البرمجة الخطية

‫أوجد النهاية العظمى للبرنامج الخطى التالى ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 500 X1 + 300 X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪1.5 X1 + 3 X2 < 90‬‬ ‫‪2X1 + X2 < 80‬‬ ‫‪- X1 + X2 < 10‬‬ ‫‪X1 < 20‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪X2 = 30‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪X1 = 60‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪1.5 X1 + 3 X2 = 90‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 80‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X1 = 40‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 80‬‬ ‫‪X2 = 10‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X1 = - 10‬‬ ‫القيد الثالث ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫القيد ال اربع ‪:‬‬ ‫‪- X1 + X2 = 10‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X1 = 20‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫‪51‬‬

‫خض ة سب ة بي ن ة ب بق فخض نق س ة ةبره ة ب بيم ه ‪:‬‬ ‫‪(20 , 20) C , (20 , 0) B , (0 , 0) A‬‬ ‫‪(0 , 10) E , (13.3 , 23.3) D‬‬ ‫رت ييط ة نقسم ‪ D‬ض سسيق ةه ة خع تيض‬ ‫‪1.5X1 + 3 X2 = 90‬‬ ‫‪-1.5X1 + 1.5 X2 = 15‬‬ ‫ب طخع‬ ‫‪4.5 X2 = 1.5‬‬ ‫‪X2 = 23.3‬‬ ‫رب تعري ض قتيخم ‪ X2‬ف ة خع م ة ر نةاه ب ‪13.3 = X1‬‬ ‫‪ -3‬يجاد الحل الأمثل‬ ‫يت ة تعري ب نق س ة ب بقم ف ة م ة د ف فنط وض ة نقسم )‪ (C‬ه ة ت تعس وكبس قتيخم‬ ‫ة م ة د ف رب ت نقسم ة ةه ة خاه ه ة نقسم )‪ (C‬ةي تعس قتيخم ‪ 16000‬ة م‬ ‫ة د ف‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 45‬‬ ‫‪52‬‬

‫أوجد النهاية الصغر للبرنامج الخطى التالى‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 100 X1 + 150X2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪5 X1 + 10X2 > 40‬‬ ‫‪2 X1 + 2 X2 > 10‬‬ ‫‪X1 , X2 > 0‬‬ ‫‪X2 = 4‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪X1 = 8‬‬ ‫‪ -1‬تحديد النقاط الخاصة لكل قيد‬ ‫‪5 X1 + 10 X2 = 40‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 5‬‬ ‫القيد الأول ‪:‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪X1 = 5‬‬ ‫‪2X1 + 2X2 = 10‬‬ ‫القيد الثانى ‪:‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪ -2‬التمثيل البيانى‬ ‫خض ة سب ة بي ن ة ب بق يت ح وض نق س ة ةبره ة ب بيم ه ‪:‬‬ ‫‪53‬‬

‫‪(0 , 5) C , (2 , 3) B , (8 , 0) A‬‬ ‫‪ -3‬التعويض بالنقاط السابقة فى دالة الهدف لإيجاد نقطة الحل الأمثل كما يلى ‪:‬‬ ‫دالة الهدف )‪(Z‬‬ ‫احداثياتها‬ ‫النقطة‬ ‫)‪800 (8 , 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪650 (2 , 3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪750 (0 , 5‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ه نقسم‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق يت ح وض ة نقسم ‪ B‬د وقته قتيخم ة م ة د ف ره ‪ 650‬رب ت‬ ‫ة ةه ة خاه‪.‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 46‬‬ ‫ذا كان لديك نموذج البرمجة الخطية التالية‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 3 X1 + 5X2 + 2 X3‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 + 2 X3 < 10‬‬ ‫‪2 X1 + 3 X2 + 4 X3 < 18‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 > 0‬‬ ‫والمطلوب ‪ :‬ييط ة ةه ة خاه ب بتلأ ة وببرم ة بخببكا‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬تةريه نخرلج ة بسخطم ة لأسيم ي ة كه ة قي ب كخ يب ‪:‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 3X1 + 5X2 + 2X3 + 0 S1 + 0 S2‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪X1 + 2X2 + 2 X3 + S1 = 10‬‬ ‫‪2X1 + 3X2 + 4X3 + S2 = 18‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 , S1 , S2 > 0‬‬ ‫‪ -2‬تكريض ط ره ة ةه ة ره‬ ‫‪54‬‬

