ลำดับและอนุกรม ebook

หนงั สือแบบฝึ กหัด เรื่อง ลำดบั เลขคณิต และลำดับเรขำคณติ

2 สำรบัญ เรื่อง หน้ำ 1. ลำดบั (Sequence) ...................................................................................................................................3 2. ลำดบั เลขคณิต (Arithmetic Sequence) ..................................................................................................6 3. ขอ้ สงั เกตลำดบั เลขคณิต.......................................................................................................................12 3.1 ควำมสมั พนั ธ์ระหว่ำงพจน์ต่ำง ๆ ของลำดบั เลขคณิต .................................................................12 3.2 กำรหำจำนวนพจนข์ องลำดบั เลขคณิต.........................................................................................16 3.3 กำรหำจำนวนพจน์ของลำดบั เลขคณิต โดยใชแ้ ผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์เขำ้ ช่วย......................18 3.4 กำรหำพจนก์ ลำงของลำดบั เลขคณิตที่มอี ยู่ 3 พจน์ ......................................................................20 3.5 กำรหำพจนท์ อ่ี ยรู่ ะหว่ำง 2 พจนใ์ ด ๆ ของลำดบั เลขคณิต เม่ือทรำบจำนวนพจน์ .......................24 3.6 กำรสร้ำงพจน์ของลำดบั เลขคณิตแบบสมมำตร...........................................................................25 4. ลำดบั เรขำคณิต (Geometric sequence)................................................................................................29 5. ขอ้ สงั เกตลำดบั เรขำคณิต .....................................................................................................................37 5.1 ควำมสมั พนั ธ์ระหว่ำงพจน์ต่ำง ๆ ของลำดบั เรขำคณิต................................................................37

3 ลำดับเลขคณิต และลำดับเรขำคณติ 1. ลำดบั (Sequence) ลำดับ คอื ฟังกช์ นั ทม่ี โี ดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก โดยท่ี ถำ้ เป็นจำนวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวำ่ ลำดบั จำกดั ถำ้ เป็นจำนวนเตม็ บวกไมจ่ ำกดั จำนวน เรียกวำ่ ลำดับอนนั ต์ ตวั อยำ่ ง ฟังก์ชนั f = (1, 5), (2, 10), (3, 15) มีโดเมนเป็น.. 1, 2, 3.. ฟังกช์ นั g = (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10),... มโี ดเมนเป็น…………… ฟังก์ชนั h = (0, 4), (1, 5), (3, 7) มโี ดเมนเป็น……………. **ลำดบั จะ fix โดเมนดงั น้นั เรำสำมำรถเขียนเฉพำะเรนจไ์ ด้ เช่น ถำ้ f เป็นลำดบั ใด ๆ จะเขียนลำดบั ไดเ้ ป็น f = (1, f (1)), (2, f (2)), (3, f (3)),...,(n, f (n)),... แต่โดยทวั่ ไป จะนิยมเขียนลำดบั ให้อยใู่ นรูป f (1), f (2), f (3), ..., f (n), ... โดยเรียก f (1) ว่ำ พจน์ท่ี 1 f (2) ว่ำ พจน์ที่ 2 f (3) ว่ำ พจนท์ ี่ 3 f (n) วำ่ พจนท์ ่ี n พจน์ท่ัวไป (พจน์ที่ n) ของลำดบั จะอยใู่ นรูปสมกำรทแ่ี สดงถงึ กฎเกณฑท์ ่ใี ชใ้ นกำรจบั คู่กนั ระหว่ำงคำ่ ของโดเมนและเรนจข์ องแตล่ ะคูอ่ นั ดบั ทอี่ ยใู่ นฟังกช์ นั เช่น

4 f (n) = n2 จะได้ f (1) =12 =1 f (2) = 22 = 4 f (3) = 32 = 9 ตวั อย่ำงที่ 1 จงเขยี นลำดบั f = (n, f (n)) f (n) = 2n +1;n + ให้เป็นแบบแจกแจง f = (1, 2(1) +1), (2, 2(2) +1), (3, 2(3) +1), .... วธิ ีทำ f = (1, 3), (2, 5), (3, 7),... ตวั อย่ำงที่ 2 จงเขยี นลำดบั ที่กำหนดให้ต่อไปน้ีในรูปแบบบอกเงื่อนไข 1. 2, 4, 6, 8, 10, ..., f (n), ... 2. 1, 8, 27, 64, 125, ..., f (n), ...  f = (n, f (n)) f (n) = 2n; n  + โดยทวั่ ไปจะนิยมใช้สัญลกั ษณ์ an แทน f (n) เช่น ลำดบั จำกดั 2, 4, 6, 8, 10, ...,50 เขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปทว่ั ไปไดเ้ ป็น an = 2n ตวั อย่ำงท่ี 3 ลำดบั ต่อไปน้ีเป็นลำดบั อนนั ตห์ รือลำดบั จำกดั 1. 4, 8, 16, 32, ..., 400 2. 2, 4, 6, 8, ...,1, 000 3. −10, − 8, − 6, − 4, − 2 4. 10, 20, 30, ...,10(n), ... 5. an = 1 ; n = 1, 2, 3, ..., 20 6. an = 2n−1 2n 7. an = cos a 8. an = 4n2 −1 n 9. an = 3n2 −1 ; n = 1, 2, 3, ...,10 10. an = n 1 + ( −1)n  n 

