บทที่ 3 กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น

บทท่ี 3 กราฟและความสมั พนั ธ์เชิงเส้น 3.1 คอู่ นั ดบั และกราฟของคูอ่ ันดบั ค่อู นั ดับ สญั ลกั ษณ (a, b) เมื่อ a และ b แทนจำนวนใด ๆ ในที่นจ่ี ะเรียกวา คอู ันดบั (ordered pair) อานวา “คอู นั ดบั เอ บ”ี โดยที่มี a เปน สมาชิกตัวทีห่ นงึ่ ของคูอันดับ และ b เปนสมาชิกตัวทีส่ องของคูอนั ดับ เชน (1, 2) อา นวา “คอู นั ดับ หนง่ึ สอง” โดยมี 1 เปน สมาชกิ ตวั ที่หน่ึงของคูอันดบั และมี 2 เปน สมาชกิ ตัวทส่ี องของคอู ันดบั ตัวอยางท่ี 1 กำหนดตารางแสดงความสมั พันธระหวางจำนวนดนิ สอกับราคาดินสอ ดังนี้ จำนวนดินสอ(แทง) 1 234 5 ราคา(บาท) 8 16 24 32 40 จากตาราง 1) จงเขียนแผนภาพแสดงการจับคูระหวางจำนวนดินสอกับราคาของดินสอ วธิ ีทำ แผนภาพแสดงไดดงั น้ี จำนวนดนิ สอ (แทง) ราคาดนิ สอ (บาท) 18 2 16 3 24 4 32 5 40 By Kru Potjanat ~ 1 ~

2) จงเขียนคอู ันดับทงั้ หมด โดยใหสมาชิกตัวท่ีหนึง่ เปนจำนวนดนิ สอ และสมาชิกตวั ทีส่ องเปนราคาดนิ สอ พรอ มเขียนการอา นชื่อคอู นั ดบั ทุกคู วิธีทำ เขียนคูอ ันดบั ไดดงั นี้ (1, 8) อานวา คอู นั ดบั หน่ึง แปด (2, 16) อา นวา คอู นั ดบั สอง สิบหก (3, 24) อานวา คอู ันดบั สาม ยส่ี ิบส่ี (4, 32) อานวา คอู นั ดับ สี่ สามสบิ สอง (5, 40) อา นวา คูอนั ดบั หา สี่สิบ 3) (3 , 24) มีความหมายวาอยางไร วธิ ที ำ (3 , 24) หมายถึง ดินสอ 3 แทง ราคา 24 บาท 4) นักเรียนคดิ วา ถาซ้ือดินสอ 10 แทงตองจา ยเงินทั้งหมดกี่บาท วิธีทำ จาก (1, 8) หมายถงึ ดินสอ 1 แทงราคา 8 บาท แสดงวา ดินสอ 10 แทง ราคา 80 บาท 5) ถา มีเงิน 300 บาท จะซ้ือดินสอไดม ากที่สุดก่แี ทง และเหลอื เงินกบี่ าท วิธที ำ ถามีเงนิ 300 บาทจะซือ้ ดินสอไดมากทสี่ ุด 37 แทง ซึง่ คดิ เปน เงนิ 37×8 = 296 ดงั นนั้ จะเหลือเงนิ เทากบั 300 – 296 = 4 บาท By Kru Potjanat ~ 2 ~

แบบฝึกหดั ท่ี 1 1. จงเขยี นคูอนั ดบั จากแผนภาพที่กำหนดให โดยใหสมาชิกตวั ที่หนึง่ แทนสมาชกิ กลมุ ท่ี 1 และ สมาชิก ตัวทีส่ องแทนสมาชิกกลมุ ที่ 2 (1) กลมุ ท่ี 1 กลุมท่ี 2 โรงเรยี น ครู โรงพยาบาล พระสงค์ ตาํ รวจ โรงพกั แพทย์ วดั คอู นั ดับท่ีได คือ ...................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) กลุมที่ 1 กลุมท่ี 2 1 9 2 16 3 4 4 1 คูอนั ดบั ทไ่ี ด คือ ...................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 3 ~

2. จากคูอ นั ดบั ที่กำหนดให จงเขียนแผนภาพแสดงความสมั พันธข องคูอนั ดับ (1) (ไทย, TH) , (องั กฤษ, EN) , (สเปน, SP) และ (เกาหล,ี KP) (2) (ดนิ สอ, ยางลบ) , (ปากกา, นำ้ ยาลบคำผดิ ) , (กระดาษ, สมดุ ) , (โตะ, เกาอี้) และ (แจกัน, ดอกไม) 3. จากตารางแสดงความสมั พันธร ะหวา งเวลาท่เี ปดกอกนำ้ (ช่วั โมง) กบั ปรมิ าณน้ำที่ไหลออก (ลิตร) ดงั นี้ เวลาน้ำทีเ่ ปด กอกน้ำ (ชว่ั โมง) 1 2 3 4 ปริมาณน้ำทไี่ หลออก (ลติ ร) 0.2 0.4 0.6 0.8 จงเขียนคอู ันดบั ทง้ั หมด โดยใหสมาชกิ ตัวท่ีหนง่ึ แทนเวลาทีเ่ ปดกอ กนำ้ (ชว่ั โมง) และสมาชกิ ตัวทส่ี อง แทนปรมิ าณน้ำที่ไหลออก (ลติ ร) ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 4 ~

