Aula 01_Equações do 2° Grau_Roteiro Completo

Equações do 2° grau Equações do 2° grau com uma incógnita Imagine a seguinte situação: um paraquedista salta de um avião a 3. 700 metros e abre o paraquedas quando está a uma altura de 1 500 metros em relação ao solo. Desse modo, ele se desloca 2.200 metros em queda livre, partindo de uma velocidade inicial nula. Quanto tempo dura esse deslocamento de 2.200 metros? O paraquedismo é um esporte radical, em que, geralmente, salta-se de um avião em voo horizontal. A velocidade atingida na queda livre costuma variar entre 200 km/h e 350 km/h. O físico, matemático e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564 - 1642) desenvolveu um modelo matemático que pode ser utilizado para todo corpo em queda livre, ou seja, qualquer corpo abandonado no repouso, isto é, sem velocidade inicial. De acordo com esse modelo, a situação do paraquedista pode ser descrita pela seguinte equação: 1 10t2  2200 2 Em que 2.200 é a altura da queda (dada em metros), 10 é a aceleração da gravidade no local da queda (dada em m/s²) e t é o tempo de queda (dado em segundos). A equação 1 10t2  2200 é um exemplo de equação do 2° grau com uma 2 incógnita. Vamos relembrar como resolver esse tipo de equação. Para calcular o tempo que o paraquedista leva até abrir o paraquedas, fazemos: 1 10t2  2200 2 5t2  2200 t2  2200 5 t2  440 t 440  t1  21 descartar, pois o tempo é maior ou igual a zero t2  21

Como a grandeza tempo só pode ser medida por um número positivo, o paraquedista abrirá o paraquedas 21 segundos após o salto. A equação que acabamos de resolver é uma equação do 2° grau. Agora, vamos aprender a reconhecer equações do 2° grau. Uma equação do 2° grau com uma incógnita é qualquer equação que pode ser escrita na forma reduzida ax2  bx  c  0 , em que a, b e c são números reais denominados coeficientes, a ≠ 0 e x é a incógnita. TERMO INDEPENDENTE Em uma equação do 2° grau, o coeficiente c é chamado de termo independente. EQUAÇÃO DO 2° GRAU COMPLETA Quando a equação do 2° grau tem todos os termos diferentes de zero, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, dizemos que a equação do 2° grau é completa. Exemplos a  3 a1 (A) 3x2  7x  5  0 b  7 2 c  5 (B) x2  2x  3  0 b   2 23 3 c 3 EQUAÇÃO DO 2°GRAU INCOMPLETA Quando pelo menos um dos coeficientes, b ou c, for igual a zero, dizemos que a equação do 2° grau é incompleta. Exemplos a2 (D) x2  5  0 a  1 (C) 2x2  3x  0 b  3 b0 c5 c0 RAÍZES OU SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DO 2° GRAU Assim como nas demais equações algébricas já estudadas, também são determinadas soluções para as equações do 2° grau. As soluções encontradas são denominadas raízes da equação, que correspondem aos valores atribuídos à incógnita que tornam a sentença verdadeira. Como a equação é de 2° grau ela sempre terá duas raízes. Exemplos (A) Vamos verificar se os números 2,4,0,  1 e 5 são soluções da equação x2  2x 8  0 . 2  Para x  2 , temos: x2  2x 8  0 Concluímos que 2 é raiz da equação x2  2x 8  0 22  2 2  8  0 4 48  0 00

