ถคาํามถทาี่ ม1ท: ท่ี 1าง:เชล้ันอื กว างหนงั สอื ค ตชา่วั�ำ งตหไตชอนมาัวบีบส้งห:ไตานมช.มวั.ีบ.่าสเา.ล.งตาร.ไ.ก็มถัว.ม.ชป.เา้ม2.ลา.รร.0แีงก็.ถะ.ไ0ผ.ปมก.2่น..ตรอม0.ไ.ะัวบีแ0.ม.ก.ผช้สต.ตอ.นัน้ี่เ.ัววั.บห.ไวห.มลช.าตน..ี่ยสัน้งัว.บีห.มเี่วห.ห.ตนาผ.น.ลัวง.ังืน.ีบใหีย่.สผ.หต.มนือ.้าญ.ัวผไัง.อ.ดใส.่ืนยห.2้ท.ือผ่า.0ญ.ง้ัไง.า.ดหย.อต.2ทมา.ยวั.0ว.ั้งดา.แ.หกง.ต2.ลยม.่ีช6วั.ะา.ดุดสวแแกกลผีช่2ระน่ ดุ6ูส5อแก1ยผร0่าูน5งตส1อัวนั้0ยาต3ง3ัวส้ันแคผไคะ3มะ่นแ3ตมแนอีคนแบะนนผแเเ5นตนต็มชนม็ ดุ คําตอบ: …………………………………………………………… ตคอาํ ตบอ5บอช่นื ุดๆ ไม่มคี ะแนน ค�ำ ตอบอ่ืนๆ แลสแสเนแแลสเสขบักถมนบขถักม้ือนษารบอื้ ษาหนรบนรงณหขนราถงณวขกอาถกวะนชิาอ:ะงนเิชาร:ะางฉขเระณาฉปขพอ้:ณ:ปพรอ::์สารมิ:สจาจะอมิ:กกาะ�ำอขําบใาาณานขนนบใอณรรนวอ:วเเงเชชนเ:ชนงขชิงอ่ืตขื่อ้ออิงตมอมออสาอบโโสชาอยบยสชอีพบงงสัน้พีบัน้ ๆๆ ประเทศ % ตอบถกู ปรญะป่ีเทนุ ศ %70.ต0อ4บถกู ญ่ปีเกุ่นาหลี 727.205.04 เกฮาหองลกี ง-จีน 747.427.25 ฮ่อมงากเงก-า จ-ีนจนี 667.746.47 มาไเทกย๊า-จนี 356.166.76 ไทย 35.16 28 ฝึก คดิ พิชติ คณติ PISA สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

การวเิ คราะห์และแนวคดิ ในการแกโ้ จทย์ปัญหา สถานการณ์โจทย์ สถานการณ์โจทย์กล่าวถึงการประกอบช้ันวางหนังสือหน่ึงชุดโดยช่างไม้ต้องใช้ สว่ นประกอบตา่ ง ๆ ตามทร่ี ะบุ และในค�ำ ถามไดก้ �ำ หนดจ�ำ นวนสว่ นประกอบแตล่ ะอยา่ งทใ่ี ช้ ประกอบชน้ั วางหนังสอื ให้ แลว้ ถามวา่ ช่างไมส้ ามารถประกอบชนั้ วางหนงั สอื ได้ทง้ั หมดกี่ชดุ เนอ่ื งจากโจทยป์ ญั หานเ้ี ปน็ สถานการณท์ ป่ี รากฎอยใู่ นชวี ติ ประจ�ำ วนั ถงึ แมน้ กั เรยี นอาจ ไมส่ ามารถประกอบเปน็ ชนั้ วางหนงั สอื ได้ แตก่ ค็ วรมที กั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ในการเช่อื มโยงความรู้ทางคณติ ศาสตร์ไปใช้แก้ปญั หาในชวี ติ ประจำ�วันทำ�นองนไี้ ด้ ความรทู้ างคณิตศาสตรท์ ่เี กย่ี วขอ้ ง ในการทำ�โจทยข์ ้อน้ี นกั เรียนตอ้ งใช้ความรูส้ กึ เชิงปรภิ มู ิ และความรู้พนื้ ฐานเกย่ี วกบั การคณู และหารจ�ำ นวนเตม็ โดยอาจใชก้ ารคาดการณแ์ ละความรสู้ กึ เชงิ จ�ำ นวนประกอบการ พจิ ารณาหาค�ำ ตอบ ทง้ั นนี้ กั เรยี นจะตอ้ งมที กั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการแก้ ปญั หา การเชอ่ื มโยงความรทู้ างคณติ ศาสตร์ การใชเ้ หตผุ ลประกอบการตดั สนิ ใจและสรปุ ผล ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ งเหมาะสม จึงจะสามารถแกป้ ัญหาได้อย่างมปี ระสิทธภิ าพ แนวคิดในการแก้โจทย์ปัญหา คค�ำ �ำ ถามที่ 1 ชา่ งไมม้ แี ผน่ ไม้ส่เี หลี่ยมผนื ผา้ อย่างยาว 26 แผ่น อยา่ งส้ัน 33 แผ่น ตวั หนีบ ตัวเลก็ 200 ตัว ตวั หนีบตวั ใหญ่ 20 ตัว และสกรู 510 ตวั ช่างไม้สามารถประกอบช้นั วาง หนังสอื ได้ทงั้ หมดกี่ชุด แนวคิด 1 ค�ำ นวณหาจ�ำ นวนชดุ ของชน้ั วางหนังสอื ที่อาจประกอบได้จากสว่ นประกอบ แต่ละอยา่ ง จะไดว้ า่ มแี ผน่ ไมอ้ ยา่ งยาว 26 แผ่น ในทำ�นดชอั้นงั งนวเดน้ัาียงทหวก�ำนชันัง้ันสือวาหงนหง่ึ นชังดุ สอืตไอ้ ดง้อใชย้แา่ ผงม่นาไกมอ้ 2ย46า่ ง≈ยาว6 4 แผน่ ชดุ แผ่นไมอ้ ยา่ งสัน้ 33 แผ่น ทำ�ช้นั วางหนังสอื ไดอ้ ย่างมาก 363 ≈ 5 ชุด ฝกึ คดิ พิชติ คณิต PISA 29 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ตวั หนีบตวั เลก็ 200 ตวั ท�ำ ชนั้ วางหนังสอื ไดอ้ ยา่ งมาก 25__พ11102_บ242000ว่า≈=≈จำ�11น3606วนชชชดุแดุ ุดผ่นไม้ ตวั หนบี ตวั ใหญ่ 20 ตวั ท�ำ ชน้ั วางหนังสือได้อยา่ งมาก และ สกรู 510 ตวั ท�ำ ชั้นวางหนงั สือได้อย่างมาก จากสว่ นประกอบต่าง ๆ ท่ีน�ำ มาใชป้ ระกอบเปน็ ชน้ั วางหนังสือ อยา่ งส้ันน�ำ มาท�ำ ช้นั วางหนงั สอื ไดอ้ ยา่ งมากเพียง 5 ชดุ ซงึ่ นอ้ ยกวา่ จำ�นวนชัน้ วางหนังสือที่ อาจประกอบได้จากส่วนประกอบอน่ื ๆ ดังนนั้ ชา่ งไมส้ ามารถประกอบชน้ั วางหนังสอื ได้ทง้ั