กราฟของค่อู ันดบั ในการใชก ราฟแสดงความสมั พนั ธ เราเขยี นเสนจำนวนในแนวนอนและแนวต้ังใหตดั กนั เปนมุมฉาก ทต่ี ำแหนงของจดุ ที่แทนศนู ย( O) บนเสนจำนวนแตละเสน จุดท่เี สน จำนวนทั้งสองตดั กนั เรียกวา จุดกำเนดิ (origin) แทนดวย O เสน จำนวนในแนวนอน เรยี กวา แกน X (horizontal axis) หรอื แกน X และเสน จำนวนในแนวตง้ั เรยี กวา แกนตงั้ (vertical axis) หรอื แกน Y แกน X และ แกน Y อยูบ นระนาบเดยี วกันและแบงระนาบออกเปน สี่สว น เรยี กแตล ะสวนวา จตภุ าค (quadrant) โดยกำหนดใหเ ปนจตุภาคที่ 1 จตภุ าคที่ 2 จตุภาค 3 และจตุภาคท่ี 4 แกน Y จตุภาคที่ 2 จตุภาคที่ 1 จดุ กำเนดิ แกน X จตุภาคที่ 3 จตภุ าคท่ี 4 ระบบท่แี สดงตำแหนงของจดุ ตาง ๆ บนระนาบดงั กลาวนี้ เรียกวา ระบบพกิ ัดฉาก คอู นั ดับแตละคู อันดับแทนไดด ว ยจุดบนระนาบ เรียกจดุ นว้ี า กราฟของคูอ นั ดับ โดยทัว่ ไปเราเขยี นคูอันดับใด ๆ ในรูป (x, y) เมื่อ x แทนจำนวนที่อยบู นแกน X และ y แทนจำนวนท่ีอยบู นแกน Y ถา P เปนจดุ จุดหนง่ึ บนระนาบทีเ่ ปนกราฟของ (x, y) จะกลาววา จดุ P มีพกิ ดั เปน (x, y) โดย x เปนพิกดั ทีห่ นงึ่ และ y เปนพกิ ัดท่ีสอง และอาจเขียนแทนพิกัดของจดุ P ดวย P(x, y) เชน ถาจุด P มีพิกัด เปน (2, –3) อาจเขยี นแทนดว ย P(2, –3) By Kru Potjanat ~ 5 ~

ตวั อยางที่ 1 จงเขียนกราฟของ (–3, 2) บนระนาบ วธิ ที ำ กราฟของ (–3, 2) เปน จดุ ท่ไี ดจากการลากเสนตรงใหตงั้ ฉากกับแกน X ทีต่ ำแหนง –3 ไปตัดกบั เสนตรงท่ีลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหนงของ 2 จุดน้ีจะอยูใ นจตุภาคที่ 2 ดงั รปู ตัวอยา งที่ 2 จงเขียนกราฟของ ( 4 , –1) บนระนาบ วิธที ำ กราฟของ (4, –1) เปนจุดทีไ่ ดจากการลากเสน ตรงใหต ัง้ ฉากกับแกน X ท่ตี ำแหนง 4 ไปตดั กับเสนตรง ท่ีลากตงั้ ฉากกบั แกน Y ที่ตำแหนง ของ –1 จดุ นี้จะอยใู นจตุภาคที่ 4 ดังรูป By Kru Potjanat ~ 6 ~

ตวั อยางท่ี 3 จงเขียนกราฟของคูอ นั ดับตอไปนี้บนระนาบ (0, 0) , (–3, 0) , (3, 5) , (2, –4) , (–3, –3) , (–6, 1) และ (0, 4) วิธที ำ เขียนกราฟของคูอนั ดบั ทกี่ ำหนดใหบนระนาบไดดังน้ี Y 4 (0, 4) (3, 5) (–6, 1) 2 4 6 X (–3, 0) (0, 0) –6 –4 –2 02 –2 (–3, –3) –4 (2, –4) ในกรณที ่ีจุดหนง่ึ อยูบนแกน X หรอื บนแกน Y ถือวาจุดนนั้ ไมอ ยใู นจตภุ าคใด ๆ เชน จากตัวอยา งที่ 3 กราฟของ (0, 0) , (–3, 0) และ (0, 4) เปนจดุ ท่ีไมอยูใ นจตุภาคใด By Kru Potjanat ~ 7 ~

Q แบบฝึกหดั ท่ี 2 1. จากรูปจงหาพิกดั ของจุด P, Q, R, S, T , U และ W Y T 6Q 6 4 P W2 –6 –4 –2 0 24 X –2 U S R –4 –6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… By Kru Potjanat ~ 8 ~

