หน่วยที่-4-ดีเทอร์มิแนนซ์

99 แบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยท0ี 4 ดีเทอร์มแิ นนต์และแมททริกซ์ จงเลอื กคาํ ตอบท/ีถูกทส/ี ุดเพียง 1 ขอ้ 1. กาํ หนดให้ B = é1 3ù det B มคี า่ เทา่ ใด êë4 2úû ก. 2 ข. 10 ค. – 2 ง. – 10 ข. 7 é2 1 1ù ง. 10 2. กาํ หนดให้ A = êê3 1 1úú det B มีคา่ เท่าใด ëê1 2 4úû ก. 4 ค. 14 é1 0 2ù 3. กาํ หนดให้ C = êê2 -1 2úú ไมเนอร์ M13 ของแมททริกซ์ C คือขอ้ ใด ëê2 1 - 3úû ก. é2 -1ù ข. é2 2ù êë2 ú ëê2 - 3úû 1 û ค. é0 2ù ง. é-1 2ù êë1 - 3ûú ê - 3ûú ë 1 4. จากขอ้ 3. โคแฟกเตอร์ C13 ของแมททริกซ์ C มีคา่ เทา่ ใด ข. – 4 ก. – 2 ง. 4 ค. 2 ข. 10 ง. 22 é2 1 4ù 5. กาํ หนดให้ A = êê0 2 3úú จงหา det A êë0 5 2ûú ก. – 10 ค. – 22

100 จงใช้ กฎของคราเมอร์แกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKี แลว้ ใชส้ าํ หรับคาํ ถามขอ้ 6 – 10 3a- b- c = 10 ................(1) a- 3b+ c = 0 ................(2) a+ b- 3c = 0 ................(3) 6. D มีค่าเทา่ ใด ข. 13 ก. 16 ง. 19 ค. 22 ข. 80 ง. 60 7. Da มคี า่ เทา่ ใด ข. 80 ก. 40 ง. 60 ค. 20 ข. 80 ง. 60 8. D b มคี ่าเทา่ ใด ข. 20 ก. 40 ง. 2.5 ค. 20 9. Dc มคี า่ เท่าใด ก. 40 ค. 20 10. a มคี า่ เทา่ ใด ก. 10 ค. 5

101 หน่วยท0ี 4 ดีเทอร์มิแนนต์และแมททริกซ์ สาระสําคัญ ดีเทอร์มิแนนต์และแมททริกซ์เป็ นวิธีการทางคณิตศาสตร์ท/ีใช้แก้ปัญหาในระบบสมการที/ ซบั ซ้อน เนื/องจากมีตวั แปรมากกวา่ 1 ตวั การศึกษาวธิ ีการและขKนั ตอนนKนั ประกอบด้วย ดีเทอร์มิแนนต์ ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ การหาดีเทอร์มิแนนต์โดยการลดขนาด การแก้สมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎของครา เมอร์ เนื?อหาสาระ 4.1 ดีเทอร์มิแนนตแ์ ละแมททริกซ์ 4.2 ไมเนอร์ของสมาชิกของแมททริกซจ์ ตั ุรสั 4.3 โคแฟกเตอร์ของสมาชิกของแมททริกซจ์ ตั รุ ัส 4.4 การหาคา่ ดีเทอร์มแิ นนตโ์ ดยการลดขนาด 4.5 การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ จดุ ประสงค์การเรียนรู้ จดุ ประสงค์ท0ัวไป เพอื/ ให้ผเู้ รียนมีความรูแ้ ละเขา้ ใจในเร/ือง : 4.1 ดเี ทอร์มิแนนต์ และแมททริกซ์ 4.2 ไมเนอร์ของสมาชิกของแมททริกซจ์ ตั ุรสั 4.3 โคแฟกเตอรข์ องสมาชิกของแมททริกซจ์ ตั รุ ัส 4.4 การหาคา่ ดเี ทอร์มิแนนตโ์ ดยการลดขนาด 4.5 การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม หลงั จากเรียนจบหน่วยเรียนนKีแลว้ ผูเ้ รียนควรมีความสามารถดงั นKี 4.1 หาคา่ ดีเทอร์มแิ นนตข์ องแมททริกซ์ ได้ 4.2 หาคา่ ไมเนอร์ของสมาชิกของแมททริกซจ์ ตั รุ สั ได้ 4.3 หาคา่ โคแฟกเตอร์ของสมาชิกของแมททริกซจ์ ตั รุ ัสได้ 4.4 หาค่าดีเทอร์มิแนนตโ์ ดยการลดขนาดได้ 4.5 แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ได้

102 หน่วยที0 4 ดีเทอร์มแิ นนต์และแมททริกซ์ แมททริกซ์เป็ นวิธีการทางคณิตศาสตร์ สาํ หรับแกป้ ัญหาในระบบสมการที/ซับซ้อน อย่างเช่น ในโครงขา่ ยวงจรไฟฟ้า ทป/ี ระกอบดว้ ยโหลดหลายๆ ตวั และแหลง่ จ่ายพลงั งานหลายๆ ตวั ประกอบกนั เป็ นระบบท/ีใหญ่ การใช้แมททริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ ในการแก้ปัญหาจะทาํ ได้อย่างสะดวกและ รวดเร็ว สามารถช่วยลดความยุง่ ยากไดเ้ ป็นอยา่ งมาก เป็ นเครื/องมอื ที/มปี ระสิทธิภาพสูง หากผูใ้ ชศ้ ึกษา ให้เขา้ ใจและมคี วามชาํ นาญ 4.1 ดีเทอร์มแิ นนต์และแมททริกซ์ 4.1.1 แมททริกซ์ แมททริกซ์ หมายถึง กลุ่มของจาํ นวนใดๆ ที/นํามาเรียงกนั เป็ นแถวและหลกั อย่างเป็ น ระเบียบ เป็ นรูปสี/เหล/ียมมุมฉาก ซ/ึงแต่ละแถวหรือหลักประกอบด้วยจํานวนเท่าๆ กัน โดยมี เครื/องหมาย [ ] ลอ้ มรอบจาํ นวนเหลา่ นKนั ไว้ ตวั อย่างของแมททริกซเ์ ชน่ é3 1ù เป็นแมททริกซข์ นาด 2´2 หมายถงึ แมททริกซข์ นาด 2 แถว คณู 2 หลกั êë2 5úû é1 5 2ù êê4 1 3úú เป็นแมททริกซข์ นาด 3´3 หมายถงึ แมททริกซข์ นาด 3 แถว คณู 3 หลกั êë2 6 5úû é1 4 7 0ù êê7 6úú ê9 5 3 2ú เป็ นแมททริ กซ์ขนาด 4´4 หมายถึงแมททริกซข์ นาด 4 แถว คูณ 4 หลกั 8 5 êë3 2 4 1úû สัญลกั ษณ์ของแมททริกซ์ ถา้ กาํ หนดให้ A เป็นแมททริกซป์ ระกอบดว้ ย m แถว และ n หลกั เขียนเป็นสมการได้ ดงั นKี é a 11 a 12 a 13 \" a 1n ù แถวที& 1 แถวท&ี 2 ê a 21 a 22 a 23 \" a 2n ú แถวท&ี 3 ê ú A = ê a 31 a 32 a 33 \" a 3 n ú แถวที& n ê! ! ! !ú êú êë a 41 a 42 a 43 \" a mn úû หลักที& 1 หลักที& 2 หลกั ท&ี 3 หลกั ท&ี m

