2 คณิตศาสตร์ พค31001 บทที่ 1

1 บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนินการ สาระสําคญั 1. โครงสรางของจํานวนจริงประกอบไปดว ย จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ และ จาํ นวนเต็ม 2. สมบัตขิ องจํานวนจริงท่เี กี่ยวกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดว ยสมบัตปิ ด สมบตั ิการเปลย่ี นกลมุ สมบัตกิ ารสลบั ที่ การมีอินเวอรส การมเี อกลักษณแ ละสมบตั ิ การแจกแจง 3. สมบตั ิการเทากนั จะใชเคร่อื งหมาย “=” แทนการมคี าเทากนั 4. สมบตั กิ ารไมเทา กนั จะใชเครือ่ งหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คาสมั บูรณใ ชสัญลกั ษณ “ | |” แทนคาสมั บูรณซึ่ง x ถา x >0 x  0 ถา x = 0 - x ถา x < 0 ผลการเรียนรูท่ีคาดหวงั 1. แสดงความสัมพนั ธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจรงิ ได 2. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคณู การหารจาํ นวน จริงได 3. อธิบายสมบัตขิ องจาํ นวนจริงท่ีเกีย่ วกบั การบวก การคณู การเทากนั การไมเทากนั และนาํ ไปใชได 4. อธิบายเกยี่ วกบั คา สมั บูรณข องจํานวนจริงและหาคาสมบรู ณของจํานวนจรงิ ได ขอบขายเนือ้ หา เร่อื งที่ 1 ความสัมพนั ธของระบบจํานวนจริง เรอ่ื งท่ี 2 สมบตั ขิ องการบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนจรงิ เรอ่ื งท่ี 3 สมบัตกิ ารไมเทากนั เรอ่ื งที่ 4 คา สัมบรู ณ

2 เรอ่ื งที่ 1 ความสมั พนั ธของระบบจํานวนจริง 1.1. โครงสรา งของจํานวนจรงิ จาํ นวนจริง จาํ นวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ จาํ นวนทเี่ ขียนใน ทศนยิ ม จํานวนเต็ม ทศนิยมซํ้า เศษสวน รูปของกรณฑ ไมร ูจ บไมซาํ้ หรอื เรียกวา รากหรอื รูต จาํ นวนนับหรอื ศนู ย จาํ นวน จาํ นวนเตม็ บวก เตม็ ลบ จาํ นวนจรงิ ( Real number ) ประกอบดว ยจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ 1. จํานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จาํ นวนเต็ม ทศนิยมซํ้า และเศษสวน 1. จํานวนเตม็ ซ่ึงแบง เปน 3 ชนดิ คอื 1.1 จํานวนเต็มบวก (I+) หรอื จํานวนนับ (N)  I+ = N = {1, 2, 3, …} 1.2 จาํ นวนเต็มศนู ย มีจาํ นวนเดยี ว คือ {0} 1.3 จํานวนเตม็ ลบ (I-)  I- = {-1, -2, -3, …} 2. เศษสว น เชน 3 , 3 3 , - 5 เปน ตน 4 47 3. ทศนยิ มซา้ํ เชน 0.6 , 0.12 , 0.532 2. จาํ นวนอตรรกยะ ( Irrational Number ) คอื จํานวนทไ่ี มใ ชจ าํ นวนตรรกยะ เขียนไดในรูป ทศนิยมไมซ้ํา เชน 2 มีคาเทา กับ 1.414213… 3 มคี าเทา กบั 1.7320508…  มีคาเทา กบั 3.14159265… 0.1010010001… มีคาประมาณ 1.101

3 แบบฝก หดั ท่ี 1 1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนี้จาํ นวนใดเปน จํานวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือ จาํ นวนอตรรกยะ ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ 1)  9, 7 ,5 2 , 2,0,1 23 2) 5,7 7 ,3,12, 5 34 3) 2.01,0.666...,-13 , 4) 2.3030030003..., 5)   , 1 , 6 , 2 ,7.5 33 2 6) 25,17, 12 , 9,3,12, 1  52 2. จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้เปน จริงหรอื เท็จ 1) 0.001001001001…เปน จาํ นวนตรรกยะ 2) 0.110110110110… เปน จาํ นวนตรรกยะ 3) 0.767667666766667… เปน จาํ นวนตรรกยะ 4) 0.59999…. เปน จํานวนตรรกยะ 5) 0 เปนจํานวนจรงิ 6) จาํ นวนทเี่ ขียนไดใ นรปู ทศนยิ มซ้าํ ไมเ ปน จาํ นวนตรรกยะ

