دليل عاشر رياضيات فصل ثاني

‫ﻣﺜﺎل ‪ :4‬ﻣﻦ اﻟﺤﻴﺎة‬ ‫ مثال ‪ :4‬من الحياة‬ ‫ﻃﺎﻗ ﹲﺔ ﹸﻣﺘﺠ ﱢﺪد ﹲة‪ :‬ﻳﺰدا ﹸد ﻋﺪ ﹸد اﻟﻤﻨﺎز ﹺل اﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﻤ ﹸﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺎﻗ ﹺﺔ اﻟﺸﻤﺴــﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ ﺗﻮﻟﻴ ﹺﺪ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎ ﹺء ﺑﺈﺣﺪ￯‬ ‫ •نا ِقش الطلبة في ح ِّل المثال ‪ 4‬الذي ُيم ِّثل موق ًفا حيات ًّيا‬ ‫اﻟﻤﺪ ﹺن ﻋﺎ ﹰﻣﺎ ﺗﻠ ﹶﻮ اﻵﺧ ﹺﺮ ﻛﻤﺎ ﻳﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫تظهر فيه المتتاليات‪.‬‬ ‫اﻟﻌﺎ ﹸم‬ ‫‪1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ •و ِّضــح للطلبة أ َّنه يمكن اســتعمال أي حد من حدود‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟﻤﻨﺎز ﹺل‬ ‫‪7000‬‬ ‫‪9800 13720‬‬ ‫المتتالية مع رتبته لإيجاد قيمة الثابت ‪a‬‬ ‫‪ 1‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹶد اﻟﻤﻨﺎز ﹺل‪.‬‬ ‫اﻟﻄﺎﻗ ُﺔ اﻟ ُﻤﺘﺠ ﱢﺪد ُة‬ ‫ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﺣﺪو ﹶد اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﺗﺘﻀﺎﻋ ﹸﻒ ﺑﻨﺴﺒ ﹴﺔ ﺛﺎﺑﺘ ﹴﺔ؛ ﻷ ﱠن‪:‬‬ ‫ﺣ ﱠﻘــ ﹶﻖ اﻷرد ﱡن إﻧﺠــﺎزا ﹴت‬ ‫ﻛﺒﻴــﺮ ﹰة ﻓﻲ ﻣﺠــﺎ ﹺل اﻟﻄﺎﻗ ﹺﺔ‬ ‫‪9800‬‬ ‫=‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪13720‬‬ ‫=‬ ‫‪1.4‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺘﺠ ﱢﺪد ﹺة؛ إ ﹾذ ﺑﻠ ﹶﻐ ﹾﺖ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ‬ ‫‪7000‬‬ ‫‪9800‬‬ ‫ﻣﺴﺎﻫﻤ ﹺﺔ اﻟﻄﺎﻗ ﹺﺔ اﻟ ﹸﻤﺘﺠ ﱢﺪد ﹺة‬ ‫‪ 13%‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﻄﺎﻗ ﹺﺔ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴ ﹺﺔ‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم ﻫ ﹶﻮ‪ ، T(n) = a × (1.4)n :‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ a‬ﻋﺪ ﹲد ﺛﺎﺑ ﹲﺖ‪.‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻮ ﱠﻟﺪ ﹺة ﻓﻲ اﻟﻤﻤﻠﻜ ﹺﺔ ﻧﻬﺎﻳ ﹶﺔ‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫ﻟﺤﺴﺎ ﹺب ‪ ، a‬ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض ﺑﺎﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم ‪ ،n = 1‬وﺑﻤﺴﺎواﺗﹺ ﹺﻪ ﻣ ﹶﻊ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻷو ﹺل ﻓﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ ﻳﻨﺘ ﹸﺞ‪:‬‬ ‫ﻋــﺎ ﹺم ‪2019‬م‪ ،‬ﻣﻘﺎرﻧــ ﹰﺔ ﺑـﹺ‬ ‫قد يواجه الطلبة ذوو المســتوى دون المتوسط صعوبة في‬ ‫‪a(1.4)1 = 7000‬‬ ‫‪ 1%‬ﻋﺎ ﹶم ‪2014‬م‪.‬‬ ‫فهــم المثال ‪4‬؛ لذا ق ِّدم لهم المثــال الآتي بوصفه مراجعة‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪7000‬‬ ‫=‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪48‬‬ ‫للاقتران الأسي‪.‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم ﻫ ﹶﻮ‪.T(n) = 5000 × (1.4)n :‬‬ ‫‪ 2‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹶد اﻟﻤﻨﺎز ﹺل اﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﻤ ﹸﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺎﻗ ﹺﺔ اﻟﺸﻤﺴﻴ ﹺﺔ ﻓﻲ ﺗﻮﻟﻴ ﹺﺪ اﻟﻜﻬﺮﺑﺎ ﹺء ﻓﻲ اﻟﻌﺎﻣ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ :‬اﻟﺮاﺑ ﹺﻊ‪،‬‬ ‫واﻟﺨﺎﻣ ﹺﺲ‪.‬‬ ‫ﹸأﻋ ﱢﻮ ﹸض اﻟﻘﻴﻤﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪ ،n = 4 :‬ﹶو ‪ n = 5‬ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‪:‬‬ ‫‪T(4) = 5000 × (1.4)4 = 19208‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ n = 4‬ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‬ ‫مثال إضافي‬ ‫‪T(5) = 5000 × (1.4)5 = 26891.2‬‬ ‫ﺑﺘﻌﻮﻳ ﹺﺾ ‪ n = 5‬ﻓﻲ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﻌﺎ ﱢم‬ ‫‪≈ 26891‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳ ﹺﺐ إﻟﻰ أﻗﺮ ﹺب ﻋﺪ ﹴد ﺻﺤﻴ ﹴﺢ‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫يزداد سعر ُمن َتج ما سنو ًّيا بحسب المعادلة‪y = c(1.05)n :‬‬ ‫ﻳﺘﺰاﻳ ﹸﺪ ﺳﻌ ﹸﺮ ﹸﻣﻨ ﹶﺘ ﹴﺞ ﺳﻨﻮ ﹼﹰﻳﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﻈﻬ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪ ،‬حيث ُتم ِّثل ‪ c‬الســعر قبل أن تطرأ عليه أي زيادة‪ .‬إذا كان‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟﺴﻨﻮا ﹺت‬ ‫‪1234‬‬ ‫‪5‬‬ ‫سعر ال ُمن َتج بعد ‪ 3‬سنوات ‪ 111.132‬دينا ًرا‪ ،‬فجد‪:‬‬ ‫اﻟﺴﻌ ﹸﺮ‬ ‫‪15 22.5 33.75‬‬ ‫‪  )1‬قيمة الثابت ‪c‬‬ ‫‪ (a‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﹸﺗﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺴﻌ ﹶﺮ اﻟﺴﻨﻮ ﱠي ﻟﻠ ﹸﻤﻨ ﹶﺘ ﹺﺞ‪.‬‬ ‫‪ (b‬أﻣ ﹸﻸ اﻟﻔﺮا ﹶغ ﺑﻤﺎ ﻫ ﹶﻮ ﻣﻨﺎﺳ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل‪.‬‬ ‫‪  )2‬سعر ال ُمن َتج بعد ‪ 7‬سنوات‪.‬‬ ‫ﺗﻈﻬ ﹸﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹸت أﻳ ﹰﻀﺎ ﻓﻲ ﻛﺜﻴ ﹴﺮ ﻣ ﹶﻦ اﻷﻧﻤﺎ ﹺط اﻟﻬﻨﺪﺳﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ ‪1)  96‬‬ ‫‪2) 122.52303‬‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:4‬‬ ‫‪a)  50.625, 75.9375‬‬ ‫! أخطاء مفاهيمية‪:‬‬ ‫‪b)  T(n) = 10 × (1.5)n‬‬ ‫قد يخطئ بعض الطلبة عند تعويض ‪ n = 5‬في الحد‬ ‫العام فــي المثال ‪ ،4‬وذلك بتــرك الناتج كما هو من‬ ‫دون تقريب إلى أقرب عــدد صحيح؛ لذا ن َّبههم إلى‬ ‫أن الناتــج ُيم ِّثل عدد المنازل‪ ،‬وأنه لا يمكن أن يكون‬ ‫كس ًرا‪.‬‬ ‫‪48‬‬

‫مثال ‪5‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ •نا ِقش الطلبــة في ح ِّل المثال ‪ 5‬علــى اللوح‪ ،‬وتد َّرج‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬ ‫معهم في إيجــاد قاعدة الحــد العــام للمتتالية التي‬ ‫ُيش ِّكلها عدد المربعات في النمط الهندسي الوارد في‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻧﻤ ﹲﻂ ﻫﻨﺪﺳ ﱞﻲ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹸد اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺑﻌﺎ ﹺت ﻓﻲ ﻧﻤﺎذ ﹺﺟ ﹺﻪ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹰﺔ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫المثال؛ وذلك باتباع ما يأتي‪:‬‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذ ﹸج )‪.(1‬‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذ ﹸج )‪.(2‬‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذ ﹸج )‪.(3‬‬ ‫اﻟﻨﻤﻮذ ﹸج )‪.(4‬‬ ‫ »تحليل الحدود إلى العوامل الأولية‪.‬‬ ‫ »ملاحظة ناتج ضــرب رتبة الحد نفســه في رتبة‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻈ ﹺﺮ إﻟﻰ اﻟﻨﻤ ﹺﻂ‪ ،‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﻋﺪ ﹶد اﻟ ﹸﻤﺮ ﱠﺑﻌﺎ ﹺت ﹸﻳﺸ ﱢﻜ ﹸﻞ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ اﻵﺗﻴ ﹶﺔ‪2, 6, 12, 20, ... :‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻈ ﹺﺮ إﻟﻰ اﻟﺤﺪو ﹺد اﻷوﻟﻰ ﻣ ﹶﻦ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﹸأﻻ ﹺﺣ ﹸﻆ أ ﱠن ﻛ ﱠﻞ ﺣ ﱟﺪ ﻓﻴﻬﺎ ﻳﺴﺎوي ﺣﺎﺻ ﹶﻞ ﺿﺮ ﹺب ﹸرﺗﺒﺘﹺ ﹺﻪ ﻓﻲ‬ ‫الحد الذي يليه‪.‬‬ ‫ﹸرﺗﺒ ﹺﺔ اﻟﺤ ﱢﺪ اﻟﺬي ﻳﻠﻴ ﹺﻪ‪:‬‬ ‫تنويع التعليم‬ ‫و ِّضح للطلبة أنه يمكن حل المثال ‪ 5‬بطريقة ُأخرى‪ ،‬وذلك‬ ‫‪2 , 6 , 12 , 20 , ...‬‬ ‫بتمثيــل كل حد بأنه عدد أضلاع المربعات الأفقية مضرو ًبا‬ ‫‪1×2 2×3 3×4 4×5‬‬ ‫في عدد أضلاع المربعات العمودية‪.‬‬ ‫إذ ﹾن‪ ،‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم ﻫ ﹶﻮ‪T(n) = n(n + 1) = n2 + n :‬‬ ‫أﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﻓﻬﻤﻲ اﻧﻈﺮ اﻟﻬﺎﻣﺶ‬ ‫أﺑﺤ ُﺚ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻧﻤ ﹲﻂ ﻫﻨﺪﺳ ﱞﻲ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹸد اﻟﺪواﺋ ﹺﺮ ﻓﻲ ﻧﻤﺎذ ﹺﺟ ﹺﻪ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹰﺔ‪ .‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻬﺬ ﹺه اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪.‬‬ ‫ﹸﺗﺴ ﹼﻤﻰ اﻷﻋﺪا ﹸد ‪1, 3, 6, 10‬‬ ‫أﻋﺪا ﹰدا ﻣﺜﻠﺜﻴ ﹰﺔ‪ .‬ﻟﻤﺎذا؟‬ ‫‪13‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫أﺗﺪرب وأﺣﻞ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤﺪو ﹶد اﻟﺜﻼﺛ ﹶﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫‪1 6 , 11 , 16 , 21 , ...‬‬ ‫‪2 -1 , 6 , 13 , 20 , ...‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,5.525,,6.725,,7.925 , ...‬‬ ‫‪26, 31, 36‬‬ ‫‪27, 34, 41‬‬ ‫‪2‬‬ ‫التدريب‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 -8 , -7 , -6 , -5 , ...‬‬ ‫‪5 -2 , 1 , 6 , 13 , ...‬‬ ‫‪6 4 , 16 , 36 , 64 , ...‬‬ ‫‪-4, -3, -2‬‬ ‫‪22, 33, 46‬‬ ‫‪100, 144, 196‬‬ ‫‪8 -11 , -4 , 15 , 52 , ...‬‬ ‫‪9 5 , 40 , 135 , 320 , ...‬‬ ‫‪7 7 , 14 , 33 , 70 , ...‬‬ ‫‪113, 204, 331‬‬ ‫‪625, 1080, 1715‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى قراءة الأســئلة في بند (أتدرب وأحل‬ ‫‪131, 222, 349‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪43166165, 6211, 627, 9119213966‬‬ ‫المسائل)‪ ،‬ثم اطلب إليهم حلها‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪12 2.6 , 3.38 , 4.394 , 5.7122 , ...‬‬ ‫‪10 3 , 9 , 27 , 81 , ...‬‬ ‫‪7776‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ •تج َّول بين الطلبة ُمر ِشــ ًدا‪ ،‬و ُمسا ِع ًدا‪ ،‬و ُمو ِّج ًها‪ ،‬وق ِّدم‬ ‫‪7.42586, 9.653618, 12.5497034‬‬ ‫لهم التغذية الراجعة‪.‬‬ ‫‪243, 729, 2187‬‬ ‫ •إذا واجــه بعض الطلبــة صعوبة في حل أي مســألة‪،‬‬ ‫‪49‬‬ ‫فاختر طال ًبا تم َّكن من حل المسألة‪ ،‬واطلب إليه كتابة‬ ‫إجابة أتحقق من فهمي ‪:5‬‬ ‫حله على اللوح‪.‬‬ ‫= )‪T(n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪n(n + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49‬‬

‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أو ﹶل ﺧﻤﺴ ﹺﺔ ﺣﺪو ﹴد ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﹸﻣﻌﻄﻰ ﺣ ﱡﺪﻫﺎ اﻟﻌﺎ ﱡم ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﺻ ﱢﻨ ﹸﻔﻬﺎ إﻟﻰ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪ ،‬أ ﹾو ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ‪:‬‬ ‫  الواجب المنزلي‪:‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة أن يحلوا في البيت جميع المســائل‬ ‫‪13 n + 3‬‬ ‫‪14 3n - 1‬‬ ‫‪15 4n + 5‬‬ ‫الواردة في الصفحة الثانية عشــرة من كتاب التمارين‪،‬‬ ‫ُمح ِّد ًدا لهم المســائل التي يمكنهم حلها في نهاية كل‬ ‫‪ : 4,5,6,7,8‬ﺧﻄﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 2,5,8,11,14‬ﺧﻄﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 9,13,17,21,25‬ﺧﻄﻴﺔ‪.‬‬ ‫حصة بحسب ما ُيق َّدم من أمثلة الدرس وأفكاره‪.‬‬ ‫‪16 n2 - 1‬‬ ‫‪17 n2 + 2‬‬ ‫‪18 200 - n2‬‬ ‫ •يمكن أي ًضا إضافة المسائل التي لم يحلها الطلبة داخل‬ ‫‪ : 0, 3, 8, 15, 24‬ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 3,6,11,18,27‬ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ 199,196,191,184,175‬ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫غرفة الصف إلى الواجب البيتي‪.‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫ •في اليوم التالي‪ ،‬ا َّط ِلع على حلول الطلبة‪ ،‬ونا ِقشهم في‬ ‫‪19 n3 + 1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪21 3n3 - 1‬‬ ‫أي صعوبات واجهوها في أثناء الحل‪.‬‬ ‫‪ : 2,9,28,65,126‬ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 0.5,4,13.5,32,62.5‬ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 2,23,80,191,374‬ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا‬ ‫‪22 6n‬‬ ‫‪23 8 × 2n‬‬ ‫‪24 5 × 3n‬‬ ‫ •أشــ ِرك الطلبــة كاف ًة في حــل هذه المســائل؛ لتنمية‬ ‫‪ : 6,36,216,1296,7776‬أﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 16,32,64,128,256‬أﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ : 15,45,135,405,1215‬أﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫مهارات التفكير العليا لديهم‪.‬‬ ‫‪25 21, 24, 27, 30, 33, ...‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ •تذ َّكر أنه ليس شــر ًطا أن يتم َّكــن الطلبة كاف ًة من حل‬ ‫‪T(n) = 3n + 18‬‬ ‫المســائل جميعهــا‪ ،‬وإ َّنما يتع َّين عليهــم أن يحاولوا‬ ‫‪26 1, 9, 17, 25, 33, ...‬‬ ‫‪27 10, 13, 18, 25, 34, ...‬‬ ‫‪28 - T52(n,)-=1 0, .532n2, -5 ,3129 , ...‬‬ ‫‪T(n) = 8n - 7‬‬ ‫‪T(n) = n2 + 9‬‬ ‫حلها‪.‬‬ ‫‪31 3, 6, 12, 24, 48, ...‬‬ ‫ •اطلب إلى الطلبة حل المسائل في بند (مهارات التفكر‬ ‫‪29 6, 13, 32, 69, 130, ...‬‬ ‫‪30 1, 15, 53, 127, 249, ...‬‬ ‫العليا) ضمن مجموعات‪ ،‬ثم اطلب إلى افراد بعضها‬ ‫‪T(n) = 1.5(2)n‬‬ ‫‪T(n) = n3 + 5‬‬ ‫‪T(n) = 2n3 -1‬‬ ‫توضيح كيفية تو ُّصلهم إلى الحل في كل مسألة‪ ،‬وامنح‬ ‫‪32 120, 60, 30, 15, ...‬‬ ‫‪33 80, 100, 125, ...‬‬ ‫بقية الطلبة فرصة نقد حلول زملائهم وتقويمها‪.‬‬ ‫‪T(n) = 240(0.5)n‬‬ ‫‪T(n) = 64(1.25)n‬‬ ‫ •ش ِّجع الطلبة على تبرير حلولهم‪.‬‬ ‫ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺠﺪو ﹸل اﻵﺗﻲ ﻧﻈﺎ ﹶم اﻟﻤﻌﺎدﻻ ﹺت اﻟﺬي ﺗﺴﺘﻌﻤ ﹸﻠ ﹸﻪ إﺣﺪ￯ اﻟﺸﺮﻛﺎ ﹺت ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﺗﻜﻠﻔ ﹺﺔ ﻧﻘ ﹺﻞ ‪ n‬وﺣﺪ ﹰة ﺑﺎﻟﺪﻳﻨﺎ ﹺر اﻷردﻧ ﱢﻲ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹸﺔ ﺑﺎﻟﺪﻳﻨﺎ ﹺر اﻷردﻧ ﱢﻲ‬ ‫ﻗﻴﻤ ﹸﺔ ‪n‬‬ ‫‪c = 40n + 50‬‬ ‫‪n≤5‬‬ ‫‪c = 40n + 25‬‬ ‫‪6 ≤ n ≤ 10‬‬ ‫‪c = 40n‬‬ ‫‪n ≥ 11‬‬ ‫‪ 34‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺗﻜﻠﻔ ﹶﺔ ﻧﻘ ﹺﻞ ‪ 7‬وﺣﺪا ﹴت‪305 .‬‬ ‫‪ 35‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺗﻜﻠﻔ ﹶﺔ ﻧﻘ ﹺﻞ ‪ 15‬وﺣﺪ ﹰة‪600 .‬‬ ‫‪ 36‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹶد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﺘﻲ ﻧﻘﻠ ﹾﺘﻬﺎ اﻟﺸﺮﻛ ﹸﺔ ﻟﻘﺎ ﹶء ﻣﺒﻠ ﹺﻎ ‪ 170‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪3 .‬‬ ‫‪ 37‬ﺗﺴــﺘﻌﻤ ﹸﻞ ﺷﺮﻛ ﹲﺔ ﻣﻨﺎﻓﺴــ ﹲﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟ ﹶﺔ‪ c = 50 n :‬ﻹﻳﺠﺎ ﹺد ﺗﻜﻠﻔ ﹺﺔ ﻧﻘ ﹺﻞ اﻟﻮﺣﺪا ﹺت ﺑﺎﻟﺪﻳﻨﺎ ﹺر اﻷردﻧ ﱢﻲ‪ ،‬ﺑﹺ ﹶﻐ ﱢﺾ اﻟﻨﻈ ﹺﺮ ﻋ ﹾﻦ ﻋﺪ ﹺدﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹶد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﺘﻲ ﺗﺘﺴﺎو￯ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹸﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﺮﻛﺘ ﹾﻴ ﹺﻦ‪n = 5 .‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬

‫الإثراء‬ ‫‪5‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪ ُة ‪5‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻷﻧﻤﺎ ﹺط اﻟﻬﻨﺪﺳﻴ ﹺﺔ اﻵﺗﻴ ﹺﺔ‪:‬‬ ‫ •و ِّجه الطلبة إلى البحث في شــبكة الإنترنت أو مكتبة‬ ‫‪38‬‬ ‫‪39‬‬ ‫المدرسة عن تطبيقات حياتية للمتتاليات‪ ،‬مثل المثال‬ ‫الوارد في بند الاستكشاف بداية الدرس‪.‬‬ ‫ •و ِّجة الطلبة إلى البحث عن أســماء بعض المتتاليات‬ ‫‪17‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪37‬‬ ‫المشــهورة‪ ،‬وذكر تطبيق حياتي عليهــا‪ ،‬مثل متتالية‬ ‫فيبوناشــي )…‪ (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,‬إذ‬ ‫‪T(n) = 3n2 - 3n +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪59‬‬ ‫ُي َع ُّد عــدد الحلزونــات الظاهرة في أثنــاء نمو زهرة‬ ‫‪41‬‬ ‫‪T(n) = 4n-3‬‬ ‫الكاميليا من أفضل التطبيقات على هذه المتتالية‪.‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1 4 13 40‬‬ ‫= )‪T(n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(3n - 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ •ن ِّبه الطلبة على ضرورة توثيق المعلومة دائ ًما‪.‬‬ ‫= )‪T(n‬‬ ‫)‪(n+1)(n+2‬‬ ‫ﻣﻬﺎرات اﻟﺘﻔﻜﻴﺮ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫‪ 42‬ﺗﺤــ ﱟﺪ‪ :‬إذا ﻛﺎ ﹶن اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ 6, 16, 30, 48, 70, ... :‬ﻫ ﹶﻮ‪ ، T(n) = an + bn2 :‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ a, b‬ﻋﺪدا ﹺن ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﹺن‪،‬‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴ ﹶﻢ ‪a = 4, b = 2 .a, b‬‬ ‫‪ 43‬ﺗﺤ ﱟﺪ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أو ﹶل ﺛﻼﺛ ﹺﺔ ﺣﺪو ﹴد ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮ ﹸﻋﻬﺎ ‪ ،12‬وﺣﺎﺻ ﹸﻞ ﺿﺮﺑﹺﻬﺎ ‪1, 4, 7 28‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 44‬ﻣﺴــﺄﻟ ﹲﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣ ﹲﺔ‪ :‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أرﺑ ﹶﻊ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹴت ﺗﺒﺪ ﹸأ ﺑـﹺ ‪ ،1‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﺗﻜﻮ ﹸن اﻷوﻟﻰ ﺧ ﱢﻄﻴــ ﹰﺔ‪ ،‬واﻟﺜﺎﻧﻴ ﹸﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹰﺔ‪ ،‬واﻟﺜﺎﻟﺜ ﹸﺔ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹰﺔ‪ ،‬واﻟﺮاﺑﻌ ﹸﺔ‬ ‫الختام‬ ‫‪ T(n) = 2n - 1‬ﺧﻄﻴﺔ ‪ T(n) = 2n2 - 1 ،‬ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹰﺔ‪.‬‬ ‫‪ T(n) = 2n3 - 1‬ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪ T(n) = 2n - 1 ،‬أﺳﻴﺔ‪،‬‬ ‫ •اطرح على الطلبة الأسئلة الآتية‪:‬‬ ‫‪ 45‬أ ﱡﻳﻬﺎ ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ‪ :‬ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔ ﹶﺔ ﻋ ﹾﻦ ﻏﻴ ﹺﺮﻫﺎ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ :‬ﹸﺗﻘ ﹶﺒﻞ أي أرﺑﻊ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎت ﺗﺒﺪأ ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ ،1‬وﺗﻜﻮن اﻷوﻟﻰ ﺧﻄﻴﺔ‪،‬‬ ‫واﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪ ،‬واﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪ ،‬واﻟﺮاﺑﻌﺔ أﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫ »ما مجال المتتاليات؟‬ ‫ »ما مداها؟‬ ‫…‪1,4,9,‬‬ ‫… ‪2 , 8 , 18 ,‬‬ ‫ »ما العلاقة بين المتتاليات والاقترانات؟‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪،‬‬ ‫… ‪2 , 16 , 54 ,‬‬ ‫… ‪4 , 7 , 12 ,‬‬ ‫ »أيهما ُت َع ُّد حالة خاصــة من الأُخرى‪ :‬الاقترانات‬ ‫واﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻷﹸﺧﺮﻳﺎت‬ ‫من المتتاليــات أم المتتاليات مــن الاقترانات؟‬ ‫ﻛﻠﻬﺎ ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪.‬‬ ‫لماذا؟‬ ‫‪51‬‬ ‫‪51‬‬

‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫الوحد ُة‬ ‫)‪r(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫اﻷﻓﻘ ﱢﻲ‬ ‫اﻟﺘﻘﺎر ﹺب‬ ‫ﺧ ﱡﻂ‬ ‫‪7‬‬ ‫ﹶأﺿ ﹸﻊ داﺋﺮ ﹰة ﺣﻮ ﹶل رﻣ ﹺﺰ اﻹﺟﺎﺑ ﹺﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤ ﹺﺔ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪ 1‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎ ﱡم )‪ (Tn‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ‪ 2, 6, 18, 54,…:‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫التقويم الختامي‪:‬‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫ •راجع الطلبة في الأفكار الأساسية لدروس الوحدة‪.‬‬ ‫ •و ِّزع الطلبة إلى مجموعــات‪ ،‬ثم اطلب إلى أفراد كل‬ ‫‪a) y = 0‬‬ ‫‪b) y = 7‬‬ ‫‪a) Tn = 2 × 3n‬‬ ‫‪b) Tn = 2 × 3n-1‬‬ ‫مجموعة حل جزء من الأســئلة‪ ،‬ثم عرض إجاباتهم‬ ‫‪c) y = 4‬‬ ‫‪d) y = -1‬‬ ‫‪c) Tn = 6 × 3n‬‬ ‫‪d) Tn = 6 × 3n-1‬‬ ‫أمام الزملاء‪.‬‬ ‫ •ع ِّين بعض الأســئلة ليحلها الطلبة واج ًبــا منزل ًّيا‪ ،‬ثم‬ ‫‪ 8‬اﻟﺤ ﱡﺪ اﻟﻌﺎﺷ ﹸﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴ ﹺﺔ … ‪ 0, 2, 6, 12, 20,‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫‪ 2‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، f(x) = 3x2 + 5x +7‬ﻓﺈ ﱠن ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )‪ f(-2‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫نا ِقشهم في إجاباتها في اللقاء التالي‪.‬‬ ‫‪a) 90‬‬ ‫‪b) 95‬‬ ‫‪a) -22‬‬ ‫‪b) -15‬‬ ‫ •الفت انتباه الطلبة إلى أ َّن الأســئلة (‪ )23-26‬وردت‬ ‫ضمن الاختبارات الدولية‪ ،‬أو هي مسائل مشابهة لها‪.‬‬ ‫‪c) 97‬‬ ‫‪d) 99‬‬ ‫‪c) 9‬‬ ‫‪d) 29‬‬ ‫ملحوظــة‪ُ :‬تخ َّصــص حصتان (‪ 90‬دقيقــة) للإجابة عن‬ ‫ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫ﻣﺠﺎ ﹸل‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 3‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪،f(x)=2x3-4x2+6, g(x)=5x2-7x +4‬‬ ‫أسئلة الاختبار‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻓﺈ ﱠن ﻧﺎﺗ ﹶﺞ )‪ f(x) – g(x‬ﻫ ﹶﻮ‪:‬‬ ‫}‪a) {x | x ≠ -2, x ≠ 3, x ≠ 5‬‬ ‫‪a) 2x3 – 9x2 + 7x +2‬‬ ‫‪b) 2x3 + x2 +7x + 10‬‬ ‫}‪b) {x | x ≠ -5, x ≠ 2‬‬ ‫‪c) -3x3 + 3x2 +13x -4‬‬ ‫‪d) -3x3 - 4x2 +7x -2‬‬ ‫}‪c) {x | x ≠ 5‬‬ ‫}‪d) {x | x ≠ -2, x ≠ 5‬‬ ‫‪ 4‬إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ g(x‬ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪرﺟ ﹺﺔ اﻟﺴﺎدﺳ ﹺﺔ‪ ،‬ﹶو)‪h(x‬‬ ‫ﻛﺜﻴــ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺪرﺟ ﹺﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴ ﹺﺔ‪ ،‬ﻓﺈ ﱠن درﺟ ﹶﺔ ﻧﺎﺗ ﹺﺞ ﻗﺴــﻤ ﹺﺔ‬ ‫‪ 10‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪،f(x)=2x2-4x+1, g(x)=6x3-7x+ 3‬‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪2x4 + 2x3 + x2 -7x + 3 x2f(x) + g(x‬‬ ‫)‪ g(x‬ﻋﻠﻰ )‪ h(x‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪ (b‬اﻟﺜﺎﻟﺜ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫‪ (a‬اﻷوﻟﻰ‪.‬‬ ‫‪ 11‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪،h(x) = 3x2 -4x, j(x) = 4x3 +2x +5‬‬ ‫‪ (d‬اﻟﺜﺎﻣﻨ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫‪ (c‬اﻟﺮاﺑﻌ ﹸﺔ‪.‬‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ )‪12x5 -16x4 + 6x3 + 7x2 -20x h(x) . j(x‬‬ ‫‪ 5‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، f(x) = 3x -5 , h(x) = x2 - 2‬ﻓــﺈ ﱠن ﻗﻴﻤ ﹶﺔ‬ ‫‪ 12‬ﹶأ ﹾﻗ ﹺﺴ ﹸﻢ )‪ (8x3 + 12x -5‬ﻋﻠﻰ )‪(2x + 3‬‬ ‫)‪ (g◦f )(3‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪8x3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪12x‬‬ ‫–‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪4x2‬‬ ‫‪-6x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫‪a) 4‬‬ ‫‪b) 7‬‬ ‫‪2x + 3‬‬ ‫‪ 13‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺧﻄﻮ ﹶط اﻟﺘﻘﺎر ﹺب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻻﻗﺘﺮا ﹺن‬ ‫‪c) 14‬‬ ‫‪d) 16‬‬ ‫= )‪ ،f(x‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ‪ ،‬وﻣﺪا ﹸه‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 6‬إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ، f(x) = 8 - 2x‬ﻓﺈ ﱠن ﻗﻴﻤ ﹶﺔ )‪ f -1(4‬ﻫ ﹶﻲ‪:‬‬ ‫‪2-x‬‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪a) 0‬‬ ‫‪b)-6‬‬ ‫‪c) -2‬‬ ‫‪d) 2‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪52‬‬

‫تدري ٌب على الاختبارا ِت الدولي ِة‬ ‫‪ 22‬ﻳﺒﻴ ﹸﻊ ﻣﺤ ﱡﻞ ﻋﺼﺎﺋ ﹶﺮ ﻣﺎ ﹸﻣﻌ ﱠﺪ ﹸﻟ ﹸﻪ ‪ 3500‬ﻋﻠﺒ ﹺﺔ ﻋﺼﻴ ﹴﺮ أﺳﺒﻮﻋ ﹰﹼﻴﺎ‪،‬‬ ‫اﺧﺘﺒﺎ ُر ﻧﻬﺎﻳ ِﺔ اﻟﻮﺣﺪ ِة‬ ‫ﺳــﻌ ﹸﺮ اﻟﻮاﺣﺪ ﹺة ﻣﻨﹾﻬﺎ ‪ 0.75‬ﻗﺮ ﹰﺷﺎ‪ .‬وﺟ ﹶﺪ ﺻﺎﺣ ﹸﺐ اﻟﻤﺤ ﱢﻞ‬ ‫يتق َّدم طلبة الصفيــن‪ :‬الرابع والثامن في المدارس الأردنية‬ ‫أ ﱠن ﻣﺒﻴﻌﺎﺗﹺ ﹺﻪ ﺳــﺘﻘ ﱡﻞ ‪ 100‬ﻋﻠﺒ ﹴﺔ ﹸﻣﻘﺎﺑﹺــ ﹶﻞ ﻛ ﱢﻞ زﻳﺎد ﹴة ﻣﻘﺪا ﹸرﻫﺎ‬ ‫ﻳﻮﺟ ﹸﺪ ﻓﻲ ﻗﺎﻋ ﹺﺔ ﻃﻌﺎ ﹺم إﺣﺪ￯ اﻟﻤﺪار ﹺس ﻃﺎوﻻ ﹲت ﻋﻠﻰ ﺷــﻜ ﹺﻞ‬ ‫إلى اختبــار )‪ :(TIMSS‬كل أربع ســنوات‪ .‬ويهدف هذا‬ ‫‪ 0.05‬دﻳﻨﺎ ﹴر ﻋﻠﻰ ﺳﻌ ﹺﺮ اﻟﻌﻠﺒ ﹺﺔ‪ .‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﺪ ﹾﺧ ﹶﻞ‬ ‫ﺷﺒ ﹺﻪ ﻣﻨﺤﺮ ﹴف‪ .‬وﻛ ﱡﻞ ﻃﺎوﻟ ﹴﺔ ﺗ ﱠﺘ ﹺﺴ ﹸﻊ ﻟﺨﻤﺴ ﹺﺔ ﻃﻠﺒ ﹴﺔ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﱢﻞ‬ ‫الاختبــار إلى قياس مســتوى تق ُّدم الطلبة فــي التحصيل‬ ‫اﻷﺳﺒﻮﻋ ﱠﻲ ﻟﻠﻤﺤ ﱢﻞ إذا ﹸﻃ ﱢﺒ ﹶﻘ ﹺﺖ اﻟﺰﻳﺎد ﹸة ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻌ ﹺﺮ ‪ x‬ﻣ ﱠﺮ ﹰة‪،‬‬ ‫الدراســي في مادتي الرياضيات والعلوم‪ .‬ولهذا الاختبار‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺴﻌ ﹶﺮ اﻟﺬي ﹸﻳﺤ ﱢﻘ ﹸﻖ ﻟﻠﻤﺤ ﱢﻞ أﻋﻠﻰ د ﹾﺧ ﹴﻞ أﺳﺒﻮﻋ ﱟﻲ‪.‬‬ ‫اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫أهمية في تقييــم جودة التعليم فــي الأردن مقارن ًة بالدول‬ ‫الأُخرى التي يتق َّدم طلبتها لهذا الاختبار‪ ،‬والمساعدة على‬ ‫اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻻﺣ ﹶﻆ ﹸﻣﺸ ﹺﺮ ﹸف اﻟﻘﺎﻋ ﹺﺔ أ ﱠن ﻋﺪ ﹶد اﻟﻄﻠﺒ ﹺﺔ ﻳﺘﻐ ﱠﻴ ﹸﺮ ﺗﺒ ﹰﻌﺎ ﻟﻌﺪ ﹺد اﻟﻄﺎوﻻ ﹺت‬ ‫رســم السياسة التربوية على المســتوى الوطني بما يخدم‬ ‫اﻟ ﹸﻤﻼ ﹺﺻ ﹺﻖ ﺑﻌ ﹸﻀﻬﺎ ﻟﺒﻌ ﹴﺾ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜ ﹺﻞ اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﺗﺪرﻳ ﹲﺐ ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎرا ﹺت اﻟﺪوﻟﻴ ﹺﺔ‬ ‫تطوير النظام التربوي‪ ،‬والارتقاء بنوعية مخرجاته‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 23‬ﻓﻲ ﺑﻴــ ﹺﺖ ﺧﻀــ ﹴﺮ ﺑﺮﻛــ ﹸﺔ ﺳــﺒﺎﺣ ﹴﺔ ﻣﺴــﺘﻄﻴﻠ ﹲﺔ‪ ،‬ﹸﺑ ﹾﻌﺪاﻫﺎ‬ ‫يتق َّدم أي ًضا طلبة الصف العاشر في الأردن لاختبار البرنامج‬ ‫‪ 14‬أﻣ ﹸﻸ اﻟﻔﺮا ﹶغ ﺑﻤﺎ ﻫ ﹶﻮ ﻣﻨﺎﺳ ﹲﺐ ﻓﻲ اﻟﺠﺪو ﹺل اﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫الدولي لتقييم أداء الطلبة ‪)PISA‬‬ ‫‪ ،13 m, 8 m‬وﻗ ﹾﺪ أرا ﹶد أ ﹾن ﹸﻳﺤﻴ ﹶﻂ ﺑﻬﺎ ﻣﻤ ﹼﹰﺮا ﻣﻨﺘﻈ ﹰﻤﺎ ﺑﺤﻴ ﹸﺚ‬ ‫ﺗﺼﺒ ﹸﺢ اﻟ ﹺﻤﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻹﺟﻤﺎﻟﻴ ﹸﺔ ﻟﺴــﻄ ﹺﺢ اﻟﺒﺮﻛ ﹺﺔ واﻟﻤﻤ ﱢﺮ ﻣ ﹰﻌﺎ‬ ‫‪543‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟﻄﺎوﻻ ﹺت اﻟ ﹸﻤﺘﻼ ﹺﺻﻘ ﹺﺔ ‪1‬‬ ‫‪The Program for International Students‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻋﺪ ﹸد اﻟﻄﻠﺒ ﹺﺔ ‪5‬‬ ‫‪ ،176 m2‬ﻣﺎ ﻋﺮ ﹸض اﻟﻤﻤ ﱢﺮ؟‬ ‫‪17 14 11‬‬ ‫‪ :Assessment‬فــي مجــالات القــراءة‪ ،‬والرياضيات‪،‬‬ ‫ﻋﺮض اﻟﻤﻤﺮ ﻫﻮ‪1.5 m :‬‬ ‫والعلــوم‪ .‬وفــي ما يخــص الرياضيــات‪ ،‬فــإن المعرفة‬ ‫ر ﱠﺗ ﹶﺒ ﹾﺖ ﻓﺪو￯ ﺑﻄﺎﻗﺎ ﹴت ﺣﻤﺮا ﹶء وزرﻗﺎ ﹶء ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫‪ 15‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم‪T(n) = 3n + 2 .‬‬ ‫الرياضيــة ‪ -‬وفق هــذا البرنامج‪ُ -‬يع َّبر عنهــا بمدى قدرة‬ ‫‪ 16‬ﻣﺎ ﻋﺪ ﹸد اﻟﻄﻠﺒ ﹺﺔ اﻟﺬﻳ ﹶﻦ ﹸﻳﻤ ﹺﻜﻨﹸ ﹸﻬ ﹸﻢ اﻟﺠﻠﻮ ﹸس ﺣﻮ ﹶل ‪13‬ﻃﺎوﻟ ﹰﺔ‬ ‫الفرد على صياغة الرياضيات‪ ،‬وتوظيفها‪ ،‬وتفســيرها في‬ ‫أوضاع مختلفــة؛ إذ تتضمن القدرة على التفكير الرياضي‪،‬‬ ‫ﹸﻣﺘﻼ ﹺﺻﻘ ﹰﺔ؟ ‪41‬‬ ‫واســتعمال المفاهيم والإجــراءات والحقائق والأدوات‬ ‫‪ 17‬ﺗﻨﻮي إدار ﹸة اﻟﻤﺪرﺳــ ﹺﺔ ﻋﻤ ﹶﻞ ﺣﻔ ﹴﻞ ﻟـــﹺ ‪ 200‬ﻃﺎﻟ ﹴﺐ‪ .‬ﻛ ﹾﻢ‬ ‫لوصف الظواهر‪ ،‬والتن ُّبؤ بها‪ .‬وهي تسعى لمساعدة صانعي‬ ‫القرارات وراسمي السياسات التربوية في الدول المشاركة‬ ‫ﻃﺎوﻟ ﹰﺔ ﹸﻣﺘﻼ ﹺﺻﻘ ﹰﺔ ﹶﺗﻠﺰ ﹸم ﻟﺬﻟ ﹶﻚ؟ ‪ 66‬ﻃﺎوﻟﺔ‬ ‫على تحديد معايير حقيقيــة وواقعية لأداء نظمها التربوية‪،‬‬ ‫و ُت ِعينهــم على تقييم النجاحــات أو الإخفاقات‪ ،‬عل ًما بأن‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹸﻞ )‪.(1‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹸﻞ )‪.(2‬‬ ‫= )‪، f(x) = 4x -3, g(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪+2, x ≠ -1‬‬ ‫الأردن يشارك في دورات هذه الدراسات والبرامج بانتظام‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪ 24‬إذا اﺳــﺘﻤ ﱠﺮ ﻫﺬا اﻟﻨﻤ ﹸﻂ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻋﺪ ﹸد اﻟﺒﻄﺎﻗﺎ ﹺت اﻟﺤﻤﺮا ﹺء ﻓﻲ‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪ (18-21 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫منذ أوائل تسعينيات القرن العشرين‪.‬‬ ‫اﻟﺸﻜ ﹺﻞ ‪n‬؟ ﻋﺪد اﻟﺒﻄﺎﻗﺎت اﻟﺤﻤﺮاء ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ رﻗﻢ ‪ n‬ﻫﻮ‪:‬‬ ‫)‪18 g-1(x‬‬ ‫)‪19 (f◦f )(x‬‬ ‫يتع َّيــن عليــك ‪ -‬عزيزي المع ِّلــم‪ -‬تشــجيع الطلبة على‬ ‫‪4n+4‬‬ ‫الاهتمام بحل هذه الأســئلة‪ ،‬والمشــاركة في الدراسات‬ ‫ﻋﺪد اﻟﺒﻄﺎﻗﺎت اﻟﺰرﻗﺎء ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺎ ﻋﺪ ﹸد اﻟﺒﻄﺎﻗﺎ ﹺت اﻟﺰرﻗﺎ ﹺء ﻓﻴ ﹺﻪ؟‬ ‫وبرامــج التقييم الدولية بكل جديــة‪ ،‬وتضمين امتحاناتك‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ ﻧﻔﺴﻪ ﻫﻮ‪n2 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫)‪20 (g◦f )(x‬‬ ‫المدرسية نوعية هذه الأسئلة‪.‬‬ ‫‪ 26‬اﺳــﺘﻌﻤ ﹶﻠ ﹾﺖ ﻓﺪو￯ ‪ 64‬ﺑﻄﺎﻗ ﹰﺔ ﻟﺘﻜﻮﻳ ﹺﻦ أﺣ ﹺﺪ أﺷــﻜﺎ ﹺل ﻫﺬا‬ ‫اﻟﻨﻤ ﹺﻂ‪ .‬ﻛ ﹾﻢ ﻋــﺪ ﹸد ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻟﺒﻄﺎﻗﺎ ﹺت اﻟﺤﻤــﺮا ﹺء واﻟﺰرﻗﺎ ﹺء‬ ‫‪ 21‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴــ ﱠﻲ ﻟﻼﻗﺘــﺮا ﹺن ‪، f(x) = √4-x‬‬ ‫ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا اﻟﻤﺠﺎ ﹶل واﻟﻤﺪ￯ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹾﻦ‪ ،f(x) :‬ﹶو )‪.f -1(x‬‬ ‫اﻟ ﹸﻤﺴﺘﻌ ﹶﻤﻠ ﹺﺔ؟ ﻋﺪد اﻟﺒﻄﺎﻗﺎت اﻟﺰرﻗﺎء ﻫﻮ‪36 :‬‬ ‫ﻋﺪد اﻟﺒﻄﺎﻗﺎت اﻟﺤﻤﺮاء ﻫﻮ‪28 :‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪53‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫ﻗﺴﻤ ُﺔ ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد واﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ِت اﻟﻨﺴﺒﻴ ِﺔ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫اﻗﺘﺮاﻧﺎ ُت ﻛﺜﻴﺮا ِت اﻟﺤﺪو ِد‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ )‪ f)x‬ﻋﻠﻰ )‪ h)x‬وﺑﺎﻗﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﹸأﺣ ﱢﺪ ﹸد إذا ﻛﺎ ﹶن ﻛ ﱞﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻛﺜﻴ ﹶﺮ ﺣﺪو ﹴد أ ﹾم ﻻ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا اﻟﺪرﺟ ﹶﺔ واﻟﻤﻌﺎﻣ ﹶﻞ اﻟﺮﺋﻴ ﹶﺲ واﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﺜﺎﺑ ﹶﺖ ﻟﻜ ﱢﻞ ﻛﺜﻴ ﹺﺮ ﺣﺪو ﹴد‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ أﻛﺘ ﹸﺒ ﹸﻪ ﺑﺎﻟﺼﻮر ﹺة‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﻴ ﹺﺔ‪ (1-8 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎتﹸ‬ ‫‪1 f(x) = 2x3 - 4x2 -12x + 5; h(x) = x + 4‬‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ ‪ ، 2x2-12x +36‬واﻟﺒﺎﻗﻲ ‪-139‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎتﹸ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ ‪ ، 2x2+2x +3‬واﻟﺒﺎﻗﻲ ‪2 f(x) = 4x4 - 6x3 - 9x + 12; h(x) = 2x2 – 5x +2 2x + 6‬‬ ‫‪1 h(x) = 3x2 + 2x-1 + 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪g(x) = 3 1 x2 - 5x3 + 7x - 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ k‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن ﺑﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤ ﹺﺔ ‪ f(x) = 4x3 -8x2 +7x+ k‬ﻋﻠﻰ ‪ h(x) = 2x + 1‬ﻫ ﹶﻮ ‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f(x) = 8(3 - 2x‬‬ ‫‪4 j(x) = √x2 + 16 - 4x‬‬ ‫‪ 4‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ‪ c‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن ‪ h(x) = x - 3‬أﺣ ﹶﺪ ﻋﻮاﻣ ﹺﻞ ‪ (3-6 g(x) = 2x4 - 5x3 + cx -18‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪5‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺧﻄﻮ ﹶط اﻟﺘﻘﺎر ﹺب ﻟﻜ ﱢﻞ اﻗﺘﺮا ﹴن ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬و ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻠ ﹸﻪ ﺑﻴﺎﻧ ﹼﹰﻴﺎ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ وﻣﺪا ﹸه‪:‬‬ ‫ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ ﻛ ﹼﹰﻼ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ وﻣﺪا ﹸه‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 f(x) = 2x3 - 5, -2 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r(x) = -x3+ 3 x2 + 5, -2 ≤ x ≤ 2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪7 g(x) = 12- 4x – x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺠﺎ ﹶل واﻟﻤﺪ￯ وﺧﻄﻮ ﹶط اﻟﺘﻘﺎر ﹺب ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻟ ﹸﻤﻤ ﱠﺜﻠ ﹾﻴ ﹺﻦ ﺑﻴﺎﻧ ﹰﹼﻴﺎ ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪8 h(x) = (2x - 5)2 - 10‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 2x2 - 4x3 + 5x -1‬ﹶو‪ ،g(x) = x3 + 5x2 - 7‬ﹶو‪ ،h(x) = 2x - 4‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻧﺎﺗ ﹶﺞ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (7-10‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪-3 -3‬‬ ‫‪3 x3 x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫)‪9 f(x) + g(x‬‬ ‫)‪10 f(x) – g(x‬‬ ‫))‪11 g(x) – x(h(x‬‬ ‫‪-3x3+7x2+5x -8‬‬ ‫‪-5x3-3x2+5x +6‬‬ ‫‪-3 -3 -3 -3‬‬ ‫‪x3+3x2+4x -7‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﻤﺠﺎ ﹶل واﻟﻤﺪ￯ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪12 h(x) f(x‬‬ ‫)‪13 (h(x))2 + f(x‬‬ ‫)‪14 f(x) g(x‬‬ ‫‪-8x4+20x3+2x2-22x +4‬‬ ‫‪-4x3+6x2-11x +15‬‬ ‫‪-4x6-18x5+15x4‬‬ ‫‪+52x3-19x2-35x +7‬‬ ‫‪g(x) = 1 + 5‬‬ ‫= )‪j(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)2‬‬ ‫‪ 15‬ﻫ ﹺﻞ اﻟﻌﺪ ﹸد ‪ -2‬ﺻﻔ ﹲﺮ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪h(x) = -x 4 -5x 3 +7x – 10‬؟ ﹸأﺑ ﱢﺮ ﹸر إﺟﺎﺑﺘﻲ‪.‬‬ ‫‪(x - 3)2‬‬ ‫ﻧﻌﻢ ‪ ،‬ﻷن ‪f(-2) = -16 +40 -14 -10 =0‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪C(t‬‬ ‫=‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪50t‬‬ ‫ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ t‬ﺳﺎﻋ ﹰﺔ ﻣ ﹾﻦ ﺗﻨﺎوﻟﹺ ﹺﻪ ﺑﺎﻻﻗﺘﺮا ﹺن‪:‬‬ ‫ﻣﺮﻳ ﹴﺾ‬ ‫د ﹺم‬ ‫دﻳﺴﻴﻠﺘ ﹺﺮ( ﻓﻲ‬ ‫ﹸﻳﻌﻄﻰ ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺰ ﻣﻀﺎ ﱟد ﺣﻴﻮ ﱟي )ﺑﺎﻟﻤﻴﻠﻴﻐﺮا ﹺم ﻟﻜ ﱢﻞ‬ ‫‪ 16‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ أﺻﻔﺎ ﹶر اﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪g(x) = (x – 1)3 -3(x -1)2‬‬ ‫‪+ 25‬‬ ‫‪ (11-15‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﻣ ﹾﻦ ﺗﻨﺎوﻟﹺ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪ 11‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﺗﺮﻛﻴ ﹶﺰ ﻫﺬا اﻟﻤﻀﺎ ﱢد ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 5‬ﺳﺎﻋﺎ ﹴت‬ ‫‪ 12‬ﻣﺘﻰ ﻳﻜﻮ ﹸن ﺗﺮﻛﻴ ﹸﺰ ﻫﺬا اﻟﻤﻀﺎ ﱢد ‪4 mg/dL‬؟‬ ‫‪(x-1)2(x-1-3)= 0 ⇒ x = 1, x= 4‬‬ ‫ﹸﻧ ﹺﻘ ﹶﻠــ ﹾﺖ ﻓﺼﻴﻠــ ﹲﺔ ﻧــﺎدر ﹲة ﻣ ﹶﻦ اﻟﺤﺸــﺮا ﹺت إﻟﻰ ﻣﺤﻤﻴ ﹴﺔ ﺧﺎﺻــ ﹴﺔ ﻟﻤﻨــ ﹺﻊ اﻧﻘﺮا ﹺﺿﻬﺎ‪ .‬وﻗ ﹾﺪ ﺑﻠ ﹶﻎ ﻋــﺪ ﹸد أﻓﺮا ﹺد ﻫــﺬ ﹺه اﻟﻔﺼﻴﻠ ﹺﺔ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ t‬ﺷــﻬ ﹰﺮا‬ ‫‪ 17‬ﻟﺪ￯ ﹸﻣﺰا ﹺر ﹴع ‪ 24 m‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴــﻴﺎ ﹺج‪ ،‬أرا ﹶد أ ﹾن ﹸﻳﺴ ﱢﻴ ﹶﺞ ﺑ ﹺﻪ ﺣﻈﻴﺮ ﹰة ﻣﺴــﺘﻄﻴﻠ ﹰﺔ ﻟﺪواﺟﻨﹺ ﹺﻪ؛ ﻋﻠﻰ أ ﹾن ﻳﺠﻌ ﹶﻞ ﺟﺪا ﹶر ﻣﺨﺰ ﹴن ﻓﻲ ﻣﺰرﻋﺘﹺ ﹺﻪ أﺣ ﹶﺪ‬ ‫ﺟﻮاﻧ ﹺﺐ اﻟﺤﻈﻴﺮ ﹺة ﻣ ﹾﻦ دو ﹺن ﺳﻴﺎ ﹴج‪ .‬ﻣﺎ أﻛﺒ ﹸﺮ ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹴﺔ ﻣﻤﻜﻨ ﹴﺔ ﻟﻠﺤﻈﻴﺮ ﹺة اﻟﺘﻲ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺗﺴﻴﻴ ﹸﺠﻬﺎ ﺑﻬﺬا اﻟﺴﻴﺎ ﹺج؟ اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫)‪:P(t‬‬ ‫=‬ ‫)‪72(1 + 0.6t‬‬ ‫ﻧﻘﻠﹺﻬﺎ‬ ‫ﻣ ﹾﻦ‬ ‫‪ 18‬ﻳﺰﻳ ﹸﺪ ارﺗﻔﺎ ﹸع أﺳﻄﻮاﻧ ﹴﺔ ‪ 3‬وﺣﺪا ﹴت ﻋﻠﻰ ﻃﻮ ﹺل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﹺﻬﺎ‪ .‬أﻛﺘ ﹸﺐ اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﹸﻳﻌ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ﺣﺠ ﹺﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧ ﹺﺔ ﺑﺪﻻﻟ ﹺﺔ ‪ x‬إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫‪3 + 0.02t‬‬ ‫ﻃﻮ ﹸل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﹺﻬﺎ )‪ (2x + 1‬وﺣﺪ ﹰة‪.‬‬ ‫‪ 13‬ﻛ ﹾﻢ ﻛﺎ ﹶن ﻋﺪ ﹸد اﻟﺤﺸﺮا ﹺت ﻋﻨ ﹶﺪ ﻧﻘ ﹺﻠﻬﺎ إﻟﻰ اﻟﻤﺤﻤﻴ ﹺﺔ؟‬ ‫‪ 14‬ﻛ ﹾﻢ ﺳﻴﺒﻠ ﹸﻎ ﻋﺪ ﹸدﻫﺎ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 30‬ﺷﻬ ﹰﺮا ﻣ ﹾﻦ ﻧﻘ ﹺﻠﻬﺎ؟‬ ‫)ﺣﺠ ﹸﻢ اﻷﺳﻄﻮاﻧ ﹺﺔ اﻟﺘﻲ ﻧﺼ ﹸﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﹺﻬﺎ ‪ ،r‬وارﺗﻔﺎ ﹸﻋﻬﺎ ‪ ، h‬ﻫ ﹶﻮ ‪ =πr 2h‬ﹶ‪.( V‬‬ ‫‪ 15‬ﺑﻌ ﹶﺪ ﻛ ﹾﻢ ﺷﻬ ﹴﺮ ﺳﻴﺼ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹸدﻫﺎ إﻟﻰ ‪ 558‬ﺣﺸﺮ ﹰة؟‬ ‫)‪V(x) = π(2x+1)2(2x+4) = π(8x3+24x2 +18x + 4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺗﺮﻛﻴ ُﺐ اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎ ِت‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪3‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺴﺘﻌ ﹺﻤ ﹰﻼ اﻟﻘﻴ ﹶﻢ اﻟ ﹸﻤﺒ ﱠﻴﻨ ﹶﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺪوﻟ ﹾﻴ ﹺﻦ اﻵﺗﻴﻴ ﹺﻦ‪:‬‬ ‫‪x -3 -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫‪x -3 -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎتﹸ‬ ‫‪f(x) -7 -5 –3 -1 3 5 7‬‬ ‫‪g(x) 8 3 0 -1 0 3 8‬‬ ‫‪1 ( f◦g)(1) -1‬‬ ‫‪2 ( f◦g)(-2) 7‬‬ ‫)‪3 (g◦f )(1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4 ( g◦f )(0) 0‬‬ ‫‪5 (g◦g)(-1) -1‬‬ ‫)‪6 (f◦f )(-1‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن ‪ ،f(x) = 2x + 1‬ﹶو ‪ ،g(x)= 3x - 4‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪7 ( f◦g)(2) 5‬‬ ‫)‪8 ( f◦g)(0‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫)‪9 ( f◦g)(8‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪10 (g◦f )(1) 5‬‬ ‫)‪11 ( f◦g)(x‬‬ ‫‪6x -7‬‬ ‫)‪12 (g◦f )(x‬‬ ‫‪6x -1‬‬ ‫= )‪ ،h(x‬ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ ،k(x‬ﹶو‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪13 (h◦k)(3) 8‬‬ ‫)‪14 (k◦h)(3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪15 (h◦h)(6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪16 (k◦k)(-3) 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪19 h(x) = x 6 +1‬‬ ‫)‪17 (k◦h)(x‬‬ ‫)‪18 (h◦k)(x‬‬ ‫‪21 h(x) = 2x2 - 20x + 50‬‬ ‫‪ (17-23‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻗﺘﺮاﻧ ﹾﻴ ﹺﻦ )‪ ،f(x‬ﹶو )‪ ،g(x‬ﺑﺤﻴ ﹸﺚ ﻳﻜﻮ ﹸن )‪ h(x) = (g ◦ f )(x‬ﻓﻲ ﻛ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪20 h(x) = 4(x + 1)2‬‬ ‫‪22 h(x) = √2x 2 - 4 + 7‬‬ ‫‪ ،p =100 -‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ p‬اﻟﺴﻌ ﹸﺮ ﺑﺎﻟﺪﻳﻨﺎ ﹺر‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻳﺮﺗﺒ ﹸﻂ ﺳﻌ ﹸﺮ ﺳﻠﻌ ﹴﺔ ﹸﻣﻌ ﱠﻴﻨ ﹴﺔ وﻋﺪ ﹸد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺒﻴﻌ ﹺﺔ ﻣﻨﹾﻬﺎ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗ ﹺﺔ ‪, 0 ≤ x ≤ 400‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶﻧ ﹺﺖ اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹸﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻟﺪﻧﺎﻧﻴ ﹺﺮ ﻹﻧﺘﺎ ﹺج ‪ x‬وﺣﺪ ﹰة ﻫــ ﹶﻲ ‪+ 600‬‬ ‫ﹶو ‪ x‬ﻋــﺪ ﹸد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟﻤﺒﻴﻌ ﹺﺔ‪ .‬إذا‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹶﺔ‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫‪،C‬‬ ‫=‬ ‫‪4 √x‬‬ ‫ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺘﻜﻠﻔ ﹶﺔ إذا ﻛﺎ ﹶن ﺳﻌ ﹸﺮ اﻟﻮﺣﺪ ﹺة اﻟﻮاﺣﺪ ﹺة ‪ 19‬دﻳﻨﺎ ﹰرا‪.‬‬ ‫ﺻﻮر ﹺة اﻗﺘﺮا ﹴن ﻧﺴﺒ ﹰﺔ إﻟﻰ اﻟﺴﻌ ﹺﺮ ‪،p‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪53A‬‬