103 แมททริกซท์ ี/ประกอบไปดว้ ย m แถว และ n หลกั เราเรียกว่า m´ n แมททริกซ์ หรือแมททริกซ์ ขนาด m´ n นิยมเขยี นเป็นสัญลกั ษณ์ยอ่ ๆ ไดด้ งั นKี [ ] หรือA = aij m´n A m´n 4.1.2 ดเี ทอร์มแิ นนต์ นิยาม กาํ หนดให้ A เป็นแมททริกซจ์ ตั ุรัสใดๆ ดเี ทอร์มแิ นนตข์ อง A เขียนแทนดว้ ย D A หรือ det A ถา้ A = éa11 a12 ù แลว้ หา det A ไดด้ งั นKี ëêa 21 ú a 22 û det A = a11 a12 = a11a 22 - a 21a 22 a 21 a 22 ตัวอย่างท0ี 4.1 จงหาดีเทอร์มแิ นนตข์ องแมททริกซต์ อ่ ไปนKี A = é2 5ù , B = é2 - 3ù ëê6 - 4úû êë1 4ûú วิธที าํ det A = 2 5 = + (2)(-4) - (6)(5) 6 -4 = - 8 - 30 \\ det A = - 38 .....................ตอบ det B = 2 -3 = + (2)(4) - (1)(-3) 1 4 = 8+3 .....................ตอบ \\ det B = 11 ดีเทอร์มแิ นนต์ของแมททริกซ์ขนาด 3´3 ถา้ éa11 a12 a13 ù แลว้ หา det A ไดด้ งั นKี Α = êêa21 a 22 ú a 23 ú ëêa31 a32 a33 úû - -- éa11 a12 a13 ù a11 a12 det A = êêa 21 ú a 22 a 23 ú a 21 a 22 ëêa31 a32 a 33 úû a31 a32 +++ การคดิ เคร/ืองหมายเชน่ เดยี วกบั กรณีแมททริกซ์ 2´ 2 คือคูณลงเป็นบวก คูณขKึนเป็นลบ จะได้ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det A = + a11a 22a33 + a12a 23a31 + a13a 21a32 - a31a 22a13 - a32a 23a11 - a33a 21a12

104 ตัวอย่างท0ี 4.2 จงหาดเี ทอร์มิแนนตข์ องแมททริกซ์ A และ B é1 - 2 3ù é-1 3 2ù A = êê4 - 1úú ê 0úú 0 , B = ê 2 -1 ëê6 - 4 3úû ëê 6 - 4 3ûú วิธีทาํ นาํ 2 หลกั แรกมาต่อถดั จากหลกั ท/ี 3 ในแมททริกซ์ A จะได้ 1 -2 3 1 -2 det A = 4 0 -1 4 0 6 -4 3 6 -4 = + (1)(0)(3) + (-2)(-1)(6) + (3)(4)(-4) - (6)(0)(3) - (-4)(-1)(1) - (3)(4)(-2) = 0 + 12 + (-48) - 0 - 4 - (-24) \\ det A = 12 - 48 - 4 + 24 = -16 .....................ตอบ นาํ 2 หลกั แรกมาตอ่ ถดั จากหลกั ที/ 3 ในแมททริกซ์ B จะได้ -1 3 2 -1 3 det B = 2 -1 0 2 -1 3 6 -4 6 -4 = + (-1)(-1)(3) + (3)(0)(6) + (2)(2)(-4) - (6)(-1)(2) - (-4)(0)(-1) - (3)(2)(3) = + (3) + (0) + (-16) - (-12) - (0) - (18) .....................ตอบ \\ det B = 3 -16 + 12 -18 = -19 [ ]4.2 ไมเนอร์ (minor) ของสมาชิกของแมททริกซ์จตั ุรัส นิยาม ถา้ A = aij m×nหรือ A เป็นแมททริกซจ์ ตั รุ ัส ไมเนอร์ของ aij คอื ดเี ทอร์มแิ นนตข์ อง สมาชิก A ทเ/ี หลือจากการตดั แถวที/ i และหลกั ท/ี j ของ A ออกไปไมเนอร์ของ aij เขยี นแทนดว้ ย Mij ตัวอย่างที0 4.3 กาํ หนดแมททริกซ์ B จงหาไมเนอรข์ องสมาชิก B ทKงั หมด B = é6 5ù êë- 4 1ûú วธิ ที ํา B = é6 5ù ëê- 4 ú 1 û M11 = 1 ไดจ้ ากการตดั แถวท/ี 1 หลกั ท/ี 1 B = é6 5ù ëê- 4 ú 1 û M12 = - 4 ไดจ้ ากการตดั แถวท/ี 1 หลกั ที/ 2 B = é6 5ù ëê- 4 ú 1 û