‫‪X1 X2 X3 S1 S2‬‬ ‫‪B.V C‬‬ ‫‪Constant Raito‬‬ ‫‪3 5 200‬‬ ‫← ‪S1 0 1 2 2 1 0 10 10 =5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Drop‬‬ ‫‪S2 0 2 3 4 0 1 18 18 =6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Z 0 0 000‬‬ ‫‪C–Z‬‬ ‫‪3 5 200‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪↑Enter‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق ة ختشيس ة ةلأه ف ة ةه هر ‪ X2‬رة لأ سج هر ‪ S1‬ريتق سع ة عخر ة سئيب‬ ‫خع ة اف ة سئيب ن ة قست ة سئيب رهر )‪(2‬‬ ‫ةيط قتي اف ة ختشيس ة ةلأه ف ة ةه ‪ X2‬كخ يب ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.5 , 1 , 1 , 0.5 , 0 , 5‬‬ ‫ييط قتي اف ‪ S2‬ة ط ي ق‬ ‫ة قست ة ط ي = ة قي ة ق يخم باف – قتي ة اف ة سئيب ة ط ي × ة قست ة لى يقع ف تق سع‬ ‫هلة ة اف خع ة عخر ة سئيب ‪.‬‬ ‫قتي اف ‪ S2‬ة ط ي ق كخ يب ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫–‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 – (1 x 3) = 0‬‬ ‫‪4 – (1 x 3) = 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫–‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪3‬‬ ‫‪- 1.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 – (0 x 3) = 1‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪18 – (5 x 3) = 3‬‬ ‫ريت تكريض ط ره ة ةه ة ا ن كخ يب ‪:‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪X2 X3 S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪B.V C‬‬ ‫‪5 20‬‬ ‫‪Constant Raito‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪X2 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1 0 5 10‬‬ ‫‪S2 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C–Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫←‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Drop‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 -3 -2 0 -25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪↑Enter‬‬ ‫‪1‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق ة قست ة سئيب هر ة قست‬ ‫‪2‬‬ ‫قتي ‪ X1‬ة ط ي ق‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1 , 0 , 2 , -3 , 2 , 6‬‬ ‫قتي اف ‪ X2‬ة ط ي ق‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- (1 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪(0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪- (-3 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫–‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5-‬‬ ‫‪(6 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يابح ة ط ره ة ا كخ يب ‪:‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪B.V C‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪X2 X3 S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 20‬‬ ‫‪Constant Raito‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 02‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 2 -3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪C–Z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 -4 -1‬‬ ‫‪-1 2‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪-1 -28‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق طخيع ن اس ة اف ة لأيس واي س ركخي ة ب بم‬ ‫ة ط ره ة ا هر ط ره ة ةه ة خاه رب ت يت ةنت ج ‪ 2‬رة ق خض ‪ 6 ، X1‬رة ق خض ‪X2‬‬ ‫يتةقق سبح قتيخت ‪28‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 47‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫حول النموذج التالى لى النموذج الثناةى‪:‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪Z = 30 X1 + 20X2‬‬ ‫‪X1 + X2 > 15‬‬ ‫‪4 X1 + 2 X2 > 36‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 , > 30‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫ة نخرلج ة ان ئ‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 15 y1 + 36 y2 + 30 y3‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪57‬‬

‫‪y1 + 4 y2 + 4 y3 < 30‬‬ ‫‪y1 + 2 y2 + 2 y3 < 20‬‬ ‫‪y1 , y2 , y3 > 0‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 48‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫أعد صيابة النموذج التالى للبرمجة الخطية لى النموذج الثناةى‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪Z = 6X1 + 14 X2 – 10 X3‬‬ ‫‪2X1 + 10X2 + 2X3 > 8‬‬ ‫‪4 X1 + 6 X3 < 4‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 > 0‬‬ ‫سم ة قي ة ا ن × ‪ -1‬يابح ة نخرلج كخ يب‬ ‫الحـــل‬ ‫‪Z = 6 X1 + 14 X2 – 10 X3‬‬ ‫يت‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2X1 + 10 X2 + 2 X3 > 8‬‬ ‫‪- 4 X1 – 6 X3 > - 4‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 > 0‬‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 8 y1 - 4 y2‬‬ ‫ة نخرلج ة ان ئ يكرض كخ يب ‪:‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 49‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2y1 – 4y2 < 6‬‬ ‫‪10 y1 < 14‬‬ ‫‪y1 – 6 y2 < - 10‬‬ ‫‪y1 , y2 , y3 > 0‬‬ ‫‪58‬‬

