บทท่ี 3 กราฟและความสมั พนั ธ์เชิงเส้น 3.1 คอู่ นั ดบั และกราฟของคูอ่ ันดบั ค่อู นั ดับ สญั ลกั ษณ (a, b) เมื่อ a และ b แทนจำนวนใด ๆ ในที่นจ่ี ะเรียกวา คอู ันดบั (ordered pair) อานวา “คอู นั ดบั เอ บ”ี โดยที่มี a เปน สมาชิกตัวทีห่ นงึ่ ของคูอันดับ และ b เปนสมาชิกตัวทีส่ องของคูอนั ดับ เชน (1, 2) อา นวา “คอู นั ดับ หนง่ึ สอง” โดยมี 1 เปน สมาชกิ ตวั ที่หน่ึงของคูอันดบั และมี 2 เปน สมาชกิ ตัวทส่ี องของคอู ันดบั ตัวอยางท่ี 1 กำหนดตารางแสดงความสมั พันธระหวางจำนวนดนิ สอกับราคาดินสอ ดังนี้ จำนวนดินสอ(แทง) 1 234 5 ราคา(บาท) 8 16 24 32 40 จากตาราง 1) จงเขียนแผนภาพแสดงการจับคูระหวางจำนวนดินสอกับราคาของดินสอ วธิ ีทำ แผนภาพแสดงไดดงั น้ี จำนวนดนิ สอ (แทง) ราคาดนิ สอ (บาท) 18 2 16 3 24 4 32 5 40 By Kru Potjanat ~ 1 ~
2) จงเขียนคอู ันดับทงั้ หมด โดยใหสมาชิกตัวท่ีหนึง่ เปนจำนวนดนิ สอ และสมาชิกตวั ทีส่ องเปนราคาดนิ สอ พรอ มเขียนการอา นชื่อคอู นั ดบั ทุกคู วิธีทำ เขียนคูอ ันดบั ไดดงั นี้ (1, 8) อานวา คอู นั ดบั หน่ึง แปด (2, 16) อา นวา คอู นั ดบั สอง สิบหก (3, 24) อานวา คอู ันดบั สาม ยส่ี ิบส่ี (4, 32) อานวา คอู นั ดับ สี่ สามสบิ สอง (5, 40) อา นวา คูอนั ดบั หา สี่สิบ 3) (3 , 24) มีความหมายวาอยางไร วธิ ที ำ (3 , 24) หมายถึง ดินสอ 3 แทง ราคา 24 บาท 4) นักเรียนคดิ วา ถาซ้ือดินสอ 10 แทงตองจา ยเงินทั้งหมดกี่บาท วิธีทำ จาก (1, 8) หมายถงึ ดินสอ 1 แทงราคา 8 บาท แสดงวา ดินสอ 10 แทง ราคา 80 บาท 5) ถา มีเงิน 300 บาท จะซ้ือดินสอไดม ากที่สุดก่แี ทง และเหลอื เงินกบี่ าท วิธที ำ ถามีเงนิ 300 บาทจะซือ้ ดินสอไดมากทสี่ ุด 37 แทง ซึง่ คดิ เปน เงนิ 37×8 = 296 ดงั นนั้ จะเหลือเงนิ เทากบั 300 – 296 = 4 บาท By Kru Potjanat ~ 2 ~
แบบฝึกหดั ท่ี 1 1. จงเขยี นคูอนั ดบั จากแผนภาพที่กำหนดให โดยใหสมาชิกตวั ที่หนึง่ แทนสมาชกิ กลมุ ท่ี 1 และ สมาชิก ตัวทีส่ องแทนสมาชิกกลมุ ที่ 2 (1) กลมุ ท่ี 1 กลุมท่ี 2 โรงเรยี น ครู โรงพยาบาล พระสงค์ ตาํ รวจ โรงพกั แพทย์ วดั คอู นั ดับท่ีได คือ ...................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) กลุมที่ 1 กลุมท่ี 2 1 9 2 16 3 4 4 1 คูอนั ดบั ทไ่ี ด คือ ...................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 3 ~
2. จากคูอ นั ดบั ที่กำหนดให จงเขียนแผนภาพแสดงความสมั พันธข องคูอนั ดับ (1) (ไทย, TH) , (องั กฤษ, EN) , (สเปน, SP) และ (เกาหล,ี KP) (2) (ดนิ สอ, ยางลบ) , (ปากกา, นำ้ ยาลบคำผดิ ) , (กระดาษ, สมดุ ) , (โตะ, เกาอี้) และ (แจกัน, ดอกไม) 3. จากตารางแสดงความสมั พันธร ะหวา งเวลาท่เี ปดกอกนำ้ (ช่วั โมง) กบั ปรมิ าณน้ำที่ไหลออก (ลิตร) ดงั นี้ เวลาน้ำทีเ่ ปด กอกน้ำ (ชว่ั โมง) 1 2 3 4 ปริมาณน้ำทไี่ หลออก (ลติ ร) 0.2 0.4 0.6 0.8 จงเขียนคอู ันดบั ทง้ั หมด โดยใหสมาชกิ ตัวท่ีหนง่ึ แทนเวลาทีเ่ ปดกอ กนำ้ (ชว่ั โมง) และสมาชกิ ตัวทส่ี อง แทนปรมิ าณน้ำที่ไหลออก (ลติ ร) ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 4 ~
กราฟของค่อู ันดบั ในการใชก ราฟแสดงความสมั พนั ธ เราเขยี นเสนจำนวนในแนวนอนและแนวต้ังใหตดั กนั เปนมุมฉาก ทต่ี ำแหนงของจดุ ที่แทนศนู ย( O) บนเสนจำนวนแตละเสน จุดท่เี สน จำนวนทั้งสองตดั กนั เรียกวา จุดกำเนดิ (origin) แทนดวย O เสน จำนวนในแนวนอน เรยี กวา แกน X (horizontal axis) หรอื แกน X และเสน จำนวนในแนวตง้ั เรยี กวา แกนตงั้ (vertical axis) หรอื แกน Y แกน X และ แกน Y อยูบ นระนาบเดยี วกันและแบงระนาบออกเปน สี่สว น เรยี กแตล ะสวนวา จตภุ าค (quadrant) โดยกำหนดใหเ ปนจตุภาคที่ 1 จตภุ าคที่ 2 จตุภาค 3 และจตุภาคท่ี 4 แกน Y จตุภาคที่ 2 จตุภาคที่ 1 จดุ กำเนดิ แกน X จตุภาคที่ 3 จตภุ าคท่ี 4 