2. จงเขยี นกราฟของจดุ ตอไปน้ี พรอมทั้งเขียนชื่อจดุ และลากสว นของเสน ตรงเช่อื มจุดตาง ๆ โดยเรม่ิ จากจดุ A ไปตามลำดบั ตวั อักษรจนถงึ จดุ Z แลวลากสว นของเสนตรงจากจดุ Z กลบั ไปยังจดุ A จะได รูปอะไร A(4, 1) B(6, 2) C(7, 5) D(6, 3) E(4, 2) F(1, 5) G(–3, 3) H(–4, 2) I(–7, 9) J(–9, 8) K(–7, 8) L(–6, 2) M(–5, –1) N(–7, –2) O(–6, –2) P(–4, –1) Q(–5, –2) R(–4, –2) S(–3, –1) T(0, –1) U(–1, –2) V(0, –2) W(1, –1) X(2, –1) Y(1, –2) Z(2, –2) รูปท่ีได คอื ................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 9 ~

3. จงหาพกิ ัดของจุดตอ ไปน้ี 1) จุดทอ่ี ยูเ หนอื แกน X เปนระยะ 4 หนว ย และอยทู างซายมือของแกน Y เปน ระยะทาง 3 หนวย ตอบ .................................................................................................... 2) จุดท่อี ยใู ตแกน X เปน ระยะทาง 8 หนว ย และอยูทางขวามอื ของแกน เปน ระยะทาง 4 หนว ย ตอบ .................................................................................................... 3) จดุ ทีอ่ ยูบนแกน X และอยูทางขวามอื ของแกน Y เปนระยะทาง 12 หนว ย ตอบ .................................................................................................... 4) จุดท่ีอยทู างซายมอื ของแกน Y เปนระยะทาง 2 หนวย โดยมพี ิกดั ทหี่ นง่ึ และพิกดั ที่สองเทากัน ตอบ .................................................................................................... 5) จดุ ที่อยบู นแกน X และมพี กิ ดั ทหี่ นึง่ เปน – 2 ตอบ .................................................................................................... 6) จดุ ทอี่ ยบู นแกน Y และมพี ิกดั ท่สี องเปน 4 ตอบ .................................................................................................... 4. จากเงือ่ นไขท่กี ำหนดใหต อ ไปน้ี จดุ P(x, y) อยใู นจตภุ าคใด 1) เมอ่ื x = 3 และ y = –2 ตอบ .................................................................................................... 2) เมอื่ x = –8 และ y = 10 ตอบ .................................................................................................... 3) เม่ือ x = –5 และ y = –3 ตอบ .................................................................................................... 4) เมื่อ x = 6 และ y = –6 ตอบ .................................................................................................... 5) เมอื่ x = –4 และ y > 0 ตอบ .................................................................................................... 6) เมือ่ x > 2 และ y = 3 ตอบ .................................................................................................... 7) เม่ือผลคณู ของ x และ y เปน จำนวนบวก ตอบ .................................................................................................... 8) เมอื่ ผลคูณของ x และ y เปน จำนวนลบ ตอบ .................................................................................................... By Kru Potjanat ~ 10 ~

3.2 กราฟและการนำไปใช้ จากหัวขอ ท่ีผา นมา เราไดเห็นตัวอยางการใชคอู ันดบั ในการแสดงความสมั พันธร ะหวางปรมิ าณ สองปรมิ าณมาแลว เมื่อมคี วามสมั พนั ธร ะหวางปรมิ าณสองปริมาณ เราสามารถแสดงความสัมพันธท่ไี ดโ ดยใช กราฟของคูอนั ดบั และเม่อื มีกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวา งปริมาณสองปริมาณ เราสามารถหาพิกดั ของจุด ท่อี ยบู นกราฟนนั้ ได ดงั ตวั อยา งตอ ไปนี้ ตัวอยางท่ี 1 จงเขยี นกราฟแสดงความสมั พันธระหวางจำนวนไขไกเปนฟองและราคาไขไ กเปนบาทจากตาราง ทก่ี ำหนดใหตอ ไปนี้ จำนวนไขไ ก (ฟอง) 1 2 3 4 5 6 ราคาไขไ ก (บาท) 5 10 15 20 25 30 วิธที ำ จากตาราง เขียนคอู นั ดับแสดงความสมั พันธร ะหวา งจำนวนไขไ กเปนฟอง และ ราคาไขไกเ ปนบาท ไดดงั น้ี (1, 5) , (2, 10) , (3, 15) , (4, 20) , (5, 25) และ (6, 30) เมือ่ กำหนดใหแกน X แสดงจำนวนไขไกเปนฟอง และแกน Y แสดงราคาไขไกเ ปนบาท จะเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธ ไดดงั รปู ราคาไขไ ก (บาท) 45 40 35 (6, 30) 30 (5, 25) 25 (4, 20) 20 15 (3, 15) 10 (2, 10) 5 (1, 5) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จำนวนไขไก (ฟอง) By Kru Potjanat ~ 11 ~