5 ตวั อย่ำงที่ 4 จงหำ 5 พจนแ์ รกของลำดบั 1. an = 4n2 −1 2. an = 1 2 2n a1 = 4 (1)2 −1 = 3 2 2 a2 = 4(2)2 −1 = 15 2 2 a3 = 4 (3)2 −1 = 35 2 2 a4 = 4(4)2 −1 = 63 2 2 a5 = 4(5)2 −1 = 99 2 2 ตัวอย่ำงท่ี 5 จงเขยี นลำดบั ต่อไปน้ี เมอื่ กำหนดพจน์ท่ี n ให้ 1. an = n − 2 2. an = 1 n2 ตอบ −1, 0, 1, ... 3. an = n +1 4. an = 2n2 −1 2 5. an = n3 +1 6. an = n2 − 4 n +1 n−2 7. an = n 8. an = 3 n2 +1 9. an = ( −1)n 1 10. an = ( )−1 n+1 7 n+3 n2 + 4

6 2n ; n  Even+  n +1 ; n  Even+  ; n  Odd + 11. an =  ; n  Odd + 12. an =  2 5n2 −1  2n −1  2  3 2. ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) ลำดับเลขคณิต คือ ลำดบั ซ่ึงผลตำ่ งระหวำ่ งสองพจนท์ อ่ี ยตู่ ิดกนั มคี ำ่ คงตวั เสมอ เรียกคำ่ คงตวั ว่ำ ผลตำ่ งร่วม เขียนแทนดว้ ย d นนั่ คือ เมอื่ a1, a2, a3, ...,an เป็นลำดบั เลขคณิต ก็ตอ่ เมอื่ a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = ... = an − an−1 = d เช่น ลำดบั 1, 2, 3, 4, 5 เป็นลำดบั เลขคณิตที่มี a1 = และ d = ลำดบั 2, 4, 6, 8, 10 เป็นลำดบั เลขคณิตที่มี a1 = และ d = ลำดบั 3, 7, 5, 11, 15, 19 เป็นลำดบั เลขคณิตทม่ี ี a1 = และ d = ลำดบั 3, 0, − 3, − 6, − 9, ... เป็นลำดบั เลขคณิตที่มี a1 = และ d = ลำดบั 5, 6, 8, 11, 15, ... พบว่ำ a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d an = a1 + (n −1) d ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไปของลำดบั เลขคณิต คอื an = a1 + (n −1) d เช่น a10 = a1 + 9d a15 = a1 +14d a20 = a1 +19d a39 = a1 + 38d

7 จะเห็นวำ่ ส่ิงสำคญั ในกำรสร้ำงพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั เลขคณิต คอื ตอ้ งทรำบ a1 และ d ตัวอย่ำงท่ี 6 กำหนดพจน์แรกและผลต่ำงร่วมของลำดบั เลขคณิต จงหำพจน์ถดั ไปอีก 4 พจน์ 1. a1 = 7, d = 2 2. a1 = −8, d = 3 7, 9, 11, 13, 15 3. a1 = 12, d = −4 4. a1 = −5, d = 4 5. a1 = 12, d = −4 6. a1 = −4.5, d = 1.5 7. a1 = x + a, d = −5a 8. a1 = 2 − 3x, d = x +1 ตวั อย่ำงที่ 7 จงเขยี น 3 พจนถ์ ดั ไปของลำดบั เลขคณิต และบอกผลต่ำงร่วม 1. 2, 6, 10, 14, 18, 22 d =4 2. 1, 6, 11, 3. −7, − 5, − 3, 4. −9, − 5, −1, 5. 20, 15, 10, 6. −1, − 1 , 0, 2 7. 8, 5, 2, 8. 3 , 1, 1 , 22 9. −7, − 3, 1, 10. 16, 11, 6,

8 ตัวอย่ำงที่ 8 กำหนดพจน์ท่ี 2 และผลตำ่ งร่วม จงหำพจน์แรกและพจน์ที่ 3 ของลำดบั เลขคณิต 1. a2 = 5, d = 3 2. a2 = 8, d = 5 3. a2 = −7, d = 4 4. a2 = −4, d = −4 5. a2 = −1, d = 6 6. a2 = 0, d = −7 ตวั อย่ำงท่ี 9 กำหนดพจนท์ ่ี 4 และผลตำ่ งร่วมของลำดบั เลขคณิต จงหำ 3 พจน์แรกของลำดบั 1. a4 = 6, d = 4 2. a4 = −2, d = 3 3. a4 = 5, d = −3 4. a4 = −1, d = −5 5. a4 = −3.4, d = 0.5 6. a4 = 4.8, d = −1.2 7. a4 = 3a + 2b, d = b − a 8. a4 = x − 3y, d = 3x + y ตัวอย่ำงท่ี 10 กำหนดพจน์แรกและควำมสัมพนั ธ์ระหว่ำงพจนท์ ่ี n+1 กบั พจนท์ ่ี n จงหำพจน์ ที่ 2 และพจนท์ ี่ 3 พร้อมท้งั บอกว่ำลำดบั ทไ่ี ดเ้ ป็นลำดบั เลขคณิตหรือไม่ 1. a1 = 4, an+1 = 2an 2. a1 = −5, an+1 = an2