4 2. สมบตั กิ ารบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนจรงิ สมบตั ิของจาํ นวนจริง คอื การนาํ จํานวนจรงิ ใด ๆ มากระทําตอ กนั ในลักษณะ เชน การบวก การลบ การคณู การหาร หรือกระทาํ ดว ยลกั ษณะพิเศษทกี่ าํ หนดขนึ้ แลวมีผลลพั ธที่ เกดิ ขนึ้ ในลกั ษณะหรือทาํ นองเดียวกัน สมบัตทิ ใ่ี ชใ นการบวก การลบ การคูณ และการหาร มดี ังน้ี 2.1 สมบตั กิ ารเทากันของจํานวนจริง กาํ หนด a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ สมบัติการสะทอ น a=a สมบตั กิ ารสมมาตร ถา a = b แลว b = a สมบตั กิ ารถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c สมบัตกิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่เี ทากันทงั้ สองขา ง ถา a = b แลว a + c = b + c สมบัตกิ ารคณู ดว ยจํานวนท่ีเทา กนั ทัง้ สองขา ง ถา a = b แลว ac  bc 2.2 สมบตั กิ ารบวกและการคณู ในระบบจาํ นวนจริง เม่อื กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ 2.2.1 สมบัตกิ ารบวก สมบัตปิ ด ถา a R และ b R แลว a  b  R สมบัตกิ ารสลบั ที่ ab= ba สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลมุ a  (b  c) = (a  b)  c สมบัตกิ ารมเี อกลกั ษณก ารบวก คอื 0 0a a0a สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส การบวก a มอี นิ เวอรส การบวก คอื  a และ  a มีอินเวอรส การบวก คือ a จะได a  (a)  (a)  a  0 นั่นคือจํานวนจรงิ a จะมี  a เปน อนิ เวอรสของการบวก 2.2.2 สมบัติการคณู ถา a R และ b R แลว ab  R สมบัตปิ ด ab = ba สมบัติการสลับท่ี a(bc) = (ab)c สมบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ 1. a = a .1 = a สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณก ารบวก คอื 1 สมบัตกิ ารมอี นิ เวอรส การคณู a มอี นิ เวอรส การคณู คอื 1 และ (ยกเวน 0 เพราะ 1 ไมม คี วามหมาย) a 0 1 มีอินเวอรส การคณู คอื a a

5 สมบตั ิการแจกแจง จะได a  1    1 a  1 ; a  0 a a นั่นคอื จํานวนจริง a จะมี 1 เปน a อินเวอรส การคณู a(b  c)  ab  ac (b  c)a  ba  ca จากสมบัตขิ องจาํ นวนจริงสามารถใชพิสจู นท ฤษฎีบทตอ ไปนไี้ ด ทฤษฎบี ทท่ี 1 กฎการตดั ออกสําหรับการบวก เมอื่ a, b, c เปน จํานวนจริงใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 2 กฎการตดั ออกสาํ หรับการคณู เม่ือ a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 3 เม่ือ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎบี ทท่ี 4 เม่อื a เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎบี ทที่ 5 เมือ่ a, b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎบี ทที่ 6 เม่อื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

6 การลบและการหารจาํ นวนจรงิ • การลบจํานวนจริง บทนยิ าม เมอื่ a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ a - b = a + (-b) นั่นคือ a - b คอื ผลบวกของ a กับอนิ เวอรสการบวกของ b • การหารจํานวนจรงิ บทนิยาม เม่อื a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ เม่ือ b ≠ 0 a = a(b1 ) b น่นั คอื a คือ ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคณู ของ b b

7 แบบฝก หดั ที่ 2 1. ใหผ เู รียนเติมชอ งวา งโดยใชส มบัตกิ ารเทา กนั 1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..…………… 2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..… 3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….………… 4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..……… 5. ถา x2  2x 1  x 12 แลว x 12  .…………………………………………… 6. ถา x  3 y แลว 2x = ………………………………………………………….………… 2 7. ถา x2 1  2x แลว x 12 = ……………………………………………….….……… 8. ถา ab  a  b แลว 1 ab= ……………………………………………….…………. 2 2. กําหนดให a , b และ c เปน จํานวนจริงใด ๆ จงบอกวาขอ ความในแตล ะขอ ตอ ไปนเ้ี ปนจรงิ ตาม สมบัตใิ ด 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) 4) (8 X 9) เปนจาํ นวนจริง 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc 3 . เซตทีก่ าํ หนดใหในแตล ะขอตอ ไปนี้ มหี รอื ไมม ีสมบัตปิ ดของการบวกหรอื สมบัตปิ ด ของการคณู 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } 3) เซตของจาํ นวนจรงิ 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ 5) เซตของจํานวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั

8 4. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนจริงในแตล ะขอ ตอ ไปน้ี 1) อนิ เวอรส การบวกของ 8 2) อินเวอรส การบวกของ - 5 3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 4) อนิ เวอรส การคูณของ 3  2 5) อนิ เวอรส การคณู ของ 1 5 3