 Para x  4 , temos: x2  2x 8  0 Concluímos que -4 é raiz da equação x2  2x 8  0 42  2 4  8  0 16  8  8  0 00  Para x  0 , temos: x2  2x 8  0 Concluímos que 0 NÃO é raiz da equação x2  2x 8  0 02  20  8  0 0 08  0 8  0  Para x   1 , temos: 2 x2  2x 8  0   1 2  2    1  8  0  2   2    1 18  0 Concluímos que  1 NÃO é raiz da equação x2  2x 8  0 4 1 90 2 4  35  0 4  Para x  5 , temos: x2  2x 8  0 Concluímos que 5 NÃO é raiz da equação x2  2x 8  0 52  2 5  8  0 25 10  8  0 27  0 O conjunto solução da equação x2  2x 8  0 é {-4, 2}. (B) Determine o valor de m para que 2 seja raiz da equação x2  x  m 1  0 . x2  x  m 1  0 22  2  m 1  0 42m1 0 3m

(C) Dada a equação 2x2  m  0 , vamos determinar o valor de m para que 1 seja raiz (solução) dessa equação do 2° grau incompleta. 2x2  m  0 2 12  m  0 21 m  0 2m0 m  2 RETOMAR E COMPREENDER 01. Marque com um  apenas as equações que são do 2° grau.  x59  x3  x2  2  0  x2  3x 1  0  6x 1 3  x6  5  2  x  x2  0  x8  2x2  3  x2  3  5x2 02. Complete o quadro a seguir com os valores dos coeficientes das equações indicadas. ab c 2x2  5  2x2 5  0 2 0 -5 2x2  5x 5  2x2 5x  5  0 2 -5 5 x  5x2  5  5x2  x  5  0 5 1 -5 4x2  5  5x  4x2  5x 5  0 4 5 -5 3x2  5x  3x2  5x  0 3 -5 0 5x2  3  4x  5x2  4x  3  0 -5 -4 3 x2  x  4  0 1 1 4 53 53 03. Escreva as equações a seguir na forma reduzida e identifique quais são do 2° grau. (A)  x  6 x  2  4x  2x 12 (B) x  x 1 x 1  2x2  x3 x  x 1  x 1  2x2  x3 x2  2x  6x 12  4x  4x2  4x 1 x2  8x 12  4x2  4x 1  0  x2  x  x 1  2x2  x3  0 3x2  4x 13  0 x3 x2 x2  x  2x2 x3  0 2x2  x  0

 (C) x  2x2  3  7  x2 (D) 3x  x  2 1 3x2 2x3  3x  49 14x  x2 3x2  6x 1 3x2 2x3  3x  49 14x  x2  0 6x 1  0  Não é equação do 2° grau. 2x3  x2 17x  49  0  Não é equação do 2° grau 04. Indique os valores dos coeficientes de cada equação a seguir e depois classifique-as em completa ou incompleta. Equação ab c Completa ou incompleta 3x2  6x  0 360 Incompleta x2  2x 1 x2  2x 1 0 1 2 -1 Completa 1 02 Incompleta x2  7  5  x2  2  0 1 -5 -1 Completa 276 Completa x  x  5 1 x2  5x 1 0 4 24 5 Completa 2x2  7x  6  0 2x  32  4 12x  4x2  24x  5  0 05. Verifique qual ou quais números são soluções da equação dada. (A) 2x2  7x  4  5  x  4  x5 2 42  7 4  4  5 252  75  4  5 2 16  28  4  5  0 2  25  35  4  5  0 32  28  4  5  0 50  26  0 5  0  -4 não é raiz da equação 24  0  5 não é raiz da equação  x2  x1 2 222  72  4  5 2   1 2  7   1   4  5 2  4 14  4  5  0  2   2  850 3  0  2 não é raiz da equação 21  7 45 0 1  7 9 0 42 22 8  9  0  5  0  1 não é raiz da equação 22