‫كتاب التمارين‬ ‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ُت‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫اﻻﻗﺘﺮا ُن اﻟﻌﻜﺴ ﱡﻲ‬ ‫اﻟﺪر ُس‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أﻛﺘ ﹸﺐ اﻟﺤﺪو ﹶد اﻟﺜﻼﺛ ﹶﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴ ﹶﺔ ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻣ ﹼﻤﺎ‬ ‫ﻛ ﹼﹰﻼ‬ ‫ﻓ ﹶﺄ ﹺﺟ ﹸﺪ‬ ‫=)‪،g(x‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪100‬‬ ‫ﻛﺎ ﹶن‬ ‫إذا‬ ‫‪1+x‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎتﹸ‬ ‫… ‪1 4, 6, 8, 10,‬‬ ‫… ‪2 3, 30, 300, 3000,‬‬ ‫… ‪3 1, 4, 9, 16,‬‬ ‫اﻟﻮﺣﺪةﹸ ‪ :5‬اﻻﻗﺘﺮاﻧﺎتﹸ‬ ‫‪1 g(9) 70‬‬ ‫‪2 g(4) 60‬‬ ‫)‪3 g–1(70‬‬ ‫‪9 4 g–1(60) 4‬‬ ‫‪12,14,16‬‬ ‫‪30000,300000,3000000‬‬ ‫‪25,36,49‬‬ ‫… ‪5 3, 10, 17, 24,‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ f (x‬اﻗﺘﺮا ﹶن واﺣ ﹴﺪ ﻟﻮاﺣ ﹴﺪ‪ ،‬ﹶو ‪ ،f (3) = 8‬ﻓﻤﺎذا ﹸﻳﺴﺘﻨ ﹶﺘ ﹸﺞ ﻣ ﹾﻦ ﻫﺬ ﹺه اﻟﻤﻌﻄﻴﺎ ﹺت؟‬ ‫‪5‬‬ ‫… ‪4 2, 4, 8, 16,‬‬ ‫‪31,38,45‬‬ ‫‪6 0, 4, 18, 48, ...‬‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ اﺳﺘﻨﺘﺎج أن ‪f-1(8) = 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪32,64,128‬‬ ‫‪100,180,294‬‬ ‫إذا ﻛﺎ ﹶن )‪ f (x‬ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻋﺪ ﹶد اﻟﻮﺣﺪا ﹺت اﻟ ﹸﻤﻨ ﹶﺘﺠ ﹺﺔ ﻓﻲ ‪ x‬ﺳﺎﻋ ﹶﺔ ﻋﻤ ﹴﻞ ﻟ ﹸﻤﻨ ﹶﺘ ﹴﺞ ﹸﻣﻌ ﱠﻴ ﹴﻦ‪ ،‬ﻓﻤﺎذا ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ اﻟﻤﻘﺪا ﹸر )‪f -1(2540‬؟‬ ‫ﻋﺪد ﺳﺎﻋﺎت اﻟﻌﻤﻞ اﻟﺘﻲ ﻳﻨﺘﺞ ﻓﻴﻬﺎ ‪ 2540‬وﺣﺪة‪.‬‬ ‫ﹸأﺻ ﱢﻨ ﹸﻒ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎ ﹺت اﻵﺗﻴ ﹶﺔ إﻟﻰ ﺧ ﱢﻄﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺗﺮﺑﻴﻌﻴ ﹴﺔ‪ ،‬وﺗﻜﻌﻴﺒﻴ ﹴﺔ‪ ،‬و ﹸأ ﱢﺳﻴ ﹴﺔ‪ ،‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤﺪو ﹶد اﻟﺜﻼﺛ ﹶﺔ اﻷوﻟﻰ واﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺸﺮﻳ ﹶﻦ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣﻨﹾﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪7 T(n) = 3n +1‬‬ ‫ﺧﻄﻴﺔ‪4, 7, 10 .‬‬ ‫‪8 T(n) = 2n2 +1‬‬ ‫ﺗﺮﺑﻴﻌﻴﺔ‪3, 9, 19 .‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ )‪ f -1(x‬ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪ ،‬ﹸﻣﺤ ﱢﺪ ﹰدا ﻣﺠﺎ ﹶﻟ ﹸﻪ وﻣﺪا ﹸه‪ (7-16 :‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪T(20) = 61‬‬ ‫‪T(20) = 801‬‬ ‫‪9 T(n) = 3(2)n - 5‬‬ ‫)‪10 T(n) = n(n2 + 1‬‬ ‫‪7 f(x) = 3x -5‬‬ ‫‪8 f(x) = 4 – 7x‬‬ ‫أﺳﻴﺔ‪T(20) = 3145723 1, 7, 19 .‬‬ ‫ﺗﻜﻌﻴﺒﻴﺔ‪T(20) = 8020 2, 10, 30 .‬‬ ‫ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻟﺤ ﱠﺪ اﻟﻌﺎ ﱠم ﻟﻜ ﱢﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹴﺔ ﻣ ﹼﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪9 f (x) = x2 + 3, x ≥ 0‬‬ ‫‪10 f (x) = 5 – 9x2, x ≥ 0‬‬ ‫… ‪11 6, 11, 16, 21, 26,‬‬ ‫‪T(n) = 5n+1‬‬ ‫‪12 -4, 3, 22, 59, 120, ...‬‬ ‫‪T(n) = n3 - 5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫… ‪13 5, 15, 45, 135,‬‬ ‫‪T(n) = 5(3)n-1 14 5, 11, 21, 35, 53, ...‬‬ ‫‪T(n) = 2n2 + 3‬‬ ‫‪13 f (x) = √2x - 1 + 3‬‬ ‫‪14 f (x) = √3x + 2 - 5‬‬ ‫اﺳﺘﺜﻤ ﹶﺮ ﺧﺎﻟ ﹲﺪ ‪ 20000‬دﻳﻨﺎ ﹴر ﻓﻲ ﻣﺸﺮو ﹴع ﺗﺠﺎر ﱟي‪ ،‬وﺗﻮ ﱠﻗ ﹶﻊ أ ﹾن ﺗﺒﻠ ﹶﻎ ﻧﺴﺒ ﹸﺔ اﻟﺮﺑ ﹺﺢ ﻣ ﹾﻨ ﹸﻪ ‪ 15%‬ﺳﻨﻮ ﹼﹰﻳﺎ‪:‬‬ ‫‪15 f (x) = √3 3x - 2 - 1‬‬ ‫‪16 f (x) = √3 3 - 4x + 1‬‬ ‫‪ 15‬أﻛﺘ ﹸﺐ ﻣﻘﺪا ﹰرا ﺟﺒﺮ ﹼﹰﻳﺎ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﺳﺘﺜﻤﺎ ﹺر ﺧﺎﻟ ﹴﺪ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ n‬ﻣ ﹶﻦ اﻟﺴﻨﻮا ﹺت‪T(n) = 20000(1.15)n .‬‬ ‫ﹸأﺑ ﱢﻴ ﹸﻦ إذا ﻛﺎ ﹶن ﻛ ﱡﻞ ﻣ ﹶﻦ اﻻﻗﺘﺮاﻧﻴ ﹺﻦ )‪ ،f(x‬ﹶو )‪ h(x‬اﻗﺘﺮا ﹰﻧﺎ ﻋﻜﺴ ﹼﹰﻴﺎ ﻟﻶﺧ ﹺﺮ أ ﹾم ﻻ‪:‬‬ ‫‪ 16‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻗﻴﻤ ﹶﺔ اﺳﺘﺜﻤﺎ ﹺر ﺧﺎﻟ ﹴﺪ ﺑﻌ ﹶﺪ ‪ 12‬ﺳﻨ ﹰﺔ‪107005.0021 .‬‬ ‫‪17 f (x) = 2x - 5, h(x) = 5x + 2‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪- 3x‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﻧﻤ ﹲﻂ ﻫﻨﺪﺳ ﱞﻲ ﹸﻳﻤ ﱢﺜ ﹸﻞ ﻓﻴ ﹺﻪ ﻋﺪ ﹸد أﻋﻮا ﹺد اﻟﺜﻘﺎ ﹺب ﻣﺘﺘﺎﻟﻴ ﹰﺔ‪:‬‬ ‫‪ (17-21‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 19‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ اﻻﻗﺘﺮا ﹶن اﻟﻌﻜﺴ ﱠﻲ ﻟﻼﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،f (x) = √6 + 3x‬ﺛ ﱠﻢ ﹸأﻣ ﱢﺜ ﹸﻞ )‪ ،f (x‬ﹶو)‪ f -1(x‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮ￯ اﻹﺣﺪاﺛ ﱢﻲ ﻧﻔ ﹺﺴ ﹺﻪ‪.‬‬ ‫‪ 17‬أرﺳ ﹸﻢ اﻟﻨﻤﻮذ ﹶج اﻟﺮاﺑ ﹶﻊ ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻨﻤ ﹺﻂ‪ .‬اﻧﻈﺮ ﻣﻠﺤﻖ اﻹﺟﺎﺑﺎت‬ ‫‪ 20‬ﻫﻨﺪﺳــ ﹲﺔ‪ :‬ﹸﺗﻌﻄﻰ ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹸﺔ اﻟﺪاﺋﺮ ﹺة ﺑﺎﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،A(r) = πr 2‬ﺣﻴ ﹸﺚ ‪ A‬اﻟ ﹺﻤﺴﺎﺣ ﹸﺔ‪ ،‬ﹶو ‪ r‬ﻧﺼ ﹸﻒ اﻟ ﹸﻘ ﹾﻄ ﹺﺮ‪ .‬ﹸأﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ ‪ r‬ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة اﻗﺘﺮا ﹴن‬ ‫‪ 18‬ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻋﺪ ﹶد أﻋﻮا ﹺد اﻟﺜﻘﺎ ﹺب اﻟﻼزﻣ ﹺﺔ ﻟﺒﻨﺎ ﹺء اﻟﻨﻤﻮذ ﹺج رﻗ ﹺﻢ ‪ 20‬ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻨﻤ ﹺﻂ‪181 .‬‬ ‫ﻧﺴﺒ ﹰﺔ إﻟﻰ اﻟ ﹺﻤﺴﺎﺣ ﹺﺔ ‪ ،A‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﻧﺼ ﹺﻒ ﹸﻗ ﹾﻄ ﹺﺮ داﺋﺮ ﹴة ﹺﻣﺴﺎﺣ ﹸﺘﻬﺎ ‪250 cm2‬‬ ‫‪ 19‬ﻣﺎ أﻛﺒ ﹸﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋ ﹴﺔ ﻣ ﹶﻦ اﻷﺷﻜﺎ ﹺل اﻟﺴﺪاﺳﻴ ﹺﺔ ﹸﻳﻤ ﹺﻜ ﹸﻦ ﺑﻨﺎ ﹸؤﻫﺎ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎ ﹺل ‪ 100‬ﻋﻮ ﹴد ﻣ ﹶﻦ اﻟﺜﻘﺎ ﹺب؟ ‪11‬‬ ‫‪ 21‬ﻓﻴﺰﻳﺎ ﹸء‪ :‬ﹸﻳﻌﻄﻰ زﻣ ﹸﻦ اﻟﺪور ﹺة ‪ T‬ﺛﺎﻧﻴ ﹰﺔ ﻟﺒﻨﺪو ﹴل ﺑﺴــﻴ ﹴﻂ ﺑﺎﻻﻗﺘﺮا ﹺن ‪ ،T( ) = 2π 9.8‬ﺣﻴ ﹸﺚ ﻃﻮ ﹸل اﻟﺒﻨﺪو ﹺل ﺑﺎﻷﻣﺘﺎ ﹺر‪ .‬ﹸأﻋ ﱢﺒ ﹸﺮ ﻋ ﹾﻦ‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻓﻲ ﺻﻮر ﹺة اﻗﺘﺮا ﹴن ﻧﺴﺒ ﹰﺔ إﻟﻰ اﻟﺰﻣ ﹺﻦ ‪ ،T‬ﺛ ﱠﻢ ﹶأ ﹺﺟ ﹸﺪ ﻃﻮ ﹶل ﺑﻨﺪو ﹴل زﻣ ﹸﻦ دورﺗﹺ ﹺﻪ ‪3 s‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪53B‬‬