หมด 5 ชุด แนวคิด 2 หาคำ�ตอบโดยการประมาณค่าและตรวจสอบ ดังน้ี ขนั้ ท่ี 1 ใชค้ วามรสู้ กึ เชงิ จ�ำ นวนคาดคะเนดวู า่ สว่ นประกอบใดจะใชป้ ระกอบเปน็ ชน้ั วางหนงั สอื ไดจ้ �ำ นวนชดุ นอ้ ยกวา่ สว่ นประกอบอยา่ งอน่ื ๆ ซง่ึ ควรจะคาดคะเนไดว้ า่ เปน็ แผน่ ไมท้ อี่ าจเปน็ แผน่ ไม้ยาวหรือแผน่ ไม้สน้ั อยา่ งใดอย่างหนึง่ ข้ันที่ 2 ประมาณจำ�นวนแผ่นไม้ยาวว่าสามารถนำ�ไปประกอบช้ันวางหนังสือได้อย่างมาก กก่ชีบั ดุจ�ำ จนะวไนดแ้วผ่าน่2_46ไมส้≈้นั ท6ใ่ี ชจ้ 6ากแนผนั้ น่ ตตร่อวจ1สอชบดุ วจา่ ะ6พชบุดวา่ เป็นค�ำ ตอบไดห้ รอื ไม่ โดยน�ำ 6 ไปคูณ 6 x 6 = 36 ซึง่ 36 มากกวา่ จำ�นวน แผน่ ไมส้ นั้ ท่ีมีอยู่ 33 แผน่ ดงั นน้ั จ�ำ นวนชั้นวางหนงั สือตอ้ งน้อยกว่า 6 ชุด ข้ันท่ี 3 ตรวจสอบจำ�นวนแผ่นไม้ส้ันท่ีใช้ประกอบช้ันวางหนังสือ 5 ชุด จะใช้แผ่นไม้สั้น 5 x 6 = 30 แผ่น และเหลือแผ่นไมส้ ัน้ อกี 3 แผน่ เมอื่ ตรวจสอบส่วนประกอบอย่างอ่ืน ๆ ที่ เหลอื เพอ่ื การน�ำ มาใช้ประกอบชั้นวางหนงั สอื 5 ชดุ ก็พบว่ามจี ำ�นวนเพยี งพอท่จี ะสร้างได้ นั่นคอื ชา่ งไม้สามารถประกอบช้นั วางหนงั สือไดท้ ั้งหมด 5 ชุด แนวคิด 3 หาค�ำ ตอบโดยการแจงนบั ดงั นี้ จำ�นวนชุด แผน่ ไม้ยาว แผ่นไมส้ น้ั ตัวหนบี ตวั เล็ก ตวั หนบี ตัวใหญ่ สกรู สร้างได้ 1 4 6 12 2 14 2 8 12 24 4 28 3 12 18 36 6 42 4 16 24 48 8 56 5 20 30 60 10 70 6 24 36 72 12 84 จากการแจงนบั จะพบวา่ ชน้ั วางหนงั สอื 6 ชดุ ตอ้ งใชไ้ มแ้ ผน่ สน้ั 36 แผน่ ซง่ึ มากกวา่ ทม่ี อี ยู่ 3 แผน่ ดงั นน้ั ชา่ งไมส้ ามารถประกอบชน้ั วางหนงั สอื ไดท้ ง้ั หมด 5 ชดุ 30 ฝกึ คิด พิชิตคณติ PISA สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อสังเกต/ข้อเสนอแนะ 1. เมื่อพิจารณาจากความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาข้อนี้คือการ นึกภาพ ความรู้สึกเชิงปริภูมิ และความรู้พ้ืนฐานเก่ียวกับการคูณ และการหารจำ�นวนเต็ม แล้วนักเรียนไทยตอบคำ�ถามได้ถูกต้องเพียง 35.16 เปอร์เซ็นต์ของจำ�นวนนักเรียนไทยท่ี เขา้ สอบ แสดงใหเ้ หน็ วา่ นกั เรยี นไทยขาดทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการแกป้ ญั หา ไมส่ ามารถเชอ่ื มโยงความรทู้ างคณติ ศาสตรไ์ ปประยกุ ตใ์ ชแ้ กป้ ญั หาสถานการณใ์ นชวี ติ จรงิ ได้ โดยเฉพาะการขาดทกั ษะในการใชค้ วามรสู้ กึ เชงิ ปรภิ มู แิ ละความรสู้ กึ เชงิ จ�ำ นวน ครผู สู้ อนจะ ต้องตระหนักและให้ความสำ�คัญในเรื่องดังกล่าวให้มากข้ึน โดยจัดการเรียนรู้ให้เชื่อมโยงกับ สถานการณ์ในชีวิตจริง และฝึกให้นักเรียนใช้ความรู้สึกเชิงปริภูมิและความรู้สึกเชิงจำ�นวน อยา่ งสม่�ำ เสมอในทุกสถานการณท์ ส่ี ามารถทำ�ได้ 2. ส�ำ หรบั โจทยป์ ญั หาทม่ี แี นวคดิ ในการหาค�ำ ตอบไดห้ ลายวธิ เี ชน่ เดยี วกบั โจทยป์ ญั หา ขา้ งตน้ ครผู สู้ อนควรใหโ้ อกาสนกั เรยี นไดเ้ สนอแนวคดิ ในการหาค�ำ ตอบดว้ ยวธิ กี ารทแ่ี ตกตา่ ง กัน เพ่อื เป็นการแลกเปลย่ี นเรียนร้ใู นห้องเรยี น และนกั เรียนก็จะไดเ้ ห็นวิธีการแกป้ ัญหาที่ หลากหลาย โดยครผู สู้ อนสามารถใชค้ �ำ ถามทก่ี ระตนุ้ ใหน้ กั เรยี นคดิ และตดั สนิ ใจเลอื กวธิ กี าร แกป้ ญั หาทม่ี ปี ระสทิ ธภิ าพจากแนวคดิ ทแี่ ตกตา่ งกนั วธิ กี ารดงั กลา่ วจะชว่ ยสง่ เสรมิ ใหน้ กั เรยี น มที กั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นดา้ นการแกป้ ญั หา การใหเ้ หตผุ ล การสอ่ื สารและ การน�ำ เสนอ รวมถงึ การมคี วามคิดริเริ่มสร้างสรรค์ เพื่อฝึกทักษะและขยายความคิดในการแก้ปัญหาให้กับนักเรียน ครูผู้สอนอาจ ตั้งคำ�ถามเพ่ิมเติมจากสถานการณ์โจทย์ข้างต้น ให้นักเรียนได้คิดวิเคราะห์ในการหาค�ำ ตอบ ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปนี้ คำ�คถ�ำ าถมาม จากสถานการณ์โจทยแ์ ละคำ�ถามขา้ งต้น ถา้ ต้องการประกอบชั้นวางหนงั สือ เพิ่มข้ึน 2 ชุด ช่างไม้จะต้องหาส่วนประกอบใดเพิ่มและเพม่ิ เป็นจำ�นวนเท่าใด