ระบบท่แี สดงตำแหนงของจดุ ตาง ๆ บนระนาบดงั กลาวนี้ เรียกวา ระบบพกิ ัดฉาก คอู นั ดับแตละคู อันดับแทนไดด ว ยจุดบนระนาบ เรียกจดุ นว้ี า กราฟของคูอ นั ดับ โดยทัว่ ไปเราเขยี นคูอันดับใด ๆ ในรูป (x, y) เมื่อ x แทนจำนวนที่อยบู นแกน X และ y แทนจำนวนท่ีอยบู นแกน Y ถา P เปนจดุ จุดหนง่ึ บนระนาบทีเ่ ปนกราฟของ (x, y) จะกลาววา จดุ P มีพกิ ดั เปน (x, y) โดย x เปนพิกดั ทีห่ นงึ่ และ y เปนพกิ ัดท่ีสอง และอาจเขียนแทนพิกัดของจดุ P ดวย P(x, y) เชน ถาจุด P มีพิกัด เปน (2, –3) อาจเขยี นแทนดว ย P(2, –3) By Kru Potjanat ~ 5 ~
ตวั อยางที่ 1 จงเขียนกราฟของ (–3, 2) บนระนาบ วธิ ที ำ กราฟของ (–3, 2) เปน จดุ ท่ไี ดจากการลากเสนตรงใหตงั้ ฉากกับแกน X ทีต่ ำแหนง –3 ไปตัดกบั เสนตรงท่ีลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหนงของ 2 จุดน้ีจะอยูใ นจตุภาคที่ 2 ดงั รปู ตัวอยา งที่ 2 จงเขียนกราฟของ ( 4 , –1) บนระนาบ วิธที ำ กราฟของ (4, –1) เปนจุดทีไ่ ดจากการลากเสน ตรงใหต ัง้ ฉากกับแกน X ท่ตี ำแหนง 4 ไปตดั กับเสนตรง ท่ีลากตงั้ ฉากกบั แกน Y ที่ตำแหนง ของ –1 จดุ นี้จะอยใู นจตุภาคที่ 4 ดังรูป By Kru Potjanat ~ 6 ~
ตวั อยางท่ี 3 จงเขียนกราฟของคูอ นั ดับตอไปนี้บนระนาบ (0, 0) , (–3, 0) , (3, 5) , (2, –4) , (–3, –3) , (–6, 1) และ (0, 4) วิธที ำ เขียนกราฟของคูอนั ดบั ทกี่ ำหนดใหบนระนาบไดดังน้ี Y 4 (0, 4) (3, 5) (–6, 1) 2 4 6 X (–3, 0) (0, 0) –6 –4 –2 02 –2 (–3, –3) –4 (2, –4) ในกรณที ่ีจุดหนง่ึ อยูบนแกน X หรอื บนแกน Y ถือวาจุดนนั้ ไมอ ยใู นจตภุ าคใด ๆ เชน จากตัวอยา งที่ 3 กราฟของ (0, 0) , (–3, 0) และ (0, 4) เปนจดุ ท่ีไมอยูใ นจตุภาคใด By Kru Potjanat ~ 7 ~
Q แบบฝึกหดั ท่ี 2 1. จากรูปจงหาพิกดั ของจุด P, Q, R, S, T , U และ W Y T 6Q 6 4 P W2 –6 –4 –2 0 24 X –2 U S R –4 –6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… By Kru Potjanat ~ 8 ~
2. จงเขยี นกราฟของจดุ ตอไปน้ี พรอมทั้งเขียนชื่อจดุ และลากสว นของเสน ตรงเช่อื มจุดตาง ๆ โดยเรม่ิ จากจดุ A ไปตามลำดบั ตวั อักษรจนถงึ จดุ Z แลวลากสว นของเสนตรงจากจดุ Z กลบั ไปยังจดุ A จะได รูปอะไร A(4, 1) B(6, 2) C(7, 5) D(6, 3) E(4, 2) F(1, 5) G(–3, 3) H(–4, 2) I(–7, 9) J(–9, 8) K(–7, 8) L(–6, 2) M(–5, –1) N(–7, –2) O(–6, –2) P(–4, –1) Q(–5, –2) R(–4, –2) S(–3, –1) T(0, –1) U(–1, –2) V(0, –2) W(1, –1) X(2, –1) Y(1, –2) Z(2, –2) รูปท่ีได คอื ................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 9 ~
3. จงหาพกิ ัดของจุดตอ ไปน้ี 1) จุดทอ่ี ยูเ หนอื แกน X เปนระยะ 4 หนว ย และอยทู างซายมือของแกน Y เปน ระยะทาง 3 หนวย ตอบ .................................................................................................... 2) จุดท่อี ยใู ตแกน X เปน ระยะทาง 8 หนว ย และอยูทางขวามอื ของแกน เปน ระยะทาง 4 หนว ย ตอบ .................................................................................................... 3) จดุ ทีอ่ ยูบนแกน X และอยูทางขวามอื ของแกน Y เปนระยะทาง 12 หนว ย ตอบ .................................................................................................... 4) จุดท่ีอยทู างซายมอื ของแกน Y เปนระยะทาง 2 หนวย โดยมพี ิกดั ทหี่ นง่ึ และพิกดั ที่สองเทากัน ตอบ .................................................................................................... 5) จดุ ที่อยบู นแกน X และมพี กิ ดั ทหี่ นึง่ เปน – 2 ตอบ .................................................................................................... 