3 คณิตศาสตร์ พค31001 บทที่ 3

29 บทท่ี 3 เซต สาระสาํ คัญ 1. เซต โดยท่วั ไปหมายถงึ กลมุ คน สัตว สง่ิ ของ ทร่ี วมกนั เปนกลมุ โดยมสี มบตั บิ างอยา ง รว มกนั และบรรดาสิ่งท้ังหลายท่อี ยใู นเซตเราเรยี กวา “ สมาชกิ ” ในการศกึ ษาเรือ่ งเซตจะ ประกอบไปดว ย เซต เอกภพสมั พัทธ สบั เซตและเพาเวอรเ ซต 2. การดาํ เนนิ การบนเซต คอื การนําเซตตาง ๆ มากระทํารวมกนั เพอื่ ใหเ กดิ เปน เซตใหม ซ่ึง ทาํ ได 4 วิธคี ือ การยูเน่ยี น การอนิ เตอรเซคชัน่ ผลตางระหวางเซต และการคอมพลเี มนต 3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชว ยใหก ารพจิ ารณาเกี่ยวกบั เซตไดง า ยข้นึ โดยใชหลกั การคือ 3.1 ใชรูปสเ่ี หล่ียมผืนผาแทนเอกภพสัมพทั ธ “U” 3.2 ใชว งกลมหรอื วงรแี ทนเซตตา ง ๆ ทเ่ี ปนสมาชกิ ของ “U” และเขียนภายในสเี่ หลยี่ มผนื ผา ผลการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1. อธบิ ายความหมายเก่ียวกับเซตได 2. สามารถหายเู นี่ยน อนิ เตอรเ ซกช่ัน ผลตางของเซต และคอมพลีเมนต ได 3. เขยี นแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแ กป ญ หาท่เี กย่ี วกบั การหาสมาชกิ ของเซตได ขอบขา ยเน้อื หา เรอ่ื งที่ 1 เซต เร่อื งท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต เรอื่ งที่ 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญ หา

30 เรอื่ งที่ 1 เซต (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลมุ สงิ่ ของตาง ๆ ไมว าจะเปน คน สัตว ส่งิ ของหรือนิพจนท างคณติ ศาสตร ซึ่งระบุสมาชิกในกลุม ได ยกตวั อยา ง เซต เชน 1) เซตของวิทยาลยั เทคนิคในประเทศไทย 2) เซตของพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) เซตของจาํ นวนเต็ม 4) เซตของโรงเรียนระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร เรยี กส่ิงตา ง ๆ ท่ีอยูใ นเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตน้นั เชน 1) วทิ ยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวทิ ยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) “ร” เปน สมาชิกเซตพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) 5 เปนสมาชกิ ของจํานวนเตม็ 4) โรงเรยี นดงมะไฟวทิ ยาเปนสมาชกิ เซตโรงเรยี นระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร 1.2 วิธกี ารเขยี นเซต การเขียนเซตเขยี นได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขยี นสมาชกิ ทกุ ตัวของเซตลงในเคร่ืองหมายวงเลบ็ ปกกาและใชเครื่องหมายจุลภาค (,) ค่นั ระหวา งสมาชกิ แตล ะตวั น้นั ตวั อยา งเชน A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต โดยใชต วั แปรแทนสมาชิกของเซต และบอก สมบตั ขิ องสมาชิกในรปู ของตวั แปร ตัวอยา งเชน A = { x | x เปน จาํ นวนเต็มบวกท่ีมคี านอยกวาหรอื เทา กับ 5} B = { x | x เปนสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เปน จาํ นวนเต็ม} สญั ลกั ษณเซต โดยท่วั ๆ ไป การเขยี นเซตหรอื การเรยี กชอ่ื ของเซตจะใชอ ักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพ ใหญไ ดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปน ตน ทงั้ นเ้ี พ่ือความสะดวกในการอางองิ เมื่อเขียนหรือกลาวถงึ เซต นัน้ ๆ ตอ ไป สาํ หรบั สมาชิกในเซตจะเขียนโดยใชอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพเล็ก

