E-book เรื่อง วิวัฒนาการของระบบจำนวน

รหัสวชิ า 2204-2004 รายวิชาคณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ เรอื่ ง วิวัฒนาการของระบบจานวน วิทยาลัยสารพัดช่างสกลนคร อาชีวศึกษาจังหวัดสกลนคร สานักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา

ใบความรู้ หนว่ ยที่ 1 ววิ ฒั นาการของระบบจานวนและตวั เลข 1.1 ประวตั ติ วั เลข ตัวเลข เป็นสัญลักษณ์ท่ีใช้แทนจำนวน ซึ่งถูกคิดขึ้นมำก่อน เศษส่วนและทศนิยมประวัติของตัวเลขเริ่มต้นตั้งแต่ตอนที่ มนุษย์รู้จัก \"กำรเทียบสิ่งของด้วยวิธีหน่ึงต่อหนึ่ง\" เช่น เทียบสัตว์ 1 ตัว กับ น้ิวมือ 1 น้ิว บรรพบุรุษของเรำไม่มีตัวเลขแต่ก็รู้จัก กำรนับ สิ่งแวดล้อมต่ำงๆ ท่ีคุ้นเคยมักจะถูกนำมำเอำมำใช้แทนจำนวนตัวเลข ที่นิยมมำกที่สุด คือ นิ้วมือ เช่น นิ้วก้อยแทนหน่ึง น้ิวนำงแทนสอง นิ้วกลำงแทนสำม ศอกแทนแปด ไหล่แทนเก้ำ ไหปลำร้ำแทนสิบ นอกจำกนี้ยังมีกำรวำดรูปสัตว์ต่ำงๆ แทน จำนวนตัวเลขอีกด้วย แต่เม่ือควำมต้องกำรที่จะแลกเปล่ียนสินค้ำเพิ่มข้นึ ควำมต้องกำรเก่ียวกับตัวเลขกม็ ำกขนึ้ ตำมไปด้วย กำร นับโดยใช้น้ิวหรือสิ่งของมำแทนก็ไม่เพียงพอ วิธีกำรแก้ปัญหำในคร้ังแรก คือ กำรใช้ปกเชือก เป็นตัวเลขชุดแรกมีต้นกำเนิดใน อินเดีย และมำแพรห่ ลำยในยโุ รปโดยผ่ำนชำวอำหรบั จงึ มีชอ่ื เรยี กว่ำ \"ตัวเลขฮนิ ดูอำรบกิ \" 1.2 ววิ ฒั นาการของตวั เลขในสมยั ตา่ งๆ 1.2.1 สมัยอยี ปิ ตโ์ บราณ (Civilization of Ancient Egypt) ในสมัยโบรำณ อียิปต์เป็นชำติท่ีเจริญรุ่งเรืองทำงด้ำนศิลปวิทยำกำรก่อนชำติอ่ืนๆ ชำวอียิปต์รู้จักบันทึกจำนวนโดยใช้ สัญลักษณ์ต่ำงๆ โดยกำรเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวนของชำวอียิปต์ ใช้วิธีรวมค่ำของสัญลักษณ์เหล่ำนั้น จะไม่คำนึงถึงตำแหน่ง ของสัญลักษณ์ ดังนั้น จำนวนเดียวกันอำจจะเขียนสัญลักษณ์สลับที่เป็นแบบต่ำงๆ ได้ ในพีระมิดได้แสดงให้เรำ ณ วันนี้เห็นว่ำ ชำวอียิปตร์ ู้จักเลขเศษส่วน รวู้ ิธแี บ่งขนมปงั ในอัตรำส่วนต่ำงๆ รู้วธิ ีหำพื้นท่ีของสำมเหลี่ยม รู้วธิ ีหำปริมำตรของทรงกระบอก เมื่อ มีกำรกำหนดควำมยำวเส้นผำ่ ศูนยก์ ลำง และสว่ นสูงของทรงกระบอกมำให้ นอกจำกนี้นกั คณติ ศำสตร์อียปิ ต์ยังไดพ้ บวำ่ อัตรำสว่ น ระหว่ำงควำมยำวของเสน้ รอบวง/เสน้ ผำ่ ศูนย์กลำงของวงกลมใดๆ มีคำ่ 256/81 หรือ 3.16 ชำวอียปิ ตโ์ บรำณสอื่ ควำมหมำยด้วย อกั ษรภำพทีเ่ รียกว่ำ ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซง่ึ รวมไปถงึ ตัวเลขดว้ ย อกั ษรภำพแทนตัวเลขต่ำงๆ มดี งั น้ี

1.2.2 สมัยบาบโิ ลน (Babylon) ชำวบำบิโลน (ประเทศอริ กั ในปัจจบุ ัน) และชำวอียิปต์รจู้ ักเขยี นสัญลกั ษณ์แทนจำนวน รูจ้ กั เลข เศษส่วน รจู้ ักใช้ลกู คิด บวก ลบ คูณ หำรตัวเลข ควำมรู้เกี่ยวกับจำนวนได้นำมำใช้ในกำรติดต่อค้ำขำย กำรเก็บภำษี กำรรู้จกั ทำปฏิทิน และกำรรู้จักใช้ มำตรฐำนเกี่ยวกับเวลำ จำกหลักฐำนทำงคณิตศำสตร์ที่เก่ำแก่ท่ีสุดของอำรยธรรมมนุษย์ในยุคบำบิโลน ซึ่งอยู่ในช่วงเวลำ ประมำณหำ้ พันปีที่แล้ว ชำวบำบิโลนมอี ำรยธรรมท่ีเก่ำแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้ำยูเฟรติส ได้ใช้ตวั เลขกำรนับด้วยฐำนหกสิบ และแบ่ง หนว่ ยเวลำเปน็ มำตรำ 60 ดงั ท่ีเรำใช้กันมำในเรอ่ื งเวลำ และใช้แบ่งวงกลมเปน็ องศำ ฟิลิปดำ เปน็ ต้น 1.2.3 สมยั กรกี และโรมัน (Greek and Roman) ชำวกรีกได้รับควำมรูท้ ำงคณติ ศำสตร์จำกชำวอียิปต์ และชำวบำบิโลน ชำวกรีกเป็นนักคิด ชอบกำรใชเ้ หตุผล เขำจึงได้ วำงกฎเกณฑ์ ทำให้คณิตศำสตร์กลำยเป็นวิชำท่ีมีเหตุผล มีกำรพิสูจน์ให้เห็นจริง เป็นวิชำที่น่ำรู้ไว้เพิ่มพูนสติปัญญำ นกั คณิตศำสตรท์ ี่สำคัญ ในสมัยน้ี คอื เธลีสเปน็ นักปรัชญำ นกั คณิตศำสตร์ นักดำรำศำสตร์ชำวกรกี เป็นคนแรก ที่คำนวณหำควำมสูง ของพีระมิดในอียิปต์ โดยใช้เงำ เขำได้ทำนำยว่ำ จะเกิดสุริยครำสล่วงหน้ำ ซึ่งได้เกิดข้ึน ก่อนพุทธศักรำช ๔๒ ปี รู้จักพิสูจน์ทฤษฎีบททำงเรขำคณิต เช่น เส้นผ่ำนศูนย์กลำงจะแบ่งคร่ึงวงกลม มุมท่ีฐำนของรูปสำมเหลี่ยมหน้ำจ่ัวเท่ำกัน และมุมในคร่ึงวงกลม เป็นมุมฉำก เปน็ ตน้ ปีทำโกรัส (Pythagoras ประมำณ ๕๘๐-๔๙๖ ปี ก่อนคริสต์ศักรำช) นักคณิตศำสตร์ชำวกรีก เป็นผู้ริเริ่มตั้งโรงเรียน สอนวิชำคณิตศำสตร์ และปรัชญำ ปีทำโกรัส และศิษย์สนใจเร่ืองรำวของจำนวนมำก เขำคิดว่ำ วิชำกำรต่ำงๆ และกำรงำนแทบ ทุกชนิด ของมนุษย์ จะต้องมีจำนวนเขำ้ มำเก่ียวขอ้ งอยู่ด้วยเสมอ กำรเรยี