ตัวอยางท่ี 2 ถังนำ้ มนั ของโรงเรียนมีความจุ 400 ลติ ร เมือ่ เปด น้ำออกจากถงั เพ่ือไปใชรดน้ำแปลงผกั สวนครวั พบวาปรมิ าณนำ้ ท่ีเหลือในถังเม่อื เวลาผา นไปเปน นาที เปนดงั นี้ เวลาท่ีผานไป (นาท)ี 0123456 ปริมาณน้ำท่เี หลอื ในถงั (ลติ ร) 400 360 320 280 240 200 160 จงเขยี นกราฟแสดงความสัมพนั ธร ะหวา งเวลาท่ผี า นไปและปริมาณน้ำท่ีเหลือในถัง แลวตอบคำถามตอ ไปนี้ 1) กอนเปดน้ำออกจากถัง ในถงั มนี ้ำอยูเ ทา ใด 2) นำ้ จะเหลืออยคู รง่ึ ถงั เมื่อเวลาผา นไปเทาใด 3) เมอ่ื ผา นไป 4 นาที 30 วนิ าที จะมีนำ้ เหลอื ในถงั เทา ใด 4) นำ้ จะหมดถังเมื่อเวลาผานไปก่นี าที 5) เมื่อผานไปกน่ี าที จะใชน ้ำไป 120 ลิตร วิธีทำ จากขอมลู ในตาราง เมื่อเขยี นกราฟจะไดกราฟเปนจดุ ตาง ๆ เน่ืองจากเราสามารถหาปริมาณนำ้ ที่เหลือ ในถงั ไดเสมอ จึงเขียนกราฟแสดงความสมั พันธร ะหวา งเวลาทผ่ี านไป (นาท)ี และปรมิ าณนำ้ ท่เี หลอื ในถัง (ลติ ร) ไดด ว ยการลากเสน เชอื่ มจดุ ตาง ๆ เหลานั้นใหต อเน่อื งกันเปน สว นหน่งึ ของเสน ตรง ปริมาณน้ำท่ีเหลอื ในถัง (ลิตร) 400 (0, 400) 360 (1, 360) 320 (2, 320) (3, 280) 280 (4, 240) 240 200 (5, 200) 160 (6, 160) 120 80 40 เวลา (นาที) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 By Kru Potjanat ~ 12 ~ จากกราฟ คำตอบของคำถามขางตนเปนดังนี้ 1) กอนเปด น้ำออกจากถงั ในถงั มนี ำ้ อยู 400 ลติ ร 2) น้ำจะเหลืออยคู ร่งึ ถังเมื่อเวลาผา นไป 5 นาที 3) เม่อื ผา นไป 4 นาที 30 วนิ าที จะมีนำ้ เหลือในถงั 220 ลิตร 4) น้ำจะหมดถังเม่อื เวลาผานไป 10 นาที 5) เม่อื ผานไป 3 นาที จะใชน ำ้ ไป 120 ลติ ร

6) แบบฝึกหดั ท่ี 3 1. จงเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวา งปริมาณในแตละขอตอ ไปนี้ 1) ไอศกรีมรสแตงไทย (ลูก) กบั ราคา (บาท) ไอศกรีมรสแตงไทย (ลกู ) 12345 กบั ราคา (บาท) 7 14 20 25 30 วิธีทำ จากตาราง เขยี นคอู ันดับแสดงความสัมพันธร ะหวา งไอศกรมี รสแตงไทย (ลูก) กับราคา (บาท) ไดดงั นี้ ................................................................................................................................ กำหนดใหแกน X แสดง........................................................................................................ และแกน Y แสดง.................................................................................................................. จะเขยี นกราฟแสดงความสมั พนั ธ ไดด ังรูป By Kru Potjanat ~ 13 ~

2) จำนวนคนในลิฟท (คน) กบั นำ้ หนักที่ลฟิ ตยังสามารถรบั ได (กโิ ลกรัม) จำนวนคนในลิฟท (คน) 12345 450 380 340 300 250 นำ้ หนกั ท่ลี ฟิ ตยงั สามารถรับได (กิโลกรัม) วธิ ีทำ จากตาราง เขยี นคูอ ันดับแสดงความสัมพนั ธระหวา งจำนวนคนในลิฟท (คน) กบั นำ้ หนัก ท่ีลฟิ ตยงั สามารถรบั ได (กิโลกรัม) ไดดงั น้ี ................................................................................................................................ กำหนดใหแ กน X แสดง........................................................................................................ และแกน Y แสดง.................................................................................................................. จะเขียนกราฟแสดงความสมั พันธ ไดด ังรูป By Kru Potjanat ~ 14 ~