31 มสี ัญลักษณอ กี อยา งหนงึ่ ทีใ่ ชอยเู สมอ ๆในเร่ืองเซต คือสญั ลกั ษณ  ( Epsilon) แทนความหมายวา อยูใน หรอื เปน สมาชิก เชน กาํ หนดให เซต A มสี มาชกิ คอื 2 , 3 , 4 , 8 , 10 ดงั นั้น 2 เปน สมาชิกของ A หรืออยูใ น A เขยี นแทนดวย 2  A 10 เปน สมาชิกของ A หรืออยใู น A เขยี นแทนดวย 10  A ใชส ญั ลกั ษณ  แทนความหมาย “ไมอ ยู หรอื ไมเ ปนสมาชกิ ของเซต เชน 5 ไมเ ปน สมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 5  A 7 ไมเ ปน สมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว ย 7  A ขอ สงั เกต 1. การเรยี งลาํ ดับของแตละสมาชกิ ไมถ ือเปนสิ่งสําคญั เชน A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถอื วาเซต A และเซต B เปน เซตเดยี วกัน 2. การนับจาํ นวนสมาชกิ ของเซต จํานวนสมาชกิ ทเ่ี หมือนกนั จะนับเพยี งคร้ังเดยี ว ถงึ แมจ ะเขียนซํา้ ๆ กนั หลาย ๆ คร้ัง เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจาํ นวนสมาชกิ 4 ตัว คอื 0 , 1 , 2 , 3 เปนตน 1.3 ชนดิ ของเซต 1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set ) บทนิยาม แทนเซตวาง เซตวาง คือ เซตทีไ่ มมีสมาชิก ใชสญั ลกั ษณ  หรือ { } ( เปนอกั ษรกรกี อา นวา phi) ตวั อยา ง เชน A = { x | x เปนชอื่ ทะเลทรายในประเทศไทย } ดังนั้น A เปนเซตวา ง เนือ่ งจากประเทศไทยไมมที ะเลทราย B = { x | x  I+ และ x + 2 = x } ดังนนั้ B เปน เซตวาง เนอื่ งจากไมมจี าํ นวนเต็มบวกทนี่ าํ มาบวกกบั 2 แลว ได ตวั มนั เอง เซต B จึงไมม ีสมาชิก ขอสงั เกต 1. เซตวา งมจี ํานวนสมาชิก เทากบั ศนู ย ( ไมมสี มาชิกเลย ) 2. 0  Ø 3. { 0 } ไมเ ปน เซตวาง เพราะมจี ํานวนสมาชิก 1 ตัว

32 1.3.2 เซตจาํ กดั ( Finite Set ) บทนยิ าม เซตจาํ กดั คือ เซตทสี่ ามารถระบจุ าํ นวนสมาชิกในเซตได ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจาํ นวนสมาชกิ 3 ตวั หรือ n(A) = 3 B = { x | x เปน จาํ นวนเตม็ และ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชกิ 100 ตัว หรอื n(B) = 100 C = { x | x เปนจํานวนเต็มที่อยูระหวา ง 0 กบั 1 } ดงั นนั้ C เปนเซตวา ง มจี าํ นวนสมาชกิ 0 ตัว หรือ n(C) = 0 D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชกิ 99 ตวั หรอื n(D) = 99 E = { x | x เปน วนั ในหนึง่ สปั ดาห } มจี ํานวนสมาชิก 7 ตัว หรือ n(E) = 7 หมายเหตุ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย n(A) 1.3.3 เซตอนนั ต ( Infinite Set ) บทนิยาม เซตอนันต คอื เซตทไ่ี มใชเซตจาํ กดั ( หรือเซตทีม่ ีจาํ นวนสมาชิกไมจาํ กดั น่นั คอื ไมส ามารถนับจาํ นวนสมาชกิ ไดแ นน อน ) ตัวอยา งเชน A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมอื่ n เปนจํานวนนับ } C = { x | x เปนจาํ นวนจรงิ } T = { x | x เปน จํานวนนับ } ตวั อยา ง จงพจิ ารณาเซตตอ ไปน้ี เซตใดเปน เซตวาง เซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต เซต เซตวา ง เซตจํากดั เซตอนันต 1. เซตของผทู ี่เรยี นการศกึ ษานอกโรงเรียน / / / ปก ารศึกษา 2552 2. เซตของจาํ นวนเตม็ บวกค่ี 3. เซตของสระในภาษาไทย / 4. เซตของจํานวนเตม็ ท่ีหารดว ย 10 ลงตวั 5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /

33 1.3.4 เซตท่ีเทากัน ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเทากนั กต็ อ เมื่อท้งั สองเซตมสี มาชิกอยางเดยี วกนั และจํานวนเทากัน บทนิยาม เซต A เทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A = B หมายความวา สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เปนสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชกิ ทุกตัวของเซต A ถา สมาชิกตัวใดตัวหน่งึ ของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรอื สมาชกิ บางตวั ของเซต B ไมเ ปน สมาชิกของเซต A เซต A ไมเทากับเซต B เขยี นแทนดว ย A ≠ B ตัวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } } B = { { 2 ,1 } , 0 } ดังนน้ั A = B ตัวอยา ง กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เปน จํานวนเต็มบวกเลขคทู ่ีนอยกวา 10 } วิธีทาํ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เปนจํานวนเตม็ บวกคูท ่ีนอ ยกวา 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดงั น้นั A = B ตัวอยาง กาํ หนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } วิธีทํา พจิ ารณา x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3,5 C = {3,5} ดงั นนั้ A = B แต A ≠ C เพราะ 2  A แต 2  C B  C เพราะ 2  B แต 2  C

34 1.3.5 เซตท่เี ทียบเทา กนั ( Equivalentl Sets ) เซตทีเ่ ทยี บเทา กัน คอื เซตทมี่ ีจํานวนสมาชิกเทา กันและสมาชิกของเชตจับคกู นั ไดพอดี แบบหน่ึงตอ แบบหน่ึง สญั ลักษณ เชต A เทียบเทา กับเชต B แทนดวย A ↔ B บทนิยาม เซต A เทยี บเทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A ~ B หรือ A ↔ B หมายความวา สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจบั คูห นง่ึ ตอหนง่ึ ไดพอดี ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , 3 } B = {4,5,6} จะเหน็ วา จํานวนสมาชกิ ของเซต A เทากับจาํ นวนสมาชิกของ B ดังนน้ั A ↔ B C = { xy , ab } D = {0,1} ดังนั้น C ~ D เพราะจํานวนสมาชกิ เทา กนั ตวั อยาง จงพิจารณาเซตแตละคูตอ ไปนวี้ า เซตคใู ดเทากนั หรือเซตคใู ดเทยี บเทา กนั 1) A = { x / x เปนจํานวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 } B = {1,9} 2) C = { a , { b, c } , d } D = {1,2,{3}} 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = {4,1,7} วิธที าํ 1) A = B และ A  B เพราะมีจาํ นวนสมาชิกเทา กัน และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตวั 2) C  D แต C  D เพราะมีจาํ นวนสมาชกิ เทา กนั แตส มาชิกแตละคูไมเหมือนกนั ทุกตวั 3) E = F และ E  F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทา กนั และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตัว ขอ สงั เกต 1.312...6 เถถอาากภAAพส=ัมพBBทั แธแลลว ว A B B A ไมจ ําเปน ตอ งเทา กบั

35 บทนิยาม เอกภพสมั พัทธ คอื เซตท่กี ําหนดขน้ึ โดยมีขอ ตกลงกันวาจะไมกลาวถึง สิง่ อนื่ ใด นอกเหนือไปจากสมาชกิ ของเซตทีก่ ําหนด ใชส ัญลกั ษณ U แทน เอกภพสัมพทั ธ ตวั อยา งเชน กําหนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A = x | x2  4  จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = 2 กําหนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A เปนจาํ นวนคู ตอบ A = 2,4,6,8,10 ขอสังเกต ถาไมมกี ารกําหนดเอกภพสมั พัทธ ใหถอื วา เอกภพสัมพทั ธนั้นเปนเซตของจํานวนจรงิ