นรู้เรื่องของจำนวน ก็คือ กำรเรียนรูเ้ รอื่ งรำวต่ำงๆ ของ ธรรมชำติ ยูคลิด (Euclid ประมำณ ๔๕๐-๓๘๐ ปี กอ่ นคริสต์ศักรำช) นกั คณิตศำสตร์ชำวกรีก ได้รวบรวมเรขำคณติ ขึ้นเป็นตำรำ ที่มีชื่อเสียงมำก เป็นกำรวำงพ้ืนฐำนกำรเรียนเรขำคณิต โดยกล่ำวถึงจุด เส้น และรูป เช่น รูปสำมเหลี่ยม แ ละวงกลม จำก ข้อควำมท่ยี คู ลดิ ถอื วำ่ เป็นจริง แลว้ ประมำณ ๑๐ ข้อควำม เช่น \"มเี ส้นตรงเพียง เส้นเดยี วเท่ำนนั้ ทีล่ ำกผ่ำนจุดสองจดุ ได้\" เป็นต้น อำศยั กำรใช้เหตุผล ยูคลดิ พบทฤษฎีบท (ข้อควำมที่พิสูจน์ได้ว่ำเปน็ จริง) ถึง ๔๖๕ ทฤษฎีบท ตำรำของยูคลิด กล่ำวถึงทฤษฎีบท และกำรพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่ำน้ี โดยเร่ิมจำกทฤษฎีบทที่ง่ำยที่สุด และค่อยๆ ยำกข้ึนเป็นลำดับ นอกจำกนี้ ยูคลิดยังได้ศึกษำ เกี่ยวกับจำนวนอีกด้วย อำรค์ ีมีดีส (Archimedes ประมำณ ๒๘๗-๒๑๒ ปี กอ่ นคริสตศ์ ักรำช) นักคณิตศำสตร์ นักฟสิ ิกสช์ ำวกรีก สนใจกำรหำ พ้ืนที่วงกลม ปริมำตรของทรงกระบอก และกรวย นักคณิตศำสตร์สมัยน้ีรู้จักคำนวณอตรรกยะ เช่น อำร์คีมีดิส(พำย) และ สำมำรถคำนวณค่ำโดยประมำณได้ โดยใช้เศษส่วน อำร์คีมีดีสพบว่ำ อำร์คีมีดิส มีค่ำประมำณ ๒๒/๗ วิธีกำรหำค่ำ อำร์คีมีดิส นำไปสู่กำรค้นพบวิชำแคลคูลัส นอกจำกน้ี อำร์คีมีดีสเคยประดิษฐ์ระหัดทดน้ำ พบกฎกำรลอยตัว และกฎเกณฑ์ของคำนงัด และได้นำไปใช้ในกำรสร้ำงเครอื่ งผ่อนแรง สำหรบั ยกของหนกั สว่ นชำวโรมนั สนใจคณิตศำสตร์ในดำ้ นนำไปใช้ในกำรก่อสร้ำง ธรุ กิจ และกำรทหำร ตวั เลขแบบโรมนั เป็นดงั น้ี เลข โรมนั I II III IV V VI VII VIII IX X C เลขฮินดูอำรบิค 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100

1.2.4 สมัยกลาง อำณำจักรโรมันเสื่อมสลำยลง ในปี พ.ศ. ๑๐๑๙ ชำวอำหรับรับกำรถ่ำยทอดควำมรู้ทำงคณิตศำสตร์จำกกรีก ได้รับ ควำมรู้เรื่องจำนวนศูนย์ และวิธีเขียนตัวเลขแบบใหม่จำกอินเดีย ตัวเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ที่เรำใช้กันทุกวันน้ี จึงมีชื่อว่ำ ฮินดูอำรบิค ชำวอำหรับ แปลตำรำภำษำกรีกออกเป็นภำษำอำหรับไว้มำกมำย ทั้งทำงดำรำศำสตร์ คณิตศำสตร์ และ แพทยศำสตร์ 1.2.5 สมัยฟน้ื ฟศู ลิ ปวทิ ยา สงครำมครูเสด ระหว่ำงชำวยุโรปกับชำวอำหรับ ซึ่งกินเวลำร่วม ๓๐๐ ปี สิ้นสุดลง ชำวยุโรป เร่ิมฟื้นฟูทำง กำรศึกษำ และมีกำรก่อตั้งมหำวิทยำลัยกันขึ้น ชำวยุโรปได้ศึกษำ วิชำคณิตศำสตร์จำกตำรำของชำวอำหรับ ในปี พ.