6) จดุ ทอี่ ยบู นแกน Y และมพี ิกดั ท่สี องเปน 4 ตอบ .................................................................................................... 4. จากเงือ่ นไขท่กี ำหนดใหต อ ไปน้ี จดุ P(x, y) อยใู นจตภุ าคใด 1) เมอ่ื x = 3 และ y = –2 ตอบ .................................................................................................... 2) เมอื่ x = –8 และ y = 10 ตอบ .................................................................................................... 3) เม่ือ x = –5 และ y = –3 ตอบ .................................................................................................... 4) เมื่อ x = 6 และ y = –6 ตอบ .................................................................................................... 5) เมอื่ x = –4 และ y > 0 ตอบ .................................................................................................... 6) เมือ่ x > 2 และ y = 3 ตอบ .................................................................................................... 7) เม่ือผลคณู ของ x และ y เปน จำนวนบวก ตอบ .................................................................................................... 8) เมอื่ ผลคูณของ x และ y เปน จำนวนลบ ตอบ .................................................................................................... By Kru Potjanat ~ 10 ~
3.2 กราฟและการนำไปใช้ จากหัวขอ ท่ีผา นมา เราไดเห็นตัวอยางการใชคอู ันดบั ในการแสดงความสมั พันธร ะหวางปรมิ าณ สองปรมิ าณมาแลว เมื่อมคี วามสมั พนั ธร ะหวางปรมิ าณสองปริมาณ เราสามารถแสดงความสัมพันธท่ไี ดโ ดยใช กราฟของคูอนั ดบั และเม่อื มีกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวา งปริมาณสองปริมาณ เราสามารถหาพิกดั ของจุด ท่อี ยบู นกราฟนนั้ ได ดงั ตวั อยา งตอ ไปนี้ ตัวอยางท่ี 1 จงเขยี นกราฟแสดงความสมั พันธระหวางจำนวนไขไกเปนฟองและราคาไขไ กเปนบาทจากตาราง ทก่ี ำหนดใหตอ ไปนี้ จำนวนไขไ ก (ฟอง) 1 2 3 4 5 6 ราคาไขไ ก (บาท) 5 10 15 20 25 30 วิธที ำ จากตาราง เขียนคอู นั ดับแสดงความสมั พันธร ะหวา งจำนวนไขไ กเปนฟอง และ ราคาไขไกเ ปนบาท ไดดงั น้ี (1, 5) , (2, 10) , (3, 15) , (4, 20) , (5, 25) และ (6, 30) เมือ่ กำหนดใหแกน X แสดงจำนวนไขไกเปนฟอง และแกน Y แสดงราคาไขไกเ ปนบาท จะเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธ ไดดงั รปู ราคาไขไ ก (บาท) 45 40 35 (6, 30) 30 (5, 25) 25 (4, 20) 20 15 (3, 15) 10 (2, 10) 5 (1, 5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จำนวนไขไก (ฟอง) By Kru Potjanat ~ 11 ~
ตัวอยางท่ี 2 ถังนำ้ มนั ของโรงเรียนมีความจุ 400 ลติ ร เมือ่ เปด น้ำออกจากถงั เพ่ือไปใชรดน้ำแปลงผกั สวนครวั พบวาปรมิ าณนำ้ ท่ีเหลือในถังเม่อื เวลาผา นไปเปน นาที เปนดงั นี้ เวลาท่ีผานไป (นาท)ี 0123456 ปริมาณน้ำท่เี หลอื ในถงั (ลติ ร) 400 360 320 280 240 200 160 จงเขยี นกราฟแสดงความสัมพนั ธร ะหวา งเวลาท่ผี า นไปและปริมาณน้ำท่ีเหลือในถัง แลวตอบคำถามตอ ไปนี้ 1) กอนเปดน้ำออกจากถัง ในถงั มนี ้ำอยูเ ทา ใด 2) นำ้ จะเหลืออยคู รง่ึ ถงั เมื่อเวลาผา นไปเทาใด 3) เมอ่ื ผา นไป 4 นาที 30 วนิ าที จะมีนำ้ เหลอื ในถงั เทา ใด 4) นำ้ จะหมดถังเมื่อเวลาผานไปก่นี าที 5) เมื่อผานไปกน่ี าที จะใชน ้ำไป 120 ลิตร วิธีทำ จากขอมลู ในตาราง เมื่อเขยี นกราฟจะไดกราฟเปนจดุ ตาง ๆ เน่ืองจากเราสามารถหาปริมาณนำ้ ที่เหลือ ในถงั ไดเสมอ จึงเขียนกราฟแสดงความสมั พันธร ะหวา งเวลาทผ่ี านไป (นาท)ี และปรมิ าณนำ้ ท่เี หลอื ในถัง (ลติ ร) ไดด ว ยการลากเสน เชอื่ มจดุ ตาง ๆ เหลานั้นใหต อเน่อื งกันเปน สว นหน่งึ ของเสน ตรง ปริมาณน้ำท่ีเหลอื