36 แบบฝก หดั ที่ 1 1. จงเขยี นเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ 1) เซตของจังหวดั ในประเทศไทยท่มี ีช่ือขน้ึ ตนดวยพยญั ชนะ “ส” 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ 3) เซตของจํานวนเต็มบวกทมี่ ีสามหลัก 4) เซตของจาํ นวนคูบ วกทีม่ ีคา นอยกวา 20 5) เซตของจํานวนเตม็ ลบทมี่ คี า นอยกวา – 120 6) { x|x เปน จาํ นวนเตม็ ทีม่ ากกวา 5 และนอยกวา 15 } 7) { x|x เปนจาํ นวนเตม็ ท่ีอยูระหวาง 0 กบั 0 } 2. จงบอกจาํ นวนสมาชิกของเซตตอไปน้ี 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 3) C = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกที่อยรู ะหวาง 10 ถึง 35 } 4) D = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกทน่ี อ ยกวา 9 } 3. จงเขียนเซตตอไปน้แี บบบอกเง่อื นไข 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...} 4. จงพจิ ารณาเซตตอไปน้ี เปนเซตวางหรือเซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต 1) เซตของสระในภาษาไทย 2) เซตของจาํ นวนเต็มท่ีอยรู ะหวาง 21 และ 300 3) A = { x | x เปนจาํ นวนเตม็ และ x  0 } 4) B = { x | x เปนจาํ นวนเต็มคทู ่นี อ ยกวา 2 } 5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 } 6) A = { x | x เปน จํานวนนับทน่ี อยกวา 1 } 7) E = { x | x เปน จาํ นวนเฉพาะ 1  x  3 } 8) F = { x | x เปนจํานวนเตม็ 4  x  5 } 9) B = { x | x เปน จํานวนนับ x2 + 3x + 2 = 0 } 10) D = { x | x เปน จํานวนเต็มทีห่ ารดวย 5 ลงตัว }

37 5. เซตตอไปนี้เซตใดบางท่เี ปนเซตทเ่ี ทากนั 1) A = { 2,4,6,8,10 } B = {x| x เปนจาํ นวนคูบ วก 2 ถึง 10 } 2) D = { 7,14,21,28,......343} E = {x|x = 7r และ r เปน จาํ นวนนบั ทม่ี ีคา นอ ยกวา 50 } 3) F = { x|x =3n และ n และ n } G = { 3,6,9} 4) Q = {4} H = { x|x เปน จาํ นวนเต็มและ x2 16 }

38 เรื่องท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต การดําเนนิ การที่สาํ คญั ของเซตท่จี าํ เปนตอ งรูแ ละทาํ ความเขา ใจใหถ อ งแทม ี 4 ชนดิ ไดแ ก 1. การยเู นียนของเซต 2. การอินเตอรเ ซคชน่ั ของเซต 3. คอมพลเี มน ทข องเซต 4. ผลตางของเซต 2.1 การยูเนยี นของเซต ใชส ญั ลกั ษณ “ ” บทนิยาม A  B = { x | x  A  x  B } เรียกวา ผลบวก หรอื ผลรวม (union) ของ A และ B ตัวอยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A  B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M  L = M ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W  Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตวั อยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} จะได A  B = {1,2,3,4,5} 2.2 การอนิ เตอรเซคชนั ใชสัญลักษณ “ ” บทนยิ าม A  B = { x|x A  xB } เรยี กวา ผลตดั หรือผลทเี่ หมอื นกัน (Intersection) ของ A และ B ตวั อยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A  B = {1 , 3} ตัวอยา ง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M  L = L

39 ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W Z = { } 2.3 คอมพลเี มน ตข องเซต ใชสัญลักษณ “ / ” บทนยิ าม ถา U เปนเอกภพสัมพทั ธ คอมพลีเมนตของ A คอื เซตทีป่ ระกอบดวยสมาชกิ ทอี่ ยูใน  แตไ มอยูใน A เขยี น A แทนคอมพลีเมน ทของ A ดงั น้ัน A = { x | x  A } ตัวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนค}ู จะได = { x |x U และ x เปนจาํ นวนค่ี } 2.4 ผลตางของเซต ใชส ญั ลักษณ “ – ” บทนยิ าม ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดว ยสมาชกิ ของเซต A ซงึ่ ไมเปนสมาชกิ ของเซต B ผลตางระหวา งเซต A และ B เขียนแทนดวย A – B ซง่ึ A - B = { x | x  A xB} ตวั อยา ง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}