จงึ จะพอดใี น การประกอบชน้ั วางหนังสือ แนวคดิ จากสถานการณโ์ จทยแ์ ละค�ำ ถามขา้ งตน้ ชา่ งไมส้ ามารถประกอบชนั้ วางหนงั สอื ได้ 5 ชุด ถา้ ต้องการประกอบชัน้ วางหนงั สือเพมิ่ ข้ึน 2 ชุด รวมเป็น 7 ชุด สว่ นประกอบที่ตอ้ ง เพ่ิมคอื แผน่ ไมอ้ ยา่ งยาวและแผน่ ไม้อย่างสนั้ ถา้ ตอ้ งการประกอบช้นั วางหนังสอื 7 ชดุ ใช้แผ่นไม้อยา่ งยาว 7 x 4 = 28 แผน่ ใชแ้ ผน่ ไมอ้ ย่างสัน้ 7 x 6 = 42 แผ่น ดงั นั้น จะต้องหาแผน่ ไม้อยา่ งยาวเพิ่ม 28 – 26 = 2 แผ่น และหาแผ่นไมอ้ ยา่ งสั้นเพมิ่ 42 – 33 = 9 แผน่ ฝกึ คดิ พิชติ คณิต PISA 31 สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

สเก็ตบอรด์ อรัญชอบสเก็ตบอร์ดมาก เขาไปร้านขายสเก็ตบอร์ดแห่งหนึ่งที่มีช่ือว่า “นักสเก็ต” เพื่อตรวจสอบราคา ที่ร้านน้ี ท่านสามารถซ้ือสเก็ตบอร์ดท่ีประกอบสำ�เร็จแล้ว หรือซ้ือ แผ่นกระดาน, ชุดล้อ 4 ล้อ, ชุดแกนล้อ 2 อัน และชุดอุปกรณ์ประกอบท่ีนำ�มาประกอบ สเกต็ บอรด์ ด้วยตวั เอง ราคาสินคา้ ในร้านเป็นดังน้ี ราคา (เซด) 82 หรือ 84 สินคา้ สเกต็ บอรด์ สำ�เร็จรปู แผน่ กระดาน 40, 60 หรือ 65 ชุดลอ้ 4 ล้อ 14 หรือ 36 ชุดแกนลอ้ 2 อนั 16 ชุดอุปกรณ์ (ตลบั ลกู ปืน, 10 หรือ 20 แผ่นยาง, สลกั เกลียวและนอ๊ ต) คำ�ถามท่ี 1 : สเกต็ บอรด์ ลักษณะเฉพาะของข้อสอบ ถา้ อรญั ต้องการประกอบสเกต็ บอร์ดดว้ ยตวั เอง เน้ือหา : ปรมิ าณ จงหาราคาตำ่�สดุ และสูงสุดของการซอื้ อุปกรณร์ า้ นนี้ แขนงวชิ า : จ�ำ นวน ราคาตำ�่ สุด : ..................................................เซด สถานการณ์ : ส่วนตัว/สว่ นบคุ คล ราคาสงู สดุ : ..................................................เซด สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ แบบของข้อสอบ : ตอบส้ันๆ คะแนนเต็ม ประเทศ % ตอบถกู ตอบถกู ทง้ั ราคาตำ่�สุด (80 เซด) และราคาสงู สุด (137 เซด) ญป่ี ุน่ 58.52 เกาหลี 77.89 ได้คะแนนบางสว่ น ฮอ่ งกง-จีน 74.23 มาเกา๊ -จนี 71.86 ตอบถูกราคาตำ�่ สุดอยา่ งเดยี ว (80 เซด) หรอื ไทย 32.38 ตอบถกู ราคาสูงสดุ อย่างเดยี ว (137 เซด) ไมม่ ีคะแนน ค�ำ ตอบอืน่ ๆ 32 ฝึก คดิ พิชติ คณิต PISA สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�ถามที่ 2 : สเก็ตบอร์ด ทางรา้ นเสนอแผน่ กระดานทีแ่ ตกตา่ งกันสามชนดิ ชุดลอ้ ต่างกันสองชุด และชุดอุปกรณ์ ตา่ งกันสองชดุ และมชี ุดแกนล้อเพียง 1 แบบ อรัญสามารถประกอบสเกต็ บอร์ดได้ตา่ งกนั ก่แี บบ 1. 6 2. 8 3. 10 คะแนนเตม็ 4. 12 ตอบ ขอ้ 4. 12 ไม่มีคะแนน ลกั ษณะเฉพาะของขอ้ สอบ ค�ำ ตอบอน่ื ๆ เนื้อหา : ปรมิ าณ แขนงวิชา : วยิ ุตคณติ สถานการณ์ : ส่วนตัว/สว่ นบคุ คล ประเทศ % ตอบถูก สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ ญีป่ ุ่น 66.99 แบบของข้อสอบ : เลอื กตอบ เกาหลี 65.04 ฮอ่ งกง-จนี 60.41 มาเก๊า-จนี 51.85 ไทย 20.89 คำ�ถามท่ี 3 : สเกต็ บอรด์ อรัญมีเงนิ 120 เซด สำ�หรบั ใชจ้ า่ ย และเขาตอ้ งการซอื้ ช้นิ ส่วนต่าง ๆ ของสเกต็ บอรด์ ทีม่ ีราคาแพง ทีส่ ุดเทา่ ทเ่ี ขาจะซอื้ ได้ อรญั จะต้องจา่ ยเงินเทา่ ไร ในการซือ้ ส่วนประกอบทง้ั 4 สว่ น ให้เตมิ ค�ำ ตอบลงใน ตารางด้านลา่ งน้ี สว่ นประกอบ จำ�นวนเงนิ (เซด) แผ่นไม้กระดาน คะแนนเต็ม ลอ้ ตอบ แผ่นไมก้ ระดาน 65 เซด, ล้อ 14 เซด แกนล้อ 16 เซด และชุดอุปกรณ์ 20 เซด แกนลอ้ ไม่มคำ�ีคตะอแบนอน่นื ๆ ชุดอปุ กรณ์ ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ % ตอบถกู เน้ือหา : ปริมาณ ญ่ีปนุ่ 53.57 แขนงวิชา : จำ�นวน เกาหลี 55.64 สถานการณ์ : สว่ นตวั /ส่วนบุคคล ฮ่องกง-จีน 61.96 สมรรถนะ : การเช่ือมโยง มาเก๊า-จีน 65.06 แบบของขอ้ สอบ : ตอบส้ันๆ ไทย 27.20 ฝึก คดิ พชิ ิตคณิต PISA 33 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะห์และแนวคดิ ในการแก้โจทยป์ ัญหา สถานการณโ์ จทย์ สถานการณ์โจทย์ข้อน้ี สอดคล้องกับสถานการณ์ในชีวิตจริงเกี่ยวกับสินค้าประเภท อปุ กรณท์ ม่ี จี �ำ หนา่ ยในทอ้ งตลาด เรามกั พบวา่ มที ง้ั อปุ กรณส์ �ำ เรจ็ รปู พรอ้ มใชง้ านไดเ้ ลย หรอื มชี ้ินสว่ นต่าง ๆ ของชดุ อปุ กรณ์ให้เลือกซอ้ื ตามคณุ ภาพและราคาที่แตกต่างกนั เพือ่ ใหผ้ ซู้ ื้อ น�ำ ไปประกอบดว้ ยตวั เอง ซ่ึงอาจได้คุณภาพทด่ี กี วา่ หรือได้ราคาท่ปี ระหยัดกว่า ปญั หาสเกต็ บอรด์ เปน็ สถานการณห์ นง่ึ ท่กี ำ�หนดเงอ่ื นไขใหน้ กั เรียนตอ้ งคิดวเิ คราะห์ ตรวจสอบราคาของสเกต็ บอรด์ ทปี่ ระกอบส�ำ เรจ็ แลว้ และราคาของชดุ อปุ กรณป์ ระกอบทนี่ �ำ มาประกอบด้วยตนเอง ชดุ อุปกรณป์ ระกอบทีน่ �ำ มาประกอบด้วยตนเองประกอบด้วย แผ่น กระดาน ชุดลอ้ 4 ลอ้ ชดุ ลอ้ 2 ลอ้ และชดุ อุปกรณท์ ่ีใช้ในการประกอบอีก 1 ชุด โดยสินค้า แ ตล่ ะอยโจ่าทงมยรี์ตา้อคงากใาหร้เใลหอื ้เกลซือ้อื กหซล้ือาชยุดรอาุปคากรณ์ประกอบท่ีประกอบด้วยตนเองซึ่งมีราคาตำ่�สุด และสงู สดุ และใหห้ าวา่ จะมแี บบตา่ ง ๆ ของการประกอบสเกต็ บอรด์ ดว้ ยตนเองทง้ั หมดกแี่ บบ ถ้าทางร้านเสนอแผ่นกระดานท่ีแตกต่างกันสามชนิด ชุดล้อต่างกันสองชนิดและชุดอุปกรณ์ ตา่ งกันสองชุด และมชี ุดแกนล้อเพยี ง 1 แบบ นอกจากนน้ั โจทยต์ ้องการใหห้ าวา่ จะซื้อชดุ อปุ กรณป์ ระกอบทม่ี รี าคาแพงทสี่ ดุ ภายในวงเงนิ 120 เซดไดอ้ ยา่ งไร ในการตอบค�ำ ถามแตล่ ะ ประเดน็ ของโจทย์ นกั เรยี นจะตอ้ งใชค้ วามรสู้ กึ เชงิ จ�ำ นวนประกอบกบั ทกั ษะและกระบวนการ ทางคณติ ศาสตรท์ ่เี หมาะสม ความร้ทู างคณิตศาสตรท์ ี่เกี่ยวขอ้ ง คแ ลวาว้ มใชรค้ทู้ 1วีน่.าคักมวเรรา้เูยี มรน่อืรตสู้งก้อกึ างเชรใชงิบจ้คว�ำอืกนจวำ�นนเวพนอ่ื เพตจิ็มาในรณกาารวหา่ สารว่ านคปารระวกมอตบ่ำ�ชสน้ิดุ แใดลระาสคงู าสตุด�่ำ ขสอดุ งหสรเอืกรต็ าบคอารส์ดงู สดุ 2. ความรเู้ รอื่ งการแจงนบั เหตกุ ารณท์ ง้ั หมดทเี่ กดิ ขนึ้ ไดต้ ามเงอื่ นไขของโจทยใ์ นขอ้ นม้ี ี สว่ นประกอบทตี่ อ้ งแจงนบั อยู่ 4 สว่ นทจี่ ะน�ำ มาประกอบสเกต็ บอรด์ ซง่ึ แตล่ ะสว่ นกม็ จี �ำ นวน ให้เลอื กแตกตา่ งกัน นกั เรยี นอาจใช้แผนภาพตน้ ไมห้ รอื แผนผงั ช่วยในการแจงนบั 3. การคิดวิเคราะหข์ อ้ มลู ความรู้สกึ เชงิ จำ�นวน และการเชื่อมโยงแนวคดิ จากคำ�ถามท่ี 1 น�ำ มาพิจารณารว่ มกนั เพอ่ื หาคำ�ตอบทีส่ อดคลอ้ งกบั เง่ือนไขทโี่ จทยต์ อ้ งการ คือ มเี งนิ 120 เซด และเขาต้องการซื้อชิน้ ส่วนตา่ ง ๆ ของสเกต็ บอรด์ ที่มีราคาแพงทส่ี ดุ ทเ่ี ขา จะซื้อได้ 34 ฝกึ คดิ พชิ ิตคณติ PISA สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคดิ ในการแก้โจทยป์ ญั หา คำ�คถ�ำ าถมาทมที่ 1ี่ 1 ถ้าอรญั ต้องการประกอบสเก็ตบอรด์ ดว้ ยตวั เอง จงหาราคาต�ำ่ สดุ และสูงสดุ ของการซอ้ื อปุ กรณร์ า้ นน้ี แนวคิด โจทย์ให้หาราคาตำ่�สดุ และสูงสดุ ของการซอื้ อปุ กรณ์รา้ นนี้ เพอ่ื ประกอบ สเกต็ บอร์ดด้วยตนเอง จากขอ้ มลู ทโ่ี จทยก์ �ำ หนดใหเ้ กย่ี วกบั ราคาของส่วนประกอบท่ีน�ำ มาประกอบ เปน็ สเก็ตบอร์ดเปน็ ดงั นี้ สว่ นประกอบ ราคา (เซด) แผ่นไม้กระดาน 40, 60 หรือ 65 ชุดลอ้ 4 ลอ้ ชุดแกนลอ้ 2 อนั 14 หรอื 36 ชุดอุปกรณ์ 16 10 หรอื 20 ทุกชน้ิ ร1าค. าโจตท�ำ่ ยสต์ดุ ้องการหาราคาต�ำ่ สุดในการประกอบสเกต็ บอรด์ กต็ อ้ งเลอื กส่วนประกอบ จะได้ ราคารวมของส่วนประกอบทั้งส่ีช้ิน เท่ากบั 40 + 14 + 16 + 10 = 80 เซด ดงั นน้ั อรญั จะไดส้ เกต็ บอรด์ ทีม่ ีราคาต่�ำ สดุ เท่ากบั 80 เซด 2. โจทยต์ ้องการหาราคาสูงสดุ ในการประกอบสเก็ตบอรด์ ก็ต้องเลือกสว่ นประกอบ ทุกชิ้นราคาสงู สุด จะได้ ราคารวมของสว่ นประกอบทัง้ ส่ีชิ้น เทา่ กับ 65 + 36 + 16 + 20 = 137 เซด ดังน้ัน อรัญจะได้สเก็ตบอรด์ ทีม่ รี าคาสงู สดุ เท่ากบั 137 เซด คำ�ถามท่ี 2 ทางร้านเสนอแผ่นกระดานท่ีแตกต่างกันสามชนิด ชุดล้อต่างกันสองชุด และชุดอุปกรณ์ต่างกันสองชุด และมีชุดแกนล้อเพียง 1 แบบ อรัญสามารถประกอบ สเกต็ บอรด์ ได้ต่างกันกแ่ี บบ แนวคดิ คำ�ถามน้ีนักเรียนไม่ต้องใช้ข้อมูลของราคาสเก็ตบอร์ดสำ�เร็จรูป และราคา ส่วนประกอบแต่ละชิ้นที่จะนำ�มาประกอบเป็นสเก็ตบอร์ด แต่จะใช้ข้อมูลเกี่ยวกับชนิดของ แต่ละสว่ นประกอบของสเก็ตบอร์ดเท่านน้ั โดยโจทยต์ อ้ งการหาสเก็ตบอรด์ แบบตา่ ง ๆ กนั ว่าจะได้กี่แบบ ซึ่งทางร้านเสนอแผ่นกระดานท่ีแตกต่างกัน 3 ชนิด ชุดล้อต่างกัน 2 ชุด และชดุ อุปกรณ์ต่างกัน 2 ชุด และมีชดุ แกนลอ้ เพียง 1 แบบ ฝกึ คดิ พชิ ิตคณิต PISA 35 สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