ในถัง (ลิตร) 400 (0, 400) 360 (1, 360) 320 (2, 320) (3, 280) 280 (4, 240) 240 200 (5, 200) 160 (6, 160) 120 80 40 เวลา (นาที) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 By Kru Potjanat ~ 12 ~ จากกราฟ คำตอบของคำถามขางตนเปนดังนี้ 1) กอนเปด น้ำออกจากถงั ในถงั มนี ำ้ อยู 400 ลติ ร 2) น้ำจะเหลืออยคู ร่งึ ถังเมื่อเวลาผา นไป 5 นาที 3) เม่อื ผา นไป 4 นาที 30 วนิ าที จะมีนำ้ เหลือในถงั 220 ลิตร 4) น้ำจะหมดถังเม่อื เวลาผานไป 10 นาที 5) เม่อื ผานไป 3 นาที จะใชน ำ้ ไป 120 ลติ ร
6) แบบฝึกหดั ท่ี 3 1. จงเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวา งปริมาณในแตละขอตอ ไปนี้ 1) ไอศกรีมรสแตงไทย (ลูก) กบั ราคา (บาท) ไอศกรีมรสแตงไทย (ลกู ) 12345 กบั ราคา (บาท) 7 14 20 25 30 วิธีทำ จากตาราง เขยี นคอู ันดับแสดงความสัมพันธร ะหวา งไอศกรมี รสแตงไทย (ลูก) กับราคา (บาท) ไดดงั นี้ ................................................................................................................................ กำหนดใหแกน X แสดง........................................................................................................ และแกน Y แสดง.................................................................................................................. จะเขยี นกราฟแสดงความสมั พนั ธ ไดด ังรูป By Kru Potjanat ~ 13 ~
2) จำนวนคนในลิฟท (คน) กบั นำ้ หนักที่ลฟิ ตยังสามารถรบั ได (กโิ ลกรัม) จำนวนคนในลิฟท (คน) 12345 450 380 340 300 250 นำ้ หนกั ท่ลี ฟิ ตยงั สามารถรับได (กิโลกรัม) วธิ ีทำ จากตาราง เขยี นคูอ ันดับแสดงความสัมพนั ธระหวา งจำนวนคนในลิฟท (คน) กบั นำ้ หนัก ท่ีลฟิ ตยงั สามารถรบั ได (กิโลกรัม) ไดดงั น้ี ................................................................................................................................ กำหนดใหแ กน X แสดง........................................................................................................ และแกน Y แสดง.................................................................................................................. จะเขียนกราฟแสดงความสมั พันธ ไดด ังรูป By Kru Potjanat ~ 14 ~
3) ผลบวกของจำนวนเตม็ บวกสองจำนวนเปน 10 วธิ ที ำ เน่ืองจากผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเปน 10 ดังนั้นสามารถเขียนตารางแสดง ความสมั พันธร ะหวา งจำนวนแรกและจำนวนท่สี องได ดังน้ี จำนวนแรก จำนวนท่สี อง จากตาราง เขยี นคอู นั ดับแสดงความสัมพันธร ะหวา งผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน เปน 10 ไดดงั น้ี ................................................................................................................................ กำหนดใหแกน X แสดง........................................................................................................ และแกน Y แสดง.................................................................................................................. จะเขยี นกราฟแสดงความสัมพนั ธ ไดดงั รปู By Kru Potjanat ~ 15 ~