40 ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนคบู วก} จะได U – C = {x|x เปนจํานวนคบ่ี วก} สมบัติของเซตทค่ี วรทราบ ให A,B และ C เปน สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ U สมบัตติ อ ไปน้เี ปน จรงิ 1) กฎการสลับท่ี AB  B A AB  B A 2) กฎการเปลยี่ นกลมุ A  B  C  A  B C A  B  C  A  B C 3) กฎการแจงแจง A  B  C  A  B A  C A  B  C  A  B A  C 4) กฎเอกลักษณ   A  A  A U  A  AU  A 5) A  A  U 6)   U และ U    7) A  A 8) A  A  A และ A  A  A 9) A  B  A  B 10) A    และ A   A

41 แบบฝก หดั ท่ี 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A  B ……………………………. 2). B  A …………………………..…… 3). A  B ............................................. 4). B  A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….…. 2). กาํ หนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A  B ……………………………………………………………………………………… 2. B  C ……………………………………………………………………………………… 3. B  C …………………………………………………………………………………….… 4. A  C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C ..………………………………………………………………………………..…………. 6. C  A ………………………………………………………………………………..…….. 7. C  B ..………………………………………………………………………………..…… 8. (A ……………………………………………….…………………………………

42 เร่อื งท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกป ญ หา 3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร การเขียนแผนภาพแทนเซตชว ยใหเขาใจเก่ียวกับความสัมพนั ธระหวา งเซตชดั เจนยงิ่ ขึน้ เรยี ก แผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน- ออยเลอร เพื่อเปน เกียรติแกน กั คณติ ศาสตรชาวองั กฤษ จอหน เวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนักคณติ ศาสตรชาวสวสิ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Euler พ.ศ. 2250-2326) ซง่ึ เปนผูคดิ แผนภาพเพอื่ แสดงความสัมพนั ธร ะหวา งเซต การเขยี นแผนภาพของเวนน- ออยเลอร (Venn-Euler) เพือ่ แสดงความสัมพนั ธระหวางเซตนิยม เขยี นรูปสีเ่ หลย่ี มมุมฉากแทนเอกภพสมั พทั ธ (U) และใชรปู วงกลม วงรี หรอื รูปปดใด ๆ แทนเซต ตา ง ๆ ซ่ึงเปนสบั เซตของ U ลักษณะตาง ๆ ของการเขยี นแผนภาพ มดี งั น้ี ซ่ึงแผนภาพเวนน- ออยเลอร เมอ่ื นํามาใชก บั การดาํ เนินการบนเซตแลว นน้ั จะทาํ ใหผ ูเรยี นเขา ใจ ในเรอ่ื งการดาํ เนินการบนเซตมากขนึ้ ดังตวั อยา งตอ ไปนี้ ยเู นียน (Union) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท เ่ี กิด จาก ไดจากสว นที่แรเงา ดังน้ี (ระบายพื้นทข่ี องท้งั สองเซตไมวา จะมพี ้ืนทซี่ ้ํากันหรอื ไมซ ้ํากนั )

43 อนิ เตอรเซกชนั (intersection) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเหน็ กรณีตา ง ๆ ของเซตใหมท ีเ่ กิดจาก ไดจ ากสวนท่ีแรเงา ดงั นี้ คอมพลเี มนต (Complement) กําหนดให เซต A เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U คอมพลเี มนตของ A คือ เซตทีป่ ระกอบดว ย สมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไ มเปน สมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย (อา นวา เอไพรม) และ เพอ่ื ใหม องภาพไดช ดั ข้นึ อาจใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอรแสดงการคอมพลเี มนตข องเซต A ได ดังน้ี A คือ สวนท่ีแรเงา ผลตาง (Relative Complement or Difference) สามารถใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท ่ีเกดิ จาก A - B ไดจากสว นที่แรเงา ดังน้ี (ระบายสีเฉพาะพน้ื ท่ีของเซต A ท่ไี มใ ชพื้นทข่ี องเซต B)