3) ผลบวกของจำนวนเตม็ บวกสองจำนวนเปน 10 วธิ ที ำ เน่ืองจากผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเปน 10 ดังนั้นสามารถเขียนตารางแสดง ความสมั พันธร ะหวา งจำนวนแรกและจำนวนท่สี องได ดังน้ี จำนวนแรก จำนวนท่สี อง จากตาราง เขยี นคอู นั ดับแสดงความสัมพันธร ะหวา งผลบวกของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน เปน 10 ไดดงั น้ี ................................................................................................................................ กำหนดใหแกน X แสดง........................................................................................................ และแกน Y แสดง.................................................................................................................. จะเขยี นกราฟแสดงความสัมพนั ธ ไดดงั รปู By Kru Potjanat ~ 15 ~

2. ปริมาณน้ำฝนทว่ี ดั เปนมลิ ลเิ มตรทีห่ าดเจา สำราญ จังหวดั เพชรบรุ ี ในวนั ท่ี 1 – 10 กรกฎาคม แสดง ดว ยกราฟไดด ังนี้ ปริมาณนำ้ ฝน (มิลลเิ มตร) 100 วันท่ี 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จงตอบคำถามตอไปน้ี 1) ปรมิ าณนำ้ ฝนท่วี ัดไดใ นวนั ท่ี 2 เปนเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 2) วนั ที่เทา ใดทีฝ่ นตกมากท่ีสดุ และวัดปริมาณนำ้ ฝนไดกมี่ ิลลเิ มตร ตอบ ............................................................................................................................... 3) วนั ทฝ่ี นตกนอยทีส่ ดุ และวันทฝี่ นตกมากท่ีสุด มีปรมิ าณนำ้ ฝนตางกันเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 4) จงหาปรมิ าณน้ำฝนโดยเฉลี่ยของท้งั สบิ วนั ตอบ ............................................................................................................................... 5) วนั ทฝ่ี นตกมากทีส่ ุด วัดปริมาณนำ้ ฝนไดมากกวา ปรมิ าณน้ำฝนโดยเฉลย่ี เทาใด ตอบ ............................................................................................................................... By Kru Potjanat ~ 16 ~

3. เรือแสนบดินทรและเรอื สินธาราเดนิ ทางจากทา เรือ ก ไปยงั ทาเรอื ข ในเสน ทางเดยี วกัน แตออก เดนิ ทางคนละเวลากนั มีกราฟแสดงความสมั พนั ธระหวางระยะทาง (กโิ ลเมตร) และเวลา (นากิ า) เปนดังน้ี ระยะทาง (กโิ ลเมตร) 200 160 120 เรือแสนบดินทร 80 40 เรอื สนิ ธารา 08.00 09.00 10.00 11.00 12.00 13.00 เวลา (นาิกา) จากกราฟ จงตอบคำถามตอไปนี้ 1) เรือแสนบดินทรอ อกเดนิ ทางเวลาใด ดว ยอัตราเร็วเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 2) เรือสินธาราออกเดนิ ทางเวลาใด ดว ยอตั ราเรว็ เทาใด ตอบ ............................................................................................................................... 3) เรือทง้ั สองลำจะแลนไดร ะยะทางเทา กัน หลังจากออกเดินทางไปไดก ่ชี ัว่ โมง ตอบ ............................................................................................................................... ....................................................................................................................................... 4) หลังเวลา 11.00 น. เรอื ลำใดเลนไดระยะทางมากกวา ตอบ ............................................................................................................................... 5) เมื่อเรือท้ังสองลำแลน ออกจากทา ไปแลว เวลาใดทเี่ รือทั้งสองลำจะแลน ไดระยะตา งกนั 20 กโิ ลเมตร ตอบ ............................................................................................................................... 6) ถา จุดหมายปลายทางอยหู างจากจดุ เร่ิมตน 200 กิโลเมตร เรอื สนิ ธาราจะถงึ จุดหมายปลายทาง เวลาประมาณเทาใด ตอบ ............................................................................................................................... By Kru Potjanat ~ 17 ~

4. กราฟตอไปน้ีแสดงความสามารถในการละลายของสาร P และสาร Q ในน้ำ 100 กรัม ณ อุณหภมู ิ ตาง ๆ กนั จากกราฟ จงตอบคำถามตอไปน้ี 1) ทีอ่ ณุ หภมู ใิ ด ความสามารถในการละลายของสารท้งั สองชนดิ เทากนั และละลายไดกกี่ รมั ตอบ ............................................................................................................................... 2) ท่ีอุณหภูมิ 20 o C สารใดละลายนำ้ ไดม ากกวา ตอบ ............................................................................................................................... 3) ท่ีอณุ หภมู ิ 50 o C สารใดละลายนำ้ ไดม ากกวา ตอบ ............................................................................................................................... 4) จงบรรยายเปรียบเทียบความสามารถในการละลายของสาร P และสาร Q ในน้ำ 100 กรัม ณ อุณหภูมิตาง ๆ กัน ตอบ ............................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 5) ถาใหสาร P และสาร Q ละลายในนำ้ 100 กรมั โดยเพ่ิมอุณหภมู ิใหสงู กวา 90 o C นักเรียนคาดวา ความสามารถในการละลายของสารท้ังสองจะแตกตา งกันอยางไร ตอบ ............................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ By Kru Potjanat ~ 18 ~

