cara-jitu-menguasai-olimpiade-matematika-smp

BAGIAN II TINGKAT PROVINSI OLIMPIADE SAINS TINGKAT PROVINSI DIREKTORAT PENDIDIKAN LANJUTAN PERTAMA DIREKTORAT JENDRAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BIDANG STUDI : MATEMATIKA PETUNJUK TES ISIAN SINGKAT (TAHAP I) 1. Tes terdiri atas 25 soal. Waktu yang disediakan 150 menit. 2. Skor setiap butir soal yang dijawab benar adalah 1 dan bobot setiap soal nilainya sama. 3. Tuliskan nama, asal sekolah dan nomor peserta anda di sebelah kanan atas pada setiap lembar jawaban. 4. Tuliskan jawaban pada lembar jawaban yang telah disediakan. 5. Segala macam bentuk buram yang dilakukan oleh Anda harap dikumpulkan pada pengawas untuk diJadi,kan tinjauan penilaian. 6. Jawaban hendaknya anda tuliskan dengan menggunakan tinta bukan pensil. 7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan dan alat bantu hitung (kalkulator). Anda jugaaa tidak diperkenankan bekerjasama. 8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah pengawas memberi tanda. 9. Ukuran pada gambar tidak mewakili pada ukuran sebenarnya. 10. Selamat bekerja.

SOAL PEMBAHASAN TAHAP I TINGKAT PROVINSI TAHAP I SOAL ISIAN SINGKAT 1. Nilai dari 3 82  ... 2. Didefinisikan bahwa (a * b) = a2 + 4ab + b2 . Maka nilai dari 4*(3)  ... a+b 3. Sisa pembagian dari 7100 oleh 16 adalah … 4. Yanti menghabiskan Rp. 2.000 untuk membeli 3 bungkus kacang dan 4 bungkus keripik, sedangkan Triana membeli 6 bungkus kacang dan 2 bungkus kripik dengan menghabiskan Rp. 2.350 pada warung Anda. Maka harga sebungkus keripik adalah … 5. Diketahui a dan b adalah bilangan asli dimana faktor persekutuan terbesar dari a dan b adalah 3, dan a = 0, 4 . Hasil dari ab = ... b 6. [1] [2] [3] Diberikan pola barisan dari kiri ke kanan. Banyak bulatan pada gambar ke-n adalah ... 7. Suatu keluarga mempunyai 5 orang anak. Anak termuda berumur setengah dari anak tertua sedang 3 anak lainnya berturut-turut berumur lebih dari 2 tahun dari termuda, lebih 4 tahun dari termuda dan kurang 3 tahun dari tertua. Bila rata-rata hitung umur mereka adalah 16, maka umur anak tertua adalah ... 8. Sejumlah siswa di sekolah X harus menyumbang uang sebanyak Rp. 96.000. Setiap siswa harus memberi iuran yang sama. Kemudian ternyata bahwa 4 siswa

tidak membayar. Untuk menutupi kekurangannya siswa yang lainnya harus menambah iurannya masing-masing Rp. 2.000. Jumlah siswa yang membayar adalah ... 9. Dari 100 siswa, 39 diantaranya gemar olahraga. Diantara penggemar olah raga tersebut 11 siswa juga gemar bermain musik. Jika ternyata 32 siswa tidak gemar olah raga maupun musik, maka banyaknya penggemar musik di antara 100 siswa tersebut adalah ... 10. Bila penduduk Jawa Tengah adalah 25 % dari penduduk pulau Jawa dan 15 % dari penduduk Indonesia. Penduduk Indonesia yang tinggal di luar pulau jawa ... %. 11. Gambar dibawah adalah penampang sebuah saluran air yang berbentuk lingkaran dengan diameter 10 cm dan lebar permukaan airnya adalah 5 cm. Tinggi permukaan air dan luas penampang air berturut-turut adalah ... Lebar tinggi 12. Di samping adalah gambar tiga lingkaran dengan ukuran jari-jari yang sama dan ketiganya saling bersinggungan. Maka luas daerah yang diarsir adalah ...

13. Ketika menghitung volum suatu tabung, Sunardi melakukan kesalahan. Ia memasukan diameter alas ke dalam rumus volum tabung, padahal seharusnya jari-jari alasnya yang dimasukan. Berapa rasio hasil perhitungan Sunardi terhadap hasil yang seharusnya? 14. Diketahui AB sejajar dengan EC. Jika  BAD = 75° dan  CDE = 50°, maka  BCE = … B C D EA 15. Luas A, B dan C berturut-turut adalah 90 m2, 120 m2 dan 36 m2. Luas daerah D adalah … BD AC 16. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AC = 40 cm dan BC = 24 cm. Titik D terletak pada AB sedemikian sehingga CD = 25 cm. Jika AD = x, maka nilai x adalah ... C A DB 17. Pola ABCCDEABCCDEABCCDE ... berulang sampai tak terhingga. Huruf yang akan menempati urutan ke 2753 adalah ... 18. Sebuah bola berjari-jari 7 m menggelinding dari tembok A ke tembok B. Ternyata bola 22 itu menggelinding sebanyak 10 putaran. Berapa meter jarak antara tembok A dengan tembok B?