ศ. ๑๙๘๓ คนรู้จกั วิธีพิมพ์หนงั สอื ไม่ต้องคัดลอกดงั เชน่ แต่ก่อน ตำรำคณิตศำสตร์จึงแพร่หลำยทั่วไป ชำวยุโรปแล่นเรือมำค้ำขำยกับอำหรับ อินเดีย ชวำ และไทย ในปี พ.ศ. ๒๐๓๕ คริสโตเฟอร์ โคลัมบัส (Christopher Columbus ประมำณ ค.ศ. ๑๔๕๑-๑๕๐๖) นัก เดินเรือชำวอิตำเลียนแล่นเรือไปพบทวีปอเมริกำ ใน พ.ศ. ๒๐๕๔ ชำวโปรตุเกสเข้ำมำค้ำขำยในกรุงศรีอยุธยำ กำรค้ำขำย เจริญรุ่งเรือง ชำวโลกสนใจคณิตศำสตร์มำกข้ึน เพรำะใช้เป็นประโยชน์ได้มำกในกำรค้ำขำย และเดินเรือ เรำพบตำรำ คณิตศำสตร์ภำษำเยอรมัน พิมพ์ใน พ.ศ. 2023 มีกำรใช้เครื่องหมำย + และ - ตำรำคณิตศำสตร์ท่ีแพร่หลำยมำกคือ ตำรำ เกีย่ วกับเลขำคณิต อธิบำยวธิ ี บวก ลบ คณู หำรจำนวน โดยไมต่ ้องใช้ลูกคิด กำรหำรยำวก็เริม่ ตน้ มำจำกสมัยนี้ 1.2.6 คณติ ศาสตร์สมัยใหม่ เริ่มต้นประมำณแผ่นดินสมเด็จพระนเรศวรมหำรำช แห่งกรุงศรีอยุธยำจนถึงแผ่นดินสมเด็จพระพุทธยอดฟ้ำจุฬำโลก มหำรำช แห่งกรุงรัตนโกสินทร์ ในรอบสองร้อยปีต่อมำ ควำมเจริญทำง ด้ำนดำรำศำสตร์ กำรเดินเรือ กำรค้ำ กำร ก่อสร้ำง ทำให้จำเป็นต้องคิดเลขให้ได้เร็ว และถูกต้อง ในปี พ.ศ. ๒๑๕๗ เนเปอร์ จอห์น เนเปียร์ (Neper John Napier ค.ศ. ๑๕๕๐-๑๖๑๗) นักคณิตศำสตร์ชำวสก็อต ได้ตีพิมพ์ผลงำนเกี่ยวกับลอกำริทมึ ซึ่งเป็นวิธคี ูณ หำร และกำรยกกำลังจำนวนมำกๆ ให้ไดผ้ ลลัพธ์ถูกต้อง และรวดเร็ว ในทส่ี ุด กม็ ีกำรประดิษฐบ์ รรทดั คำนวณขึ้น โดยใช้หลกั เกณฑข์ องลอกำรทิ ึม นอกจำกนี้ยังมีนักคณิตศำสตร์ที่สำคัญอีกคือ เรอเน เดส์กำร์ตส์ (Rene Descartes ค.ศ. ๑๕๙๖-๑๖๕๐) พบวิชำ เรขำคณิตวิเครำะห์ แบลส ปำสกำล (Blaise Pascal ค.ศ. ๑๖๒๓-๑๖๖๒) และ ปิแยร์ เดอ แฟร์มำต์ (Pierre de Fermat ค.ศ. ๑๖๐๑-๑๖๖๕) พบวิชำควำมนำ่ จะเปน็ ทั้งสำมท่ำนนีเ้ ป็นชำวฝร่งั เศส ปำสกำล ได้รับกำรยกย่องวำ่ เปน็ คนแรกทปี่ ระดิษฐ์เครื่อง คิดเลข เซอร์ ไอแซก นวิ ตัน (Sir Isaac Newton ค.ศ. ๑๖๔๒-๑๗๒๗) นกั วทิ ยำศำสตร์ ชำวอังกฤษ และ กอตต์ฟรีด วลิ เฮล์ม ไลบ์นิตส์ (Gottfried Wilhelm Leibnitz ค.