‫‪Maximize‬‬ ‫أعد صيابة النموذج التالى لى النموذج الثناةى‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪Z = 35 X1 + 25X2 + 30 X3‬‬ ‫‪X1 + 0.5 X2 + 1.5 X3 < 40‬‬ ‫‪2 X1 + 2 X2 + 0.5 X3 < 120‬‬ ‫‪1.5X1 + 2 X2 + X3 < 80‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 > 0‬‬ ‫‪Minimize‬‬ ‫‪Z = 40 y1 + 120 y2 + 8 y3‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 51‬‬ ‫‪y1 + 2 y2 + 1.5 y3 > 35‬‬ ‫‪0.5 y1 + 2 y2 + 2 y3 > 25‬‬ ‫‪1.5 y1 + 0.5 y2 + y 3 > 30‬‬ ‫‪y1 , y2 , y3 > 0‬‬ ‫المطلوب تحويل النموذج الثناةى التالى لمشكلة برمجة خطية لى النموذج الأولى‬ ‫‪Maximize‬‬ ‫‪Z = 20 y1 + 10 y2 + 26 y3 – 26y4 – 18 y5‬‬ ‫‪Subject to :‬‬ ‫‪2y1 + 2y3 – 2y4 – 2 y5 < 8‬‬ ‫‪4y2 + 6 y3 – 6 y4 < 6‬‬ ‫‪10 y3 – 10 y4 – 4 y5 < 30‬‬ ‫‪y1 , y2 , y3 , y4 , y5 > 0‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪59‬‬

Minimize Z = 8X1 + 6 X2 + 30 X3 ‫ة نخرلج ة ر‬ ) 51 ( ‫سؤال رقم‬ Subject to : 2 X1 > 20 4 X2 > 10 2 X1 + 6 X2 + 10 X3 > 26 - 2 X1 – 6 X2 – 10 X3 > - 26 - X1 – 4 X3 > - 18 X1 , X2 , X3 > 0 ‫أعد صيابة البرنامج الخطى التالى لى الصيغة الثناةية‬ Minimize Z = 5 X1 + 2 X2 + X3 Subject to : 2 X1 + 3 X2 + X3 > 20 6 X1 + 8 X2 + 5 X3 > 30 7 X1 + X2 + 3 X3 > 40 X1 , 2 X2 + 4 X3 > 50 X1 , X2 , X3 > 0 ‫الحـــل‬ ‫ة نخرلج ة ان ئ‬ Maximize Z = 20 y1 + 30 y2 + 40 y3 + 50 y4 Subject to : 61

2y1 + 6 y2 + 7 y3 + y4 < 5 3y1 + 8 y2 + y3 + 2 y4 < 2 y1 + 5 y2 + 3 y3 + 4 y4 < 1 y1 , y2 , y3 , y4 > 0 ) 52 ( ‫سؤال رقم‬ : ‫أوجد الصيغة الثناةية للبرنامج الخطى التالى‬ Maximize Z = 2 X1 + X2 Subject to : X1 + 5 X2 < 10 X1 + 3 X2 < 6 2X1 + 2 X2 , < 8 X1 , X2 , X3 > 0 ‫الحـــل‬ ‫ة نخرلج ة ان ئ‬ Minimize Z = 10 y1 + 6 y2 + 8 y3 Subject to : y1 + y2 + 2 y3 > 2 5y1 + 3y2 + 2 y3 > 1 y1 , y2 , y3 > 0 ) 53 ( ‫سؤال رقم‬ 61