105 M21 = 5 ไดจ้ ากการตดั แถวท/ี 2 หลกั ท/ี 1 B = é6 5ù êë- 4 ú 1 û M22 = 6 ไดจ้ ากการตดั แถวท/ี 2 หลกั ท/ี 2 ตัวอย่างท0ี 4.4 กาํ หนดแมททริกซ์ A จงหา M13 , M22 , M32 é1 - 2 3 ù A = êê4 ú 0 - 1 ú ëê6 - 4 3 ûú วิธีทํา หา M13 ตดั แถวที/ 1 หลกั ท/ี 3 ออกไป จะได้ M13 = 4 0 6 -4 = + (4)(-4) - (6)(0) \\ M13 = -16 - 0 = -16 .....................ตอบ ...................ตอบ หา M22 ตดั แถวที/ 2 หลกั ท/ี 2 ออกไป .....................ตอบ จะได้ M22 = 1 3 6 3 = + (1)(3) - (6)(3) \\ M22 = 3 -18 = -15 หา M32 ตดั แถวที/ 3 หลกั ท/ี 2 ออกไป จะได้ M32 = 1 3 4 -1 = + (1)(-1) - (4)(3) \\ M32 = -1-12 = -13 4.3 โคแฟกเตอร์ (Cofactor) ของสมาชิกของแมททริกซ์จัตรุ ัส [ ]นิยาม ถา้ A = aij m×n หรือ A เป็นแมททริกซจ์ ตั ุรัสโคแฟกเตอร์ของ aij เขียนแทนดว้ ย Cij หาไดจ้ าก Cij = (-1)i+ j Mij

106 ตัวอย่างที0 4.5 กาํ หนดแมททริกซ์ B จงหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิก B ทุกตวั B = é2 4ù êë- 5 3ûú วธิ ีทํา C11 = (-1)1+1 M11 C11 = (-1)2 (3) C11 = (1)(3) = 3 = M11 C12 = (-1)1+2 M12 C12 = (-1)3 (-5) C12 = (-1)(-5) = 5 = - M12 C21 = (-1)2+1 M21 C21 = (-1)3(4) C21 = (-1)(4) = - 4 = - M21 C22 = (-1)2+2 M22 C22 = (-1)4 (2) C22 = (1)(2) = 2 = M22 สรุป 1) ถา้ i+ j เป็นเลขคู่ แลว้ Cij = Mij (เคร/ืองหมายเหมอื นกนั ) 2) ถา้ i+ j เป็นเลขค/ี แลว้ Cij = - Mij (เคร/ืองหมายตรงกนั ขา้ ม) 3) การคิดเครื/องหมายของ Cij เทยี บกบั Mij สรุปเป็นแผนผงั ไดด้ งั นKี é+ - +ù é+ - + -ù êê- + -úú êê- + - +úú êë+ - +ûú ê+ - + -ú ëê- + - +ûú แมททริกซข์ นาด 3´3 แมททริกซข์ นาด 4´ 4 4.4 การหาดเี ทอร์มแิ นนต์โดยการลดขนาด นิยาม ถา้ A เป็ นแมททริกซ์จตั ุรัสขนาด n´ n (n ³ 2) ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เท่ากบั ผลบวก ของผลคณู ของสมาชิกในแถวใดแถวหน/ึง (หรือหลกั ใดหลกั หน/ึง) กบั โคแฟกเตอร์ของสมาชิกตวั นKนั éa11 a12 ! a1j!a1n ù êêa 21 a 22 ! ú A = êai1 ai2! a2 j !a 2 n ú êê\" \" aij !ain ú ú \" \" ú êë an1 an 2 ! anj !ann ûú

107 เลือกแถวท0ี i det A = ai1ci1+ ai 2ci 2 + ! + aijcij + ! + aincin เลอื กหลกั ที0 j det A = a1 jc1 j + a 2 jc2 j + ! + aijcij + ! + a njcnj é3 6 - 2ù ตัวอย่างท0ี 4.6 กาํ หนดให้ A = êê0 4 0úú จงหา det A โดยการลดขนาด ëê7 - 3 2úû วิธีทํา เลอื กแถวท/ี 2 (เพราะแถวท/ี 2 มีสมาชิกเป็นศนู ย์ 2 ตวั ) -3 6+ - 2- det A = 0 4 0 7 -3 2 = - a 21c21+ a 22c22 - a 23c23 เนื/องจาก a21 = 0 และ a23 = 0 จะได้ det A = 0 c21 + (a22 )(c22 ) + 0 c23 det A = +4 3 -2 7 2 = 4[+ (3)(2) - (7)(-2)] = 4[+ (6) - (-14)] \\ det A = 4 (20) = 80 .....................ตอบ 4.5 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ มหี ลายวธิ ีดว้ ยกนั เชน่ การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ โดยวิธีของเกาส์ การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นโดยใชอ้ นิ เวอร์สของแมททริกซ์ และ การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยกฎของ คราเมอร์ ในหน่วยนKีนกั เรียนจะศกึ ษาการแกร้ ะบบสมการ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ ซ/ึงงา่ ยและสะดวก เหมาะสําหรบั สาขาไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ รูปแบบของระบบสมการเชิงเส้น 3 ตวั แปร เป็นดงั นKี a11x+ a12y+ a13z = b1 a 21x+ a 22y+ a 23z = b2 a31x+ a32y+ a33z = b3 โดยท/ี x, y และ z คอื ตวั แปรทตี/ อ้ งการทราบค่า a และ b คอื คา่ คงท/ี และใชส้ ญั ลกั ษณ์ที/ เรียกว่า เดลตา้ (delta):D เป็นคา่ ดเี ทอร์มแิ นนตซ์ /ึงสมาชิกประกอบดว้ ยสัมประสิทธ]ิของ x, y และ z เรียงตามลาํ ดบั จากหลกั ที/ 1 ถงึ หลกั ที/ 3