AB 19. Dari segitiga ABC diketahui bahwa titik A adalah perpotongan garis 2x + y – 6 = 0 dan garis 2x + 2y – 3 = 0. Koordinat B dan C berturut-turut adalah (0,1) dan (1,2). Tentukan persamaan garis tinggi dari sudut A pada segitiga tersebut! 20. Dari 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6? 21. Misalkan x dan y adalah bilangan real tidak nol. Diketahui 1 + 1 = 10 dan x + y = 40. xy Berapakah nilai xy? 22. Misalkan ABCD adalah sebuah persegi. Titik E terletak dalam persegi sedemikian sehingga segitiga ABE sama sisi. Maka besar sudut dalam AEC pada segi-4 ADCE adalah ... 23. Bentuk sederhana dari a - (b - c) adalah ... (a - b)2 - c2 24. Suatu bujur sangkar sisinya 6 cm berputar pada titik O yang merupakan titik pusat bujursangkar lain yang bersisi 4 cm. Luas bidang yang diarsir adalah ... 4 cm 6 cm 25. Sebuah segitiga sama sisi, sebuah lingkaran dan sebuah persegi memiliki keliling yang sama. Dari ketiga bangun tersebut yang memiliki luas terbesar adalah ...

PEMBAHASAN 1. 3 -82 = 3 -(23 )2 1 = (- (23)2 )3 1 = (- (2)6)3 = - (2)2 =-4 2. (a * b) = a2 + 4ab + b2  (4*(-3)) = 42 + 4(4)(-3) + (-3)2 a + b 4 + (-3) = - 23 3. Akan dicari bilangan perpangkatan 7 yang nilainya mendekati kelipatan 16. 72 = 49 mendekati 3 × 16 = 48 7100 = 7(2 × 50) = 4950 = (48 + 1)50  150 (mod 16) = 1 (mod 16) Jadi, sisa pembagian dari 7100 oleh 16 adalah 1. 4. Misalkan Sebungkus kacang = x Sebungkus keripik = y 3x + 4y = 2.000 … (1) 6x + 2y = 2.350 atau 3x + y = 1.175 … (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 3x + 4y = 2.000 3x + y = 1.175

-------------------- -- 3y = 825 y = 275 Jadi, harga sebungkus keripik adalah Rp. 275. 5. Akan dicari suatu pecahan a yang paling sederhana sehingga FPB dari a dan b adalah 1. b a = 0, 4 b =2 5 Karena FPB dari a dan b harus 3, maka a = 2×3 b 53 =6 15 Jadi, a = 6 dan b = 15 Akibatnya ab = 6(15) = 90 6. Soal ini bisa diselesaikan dengan 2 cara. Cara I Jumlah titik pada gambar di soal mengikuti pola barisan 6, 10, 15, 21, ... Perhatikan bahwa beda setiap suku tidak konstan yaitu 4, 5, 6, ... Tetapi jarak antar bedanya konstan yaitu 1. U1 = 6 U2 = U1 + 4

U3 = U2 + 5 = U1 + 4 + 5 U4 = U3 + 6 = U1 + 4 + 5 + 6 Un = U1 + 4 + 5 + 6 + … + (n + 2) 4 + 5 + 6 + … + (n + 2) adalah deret aritmatika dengan suku pertama 4, suku terakhir (n +2), beda b = 1 dan banyaknya suku (n -1) buah. Jadi, 4 + 5 + 6 + … + (n + 2) = n -1 4 + n + 2 2 = n -1 n + 6 2 = n2 + 5n - 3 22 Un = U1 + n2 + 5n - 3 22 = 6 + n2 + 5n - 3 22 = n2 + 5n + 3 22 Jadi, banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-n adalah n2 + 5n + 3 . 22 Cara II Karena setiap beda pertamanya tidak konstan sedangkan beda ke-2 nya konstan maka formula untuk Un nya berupa polinom berserajat 2. Un = an2 + bn + c U1 = a + b + c = 6 … (1) U2 = 4a + 2b + c = 10 … (2) U3 = 9a + 3b + c = 15 … (3) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

4a + 2b + c = 10 a+ b+c= 6 --------------------- -- 3a + b = 4 … (4) Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh 9a + 3b + c = 15 a+ b+c= 6 --------------------- -- 8a + 2b = 9 … (5) Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh 8a + 2b = 9 6a + 2b = 8 --------------- -- 2a = 1 a =1 2 Dari persamaan (4) diperoleh b = 4 – 3a =4- 3 2 =5 2 Dari persamaan (1) diperoleh c=6–a–b =6- 1 - 5 22

=3 Jadi, Un = an2 + bn + c = n2 + 5n + 3 22 Jadi, banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-n adalah n2 + 5n + 3 . 22 7. Misalkan urutan umur dari yang tertua sampai yang termuda adalah a, b, c, d dan e e= 1a 2 d=e+2= 1a+2 2 c=e+4= 1a+4 2 b = a-3 Karena rata-rata hitung umur mereka 16, maka a + b + c + d + e = 16 5 a + (a - 3) + (1 a + 4) + ( 1 a + 2) + 1 a  2 2 2 = 16 5  7 a + 3 = 80 2  7 a = 77 2  a = 22 Jadi, umur anak yang tertua adalah 22 tahun. 8. Misalkan n adalah banyaknya murid dan x adalah besarnya iuran yang dibebankan kepada setiap murid. Karena banyaknya murid yang tidak membayar adalah 4 orang, maka banyaknya murid yang membayar adalah (n - 4) orang.

Jadi, model persamaan matematika yang bisa dibuat dari kasus ini adalah 96.000 = (n - 4)(x) + (n - 4)(2.000) ... (1) Kemudian jumlah uang yang tidak dibayar oleh 4 murid itu harus ditanggung oleh (n - 4) murid masing-nasing Rp. 2.000, maka: 4x = (n - 4)(2.000)  x = (n - 4)(500) …(2) Dari persamaan (2) dan persamaan (1) diperoleh 96.000 = (n - 4)(n - 4)(500) + (n - 4)(2.000)  96.000 = 500(n - 4)2 + 2.000(n - 4)  192 = (n - 4)2+ 4(n - 4)  (n - 4)2+ 4(n - 4) – 192 = 0 Misalkan (n - 4) = p, maka persamaannya menjadi,  p2+ 4p – 192 = 0  (p - 12)(p + 16)  p = 12 atau p = -16  n – 4 = 12 atau n – 4 = - 16  n = 16 atau n = - 12 Karena banyaknya murid selalu positif, nilai yang memenuhi adalah n = 16. Jadi, banyaknya murid yang membayar adalah (n - 4) = 12 orang. 9. Misalkan O = Banyaknya siswa yang gemar olahraga. M = Banyaknya siswa yang gemar musik. X = Banyaknya siswa yang gemar musik saja. OM 32 28 11 X

Karena total siswa 100 orang, maka: 32 + 28 + 11 + x = 100  71 + x = 100  x = 29 Jadi, banyaknya siswa yang gemar musik saja adalah 29 orang Akibatnya banyaknya siswa yang gemar musik adalah M = 11 + x = 11 + 29 = 40 orang. 10. Misalkan X = Banyaknya penduduk Indonesia Y = Banyaknya penduduk Jawa Z = Banyaknya penduduk Jawa Tengah XY Z Z = 25 % Y = 15 % X  Y = 15% X 25%  Y = 0,6 X  Y = 60 % X  Y = 60 % X Jadi, banyaknya penduduk yang berada di luar Jawa adalah X - Y = X – 60 % X = 40 % X yaitu 40 % dari penduduk Indonesia. 11. Perhatikan gambar di bawah ini!

O 5 cm 5 cm B C A D Karena DO jari-jari, maka DO = 5 cm CD = DO – CO = DO - AO2 + AC2  52   5 2  cm = 5  2      125  cm =  5  4  =  5  5 3  cm  2  = 5 1  1 3  cm 2  Luas penampang air = Luas tembereng AB = (Luas juring OAB ) - (Luas segitiga ABO) Karena ABO adalah segitiga sama sisi, maka  AOB = 600. = [ 60 π OA2 - 1 AB (CO) ] cm2 360 2 = [ 1 π OA2 - 1 ABDO - CD ] cm2 62 = [ 1 π  25 - 1 5  5 3  ] cm2 6 2  2  = [ 25 π - 25 3 ] cm2 64 = 25 [ π 3 ] cm2 - 2 32

Jadi, tinggi penampang air dan luas penampang air berturut –turut adalah  5  5 3  cm  2  dan 25 [ π 3 ] cm2. - 2 32 12. Perhatikan gambar berikut ini! Cr rB r r rr A Karena ABC segitiga sama sisi, maka besar ketiga sudutnya adalah 600. Kemudian pandang segitiga ABC! C 2r 2r A rDr B Luas daerah yang diarsir = (Luas Segitiga ABC) – (3 × Luas juring A ) = 1  AB  CD  - 3  60  πr 2 2  360  = 1 2r 4r2 - r2 - 1 πr2 22 = r2 3 - 1 πr2 2 = r 2  3 - π   2  Jadi, luas daerah yang diarsir adalah r 2  3- π satuan luas.  2 

13. Hasil perhiitungan volum yang salah adalah π 2r2 t = 4πr2t , sedangkan hasil perhitungan volum yang sebenarnya adalah πr2t . Jadi, rasio perhitungan volum yang salah terhadap perhitungan yang sebenarnya adalah 4πr2t = 4 :1 . πr 2 t 14. Perhatikan gambar pada soal! Diketahui  BAD = 75°,  CDE = 50° Karena segitiga ABD dan segitiga ECD sebangun maka  CED =  BAD = 750 akibatnya dari segitiga ECD diperoleh  CED +  CDE +  DCE = 180°  75° + 50° +  DCE = 180°   DCE = 55° Kemudian karena  DCE dan  BCE saling berpelurus, maka:  DCE +  BCE = 180°  55° +  BCE = 180°   BCE + 55° = 180°   BCE = 125° 15. Perhatikan gambar berikut ini! S R QB D PA C Luas daerah A = P.R = 90  R = 90 … (1) P Luas daerah B = Q.R = 120  R = 120 … (2) Q Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 90 = 120  Q = 4 P PQ 3 Luas daerah C = P.S = 36  S = 36 P Luas daerah D = Q.S =  4 P   36  = 48  3   P 

Jadi, luas daerah D adalah = 48 cm2. 16. Perhatikan segitiga ABC di bawah ini! C 40 24 25 A x Dy B Misalkan BD = y, maka dari segitiga siku-siku BCD diperoleh y = 252  242 = 625  576 = 49 =7 Kemudian dari segitiga siku-siku ABC diperoleh x + y = 402  252  x + 7 = 1600  576  x + 7 = 1024  x + 7 = 32  x = 25 Jadi, nilai x adala;h 25 cm. 17. Perhatikan bahwa pola ABCCDEABCCDEABCCDE … berulang setiap kelipatan 6 (mempunyai periode 6). Jadi, huruf yang menempati urutan ke- 2753 adalah huruf yang menempati sisa pembagian 2753 oleh 6 pada deretan huruf ABCCDE. Untuk mencari sisa pembagian dari bilangan yang besar, kita gunakan konsep kongruen modulo. 2753 = 2( 3. 2 + 1 ) 53 = 2(23)2 53 = 2 (8)2 5 = 2(6 + 2)2 (6 - 1)3  2.22 (-1)3 (mod 6) = - 8 (mod 6) = - (6 + 2) (mod 6)  - 2 (mod 6) = - (6 - 4) (mod 6)  - (- 4) (mod 6) = 4 (mod 6)

Sisa pembagian 2753 oleh 6 adalah 4. Urutan ke-4 dari deretan huruf ABCCDE adalah huruf C. Jadi, karena 2753 kongruen dengan 4 (mod 6) maka huruf yang menempati urutan ke- 2753 adalah huruf C. Catatan : Untuk bilangan yang masih relatif kecil, kita bisa mencari sisa pembagian tersebut secara langsung 2753  16.000 66  2.666  4 6 Jadi, sisa pembagiannya adalah 4. 18. Perhatikan gambar di bawah ini! AC DB AB = Jarak dari tembok A ke tembok B AC = BD = Jari-jari bola = 7 cm 22 CD = Jarak yang ditempuh bola =10 Keliling = 10(2) 22 7 cm 7 22 = 20 cm AB = 2AC + CD = [ 2( 7 ) + 20 ] cm 22 = 20 7 cm 11 Jadi, jarak tembok A ke tembok B adalah 20 7 cm. 11

19. Soal ini dapat diselesaikan dengan 2 cara. Cara I Perhatikan bahwa untuk menggambar segitiga ABC pada koordinat kartesius diperlukan titik A yaitu perpotongan garis 2x + y - 6 = 0 dan garis 2x + 2y – 3 = 0. Dari kedua persamaan garis tersebut diperoleh: 2x + 2y – 3 = 0 2x + y – 6 = 0 ------------------ -- y+3=0  y=-3 2x + y – 6 = 0  2x = - y + 6  2x = 3 + 6  2x = 9  x= 9 2 Sehingga titik A adalah ( 9 , - 3) 2 Selanjutnya kita gambar segitiga ABC dengan titik B = (0, 1) dan titik C = (1, 2) pada koordinat kartesius. y 2C 9/2 D x 1B 01 -3 A Akan dicari persamaan garis AD yaitu persamaan garis yang tegak lurus dengan garis BC. Perhatikan bahwa persamaan garis BC adalah persamaan garis y = x yang digeser satu satuan ke atas. Jadi, persamaan garis BC adalah y = x + 1.

Kemudian , kedua persamaan dikatakan tegak lurus jika perkalian gradiennya adalah – 1. Misalkan gradien dari garis BC adalah m1 dan gradien dari garis AD adalah m2. Dari persamaan garis BC diperoleh y = x + 1 maka m1 = 1 m1.m2 = 1  m2(- 1) = 1  m2 = - 1 Persamaan AD melalui titik (x1, y1) = ( 9 , - 3) dan gradiennya m2 = - 1. 2 Suatu persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan gradien m2 dirumuskan sebagai y – y1 = m2(x – x1)  y – (- 3) = - 1(x - 9) 2  y+3=-x+ 9 2  2y + 6 = - 2x + 9  2x + 2y – 3 = 0 Jadi, persamaan garis AD adalah 2x + 2y – 3 = 0. Cara II Cara kedua adalah dengan jalan mencari koordinat titik D sehingga bisa dicari persamaan garis AD, karena koordinat titik A sudah diketahui. Pandang segitiga ABC pada gambar (cara I) A C DB AB =  9 2  1  32  2  = 145 4 AC =  9 12   2  32  2

= 149 4 BC = 2 12 12 =2 BC = BD + CD  2 = BD + CD  CD = 2 - BD Dari segitiga ACD diperoleh AD2 = AC2 – CD2  AD2 = 149 - ( 2 - BD)2 … (1) 4 Dari segitiga ABD diperoleh AD2 = AB2 – BD2  AD2 = 145 – BD2 … (2) 4 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 149 - ( 2 - BD)2 = 145 – BD2  149 - (BD2 - 2 2 BD + 2) = 145 – BD2 4 44 4  2 2 BD = 1  BD = 2 4 (0, 2) (1, 2) C D (0, 1) E B Karena garis BC membentuk sudut 450 terhadap garis BE, maka BE = DE BE2 + DE2 = BD2  2BE2 = ( 2 )2 4  2BE2 = 1 8  BE2 = 1 16  BE = 1 4 DE = BE

=1 4 Jadi, titik D berada pada koordinat ( 1 , 1 + 1 ) = ( 1 , 5 ) 4 4 44 Persamman garis AD yang melalui titik A = (x1, y1) = ( 9 , - 3) dan titik D = (x2, y2) = 2 ( 1 , 5 ) adalah 44 y - y1 x - x1 y + 3 x - 9 2 =  = y2 - y1 x2 - x1 5 + 3 1 - 9 4 42  y+3 = x-9 17 2 - 17 44  y+3= 9-x 2  2y + 6 = 9 - 2x  2x + 2y - 3 = 0 Jadi, persamaan AD adalah 2x + 2y – 3 = 0. 20. Misalkan xy melambangkan terambilnya kartu bernomor x dan kartu bernomor y. Jadi, xy dan yx dipandang sebagai kasus yang sama. Untuk mencari peluang, harus dicari semua ruang sampelnya di mana semua kemungkinan 2 kartu terambil, yaitu 12, 13, 14, 15, 16 23, 24, 25, 26 34, 35, 36 45, 46 56 Banyaknya ruang sampel adalah 15. Sedangkan ruang sampel yang jumlah nomornya 6 adalah 15 dan 24 Banyaknya ruang sampel yang jumlah nomornya 6 adalah 2 Jadi, peluang terambilnya 2 kartu yang jumlah nomornya 6 adalah 2 . 15

21. 1 + 1 = 10  x + y = 10 xy xy  40 = 10 xy  xy = 4 22. Perhatikan gambar berikut ini! DC E AB Karena segitiga ABE sama sisi, maka  ABE =  AEB =  BAE = 60°  BAE +  DAE = 90°  60° +  DAE = 90°   DAE = 30° Karena AE = AD, maka segitiga AED sama kaki, Akibatnya  AED =  ADE = 1800  DAE 2 = 1800  300 2 = 1500 2 = 750  CDE +  ADE = 90°   CDE + 75° = 90°   CDE = 15° Karena CE = DE, maka segitiga CDE sama kaki, Akibatnya  DCE =  CDE = 15°  DCE +  CDE +  CED = 180°  15° + 15° +  CED = 180°  30° +  CED = 180°   CED = 150° Jadi, sudut dalam AEC =  AED +  CED = 75° + 150°

= 225° 23. Penyebut dari pecahan a - (b - c) adalah bentuk x2 - y2 = (x + y)(x - y) (a - b)2 - c2 Jadi, a - (b - c) = (a - b + c) (a - b)2 - c2 (a - b + c)(a - b - c) =1 a-b-c 24. Perhatikan gambar di bawah ini! 6 cm D 4 cm C H OG 2 cm A EF B Segitiga GHO dan segitiga EFO kongruen karena GO = EO = 2 cm dan  EOF =  GOH. Luas FBHO = (Luas bangun FBGO) + (Luas segitiga GHO) = (Luas bangun FBGO) + (Luas segitiga EFO) = Luas persegi EBGO = (EB)(BG) = (2 cm)2 = 4 cm2 25. Misalkan K adalah keliling masing-masing dari segitiga sama sisi, persegi dan lingkaran.  Untuk segitiga sama sisi C SS A ½S D ½S B K = 3S  S = 1 K 3 Luas segitiga ABC = 1 (AB)(CD) 2

= 1 (S) S2 -  S 2 2  2  = SS 3  2  2  = S2 3 4  K 2 3 =  3  4 = 3 K2 Satuan luas 36  Untuk persegi DS C AB K = 4S  S = 1 K 4 Luas persegi ABCD = S2 = ( 1 K)2 4 = 1 K2 Satuan luas 16  Untuk lingkaran r K = 2 r  r= K 2π Luas lingkarean di atas = π r2 = π K2 4π2 = 1 K 2 Satuan luas 4π

Karena 3  1  1 , maka bangun yang paling luas dengan keliling yang sama adalah 36 16 4 bangun lingkaran.

OLIMPIADE SAINS TINGKAT PROVINSI DIREKTORAT PENDIDIKAN LANJUTAN PERTAMA DIREKTORAT JENDRAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BIDANG STUDI : MATEMATIKA PETUNJUK TES URAIAN (TAHAP II) 1. Tes terdiri atas 15 soal. Waktu yang disediakan 120 menit. 2. Skor setiap butir soal yang dijawab benar adalah 2 dan bobot setiap soal nilainya sama. 3. Tuliskan nama, asal sekolah dan nomor peserta anda di sebelah kanan atas pada setiap lembar jawaban. 4. Tuliskan jawaban pada lembar jawaban yang telah disediakan. 5. Apabila kotak jawab yang disediakan tidak memenuhi, makaAnda dapat meneruskannya di bagian belakang pada lembar soal dan jawaban. 6. Segala macam bentuk buram yang dilakukan oleh Anda harap dikumpulkan pada pengawas untuk diJadi,kan tinjauan penilaian. 7. Jawaban hendaknya anda tuliskan dengan menggunakan tinta bukan pensil. 8. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan dan alat bantu hitung (kalkulator). Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama. 9. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah pengawas memberi tanda. 10. Ukuran pada gambar tidak mewakili pada ukuran sebenarnya. 11. Selamat bekerja.

SOAL PEMBAHASAN TAHAP II TINGKAT PROVINSI TAHAP II SOAL URAIAN 1. Hari ini adalah hari kamis. Jatuh pada hari apakah 2007 hari yang akan datang? 2. Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan 1 bagian sirup untuk 4 bagian air. Berapa gelas minuman yang diperoleh dari sebotol sirup jika perbandingan larutan adalah 1 bagian sirup untuk 5 bagian air? 3. Dua pecahan jumlahnya 3 dan selisihnya 1 . Tentukan kedua pecahan tersebut! 4 12 4. Pilih sebuah bilangan 2 digit. Dengan membalikkan digitnya, dapat diperoleh sebuah bilangan lain. Tunjukkan bahwa selisih kedua bilangan tersebut habis dibagi 9! 5. Gambar di bawah ini adalah sebuah trapesium. Buktikan bahwa c2 = a2 + b2! R S c ac b Pb T aQ 6. Perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga PQR adalah sebuah segitiga siku-siku di titik Q. Jika panjang PQ = 16 cm, PR = 20 cm dan QS tegaklurus PR. Tentukan panjang garis QS!

P S QR 7. ABCD adalah sebuah persegi panjang dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 2 cm. Jika QD = 2 cm dan DP = 1 cm. Buktikan bahwa besar  BQP = 90°! D QC P AB 8. ABC adalah suatu segitiga dengan ukuran  BAC = 60°. Jika AF merupakan garis bagi sudut BAC, tunjukkan bahwa segitiga yang diarsir merupakan sebuah segitiga sama sisi! C E F AD B 9. Bangun ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika PQRS merupakan sebuah persegi yang luasnya 1 cm2, tentukan luas daerah segitiga ABC! B PQ AC SR 10. Lingkaran berpusat di titik asal dan berjari-jari 3 memotong sumbu x positif, sumbu y positif dan sumbu y negatif berturut-turut di titik A, B dan C. Apabila dibuat garis singgung di B sedemikian hingga garis yang melalui CA memotong garis tersebut di P. Tentukanlah koordinat titik P!

11. Kota P dan Q berjarak 160 km. Misalkan A dan B melakukan perjalanan dari arah yang berbeda. A dari Kota P menuju Kota Q dan B pada saat yang bersamaan melakukan perjalanan dari Kota Q menuju Kota P. Jika A menggunakan sepeda dengan kecepatan rata-rata 20 km/jam sedangkan B menggunakan motor dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Setelah berapa lama mereka bertemu dan pada kilometer ke berapa dari Kota P mereka bertemu? 12. Dari kelima kandidat Capres dan Cawapres Partai P, akan dipilih pasangan Presiden dan Wakil Presiden. Berapa banyak pasangan yang mungkin terjadi? 13. Sebuah bak berbentuk kubus penuh air mempunyai luas bidang diagonal 9 2 cm2. Kemudian dimasukkan sebuah kayu yang juga berbentuk kubus dengan volume 8 cm3 sehingga air tumpah. Hitung volume air yang tumpah, jika seluruh kayu tenggelam! 14. Diketahui segitiga ABC sama sisi dengan X pada BC sehingga CX = 2BX, perlihatkan bahwa AX2 = 7BX2. A BX C 15. Pada perkalian di bawah ini, setiap huruf mewakili angka yang berbeda dan tunggal. Berapa nilai A + B? A7 5B ----- × ----- + 2183

PEMBAHASAN 1. Perhatikan bahwa setiap kelipatan 7 hari dari hari Kamis adalah Hari Kamis. 2007  286  5 77 Karena sisa pembagian 2007 oleh 7 adalah 5, maka 2007 hari setelah Hari Kamis adalah 5 hari setelah Hari Kamis yaitu Hari Selasa. 2. Satu bagian sirup dan 4 bagian air digunakan untuk membuat 60 gelas minuman. Artinya 5 bagian bahan minuman dapat digunakan untuk membuat 60 gelas minuman. Jadi,, 1 bagian sirup dan 5 bagian air sama dengan 6 bagian bahan minuman, sehingga dapat digunakan untuk membuat 6  60 gelas minuman yaitu 72 gelas minuman. 5 3. Misalkan kedua pecahan itu adalah x dan y maka: x+y= 3 4 x–y= 1 12 ------------- + 2x = 5 6 x =5 12 y= 3-x 4 = 3 5 4 12 =1 3 Jadi, kedua bilangan itu adalah 5 dan 1 . 12 3 4. Misalkan bilangan 2 digit itu adalah PQ maka PQ = 10P + Q QP = 10Q + P Selisih kedua bilangan itu adalah PQ – QP = (10P + Q) – (10Q + P) = 9P – 9Q = 9(P - Q)

Jadi, selisih kedua bilangan itu merupakan kelipatan 9. 5. Perhatikan gambar di bawah ini! R S c ac b Pb T aQ Karena segitiga PTS dan segitiga QRT kongruen, maka  PTS +  QTR = 900 . Akibatnya  RTS = 1800 - 900 = 900 Jadi, segitiga RST siku-siku. Kemudian perhatikan bahwa Luas trapesium PQRS = (2 × Luas segitiga PTS) + (Luas segitiga RST)  1 (PS + QR)(PQ) = 2( 1 )(PT)(PS) + 1 (RT)(ST) 2 22  1 (a + b)(a + b) = 2( 1 )(ab) + 1 (c)(c) 2 22  1 (a + b)2 = ab + 1 c2 22  (a + b)2 = 2ab + c2  a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2  c2 = a2 + b2 6. Soal ini dapat diselesaikan dengan 3 cara. Cara I P 16 cm 20 cm S QR Perhatikan bahwa untuk mencari luas segitiga PQR, kita bisa menjadi,kan QR atau PR sebagai alasnya karena QS dan PR tegaklurus.

Jadi, 1 (QR)(PQ) = 1 (PR)(QS)  (QR)(PQ) = (PR)(QS) 22  (PQ) PR2 - PQ2 = (PR)(QS) 16 400  256 = 20(QS)  (16)(12)  20 (QS)  QS = 9,6 Jadi, QS = 9,6 cm Cara II Perhatikan bahwa segitiga PQR dan segitiga QRS sebangun maka PQ = PR  PQ = PR QS QR QS PR2 - PQ2  16 = 20 QS 400 - 256  16 = 20 QS 12  16 = 5 QS 3  QS = 9,6 cm Jadi, QS = 9,6 cm Cara III Perhatikan segitiga PQS dan QRS Pada segitiga PQS berlaku QS2 = PQ2 – PS2 … (1) Pada segitiga QRS berlaku QS2 = QR2 – RS2 … (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh PQ2 – PS2 = QR2 – RS2  PQ2 – (20 - RS)2 = (PR2 – PQ2) – RS2  256 – (RS2 – 40RS + 400) = (400 - 256) – RS2  - RS2 + 40RS – 144 = 144 – RS2  40RS = 288  RS = 36 5 QS2 = QR2 – RS2

= 144 -  36 2  5  = 144 – 51,84 = 92,16 QS = 9,6 Jadi, QS = 9,6 cm 7. Perhatikan gambar berikut ini! D QC P S A RB Segitiga PQS dan QBR kongruen karena ketiga sisi dan sudutnya yang bersesuaian sama. Pada segitiga PQS berlaku  QPS +  PQS +  PSQ = 1800   QPS +  PQS + 900 =1800   QPS +  PQS = 900   BQR +  PQS = 900   BQP = 900 Jadi,  BQP = 900. 8. Akan dibuktikan bahwa segitiga PQR sama sisi! C E F R Q P AD B Karena  BAC = 60° dan AF adalah garis bagi  BAC, maka  EAP =  DAP = 30°. Dari segitiga ADP diperoleh  DAP +  APD +  ADP = 180°  30° +  APD + 90° = 180°   APD = 60° Karena garis CD dan AF berpotongan di titik P, maka  RPQ =  APD = 60°  APD dan  APC saling berpelurus maka:  APD +  APR = 180°  60° +  APR = 180°   APR = 120° Dari segi empat APRE diperoleh

 EAP +  APR +  ERP +  AER = 360°  30° + 120° +  ERP + 90° = 360°   ERP = 120°  ERP dan  PRQ saling berpelurus, maka:  ERP +  PRQ = 180°  120° +  PRQ = 180°   PRQ = 60° Dari segitiga PQR diperoleh:  RPQ +  PRQ +  PQR = 180°  60° + 60° +  PQR = 180°   PQR = 60° Karena semua sudut pada segitiga PQR besarnya 60°, maka segitiga PQR sama sisi. 9. Perhatikan gambar di bawah ini! B PQ AC SR Karena luas persegi PQRS 1 cm2, maka setiap sisi persegi PQRS berukuran 1 cm. Pandang segitiga ASP! Karena segitiga ABC siku-siku dan sama kaki, maka  PAS = 450 sehingga  APS = 45°, akibatnya AS = PS = 1 cm. Pandang segitiga BPQ Karena segitiga BPQ dan segitiga ABC sebangun, maka BP = BQ Dari segitiga BPQ diperoleh BP2 + BQ2 = PQ2  2BP2 = 1  BP2 = 1 2  BP = 1 2 2 Jadi, BP = BQ = 1 2 cm 2 Luas segitiga ABC = (2 × Luas segitiga ASP) + (Luas persegi PQRS) + (Luas segitiga BPQ) 11 = [ 2( 2 )(AS)(PS) + (PQ)2 + ( 2 )(BP)(BQ) ] 1 = [ (AS)2 + (PQ)2 + ( 2 )(BP)2 ] cm2

11 2 )2 ] cm2 = [ (1)2 + (1)2 + 2 ( 2 =[1+1+ 1 ] cm2 4 = 21 cm2 4 10. Garis CA melalui titik C(0, -3) dan titik A(3, 0) sehingga garis CA adalah garis y = x yang digeser 3 satuan ke kanan atau garis y = x yang digeser 3 satuan ke bawah. Jadi, persamaan garis CA adalah y = x – 3. y 3B P 6x -3 0 A 3 C -3 Karena garis CA dipotong oleh garis BP yaitu garis y = 3, maka garis CA melalui titik y = 3. Akibatnya y = x – 3  3 = x – 3  x=6 Jadi, koordinat titik P adalah (6, 3) 11. Kecepatan A 20 km/jam sedangkan kecepatan B 60 km/jam , artinya kecepatan B adalah 3 kali lebih cepat dari A atau jarak yang ditempuh B adalah 3 kali lebih besar daripada jarak yang ditempuh oleh A. Jadi, pada saat mereka berpapasan (bertemu), B sudah menempuh 3 jarak dari Kota Q ke Kota P yaitu 3 (160 km) = 120 km sedangkan A 44 baru menempuh jarak 1 jarak dari Kota P ke Kota Q yaitu 1 (160 km) = 40 km. 44 Jadi, A bertemu B setelah 40 km  2 jam , yaitu 40 km dari Kota P. 20 km/jam 12. Misalkan Kotak P adalah tempat untuk Calon Presiden, sedangkan Kotak W adalah tempat untuk Calon Wakil Presiden. PW