‫المطلــوب تخصــيص الطلبيــات الآتيــة علــى الآلات الموجــودة بحيــث يــتد ذلــك لــى‬ ‫تخفيض تكاليف التشغيل الكلى لها أقل ما يمكـن والجـدول التـالى يوضـح التكـاليف الناتجـة مـن‬ ‫تشغيل أ طلبية على أ آلة من الآلات الموجودة‪.‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫‪1‬‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪A 10 12 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪B 18 10 2 18‬‬ ‫‪C 2 4 12 2‬‬ ‫‪D 14 12 30 24‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬يت سس وقته قتيخم ف كه خر خض ب قت ة ق‪5‬ي ف ل ة عخر كخ يب ‪:‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫‪1‬‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪A8 8 2 6‬‬ ‫‪B 16 6‬‬ ‫‪0 16‬‬ ‫‪C 0 0 10 0‬‬ ‫‪D 12 8 28 22‬‬ ‫‪ -2‬يت سس وقته قتيخم ف كه اف خض ب قت ة قي ف ل ة اف خع تشسيم كه اف‬ ‫ركه خر يةترى ب ايس فمكاس بمقته خخكض خض ة لأسرس كخ يب ‪:‬‬ ‫‪62‬‬

‫ةلآ ة‬ ‫‪1‬‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪A6 6 0 4‬‬ ‫‪B 16 6‬‬ ‫‪0 16‬‬ ‫‪C 0 0 10 0‬‬ ‫‪D 4 0 20 14‬‬ ‫خخ ببق يت ح وض ة لأسرس = ‪ ، 3‬ة ايرف = ة خ ق = ‪ 4‬رب ت‬ ‫فخض ة لأسرس ة فقيم رة وسبيم وقته خض ة ايرف رب ت نلأت س وقته قتيخم خض ة قي سيس‬ ‫ة خشس ه رنسسةد خض ب قت ة قي ة خشس ه رن ييد ي نق س تق سع ة خبتقيخ ة كخ يب ‪:‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫‪1‬‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4 14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪0 20‬‬ ‫ة لأسرس = ة ايرف = ة خ ق = ‪4‬‬ ‫يت ة تلأاي كخ يب ‪:‬‬ ‫تلأاي ة سببيم )‪ (4‬لآ م ‪A‬‬ ‫‪63‬‬

‫تلأاي ة سببيم )‪ (3‬لآ م ‪B‬‬ ‫تلأاي ة سببيم )‪ (1‬لآ م ‪C‬‬ ‫تلأاي ة سببيم )‪ (2‬لآ م ‪D‬‬ ‫ر ةب م وقته ة تك يف ة ن تطم خض هلة ة تلأاي‬ ‫وقته تكبيم = ‪A4 + B3 + C1 + D2‬‬ ‫‪8 + 2 + 2 + 2 + 12 = 26‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 54‬‬ ‫بفرض أن هناك ثلاثة عمال للقيام بثلاثة من الأعمـال ويوضـح الجـدول التـالى تكـاليف‬ ‫قيام كل عامل بعمل معين كما يلى ‪:‬‬ ‫ة عخ ه‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪1826‬‬ ‫‪2564‬‬ ‫‪3734‬‬ ‫ة تك يف‪.‬‬ ‫رة خسبرم ‪ :‬ورط وف ه تلأاي تلأيي‬ ‫الحـــل‬ ‫ة عخ ه‬ ‫‪ -1‬سس ة ايرف‬ ‫‪1‬‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪604‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪401‬‬ ‫‪ -2‬سس ة خ ق‬ ‫ةلأتي س وقته قتيخم ف كه خر رسسةد خض ب قت ة قي ف ة عخر رتشسيم ة اي س كخ يب ‪:‬‬ ‫‪64‬‬

‫ة عخ ه‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪1504‬‬ ‫‪2020‬‬ ‫‪3301‬‬ ‫ة لأسرس وقته خض ة ايرف رة خ ق رب ت نلأت س وقته قتيخم خض ة قي سيس ة خشس ه‬ ‫ره ة قيخم )‪ (1‬رنسسةد خض ب قت ة قي ة خشس ه رن ييد ب نق س تق سع ة لأسرس كخ يب ‪:‬‬ ‫ة عخ ه‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪403‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪030‬‬ ‫‪200‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق ة لأسرس = ة ايرف رة خ ق‬ ‫رنط وض ة تلأاي ة لى ي ى ي وقته تكبيم هر ‪:‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪C3‬‬ ‫رب ت ةطخ ة تك يف = ‪B1 + A2 + C3‬‬ ‫‪2+ 5 + 4 = 11‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 55‬‬ ‫‪65‬‬