108 จากรูปแบบระบบสมการเชิงเส้นขา้ งบน เขยี นให้อยใู่ นรูปสมการแมททริกซไ์ ด้ ดงั นKี éa11 a12 a13 ù éxù éb1 ù êêa 21 ú êêyúú êêb ú a 22 a 23 ú = 2 ú ëêa31 a32 a33 ûú ëêzûú êëb3 úû ขKนั ตอนในการหาค่า D , x, y และ z สรุปไดด้ งั นKี 1) หาเดลตา้ : a11 a12 a13 Δ = a 21 a 22 a 23 ¹ 0 a31 a32 a33 2) การหาค่า D x , D y , Δz การหา D x ทาํ ได้โดยการนาํ ขอ้ มูลของหลกั b1 , b2 , b3 มาแทนในหลกั ที/ 1 ในแมททริกซ์ของ D ดงั นKี b1 a12 a13 Δx = b2 a 22 a 23 b3 a32 a33 การหา D y ทาํ ไดโ้ ดยการนาํ ขอ้ มูลของหลกั b1 , b2 , b3 มาแทนในหลกั ที/ 2 ในแมททริกซข์ อง D ดงั นKี a11 b1 a13 Δy = a 21 b2 a 23 a31 b3 a33 การหา Δz ทาํ ไดโ้ ดยการนาํ ขอ้ มูลของหลกั b1 , b2 , b3 มาแทนในหลกั ที/ 3 ในแมททริกซข์ อง D ดงั นKี a11 a12 b1 Δz = a 21 a 22 b2 a31 a32 b3 3) หาคาํ ตอบของสมการ เมื/อหาค่าต่างๆ ไดแ้ ลว้ คือ D , D x , D y , Δz ขKนั ต่อไปคือ หาค่า x, y และ z ท/ที าํ ใหส้ มการเป็นจริง ซ/ึงจะได้ x = Δx , y= Δy และ z = Δz Δ Δ Δ สําหรับระบบสมการเชิงเสน้ n ตวั แปร n สมการ กจ็ ะเป็นไปในทาํ นองเดยี วกบั ระบบสมการ เชิงเส้น 3 ตวั แปร ตัวอย่างท0ี 4.7 จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ 2x- y = 4 3x+ y = 5 วธิ ีทํา เขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปสมการแมททริกซ์ : é2 -1ù éxù = é4ù ëê3 1úû êëyúû êë5úû D= 2 -1 = + (2)(1) - (3)(-1) 3 1

109 D = + (2) - (-3) = 5 Dx = 4 -1 = + (4)(1) - (5)(-1) 5 1 D x = + (4) - (-5) = 9 Dy = 2 4 = + (2)(5) - (3)(4) 3 5 D y = + (10) - (12) = - 2 \\ x= Δx = 9 .....................ตอบ Δ 5 .....................ตอบ \\ y = Δy = -2 Δ 5 ตัวอย่างที0 4.8 จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ x+ y+ z = 6 x+ 2 y+ 3z = 14 x+ 4 y+ 9 z = 36 วธิ ที าํ เขยี นใหอ้ ยู่ในรูปสมการแมททริกซ์ : é1 1 1ù éxù é 6 ù êê1 3úú êêyúú êê14 ú +-+ 2 = ú 11 1 ëê1 4 9úû êëzûú ëê36ûú D= 1 2 3 เลอื กแถวบนสุด 149 Δ= 1 1 1 = + (1) 2 3 - (1) 1 3 + (1) 1 2 1 2 3 4 9 1 9 1 4 1 4 9 D = + (1)[+ (2)(9) - (4)(3)]- (1)[+ (1)(9) - (1)(3)]+ (1)[+ (1)(4) - (1)(2)] D = + (18 -12) - (9 - 3) + (4 - 2) D = + (6) - (6) + (2) = 2 611 Δ x = 14 2 3 เลือกแถวบนสุด 36 4 9 61 1 = + (6) 2 3 - (1) 14 3 + (1) 14 2 Δ x = 14 2 3 4 9 36 9 36 4 9 36 4 Δx = + (6)[+ (2)(9) - (4)(3)]- (1)[+ (14)(9) - (36)(3)]+ (1)[+ (14)(4) - (36)(2)] Δx = + (6)[+ (18) - (12)]- (1)[+ (126) - (108)]+ (1)[+ (56) - (72)]

110 Δx = + (6)(6) - (1)(18) + (1)(-16) Δx = 36 -18 -16 = 2 1 61 Δ y = 1 14 3 เลือกแถวบนสุด 1 36 9 Δy = 1 61 = + (1) 14 3 - (6) 1 3 + (1) 1 14 1 14 3 36 9 1 9 1 36 1 36 9 Δy = + (1)[+ (14)(9) - (36)(3)]- (6)[+ (1)(9) - (1)(3)]+ (1)[+ (1)(36) - (1)(14)] Δy = + (1)[+ (126) - (108)]- (6)[+ (9) - (3)]+ (1)[+ (36) - (14)] Δy = + (1)(18) - (6)(6) + (1)(22) Δy = 18 - 36 + 22 = 4 11 6 เลอื กแถวบนสุด Δ z = 1 2 14 1 4 36 Δz = 1 1 6 = + (1) 2 14 - (1) 1 14 + (6) 1 2 1 2 14 4 36 1 36 1 4 1 4 36 Δz = + (1)[+ (2)(36) - (4)(14)]- (1)[+ (1)(36) - (1)(14)]+ (6)[+ (1)(4) - (1)(2)] Δz = + (1)[+ (72) - (56)]- (1)[+ (36) - (14)]+ (6)[+ (4) - (2)] Δz = + (1)(16) - (1)(22) + (6)(2) Δz = 16 - 22 +12 = 6 จะได้ x = Dx = 2 =1 .....................ตอบ และ D 2 .....................ตอบ .....................ตอบ y = Dy = 4 = 2 D 2 z = Dz = 6 = 3 D 2 ตวั อย่างท0ี 4.9 จงหาคาํ ตอบของระบบสมการ 3 I1 - 2 I2 + 0 = 10 - 2 I1 + 9I2 - 4 I3 = 0 - 4 I2 + 9I3 = 0 วธิ ที ํา เขยี นให้อยู่ในรูปสมการแมททริกซ์ ไดด้ งั นKี é3 -2 0 ù é I1 ù é10ù êê- 2 9 ú ê ú ê ú - 4 ú ê I 2 ú = ê 0 ú êë 0 - 4 9 ûú ëêI3 ûú êë 0 úû