3. a1 = 1, an+1 = (an −1)2 9 5. a1 = −3, an+1 = an + 5 4. a1 = 3, an+1 = (an − 2)2 7. a1 = −52, an+1 = 2an + 3 6. a1 = 11, an+1 = an − 7 8. a1 = 18, an+1 = 5an −13 ตวั อย่ำงที่ 11 ลำดบั ใดตอ่ ไปน้ีเป็นลำดบั เลขคณิต สำหรบั ลำดบั ท่เี ป็นลำดบั เลขคณิต จงหำ รูปทวั่ ไป 1. 2, 5, 8, 11, ... 2. 4, 2, 0, − 2, ... 3. 1, 3, 6, 10, ... 4. 2, 6, 18, 54, ... 5. 3, 8, 13, 18, 23, 28, ... 6. 20, 18, 16, 14, 12, ...

10 8. 1, 11, 111, 1111, ... 7. 4, 4, 4, 4, ... 9. 5, −10, 15, − 20, 30, − 35, ... 10. 1, −1, 1, −1, 1, ... 11. 1, 1 2, 1 2 3, 1  3 4, ... 12. 4, − 2, 1, − 1 , ... 2 ตัวอย่ำงท่ี 12 จงหำคำตอบ 1. จงเขียน 4 พจน์ถดั ไปของลำดบั เลขคณิต 4, 7, 10, ... พร้อมหำรูปทว่ั ไป 2. จงหำพจน์ท่ี 20 ของลำดบั เลขคณิตต่อไปน้ี 2. 11, 13 1 , 16, ... 1. −2, 4, 10, ... 2

11 3. x, x + 2, x + 4, ... 3. จงหำพจนท์ ี่ n(an ) ของลำดบั เลขคณิต เมอื่ กำหนดสิ่งตอ่ ไปน้ีให้ 1. พจนท์ ี่ 4 เม่ือกำหนด a1 = 8, d = 3 2. พจนท์ ี่ 10 เมอื่ a1 = 4, d = −2 3. พจนท์ ่ี 8 เมื่อ a1 = −2, d = −5 4. พจน์ท่ี 15 เม่อื a1 = −3, d = 8 4. กำหนดลำดบั เลขคณิต 4, 8, 12, 16, ...จงหำ 2. พจนท์ วั่ ไป 1. พจนท์ ี่ 10

12 3. พจนท์ เ่ี ท่ำใดมีคำ่ เท่ำกบั 100 5. ถำ้ พจนท์ ี่ 1 และพจน์ที่ 3 ของลำดบั เลขคณิต คือ 5 และ 15 ตำมลำดบั จงหำ 1. พจน์ท่ี 5 2. พจนท์ วั่ ไป 3. พจนท์ ่เี ทำ่ ใดมคี ่ำเท่ำกบั 225 6. 112 เป็นพจนท์ เ่ี ท่ำใดของลำดบั 2x, 8x, 10x + 8, ... 3. ข้อสังเกตลำดบั เลขคณิต 3.1 ควำมสัมพนั ธ์ระหว่ำงพจน์ต่ำง ๆ ของลำดับเลขคณติ สังเกตควำมสมั พนั ธ์ระหวำ่ งลำดบั เลขคณิตพจน์ที่ n กบั พจน์อ่ืน ๆ ดงั น้ี an = a1 + (n −1) d = a2 + (n − 2) d = a3 + (n − 3) d =...= ax + (n − x) d เช่น a10 = a1 + 9d = a2 + 8d = a3 + 7d =...= a9 + d

13 ตวั อย่ำงที่ 13 จงหำพจน์ทว่ั ไปจำกพจนท์ ี่กำหนดให้ 2. a6 = 25 และ a20 = 81 1. a7 = 10 และ a13 = −2 3. a6 = 50 และ a4 = 155 4. a11 = 75 และ a16 = 25 2 5. a4 = 21 และ a51 = −355 6. a7 = 7b + 5c และ a11 = 11b + 9c

14 ตวั อย่ำงท่ี 14 จงหำคำตอบ 1. ลำดบั เลขคณิตชุดหน่ึงมพี จน์ที่ 42 เท่ำกบั -95 และผลต่ำงร่วมเท่ำกบั −5 จงหำพจนท์ ี่ 2 54 ของลำดบั เลขคณิต 2. ลำดบั เลขคณิตชุดหน่ึงมพี จนท์ ่ี 5 เท่ำกบั 15 ละพจนท์ ี่ 36 เทำ่ กบั 77 จงหำผลตำ่ งร่วม ของลำดบั เขคณิตชุดน้ี 3. กำหนดพจน์ท่ี 10 และพจนท์ ่ี 15 ของลำดบั เลขคณิตมคี ่ำเท่ำกบั -19 และ -34 ตำมลำดบั จงหำพจน์ท่ี 50 4. ถำ้ พจนท์ ี่ 4 และพจน์ท่ี 10 ของลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึงมคี ำ่ เท่ำกบั 28 และ 70 ตำมลำดบั จงหำพจนท์ ่ี 110 ของลำดบั น้ี