9 3. สมบัติการไมเทากนั ใหผ เู รียนทบทวนเรือ่ งสมบตั กิ ารเทา กันในเรอื่ งทีผ่ านมาเพอื่ เปนความรูเ พิ่มเติม สว นใน เร่อื งนีจ้ ะเนน เร่อื งสมบัตกิ ารไมเทา กันเทาน้นั ประโยคคณิตศาสตรจะใชสัญลักษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทา กนั เรยี กการไมเ ทากนั วา “อสมการ” (Inequalities) บทนยิ าม a < b หมายถึง a นอ ยกวา b a > b หมายถงึ a มากกวา b กําหนดให a, b, c เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ 1. สมบัติการถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตั กิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่ีเทา กัน ถา a > b แลว a + c > b+ c 3. จาํ นวนจรงิ บวกและจํานวนจรงิ ลบ a เปนจาํ นวนจริงบวก กต็ อเม่อื a > 0 a เปน จํานวนจรงิ ลบ กต็ อ เมอ่ื a < 0 4. สมบตั กิ ารคณู ดว ยจํานวนเทา กนั ท่ีไมเทากบั ศนู ย กรณที ี่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 6. สมบตั ิการตัดออกสาํ หรับการคูณ กรณีที่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีท่ี 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b บทนยิ าม a≤b หมายถงึ a นอยกวาหรอื เทากบั b a≥b หมายถงึ a มากกวาหรอื เทากับ b a<b<c หมายถงึ a < b และ b < c a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

10 ชวง (Interval) ชว ง หมายถึง เซตของจํานวนจริงทเ่ี ปนสว นใดสวนหนึง่ ของเสน จาํ นวน 3.1 ชวงของจาํ นวนจรงิ กําหนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ a < b 1. ชว งเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ชว งปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ชวงครึง่ เปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ชวงครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b} 5. ชว ง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ชว ง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ชว ง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

11 แบบฝกหดั ที่ 3 1. ใหผ ูเรียนบอกสมบตั กิ ารไมเ ทากนั (เม่อื ตวั แปรเปน จาํ นวนจริงใดๆ) 1. ถา x  3 แลว 2x 6 ……………………………………………………………….. 2. ถา y7 แลว -2y < 14 ……………………………………………………………….. 3. ถา x+1  6 แลว x+2  7 ………………………………………………………….. 4. ถา y+3  5 แลว y 2 ……………………………………………………………… 5. ถา x 7 และ 7 y แลว xy ………………………………………………………. 6. ถา a  0 แลว a+1  0 +1 …………………………………………………………. 7. ถา b 0 แลว b + (-2)  0+(-2) …………………………………………………… 8. ถา c -2 แลว (-1)c  (-1)(-2) ……………………………………………………. 2. จงใชเ สน จาํ นวนแสดงลักษณะของชว งของจํานวนจริงตอ ไปนี้ 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]

12 5) (2, ) 6) (- ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

13 4. คา สมบูรณ คา สมั บรู ณข องจาํ นวนจริง หมายถงึ ระยะหา งจากจดุ ศนู ยบ นเสน จํานวน พิจารณาคา สมั บรู ณของ 4 และ -4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสัมบูรณข อง 4 คอื 4 -4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสัมบูรณของ -4 คือ 4 น่ันคือ คา สัมบรู ณข องจาํ นวนจริงใด ๆ ตอ งมีคามากกวา หรือเทา กบั ศนู ยเสมอ สัญลักษณแ ทนคาสัมบูรณค ือ | | เชน คา สมั บรู ณข อง 4 คอื |4| คาสมั บูรณของ – 4 คือ |-4| บทนิยาม กําหนดให a เปนจํานวนจริง 4.1 สมบตั ขิ องคา สัมบูรณ 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. x = x yy 4. | x - y | = | y - x | 5. | x |2 = x2 6. | x + y | ≤ | x | +| y | 6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y | 7. เมอื่ a เปน จาํ นวนจริงบวก | x | < a หมายถงึ -a < x < a | x | ≤ a หมายถงึ -a ≤ x ≤ a 8. เม่อื a เปนจาํ นวนจริงบวก | x | > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | x | ≥ a หมายถงึ x ≤ -a หรอื x ≥ a

14 แบบฝกหดั ที่ 4 1) X  2 x  -2 หรือ x  -2 เซตคําตอบของอสมการ คือ ........................................................................................................... 2) X < 3 -3 < X < 3 เซตคําตอบของอสมการ คือ............................................................................................................. 3) X - 4 < 3 จะได -3 < X – 4 < 3 -3+4<X<3+4 1<X<7 เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ............................................................................................................ 4) 2 - X  3 จะได 2 – X  - 3 หรอื 2 – X  3 - X  -3 -2 หรือ - X  - 3 -2 - X  -5 หรอื –X  1 - X  5 หรอื X  -1 เซตคําตอบของอสมการ คือ............................................................................................................