2. ปริมาณน้ำฝนทว่ี ดั เปนมลิ ลเิ มตรทีห่ าดเจา สำราญ จังหวดั เพชรบรุ ี ในวนั ท่ี 1 – 10 กรกฎาคม แสดง ดว ยกราฟไดด ังนี้ ปริมาณนำ้ ฝน (มิลลเิ มตร) 100 วันท่ี 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จงตอบคำถามตอไปน้ี 1) ปรมิ าณนำ้ ฝนท่วี ัดไดใ นวนั ท่ี 2 เปนเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 2) วนั ที่เทา ใดทีฝ่ นตกมากท่ีสดุ และวัดปริมาณนำ้ ฝนไดกมี่ ิลลเิ มตร ตอบ ............................................................................................................................... 3) วนั ทฝ่ี นตกนอยทีส่ ดุ และวันทฝี่ นตกมากท่ีสุด มีปรมิ าณนำ้ ฝนตางกันเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 4) จงหาปรมิ าณน้ำฝนโดยเฉลี่ยของท้งั สบิ วนั ตอบ ............................................................................................................................... 5) วนั ทฝ่ี นตกมากทีส่ ุด วัดปริมาณนำ้ ฝนไดมากกวา ปรมิ าณน้ำฝนโดยเฉลย่ี เทาใด ตอบ ............................................................................................................................... By Kru Potjanat ~ 16 ~
3. เรือแสนบดินทรและเรอื สินธาราเดนิ ทางจากทา เรือ ก ไปยงั ทาเรอื ข ในเสน ทางเดยี วกัน แตออก เดนิ ทางคนละเวลากนั มีกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวางระยะทาง (กโิ ลเมตร) และเวลา (นากิ า) เปนดังน้ี ระยะทาง (กโิ ลเมตร) 200 160 120 เรือแสนบดินทร 80 40 เรอื สนิ ธารา 08.00 09.00 10.00 11.00 12.00 13.00 เวลา (นาิกา) จากกราฟ จงตอบคำถามตอไปนี้ 1) เรือแสนบดินทรอ อกเดนิ ทางเวลาใด ดว ยอัตราเร็วเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 2) เรือสินธาราออกเดนิ ทางเวลาใด ดว ยอตั ราเรว็ เทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 3) เรือทง้ั สองลำจะแลนไดร ะยะทางเทา กัน หลังจากออกเดินทางไปไดก ่ชี ัว่ โมง ตอบ ............................................................................................................................... ....................................................................................................................................... 4) หลังเวลา 11.00 น. เรอื ลำใดเลนไดระยะทางมากกวา ตอบ ............................................................................................................................... 5) เมื่อเรือท้ังสองลำแลน ออกจากทา ไปแลว เวลาใดทเี่ รือทั้งสองลำจะแลน ไดระยะตา งกนั 20 กโิ ลเมตร ตอบ ............................................................................................................................... 6) ถา จุดหมายปลายทางอยหู างจากจดุ เร่ิมตน 200 กิโลเมตร เรอื สนิ ธาราจะถงึ จุดหมายปลายทาง เวลาประมาณเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... By Kru Potjanat ~ 17 ~
4. กราฟตอไปน้ีแสดงความสามารถในการละลายของสาร P และสาร Q ในน้ำ 100 กรัม ณ อุณหภมู ิ ตาง ๆ กนั จากกราฟ จงตอบคำถามตอไปน้ี 1) ทีอ่ ณุ หภมู ใิ ด ความสามารถในการละลายของสารท้งั สองชนดิ เทากนั และละลายไดกกี่ รมั ตอบ ............................................................................................................................... 2) ท่ีอุณหภูมิ 20 o C สารใดละลายนำ้ ไดม ากกวา ตอบ ............................................................................................................................... 3) ท่ีอณุ หภมู ิ 50 o C สารใดละลายนำ้ ไดม ากกวา ตอบ ............................................................................................................................... 4) จงบรรยายเปรียบเทียบความสามารถในการละลายของสาร P และสาร Q ในน้ำ 100 กรัม ณ อุณหภูมิตาง ๆ กัน ตอบ ............................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 5) ถาใหสาร P และสาร Q ละลายในนำ้ 100 กรมั โดยเพ่ิมอุณหภมู ิใหสงู กวา 90 o C นักเรียนคาดวา ความสามารถในการละลายของสารท้ังสองจะแตกตา งกันอยางไร ตอบ ............................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 18 ~