‫الدرس ‪ ، 1‬إجابة أتحقق من فهمي‪) 9 :6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-2 0 1.5 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫افترض أن ســعر البطاقة ‪ x‬دينا ًرا ‪ ،‬حيــث ‪ ،x < 11‬فيكون مقدار التخفيض‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫)‪y = f(x‬‬ ‫‪6 -4 -6.25 -4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪ (11- x‬دينا ًرا‪ ،‬وســيزيد عدد البطاقات المبيعة بمقدار )‪،4000(11- x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫وبذلك يصبح عددها‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫))‪ ،(28000 + 4000(11-x‬ويساوي الدخل )‪ R(x‬سعر البطاقة مضرو ًبا‬ ‫‪4‬‬ ‫في عدد البطاقات‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫))‪R(x) = x(28000 + 4000(11-x‬‬ ‫‪-8-6-4--202 2 4 6 8‬‬ ‫‪= -4000x2 + 72000x‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫الإحداثي ‪ x‬لرأس هذا القطع المكافئ هو‪:‬‬ ‫المدى‪ ،y ≥ 6.25 :‬أو الفترة )∞ ‪. [6.25,‬‬ ‫ ‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-72000‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪-8000‬‬ ‫‪ )10‬‬ ‫‪x -1 0 1 2 3‬‬ ‫إذن‪ ،‬يكون الدخل أعلى ما يمكن إذا أصبح ثمن بطاقة الدخول ‪ 9‬دنانير‪.‬‬ ‫‪y = f(x) -9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3 -9‬‬ ‫وأعلى دخل هو قيمة )‪ R(x‬عندما ‪:x = 9‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪R(9) = -4000 (9)2 + 72000(9) = 324000‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 23‬‬ ‫الدرس ‪-5 :1‬‬ ‫‪ )1‬كثير حدود‪ ،‬صورته القياسية‪ ،f(x) = -x + 4 :‬درجته ‪ ،1‬معامله ‪-10‬‬ ‫الرئيس‪ ،-1 :‬حده الثابت‪4 :‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪ )2‬ليس كثيــر حدود؛ لأن فيه عام ًل أســه ســالب (‪ x‬الموجودة في‬ ‫المقام)‪ .‬‬ ‫المدى‪ ،y ≤ 7 :‬أو الفترة ]‪. (-∞, 7‬‬ ‫‪ )3‬كثير حــدود‪ ،‬صورتــه القياســية‪ ،h(x) = 12x2-19x -12 :‬‬ ‫ودرجته ‪ ،2‬ومعامله الرئيس‪ ،12 :‬وحده الثابت‪ )11 -12 :‬‬ ‫‪x -2 -1 0 1 2 3‬‬ ‫‪ )4‬كثيــر حدود‪ ،‬صورتــه القياســية‪، L(x) = 5.3x3 + 3x2 -2x :‬‬ ‫‪y 0 8 4 0 8 40‬‬ ‫ودرجته ‪ ،3‬ومعامله الرئيس‪ ،5.3 :‬وحده الثابت‪0 :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ )5‬كثير حدود‪ ،‬صورته القياســية‪ ، j(x) = -16t 2+ √7 t :‬ودرجته‬ ‫‪ ،2‬ومعامله الرئيس‪ ،-16 :‬وحده الثابت‪0 :‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ )6‬ليس كثير حدود؛ لأن فيه أ ًّسا كسر ًّيا‪.‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ )7‬ليس كثير حدود؛ لأن الأس فيه متغير‪ ،‬فهو اقتران أسي‪16 .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ )8‬كثيــر حــدود‪ ،‬صورتــه القياســية‪،f(y) = y 7-8y 5+ 16y 3 :‬‬ ‫ودرجته‪ ،7 ‬ومعامله الرئيس‪ ،1 :‬وحده الثابت‪0 :‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1 23‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪53C‬‬

‫‪) 21‬ليكن طول كل حظيرة ‪ ،x‬وعرضها ‪ ،y‬فيكون طول الســياج الكلي‬ ‫المجال‪ ، -2 ≤ x ≤ 3 :‬أو الفترة ]‪[-2, 3‬‬ ‫ ‬ ‫للحظائر الثلاث‪:‬‬ ‫المدى‪ ،0 ≤ y ≤ 40 :‬أو الفترة ]‪.[0, 40‬‬ ‫ ‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪x xx‬‬ ‫‪) 12‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x -3 -2 -1 0 1 2 3 4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y 23 -2 -9 -4 7 18 23 16‬‬ ‫‪x‬‬ ‫المجال‪ ، -3 ≤ x ≤ 4 :‬أو الفترة ]‪[-3, 4‬‬ ‫المدى‪ ،-9 ≤ y ≤ 23 :‬أو الفترة ]‪.[-9, 23‬‬ ‫‪ ،6x + 4y = 120‬ومنه ينتج أن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪120 -6x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫المساحة الكلية للحظائر الثلاث‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪=3xy‬‬ ‫‪=3x‬‬ ‫(‬ ‫‪120 -6x‬‬ ‫)‬ ‫‪30‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪A(x) = 90x -4.5x2‬‬ ‫تكون هذه المساحة أكبر ما يمكن عندما‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪-6 -4 -2 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪24‬‬ ‫إذن‪ ،‬أكبر مساحة ممكنة لهذه الحظائر هي‪A(10) = 450 m2 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪13) h(x) +g(x) = x4-2x3+3x-2‬‬ ‫‪ )22‬حجم ما تبقــى من المكعب يســاوي حجــم المكعب الأصلي‬ ‫ )‪14‬‬ ‫‪g(x)-h(x)=-x4-2x3+10x2 -3x + 10‬‬ ‫مطرو ًحا منه حجم التجويف‪.‬‬ ‫‪ 15) f(x) ∙ h(x) =2x5 + x4 - 10x3 + x2 - 9x -6‬حجم المكعــب الأصلي هــو ‪ ، (2x +1)3‬وحجم التجويف هو‬ ‫)‪x2(2x+1‬‬ ‫‪16) x(f(x)) + h(x) =x4 -3x2 + 4x -6‬‬ ‫إذا كان حجم الجزء المتبقي هو )‪ ،R(x‬فإن‪:‬‬ ‫‪ 17) (f(x))2 - g(x) = 2x3 -x2 + 4x-3‬‬ ‫)‪R(x)= (2x +1)3 – x2(2x +1‬‬ ‫‪18) h(x) –x(g(x)) = 3x4 -5x3 -5x2 -x-6‬‬ ‫‪= 8x3 +12x2 + 6x +1 - (2x3 + x2) = 6x3 + 11x2 + 6x +1‬‬ ‫‪ )19‬أقصى ارتفاع للصاروخ هو ارتفاعه عندما‬ ‫‪23) P(x)= -0.2x2 + 90x - 6300‬‬ ‫يساوي‬ ‫وهو‬ ‫‪،‬‬ ‫‪t‬‬ ‫=‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-229‬‬ ‫≈‬ ‫‪23.4‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(-4.9‬‬ ‫‪h(23.4) ≈ 2910 m‬‬ ‫‪ )24‬كلتــا الإجابتين غيــر صحيحة‪ .‬لــم ُيغ ِّير طه إشــارات المطروح‬ ‫‪ )20‬ليكن عدد الأشــجار ‪( x‬حيث ‪ ،)75 > x‬فيكون ما يجنيه من كل‬ ‫شجرة‪21 + 3(75 – x) :‬‬ ‫عندما ح َّول الطرح إلى جمع‪ .‬وبالرغم من أن قاســ ًما غ َّير إشارات‬ ‫المطروح‪ ،‬فإنه أخطأ في نتيجة جمع بعض الحدود المتشابهة‪.‬‬ ‫))‪P(x) = x(21+3(75-x‬‬ ‫المحصول الكلي ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪   = 21x +3x(75)-3x2‬‬ ‫النتيجة الصحيحة لهذه العملية هي‪-2x3 -13x2-9x +3 :‬‬ ‫ ‬ ‫إجابة محتملة‪:‬‬ ‫‪ )25‬‬ ‫‪P(x) = -3x2+ 246x‬‬ ‫‪ f(x) = 2x-1, h(x) = 4x2 + 2x +1‬‬ ‫لهذا القطع المكافئ قيمة عظمى عندما‪:‬‬ ‫ ‬ ‫)‪ f(x) ∙ h(x) = (2x-1)(4x2 + 2x +1‬‬ ‫‪ = 8x3 + 4x2 + 2x -4x2-2x -1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-246‬‬ ‫‪= 41‬‬ ‫‪ = 8x3 -1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(-3‬‬ ‫ إذن‪ ،‬عدد الأشــجار الذي يحقق أعلى محصول هو ‪ 41‬شجرة في‬ ‫البستان‪.‬‬ ‫أعلى محصول هو‪P(41) = 5043 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪53D‬‬

‫‪) 13‬‬ ‫لإيجاد الأصفار‪ُ ،‬ت َحل المعادلة‪f(x) = 0 :‬‬ ‫‪) 26‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫ ‬ ‫‪x -2 -1 0 0.5 1.5 2 3 4‬‬ ‫‪ x3- x2 - 4x + 4 = 0‬‬ ‫‪y = h(x) -0.22 -0.5 -2 -8 8 -2 -0.5 -0.22‬‬ ‫‪ (x3- x2) – (4x -4) = 0‬‬ ‫‪ x2(x – 1) -4(x-1) = 0‬‬ ‫له خط تقارب رأسي هو ‪ ،x = 1‬وخط تقارب أفقي هو ‪y = 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪ (x-1) (x2 -4) = 0‬‬ ‫‪ (x-1)(x-2)(x+2) =0‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪1‬؛ أي }‪{x | x ≠ 1‬‬ ‫ ‬ ‫‪ x = 1, x = 2, x = -2‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية السالبة؛ أي }‪{y | y < 0‬‬ ‫ ‬ ‫إذن‪ ،‬أصفار هذا الاقتران هي‪1، 2، 2- :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1 1‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪) 27‬إذا كانت درجة ‪ f‬أكبر من درجــة ‪ g‬فإن درجة ك ٍّل من ‪f+g, f-g‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫تســاوي درجة ‪f‬؛ أي الدرجة العليا‪ .‬أ ّما إذا كانت درجة ‪ f‬تساوي‬ ‫درجة ‪ g‬فإن درجة ك ٍّل من ‪ f+g, f-g‬تساوي درجة ك ٍّل منهما‪ ،‬أو‬ ‫‪-8‬‬ ‫تقل عنها؛ لأن ناتج جمع المعاملين الرئيسين قد يكون صف ًرا‪ .‬وأ ّما‬ ‫‪x=1‬‬ ‫درجة ‪  f∙g‬فإنها تساوي دائ ًما مجموع درجتي الاقترانين ‪f, g‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪ )14‬‬ ‫الدرس ‪:2‬‬ ‫‪x -2 -1 -0.5 0.5 0.75 1 2.5 3.5 5‬‬ ‫‪ )9‬المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪0‬؛ أي }‪{x|x ≠ 0‬‬ ‫‪y = w(x) -1.1 -1.75 2.9 0.8 0 -0.5 -5.6 6.3 1.7‬‬ ‫ له خطا تقارب رأسيان‪ ،‬هما‪ ، x = 3, x= 0 :‬وله خط تقارب أفقي‬ ‫؛ أي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )10‬المجــال‪ :‬جميــع الأعــداد الحقيقيــة باســتثناء ‪ 1‬و‬ ‫هو‪y = 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≠ ‪{x|x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫}‪, x ≠ 1‬‬ ‫ المجــال‪ :‬جميــع الأعــداد الحقيقيــة باســتثناء ‪ 0, 3‬؛ أي‬ ‫‪ )11‬المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫}‪{x|x ≠ 0, x ≠ 3‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪ )12‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x -1 0 1 2 2.8 3.2 3.5 4 6‬‬ ‫‪y = f(x) -0.5 -0.67 -1 -2 -10 10 4 2 0.67‬‬ ‫‪8‬‬ ‫له خط تقارب رأسي هو ‪ ،x = 3‬وخط تقارب أفقي هو ‪y = 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x=3‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ 3‬أي }‪{x | x ≠ 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪y=0‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ 0‬أي }‪{y | y ≠ 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1 23‬‬ ‫‪45 6x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪0 12 3 4 5x‬‬ ‫‪-5 x = 3‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪53E‬‬