3.3 ความสัมพันธ์เชงิ เส้น ความสัมพนั ธของปรมิ าณสองปรมิ าณทมี่ ีกราฟอยใู นแนวเสน ตรงเดยี วกัน เรียกความสัมพนั ธ ในลกั ษณะเชนนีว้ า ความสัมพันธเชิงเสน และเรียกสมการของความสมั พันธเ ชงิ เสน ท่ีแสดงความเก่ียวขอ ง ระหวา งปรมิ ารสองปริมาณ วา สมการเชงิ เสน สองตัวแปร สมการเชงิ เสน สองตวั แปร เปน สมการทส่ี ามารถเขียนไดใ นรปู ท่ัวไปเปน Ax + By + C = 0 เมอ่ื x, y เปนตวั แปร A, B และ C เปนคา คงตวั โดยท่ี A และ B ไมเปน ศนู ยพอ มกัน ลักษณะสำคัญของสมการเชิงเสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 คอื มีตวั แปรสองตัว และตอ งไมม ี การคูณกันของตัวแปร เลขชีก้ ำลงั ของตัวแปรแตล ะตวั ตองเปนหนึง่ A และ B ตัวใดตวั หน่งึ เปน ศูนยได แตจ ะเปนศนู ยพรอ มกนั ไมไ ด ตัวอยา งของสมการเชิงเสนสองตวั แปร แสดงดงั ตาราง สมการ A B C 5x + y – 3 = 0 7x – 1.5 = 0 2x + 4 = 0 –x + 6y = 10 y = –3 กรณีทก่ี ำหนดสมการเชงิ เสน สองตัวแปรในรปู Ax + By + C = 0 ถาไมระบเุ งื่อนไขของ x และ y ใหถ ือวา x และ y แทนจำนวนใด ๆ และกราฟของสมการเชงิ เสนสองตัวแปรน้ี จะเปน สมการเสน ตรงที่ เรียกวา กราฟเสนตรง ในกรณีท่วั ๆ ไป เราสามารถเขยี นกราฟของสมการ Ax + By + C = 0 เมื่อ B ≠ 0 โดยจัดสมการให อยูใ นรปู ที่สะดวกตอการแทนคา x เพอ่ื หาคา y ไดใ นรูป y = mx + b เมือ่ m และ b เปนคาคงตวั และอาจ เรยี ก x วา ตัวแปรอสิ ระ หรอื ตัวแปรตน และเรยี ก y วา ตัวแปรตาม By Kru Potjanat ~ 19 ~

ลักษณะกราฟของสมการในรปู y = mx + b สามารถแสดงไดดงั น้ี สมการ m กราฟ y = mx + b m>0 Y 0X m<0 Y 0X m=0 Y 0X จากลักษณะของกราฟ จะเหน็ วา เม่ือ m > 0 กราฟจะมีลักษณะเปน เสนตรงที่ทำมุมแหลมกับแกน X โดยวดั จากแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาิกา m < 0 กราฟจะมีลักษณะเปน เสนตรงทีท่ ำมุมปานกับแกน X โดยวดั จากแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาิกา m = 0 กราฟจะมีลักษณะเปนเสน ตรงท่ีขนานกบั แกน X สมการที่อยใู นรปู y = mx + b เมอ่ื x และ y เปนตวั แปรที่แทนจำนวนใด ๆ โดยที่ m และ b เปนคา คงตัว จะเปนกราฟเสนตรง และเรียก m วา ความชัน ของเสน ตรง By Kru Potjanat ~ 20 ~

1) แบบฝึกหดั ท่ี 4 1. จงพจิ ารณาสมการท่กี ำหนดใหเปนสมการเชงิ เสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 หรือไม ถา เปน ทำ เครอ่ื งหมาย  ในชอ งเปน พรอ มทงั้ ระบุ คา A , B และ C ถา ไมเปน ทำเครอื่ งหมาย  ในชอง ไมเปน สมการ สมการเชงิ เสน สองตวั แปรเดยี ว ระบุ คา A , B และ C เปน ไมเ ปน 1) x + 3y – 5 = 0 2) xy + 1 = 0 3) 0.5x + y = 0 4) x2 + y = 0 5) –3y + 2x + 1 = 0 6) 4y + 9 = 0 7) 4x + 5xy − 2 = 0 8) 2x + 2y = –8 9) x +y = 0 y 10) x = 0 2. จงเตมิ คำตอบในแตละชอ งใหถกู ตอง สมการ Ax + By + C = 0 สมการในรูป y = mx + b ความชัน 1) y + 4x = 8 2) –5x + y + 1 = 0 3) 2x + 4y = 10 4) y +4 = 2x 5 5) x + 1 = − 3y By Kru Potjanat ~ 21 ~

3. จงเขยี นกราฟของสมการเชิงเสนสองตวั แปรทก่ี ำหนดใหตอ ไปนี้ 1) y = 3x – 1 วธิ ีทำ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = 3x – 1 ไดดังตาราง x y = 3x – 1 จากตาราง จะไดค ูอนั ดับ คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ y = 3x – 1 แสดงไดด ังนี้ By Kru Potjanat ~ 22 ~