ศ. ๑๖๔๖-๑๗๑๖ นักคณิตศำสตร์ชำวเยอรมัน) พบวิชำแคลคูลัส ซ่ึงเป็นวิชำท่ีนำไปใช้ประโยชน์ได้อย่ำงกว้ำงขวำง กำรค้นพบวิชำแคลคูลัส ในรัช สมัยสมเด็จพระนำรำยณ์มหำรำช และกำรค้นพบกฎทำงวิทยำศำสตร์ของนิวตัน เช่น กฎของ กำรเคล่ือนท่ี ทฤษฎีของ กำรโน้มถ่วงของโลก เป็นต้น นับเป็นควำมก้ำวหน้ำ ของวิทยำกำรสมัยใหม่ ผลงำนของนักคณิตศำสตร์และวิทยำศำสตร์ในสมัย ๑๐๐ ปี ตอ่ มำ มงุ่ ไปในแนวใชแ้ คลคูลัสให้เป็นประโยชน์ในกำรศึกษำคณติ ศำสตร์ และวิชำฟสิ กิ สแ์ ขนงต่ำงๆ เซอร์ ไอแซค นิวตัน นักคณิตศำสตร์ที่มีชื่อเสียงมำกในสมัยนี้มี เลออนฮำร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler ค.ศ. ๑๗๐๗-๑๗๘๓) ชำวสวิส ผู้ให้กำเนิดทฤษฎีว่ำด้วยกรำฟ นักคณิตศำสตร์ ชำวฝร่ังเศสมี โชแซฟ ลุยส์ ลำกรองจ์ (Joseph Louis Lagrange ค.ศ. ๑๗๓๖- ๑๘๑๓) ปิแยร์ ซิมง เดอ ลำปลำซ (Pierre Simon de Laplace ค.ศ. ๑๗๔๙-๑๘๒๗) ใช้แคลคูลัสสร้ำงทฤษฎีของกลศำสตร์ และกลศำสตรฟ์ ำกฟ้ำ ซง่ึ เปน็ พื้นฐำนของวิศวกรรมศำสตร์ และดำรำศำสตร์ 1.2.7 สมยั ปัจจบุ นั นกั คณติ ศำสตร์ และแขนงใหมข่ องคณติ ศำสตร์ในสมัยนพี้ อสงั เขป คำร์ล ฟรีดริค เกำส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. ๑๗๗๗-๑๘๕๕) นักคณิตศำสตร์ชำวเยอรมัน มีผลงำนดีเด่นทำง คณิตศำสตร์มำกมำยหลำยด้ำน ได้แก่ พีชคณิต กำรวิเครำะห์ทฤษฎีจำนวน กำรวิเครำะห์เชิงตัวเลข ควำมน่ำจะเป็น และ สถิติศำสตร์ รวมท้งั ดำรำศำสตร์ และฟสิ กิ ส์

นโิ คไล อิวำโนวิช โลบำเชฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski ค.ศ. ๑๗๙๒-๑๘๕๖) นกั คณิตศำสตรช์ ำวรุสเซีย และ จำโนส โบลไย (Janos Bolyai ค.ศ. ๑๘๐๒-๑๘๖๐) นักคณิตศำสตร์ชำวฮังกำรี ได้รับกำรยกย่องให้เป็นผู้ให้กำเนิดวิชำ เรขำคณิต นอกระบบยคู ลดิ ในส่วนเรขำคณติ แบบไฮเพอร์โบลกิ นีลส์ เฮนรกิ อำเบล (Niels Henrik Abel ค.ศ. ๑๘๐๒-๑๘๒๙) นักคณิตศำสตร์ชำวนอร์เวย์ มีผลงำนในด้ำนพีชคณิต และกำรวิเครำะห์ เม่ืออำยุประมำณ ๑๙ ปี เขำพิสจู น์ได้ว่ำ สมกำรกำลงั ห้ำที่มีตัวแปรตัวเดียวในรปู ท่ัวไป (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0) จะไม่สำมำรถหำคำตอบโดยวิธีพีชคณิตได้เสมอไป เหมอื นสมกำรที่ มีกำลังต่ำกวำ่ ห้ำ นอกจำกนี้ยงั มีผลงำน อื่นๆ ในด้ำนทฤษฎขี องอนุกรม อนนั ต์ ฟงั ก์ชนั อดศิ ัย กลุ่มจตรุ งค์ และฟงั ก์ชนั เชิงวงรี เซอร์ วิลเลียม โรแวน แฮมิลทัน (Sir William Rowan Hamilton ค.