3.3 ความสัมพันธ์เชงิ เส้น ความสัมพนั ธของปรมิ าณสองปรมิ าณทมี่ ีกราฟอยใู นแนวเสน ตรงเดยี วกัน เรียกความสัมพนั ธ ในลกั ษณะเชนนีว้ า ความสัมพันธเชิงเสน และเรียกสมการของความสมั พันธเ ชงิ เสน ท่ีแสดงความเก่ียวขอ ง ระหวา งปรมิ ารสองปริมาณ วา สมการเชงิ เสน สองตัวแปร สมการเชงิ เสน สองตวั แปร เปน สมการทส่ี ามารถเขียนไดใ นรปู ท่ัวไปเปน Ax + By + C = 0 เมอ่ื x, y เปนตวั แปร A, B และ C เปนคา คงตวั โดยท่ี A และ B ไมเปน ศนู ยพอ มกัน ลักษณะสำคัญของสมการเชิงเสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 คอื มีตวั แปรสองตัว และตอ งไมม ี การคูณกันของตัวแปร เลขชีก้ ำลงั ของตัวแปรแตล ะตวั ตองเปนหนึง่ A และ B ตัวใดตวั หน่งึ เปน ศูนยได แตจ ะเปนศนู ยพรอ มกนั ไมไ ด ตัวอยา งของสมการเชิงเสนสองตวั แปร แสดงดงั ตาราง สมการ A B C 5x + y – 3 = 0 7x – 1.5 = 0 2x + 4 = 0 –x + 6y = 10 y = –3 กรณีทก่ี ำหนดสมการเชงิ เสน สองตัวแปรในรปู Ax + By + C = 0 ถาไมระบเุ งื่อนไขของ x และ y ใหถ ือวา x และ y แทนจำนวนใด ๆ และกราฟของสมการเชงิ เสนสองตัวแปรน้ี จะเปน สมการเสน ตรงที่ เรียกวา กราฟเสนตรง ในกรณีท่วั ๆ ไป เราสามารถเขยี นกราฟของสมการ Ax + By + C = 0 เมื่อ B ≠ 0 โดยจัดสมการให อยูใ นรปู ที่สะดวกตอการแทนคา x เพอ่ื หาคา y ไดใ นรูป y = mx + b เมือ่ m และ b เปนคาคงตวั และอาจ เรยี ก x วา ตัวแปรอสิ ระ หรอื ตัวแปรตน และเรยี ก y วา ตัวแปรตาม By Kru Potjanat ~ 19 ~
ลักษณะกราฟของสมการในรปู y = mx + b สามารถแสดงไดดงั น้ี สมการ m กราฟ y = mx + b m>0 Y 0X m<0 Y 0X m=0 Y 0X จากลักษณะของกราฟ จะเหน็ วา เม่ือ m > 0 กราฟจะมีลักษณะเปน เสนตรงที่ทำมุมแหลมกับแกน X โดยวดั จากแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาิกา m < 0 กราฟจะมีลักษณะเปน เสนตรงทีท่ ำมุมปานกับแกน X โดยวดั จากแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาิกา m = 0 กราฟจะมีลักษณะเปนเสน ตรงท่ีขนานกบั แกน X สมการที่อยใู นรปู y = mx + b เมอ่ื x และ y เปนตวั แปรที่แทนจำนวนใด ๆ โดยที่ m และ b เปนคา คงตัว จะเปนกราฟเสนตรง และเรียก m วา ความชัน ของเสน ตรง By Kru Potjanat ~ 20 ~
1) แบบฝึกหดั ท่ี 4 1. จงพจิ ารณาสมการท่กี ำหนดใหเปนสมการเชงิ เสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 หรือไม ถา เปน ทำ เครอ่ื งหมาย ในชอ งเปน พรอ มทงั้ ระบุ คา A , B และ C ถา ไมเปน ทำเครอื่ งหมาย ในชอง ไมเปน สมการ สมการเชงิ เสน สองตวั แปรเดยี ว ระบุ คา A , B และ C เปน ไมเ ปน 1) x + 3y – 5 = 0 2) xy + 1 = 0 3) 0.5x + y = 0 4) x2 + y = 0 5) –3y + 2x + 1 = 0 6) 4y + 9 = 0 7) 4x + 5xy − 2 = 0 8) 2x + 2y = –8 9) x +y = 0 y 10) x = 0 2. จงเตมิ คำตอบในแตละชอ งใหถกู ตอง สมการ Ax + By + C = 0 สมการในรูป y = mx + b ความชัน 1) y + 4x = 8 2) –5x + y + 1 = 0 3) 2x + 4y = 10 4) y +4 = 2x 5 5) x + 1 = − 3y By Kru Potjanat ~ 21 ~
3. จงเขยี นกราฟของสมการเชิงเสนสองตวั แปรทก่ี ำหนดใหตอ ไปนี้ 1) y = 3x – 1 วธิ ีทำ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = 3x – 1 ไดดังตาราง x y = 3x – 1 จากตาราง จะไดค ูอนั ดับ คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ y = 3x – 1 แสดงไดด ังนี้ By Kru Potjanat ~ 22 ~
2) y = 5 – x วิธที ำ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = 5 – x ไดด ังตาราง x y=5–x จากตาราง จะไดคอู นั ดบั คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ y = 5 – x แสดงไดด ังน้ี By Kru Potjanat ~ 23 ~