42 ไแมผ แ จมนงึผีผผไนลมังผใเตด่มนนังอังผี ด่ือกใเนจลนนงังาาํ้ีตน่ืกอจรนอ่แาี้างวจรจกจนแ�ำางชนแจนกุดงบวับชแนนบุดแกบัแตบแนแบากบลบงบนตอบตๆาลมต่าง้อีเงข่าพมๆงอๆียีเงๆขพงสขแอียเอขกงบงงอส็ตแบสงเบบเสเกกดอเบ็ต็ตกียรบเบต็วดดอบอทียรรอสวโ่ีดด์จรเกท์ดทเ็ตโี่สยรจบตเาเทรกสออาย็ตางรสต์มบกดาอ้าาอทมงรรราุกกถห์รดแาแาถทรบสแหุกบดสาแงกดบโ็ตงดโบอยดกงแยใ็ตผแช้อนผชงนภุดใภาชแพา้ชกพตุดนตนแล้นไกอมไนนมห ล้ีห้ร้อจอืรนึอืงี้ แผน กระดาน 1 ชดุ ลอ 1 ชุดอปุ กรณ 1 แบบที่ 1 (ด1) (ล1) (อ1) (ก ด1 ล1 อ1) ชดุ ลอ 2 (ล2) ชุดอุปกรณ 2 แบบที่ 2 (อ2) (ก ด1 ล1 อ2) ชดุ อปุ กรณ 1 แบบท่ี 3 (อ1) (ก ด1 ล2 อ1) ชุดอปุ กรณ 2 แบบท่ี 4 (อ2) (ก ด1 ล2 อ2) แกนลอ (ก) แผน กระดาน 2 ชดุ ลอ 1 ชุดอุปกรณ 1 แบบท่ี 5 (ด2) (ล1) (อ1) (ก ด2 ล1 อ1) ชุดลอ 2 (ล2) ชุดอุปกรณ 2 แบบท่ี 6 (อ2) (ก ด2 ล1 อ2) ชดุ อุปกรณ 1 แบบท่ี 7 (อ1) (ก ด2 ล2 อ1) ชุดอุปกรณ 2 แบบท่ี 8 (อ2) (ก ด2 ล2 อ2) ชดุ อุปกรณ 1 แบบที่ 9 ชุดลอ 1 (อ1) (ก ด3 ล1 อ1) (ล1) ชุดอุปกรณ 2 แบบที่ 10 (อ2) (ก ด3 ล1 อ2) แผนกระดาน 3 (ด3) ชุดอุปกรณ 1 แบบท่ี 11 ชดุ ลอ 2 (อ1) (ก ด3 ล2 อ1) (ล2) ชุดอุปกรณ 2 แบบท่ี 12 จากแผนภาพตนไมหรอื แผนผังขา งตน สามารถสรปุ ไดวา อรัญ(สอา2ม) ารถประ(กกอดบ3สเลก2ต็ บอ2อ)รดได ตา งกัน 12 แจบาบกแผนภาพต้นไม้หรือแผนผงั ข้างตน้ สามารถสรปุ ได้ว่าอรัญสามารถประกอบ สเกต็ บอรด์ ได้ต่างกนั 12 แบบ 36 ฝึก คิด พชิ ิตคณิต PISA สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

ค�ำ ถ ามท่ี 3 อรญั มีเงิน 120 เซด ส�ำ หรบั ใช้จา่ ย และเขาตอ้ งการซื้อชิ้นส่วนตา่ ง ๆ ของสเกต็ บอร์ดท่ีแพงทสี่ ุดเทา่ ทเ่ี ขาซอื้ ได้ อรญั จะตอ้ งจา่ ยเงนิ เท่าไรในการซอ้ื ส่วนประกอบ ทัง้ 4 สว่ น การแก้ปญั หาข้อนี้ต้องใชข้ อ้ มูลที่โจทย์กำ�หนดให้เก่ียวกับราคาของส่วนประกอบทน่ี �ำ มาประกอบสเก็ตบอร์ด ราคาสินค้าในร้านเปน็ ดังน้ี ส่วนประกอบ ราคา (เซด) แผ่นไม้กระดาน 40 , 60 หรอื 65 ชดุ ล้อ 4 ล้อ ชุดแกนล้อ 2 อัน 14 หรือ 36 16 ชดุ อุปกรณ์ 10 หรือ 20 โจทยข์ ้อนี้ได้ก�ำ หนดเงอ่ื นไขว่าอรัญจะตอ้ งเลือกซอื้ ส่วนประกอบตา่ ง ๆ ทีม่ รี าคาแพง ที่สดุ ภายใต้เง่อื นไขทก่ี �ำ หนด คอื ราคารวมตอ้ งไม่เกนิ 120 เซด จากขอ้ 1 หากเลอื กซอื้ สว่ นประกอบแตล่ ะชนดิ ทม่ี รี าคาแพงทส่ี ดุ จะตอ้ งใชเ้ งนิ ทงั้ หมด 137 เซด ซึง่ ราคาเกนิ เงอ่ื นไขทก่ี ำ�หนดอยู่ 17 เซด ดังนั้นอรญั จะต้องเลอื กซ้ือส่วนประกอบ บางชนิดทม่ี รี าคาตำ�่ ลงมาอย่างน้อย 17 เซด โดยเรม่ิ จากซอื้ แผน่ กระดานในราคาสงู สดุ คอื 65 เซด กอ่ นแลว้ ลดราคาสว่ นประกอบ อื่นอกี 2 แบบดังนี้ แบบท่ี แ12ลเะลเเลือลือกือกซกซ้อืซ้ือแ้ือแผชผ่นุดน่กอกรุปะรกะดรดาณนา์ในในนใรนราารคคาาคาทสาตี่สูงส�ำู่งลสุดงดุคคคืออื อื 615605เซเซดเซดดชจดุ เะลลไือ้อดกร้ราซาคคื้อาาชร3ุดว6ลม้อเซรด1า2คแ7ากตน�่ำเซลลดอ้ง ราคา 16 เซด แบบที่ คือ 14 เซด สว่ นแกนลอ้ ราคา 16 เซด และชดุ อุปกรณร์ าคา 20 เซตเท่าเดมิ จะได้ราคารวม 115 เซด แต่อรัญมีเงิน 120 เซตเขาอาจเลือกซ้ือแผ่นกระดานในราคาทตี่ ำ่�ลงมาคือ 60 เซด แลว้ เลือกส่วนประกอบอน่ื ไดอ้ กี 2 แบบดงั น้ี แบบท่ี 3 เลอื กซอ้ื แผน่ กระดานในราคาทต่ี ำ่�ลงมาราคา 60 เซด ชดุ ลอ้ ราคา 36 เซด แกนลอ้ ราคา 16 เซด และเลอื กซอ้ื ชดุ อปุ กรณใ์ นราคาทต่ี �ำ่ ลงคอื 10 เซดจะไดร้ าคารวม 122 เซด แบบที่ 4 เลอื กซ้อื แผ่นกระดานในราคาทต่ำ�ลงมาราคา 60 เซด ชุดล้อราคาต่�ำ ลงมา คือ 14 เซด แกนล้อราคา 16 เซด และเลอื กซอื้ ชุดอุปกรณใ์ นราคา 20 เซด จะไดร้ าคารวม 110 เซด ฝึก คดิ พชิ ติ คณติ PISA 37 สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