15 5. กำหนดพจนท์ ี่ 5 และพจนท์ ่ี 21 ของลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึง คือ 7x − 8y และ 23x − 40y ตำมลำดบั จงหำพจน์ที่ n ของลำดบั 6. ลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึงมีพจน์ท่ี 8 เป็นสองเท่ำของพจนท์ ี่ 13 จงหำว่ำพจนท์ ่ี 4 เป็น สองเทำ่ ของพจน์ที่เท่ำใด 7. ในลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึง ถำ้ am = x และ an = y โดยที่ m  n จงหำ am+n

16 8. ในลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึง พจนท์ ี่ m(am ) เทำ่ กบั m3 และพจน์ท่ี n(an ) เท่ำกบั n3 โดยท่ี m  n จงหำพจนท์ ่ี m + n(am+n ) 3.2 กำรหำจำนวนพจน์ของลำดบั เลขคณติ จำก an = a1 + (n −1) d (n −1) d = an − a1 = an − a1 n −1 d n = an − a1 +1 d ตวั อย่ำงที่ 15 จงหำคำตอบ 1. ลำดบั เลขคณิตชุดหน่ึงคอื 5, 12, 19, 26, ..., 670 จงหำว่ำลำดบั น้ีมกี ่ีพจน์ 2. ลำดบั เลขคณิต 16, 3, −10, ..., − 240 จะมจี ำนวนพจน์เทำ่ กบั กี่พจน์

17 3. จำนวนเต็มบวกคีท่ ี่ 2 หลกั มที ้งั หมดกี่จำนวน 4. จำนวนที่อยรู่ ะหวำ่ ง 5 และ 105 ท่ีหำรดว้ ย 6 ลงตวั มีก่ีจำนวน 5. จำนวนทอ่ี ยรู่ ะหวำ่ ง 40 และ 1,008 ทหี่ ำรดว้ ย 12 ลงตวั มกี ่ีจำนวน 6. กำหนดจำนวนต้งั แต่ 10 ถึง 1,000 หำรดว้ ย 7 ลงตวั มกี ี่จำนวน

18 3.3 กำรหำจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณติ โดยใช้แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์เข้ำช่วย ตัวอย่ำงท่ี 16 กำหนดตวั เลข 200 ถงึ 1000 1. มที ้งั หมดก่ีพจนต์ ้งั แต่ 200 ถึง 1000 2. มีก่ีพจนท์ ี่หำรดว้ ย 3 ลง ตวั 3. มีกี่พจนท์ ี่หำรดว้ ย 7 ลงตวั 4. มกี ่ีพจนท์ ี่หำรดว้ ย 3 และ 7 ลงตวั 5. มีก่ีพจนท์ ่หี ำรดว้ ย 3 หรือ 7 ลงตวั 6. มีกี่พจน์ท่หี ำรดว้ ย 3 ลง ตวั แต่หำร 7 ไม่ลงตวั 7. มีกี่พจนท์ ห่ี ำรดว้ ย 7 ลงตวั แต่หำรดว้ ย 3 ไม่ลงตวั

8. มกี ่ีพจน์ทห่ี ำรดว้ ย 3 และ 7 ไม่ลงตวั 19 7 ไมล่ งตวั 9. มีก่ีพจนท์ ีห่ ำรดว้ ย 3 หรือ ตัวอย่ำงท่ี 17 จงหำคำตอบ 1. จำนวนสมำชิกในเซต 100, 101, 102, ..., 600 ซ่ึงหำรดว้ ย 8 หรือ 12 ลงตวั เท่ำกบั เทำ่ ใด 2. จำนวนเต็มบวกต้งั แต่ 75 ถึง 700 ที่ 2. เป็นจำนวนเฉพำะ 1. ไมเ่ ป็นจำนวนเฉพำะสมั พทั ธ์ สัมพทั ธ์กบั 6 3. ถำ้ p เป็นจำนวนเตม็ บวกต้งั แต่ 100 ถงึ 1500 ท่ี ห.ร.ม. ของ p กบั 21 มคี ่ำเท่ำกบั 1 แลว้ p มีท้งั หมดกี่จำนวน

20 4. ถำ้ p เป็นจำนวนเตม็ บวกต้งั แต่ 150 ถึง 2000 ท่ี ( p, 63) = 7 แลว้ p มีท้งั หมดกี่ จำนวน 5. จำนวนต้งั แต่ 0 ถึง 100 ทีไ่ ม่เป็นจำนวนเฉพำะสัมพทั ธก์ บั 15 มที ้งั หมดกี่จำนวน 3.4 กำรหำพจน์กลำงของลำดับเลขคณติ ท่ีมีอยู่ 3 พจน์ กำหนดให้ x, A, y เป็นลำดบั เลขคณิต จะได้ A−x = y−A 2A = x+ y A= x+ y 2 ตวั อย่ำงที่ 18 กำหนดให้ x, A, y เป็นลำดบั เลขคณิต จงหำค่ำ A เมื่อ 1. 5, A, 15 2. 11, A, −1