‫وردت ثلاثة طلبيات لـى أحـد الأقسـام الانتاجيـة بشـركة معينـة والجـدول التـالى يوضـح‬ ‫تكـاليف تشـغيل هـذ الطلبيـات علـى الآلات المختلفـة والمطلـوب تخصـيص هـذ الطلبيـات علـى‬ ‫الآلات بحيث تكون تكاليف التشغيل الكلية أقل ما يمكن‪.‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪123‬‬ ‫‪A 30 20 32‬‬ ‫‪B 24 20 20‬‬ ‫‪C 16 24 28‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬سس ة ايرف‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪123‬‬ ‫‪A 10 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B4 0 0‬‬ ‫‪C 0 8 12‬‬ ‫‪ -2‬سس ة خ ق رتشسيم ة اي س ‪:‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪10 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪0 8 12‬‬ ‫خخ ببق يت ح وض ة لأسرس = ة ايرف رة خ ق = ‪3‬‬ ‫‪66‬‬

‫رب ت فخض ة تلأايا ة ة ت ت ى ي وقته ة تك يف ه‬ ‫‪C1 + A2 + B3‬‬ ‫رةطخ ة تك يف= ‪5 + 5 + 4 = 14‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 56‬‬ ‫المطلوب تخصيص الطلبيات الآتية على الآلات الموجودة بحيـث تـ داد اجمـالى الأربـاح‬ ‫لى أكبر حجم ممكن مع تحديد هذ الأرباح والجدول التالى يوضح الأرباح الناتجـة مـن تشـغيل‬ ‫أ طلبية من الطلبيات على آ آلة من الآلات الموجودة‪.‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪123‬‬ ‫‪A 130 144 128‬‬ ‫‪B 96 150 120‬‬ ‫‪C 116 124 130‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪ -1‬يت ةلأتي س وكبس قست ف ة ط ره رهر ‪ 150‬ريت سس طخيع ة قست خن كخ يب ‪:‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪123‬‬ ‫‪A 20 6 22‬‬ ‫‪B 54 0 30‬‬ ‫‪C 34 26 20‬‬ ‫‪ -2‬يت سس ة ايرف‬ ‫‪67‬‬

‫ةلآ ة‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪14 0 16‬‬ ‫ةلآ ة‬ ‫‪A‬‬ ‫‪54 0 30‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪14 6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -3‬سس ة خ ق ‪:‬‬ ‫يت سس وقته قتيخم ف كه خر خض ب قت ة قي رتشسيم ة اي س ‪:‬‬ ‫ة سببيرر ة‬ ‫‪123‬‬ ‫‪0 0 16‬‬ ‫‪20 0 30‬‬ ‫‪060‬‬ ‫ة لأسرس = ة ايرف = ة خ ق = ‪3‬‬ ‫رب ت فخض وف ه تلأاي هر ‪:‬‬ ‫‪A1 + B2 + C3‬‬ ‫روطخ ة سب ‪130 + 150 + 130 = 410‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 57‬‬ ‫‪68‬‬

‫شركة لديها مجموعة من العمال للقيام بعدد من الأعمال فإذا كانت الأرباح الناتجة عن‬ ‫القيام بهذ الأعمال موضحة بالجدول التالى ‪:‬‬ ‫ة عخ ه‬ ‫‪1‬‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18 14‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪18 20‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪10 12‬‬ ‫ة عخ ه‬ ‫رة خسبرم ‪ :‬ييط ة تلأاي ة خاه رةب م يطخ ة سب ‪.‬‬ ‫الحـــل‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ةلأتي س وكبس قست ف ة ط ره رسس كه ة قست ة لأسى كخ يب ‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪10 2 6 4‬‬ ‫‪14 16 14 10‬‬ ‫‪6200‬‬ ‫‪8 10 8 12‬‬ ‫‪ -2‬يت سس وقته قتيخم خض كه اف روقته قتيخم خض كه خر رتشسيم ة اي س كخ يب ‪:‬‬ ‫‪69‬‬