‫أصفار‬ ‫لمقامه‬ ‫ليس‬ ‫إذ‬ ‫؛‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هــو‬ ‫المختلف‬ ‫‪) 19‬الاقتران‬ ‫‪+‬‬ ‫وليس له خطوط تقارب رأســية‪ .‬أ ّما مقامات الاقترانات الأُخرى‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫فلها صفر واحد أو أكثر؛ أي إن لها خط تقارب رأســي واح ًدا على‬ ‫‪ ) 15‬بقسمة البسط على المقام‪ ،‬يمكن كتابة الاقتران بالصورة‪:‬‬ ‫الأقل‪.‬‬ ‫=)‪g(x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫ ‬ ‫‪x2 + 4‬‬ ‫ إذن‪ ،‬لــه خط تقــارب أفقي هو ‪ ،y = 5‬وليس لــه خطوط تقارب‬ ‫‪ ) 20‬إجابة محتملة‪:‬‬ ‫رأسية لعدم وجود أصفار حقيقية للمقام‪.‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أو‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ ‪3‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪+ 5x -‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪14‬‬ ‫المدى‪ ،0 ≤ y < 5 :‬أو الفترة )‪. [0, 5‬‬ ‫ ‬ ‫حيث ‪ a‬و ‪ b‬عددان حقيقيان؛ شرط أن يكون صفر المقدار ‪ax + b‬‬ ‫لا يساوي ‪ 7‬أو ‪-2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ )21‬العامل المعطى ‪ (x-1)2‬هــو اقتران تربيعي‪ ،‬والاقتران المطلوب‬ ‫‪5‬‬ ‫من الدرجــة الثالثة‪ ،‬فيكون العامــل الثاني اقترا ًنــا خط ًّيا بصورة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪. (ax + b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وعليه‪ ،‬فإن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x‬‬ ‫‪f(x) = (x-1)2(ax+b)= ax3 +(b-2a)x2 +(a-2b) x + b‬‬ ‫ من تقســيم ‪ ax3 +(b-2a)x2 +(a-2b) x + b‬على )‪،(x+2‬‬ ‫‪x -5 -2 -1 0 1 2 5‬‬ ‫ثم مساواة الباقي بـ ‪ ،9‬فتنتج المعادلة‪-18a +9b = 9 :‬‬ ‫‪y = g(x) 4.3 2.5 1 0 1 2.5 4.3‬‬ ‫ ومــن ثــم تقســيم ‪ ax3 +(b-2a)x2 +(a-2b) x + b‬على‬ ‫‪) 17‬عرض هذه الورقــة ‪ ،(x + 2)2‬وهو أحد عاملي مســاحتها‪ .‬فإذا‬ ‫)‪ ،(x-3‬ثم مساواة الباقي بـ ‪ ،44‬فتنتج المعادلة‪12a +4b =44 :‬‬ ‫قسمت المساحة على ‪ ،(x + 2)2‬كان الباقي صف ًرا‪.‬‬ ‫ وبقســمة طرفي المعادلة الأولى على ‪ ،9‬وطرفــي المعادلة الثانية‬ ‫ باقــي قســمة المســاحة علــى ‪ ،(x + 2)2‬أو )‪ (x2+4x+4‬هو‬ ‫على ‪ ،4‬وحل نظام المعادلتين‪:‬‬ ‫‪ .(a-20)x‬وبمساواته بالصفر‪ ،‬ينتج أن ‪a = 20‬‬ ‫‪ ،-2a+b =1, 3a + b = 11‬فإن‪a = 2, b = 5 :‬‬ ‫ ‬ ‫إذن‪ ،‬الاقتران المطلوب هو‪f(x) = 2x3+ x2- 8x +5 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 3x + 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪x2 + 4x + 4)3x 3 + 14x2 + ax + 8‬‬ ‫‪ (-) 3x 3 + 12x 2 + 12x‬‬ ‫الدرس ‪:3‬‬ ‫‪  2x 2 + (a-12)x + 8‬‬ ‫‪     (-) 2x 2 + 8x    + 8‬‬ ‫‪9) (a◦b)(x) = a(x-7) = x -7 +4 = x- 3‬‬ ‫ ‬ ‫‪(a-20)x‬‬ ‫‪ (b◦a)(x) = b(x+4) = x +4 -7 = x- 3‬‬ ‫‪ )18‬حجم البركة يساوي مساحة قاعدتها ضرب ارتفاعها‪.‬‬ ‫‪ (a◦b)(x) = (b◦a)(x) = x -3‬‬ ‫ ويمكـن حسـاب الارتفـاع ‪ h‬بقسـمة الحجـم ‪ V‬علـى مسـاحة‬ ‫القاعــدة ‪: A‬‬ ‫‪10) (f◦g)(x) = f(3x +4) = 23x +4‬‬ ‫‪h=V÷A‬‬ ‫‪h = (3x4 -3x3 -33x2 + 54x) ÷ (3x2 -6x) = x2 + x - 9 + 0‬‬ ‫= ‪ (f◦g)(-3) = 23(-3) +4 = 2-5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫إذن‪ ،‬ارتفاع البركة هو‪(x2+ x - 9):‬‬ ‫ ‬ ‫‪53F‬‬

‫‪ )24‬الزمن الذي يكون عنده عدد خلايــا البكتيريا ‪ 6752‬خلية هو حل‬ ‫ )‪11‬‬ ‫)‪(g◦f )(x‬‬ ‫=‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫‪-‬‬ ‫‪10‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪10‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‬ ‫المعادلة الآتية‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪575t2 + 65t - 31.25 = 6752‬‬ ‫= ‬ ‫‪2-10x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪x-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪575t2 + 65t - 6783.25 = 0‬‬ ‫= ‬ ‫‪42-10x‬‬ ‫‪x-4‬‬ ‫‪t = -65‬‬ ‫)‪√652 + 4(575)(6783.25‬‬ ‫مجال هذا الاقتران هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪4‬؛ أي }‪{x|x ≠ 4‬‬ ‫)‪2(575‬‬ ‫‪t = 3.38, t = - 3.49‬‬ ‫‪ )19‬ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫الإجابة السالبة مرفوضة (لا يكون الزمن سال ًبا)‪.‬‬ ‫ ‬ ‫إجابة محتملة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫= )‪، f(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪g(x) = 4 + x2‬‬ ‫ ‬ ‫‪3 - √x‬‬ ‫ إذن‪ ،‬يكون عدد خلايا البكتيريا ‪ 6752‬خلية بعد ‪ 3.38 h‬من لحظة‬ ‫ ‬ ‫إخراج الطعام من الثلاجة‪.‬‬ ‫= )‪ ،f(x‬وغيرها‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪, g(x)= √4 + x2‬‬ ‫أو‬ ‫‪3-x‬‬ ‫‪a = 4, b = -3 ) 25‬‬ ‫ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪) 20‬‬ ‫ ‬ ‫إجابة محتملة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ ‬ ‫))‪26) (f◦g◦h)(x) = f(g(x+3‬‬ ‫= )‪ ،f(x‬وغيرها‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أو ‪, g(x)= 2x - 3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2 + 6x + 10‬‬ ‫= ‬ ‫(‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫=‪+1‬‬ ‫‪(x + 3)2‬‬ ‫‪ )27‬إجابة هدى صحيحة‪ .‬عوضت وفاء ‪ x2‬مكان ‪ x‬في الحد الثاني من‬ ‫‪ )21‬مدى )‪ g(x‬هو جميع الأعداد الحقيقية السالبة‪ ،‬وهي غير موجودة‬ ‫قاعدة )‪ ،f(x‬ونسيت ‪5‬‬ ‫في مجال )‪f(x‬؛ لأن مجال )‪ f(x‬هو الأعداد الحقيقية التي لا تقل‬ ‫عن ‪ ،2‬فلا يمكن تكوين )‪.f◦g(x‬‬ ‫‪ ) 28‬ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫عندما ‪ t = 2‬يكون طول نصف قطر الموجة‪:‬‬ ‫‪ )22‬‬ ‫إجابة محتملة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪r(2) = 25 √2 + 2‬‬ ‫ ‬ ‫‪= 50 cm‬‬ ‫‪f(x) = x2 + 3 , g(x) = x-2‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مساحة الموجة تساوي ‪ ،π(50)2‬أو ‪ 7854 cm2‬تقري ًبا‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(f◦g)(x‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫÷‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪ )29‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫÷‬ ‫‪1-3(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫=‬ ‫×‪1‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪=-‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪) 23‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-3x - 5‬‬ ‫‪3x + 5‬‬ ‫مجاله هو مجال )‪ g(x‬باســتثناء الأعداد التي تجعل المقام يســاوي ‪0‬؛ أي‬ ‫‪(N◦T)(t) = N(T(t)) = 23(5t +1.5)2 – 56(5t + 1.5) +1‬‬ ‫‪-‬؛ أي‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ، x = -‬فمجاله هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ -2‬و‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫‪= 575t 2 + 65t - 31.25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪{x | x ≠ -2, x ≠ = -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫}‬ ‫‪53G‬‬

‫ )‪18‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )30‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2x -1‬‬ ‫‪ xy – y = x ⇒ xy – x = y ⇒ x(y-1) = y‬‬ ‫‪2x -1‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪y‬‬ ‫(‪(f◦g)(x) = f‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪2x -1‬‬ ‫‪ x = y - 1‬‬ ‫‪4x -8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⇒‬ ‫)‪f -1(x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4x -8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2x-13‬‬ ‫‪2x -13‬‬ ‫يمكن إثبات أن )‪ f(x‬هو اقتران عكسي لنفسه ببيان أن‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(f◦f )(x) = x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(f◦g)(x‬‬ ‫=‬ ‫‪4x -8‬‬ ‫=‬ ‫‪-4‬‬ ‫⇒‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫=‬ ‫‪-8x‬‬ ‫‪+52‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2x-13‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ))‪(f◦f )(x) = f(f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫÷‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪-1‬‬ ‫=‬ ‫‪x-1-1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫÷‬ ‫)‪x-(x-1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫÷‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫الدرس ‪:4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x-1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫×‪x-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ) 1‬ليس له اقتران عكسي؛ لأنه ليس اقتران واحد لواحد‪.‬‬ ‫‪ )20‬رســم المســتقيم ‪ ،y = x‬ثم تعيين صور بعض النقاط بالانعكاس‬ ‫الزوجان الأول والثاني فيهما المسقط الثاني نفسه ‪6‬‬ ‫ ‬ ‫حول المســتقيم ‪ ،y = x‬مثل‪ )0, 6( :‬وانعكاسها (‪ ،)6, 0‬والنقطة‬ ‫(‪ )4, -2‬وانعكاسها (‪ ،)-2, 4‬والنقطة (‪ )2, 4‬وانعكاسها (‪،)4, 2‬‬ ‫له اقتران عكسي؛ لأنه اقتران واحد لواحد‪.‬‬ ‫‪ )2‬‬ ‫ ‬ ‫ثم الوصل بينها بخط متصل‪ ،‬فينتج الشكل المجاور‪.‬‬ ‫})‪h-1 = {(0, 0), (1, 1), (16, 2), (81, 3‬‬ ‫مجال )‪ ، 0 ≤ x ≤ 4 :f(x‬ومداه‪-2 ≤ x ≤ 6 :‬‬ ‫ ‬ ‫مجال )‪ ،-2 ≤ x ≤ 6 :f-1(x‬ومداه‪0 ≤ y ≤ 4 :‬‬ ‫ ‬ ‫له اقتران عكسي؛ لأنه اقتران واحد لواحد‪.‬‬ ‫‪) 3‬‬ ‫‪6y‬‬ ‫‪B f -1 A‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪13 7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ليس له اقتران عكسي؛ لأنه ليس اقتران واحد لواحد‪.‬‬ ‫‪) 4‬‬ ‫العنصران ‪ -3‬و‪ 3‬لهما الصورة نفسها ‪3‬‬ ‫ ‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪17) (f◦g)(x) =(-3+ √x - 2+3 + 2 = x – 2 + 2 = x‬‬ ‫‪ (g◦f )(x) =-3+ √(x + 3)2 +2-2 = -3 +(x + 3) = x‬‬ ‫إذن‪ ،‬كل من الاقترانين )‪ f(x), g(x‬هو اقتران عكسي للآخر‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪53H‬‬

‫‪ )26‬بما أن للاقتران )‪ f(x‬صف ًرا عندمــا ‪ ، x = 3‬فإن منحنى )‪ f(x‬يمر‬ ‫‪) 21‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫بالنقطة )‪(3, 0‬؛ لــذا فإن منحنى الاقتران العكســي )‪ f-1(x‬يمر‬ ‫‪f(x) = x2-2x +5 = x2-2x +1 +4 = (x-1)2+ 4 , -3 ≤ x ≤ 1‬‬ ‫بالنقطة )‪.(0, 3‬‬ ‫‪y =(x-1)2 + 4‬‬ ‫‪y-4 =(x-1)2‬‬ ‫‪ )27‬ستتنوع إجابات الطلبة‪.‬‬ ‫‪- √y - 4 = x - 1‬‬ ‫ ( ُأ ِخذ الجذر الســالب لأننا نتعامل هنا مع الجزء الأيسر من القطع‬ ‫إجابة محتملة‪:‬‬ ‫ ‬ ‫المكافئ)‪.‬‬ ‫‪x-7‬‬ ‫ ‬ ‫‪g(x) = 9x + 7 , g-1(x) = 9‬‬ ‫‪1- √y - 4 = x‬‬ ‫‪x-7 x-7‬‬ ‫ ‬ ‫‪(g◦g-1)(x) = g( 9 ) = 9( 9 )+7 = x -7 +7 = x‬‬ ‫‪y = 1- √x - 4‬‬ ‫‪9x+7-7 9x‬‬ ‫مجال )‪ ،4 ≤ x ≤ 20 :f -1(x‬ومداه‪-3 ≤ y ≤ 1 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪(g-1◦g)(x) = g-1(9x +7) = 9 = 9 = x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫إذن‪ ،‬ك ٌّل من الاقترانين )‪َ g(x‬و )‪ g-1(x‬هو اقتران عكسي للآخر‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪28) x = 0.6‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ )13‬لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو ‪ ، x = 2‬وخط تقارب أفقي هو‬ ‫‪10‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x -1 0 1 1.5 2.5 3 4 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪y = f(x) 1.33 2 4 8 -8 -4 -2 -1.33‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪) 22‬‬ ‫=)‪n(C‬‬ ‫‪100C-25‬‬ ‫;‬ ‫)‪n(0.5‬‬ ‫=‬ ‫‪100(0.5)-25‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫‪= 250‬‬ ‫‪mL‬‬ ‫‪0.6-C‬‬ ‫‪0.6-0.5‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫‪ )23‬نعم؛ فالاقتران العكســي ُيب ِّين كتلة الجســم بدلالة طول الزنبرك‪،‬‬ ‫وهو‪w = 2(l -3) :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫ )‪√24‬‬ ‫‪A + 800π‬‬ ‫;‬ ‫‪3‬‬ ‫‪34 567‬‬ ‫‪r(A) = -20 +‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 1 2‬‬ ‫‪√2000 + 800π‬‬ ‫‪ r(2000) = -20 + 2π ≈ 6.8 cm‬‬ ‫‪ 25) f -1(x) = x3‬المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪2‬؛ أي }‪.{x|x ≠ 2‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪0‬؛ أي }‪.{y|y ≠ 0‬‬ ‫‪y f-1 (x) = x3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪18) g-1(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1 ,‬‬ ‫‪x≠2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x-2‬‬ ‫‪2 f(x) = x‬‬ ‫‪19) (f◦f )(x) = 16x -15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1 0 1 2 3 4 5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪53I‬‬