44 3.1 การหาจาํ นวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั  ถาเซต A และ B ไมมสี มาชกิ รวมกันจะได n (A  B) = n (A) + n (B)  ถาเซต A และ B มสี มาชิกบางตวั รว มกนั จะได n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) พิจารณาจากรปู ตวั เลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18 2) n (A  B) = 6 4) n (A  B) = 28 5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10 7) n (A  B)/ = 22 8) n ( A/  B/ ) = 22 ตัวอยางที่ 3 กําหนดให A มีสมาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตวั A  B มสี มาชกิ 7 ตวั จงหาจํานวนสมาชิกของ A  B วิธีทํา n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A  B ) = 7 จากสูตร n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดงั น้นั จํานวนสมาชกิ ของ A  B เทา กบั 20 ตวั

45 ตัวอยางท่ี 4 กําหนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยท่ี U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ถา n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A  B) / วิธที ํา จาก n ( U ) = 10 , n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 n (A  B) = n (A  B/)  n ( A  B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) n(A  B) = 7+6–5 = 8  n ( A  B) / = 10 - 8 = 2  ถา เซต A เซต B และเซต C มสี มาชิกบางตัวรวมกนั n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C) ตัวอยางท่ี 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซต จะได = 60 1) n (U) = 26 2) n (A) =7 3) n (B  C) =8 4) n (A  C) =3 5) n (A  B  C )

46 3.2 การนาํ เซตไปใชในการแกป ญ หา การแกป ญ หาโจทยโดยใชค วามรูเ ร่ืองเซต สิง่ ท่ีนาํ มาใชประโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผน ภาพเวนน - ออยเลอร และนําความรเู รอ่ื งสมาชิกของเซตจาํ กดั ดงั ที่จะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้ ตัวอยา งท่ี 1 บริษัทแหง หนง่ึ มีพนักงาน 80 คน พบวา พนักงาน 18 คนมีรถยนต พนกั งาน 23 คน มบี า นเปน ของตวั เอง และพนกั งาน 9 คน มบี านของตัวเองและรถยนต จงหา 1) จาํ นวนพนกั งานทงั้ หมดทีม่ รี ถยนตห รือมีบานเปนของตวั เอง 2) จํานวนพนกั งานทีไ่ มม รี ถยนตห รือบา นของตวั เอง วธิ ีทาํ ให A แทนเซตของพนกั งานท่ีมีรถยนต B แทนเซตของพนักงานทีม่ บี านเปน ของตวั เอง เขยี นจาํ นวนพนักงานที่สอดคลองกบั ขอมลู ลงในแผนภาพไดดังน้ี 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9 พิจารณา n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดังน้นั จาํ วนพนักงานที่มรี ถยนตหรอื มีบานของตวั เองเปน 32 คน 2) เนือ่ งจากพนักงานท้งั หมด 80 คน นนั่ คอื พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบา นของตวั เอง = 80 - 32 = 48 คน ดงั นนั้ พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบานของตัวเองเปน 48 คน

47 ตวั อยางท่ี 2 ในการสํารวจเกย่ี วกับความชอบของนักศกึ ษา 100 คน พบวา นกั ศึกษาท่ีชอบเรยี น คณติ ศาสตร 52 คน นกั ศกึ ษาที่ชอบเรยี นภาษาไทย 60 คน นกั ศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น คณติ ศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตร และภาษาไทย วธิ ีทํา แนวคดิ ท่ี 1 ให A แทนเซตของนักศกึ ษาทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร B แทนเซตของนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/  B/ ) = 14 = n ( A  B )/ [A/  B/ = ( A  B ) / ]  n ( A  B ) = 100 n ( A  B ) = n(A) + n(B) - n (A  B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A  B) 86 = 52 + 60 - n (A  B) n (A  B) = 112 - 86 = 26 ดังนั้น จํานวนนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรยี นคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน แนวคดิ ท่ี 2 ให x แทนจาํ นวนนกั ศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตรและภาษาไทย จากแผนภาพเขยี นสมการไดด งั น้ี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดังน้นั จาํ นวนนักศกึ ษาที่ชอบเรยี นคณิตศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