‫ة عخ ه‬ ‫‪1‬‬ ‫ة خرر ه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪A8 0 4 2‬‬ ‫‪B4 6 4 0‬‬ ‫‪C4 2 0 0‬‬ ‫‪D0 2 0 4‬‬ ‫ة خق=‪4‬‬ ‫ة لأسرس = ة ايرف =‬ ‫ة تلأاي ة خاه هر‬ ‫‪A2 , B4 , C3 , D1‬‬ ‫رةطخ ة سب تكرض كخ يب ‪:‬‬ ‫‪18 + 10 + 20 + 12 = 60‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 58‬‬ ‫شركة لـديها أربعـة أنـوا مـن السـلع ولـديها أربعـة مخـا ن والجـدول التـالى يوضـح قـيم‬ ‫الأرباح الناتجة من تخ ين هذ السلع فى المخا ن كما يلى ‪:‬‬ ‫ة ببع‬ ‫ة خلأرر أض‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2 S3‬‬ ‫‪A 18 45 12 15‬‬ ‫‪B 27 21 18 3‬‬ ‫‪C 15 33 3 21‬‬ ‫‪D 42 54 27 30‬‬ ‫رة خسبرم ‪ :‬ةب م وكبس قت س خض ة سب يخكض ة ةاره بي ن تلأأيض ة ببع‬ ‫الحـــل‬ ‫‪71‬‬

‫‪ -1‬يت ةلأتي س وكبس قست رهر ‪ 54‬رسس طخيع ة قست خن‬ ‫ة ببع‬ ‫ة خلأرر أض‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2 S3‬‬ ‫‪A 36 9 42 39‬‬ ‫‪B 27 33 36 51‬‬ ‫‪C 39 21 51 33‬‬ ‫‪D 12 0 27 24‬‬ ‫‪ -2‬يت سس وقته قست خض كه اف ض ب قت و قست ة اف‬ ‫ة ببع‬ ‫ة خلأرر أض‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2 S3‬‬ ‫‪A 27 0 33 30‬‬ ‫‪B 0 6 9 24‬‬ ‫‪C 18 0 30 12‬‬ ‫‪D 12 0 27 24‬‬ ‫‪ -3‬سس وقته قست ف كه خر خض ب قت و قست ة عخر رتشسيم ة اي س‬ ‫ة ببع‬ ‫ة خلأرر أض‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2 S3‬‬ ‫‪A 27 0 24 18‬‬ ‫‪B 0 6 0 12‬‬ ‫‪C 18 0 21 0‬‬ ‫‪D 12 0 18 12‬‬ ‫ة لأسرس وقته خض ة ايرف ور ة خ ق‬ ‫‪71‬‬

‫رب ت يت ةلأتي س وقته قست خض ة قست سيس ة خشس ه رهر ‪ 12‬رسسة خض طخيع ة قست ة خشس ه‬ ‫رة فت ي نق س تق سع ة لأسرس كخ يب ‪:‬‬ ‫ة ببع‬ ‫ة خلأرر أض‬ ‫‪S4‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2 S3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪A 15‬‬ ‫‪18 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪B0‬‬ ‫‪12 21‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪C 18‬‬ ‫‪0 15‬‬ ‫‪D0‬‬ ‫ة لأسرس = ة ايرف = ة خ ق = ‪4‬‬ ‫روف ه تلأاي يكرض كخ يب ‪:‬‬ ‫‪A2 , B3 , C4 , D1‬‬ ‫خطخرع ة سب ‪45 + 18 + 21 + 42 = 126‬‬ ‫سؤال رقم ( ‪) 59‬‬ ‫الجدول التالى يوضح تكاليف نقل الوحـدة الواحـدة مـن سـلعة معينـة مـن ثلاثـة مصـانع‬ ‫لى ثلاثة أسواق مختلفة ويوضح الجدول أيضا امكانيات كل مصنع واحتياجات الأسواق‪.‬‬ ‫الأسواق‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪supply‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪24‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪10‬‬ ‫‪F1‬‬ ‫‪F2 4 8 0‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪12 14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Demand‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪72‬‬