รายละเอียดของทงั้ 4 แบบ แสดงไดด้ ังตารางตอ่ ไปนี้ สว่ นประกอบ จำ�นวนเงิน (เซด) แผ่นไมก้ ระดาน แบบที่ 1 แบบท่ี 2 แบบที่ 3 แบบท่ี 4 ลอ้ 65 60 แกนลอ้ 36 65 60 14 ชดุ อปุ กรณ์ 16 16 10 14 36 20 รวมราคา 127 110 16 16 20 10 115 122 เมอื่ พิจารณาเงอื่ นไขทีก่ �ำ หนดให้กับตารางขา้ งตน้ พบว่าแบบท่ี 2 เปน็ แบบที่ ตรงกับเงอ่ื นไขของโจทย์มากท่ีสุด ดงั นั้น คำ�ตอบเปน็ ดงั ตาราง สว่ นประกอบ จำ�นวนเงนิ (เซด) แผน่ ไม้กระดาน 65 ลอ้ 14 แกนล้อ 16 ชดุ อุปกรณ์ 20 115 รวมราคา ดงั น้ัน อรญั จะต้องจ่ายเงนิ ซื้อส่วนประกอบเปน็ เงิน 115 เซด 38 ฝกึ คดิ พชิ ิตคณิต PISA สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

ข้อสังเกต/ข้อเสนอแนะ 1. ในการตอบค�ำ ถามที่ 1 นักเรียนไทยตอบถกู 32.30 เปอรเ์ ซน็ ต์ ของจำ�นวน นักเรียนไทยท่ีเข้าสอบ ซ่ึงน้อยกว่าประเทศอื่น ๆ เช่นนักเรียนประเทศญี่ปุ่นตอบถูก 58.52 เปอรเ์ ซน็ ต์ ของจ�ำ นวนนกั เรยี นญป่ี นุ่ ทเ่ี ขา้ สอบ นกั เรยี นประเทศจนี -มาเกา๊ จนี -ฮอ่ งกง และเกาหลีตอบถูกมากกว่า 70 เปอร์เซ็นต์ของจำ�นวนนักเรียนท่ีเข้าสอบของแต่ละ ประเทศ ทง้ั นี้อาจเป็นเพราะนักเรยี นไทยไมค่ นุ้ เคยกับสเก็ตบอร์ดว่าจะต้องประกอบดว้ ย 4 สว่ นทนี่ �ำ มาประกอบเปน็ สเกต็ บอรด์ หรอื ไมค่ นุ้ เคยกบั โจทยป์ ญั หาทใี่ หข้ อ้ มลู มามากกวา่ สิ่งที่ต้องใช้ในการหาคำ�ตอบ คือให้ราคาสเก็ตบอร์ดสำ�เร็จรูปมาด้วย อาจเป็นไปได้ว่า นกั เรียนไทยยังขาดทกั ษะการอา่ น วิเคราะห์ แยกแยะข้อมลู ว่าข้อมูลสว่ นไหนไม่ต้องใช้ ในการหาค�ำ ตอบ และสว่ นไหนเปน็ ขอ้ มลู ทน่ี �ำ มาใชใ้ นการหาค�ำ ตอบตามเงอ่ื นไขของโจทย์ ใรนาคกาารตห่�ำ สาคุดำ�คตวอรบจขะอเงลคือำ�กถซาื้อมอนุปี้ หกราณกน์แักตเ่ลรียะนชในชิด้คใวนารมารคู้สาึกทเชี่ติง่ำ�จสำ�ุดนวจนึงจจะะไดพ้รบาวค่าาถร้าวตม้อตง่ำ�กสาุดร ในทำ�นองเดยี วกันการเลือกซื้ออปุ กรณแ์ ตล่ ะชนดิ ในราคาสงู สุด จะได้ราคารวมสูงสดุ 2. จากคะแนนสอบของนักเรียนไทยในคำ�ถามท่ี 2 พบว่านักเรียนสามารถทำ� คะแนนไดน้ อ้ ยมากเมอื่ เทยี บกบั ประเทศอน่ื ๆ คอื ได้ 20.89 เปอรเ์ ซน็ ต์ ของจ�ำ นวนนกั เรยี น ไทยทเี่ ข้าสอบ ซงึ่ ประเทศอนื่ ๆ เช่น นักเรยี นประเทศจนี -มาเกา๊ จีน-ฮ่องกง เกาหลีและ ญี่ปุ่นตอบถูกมากกว่า 50 เปอร์เซ็นต์ของจำ�นวนนักเรียนที่เข้าสอบของแต่ละประเทศ ซงึ่ อาจเปน็ เพราะนกั เรยี นไมท่ ราบว่าจะใช้วธิ ีการใดมาแจงนับชุดของอปุ กรณ์ตา่ ง ๆ ท่นี �ำ มาประกอบเปน็ สเกต็ บอรด์ ใหไ้ ดแ้ บบแตกตา่ งกนั ใหไ้ ดค้ รบทกุ กรณี ในการตอบค�ำ ถามขอ้ นน้ี ักเรียนสามารถใช้แผนภาพต้นไม้ หรอื ตารางชว่ ยในการแจงนับได้ เพ่ือให้นักเรยี นมี ประสบการณ์ในเรอ่ื งนี้ ครูควรจะยกตวั อยา่ ง สถานการณห์ รอื โจทย์ปญั หาทตี่ อ้ งใช้วธิ ีการ แจงนบั ในลกั ษณะทคี่ ลา้ ย ๆ กนั น้ี เช่น การเลือกซ้ืออาหารเป็นชุด ซ่ึงประกอบด้วยข้าวสวย กับข้าวสองอย่าง และขนม หวานหนึ่งอยา่ ง โดยรา้ นนม้ี อี าหารคาวใหเ้ ลอื กหา้ ชนิด และขนมหวานอีกส่ชี นิด การแต่งตัวโดยกำ�หนดให้นิวมีเสื้อสี่ตัวแตกต่างกัน กางเกงสามตัวแตกต่างกัน รองเทา้ สองค่แู ตกตา่ งกัน และถุงเท้าส่ีคแู่ ตกต่างกนั อยากทราบว่านวิ จะสามารถแตง่ ตัว โดยใชเ้ สือ้ กางเกง รองเทา้ และถุงเทา้ ทมี่ ีนใี้ ห้ได้แบบต่าง ๆ กันทงั้ หมดก่ีวธิ ี ครูอาจให้นักเรียนวิเคราะห์ว่ามีแนวทางในการหาคำ�ตอบสถานการณ์ท้ังสอง อยา่ งไร โดยใหน้ ักเรียนรว่ มกนั อภปิ รายถงึ เหตุผลของการเลอื กใช้วธิ ีนน้ั ในการหาคำ�ตอบ ฝึก คิด พชิ ติ คณิต PISA 39 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.)

