E-Book เรื่องคอมพิวเตอร์กับระบบเลขฐาน

รหสั วชิ า 2204-2004 รายวิชาคณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์ เรือ่ ง คอมพวิ เตอร์กบั ระบบเลขฐาน วิทยาลัยสารพัดช่างสกลนคร อาชีวศึกษาจังหวัดสกลนคร สานักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา

55 ใบความรู้ หนว่ ยที่ 3 คอมพิวเตอร์กับเลขฐาน 1. ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งคณิตศาสตร์กบั การทางานของเครอ่ื งคอมพิวเตอร์ ทางคณิตศาสตร์มนุษย์ติดต่อส่ือสารกันด้วยเลขฐานสิบ เพราะทุกคนมีความเข้าใจเหมือนกันในการสื่อ ความหมาย แต่การทางานภายในคอมพิวเตอร์ใช้เลขฐานสองในการทางาน เพ่ือให้เข้าใจการทางานของคอมพิวเตอร์ จึงต้องเรียนรู้การแปลงเลขฐานต่างๆ เพราะเลขฐานเหล่าน้ีสามารถแปลงสลับไปมาได้ เช่น การแปลงเลขฐานสองเป็น เลขฐานสิบ การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก เป็นต้น คอมพิวเตอร์จึงเป็นเคร่ืองจักรอิเลก็ ทรอนิกส์ ทีถ่ ูกสรา้ งข้ึนเพ่ือใช้ทางานแทนมนุษย์ ในดา้ นการคิดคานวณและสามารถ จาข้อมูล ท้ังตัวเลขและตัวอักษรได้ เพื่อการเรียกใช้งานในครั้งต่อไป นอกจากน้ี ยังสามารถจัดการกับสัญลักษณ์ได้ด้วย ความเร็วสูง โดยปฏิบัติตามข้ันตอนของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ยังมีความสามารถในด้านต่าง ๆ อีกมากอาทิเช่น การเปรียบเทยี บทางตรรกศาสตร์ การรับส่งข้อมลู การจัดเก็บข้อมูลในตัวเครอื่ ง และสามารถประมวลผลจากข้อมูลต่าง ๆ ได้ตัวอย่างเช่น เมื่อนักเรียนใช้เมาส์ วาดรูปคอมพิวเตอร์จะรับรู้ตาแหน่งของเมาส์ในแต่ละขณะแล้วทาการคานวณ ทาง คณิตศาสตร์เพื่อให้เกิดภาพตามท่ีนักเรียนวาด และทาการควบคุมการทางานของจอภาพเพ่ือให้ภาพไปปรากฏ บนจอ เราบอกว่าคอมพิวเตอร์ทาการคานวณทางคณิตศาสตร์แต่คณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ นั้นต่างกับคณิตศาสตร์ ที่เราใช้คิดเลขในชีวิตประจาวัน คณิตศาสตร์ในชีวิตประจาวันของเราเป็นระบบเลขฐานสิบ โดยมีตัวเลขให้ใช้ 10 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,และ 9 แต่คณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์นั้นเป็นระบบเลขฐานสอง ซ่ึงมีตัวเลขให้ใช้เพียงสองตัว เท่าน้นั คอื 0 และ 1 2. คอมพวิ เตอรก์ ับระบบเลขฐาน คอมพิวเตอร์ทางานด้วยกระแสไฟฟ้า ดงั น้ันจึงมีการแทนท่ีสภาวะของกระแสไฟฟ้าได้ 2 สภาวะ คือ สภาวะที่ มกี ระแสไฟฟ้าและสภาวะท่ีไม่มีกระแสไฟฟ้าและเพื่อให้โปรแกรมเมอร์สามารถส่ังการคอมพิวเตอร์ ได้ จึงได้มีการสร้าง ระบบตัวเลขทน่ี ามาแทนสภาวะของกระแสไฟฟ้า โดยตัวเลข 0 จะแทนสภาวะไม่มี กระแสไฟฟ้า และเลข 1 แทนสภาวะ มกี ระแสไฟฟ้า สภาวะมีกระแสไฟฟ้า แทนดว้ ยตัวเลข 1 สภาวะไมม่ ีกระแสไฟฟ้า แทนดว้ ยตวั เลข 0