‫ة خسبررم تة ير بي برم نقره ة بربع ي ر ة بررةق ة ا ارم ب برتلأ ة سسيقرم ة رسكض ة رخ ة شسبر‬ ‫‪NECM‬‬ ‫الحـــل‬ ‫الأسواق‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪supply‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪F1 10‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪F2 4‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14 14‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪12 14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Demand 18 0 20 14 0 22 8 0‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ةطخ تك يف ة نقه = ‪10 x 18 + 2 x 6 + 8 x 14 + 0 x 14 + 14 x 8‬‬ ‫‪= 180 + 12 + 112 + 0 + 112 = 416‬‬ ‫‪73‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 61‬‬ ‫المطلوب حل التمرين السابق بطريقة أقل تكلفة ‪LCM‬‬ ‫الحــل‬ ‫الأسواق‬ ‫‪d1 d2 d3 supply‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪F1 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪24 4‬‬ ‫‪4 20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪F2 4 8 0‬‬ ‫‪28 6‬‬ ‫‪6 22 0‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪12 14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Demand‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪12 0 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫يطخ ة تك يف = ‪10 x 4 + 2 x 20 + 4 x 6 + 0 x 22 + 6 x 8‬‬ ‫‪40 + 40 + 24 + 0 + 48 = 152‬‬ ‫‪74‬‬

‫سؤال رقم ( ‪) 61‬‬ ‫المطلوب استخدام طريقة فوجيـل التقريبيـة لحسـاب جمـالى التكـاليف باسـتخدام بيانـات‬ ‫التمرين السابق‬ ‫الحــل‬ ‫الأسواق‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪supply‬‬ ‫‪Diff‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪F1 10‬‬ ‫‪24 8‬‬ ‫‪F2 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪28 4‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪12 14‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪Demand‬‬ ‫‪18 20 22 60‬‬ ‫‪Diff‬‬ ‫‪2 6 14‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق نط وض ‪:‬‬ ‫ة عخر ة ا وكبس فسق رهر ة قست ‪ 14‬روقته تكبيم ف هلة ة عخر‬ ‫ه بلأبيم ‪ F2d3‬ره تب رى ايس‬ ‫ريت خق سنم ةةتي ط ة خسكأ ة سبم ‪ d3‬خع ة كخيم ة خت ةم ف ة خانع ‪F2‬‬ ‫ا نلأت س وقته ة كخيتيض ره ‪ 22‬كخ ف ة ط ره ة ت‬ ‫‪75‬‬

‫الأسواق‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪supply‬‬ ‫‪Diff‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪F1 10‬‬ ‫‪24 8‬‬ ‫‪F2 4‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪28 4‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪22 6‬‬ ‫‪12 14‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪Demand‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Diff 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫خض ة ط ره ة ب بق يت تع يه ة سبم رة عس خخ ي ى ي تببي ةةتي ط ة ة خسكأ ‪ d3‬ريت‬ ‫ةبتبع ه خض ة ط ره رة ق ةب م ة يسرق بيض ة تك يف خسق ولأسى يابح ة ط ره كخ يب‬ ‫الأسواق‬ ‫‪d1‬‬ ‫‪d2 d3‬‬ ‫‪supply‬‬ ‫‪Diff‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2 16‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪F1 10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪F2 4‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪12 14‬‬ ‫‪Demand‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪Diff 2‬‬ ‫‪76‬‬

‫خض ة ط ره ة ب بق يت ح وض هن خسكأ سبم رةة هر ‪ d1‬يةاه ب ةةتي ط ت رب ت‬ ‫نةت ج ةب م ة يسق ف ة تكبيم بايرف رة خ ق ريابح ة ط ره كخ يب ‪:‬‬ ‫الأسواق‬ ‫‪d1 d2 d3 supply‬‬ ‫المصانع‬ ‫‪F1 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4 20‬‬ ‫‪F2 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪F3 6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Demand‬‬ ‫ةطخ ة تك يف بنقه = ‪10 x 4 + 2 x 20 + 4 x 6 + 0 x 22 + 6 x 8‬‬ ‫‪40 + 40 + 24 + 0 + 48 = 152‬‬ ‫‪77‬‬