3. สำ�หรบั ค�ำ ถามท่ี 3 นกั เรียนไทยตอบถกู 27.20 เปอรเ์ ซ็นต์ของจ�ำ นวนนักเรยี น ไทยที่เขา้ สอบ ซงึ่ นอ้ ยกว่าประเทศอื่น ๆ เชน่ นกั เรยี นประเทศญ่ีป่นุ และเกาหลี ตอบถกู มากกวา่ 50 เปอร์เซ็นต์ ของจ�ำ นวนนกั เรยี นที่เข้าสอบของแตล่ ะประเทศ และนักเรียน ประเทศจนี -มาเกา๊ จนี -ฮอ่ งกง ตอบถกู มากกวา่ 60 เปอรเ์ ซน็ ตข์ องจำ�นวนนักเรยี นท่ี เขา้ สอบของแตล่ ะประเทศ คำ�ถามนีม้ ีเง่ือนไขทีน่ กั เรียนต้องใช้ในการหาคำ�ตอบ คอื มเี งนิ 120 เซด ส�ำ หรับซือ้ ชนิ้ ส่วนต่าง ๆ ของสเกต็ บอร์ดท่ีแพงที่สุดเทา่ ทีเ่ ขาซือ้ ได้ นกั เรียน จะตอ้ งใชค้ วามรู้สกึ เชิงจำ�นวน รวมท้ังทักษะการคิดวเิ คราะห์-สังเคราะห์ ประกอบกันใน การพิจารณาหาค�ำ ตอบอยา่ งรอบคอบ ครคู วรใหน้ ักเรียนไดฝ้ กึ ทำ�โจทย์ลักษณะค�ำ ถามท่ี 3 ให้มากขึ้น เพื่อใหน้ ักเรียนได้ พฒั นาทกั ษะและกระบวนการในการเชอื่ มโยงขอ้ มลู ตา่ ง ๆ เพอ่ื หาค�ำ ตอบทเ่ี ปน็ ไปได้ และ สอดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขมากกวา่ หนง่ึ เงอื่ นไข ตวั อยา่ งเชน่ ครอู าจใชโ้ จทยข์ อ้ นฝี้ กึ นกั เรยี นโดย ปรบั ค�ำ ถามใหม่ดังน้ี วิชิตมเี งนิ 125 เซด สำ�หรบั ใช้จ่าย และเขาตอ้ งการซื้อชน้ิ ส่วนต่าง ๆ ของสเกต็ บอร์ดทแ่ี พงทสี่ ุดเท่าทเี่ ขาซือ้ ได้ วิชติ จะต้องจา่ ยเงินเท่าไร นอกจากนั้นครูอาจสร้างสถานการณ์ที่คล้ายกันฝึกให้นักเรียนทำ�ดังตัวอย่าง รา้ นอาหารแหง่ หน่ึงมรี ายการอาหารดงั ตาราง รายการอาหาร ราคา (บาท) ข้าวหน้าหมูทอด / ข้าวหนา้ ไกย่ า่ ง 109/119 139/129 ข้าวหน้ากุ้ง / ราเมนผดั ข้ีเมาหมู 25 มิโซซปุ 75 ปอู ัดซาซิมิ 319 ชุดท่ี 1 : ขา้ วหนา้ หมูทอด ขา้ วหน้าก้งุ 329 ปอู ดั ซาซมิ ิ แถมมิโซซุป 1 ชาม ชุดท่ี 2 : ขา้ วหน้าไกย่ ่าง ราเมนผัดขี้เมาหมู ปอู ัดซาซมิ ิ แถมมโิ ซซปุ 2 ชาม 40 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คำ�คถำ�าถมาทมี่ท1่ี 1 ถ้าครอบครัวหนึ่ง พ่อ แม่ และลูก รวม 3 คน ต้องการสั่งอาหารโดย แต่ละคนจะต้องทานข้าวหรือราเมนหน่ึงจาน มิโซซุป 1 ชาม ส่วนปูอัดซาซิมิส่ังมาทาน ดว้ ยกัน 1 ที่ เขาควรสั่งอาหารอยา่ งไรจึงจะประหยดั ทีส่ ดุ แนวคดิ เนอื่ งจากครอบครัวน้ีมีจำ�นวน 3 คนต้องการส่ังอาหารอยา่ งประหยัดทสี่ ุด โดยแตล่ ะคนจะตอ้ งทานขา้ วหรือราเมนจ�ำ นวน 1 จาน มิโซซุป 1 ชาม สว่ นปูอดั ซาซิมิสั่ง มาทานด้วยกัน 1 ที่ จากเง่ือนไขของโจทย์ตอ้ งการประหยัดจึงควรสง่ั อาหารชดุ จำ�นวน 1 ชดุ กอ่ นเพราะถา้ ไมส่ ง่ั เปน็ ชดุ จะท�ำ ใหร้ าคาแพงกวา่ (นกั เรยี นควรตรวจสอบดว้ ย) แลว้ สง่ั เพ่มิ ใหค้ รบตามที่โจทย์ตอ้ งการซึ่งทดลองสงั่ ได้ 2 แบบดังน้ี แบบท่ี 1 สง่ั อาหารชดุ ท่ี 1 มขี า้ วหนา้ หมทู อด ขา้ วหนา้ กุ้ง ปูอดั ซาซมิ ิ 1 ท่แี ละมิโซซุป 1 ชามราคา 319 บาท ตอ้ งสง่ั ขา้ วเพม่ิ อกี 1 จานขา้ วราคาถกู สดุ คอื ขา้ วหมทู อด ราคา 109 บาท และมโิ ซซปุ อกี จ�ำ นวน 2 ชามราคารวม 50 บาท รวมเปน็ เงนิ เทา่ กบั 319 + 109 + 50 = 478 บาท แบบท่ี 2 ส่ังอาหารชุดท่ี 2 มขี ้าวหนา้ ไก่ยา่ ง ราเมนผดั ขเี้ มาหมู ปูอดั ซาซมิ ิ และมิโซ ซุป 2 ชาม ราคา 329 บาท ซง่ึ ตอ้ งสั่งขา้ วหน้าหมูทอดอกี 1 จาน ราคา 109 บาท และ มิโซซปุ อกี 1 ชามราคา 25 บาท รวมเปน็ เงนิ 463 บาท ดังน้นั เขาควรส่งั ชดุ ท่ี 2 จำ�นวนหนง่ึ ชุด สั่งข้าวหน้าหมทู อดเพม่ิ อกี 1 จาน และมิโซซปุ อกี 1 ชาม รวมเปน็ เงิน 463 บาท ค�ำ ถามท่ี 2 ถ้าคนกลุ่มหนึ่งจำ�นวน 5 คน มีคนหน่ึงไม่ทานกุ้ง อีกคนหน่ึงไม่ทานเผ็ด ต้องการส่ังอาหารทานด้วยกันโดยแต่ละคนจะต้องทานข้าวหรือราเมนหน่ึงจาน มิโซซุป 1 ชาม ส่วนปูอดั ซาซมิ สิ ่ังมาทานดว้ ยกนั 3 ที่ เขาควรสัง่ อาหารอย่างไรจึงจะประหยัดทส่ี ุด แนวคิด คนกล่มุ นจี้ ำ�นวน 5 คน ต้องการส่งั อาหารอยา่ งประหยัดที่สดุ โดยมีคน หน่ึงไมท่ านกุ้ง อกี คนหนึง่ ไมท่ านเผด็ ต้องการสงั่ อาหารทานดว้ ยกันโดยแต่ละคน จะตอ้ ง ทานข้าวหรือราเมนหน่งึ จาน มโิ ซซุป 1 ชาม ส่วนปอู ดั ซาซิมสิ ่งั มาทานดว้ ยกนั 3 ที่ จากเง่ือนไขขา้ งตน้ ตอ้ งการประหยัดจงึ ควรสง่ั อาหารชุดก่อน ซึ่งแจกได้ 3 แบบดังตาราง แบบท่ี ราคา ราคา ราคาข้าว ราคาปอู ัด ราคา รวม ชุดท่ี 1 ชดุ ที่ 2 หน้าหมทู อด ซาซมิ ิ มิโซซปุ เปน็ เงนิ 1 319 x 2 - 109 75 25 x 3 897 75 25 867 2 - 329 x 2 109 75 25 x 2 882 3 319 329 109 จากตารางจะได้ว่าต้องซ้ือชุดที่ 2 จำ�นวน 2 ชุด และส่งั เพม่ิ อีกสามอย่างคือข้าว หนา้ หมูทอดจำ�นวน 1 จาน ปอู ัดซาซิมิ 1 ที่ และมโิ ซซุป 1 ชาม รวมเป็นเงนิ 867 บาท ฝึก คดิ พชิ ิตคณิต PISA 41 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