21 3. −4, A, 5 4. 10, A, −12 5. 1 , A, 1 6. 5x, A, x 8. a − b, A, a + b 48 7. − y, A, − 79 y วธิ ีน้ียงั สำรถนำไปประยกุ ตใ์ ชก้ บั กรณีลำดบั เลขคณิตท่มี ีจำนวนพจน์เป็นจำนวนค่ี โดยสำมำรถ หำพจนท์ ้งั หมดจำกคำ่ พจนก์ ลำง เช่น ลำดบั 7, a, b, c, 43 เป็นลำดบั เลขคณิตแลว้ b = 7 + 43 = 25 2 a = 7 + b = 7 + 25 = 16 22 c = b + 43 = 25 + 43 = 34 22 ดงั น้นั ลำดบั น้ี คือ 7, 16, 25, 34, 43 โดยมีผลต่ำงร่วมเป็น 9

22 ตวั อย่ำงท่ี 19 จงหำค่ำตวั แปรจำกลำดบั เลขคณิต พร้อมท้งั หำลำดบั น้นั 1. x + 2, 3x +1, 4x − 5,... 2. 3x − 4, 2x +1, 3x − 3,... 3. 5k − 3, 2k, 3k + 2,... 4. 4x +1, x2 + 5, 7x − 3,... 5. x2 − 7, 7x + 3, 3x2 −17,...

23 6. 1, a, b, − 343, ... ตัวอย่ำงที่ 20 จงหำคำตอบ 1. จงหำจำนวนท่ีอยรู่ ะหวำ่ ง 4 และ 10 ทที่ ำใหจ้ ำนวนท้งั สำมน้นั เป็นพจน์สำมพจนเ์ รียงกนั ใน ลำดบั เลขคณิต 2. ถำ้ พจน์ที่ 1 และพจน์ท่ี 5 ของลำดบั เลขคณิต คือ 1 และ 25 ตำมลำดบั จงหำพจนท์ อี่ ยรู่ ะหวำ่ ง พจน์ท่ี 1 และ พจนท์ ี่ 5 3. ถำ้ 9, w, x, y 21 เป็นลำดบั เลขคณิต จงหำคำ่ ของ w+ x − y

24 3.5 กำรหำพจน์ทีอ่ ย่รู ะหว่ำง 2 พจน์ใด ๆ ของลำดบั เลขคณิต เม่ือทรำบจำนวนพจน์ เมื่อทรำบพจน์แรก, พจน์สุดทำ้ ย และทรำบวำ่ ระหวำ่ งพจน์แรกและพจนส์ ุดทำ้ ยมจี ำนวนลำดบั เท่ำใด สำมำรถหำลำดบั ท้งั หมด โดยกำรอำศยั หลกั กำรดงั น้ี 1. หำผลตำ่ งร่วม (d) ให้ไดก้ ่อน เช่น ถำ้ พจนแ์ รกเป็น x และพจน์สุดทำ้ ยเป็น y ของลำดบั เลขคณิต โดยมีจำนวนพจนท์ ่ีอยรู่ ะหวำ่ งพจน์แรกและพจน์สุดทำ้ ยจำนวน k พจน์ x , 1 , 2 , 3 , ... , k , y ดงั น้นั จำนวนพจน์ท้งั หมดจะเป็น k + 2 พจน์ (รวม x และ y ดว้ ย) จำก an = a1 + (n −1) d (n −1) d = an − a1 d = an − a1 n −1 หรือกลำ่ วไดว้ ำ่ ช่องว่ำงระหวำ่ งพจน์ต่ำง ๆ จะมี k +1ช่วง ดงั น้นั จึงหำระยะช่วงว่ำงไดจ้ ำก ผลต่ำงของพจนแ์ รกกบั พจนส์ ุดทำ้ ยหำรดว้ ยจำนวนช่วงว่ำงนน่ั เอง 2. เมื่อทรำบ d แลว้ สำมำรถนำไปหำพจน์ทกุ พจน์ของลำดบั เลขคณิตได้ โดย x , x + d , x + 2d , x + 3d , ... , y ตวั อย่ำงท่ี 21 จงหำคำตอบ 1. ถ้ำ −7, x, 9 เป็นลำดบั เลขคณติ จงหำ x 2. ถ้ำ −8, x, y, 13 เป็นลำดบั เลขคณติ จงหำ x และ y 3. ถ้ำ −5, a, b, c, 11 เป็นลำดบั เลขคณติ จงหำ a,b และ c