2) y = 5 – x วิธที ำ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = 5 – x ไดด ังตาราง x y=5–x จากตาราง จะไดคอู นั ดบั คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ y = 5 – x แสดงไดด ังน้ี By Kru Potjanat ~ 23 ~

3) y = –5 วิธที ำ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = –5 ไดดงั ตาราง x y = –5 จากตาราง จะไดคอู ันดับ คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ y = –5 แสดงไดดังน้ี By Kru Potjanat ~ 24 ~

4) 2x – y = 4 วิธที ำ จากสมการ 2x – y = 4 เขยี นสมการในรปู y = mx + b จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดค อู นั ดบั คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ 2x – y = 4 แสดงไดดังนี้ By Kru Potjanat ~ 25 ~

5) x – y = 3 วิธที ำ จากสมการ x – y = 3 เขยี นสมการในรปู y = mx + b จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดคูอันดับ คือ ........................................................................................... กราฟของสมการ x – y = 3 แสดงไดดังนี้ By Kru Potjanat ~ 26 ~

6) 5y = –15x เขียนสมการในรปู y = mx + b วิธีทำ จากสมการ 5y = –15x จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดค ูอนั ดบั คือ ........................................................................................... กราฟของสมการ 5y = –15x แสดงไดดงั นี้ By Kru Potjanat ~ 27 ~

7) x – y – 7 = 0 วิธที ำ จากสมการ x – y – 7 = 0 เขยี นสมการในรูป y = mx + b จะได ........................................................ ....................................................... ....................................................... กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y = ..................... จากตาราง จะไดคูอันดับ คอื ........................................................................................... กราฟของสมการ x – y – 7 = 0 แสดงไดด ังนี้ By Kru Potjanat ~ 28 ~

8) x = 6 วธิ ีทำ จากสมการ x = 6 กำหนดคา y และ หาคา x จากสมการ x = 6 ไดดังตาราง x y จากตาราง จะไดค ูอันดับ คือ ........................................................................................... กราฟของสมการ x = 6 แสดงไดด ังนี้ By Kru Potjanat ~ 29 ~

9) จงเขียนกราฟแสดงความสมั พันธระหวางจำนวนเต็มสองจำนวน จากขอความ “ผลบวกของสี่เทาของจำนวนเตม็ จำนวนหนงึ่ กบั จำนวนเตม็ อีกจำนวนหนง่ึ เทา กับสบิ ” วิธีทำ ให จำนวนเตม็ จำนวนหน่ึง คอื x และ จำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง คือ y ดังนน้ั ผลบวกของสี่เทา ของจำนวนเตม็ จำนวนหนึ่งกับจำนวนเต็มอกี จำนวนหน่งึ เทา กบั สิบ เขียนสมการได คอื .............................................................................................. เขียนสมการในรปู y = mx + b ไดคือ ............................................................................ กำหนดคา x และ หาคา y จากสมการ y = .............................. ไดด งั ตาราง x y จากตาราง จะไดค ูอนั ดับ คือ ........................................................................................... กราฟแสดงความสมั พนั ธระหวางจำนวนเต็มสองจำนวน จากขอ ความ “ผลบวกของสีเ่ ทาของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งกบั จำนวนเต็มอกี จำนวนหนึ่งเทากับสิบ” แสดงไดด งั นี้ By Kru Potjanat ~ 30 ~

10) จงเขียนกราฟแสดงความสมั พนั ธร ะหวางความยาวรัศมขี องวงกลมกับความยาวเสนรอบวงของ วงกลม วิธีทำ ให รศั มขี องวงกลมยาว r หนว ย ดังน้นั ความยาวเสนรอบวงของวงกลมยาว ........................................หนว ย กำหนดรัศมีของวงกลม (r) และ หาความยาวเสน รอบวงของวงกลม ไดด งั ตาราง รศั มีของวงกลม ความยาวเสน รอบวงของวงกลม จากตาราง จะไดค อู นั ดับ คอื ........................................................................................... กราฟแสดงความสัมพนั ธระหวางความยาวรศั มขี องวงกลมกับความยาวเสน รอบวงของวงกลม แสดงไดดังนี้ By Kru Potjanat ~ 31 ~

การหาจดุ ตดั แกน X และ แกน Y ของกราฟเส้นตรง Ax + By + C = 0 1. การหาจดุ ตดั แกน X ทำไดโดยแทนคา y ดวย 0 2. การหาจุดตดั แกน Y ทำไดโ ดยแทนคา x ดว ย 0 ตัวอยา งที่ 1 จงหาจุดตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ 5x + 2y = 10 วธิ ที ำ หาจุดตัดแกน X ทำไดโ ดยแทนคา y ดว ย 0 ในสมการ 5x + 2y = 10 จะได 5x + 2(0) = 10 5x = 10 10 x =5 หรอื x = 2 ดงั นั้นจุดตัดแกน X คอื (2 , 0) หาจุดตัดแกน Y ทำไดโ ดยแทนคา x ดวย 0 ในสมการ 5x + 2y = 10 จะได 5(0) + 2y = 10 2y = 10 10 y =2 หรือ y = 5 ดงั นน้ั จุดตัดแกน Y คอื (0 , 5) ตอบ จุดตดั แกน X คือ (2 , 0) และ จุดตดั แกน Y คือ (0 , 5) By Kru Potjanat ~ 32 ~