48 ตวั อยางท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหนงึ่ มี 1,000 คน มนี กั ศกึ ษาเรยี นภาษาอังกฤษ 800 คน เรยี น คอมพวิ เตอร 400 คน และเลือกเรียนทง้ั สองวชิ า 280 คน อยากทราบวา 1) มนี ักศกึ ษากคี่ นทเี่ รยี นภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียว 2) มีนักศกึ ษากค่ี นที่เรยี นคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดยี ว 3) มนี ักศกึ ษากค่ี นที่ไมไดเรียนวชิ าใดวิชาหนึง่ เลย 4) มีนักศกึ ษากคี่ นทไี่ มไดเ รียนท้ังสองวชิ าพรอ มกัน วธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนกั ศกึ ษาท้ังหมด A แทน เซตของนักศกึ ษาทเี่ รียนวชิ าภาษาอังกฤษ B แทน เซตของนักศึกษาทเ่ี รียนวิชาคอมพวิ เตอร A  B แทน เซตของนกั ศกึ ษาทีเ่ รียนทั้งสองวชิ า n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A  B) = 280 เขยี นแผนภาพไดดงั น้ี 1) นักศกึ ษาทเ่ี รยี นภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียวมจี าํ นวน 800 - 280 = 520 คน 2) นักศกึ ษาทเ่ี รียนคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดียวมีจํานวน 400 - 280 = 120 คน 3) นักศกึ ษาทีไ่ มไดเรยี นวชิ าใดวชิ าหน่งึ เลย คือสว นที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจํานวน เทากับ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

49 4) นักศกึ ษาทไ่ี มเรยี นทงั้ สองวชิ าพรอมกนั คอื นกั ศกึ ษาท่ีเรียนวชิ าใดวิชาหนงึ่ เพยี งวชิ า เดยี ว รวมกบั นกั ศกึ ษาทไ่ี มเรียนวชิ าใดเลย คอื สวนที่แรเงาในแผนภาพ ซึง่ มจี าํ นวน เทากบั 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน ตัวอยางที่ 4 ในการสํารวจผใู ชสบู 3 ชนดิ คือ ก , ข , ค พบวา มผี ใู ชชนดิ ก. 113 คน, ชนดิ ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ใชช นิด ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก. และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนิด 15 คน, ไมใ ชท ั้ง 3 ชนดิ 72 คน จงหาจาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทง้ั หมด วิธที ํา แนวคิดท่ี 1 ให A แทนผใู ชสบูช นิด ก. B แทนผใู ชสบูชนิด ข. C แทนผูใ ชส บูช นดิ ค. จาก n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n ( A  C ) + n (A  B  C) โดยที่ n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A  B) = 45 n (A  C) = 25 n (B  C) = 20 n (A  B  C) = 15 n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C)  n (A  B  C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

50 จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 408 คน จํานวนผทู ี่ไมใ ชท้ัง 3 ชนิด = 72 คน ดังนั้น จํานวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด 408 + 72 = 480 คน แนวคิดท่ี 2 ให A แทนผใู ชส บูช นิด ก. B แทนผใู ชสบชู นิด ข. C แทนผใู ชสบูชนิด ค. จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จํานวนผทู ี่ไมใ ชท งั้ 3 ชนิด = 72 คน ดังนัน้ จาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

51 แบบฝกหดั ท่ี 3 1. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พอื่ แสดงเซตตอไปน้ี 1) B 2) A  B 3) A 4) A  B 5) A  B 2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให จงหาคา 1) A 2) A  B 3) AU B 4) A  B

52 3. จากแผนภาพ กาํ หนดให U , A, B และ AB เปน เซตทม่ี จี าํ นวนสมาชกิ 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดบั จงเตมิ จํานวนสมาชกิ ของเซตตา ง ๆ ลงในตารางตอ ไปน้ี เซต A-B B-A AB A B ( A  B จํานวนสมาชกิ 4. จากการสอบถามผเู รยี นชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปง ปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนิ ตัน 34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบท้งั ฟุตบอลและปง ปอง 14 คน ชอบทง้ั ฟตุ บอลและ แบตมนิ ตัน 12 คน ชอบทัง้ ปงปองและแบดมนิ ตนั 10 คน ชอบท้งั สามประเภท 7 คน จงหาวานกั ศกึ ษาท่ชี อบเลนกฬี าประเภทเดยี วมกี คี่ น