(B) x2  x  2  0  x 1  x0 12  1  2  0 02  0  2  0 11 2  0 2  0 1 não é raiz da equação 0020 2  0  0 não é raiz da equação  x3  x2 32  3  2  0 22  2  2  0 9  3  2  0 8  0  3 não é raiz da equação 4  2  2  0 4  0  2 não é raiz da equação  x1 2   1 2   1   2  0  2   2  1  1 2 0 42  7  0  1 não é raiz da equação 42 (C) x2 8x 16  0  x  1  x  3 12  81 16  0 32  83 16  0 1 8 16  0 25  0  1 não é raiz da equação 9  24 16  0 49  0  3 não é raiz da equação  x2  x 1 3 12  81 16  0   2 2  8    2   16  0  3   3  1 8 16  0 9  0 1 não é raiz da equação 4  16 16  0 99 164  0   2 não é raiz da equação 93  x4 42  84 16  0 16  32 16  0 0  0  4 é raiz da equação

(D) x2  2x  6  0  x  8 6 82  2 8  6  0  x  10 6 102  2 10  6  0 64 16  6  0  32 10 63 6 2  0  8 não é raiz da equação 100  20  6  0  50 14 3 63  x7 8  0  10 não é raiz da equação 4 3  x  6  72  4  62  2 6  6  0 6  2   7   6  0  4  6 36 12  6  0  6  6 49 6 0  0  6 é raiz da equação 16  7  6  0  294  19 62 96 2  x0 294  19  0  7 não é raiz da equação 02  20  6  0 96 2 4 6 0060 6  0  0 não é raiz da equação 06. Reescreva as sentenças abaixo, de modo que elas se tornem verdadeiras. (A) O coeficiente a de uma equação de 2° grau ax2  bx  c  0 pode ser zero. O coeficiente a de uma equação de 2° grau ax2  bx  c  0 NÃO pode ser zero. (B) O maior expoente da incógnita em uma equação do 2° grau pode ser diferente de 2. O maior expoente da incógnita em uma equação do 2° grau É IGUAL A 2. (C) O número 3 é solução da equação x2  3x  0 O número 3 NÃO é solução da equação x2  3x  0 (D) A equação 3x2  5x  0 é completa. A equação 3x2  5x  0 é INCOMPLETA.

07. Verifique quais das equações a seguir têm 4 como solução. (A) x2 16  0 (B) x2  4x  0 42 16  0 42  4 4  0 16 16  0 16 16  0 32  0  4 não é solução 32  0  4 não é solução (C) x2 16  0 (D) x2  4x  0 42 16  0 42  4 4  0 16 16  0 16 16  0 0  0  4 é solução 0  0  4 é solução (E) x2  2  0 (F) x2  2  0 42  2  0 42  2  0 16  2  0 16  2  0 18  0  4 não é solução 14  0  4 não é solução (G) x2  6x  8  0 (H) x2  x  20  0 42  6 4  8  0 42  4  20  0 16  24  8  0 16  24  0 48  0  4 não é solução 8  0  4 não é solução 08. Considere a equação 4x2  2x  0 . 5 (A) Quais são os coeficientes dessa equação? a4 b2 c0 5 (B) Essa equação é completa ou incompleta? Incompleta, pois c = 0. (C) Entre os números 2, 1 ,0, 1 e 2 , quais são soluções dessa equação? 10 10 3  x2  x0 422  22  0 402  20  0 5 5 16  4  0 40 0 0 5 5 84  0  2 não é solução 0  0  0 é solução 5

 x 1  x 1 10 10  1 2 2   1   1 2 2   1   10   10   10   10  4    0 4    0 5 5 21 21 4  1  10  0  1  5  0 4  1  10  0  1  5  0 100 5 25 5 100 5 25 5 1 11 0 1  1 0 1 11 0 1  1 0 25 5 5 25 25 25 5 5 25 25 0  0   1 é solução 2  0  1 não é solução 10 25 10  x2 3  2 2 2  2   3   3  4   5  0 4 4  4  3  0  16  4  1  0 95 9 35 16  4  0  92  0 9 15 45 92  0  2 não é solução 45 3 09. Determine o valor do coeficiente c, da equação x2  7x  2c  0 , sabendo que – 3 é uma de suas raízes. 32  7 3  2c  0 9  21  2c 2c  30  c  30 2 c  15