25 ตัวอย่ำงท่ี 22 จงหำพจน์กลำงระหว่ำง 2 พจน์ของลำดบั เลขคณิตท่กี ำหนดให้ 1. 3 พจน์ระหว่ำง 9 และ 11 2. 4 พจนร์ ะหวำ่ ง 9 และ 34 3. 6 พจนร์ ะหวำ่ ง 10 และ 24 4. 4พจน์ระหว่ำง -8 และ 9 ตวั อย่ำงที่ 23 จงหำจำนวนมำเติมในชอ่ งว่ำงแล้วทำให้เป็นลำดบั เลขคณิต 1. 3, ......., 15, ......., ....... 2. −25, ......., ......., ......., − 7 3. −2, ......., 10, ......., ....... 4. ......., 7, ......, ......., −14 5. ......., 40, ......, ......., 19 6. ......., ......., 21.5, ......., 10.5 3.6 กำรสร้ำงพจน์ของลำดับเลขคณิตแบบสมมำตร ในกรณีทเ่ี รำตอ้ งสมมติเลขคณิตข้ึนมำ 1 ชุด เพื่อใชใ้ นกำรคำนวณตำ่ ง ๆ กำรสมมตติ อ้ งอำศยั หลกั กำรสมมำตร เพอื่ ให้กำรแทนค่ำทีเ่ กิดข้ึนมกี ำรหักลำ้ ของตวั แปรบำงตวั ไปได้ โดยมีหลกั กำรสมมติ ตวั แปรดงั น้ี

26 1. ถำ้ ลำดบั ทก่ี ำหนดมีจำนวนพจนเ์ ป็นจำนวนคี่ ให้สมมตลิ ำดบั เลขคณิตทมี่ พี จนก์ ลำงเป็น a มีพจน์กลำงอยู่ 1 พจน์ ..., a − 3d, a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... เม่ือ a เป็นค่ำคงตวั ท่ีเป็นพจน์กลำง ไม่ใช่พจน์ที่ 1 และ d เป็นผลต่ำงร่วม 2. ถำ้ ลำดบั ท่กี ำหนดมจี ำนวนพจนเ์ ป็นจำนวนคู่ ใหส้ มมติลำดบั เลขคณิตทมี่ พี จน์กลำงเป็น a −d และ a+d มพี จน์กลำงอยู่ 2 พจน์ ..., a − 5d, a − 3d, a − d, a + d, a + 3d, a + 5d, ... เม่ือ a เป็นค่ำคงตวั ทเ่ี ป็นพจน์กลำง ไมใ่ ช่พจน์ที่ 1 และ 2d เป็นผลต่ำงร่วม ตวั อย่ำงที่ 24 จงหำคำตอบ 1. จงหำจำนวนจริง 3 จำนวนทเี่ รียงกนั แบบลำดบั เลขคณิต ซ่ึงมผี ลบวกของพจนส์ ำมพจน์ตดิ กนั เทำ่ กบั 30 และผลคูณของพจนท์ ้งั สำมเทำ่ กบั 910 2. จงหำจำนวนจริง 3 จำนวนที่เรียงกนั แบบลำดบั เลขคณิต มีผลบวกของพจนท์ ้งั สำมเท่ำกบั 141 และมผี ลคณู ของท้งั สำมพจนเ์ ท่ำกบั 103,776

27 3. ถำ้ a, b, c, d เป็นลำดบั เลขคณิต ซ่ึงมผี ลต่ำงร่วมเป็นจำนวนจริงบวก และพจนท์ ี่มคี ำ่ มำก ที่สุดเทำ่ กบั 110 ซ่ึงท้งั 4 พจนบ์ วกกนั ไดเ้ ทำ่ กบั 116 จงหำพจนท์ ว่ั ไป 4. ผลบวกของ 5 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณิตหน่ึง เท่ำกบั 315 และผลต่ำงของพจน์ท่ี 5 ลบดว้ ย พจนแ์ รกเทำ่ กบั 28 จงหำลำดบั น้ี 5. ผลบวกของ 3 พจน์แรกของลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึงเท่ำกบั 111 และผลตำ่ งของกำลงั สองของ พจนท์ สี่ ำมลบดว้ ยกำลงั สองของพจนแ์ รกเท่ำกบั 1,776 จงหำพจนท์ ี่ 10 ของลำดบั น้ี

28 6. ผลบวกของ 5 พจน์แรกในลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึงเทำ่ กบั 30 และผลบวกของกำลงั สองของ 5 พจนน์ ้ีเท่ำกบั 220 จงหำพจน์ที่ 10 ของลำดบั น้ี 7. ลำดบั เลขคณิตลำดบั หน่ึงมี 21 พจน์ ผลบวกของ 3 พจนก์ ลำงเท่ำกบั 129 และผลบวกของ 3 พจนส์ ุดทำ้ ยเทำ่ กบั 237 จงหำลำดบั น้ี 8. ถำ้ เป็นพจน์ 4 พจน์ที่เรียงกนั ในลำดบั เลขคณิต โดยท่ี x เป็นพจน์แรกของลำดบั ถำ้ y + z = −1 และ z + w = −7 จงหำคำ่ สัมบูรณ์ของพจนท์ ี่ 5 ของลำดบั