3) y = –5 วิธที ำ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = –5 ไดดงั ตาราง x y = –5 จากตาราง จะไดคอู ันดับ คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ y = –5 แสดงไดดังน้ี By Kru Potjanat ~ 24 ~
4) 2x – y = 4 วิธที ำ จากสมการ 2x – y = 4 เขยี นสมการในรปู y = mx + b จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดค อู นั ดบั คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ 2x – y = 4 แสดงไดดังนี้ By Kru Potjanat ~ 25 ~
5) x – y = 3 วิธที ำ จากสมการ x – y = 3 เขยี นสมการในรปู y = mx + b จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดคูอันดับ คือ ........................................................................................... กราฟของสมการ x – y = 3 แสดงไดดังนี้ By Kru Potjanat ~ 26 ~
6) 5y = –15x เขียนสมการในรปู y = mx + b วิธีทำ จากสมการ 5y = –15x จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดค ูอนั ดบั คือ ........................................................................................... กราฟของสมการ 5y = –15x แสดงไดดงั นี้ By Kru Potjanat ~ 27 ~
7) x – y – 7 = 0 วิธที ำ จากสมการ x – y – 7 = 0 เขยี นสมการในรูป y = mx + b จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดคูอันดับ คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ x – y – 7 = 0 แสดงไดด ังนี้ By Kru Potjanat ~ 28 ~
8) x = 6 วธิ ีทำ จากสมการ x = 6 กำหนดคา y และ หาคา x จากสมการ x = 6 ไดดังตาราง x y จากตาราง จะไดค ูอันดับ คือ ........................................................................................... กราฟของสมการ x = 6 แสดงไดด ังนี้ By Kru Potjanat ~ 29 ~
9) จงเขียนกราฟแสดงความสมั พันธระหวางจำนวนเต็มสองจำนวน จากขอความ “ผลบวกของสี่เทาของจำนวนเตม็ จำนวนหนงึ่ กบั จำนวนเตม็ อีกจำนวนหนง่ึ เทา กับสบิ ” วิธีทำ ให จำนวนเตม็ จำนวนหน่ึง คอื x และ จำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง คือ y ดังนน้ั ผลบวกของสี่เทา ของจำนวนเตม็ จำนวนหนึ่งกับจำนวนเต็มอกี จำนวนหน่งึ เทา กบั สิบ เขียนสมการได คอื .............................................................................................. เขียนสมการในรปู y = mx + b ไดคือ ............................................................................ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y จากตาราง จะไดค ูอนั ดับ คือ ........................................................................................... กราฟแสดงความสมั พนั ธระหวางจำนวนเต็มสองจำนวน จากขอ ความ “ผลบวกของสีเ่ ทาของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งกบั จำนวนเต็มอกี จำนวนหนึ่งเทากับสิบ” แสดงไดด งั นี้ By Kru Potjanat ~ 30 ~
10) จงเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธร ะหวางความยาวรัศมขี องวงกลมกับความยาวเสนรอบวงของ วงกลม วิธีทำ ให รศั มขี องวงกลมยาว r หนว ย ดังน้นั ความยาวเสนรอบวงของวงกลมยาว ........................................หนว ย กำหนดรัศมีของวงกลม (r) และ หาความยาวเสน รอบวงของวงกลม ไดด งั ตาราง รศั มีของวงกลม ความยาวเสน รอบวงของวงกลม จากตาราง จะไดค อู นั ดับ คอื ........................................................................................... กราฟแสดงความสัมพนั ธระหวางความยาวรศั มขี องวงกลมกับความยาวเสน รอบวงของวงกลม แสดงไดดังนี้ By Kru Potjanat ~ 31 ~