111 +- + เลอื กแถวบนสุด 3 -2 0 D = -2 9 4 0 -4 9 3 -2 0 = + (3) 9 -4 - (-2) - 2 -4 + (0) - 2 9 Δ = -2 9 -4 4 9 0 9 0 -4 - 0 -4 9 D = + (3)[+ (9)(9) - (-4)(-4)]- (-2)[+ (-2)(9) - (0)(-4)]+ (0) D = + (3)[+ (81) - (16)]- (-2)[+ (-18) - (0)]+ (0) D = + (3)(65) + (2)(-18) + (0) D = 195 - 36 = 159 +10 -2 0 เลอื กหลกั ท/ี 1 9 4 DI1 = - 0 9 +0 -4 10 - 2 0 = + (10) 9 -4 - (0) - 2 0 + (0) - 2 0 -4 4 9 - 4 9 9 -4 Δ I1 = 0 9 - 0 -4 9 Δ I1 = + (10)[+ (9)(9) - (-4)(-4)]- (0) + (0) Δ I1 = + (10)[+ (81) - (16)] Δ I1 = (10)(65) = 650 เลอื กหลกั ท/ี 2 3 10 0 Δ I2 = - 2 0 -4 0 09 Δ I2 = 3 10 0 = - (10) - 2 -4 + (0) 3 0 - (0) 3 0 -2 0 -4 0 9 0 9 2 -4 09 - 0 Δ I2 = - (10)[+ (-2)(9) - (0)(-4)]+ (0) - (0) Δ I2 = - (10)(-18) + 0 - 0 Δ I2 = 180 -2 10 เลอื กหลกั ที/ 3 3 9 0 0 Δ I3 = - 2 -4 0

112 3 -2 10 = + (10) - 2 9 - (0) 3 -2 + (0) 3 -2 0 0 -4 0 -4 2 9 Δ I3 = - 2 9 0 - 0 -4 Δ I3 = + (10)[+ (-2)(-4) - (0)(9)]+ (0) - (0) Δ I3 = + (10)[+ (8) - (0)]+ (0) - (0) Δ I3 = (10)(8) = 80 จะได้ I1 = DI1 = 650 .....................ตอบ D 159 .....................ตอบ .....................ตอบ I2 = DI 2 = 180 D 159 และ I3 = DI3 = 80 D 159

113 สรุปสาระสําคญั ดเี ทอร์มิแนนตแ์ ละแมททริกซ์ เป็ นเคร/ืองมือท/ีใช้ในการแกป้ ัญหาในระบบสมการที/มีตวั แปร ตKงั แต่ 2 ตวั แปรขKึนไป โดยที/ค่าเดลตา้ (D) ของแมททริกซ์นKัน ตอ้ งไม่เป็ น 0 การหาค่าดีเทอร์ มิแนนต์ โดยการลดขนาด จะทาํ ใหช้ ่วยลดความผิดพลาดลงได้ เพราะตวั เลขนอ้ ยลง ถา้ มสี มาชิก ของแม ททริกซต์ วั ใดตวั หน/ึงมีคา่ เป็ นศูนย์ การลดขนาดก็จะทาํ ไดง้ า่ ยขKึน การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น โดยใช้ กฎของคราเมอร์ เหมาะสําหรับงานในสาขาไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ ช่วยแกป้ ัญหาใด้สะดวกและ รวดเร็ว

114 แบบฝึ กหดั หน่วยที0 4 ดเี ทอร์มิแนนต์และแมททริกซ์ 1. กาํ หนดแมททริกซ์ A = é2 4ù , B = é3 - 2ù , C = é3 - 2ù , D = é4 - 2ù ëê3 2ûú ëê5 - 6ûú êë0 -1úû ëê2 ú - 3 û จงหา det A , det B , det C , det D é2 3 1ù 2. กาํ หนดแมททริกซ์ A = êê1 2 0úú จงหา det A ëê6 4 3úû 3. กาํ หนดแมททริกซ์ A ให้ จงหา M12 , M21 , M32 é2 3 -1ù A = êê1 - 2 ú 0 ú êë6 4 - 3úû 4. กาํ หนดแมททริกซ์ B ให้ จงหา C12 , C22 , C31 é2 1 1ù B = êê1 2 5úú ëê6 4 2ûú 5. จงหาคา่ ดีเทอร์มิแนนตข์ องแมททริกซ์ต่อไปนKี โดยการลดขนาด é2 3 -1ù A = êê1 - 2 0úú êë6 4 0ûú 6. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ x- y = 1 ................(1) 4 x- 6 y = 10 ................(2) 7. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 4x+ 2 y = 7 ................(1) 3x- 3y = 3 ................(2) 8. จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ x+ y+ z = 6 ................(1) 2 x- y+ z = 3 ................(2) - x+ y+ 2z = 7 ................(3)

115 9. จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ ................(1) 2 x+ 3 y+ z = 11 2 x+ 2 y+ 3z = 15 ................(2) 4 x- y+ 3z = 11 ................(3) 10. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ ................(1) 2a+ b+ c = 0 4a+ 3b+ 2c = 2 ................(2) 2a- b- 3c = 0 ................(3) คําตอบ 1) det A = -16 , det B = - 8 , det C = - 3 , det D = 16 2) detA = - 5 3) M12 = - 3 , M21 = - 5 , M32 = 1 4) C12 = ,28 C22 = - 2 , C31 = 3 5) det A = -16 6) Δ = - 2 , x = - 2 , y = - 3 7) Δ = -18 , x = 3/ 2 , y = 1/ 2 8) D = - 7, x = 1 , y = 2 , z = 3 9) D = 26, x = 1 , y = 2 , z = 3 10) D = - 8, a = -1/ 2 , b = 2 , c = -1

116 แบบทดสอบหลังเรียน หน่วยท0ี 4 ดเี ทอร์มิแนนต์และแมททริกซ์ จงเลอื กคาํ ตอบทีถ/ กู ท/ีสุดเพยี ง 1 ขอ้ 1. กาํ หนดให้ B = é1 3ù det B มคี า่ เทา่ ใด ëê4 2úû ก. 2 ข. – 10 ค. – 2 ง. 10 ข. 14 é2 1 1ù ง. 10 2. กาํ หนดให้ A = êê3 1 1úú det B มีคา่ เท่าใด êë1 2 4ûú ก. 4 ค. 7 é1 0 2ù 3. กาํ หนดให้ C = êê2 -1 2úú ไมเนอร์ M13 ของแมททริกซ์ C คอื ขอ้ ใด ëê2 1 - 3úû ก. é-1 2ù ข. é2 2ù ê - 3ûú ëê2 - 3úû ë 1 ค. é0 2ù ง. é2 -1ù ëê1 - 3úû êë2 ú 1 û 4. จากขอ้ 3. โคแฟกเตอร์ C13 ของแมททริกซ์ C มคี า่ เทา่ ใด ข. – 2 ก. – 4 ง. 4 ค. 2 ข. 10 ง. 22 é2 1 4ù 5. กาํ หนดให้ A = êê0 2 3úú จงหา det A êë0 5 2ûú ก. – 22 ค. – 10

117 จงใช้ กฎของคราเมอร์แกร้ ะบบสมการต่อไปนKี แลว้ ใชส้ าํ หรบั คาํ ถามขอ้ 6 – 10 3a- b- c = 10 ................(1) a- 3b+ c = 0 ................(2) a+ b- 3c = 0 ................(3) 6. D มีคา่ เทา่ ใด ข. 13 ก. 19 ง. 16 ค. 22 ข. 20 ง. 60 7. Da มคี ่าเทา่ ใด ข. 40 ก. 40 ง. 60 ค. 80 ข. 80 ง. 60 8. D b มคี า่ เทา่ ใด ข. 20 ก. 80 ง. 5 ค. 20 9. Dc มคี า่ เท่าใด ก. 20 ค. 40 10. a มคี ่าเท่าใด ก. 10 ค. 2.5

118 เอกสารอ้างองิ มนสั ประสงค.์ (2558). คณติ ศาสตร์ 2. กรุงเทพฯ : ศูนยส์ ่งเสริมวิชาการ. ธาํ รงศกั ด]ิ หมินกา้ หรีม , อนุวตั น์ ทองสกลุ . (2555). คณติ ศาสตร์อิเลก็ ทรอนกิ ส์. กรุงเทพฯ : บริษทั พฒั นาวชิ าการ. สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2551). คณิตศาสตร์ เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรียนรู้ เพ/ิมเติม ชKนั มธั ยมศกึ ษาปี ที/ 4. กรุงเทพฯ : โรงพิมพค์ รุ ุสภาลาดพร้าว. Alan Jeffrey. ESSENTIALS OF ENGIEERING MATHEMATICS. Singapore. Chapman & Hall. 1992. Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. (7 th. Ed.) John Wiley & Sons, Inc. Singapore. 1993.

119 ภาคผนวก - เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน - เฉลยแบบฝึ กหดั ท้ายหน่วย

120 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 1) ง 2) ข 3) ก 4) ข 5) ค 6) ก 7) ข 8) ก 9) ก 10) ค เฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น 1) ข 2) ค 3) ง 4) ก 5) ก 6) ง 7) ค 8) ข 9) ค 10) ง

121 เฉลยแบบฝึ กหัด หน่วยที0 4 ดเี ทอร์มิแนนต์และแมททริกซ์ 1. กาํ หนดแมททริกซ์ A = é2 4ù , B = é3 - 2ù , C = é3 - 2ù , D = é4 - 2ù ëê3 2ûú ëê5 - 6ûú ëê0 -1úû ëê2 ú - 3 û จงหา det A , det B , det C , det D วิธีทํา A = é2 4ù ëê3 - 2ûú det A = + (2)(-2) - (3)(4) .....................ตอบ \\ det A = - 4 -12 = -16 B = é3 - 2ù ëê5 - 6ûú det B = + (3)(-6) - (5)(-2) .....................ตอบ \\ det B = -18 +10 = - 8 C = é3 - 2ù êë0 -1ûú det C = + (3)(-1) - (0)(-2) .....................ตอบ \\ det C = - 3 - 0 = - 3 D = é4 - 2ù ëê2 ú 3 û det D = + (4)(3) - (2)(-2) .....................ตอบ \\ det D = 12 + 4 = 16 é2 3 1ù 2. กาํ หนดแมททริกซ์ A = êê1 2 0úú จงหา det A ëê6 4 3ûú 2 3 12 3 วิธที ํา det A = 1 2 0 1 2 6 4 36 4 det A = + (2)(2)(3) + (3)(0)(6) + (1)(1)(4) - (6)(2)(1) - (4)(0)(2) - (3)(1)(3) det A = + (12) + (0) + (4) - (12) - (0) - (9) .....................ตอบ \\ det A = 12 + 4 -12 - 9 = - 5