คค�ำ �ำ ถถาามมทท่ี ี่33 ถา้ พนกั งานบรษิ ทั หนง่ึ จ�ำ นวน 6 คน มเี งนิ รางวลั จ�ำ นวน 1,200 บาท ทกุ คน ต้องการสั่งอาหารทานด้วยกันโดยแต่ละคนจะต้องทานข้าวหรือราเมนหน่ึงจานมิโซซุป 1 ชาม และปูอัดซาซิมิอกี 1 ที่ ซง่ึ มีสองคนขอทานข้าวหนา้ กุ้ง อกี คนหนง่ึ ขอทานราเมน ผดั ขเี้ มาหมู และคนหนงึ่ ไมท่ านปอู ดั เขาควรสงั่ อาหารอยา่ งไรจงึ จะถกู ใจทกุ คนและใชเ้ งนิ ให้มากที่สุดจากเงนิ รางวัลทีไ่ ด้ แนวคดิ เนอ่ื งจากตอ้ งการสง่ั อาหารทานดว้ ยกนั จ�ำ นวน 6 คน โดยแตล่ ะคนจะตอ้ ง ทานข้าวหรือราเมนหน่งึ จาน มโิ ซซปุ 1 ชาม และปูอัดซาซิมอิ ีก 1 ที่ ซง่ึ มสี องคนขอทาน ข้าวหนา้ กุ้ง อีกคนหนง่ึ ขอทานราเมนผัดขีเ้ มาหมู และคนหนึ่งไมท่ านปอู ดั ชุดท่ี 1 : ขา้ วหน้าหมทู อด ขา้ วหนา้ กงุ้ ปูอดั ซาซมิ ิ แถมมิโซซปุ 1 ชาม ชุดท่ี 2 : ข้าวหน้าไก่ยา่ ง ราเมนผดั ข้เี มาหมู ปอู ดั ซาซมิ ิ แถมมิโซซปุ 2 ชาม จากเง่อื นไขขา้ งตน้ มีเงนิ รางวัลจำ�นวน 1,200 บาท อาจสง่ั อาหารได้ 2 แบบ ดงั ตาราง แบบที่ ราคา ราคา ราคาขา้ ว ราคาปูอดั ราคา รวม ชุดท่ี 1 ชุดท่ี 2 หน้าหมทู อด ซาซิมิ มโิ ซซุป เป็นเงนิ 329 - 75 x 2 25 x 2 1,167 1 319 x 2 329 109 + 139 75 x 3 25 x 3 1,196 2 319 จากตารางเขาควรสั่งแบบที่ 2 ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั เงือ่ นไขท่ตี อ้ งใชเ้ งนิ มากที่สดุ ดงั นน้ั เขาควรส่งั อาหารชุดท่ี 1 และชดุ ท่ี 2 อย่างละชดุ ขา้ วหน้ากุ้งและ ขา้ วหนา้ หมทู อดอกี อยา่ งละ 1 จาน ปูอดั ซาซิมิ 3 จานและมิโซซปุ อกี 3 ชาม รวมเป็น เงิน 1,196 บาท จากตัวอย่างสถานการณ์โจทย์ข้างต้นครูอาจให้นักเรียนทำ�งานกลุ่ม แล้วให้ นกั เรยี นนำ�ผลงานมานำ�เสนอแลกเปลี่ยนเรยี นรู้กนั 42 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

บันได แผนผงั ข้างล่างแสดง บันได 14 ข้ัน และความสงู ทั้งหมด 252 เซนติเมตร ความสูงท้ังหมด 252 เซนติเมตร ความลกึ ทัง้ หมด 400 เซนตเิ มตร คำ�ถามที่ 1: บันได คะแนนเต็ม ความสงู แต่ละขนั้ ของบันได 14 ข้ัน เปน็ เทา่ ใด ตอบ 18 เซนตเิ มตร ความสงู : .................................................เซนตเิ มตร ไมม่ ีคะแนน ลกั ษณะเฉพาะของข้อสอบ ประเทศ คำ�ตอบอ่ืนๆ เนือ้ หา : ปรภิ ูมแิ ละรปู ทรง ญปี่ ุ่น % ตอบถกู แขนงวิชา : - เกาหลี 80.73 สถานการณ์ : ปริภูมแิ ละรูปทรง ฮอ่ งกง-จีน 80.68 สมรรถนะ : การทำ�ใหม่ มาเกา๊ -จีน 86.54 แบบของขอ้ สอบ : สรา้ งค�ำ ตอบแบบปิด ไทย 88.60 52.19 ฝึก คดิ พิชิตคณิต PISA 43 สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

การวิเคราะห์และแนวคิดในการแกโ้ จทยป์ ญั หา สถานการณ์โจทย์ โจทย์กำ�หนดแผนผังแสดงบันได 14 ขั้น มีความสูงและความลึกทั้งหมดเป็น 252 เซนตเิ มตร และ 400 เซนตเิ มตร ตามลำ�ดบั แล้วใหห้ าความสูงแต่ละขน้ั ของบนั ได สถานการณน์ ีม้ ีเจตนาให้นักเรียนวิเคราะห์รปู เรขาคณติ สองมติ ทิ ่เี ปน็ แบบจ�ำ ลอง ทางเรขาคณิตของขั้นบันได ซึ่งแผนผงั ไดแ้ สดงให้เห็นวา่ ขัน้ บนั ไดทุกข้ันสงู เท่ากัน ความรทู้ างคณติ ศาสตร์ที่เกีย่ วข้อง ในการแก้โจทย์ปัญหาต้องใช้ความรู้เก่ียวกับรูปเรขาคณิตและความรู้สึกเชิงปริภูมิ โดยเฉพาะความสามารถในการรับรู้เก่ียวกับความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ในปริภูมิ การใช้ จินตนาการและการนึกภาพ ประกอบความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับส่วนของรูปเรขาคณิตท่ีหักมุม เป็นมมุ ฉากตามแนวดิ่งและแนวนอน ความยาวรอบรปู จะเป็นเช่นเดียวกบั ความยาวรอบรปู ของรูปสีเ่ หล่ยี มมมุ ฉากทสี่ อดคลอ้ งกนั ดงั ตัวอย่าง D EC G B F IH A ความยาวรอบรปู ของรปู ABCEFGHI เทา่ กับความยาวรอบรูปของรูป ABCD ทั้งน้เี พราะว่า EF + GH = DI และ FG + HI = ED 44 ฝึก คดิ พิชิตคณติ PISA สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)

แนวคิดในการแกโ้ จทย์ปัญหา ค�ำคถ�ำ าถมาทมี่ท1ี่ 1 ความสูงแตล่ ะข้ันของบันได 14 ข้นั เป็นเท่าใด แนวคดิ เมื่อพิจารณาแผนผังที่โจทย์กำ�หนดให้ ถ้านักเรียนมีความสามารถในการ นึกภาพที่รับรู้เก่ียวกับความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ในปริภูมิอย่างถูกต้อง ก็จะมองเห็นว่า ความสงู ของบนั ไดทงั้ 14 ขน้ั รวมกนั จะเทา่ กบั ความสงู ทง้ั หมด 252 เซนตเิ มตร และขน้ั บนั ได สงู เทา่ กันทกุ ข้นั ดงั รูป ความสูงท้งั หมด 252 เซนตเิ มตร ความลึกทง้ั หมด 400 เซนตเิ มตร ดังนัน้ ความสงู แต่ละขน้ั ของบันได เป็น 2_1542 = 18 เซนติเมตร ขอ้ สังเกต/ข้อเสนอแนะ 1. ถ้านกั เรยี นไมส่ ามารถนกึ ภาพเหน็ ความสมั พันธ์ระหวา่ งความสงู ของบนั ได 14 ขนั้ กับความสูงท้ังหมด 252 เซนติเมตร ตามที่โจทย์กำ�หนด วิธีท่ีจะช่วยให้เห็นความสัมพันธ์ ข้างตน้ ไดง้ ่ายข้นึ ครูอาจใชว้ ิธีเขียนแผนผังแสดงบันไดในลกั ษณะเดียวกบั สถานการณ์โจทย์ แตล่ ดจ�ำ นวนชน้ั และความสงู ทง้ั หมดลง เชน่ เขยี นแผนผงั แสดงบนั ได 3 ขน้ั หรอื 4 ขน้ั โดยมี ความสงู ท้งั หมดเป็น 60 เซนติเมตร และเปน็ 72 เซนติเมตร ตามลำ�ดับ ดงั รูป 60 ซม. 72 ซม. รปู ท่ี 1 รูปที่ 2 ฝึก คิด พชิ ิตคณติ PISA 45 สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)