สื่อการคูณเมทริกซ์ 2-62

ส่ือการเรียนการสอน วชิ าคณติ ศาสตร์อุตสาหกรรม (20000 - 1402) โดย ครูสมส่ง พลู ผล

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง เป็ นการนาจานวนจริงไปคูณสมาชิก ทุกตัวของ เมทริกซ์น้ัน ส่ วนการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์น้ัน เป็ นการนา สมาชิกในแถวของเมทริกซ์ตวั ต้ังไปคูณกบั สมาชิกในหลักของเมทริกซ์ตัวคูณ โดยท่ีเมทริกซ์สองเมทริกซ์จะคูณกันได้ เม่ือจานวนหลักของเมทริกซ์ตัวต้ัง ต้องเท่ากบั จานวนแถวของเมทริกซ์ทเี่ ป็ นตวั คูณ

 การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง  การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ ผลการเรียนรู้ทค่ี าดหวงั  คูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริงได้  คูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ได้  แก้ปัญหาในสถานการณ์จริง โดยใช้ความรู้ เรื่อง การคูณเมทริกซ์ได้  นาความรู้และทกั ษะทไ่ี ด้จากการเรียน เร่ือง การคูณของเมทริกซ์ ไปเช่ือมโยงในการเรียนรู้งานอาชีพ และในการดารงชีวติ ได้

บทนิยาม ถ้า A = [aij]m x n และ k เป็ นจานวนจริง แล้วผลคูณของ k และ A เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ kA โดยท่ี kA = [kaij]m x n ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดให้  3 2  5 จงหา 5A A   8 1 0 วธิ ีทา  3 2  5 5 A   5  8 1 0   53 52 15 10   5  5 40 25 5 A    5 8  51 50   5 0 

กาหนดให้ A= 2 4 5 , B= 2 3 6  3 0 1  1 2  0 จงหา 3A + (-2)B วธิ ีทา 3A =  (3)  (2) (3)(4) (3)(5)  = 6 12 15 (3)(0) (3)(-1) 9 0 3 (3)(3) (-2)B = (-2) 2 3 6 = 4 6 12  0 1 2 0 2 4 3A + (-2)B = 6 12 15  + 4 6 12 0 2     9 3 0 4  ดงั น้ัน 3A + (-2)B = 10 6 3 2    9 1

กาหนด A =  1 6 และ B =  4  2 8  6   2  10   จงหา 2A + 1 B 2 2A = 2  1 6    2 8  = .2.. 1..2.  .1..6  4... 1B = 1 4  2   2 2  6 10  =  .2.. .1..    .3.. ..5.  2A + 1 B = .2.. 1..2. +  .2.. .1.. =  0... 1..1.  .1..6    .1..1 2  4...  3... .5..   7...

พจิ ารณาตารางข้างล่างนี้ เป็ นข้อมูลเกยี่ วกบั การขายมังคุด (หน่วยเป็ นกโิ ลกรัม) ของร้านป้ าเรือง และร้านลงุ วนั จาแนกตามขนาดของมังคุด ร้าน ขนาด ใหญ่ กลาง เลก็ ป้ าเรือง 6 4 10 ลุงวนั 5 6 9 ให้ A เป็ นเมทริกซ์ทมี่ สี มาชิกเป็ นจานวนมงั คุดทข่ี ายไป ใหญ่ กลาง เลก็ 10 ร้านป้ าเรือง A = 6 4   5 6 9  ร้านลุงวนั

ถ้าร้านท้งั สองซื้อมงั คุดมาในราคาทเี่ ท่ากนั (ราคาซื้อต่อกโิ ลกรัม) และขายไปในราคา ทเี่ ท่ากนั (ราคาขายต่อกโิ ลกรัม) จาแนกตามขนาดของมงั คุด ขนาด ราคา/กโิ ลกรัม ราคาซื้อ ราคาขาย 30 40 ใหญ่ 20 25 กลาง 15 20 เลก็ ให้ A เป็ นเมทริกซ์ทมี่ สี มาชิกเป็ นจานวนมงั คุดทข่ี ายไป B เป็ นเมทริกซ์ทม่ี สี มาชิกเป็ นราคาซื้อต่อกโิ ลกรัม และ ราคาขายต่อกโิ ลกรัม ราคาซื้อ ราคาขาย  30 40 ใหญ่   ดงั น้ัน B=  20 25  กลาง 15 20 เลก็

หาผลรวมราคาซื้อและราคาขายมงั คุดของแต่ละร้าน ดงั นี้ 6 4 10 30 40 ราคาซื้อ (ป้ าเรือง) = (6 × 30) + (4 × 20) + (10 × 15) 5 6 20 25 9  15 20 = 180 + 80 + 150  = 410 บาท ราคาซื้อ (ร้านลุงวนั ) = (5 × 30) + (6 × 20) + (9 × 15) 6 4 10 30 40 = 150 + 120 + 135 5 6 9  20 25 = 405 บาท 15 20