‫المجال‪{x|-2 ≤ x ≤ 2} :‬‬ ‫‪) 6‬‬ ‫ )‪20‬‬ ‫‪(g◦f‬‬ ‫)‪)(x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫المدى‪{y|-3 ≤ y ≤ 19} :‬‬ ‫‪4x-2‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 21) f-1(x) = -x2 + 4, x ≥ 0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ مجال )‪ f(x‬هو ‪ x ≤ 4‬أو الفتــرة ]‪ ،(-∞, 4‬ومداه هو ‪ y ≥ 0‬أو‬ ‫‪16‬‬ ‫الفترة )∞ ‪[0,‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ مجــال )‪ f-1(x‬هو ‪ x ≥ 0‬أو الفتــرة )∞ ‪ ،[0,‬ومداه هو ‪ y ≤ 4‬أو‬ ‫الفترة ]‪(-∞, 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ )22‬عنــد تنفيذ الزيادة ‪ x‬م َّرة ســتقل مبيعات المحــل بمقدار ‪،100x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫وتصبح كميــة المبيعات ‪ ،3500- 100x‬وســعر العلبة الواحدة‬ ‫‪-3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12 3 4 x‬‬ ‫‪ ،0.75 + 0.05x‬ويكون الدخل‪:‬‬ ‫)‪R(x) = (0.75 +0.05x)(3500 -100x‬‬ ‫‪R(x) = 2625 +100x -5x2‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‬ ‫‪ )7‬‬ ‫وهذا قطع مكافئ مفتوح إلى الأسفل‪ ،‬وله قيمة عظمى عند رأسه‪.‬‬ ‫ ‬ ‫المدى‪ {y | y≤ 16} :‬أو ]‪(-∞, 16‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الإحداثي ‪ x‬للرأس هو‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-100‬‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(-5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫إذن‪ ،‬سعر العلبة الذي يحقق أعلى دخل أسبوعي هو‪:‬‬ ‫‪0.75 + 10(0.05) = 1.25‬‬ ‫‪12‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين‪-‬الدرس ‪:1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ) 1‬ليس كثير حدود لأن أس المتغير ‪ x‬في الحد الثاني سالب‪.‬‬ ‫‪ )2‬كثير حدود‪ ،‬درجته ‪ ،3‬معامله الرئيس‪ ،5-‬الحد الثابت‪ ،1-‬صورته‬ ‫‪-5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪f(x) = -5x3 + 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫القياسية هي‪x2+7x -1 :‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪24‬‬ ‫الثابت‬ ‫‪ ،-‬الحد‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ ،1‬معامله الرئيــس‬ ‫‪ )3‬كثيــر حدود‪ ،‬درجته‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫صورته القياسية هي‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪24‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‬ ‫‪ )8‬‬ ‫‪ )4‬ليس كثير حدود لأنه يحتوي مقدار جذري‪.‬‬ ‫المدى‪ {y | y≥-10} :‬أو )∞ ‪[-2100,‬‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ )5‬المجال‪{x|-2≤ x ≤ 3} :‬‬ ‫‪40‬‬ ‫المدى‪{y|-21≤ y ≤ 49} :‬‬ ‫ ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-2 0‬‬ ‫‪2 4x‬‬ ‫‪-3 -2 -1‬‬ ‫‪1 2 3 4x‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪53J‬‬

‫له خط تقارب رأسي هو ‪x = -2‬‬ ‫‪) 6‬‬ ‫‪ )17‬‬ ‫ ‬ ‫وله خط تقارب أفقي هو ‪y = 5‬‬ ‫ ‬ ‫‪xx‬‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫ ‬ ‫المجال‪{x | x ≠ -2} :‬‬ ‫‪24 - 2x‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ 5‬أي }‪{y|y ≠ 5‬‬ ‫‪A(x) = x(24-2x) = 24x - 2x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-b‬‬ ‫=‬ ‫‪-24‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫هو‬ ‫للرأس‬ ‫‪x‬‬ ‫الإحداثي‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪2(-2‬‬ ‫ ‬ ‫‪y=5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x = -2‬‬ ‫أكبر مساحة ممكنة هي‪:‬‬ ‫‪A(6) = 24(6) - 2(6)2 = 72 m2‬‬ ‫‪-6 -4 -2 0 1 x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين‪-‬الدرس ‪:2‬‬ ‫المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪-2, 2‬‬ ‫باقي القسمة هو )‪ )7 (k-6‬‬ ‫‪) 3‬‬ ‫أي‪{x|x ≠ -2, x ≠ 2} :‬‬ ‫ ‬ ‫‪ k-6 = 8 ⇒ k = 14‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ]‪(0, 1‬‬ ‫‪ )4‬‬ ‫أي‪ (-∞,0] :‬أو )∞ ‪(1,‬‬ ‫باقي القسمة هو ‪ ،(c+9) -18 + 3‬ويجب أن يكون الباقي صف ًرا ‬ ‫‪ (c+9) = 0 -18 + 3‬‬ ‫ ‬ ‫له خطا تقارب رأسيان هما‪x = -2, x = 2 :‬‬ ‫‪ -6 + (c+9) = 0 ⇒ c = -3‬‬ ‫ ‬ ‫له خط تقارب أفقي هو ‪y = 1‬‬ ‫ ‬ ‫له خط تقارب هو ‪y = 0‬‬ ‫له خط تقارب رأسي هو ‪ x = 1‬‬ ‫‪ )5‬‬ ‫ ‬ ‫وله خط تقارب أفقي هو ‪y = 4‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ )8‬المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪-1, 1‬‬ ‫المجال‪{x | x ≠ 1} :‬‬ ‫أي‪{x|x≠ -1, x ≠ 1} :‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ 4‬أي }‪{y|y ≠ 4‬‬ ‫المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية‬ ‫ ‬ ‫‪y‬‬ ‫له خطا تقارب رأسيان هما‪x = -1, x = 1:‬‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ )9‬المجال ‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ 3‬أي }‪{x|x ≠ 3‬‬ ‫‪y=4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ المــدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على ‪ 5‬أي }‪{y|y > 5‬‬ ‫أو الفترة )∞ ‪(5,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫‪-2 0‬‬ ‫‪2 4x‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ )10‬المجال‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ‪ -2‬أي }‪{x | x≠ -2‬‬ ‫ المدى‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على ‪ 3‬أي }‪ {y|y > 3‬أو‬ ‫الفترة )∞ ‪(3,‬‬ ‫‪53K‬‬

‫ملحق الإجابات‬ ‫تتنوع الإجابات‪ .‬إجابة محتملة‪:‬‬ ‫ )‪) 22 11‬‬ ‫)‪50(5‬‬ ‫‪C(5) = 52 + 25 = 5mg/dL‬‬ ‫‪f(x)= 2x2- 4 ; g(x) = √x + 7‬‬ ‫ ‬ ‫‪50t‬‬ ‫أو ‪f(x)= 2x2 ; g(x)= √x -4 +7‬‬ ‫ )‪11‬‬ ‫‪C(t) = 4 ⇒ t2 + 25 = 4 ⇒ 4t2-50t + 100 = 0‬‬ ‫ ‬ ‫‪t = 2.5, t = 10‬‬ ‫ )‪23‬‬ ‫=)‪x = 4(100 – p) ⇒ C(p‬‬ ‫)‪8 √(100-p‬‬ ‫‪+ 600‬‬ ‫إذن‪ ،‬يكون تركيز المضاد الحيوي في دم المريض ‪ 4 mg/dL‬بعد ‪ 2.5‬ساعة‬ ‫‪0.5‬‬ ‫من تناوله‪ ،‬وبعد ‪ 10‬ساعات من تناوله‪.‬‬ ‫‪ C(19) = 744‬‬ ‫)‪13) a‬‬ ‫)‪ P(0‬‬ ‫=‬ ‫))‪72(l + 0.6(0‬‬ ‫‪= 24‬‬ ‫)‪3 + 0.02(0‬‬ ‫)‪13) b‬‬ ‫إجابات كتاب التمارين‪-‬الدرس ‪:4‬‬ ‫)‪ P(30‬‬ ‫=‬ ‫))‪72(l + 0.6(30‬‬ ‫‪= 380‬‬ ‫)‪3 + 0.02(30‬‬ ‫‪x+5‬‬ ‫)‪72(l + 0.6t‬‬ ‫)‪13) c) 3 + 0.02t = 558 ⇒ 588(3+0.02t) = 72(1+0.6t‬‬ ‫‪7) f-1(x) = 3‬‬ ‫مجاله ومداه هما جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫‪ 1674+11.16t = 72+ 43.2t‬‬ ‫‪4+x‬‬ ‫‪ 1602 = 32.04t ⇒ t = 50‬‬ ‫‪8) f-1(x) = 7‬‬ ‫إذن‪ ،‬يكون عدد الحشرات ‪ 558‬بعد ‪ 50‬شهر من نقلها إلى المحمية‪.‬‬ ‫مجاله ومداه هما جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫إجابات كتاب التمارين‪-‬الدرس ‪:3‬‬ ‫‪9) f-1(x) = √x -3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫مجاله‪ ،[3, ∞) :‬ومداه الأعداد الحقيقية غير السالبة أو )∞ ‪[0,‬‬ ‫ )‪17‬‬ ‫(‪k◦h(x) = k‬‬ ‫=)‬ ‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√5 - x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ ‬ ‫‪10) f-1(x) = 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مجاله‪ ،( - ∞, 5] :‬ومداه الأعداد الحقيقية غير السالبة أو )∞ ‪[0,‬‬ ‫ ‬ ‫‪2+x‬‬ ‫‪+x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6x‬‬ ‫ )‪18‬‬ ‫)‪h◦k(x‬‬ ‫=‬ ‫(‪h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫‪11) f-1(x) = 1-2x‬‬ ‫أو‬ ‫‪-3‬‬ ‫باســتثناء‬ ‫الأعداد الحقيقية‬ ‫‪ ،{x‬ومداه‬ ‫|‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪1‬‬ ‫ مجالــه‪} :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫}‪{y|y ≠ -3‬‬ ‫= ‬ ‫×‪=2‬‬ ‫‪= 2x‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪8x‬‬ ‫‪ )19‬تتنــوع الإجابات‪ .‬إجابة محتملــة‪ f(x)= x6 ; g(x) = x +1 :‬أو‬ ‫‪ f(x) = x3 ; g(x) = x2 +1‬وغيرها‪.‬‬ ‫‪12) f-1(x) = 1+4x‬‬ ‫أو‬ ‫‪2‬‬ ‫باســتثناء‬ ‫الحقيقية‬ ‫الأعداد‬ ‫ومداه‬ ‫‪،{x‬‬ ‫|‬ ‫‪x‬‬ ‫≠‬ ‫‪-1‬‬ ‫}‬ ‫ مجالــه‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫}‪{y | y ≠ 2‬‬ ‫‪ )20‬تتنوع الإجابات‪ .‬إجابة محتملة‪f(x)= x+ 1 ; g(x) = 4x2 :‬‬ ‫= )‪13) f-1(x‬‬ ‫‪x2 - 6x + 10‬‬ ‫أو ‪ f(x)= 2x+2 ; g(x)= x2‬وغيرها‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫ مجاله‪ :‬جميــع الأعداد الحقيقية التي لا تقــل عن ‪ 3‬أي )∞ ‪،[3,‬‬ ‫‪ )21‬تتنوع الإجابات‪ .‬إجابة محتملة‪f(x) = x- 5 ; g(x) = 2x2 :‬‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)∞‬ ‫أي‬ ‫‪1‬‬ ‫عن‬ ‫ومداه الأعداد الحقيقية التي لا تقل‬ ‫أو ‪f(x) = (x-5)2 ; g(x) = 2x‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪53L‬‬

‫ )‪√20‬‬ ‫‪A‬‬ ‫= )‪14) f-1(x‬‬ ‫‪x2 + 10x + 23‬‬ ‫= )‪r(A‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ √‬ ‫‪250‬‬ ‫≈‬ ‫ مجاله‪ :‬جميع الأعداد الحقيقية التي لا تقل عن ‪ -5‬أي )∞ ‪،[-5,‬‬ ‫=)‪r(250‬‬ ‫‪8.92‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪π‬‬ ‫[‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫أي)∞‬ ‫‪-2‬‬ ‫عن‬ ‫تقل‬ ‫لا‬ ‫التي‬ ‫الحقيقية‬ ‫الأعداد‬ ‫ومداه‬ ‫ملحق الإجابات‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ )‪21‬‬ ‫)‪l(T‬‬ ‫=‬ ‫‪9.8 T 2‬‬ ‫‪(x +1)3 + 2‬‬ ‫‪4π2‬‬ ‫= )‪15) f-1(x‬‬ ‫‪9.8 (3) 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ l(3)= 4π2 ≈ 2.23 m‬‬ ‫مجاله ومداه جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫= )‪ 16) f-1(x‬إجابات كتاب التمارين‪-‬الدرس ‪:5‬‬ ‫‪3-(x-1)3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مجاله ومداه جميع الأعداد الحقيقية‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ )‪17‬‬ ‫‪17) (f◦h)(x) = 2(5x + 2)-5 = 10x-1 ≠ x‬‬ ‫لا يكون أي منهما اقترا ًنا عكس ًيا للآخر‬ ‫ ‬ ‫= )‪18) (f◦h)(x‬‬ ‫) ‪2 ( 5x‬‬ ‫‪2-3x‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫‪3( 2-3x ) + 5‬‬ ‫ ‬ ‫=‬ ‫‪10x‬‬ ‫÷‬ ‫‪15x‬‬ ‫‪+ 10 -‬‬ ‫‪15x‬‬ ‫ ‬ ‫‪2-3x‬‬ ‫‪2-3x‬‬ ‫=‬ ‫‪10x‬‬ ‫÷‬ ‫‪2-3x‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪2-3x‬‬ ‫‪10‬‬ ‫وأي ًضا يمكن أن نبين أن ‪(h◦f )(x) = x‬‬ ‫ ‬ ‫إذن‪ ،‬كل من )‪ f(x), h(x‬هو اقتران عكسي للآخر‪.‬‬ ‫ ‬ ‫‪x2 - 6‬‬ ‫‪19) f-1(x) = 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f-1(x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2 -1‬‬ ‫‪1 2 3 4 x5 6‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪53M‬‬