3. กาํ หนดแมททริกซ์ A ให้ จงหา M12 , M21 , M32 122 é2 3 -1ù .....................ตอบ A = êê1 - 2 ú ...................ตอบ 0 ú .....................ตอบ êë6 4 - 3úû .....................ตอบ .....................ตอบ วธิ ีทํา หา M12 ตดั แถวท/ี 1 หลกั ที/ 2 ออกไป จะได้ M12 = 1 0 6 -3 = + (1)(-3) - (6)(0) \\ M12 = - 3 - 0 = - 3 หา M21 ตดั แถวท/ี 2 หลกั ที/ 1 ออกไป จะได้ M 21 = 3 -1 4 -3 = + (3)(-3) - (4)(-1) \\ M21 = - 9 + 4 = - 5 หา M32 ตดั แถวท/ี 3 หลกั ที/ 2 ออกไป จะได้ M32 = 2 -1 1 0 = + (2)(0) - (1)(-1) \\ M32 = 0 +1 = 1 4. กาํ หนดแมททริกซ์ B ให้ จงหา C12 , C22 , C31 วธิ ีทาํ é2 1 1ù B = êê1 2 5úú ëê6 4 2úû C12 = (-1)1+2 M12 C12 = (-1) 1 5 = (-1)[+ (1)(2) - (6)(5)] 6 2 C12 = (-1)(2 - 30) = (-1)(-28) \\ C12 = 28 C22 = (-1)2+2 M22 C22 = (1) 2 1 = + (2)(2) - (6)(1) 6 2 \\ C22 = (4) - (6) = - 2 C31 = (-1)3+1 M31

C31 = (1) 1 1 = + (1)(5) - (2)(1) 123 2 5 .....................ตอบ \\ C31 = (5) - (2) = 3 .....................ตอบ 5. จงหาคา่ ดเี ทอร์มิแนนตข์ องแมททริกซต์ ่อไปนKี โดยการลดขนาด .....................ตอบ é2 3 -1ù .....................ตอบ A = êê1 - 2 0úú êë6 4 0úû วธิ ที าํ เลือกหลกั ที/ 3 (เพราะหลกั ท/ี 3 มีสมาชิกเป็นศูนย์ 2 ตวั ) det A = + a13c13 - a 23c23 + a33c33 เนื/องจาก a23 = 0 และ a33 = 0 จะได้ det A = a13c13 + 0(c23) + 0 c33 det A = + (-1) 1 -2 6 4 = (-1)[+ (1)(4) - (6)(-2)] = -1(4 +12) \\ det A = - (16) = -16 6. จงแกร้ ะบบสมการต่อไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ x- y = 1 ................(1) 4 x- 6 y = 10 ................(2) วิธที าํ เขียนใหอ้ ย่ใู นรูปสมการแมททริกซ์ : é1 -1ù éxù = é1ù ëê4 - 6ûú ëêyûú ëê10úû D= 1 -1 = + (1)(-6) - (4)(-1) 4 -6 D = - (6) - (-4) = - 2 Dx = 1 -1 = + (1)(-6) - (10)(-1) 10 -6 D x = - (6) - (-10) = 4 Dy = 1 1 = + (1)(10) - (4)(1) 4 10 D y = + (10) - (4) = 6 \\ x= Δx = 4 = -2 Δ -2 \\ y = Δy = 6 = -3 Δ -2

124 7. จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 4x+ 2 y = 7 ................(1) 3x- 3y = 3 ................(2) วิธีทาํ เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปสมการแมททริกซ์ : é4 2ù éxù = é7ù ëê3 3úû ê yúû êë3ûú - ë D= 4 2 = + (4)(-3) - (3)(2) 3 -3 D = (-12) - (6) = -18 Dx = 7 2 = + (7)(-3) - (3)(2) 3 -3 D x = (-21) - (6) = - 27 Dy = 4 7 = + (4)(3) - (3)(7) 3 3 D y = + (12) - (21) = - 9 \\ x= Δx = - 27 = 3 .....................ตอบ Δ -18 2 .....................ตอบ \\ y = Δy = -9 = 1 Δ -18 2 8. จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ x+ y+ z = 6 ................(1) 2 x- y+ z = 3 ................(2) - x+ y+ 2z = 7 ................(3) วิธีทาํ เขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปสมการแมททริกซ์ : é1 1 1 ù éxù é6ù ê ú ê yúú êê3úú ê 2 -1 1 ú ê = êë -1 1 2 úû êëzûú ëê7ûú 1 11 เลือกแถวบนสุด Δ = 2 -1 1 -1 1 2 11 1 = + (1) -1 1 - (1) 2 1 + (1) 2 -1 Δ = 2 -1 1 1 2 -1 2 -1 1 2 -1 1 D = + (1)[+ (-1)(2) - (1)(1)]- (1)[+ (2)(2) - (-1)(1)]+ (1)[+ (2)(1) - (-1)(-1)] D = + (-2 -1) - (4 +1) + (2 -1) D = (-3) - (5) + (1) = - 7

125 6 11 เลอื กแถวบนสุด Δx = 3 -1 1 712 61 1 = + (6) - 1 1 - (1) 3 1 + (1) 3 -1 Δx = 3 -1 1 1 2 7 2 7 1 2 71 Δx = + (6)[+ (-1)(2) - (1)(1)]- (1)[+ (3)(2) - (7)(1)]+ (1)[+ (3)(1) - (7)(-1)] Δx = + (6)[+ (-2) - (1)]- (1)[+ (6) - (7)]+ (1)[+ (3) - (-7)] Δx = + (6)(-3) - (1)(-1) + (1)(10) Δx = -18 +1+10 = - 7 Δy = 16 1 เลือกแถวบนสุด 2 31 -1 7 2 Δy = 16 1 = + (1) 3 1 - (6) 2 1 + (1) - 2 3 2 31 7 2 -1 2 1 7 -1 7 2 Δy = + (1)[+ (3)(2) - (7)(1)]- (6)[+ (2)(2) - (-1)(1)]+ (1)[+ (2)(7) - (-1)(3)] Δy = + (1)[+ (6) - (7)]- (6)[+ (4) - (-1)]+ (1)[+ (14) - (-3)] Δy = + (1)(-1) - (6)(5) + (1)(17) Δy = -1- 30 +17 = -14 1 16 Δ z = 2 -1 3 เลอื กแถวบนสุด -1 1 7 11 6 = + (1) -1 3 - (1) - 2 3 + (6) 2 -1 Δz = 2 -1 3 1 7 1 7 -1 1 7 -1 1 Δz = + (1)[+ (-1)(7) - (1)(3)]- (1)[+ (2)(7) - (-1)(3)]+ (6)[+ (2)(1) - (-1)(-1)] Δz = + (1)[+ (-7) - (3)]- (1)[+ (14) - (-3)]+ (6)[+ (2) - (1)] Δz = + (1)(-10) - (1)(17) + (6)(1) Δz = -10 -17 + 6 = - 21 x = Dx = -7 =1 .....................ตอบ D -7 .....................ตอบ จะได้ .....................ตอบ y = Dy = -14 = 2 และ D -7 z = Dz = - 21 = 3 D -7