29 4. ลำดับเรขำคณิต (Geometric sequence) ลำดบั เรขำคณิต คือ ลำดบั ซ่ึงอตั รำส่วนร่วมของสองพจน์ท่อี ยตู่ ิดกนั มีคำ่ คงตวั เสมอ เรียกคำ่ คง ตวั น้นั วำ่ อัตรำส่วนร่วม (common ratio) เขียนแทนดว้ ย r นน่ั คอื a1, a2, a3, ...,an, ... เป็นลำดบั เลข คณิต กต็ ่อเมอื่ a2 , a3 , a4 , ..., an = r เช่น a1 a2 a3 an−1 ลำดบั 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... เป็นลำดบั เรขำคณิตท่มี ี a1 = ....... และ r = ....... เป็นลำดบั เรขำคณิตทม่ี ี a1 = ....... และ ลำดบั −2, 2, − 2, 2, − 2, ... r = ....... เป็นลำดบั เรขำคณิตท่มี ี a1 = ....... และ ลำดบั 3, 30, 300, 3000, 30000, ... r = ....... ลำดบั 27, 9, 3, 1, 1 , 1 , 1 , 1 , ... เป็นลำดบั เรขำคณิตท่มี ี a1 = ....... และ 3 9 27 81 r = ....... ไมเ่ ป็นลำดบั เรขำคณิต เพรำะอตั รำส่วนร่วมของแต่ ลำดบั 5, 10, 15, 20, 30, ... ละลำดบั ทอ่ี ยตู่ ดิ กนั ไมเ่ ทำ่ กนั พบวำ่ a1 = a1 a2 = a1r a1r 2 = a1r 3 a3 = a2r = a2r 2 a4 = a3r = an = a1r ( n−1) ดงั น้นั พจนท์ วั่ ไปของลำดบั เรขำคณิต คอื an = a1r ( n−1) เช่น a10 = a1r9 a15 = a1r14 a22 = a1r 21

30 จะเห็นว่ำ สิ่งสำคญั ในกำรหำพจน์ทว่ั ไปของลำดบั เรขำคณิต คือ ตอ้ งทรำบ a1 และ r ตัวอย่ำงที่ 25 จงเขียนพจนท์ ี่ 4, 5 และ 6 ของลำดบั เรขำคณิต พร้อมท้งั บอกอตั รำส่วนร่วม 1. 1, − 3, 9, ......., ......., ....... r = ..................... 2. 3, 6, 2 3, ......., ......., ....... r = ..................... 3. 2, − 2, 2, ......., ......., ....... r = ..................... 4. 5, 0.5, 0.05, ......., ......., ....... r = ..................... 5. 2, 6, 18, ......., ......., ....... r = ..................... 6. 4, −12, 36, ......., ......., ....... r = ..................... 7. 5, 5, 5, ......., ......., ....... r = ..................... 8. 27 , 9 , 3, ......., ......., ....... r = ..................... 42 9. 2 , 4 , 8 , ......., ......., ....... r = ..................... r = ..................... 3 9 27 10. 2, 20, 200, ......., ......., ....... ตัวอย่ำงท่ี 26 ลำดบั ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ีเป็นลำดบั เลขคณิต หรือเรขำคณิต จงระบุ r หรือ d ของลำดบั 1. 1, 3, 7, 15, ... 2. 1, 0, 1, 0, ... 3. 1, −1, 1, −1, ... 4. 1, 1, 1, 1, ... 5. 6, − 6, 6, ... 6. 7, 10, 13,... 7. 4, 2, 0, − 2, ... 8. 2, − 4, 8, −16, ... 9. − 1 , 1 , − 1 , 1 , ... 10. 16, 8, 4, 2, ... 22 22

31 11. 1 , 1 , 1 , ... 12. − 1 , − 2 , − 1 , ... 2 8 32 452 13. 2, 2, 2 2, 4, ... 14. −3, 1, 1 , 1 , ... 39 15. 5, −1, 1 , ... 16. 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 18. a, abc, ab2c2, ab3c3, ... 5 17. 1, a2, a4, a6, ... 19. a − b, a, a + b, a + 2b, ... ตวั อย่ำงท่ี 27 กำหนดพจน์แรกและอตั รำส่วนร่วม จงเขยี นลำดบั เรขำคณิต 1. a1 = 6, r = 6 2. a1 = 36, r = 6 3. a1 = 9, r = 3 4. a1 = 27, r = 3 5. a1 = 1 , r = 1 6. a1 = 2 , r = 2 2 2 3 3

32 8. a1 = 2, r = 3 7. a1 = 1, r = 4 9. a1 = 1 , r = −3 10. a1 = 81 , r = 2 2 8 3 ตวั อย่ำงท่ี 28 กำหนดพจน์แรกและอตั รำส่วนร่วม จงหำพจน์ท่ี n ของลำดบั เรขำคณิต 1. a1 = 3, r = −2, n = 5 2. a1 = 20, r = −1, n = 21 3. a1 = 2, r = − 1 , n = 10 4. a1 = −3, r = 1 , n = 5 2 4 ตวั อย่ำงที่ 29 จงหำพจน์ท่ี n ของลำดบั ตอ่ ไปน้ี 1. −2, − 4, − 8, ... 2. 30, − 3, 0.3, ...