หาผลรวมราคาซื้อและราคาขายมังคุดของแต่ละร้าน ดงั นี้ 6 4 10 30 40 ราคาขาย (ป้ าเรือง) = (6 × 40) + (4 × 25) + (10 × 20) 5 6 20 25 9  15 20 = 240 + 100 + 200  = 540 บาท ราคาขาย (ร้านลงุ วนั ) = (5 × 40) + (6 × 25) + (9 × 20) 6 4 10 30 40 = 200 + 150 + 180 5 6 9  20 25 = 530 บาท 15 20

ให้ C เป็ นเมทริกซ์ทม่ี ีสมาชิกเป็ นผลรวมของราคาซื้อและราคาขายของแต่ละร้าน ดงั นี้ ราคาซื้อ ราคาขาย C =  410 540 ร้านป้ าเรือง    405 530  ร้านลุงวนั จะเห็นได้ว่า C เป็ นผลคูณของเมทริกซ์ A กบั เมทริกซ์ B หรือ AB = C น่ันคอื 6 4 10 30 40  410 540  5 6 20   9  15 25 =  405 530   20

ถ้า A = [aij]mn และ B = [bij]np แล้วผลคูณของเมทริกซ์ A และ B คอื AB = C = [cij] mp โดยท่ี cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj เมอ่ื i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, p A ×B = C m×n n×p m×p ข้อสังเกต : จากนิยามการคูณ AB จะหาได้กต็ ่อเมอ่ื จานวนหลกั ของเมทริกซ์ A เท่ากบั จานวนแถวของเมทริกซ์ B และผลคูณจะเป็ นเมทริกซ์ทมี่ จี านวนแถวเท่ากบั จานวนแถว ของเมทริกซ์ A และมจี านวนหลกั เท่ากบั จานวนหลกั ของเมทริกซ์ B

กาหนดให้ A= 2 3 และ B = 3 3 และ C = 5 4 2 3 2  2  จงหา AB , BA , AC และ CA วธิ ีทา AB = 2 3 3 3 2 3 2  2  =  2(3)  (3)(2) 2(3) 3(2)       2(3)  (3)(2) 2(3)  (3)(2)  =  66 6  6 มาหา BA กนั เถอะ 6  6 6  6   = 0 0 0 0

กาหนดให้ A = 2 3 และ B = 3 3 และ C = 5 4 2 3 2  2  จงหา AB , BA , AC และ CA วธิ ีทา BA = 3 3 2 3 2  2 3 2  = 3(2)(3)(2) 3(3) 3(3)     2(2)2(2) 2(3)(2)(3)  =  66 99  จะเห็นว่า AB  BA 4  4 6  6 = 12 18  8 12

กาหนดให้ A = 2 3 และ B = 3 3 และ C = 5 4 = 2 3 2  2  จงหา AB , BA , AC และ CA วธิ ีทา AC = 2 3 5 4 2 3 เน่ืองจากเมทริกซ์ A มติ ิ 2 × 2 เมทริกซ์ C มติ ิ 1 × 2 จะเห็นว่าจานวนหลกั ของ เมทริกซ์ A ไม่เท่ากบั จานวนแถวของเมทริกซ์ C ดงั น้ัน AC ไม่สามารถหาผลคูณได้ CA = 5 4 2 3 2 3 = 52  42 53  43 = 10 8 15 12 = 2 3 ข้อสังเกต : ถ้า AB = 0 แล้ว A หรือ B ไม่จาเป็ นต้องเท่ากบั 0

กาหนดให้ A = 3 2 , B = 4 1 และ C= 5 3 2  6  จงหา AC , BC , AC + BC , A + B และ (A + B)C วธิ ีทา 1) AC = 3 2 5 3 3) AC + BC = 19 3 + 22 6 2  = 41 3 6  4) A + B = 3 2 + 4 1 = 35  22 33  26 = 7 3 = 19 3 2) BC = 4 1 5 3 2  6  = 45 12 43 16 = 22 6

กาหนดให้ A = 3 2 , B = 4 1 และ C= 5 3 2  6  จงหา AC , BC , AC + BC , A + B และ (A + B)C วธิ ีทา 5) (A + B)C = 7 3 5 3 2 6  = 75  32 73  36 = 41 3 ข้อสังเกต : จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่า ( A+ B ) C = AC + BC

กกาำหหนนดด A = 2 1 B = 1 5 C = 3 2 และ I= 1 0 3 4 , 0 2 ,  4 0 1  6 จงหา 1 5 3 2 0 2  6 4  AB = 2 1 1 5  BC = 3 4 0 2 = .2.. 1..2. = 2..7. .2..2 .3.. 2..3. 1..2. ..8.   (AB)C = 2... 1..2. 3 2  A(BC) = 2 1 2..7. .2..2 3... 2..3.  4 3 4 1..2.. ..8.  6 = 6..6. .5..2 = 6.6.. .5..2 1.2..9 .9..8 12..9. .9..8

กกาำหหนนดด A = 2 1 B = 1 5 C = 3 2 และ I= 1 0 3 4 , 0 2 ,  4 0 1  6  AI = 2 1 1 0 จากการทากจิ กรรมท่ี 7.2 3 4 0 1 นักเรียนพบข้อสรุป อะไรบ้าง =  .2.. .1..     .3.. .4..   IA = 1 0 2 1 0 1 3 4 1. (AB)C = A(BC) =  .2.. .1..  2. AI = IA = A    .3.. .4.. 