ศ. ๑๘๐๕-๑๘๖๕) นักคณิตศำสตร์ชำวไอริส มี ผลงำนในด้ำนพีชคณิต ดำรำศำสตร์ และฟิสิกส์ ใน ปี ค.ศ. ๑๘๔๓ เขำได้สร้ำงจำนวนชนิดใหม่ข้ึน เรียกว่ำ ควอเทอร์เนียน ร่วมกับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเทอร์ (James Joseph Sylvester ค.ศ. ๑๘๑๔-๑๘๙๗) และ อำร์เทอร์ เคเลย์ (Arthur Cayley ค.ศ. ๑๘๒๑-๑๘๙๕) ทงั้ สองท่ำนน้เี ป็นนักคณิตศำสตร์ชำวอังกฤษ แบรน์ ฮำรด์ รมี นั น์ (Bernhard Riemann ค.ศ. ๑๘๒๖-๑๘๖๖) นักคณิตศำสตร์ชำวเยอรมนั มีผลงำนในดำ้ นเรขำคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเครำะห์ท่ีมีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และวิชำฟิสิกส์เชิงคณิตศำสตร์ เป็นผู้ใหก้ ำเนดิ วิชำเรขำคณติ แบบรีมนั น์ ซึง่ เปน็ รำกฐำนของทฤษฎีสัมพันธภำพสมยั ปัจจบุ ัน คำร์ล ไวแยร์สตรำสส์ (Karl Weierstrass ค.ศ. ๑๘๑๕-๑๘๙๗) นักคณิตศำสตร์ชำวเยอรมัน มีผลงำนในด้ำนกำร วิเครำะห์ เป็นผู้นิยำมฟังก์ชันวิเครำะห์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยใช้อนุกรมกำลัง สร้ำงทฤษฎีเก่ียวกับฟังก์ชันเชิงวงรี และแคลลูลสั ของกำรแปรผนั จอร์จ บลู (George Boole ค.ศ. ๑๘๑๕-๑๘๖๔) นักคณิตศำสตร์ชำวอังกฤษ มีผลงำนในด้ำนตรรกศำสตร์ พีชคณิต กำรวิเครำะห์ แคลลลู สั ของกำรแปรผนั ทฤษฎีควำมนำ่ จะเป็น เป็นผู้ให้กำเนดิ วชิ ำพชี คณิตแบบบูล เกออร์จ คันเตอร์ (Georg Cantor ค.ศ. ๑๘๔๕-๑๙๑๗) นักคณิตศำสตร์ชำวเยอรมัน เป็นผู้ริเริ่มนำเซตมำใช้ในกำร อธิบำย เร่ืองรำวทำงคณิตศำสตร์ และได้รับผลสำเร็จเป็นอย่ำงดี เป็นผู้ให้กำเนิดวิชำทฤษฎีเซต ควำมรู้เกี่ยวกับเซต ทำให้เรำ ทรำบเร่ืองรำวเก่ียวกับจำนวนจริง และจำนวนอนันต์เพ่ิมขึ้น ต่อมำนักคณิตศำสตร์อีกหลำยท่ำน ได้ช่วยกันปรับปรุงเรื่องเซตให้ สมบูรณ์ จนเปน็ ที่ยอมรับ และนำไปใช้อยำ่ งกว้ำงขวำงในวชิ ำคณิตศำสตร์ โยเชียห์ วิลลำร์ด กิบส์ (Josiah Willard Gibbs) นักคณิตศำสตร์ชำวอเมริกัน มีผลงำนในด้ำนวิชำฟิสิกส์เชิง คณิตศำสตร์ และวชิ ำกลศำสตรเ์ ชงิ สถิติ เปน็ ผใู้ หก้ ำเนดิ วชิ ำเวกเตอร์วิเครำะห์ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ค.ศ. ๑๘๗๙-๑๙๕๕) นักฟิสิกส์ชำวเยอรมัน ใช้คณิตศำสตร์สร้ำงทฤษฎี สัมพนั ธภำพ เปน็ เหตใุ ห้ควำมคิดเห็นเกย่ี วกบั เอกภพ และสสำร ซึ่งเชื่อกนั มำแต่เดมิ เปลย่ี นแปลงไป ทฤษฎีทำงวิทยำศำสตร์ สมัย ปัจจุบัน เช่น แขนงอิเล็กทรอนิกส์ ฟสิ ิกส์นิวเคลยี ร์ และอวกำศ ตอ้ งใช้ควำมรู้ทำงคณติ ศำสตร์ประยุกต์แบบใหม่ จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John Von Neumann ค.ศ. ๑๙๐๓-๑๙๕๗) นักคณิตศำสตร์ชำวฮังกำรี มีผลงำนทั้งในด้ำน คณิตศำสตร์บริสุทธิ์ คณิตศำสตร์ประยุกต์ และเศรษฐศำสตร์ เช่น ทฤษฎีควอนตัม ทฤษฎีคอมพิวเตอร์ และกำร ออกแบบ คอมพิวเตอร์ กำหนดกำรเชงิ เส้น กลุ่มจตุรงคต์ ่อเน่ือง ตรรกศำสตร์ ควำมนำ่ จะเปน็ เปน็ ผูใ้ หก้ ำเนดิ ทฤษฎกี ำรเสย่ี ง คณิตศำสตร์แขนงใหม่ท่ีเกิดข้ึนในสมัยปัจจุบันได้แก่ทฤษฎีเซต กำเนิดเมื่อ พ.ศ. ๒๔๓๕ โทโพโลยี กำเนิดเม่ือ พ.ศ. ๒๔๓๘ ทฤษฎกี ำรเสี่ยง กำเนดิ เมอ่ื พ.ศ. ๒๔๗๔ และกำหนดกำรเชิงเส้น กำเนดิ เมือ่ พ.ศ. ๒๔๙๐ 2. กาเนดิ ตวั เลข มนุษย์เริ่มรู้จักกำรนับ และคิดค้นเครื่องมือสำหรับช่วยในกำรคำนวณ โดยเร่ิมจำกกำรใช้นิ้วมือเป็นเคร่ืองมือช่วยนับที่ พื้นฐำน จนพัฒนำขึ้นมำเป็นกำรนำเชือกมำร้อยหินเรียงกัน และกำหนดให้ค่ำของลูกหินตำมตำแหน่งที่ร้อยลูกคิด ชำวจีนได้ ประดิษฐ์ลูกคิดขึ้น นับเป็นเครื่อคำนวณเครื่องแรกของโลก ต่อมำจึงมีกำรพัฒนำเคร่ืองคิดเลขข้ึนมำใช้ช่วยในกำรคำนวณทำง คณติ ศำสตร์

3. ระบบจานวน 3.1 จานวนจรงิ แบง่ ออกไดเ้ ปน็ 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ 3.1.1 จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers) หมำยถึง จำนวนท่ีเขยี นได้ในรปู a/b โดยท่ี a และ b ต่ำงกเ็ ปน็ จำนวนเต็ม และ b ≠ 0 หรอื กลำ่ วได้ว่ำ จำนวนตรรกยะคือ จำนวนท่ีสำมำรถเขียนในรปู เศษสว่ นของจำนวนเต็มไดโ้ ดยทีส่ ว่ นไมเ่ ป็นศนู ย์ 3.1.2 จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) คือ จำนวนท่ีไมส่ ำมำรถเขยี นในรปู เศษส่วนของจำนวนเตม็ ทต่ี ัวหำร ไมเ่ ป็นศูนย์ แต่เขียนไดใ้ นรปู ทศนยิ มไมซ่ ้ำและสำมำรถกำหนดค่ำโดยประมำณได้ 3.2 จานวนเต็ม (Integers) คือ จำนวนท่ีไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น เช่น 1,3,-4,-8 เป็นต้น จำนวน เตม็ แบง่ ได้เป็น 3 ชนดิ คอื 3.2.1 จำนวนเต็มบวก (Positive Integers) เป็นจำนวนที่ใช้แทนปริมำณท่ีมำกกว่ำศูนย์หรือเรียกว่ำ จำนวนนับ (Counting Numbers) บำงคร้ังจะเรยี กจำนวนนับอกี อย่ำงหน่งึ วำ่ จำนวนธรรมชำติ (Natural Numbers) 3.2.2 จำนวนเตม็ ลบ (Negative Integers) เปน็ จำนวนทีใ่ ช้แทนปริมำณท่ีน้อยกวำ่ ศูนย์ เขยี นแทนด้วยเลขจำนวนนบั ท่มี เี คร่ืองหมำยลบอยดู่ ้ำนหน้ำ โดยจำนวนเตม็ ลบเริ่มจำก -1 และลดลงทีละ 1 ไปเร่ือยๆไมม่ ีทส่ี น้ิ สุด 3.2.3 จำนวนเตม็ ศนู ย์ คอื ตวั เลข 0 เปน็ จำนวนทอ่ี ยหู่ ำ่ งจำก 1 ไปทำงซ้ำยมือ เป็นระยะทำง 1 หนว่ ย 3.3 จานวนเศษสว่ น (Fractions) คอื จำนวนทเ่ี กดิ จำกกำรหำรของสองจำนวน แล้วได้ไม่ลงตวั ไดแ้ ก่ 3.3.1 จำนวนเศษส่วนธรรมดำ 3.3.2 จำนวนเศษส่วนเกินหรือจำนวนคละ 3.3.3 จำนวนทศนิยม ไดแ้ ก่ จำนวนทศนิยมรูจ้ บ และทศนิยมไมร่ ู้จบ 4.ระบบเลขโรมัน ประมำณ 300 – 100 ปีก่อนคริสต์ศักรำช ชำวโรมนั ได้นำตัวหนงั สอื กรกี มำดดั แปลงเป็นตัวเลขโรมัน ซ่งึ ตัวเลขโรมันใช้ สญั ลักษณพ์ ืน้ ฐำน 7 ตวั ดงั ต่อไปนี้ I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 หลักกำรเขียนตัวเลขโรมนั แทนจำนวน 1. สญั ลักษณ์แตล่ ะตัวเขียนเรียงกันได้ไมเ่ กนิ 3 ตวั 2. เขียนเรียงกันโดยใช้หลักกำรเพิ่ม เรยี งลำดบั จำกมำกไปน้อย เชน่ VI แทน 5 + 1 = 6 XV แทน 10 + 5 = 15 DCLXIII แทน 500 + 100 + 50 + 10 + 3 = 663 3. ใชห้ ลักกำรลด โดยกำรเขยี นตวั เลขทม่ี คี ำ่ น้อยไว้ข้ำงหนำ้ ตัวเลขที่มคี ่ำมำก เช่น IV แทน 5 – 1 = 4 IX แทน 10 – 1 = 9 XL แทน 50 – 10 = 40 4. กำรเขยี นจำนวนทีม่ ีคำ่ มำก ๆ ใหใ้ ช้เครือ่ งหมำยขดี (-) เขียนบนสัญลักษณ์พื้นฐำน 6 ตัว คือ V, X, L, C, D, M โดยสัญลักษณใ์ หม่นี้จะมีคำ่ เป็น 1,000 เทำ่ ของตัวเลขเดิม เอกสารอ้างองิ สมควร สากา คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์. สานกั พมิ พ์ บรษิ ทั พัฒนาคณุ ภาพวชิ าการ(พว.) จากดั