การหาจดุ ตดั แกน X และ แกน Y ของกราฟเส้นตรง Ax + By + C = 0 1. การหาจดุ ตดั แกน X ทำไดโดยแทนคา y ดวย 0 2. การหาจุดตดั แกน Y ทำไดโ ดยแทนคา x ดว ย 0 ตัวอยา งที่ 1 จงหาจุดตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ 5x + 2y = 10 วธิ ที ำ หาจุดตัดแกน X ทำไดโ ดยแทนคา y ดว ย 0 ในสมการ 5x + 2y = 10 จะได 5x + 2(0) = 10 5x = 10 10 x =5 หรอื x = 2 ดงั นั้นจุดตัดแกน X คอื (2 , 0) หาจุดตัดแกน Y ทำไดโ ดยแทนคา x ดวย 0 ในสมการ 5x + 2y = 10 จะได 5(0) + 2y = 10 2y = 10 10 y =2 หรือ y = 5 ดงั นน้ั จุดตัดแกน Y คอื (0 , 5) ตอบ จุดตดั แกน X คือ (2 , 0) และ จุดตดั แกน Y คือ (0 , 5) By Kru Potjanat ~ 32 ~
ตัวอยางที่ 2 จงหาจดุ ตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ 4y – 3x + 9 = 0 วิธีทำ หาจดุ ตัดแกน X ทำไดโดยแทนคา y ดว ย 0 ในสมการ 4y – 3x + 9 = 0 จะได 4(0) –3x + 9 = 0 –3x + 9 = 0 –3x = –9 −9 x = −3 หรอื x = 3 ดังนัน้ จุดตดั แกน X คือ (3 , 0) หาจดุ ตัดแกน Y ทำไดโดยแทนคา x ดว ย 0 ในสมการ 4y – 3x + 9 = 0 จะได 4y –3(0) + 9 = 0 4y + 9 = 0 4y = –9 −9 y =4 ดงั นน้ั จดุ ตดั แกน Y คือ 0, −9 4 −9 ตอบ จุดตดั แกน X คือ (3 , 0) และ จุดตัดแกน Y คือ 0, 4 By Kru Potjanat ~ 33 ~
การตรวจสอบวา่ จุด (a , b) อยบู ่ นกราฟ ของสมการ Ax + By + C = 0 จดุ (a , b) อยูบ นกราฟของสมการเชิงเสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 เมื่อแทน x ดวย a และ แทน y ดวย b ในสมการแลวทำใหสมการเปนจรงิ จุด (a , b) ไมอยูบนกราฟของสมการเชิงเสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 เม่ือแทน x ดว ย a และ แทน y ดวย b ในสมการแลวทำใหสมการไมเปน จริง ตวั อยางท่ี 1 จงตรวจสอบวา จุด (4 , –3) อยูบนกราฟ 2x + 5y + 7 = 0 หรือไม วธิ ที ำ แทน x ดวย 4 และ แทน y ดว ย –3 ในสมการ 2x + 5y + 7 = 0 จะได 2(4) + 5(–3) + 7 = 0 8 + (–15) + 7 = 0 0 = 0 สมการเปนจริง ดังนน้ั จดุ (4 , –3) อยูบ นกราฟ 2x + 5y + 7 = 0 ตัวอยางที่ 2 จงตรวจสอบวา จุด (1 , –2) อยบู นกราฟ –3y –8x + 2 = 0 หรอื ไม วิธที ำ แทน x ดวย 1 และ แทน y ดว ย –2 ในสมการ –3y –8x + 2 = 0 จะได –3(–2) –8(1) + 2 = 0 6–8 +2 =0 0 = 0 สมการเปน จริง ดงั นน้ั จุด (1 , –2) อยูบ นกราฟ –3y –8x + 2 = 0 ตัวอยางที่ 3 จงตรวจสอบวาจดุ (2 , 3) อยบู นกราฟ 5 – 3y = 2x หรือไม วธิ ีทำ แทน x ดว ย 2 และ แทน y ดวย 3 ในสมการ 5 – 3y = 2x จะได 5 – 3(3) = 2(2) 5–9=4 –4 = 4 สมการไมเ ปน จริง ดังนน้ั จดุ (2 , 3) ไมอยูบนกราฟ 5 – 3y = 2x By Kru Potjanat ~ 34 ~
2) แบบฝึกหดั ท่ี 5 1. จงหาจุดตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ x + 2y – 4 = 0 หาจุดตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 2. จงหาจดุ ตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ –4x –3y = 20 หาจุดตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. By Kru Potjanat ~ 35 ~
3. จงหาจุดตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ 2x + 2(y − 1) =4 5 หาจดุ ตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 4. จงตรวจสอบวาจุด (–5 , –8) อยบู นกราฟ 7y – 9x = 11 หรอื ไม ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. By Kru Potjanat ~ 36 ~
5. จงตรวจสอบวาจุด (2 , –4) อยบู นกราฟ 7x + y = 10 หรอื ไม ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6. จงตรวจสอบวา จดุ (–6 , 2) อยูบนกราฟ –6(3 +y) –5x = 0 หรอื ไม ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. By Kru Potjanat ~ 37 ~
7. ถา จุด (–3 , –1) เปนจดุ ที่อยบู นกราฟ kx + y +25 = 0 แลว k มคี า เทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 8. ถา (–8 , k) เปนคำตอบของสมการ 4(2x + 1) + 15y = 0 แลว k มีคาเทา ใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. I can do it, teacher. By Kru Potjanat ~ 38 ~
Search
Read the Text Version
- 1 - 38
Pages: