อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั Derivative of function

ความชนั ของเสน้ โคง้ Slope • ให้ y = f (x) เป็นสมการเสน้ โคง้ P(a, b) เป็นจดุ บนเสน้ โคง้ และ Q(a + h, b + k ) เป็นจดุ อกี จดุ หน่งึ บนเสน้ โคง้ เดยี วกนั โดยท่ี h  0 ดงั รูป

• ความชนั ของสว่ นของ เสน้ ตรง PQ เท่ากบั (b + k) − b = k (a + h) − a h • ดงั น้นั ความชนั ของส่วน ของเสน้ ตรง PQ เป็น f (a + h)− f (a) h

• ดงั น้นั ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ี จุด P จะมีค่าเท่ากบั f (a + h)− f (a) lim h→0 h

นิยาม ถา้ y = f ( x) เป็นสมการของเสน้ โคง้ เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ท่ีจุด P(x, y) ใด ๆ จะเป็นเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด P และมีความชนั เท่ากบั f (x + h)− f (x) lim h→0 h (ถา้ ลิมิตหาค่าได)้ เรียกลิมิตที่ไดน้ ้ีวา่ “อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ที่ x ” เขียนแทนดว้ ย f (x)

สูตรการหาอนุพนั ธ์

1. ถา้ f ( x) = c เมอ่ื c เป็นค่าคงตวั แลว้ f (x) = 0 • เช่น y = 7 ดงั นนั้ dy = d (7) = 0 dx dx

2. ถา้ f ( x) = x แลว้ f (x) =1 • เช่น y = x แลว้ dy = d ( x) = 1 dx dx

3. ถา้ f (x) = xn เมอ่ื n เป็นค่าคงตวั แลว้ f (x) = nxn−1 • ( )เช่น y = x5 แลว้ dy = d x5 = 5x5−1 = 5x4 dx dx

4. ถา้ g และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้ ( f + g ) ( x) = f ( x) + g( x) • เช่น y = x2 + x4 แลว้ dy = d ( x2 ) + d ( x4 ) dx dx dx dy = 2x + 4x3 dx

5. ถา้ f และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้ ( f − g ) ( x) = f ( x) − g( x) • เช่น y = x − x3 แลว้ dy = d ( x) − d ( x3 ) dx dx dx dy = 1− 3x2 dx

6. ถา้ c เป็นค่าคงตวั และ f หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้ (cf ) (x) = c( f (x)) • เช่น y = x3 + 2x2 − x แลว้ dy = d  x3 + 2x2 −  3 dx dx  3 x   dy = 1 d ( x3 ) + 2 d ( x2 ) − d ( x) dx 3 dx dx dx dy = 1 (3x2 ) + 2(2x) −1 dx 3 dy = x2 + 4x −1 dx

7. ถา้ f และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้ ( fg) (x) = f (x) g(x) + g (x) f (x) • เช่น y = ( x2 −1)( x3 ) แลว้ dy = d ( x2 −1)( x3 ) dx dx dy (= x2 −1) d ( x3 ) + ( x3 ) d ( x2 −1) dx dx dx dy = ( x2 −1)(3x2 ) + ( x3 )(2x) dx dy = 5x4 − 3x2 dx

8. ถา้ f และ g หาอนุพนั ธไ์ ดท้ ่ี x แลว้  f  ( x) = g ( x) f (x)− f ( x) g(x)  g    (g (x))2 • เช่น y = x2 แลว้ dy = (2x −1)(2x) − x2 (2) 2x −1 dx (2x −1)2 dy = 4x2 − 2x − 2x2 dx (2x −1)2 dy = 2x2 dx (2x −1)2