126 9. จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ ................(1) 2 x+ 3 y+ z = 11 2 x+ 2 y+ 3z = 15 ................(2) 4 x- y+ 3z = 11 ................(3) é2 3 1 ù éxù é11ù ú êêyúú êê15úú วธิ ีทาํ เขยี นใหอ้ ย่ใู นรูปสมการแมททริกซ์ : êê2 2 3 ú = ëê4 -1 3 ûú êëzûú êë11ûú 231 Δ = 2 2 3 เลือกแถวบนสุด 4 -1 3 23 1 = + (2) 2 3 - (3) 2 3 + (1) 2 2 Δ= 2 2 3 -1 3 4 3 4 -1 3 4 -1 D = + (2)[+ (2)(3) - (-1)(3)]- (3)[+ (2)(3) - (4)(3)]+ (1)[+ (2)(-1) - (4)(2)] D = + (2)[+ (6) - (-3)]- (3)[+ (6) - (12)]+ (1)[+ (-2) - (8)] D = + (2)(9) - (3)(-6) + (1)(-10) D = 18 +18 -10 = 26 11 3 1 เลือกแถวบนสุด Δ x = 15 2 3 11 -1 3 11 3 1 = + (11) 2 3 - (3) 15 3 + (1) 15 2 Δx = 15 2 3 -1 3 11 3 11 -1 3 11 -1 Δx = + (11)[+ (2)(3) - (-1)(3)]- (3)[+ (15)(3) - (11)(3)]+ (1)[+ (15)(-1) - (11)(2)] Δx = + (11)[+ (6) - (-3)]- (3)[+ (45) - (33)]+ (1)[+ (-15) - (22)] Δx = + (11)(9) - (3)(12) + (1)(-37) Δx = 99 - 36 - 37 = 26 2 11 1 เลอื กแถวบนสุด Δ y = 2 15 3 4 11 3 Δy = 2 11 1 = + (2) 15 3 - (11) 2 3 + (1) 2 15 2 15 3 11 3 4 3 4 11 4 11 3 Δy = + (2)[+ (15)(3) - (11)(3)]- (11)[+ (2)(3) - (4)(3)]+ (1)[+ (2)(11) - (4)(15)]

127 Δy = + (2)[+ (45) - (33)]- (11)[+ (6) - (12)]+ (1)[+ (22) - (60)] Δy = + (2)(12) - (11)(-6) + (1)(-38) Δy = 24 + 66 - 38 = 52 Δz = 2 3 11 Δz = 2 2 15 เลือกแถวบนสุด 4 -1 11 23 11 = + (2) 2 15 - (3) 2 15 + (11) 2 2 22 15 -1 11 4 11 4 -1 4 -1 11 Δz = + (2)[+ (2)(11) - (-1)(15)]- (3)[+ (2)(11) - (4)(15)]+ (11)[+ (2)(-1) - (4)(2)] Δz = + (2)[+ (22) - (-15)]- (3)[+ (22) - (60)]+ (11)[+ (-2) - (8)] Δz = + (2)(37) - (3)(-38) + (11)(-10) Δz = 74 +114 -110 = 78 x = Dx = 26 =1 .....................ตอบ D 26 .....................ตอบ ดงั นKนั .....................ตอบ y = Dy = 52 = 2 และ D 26 z = Dz = 78 = 3 D 26 10. จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนKีโดยใชก้ ฎของคราเมอร์ 2a+ b+ c = 0 ................(1) 4a+ 3b+ 2c = 2 ................(2) 2a- b- 3c = 0 ................(3) é2 1 1 ù éaù é0ù วธิ ที ํา เขียนใหอ้ ยู่ในรูปสมการแมททริกซ์ : êê4 ú êêbúú êê2úú 3 2 ú = êë2 -1 - 3 úû ëêcûú êë0ûú 211 เลอื กแถวบนสุด Δ= 4 3 2 2 -1 - 3 Δ= 211 = + (2) 3 2 - (1) 4 2 + (1) 4 3 432 -1 -3 2 -3 2 -1 2 -1 - 3 D = + (2)[+ (3)(-3) - (-1)(2)]- (1)[+ (4)(-3) - (2)(2)]+ (1)[+ (4)(-1) - (2)(3)] D = + (2)[+ (-9) - (-2)]- (1)[+ (-12) - (4)]+ (1)[+ (-4) - (6)] D = + (2)(-7) - (1)(-16) + (1)(-10) D = -14 +16 -10 = - 8

128 Δa = 011 เลอื กหลกั 1 Δa = 232 0 -1 - 3 = + (0) - (2) - 1 1 + (0) 1 -3 011 232 0 -1 - 3 D a = - (2)[+ (1)(-3) - (-1)(1)] D a = - (2)(-2) = 4 20 1 เลือกหลกั 2 Δb = 4 2 2 2 0 -3 Δb = 2 01 = - (0) + (2) 2 1 - (0) 4 22 2 -3 2 0 -3 D b = + (2)[+ (2)(-3) - (2)(1)] D b = + (2)(-6 - 2) D b = (2)(-8) = -16 2 10 เลือกหลกั 3 Δc = 4 3 2 2 -1 0 Δc = 21 0 = + (0) - (2) 2 1 + (0) 43 2 2 -1 2 -1 0 D c = - (2)[+ (2)(-1) - (2)(1)] D c = - (2)(-2 - 2) D c = - (2)(-4) = 8 ดงั นKนั a = Da = 4 = - 1 .....................ตอบ D -8 2 .....................ตอบ .....................ตอบ b = Db = -16 = 2 D -8 และ c = Dc = 8 = -1 D -8