ถ้า A, B, C และ In เป็ นเมทริกซ์ทส่ี ามารถบวกและคูณกนั ได้  AB เป็ นเมทริกซ์  (AB)C = A(BC)  A(B + C) = AB + AC  (A + B)C = AC + BC  InA = AIn = A

กาหนด 1 0 1 และ = 1 1 2 A = 2 0  B 2 1 และ 1   1  1 1 3   1 1 1 จงหา 1) (AB)t 2) BtAt 1 0 1 1 1 2 2 0 1  0  2   3 วธิ ีทา 1) AB =    2 1   1 1  =  1     5  6 6 1 1 3   1 1 1   3    (AB)t = 2 0 1 t 2 1 3  3  =  3     1 5  0 6    6 6    3  1 5 6 

1 0 1 1 1 2 กาหนด A = 2 0  และ B = 2 1 และ 1   1  1 1 3   1 1 1 จงหา 1) (AB)t 2) BtAt 1 1 2t 1 0 1t    วธิ ีทา 2) BtAt =    1 2 1   2 0 1      1   1 1 1  1 3  1 1 1  1 2 1 2 1 3        =  1 2 1  0 0 1 =  0 3 6     1    2 1  1 1 3  1 5 6   หมายเหตุ : จะได้ว่า (AB)t = Bt At

ให้ A = [aij] nn ถ้า At = A จะเรียก A ว่าเป็ น เมทริกซ์สมมาตร  3 1 0 ถ้า A เป็ นเมทริกซ์สมมาตร และ k เป็ นจานวนจริงใด ๆ   เช่น A= 2  1 3   โดยที่ k  0 จะได้ว่า    0 3 5   3 1 0 1) kA เป็ นเมทริกซ์สมมาตร   2) AAt = AtA จะได้ At =  3) A2 เป็ นเมทริกซ์สมมาตร (A2 = AA)  1 2 3  0 3 5  ดงั น้ัน A เป็ นเมทริกซ์สมมาตร

ให้ A = [aij] nn ถ้า At = - A จะเรียก A ว่าเป็ น เมทริกซ์เสมอื นสมมาตร 0 2 5   เช่น A=   ถ้า A เป็ นเมทริกซ์เสมอื นสมมาตร และ k  0  2 0 4  เป็ นจานวนจริงใดๆ จะได้ว่า 1) kA เป็ นเมทริกซ์เสมอื นสมมาตร  5 4 0  2) AAt = AtA   3) A2 เป็ นเมทริกซ์สมมาตร ถ้า A เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสแล้ว จะได้ว่า 0 2 5 1) A + At เป็ นเมทริกซ์สมมาตร   2) A – At เป็ นเมทริกซ์เสมอื นสมมาตร จะได้ At =    2 0 4   5 4 0    0 2 5  = ( -1 )    2 0 4   5 4 0    ดงั น้ัน A เป็ นเมทริกซ์เสมอื นสมมาตร

(1) เมทริกซ์ทจ่ี ะเป็ นเมทริกซ์สมมาตร หรือเสมอื นสมมาตรได้ จะต้องเป็ น เมทริกซ์จัตุรัส (2) สมาชิกของแนวเส้นทแยงจากซ้ายบนลงมาขวาล่างของเมทริกซ์เสมอื น สมมาตรเป็ นศูนย์ทุกตวั สมบตั เิ กย่ี วกบั การทรานสโพสเมทริกซ์ ถ้า A, B เป็ นเมทริกซ์ทส่ี ามารถบวกและคูณกนั ได้ และ k เป็ นจานวนจริงใด ๆ 1) (At)t = A 2) (A + B)t = At + Bt 3) (AB)t = Bt At 4) (kA)t = kAt 5) (At)n = (An)t เมอ่ื n เป็ นจานวนเตม็ บวก และ A เป็ นเมทริกซ์จัตุรัส

 การคูณเมทริกซ์ ด้วยจานวนจริง ให้ นาจานวนจริง คูณสมาชิกทุกตวั ของเมทริกซ์  การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ จะต้องพจิ ารณาท่ีมิติหรือ ขนาดของเมทริกซ์ กล่าวคือ เมทริกซ์ A จะคูณกับเมทริกซ์ B ได้กต็ ่อเม่ือจานวนหลกั ของเมทริกซ์ A เท่ากบั จานวนแถวของ เมทริกซ์ B โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ A คูณกับเมทริกซ์ B อาจไม่ เท่ากับเมทริกซ์ B คูณเมทริกซ์ A และ ถ้า AB = 0 แล้ว A หรือ B ไม่จาเป็ นต้องเท่ากบั 0