33 3. 0.0002, 0.02, 2, ... 4. 10, − 5, 5 , ... 5. 1 , 5 , 25 , ... 2 44 4 6. 1 , 1, 4, ... 4 7. 1 , − 1 , 1 , ... 8. 1 , − 3 , 9 , − 27 ... 16 8 4 2 22 2 9. p p2 p3 10. ab4, a2b2, a3b, ... , , , ... 3 6 12 ตัวอย่ำงที่ 30 เมื่อกำหนดพจนท์ ว่ั ไปให้ จงพจิ ำรณำวำ่ ลำดบั ต่อไปน้ีเป็นลำดบั เลขคณิตหรือ เรขำคณิต 2. an = 3 + 4n 1. an = 2n−1

34 3. an = 2 4. an = 2n − 3 3n 2 5. an =  − 2 n  3  ตัวอย่ำงที่ 31 จงหำพจนท์ ่ี 10 ของลำดบั เรขำคณิตต่อไปน้ี 1. 2, 4, 8, ... 2. 10, − 5, 5 , ... 2 3. 7, 21, 63, ... 4. −2, 1, − 1 , ... 2 5. 1 , − 1 , 1 , ... 4 12 36

35 ตัวอย่ำงที่ 32 ถำ้ พจนท์ ่ี 1 และพจน์ที่ 5 ของลำดบั เรขำคณิต คือ 3 และ 768 ตำมลำดบั จงหำ 1. พจนท์ ี่ 10 2. พจนท์ วั่ ไป 3. 192 เป็นพจน์ทเ่ี ท่ำใด ตวั อย่ำงท่ี 33 จงหำคำตอบ 1. จงหำพจนท์ ี่ 10 ของลำดบั เรขำคณิต 8, 2, 1 , ... 2 2. จงหำพจน์ที่ 5 และพจนท์ ่ี 8 ของลำดบั 64, − 32, 16, ... 3. จงหำพจน์ที่ 5 ของลำดบั เรขำคณิตคือ 36 และอตั รำส่วนร่วมเท่ำกบั 2 จงหำพจนแ์ รก

36 4. ลำดบั เรขำคณิตชุดหน่ึงมีพจนท์ ่ี 3 เทำ่ กบั 27 และอตั รำส่วนร่วมเทำ่ กบั 3 จงหำพจน์ที่ 1 64 4 5. พจนท์ ี่ 5 ของลำดบั เรขำคณิตลำดบั หน่ึงเท่ำกบั 3 และอตั รำส่วนร่วมเทำ่ กบั 2 จงหำพจน์ 43 แรกของลำดบั 6. ลำดบั เรขำคณิตท่ีมพี จน์ท่ี 1 เป็น 1 และพจน์ที่ 7 เป็น 1 จงหำอตั รำส่วนร่วม 2 128 7. 512 เป็นพจนท์ ี่เทำ่ ใดของลำดบั เรขำคณิต 1 , − 1 , 2 , ... 3 24 6 3

37 8. จงหำจำนวนจริง x ที่นำไปบวกแต่ละพจนข์ องลำดบั 3, 10, 24 แลว้ ทำให้ลำดบั ใหมเ่ ป็น ลำดบั เรขำคณิต 9. จงหำจำนวนจริง k ทีน่ ำไปบวกในแต่ละพจนข์ องลำดบั 5, 59, 437 แลว้ ทำใหล้ ำดบั ใหม่ เป็นลำดบั เรขำคณิต 5. ข้อสังเกตลำดบั เรขำคณิต 5.1 ควำมสัมพนั ธ์ระหว่ำงพจน์ต่ำง ๆ ของลำดับเรขำคณิต สังเกตควำมสพั นั ธ์ระหว่ำงลำดบั เรขำคณิตพจน์ท่ี n กบั พจนอ์ ่ืน ๆ ดงั น้ี an = a1rn−1 = a2rn−2 = a3rn−3 = a4rn−4 = ... = axrn−x เช่น a10 = a1r9 = a2r8 = a3r7 = a4r6 = ... = a9r ตัวอย่ำงท่ี 34 กำหนดให้ลำดบั เรขำคณิตมี a3 = 1 , r = 5 จงหำคำ่ ของ 1. พจน์ที่ 7 25 2. พจนท์ ่ี 9

38 ตวั อย่ำงที่ 35 จงหำคำตอบ 1. ลำดบั เรขำคณิตลำดบั หน่ึงมีพจน์ที่ 3 มคี ำ่ เป็น 3 เท่ำของพจน์แรก และพจน์ท่ี 4 มีค่ำเท่ำกบั 81 จงหำพจนท์ ่ี 5 2. ลำดบั เรขำคณิตชุดหน่ึงมพี จนท์ ่ี 7 เทำ่ กบั 1 และพจน์ท่ี 3 เท่ำกบั 1 จงหำอตั รำส่วนร่วม 1458 18 ของลำดบั เรขำคณิตชุดน้ี

39