ตัวอยางที่ 2 จงหาจดุ ตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ 4y – 3x + 9 = 0 วิธีทำ หาจดุ ตัดแกน X ทำไดโดยแทนคา y ดว ย 0 ในสมการ 4y – 3x + 9 = 0 จะได 4(0) –3x + 9 = 0 –3x + 9 = 0 –3x = –9 −9 x = −3 หรอื x = 3 ดังนัน้ จุดตดั แกน X คือ (3 , 0) หาจดุ ตัดแกน Y ทำไดโดยแทนคา x ดว ย 0 ในสมการ 4y – 3x + 9 = 0 จะได 4y –3(0) + 9 = 0 4y + 9 = 0 4y = –9 −9 y =4 ดงั นน้ั จดุ ตดั แกน Y คือ  0, −9  4 −9 ตอบ จุดตดั แกน X คือ (3 , 0) และ จุดตัดแกน Y คือ  0, 4  By Kru Potjanat ~ 33 ~

การตรวจสอบวา่ จุด (a , b) อยบู ่ นกราฟ ของสมการ Ax + By + C = 0 จดุ (a , b) อยูบ นกราฟของสมการเชิงเสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 เมื่อแทน x ดวย a และ แทน y ดวย b ในสมการแลวทำใหสมการเปนจรงิ จุด (a , b) ไมอยูบนกราฟของสมการเชิงเสนสองตวั แปร Ax + By + C = 0 เม่ือแทน x ดว ย a และ แทน y ดวย b ในสมการแลวทำใหสมการไมเปน จริง ตวั อยางท่ี 1 จงตรวจสอบวา จุด (4 , –3) อยูบนกราฟ 2x + 5y + 7 = 0 หรือไม วธิ ที ำ แทน x ดวย 4 และ แทน y ดว ย –3 ในสมการ 2x + 5y + 7 = 0 จะได 2(4) + 5(–3) + 7 = 0 8 + (–15) + 7 = 0 0 = 0 สมการเปนจริง ดังนน้ั จดุ (4 , –3) อยูบ นกราฟ 2x + 5y + 7 = 0 ตัวอยางที่ 2 จงตรวจสอบวา จุด (1 , –2) อยบู นกราฟ –3y –8x + 2 = 0 หรอื ไม วิธที ำ แทน x ดวย 1 และ แทน y ดว ย –2 ในสมการ –3y –8x + 2 = 0 จะได –3(–2) –8(1) + 2 = 0 6–8 +2 =0 0 = 0 สมการเปน จริง ดงั นน้ั จุด (1 , –2) อยูบ นกราฟ –3y –8x + 2 = 0 ตัวอยางที่ 3 จงตรวจสอบวาจดุ (2 , 3) อยบู นกราฟ 5 – 3y = 2x หรือไม วธิ ีทำ แทน x ดว ย 2 และ แทน y ดวย 3 ในสมการ 5 – 3y = 2x จะได 5 – 3(3) = 2(2) 5–9=4 –4 = 4 สมการไมเ ปน จริง ดังนน้ั จดุ (2 , 3) ไมอยูบนกราฟ 5 – 3y = 2x By Kru Potjanat ~ 34 ~

2) แบบฝึกหดั ท่ี 5 1. จงหาจุดตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ x + 2y – 4 = 0 หาจุดตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 2. จงหาจดุ ตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ –4x –3y = 20 หาจุดตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. By Kru Potjanat ~ 35 ~

3. จงหาจุดตัดแกน X และ แกน Y ของสมการ 2x + 2(y − 1) =4 5 หาจดุ ตัดแกน X หาจุดตัดแกน Y .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. 4. จงตรวจสอบวาจุด (–5 , –8) อยบู นกราฟ 7y – 9x = 11 หรอื ไม ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. By Kru Potjanat ~ 36 ~

5. จงตรวจสอบวาจุด (2 , –4) อยบู นกราฟ 7x + y = 10 หรอื ไม ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6. จงตรวจสอบวา จดุ (–6 , 2) อยูบนกราฟ –6(3 +y) –5x = 0 หรอื ไม ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. By Kru Potjanat ~ 37 ~

7. ถา จุด (–3 , –1) เปนจดุ ที่อยบู นกราฟ kx + y +25 = 0 แลว k มคี า เทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 8. ถา (–8 , k) เปนคำตอบของสมการ 4(2x + 1) + 15y = 0 แลว k มีคาเทา ใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. I can do it, teacher. By Kru Potjanat ~ 38 ~