56 3. การบวกเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก การบวกเลขฐานต่าง ๆ มวี ิธีการทาเช่นเดียวกันกับการบวกเลขฐานสิบ คือ เขียนตัวเลขสองจานวนให้ตรงกัน โดยเรียงจากขวามือไปซ้ายมือ แล้วทาการบวกด้านขวาสุดก่อน ถ้าผลบวกในตาแหน่งใดมีการทดให้นาเลขที่ทดน้ันไป บวกกับเลขในตาแหน่งถดั ไป ทาการบวกเชน่ นี้จนครบทุกหลัก จาไดผ้ ลลพั ธต์ ามต้องการ หลักการบวกเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก มวี ิธีการดงั น้ี 1. เลขท่ีนามาบวกกันต้องเป็นเลขฐานเดยี วกนั หากไมใ่ ช่เลขฐานเดียวกนั ตอ้ งเปลยี่ นใหเ้ ปน็ เลขฐานเดียวกนั ก่อน 2. กรณเี ปน็ เลขจานวนเตม็ เขียนตวั ต้งั และตวั บวกให้ตรงกัน โดยเรยี งจากขวามอื ไปซ้ายมอื 3. ทาการบวกด้านขวาสดุ กอ่ น ถา้ คา่ ท่ีบวกได้มีคา่ น้อยกว่าเลขฐานนัน้ ให้ใส่ผลลัพธ์ตรงตาแหนง่ ทบี่ วกกัน หากคา่ ทบี่ วกได้มากกวา่ หรอื เท่ากับเลขฐานนนั้ ต้องนาเลขฐานมาหารกอ่ น จะได้ผลหารและเศษจากการหาร โดย ผลหารจะเปน็ ตัวทดของหลักทางด้านซา้ ย สว่ นเศษจากการหารจะเปน็ ผลลัพธใ์ นตาแหน่งน้นั ดาเนนิ การบวกไปเร่ือย ๆ จนครบ 4. กรณีเป็นเลขทศนยิ ม ใหเ้ ขียนจดุ ให้ตรงกนั ก่อนแล้วทาการบวกเลขจากด้านขวามือสดุ โดยใช้หลกั ของ การบวกเช่นเดียวกบั การบวกเลขจานวนเต็มจะนาหลักการดงั กลา่ วขา้ งตน้ มาใชใ้ นการบวกเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก 4. การลบเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสบิ หก หลกั การลบของเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก มีวิธกี ารดงั น้ี 1. กรณีเลขจานวนเตม็ ใหเ้ ขียนตัวตง้ั และตัวลบให้ตรงกัน โดยเรยี งจากขวามือไปซ้ายมือและทาการลบโดย เริ่มจากดา้ นขวาสดุ ก่อน 2. ตวั ต้งั มากกว่าตัวลบหรือเท่ากบั ตัวลบให้ลบกนั ตามปกติ 3. ตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตัวลบ การลบน้ันตอ้ งมีการยมื เลขขา้ งหนา้ มา และค่าทยี่ ืมมามคี ่าเทา่ กับเลขฐานนน้ั และ คา่ ของเลขท่ีถูกยืมจะมีคา่ ลดลงไป 1 แล้วทาการลบกัน 4. กรณีเปน็ เลขทศนิยม ใหเ้ ขียนจุดให้ตรงกนั และทาการลบเช่นเดยี วกบั การลบเลขจานวนเตม็ จะนา หลกั การ ดงั กล่าวข้างตน้ มาใช้ในการลบเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก

57 5. การคูณเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบ การคณู เลขฐานต่างๆ มวี ิธีการทาเหมือนกบั การคูณเลขฐานสิบ คอื เขยี นตัวตงั้ และตัวคูณให้หลักท่ีมีคา่ น้อย ทสี่ ดุ ของตวั ตงั้ และตัวคณู ตรงกัน ทาการคณู กนั ทลี ะหลัก นาผลลพั ธ์ทไ่ี ด้จากการคูณมาบวกกันจะทบทวนการคณู ของ เลขฐานสบิ ก่อนเพอ่ื ความเข้าใจและเปน็ พนื้ ฐานของการคูณเลขฐานอื่นๆ หลักการคูณเลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสบิ หก มีวิธดี ังนี้ 1. การคณู เลขจานวนเต็ม เขียนตัวต้ังและตัวคูณใหห้ ลกั ที่มีคา่ นอ้ ยทส่ี ุดของตัวตัง้ และตัวคณู ให้อยู่ตรงกัน 2. ทาการคูณทีละหลักเริ่มจากหลักทางด้านขวาสุดของตัวคูณก่อน ถ้าผลคูณท่ีได้มีค่าน้อยกว่าเลขฐานให้ ใส่เป็นผลลัพธ์ ถ้าผลคูณมากกว่าหรือเท่ากับเลขฐานนั้น ให้นาเลขฐานมาหารก่อน โดยผลหารจะเป็นตัวทดลองหลัก ทางด้านซ้าย สว่ นเศษจากการหารจะเป็นผลลัพธใ์ นตาแหน่งนัน้ ทาการคูณเช่นนจ้ี นครบ 3. ผลคณู ของตัวคณู แต่ละตวั นามาบวกกนั โดยใชห้ ลักการบวกเลขฐานต่างๆ 4. ถ้าเป็นการคูณเลขทศนิยม ทาการคูณกันเหมือนกรณีของการคูณเลขจานวนเต็ม แต่เวลาตอบต้องนับ จานวน ตาแหนง่ ของเลขทศนิยมของตัวต้ังและตัวคูณบวกกัน จึงจะไดจ้ านวนตาแหน่งของทศนิยมของผลลัพธ์ เชน่ ตัว ตัง้ มีทศนิยม 2 ตาแหน่ง ตัวคณู มที ศนยิ ม 1 ตาแหนง่ คาตอบจะได้ทศนิยม 2 + 1 = 3 ตาแหน่ง จะนาหลักการดังกล่าว ข้างตน้ มาใชก้ ารคณู เลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสบิ หก 6. การหารเลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบหก ใช้วิธีแปลงตัวตั้งและตัวหารให้เป็นเลขฐานสิบก่อน แล้วจึงทาการหาร วิธีเป็นวิธีที่ง่ายในการทาความเข้าใจ เพราะเป็นวิธีที่ได้ศึกษามาแล้วในหน่วยท่ี 3 จะใช้ได้ทุกเลขฐาน ถ้าตัวหารเป็น 2 หลักก็สามารถทาได้อย่างง่าย และได้ คาตอบทถ่ี กู ต้อง ซึง่ มรี ายละเอียดดงั ตอ่ ไปน้ี หลักการหารเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลขฐานสิบหก มีวธิ กี ารดังนี้ 1. แปลงตัวตง้ั และตวั หารทโี่ จทย์กาหนดให้เป็นเลขฐานสิบก่อน โดยใช้วิธีการแปลงเลขฐานสองเลขฐาน แปด และเลขฐานสบิ หกให้เปน็ เลขฐานสิบ แลว้ จึงนาค่าทีไ่ ด้มาหารกนั จะได้คาตอบของการหารเปน็ เลขฐานสิบ 2. แปลงคาตอบที่เป็นเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานตามโจทย์ต้องการ โดยใช้หลักการแปลงเลขฐานสิบให้ เปน็ เลขฐานสอง เลขฐานแปดและเลขฐานสบิ หก กจ็ ะไดค้ าตอบของการหารเลขฐานตา่ งๆ เอกสารอ้างอิง สมควร สากา คณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์. สานักพมิ พ์ บรษิ ทั พฒั นาคณุ ภาพวิชาการ(พว.) จากดั