Banyaknya cara untuk mengisi kotak P adalah 5 cara, dimana kelima kandidat boleh mengisi kotak itu. Karena 1 kandidat telah terpilih dari Kotak P maka Kotak W hanya dapat diisi oleh 4 kandidat saja akibatnya banyaknya cara untuk mengisi Kotak W adalah 4 cara. Jadi, karena setiap kemungkinan dari kelima kandidat Presiden dapat dilanjutkan dengan 4 cara untuk memilih 4 kandidat Wakil Presiden maka banyaknya cara untuk memilih Presiden dan Wakil Presiden dari 5 kandidat adalah 5 x 4 cara yaitu sebanyak 20 cara. Sebagai ilustrasi misalkan kelima kandidat itu adalah A, B, C, D, dan E maka bagan untuk semua kemungkinan 2 kandidat yang terpilih adalah B AC D E A C B D oE o o A B E C D 13. Volume air yang tumpah = Volume kayu yang tenggelam = 8 cm3 14. Misalakan panjang setiap sisi segitiga ABC adalah 3a. A 3a 3a B a XP C ½a 3/2 a 2a AP2 = AB2 - BP2 = (3a)2 – ( 3 a)2 2

= 9a2 - 9 a2 4 = 27 a2 4 AX2 = AP2 + PX2 = 27 a2 + 1 a2 44 = 28 a2 4 = 7a2 = 7BX2 15. Perhatikan uraian di bawah ini! A7 x 5B + ... Y X ... Z 2 183 Karena digit satuan dari hasil akhir penjumlahan di atas adalah 3, maka nilai X = 3 akibatnya digit B yang mungkin hanyalah 9. A7 x 59 + ... Y 3 ... Z 2 183 Selanjutnya digit satuan dari hasil perkalian 5 dengan 7 (35) adalah 5, maka haruslah Z = 5 Y+Z=8  Y+5=8  Y=3 A7 x 59 + ... 3 3 ... 5 2 183 Digit satuan dari hasil perkalian 9 dengan A ditambah digit puluhan dari hasil perkalian 9 dengan 7 (yaitu 6), adalah 3.

Jadi, agar operasi 9 x A + 6 menghasilkan digit satuan 3, maka digit bagi A yang mungkin adalah 3. 37 x 59 + 3 33 18 5 2 183 Jadi, nilai A + B = 3 + 9 = 12

LATIHAN TAHAP I TINGKAT PROVINSI TAHAP I SOAL ISIAN SINGKAT 1. Jika 44 + 44 + 44 + 44 = 2x, berapakah nilai x? 2. Hitunglah nilai dari 1 1  1 1  ... 1 1  22  32  20062  3. Berapakah digit terakhir (angka satuan) pada bilangan 22006? 4. Jika hari ini adalah hari Selasa, hari apakah 1.000 hari yang akan datang? 5. Dalam suatu pertemuan yang dihadiri oleh 25 orang, setiap orang berjabat tangan dengan setiap orang lainnya tepat 1 kali. Berapa banyaknya jabat tangan yang terJadi,? 6. Diketahui deret huruf ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH ... . Huruf apakah pada urutan ke- 222? 7. Diketahui kelompok-kelompok bilangan (0), (1,2,3), (4, 5, 6, 7, 8), (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15), ... Tentukanlah bilangan yang menempati urutan ke-44 pada kelompok ke-55! 8. Seekor kura-kura mengelilingi sebuah persegi dengan sisi 1 m dan jaraknya selalu tetap sejauh 1 m dari bagian terluar persegi tersebut. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh lintasan kura-kura tersebut! 9. Saya memikirkan suatu bilangan positif. Kemudian saya mengkuadratkan bilangan itu, lalu mengalikan hasilnya dengan 4, lalu menguranginya dengan 3, selanjutnya mengalikan dengan 6 dan terakhir saya menambahnya dengan 80. Saya mendapatkan bilangan 2006. Berapakah bilangan yang saya pikirkan?

10. Restu selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Di lain pihak, Imam selalu berbohong pada hari Kamis, Jumat, Sabtu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari terjadi, percakapan berikut: Restu : “Kemarin saya berbohong”. Imam : “Saya juga”. Pada hari apa percakapan tersebut terjadi? 11. Dari bilangan-bilangan berikut, a = 2250, b = 3200, c = 5125, d = 7100, e = 1175. Manakah bilangan yang paling besar? 12. Diberikan 2100 = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376. Tentukan 4 angka pertama pada bilangan 299 dan 2101! 13. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 22005 × 52007? 14. Berapakah sisa pembagian 20062005 oleh 100? 15. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk n(n +1) , dengan n bilangan bulat 2 positif. Berapa banyak bilangan di antara 100 bilangan segitiga pertama yang memiliki angka satuan 0? 16. Diketahui bilangan-bilangan asli a, b, dan m. Sisa pembagian a dan b oleh m adalah 1. Berapakah sisa pembagian ab oleh m? 17. Diketahui 10.125.000 = 23 × 34 × 56. Berapa banyakkah faktor dari 10.125.000? 18. Misalkan M adalah hasil kali semua bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan 101. Berapa banyakkah bilangan prima di antara 100 buah bilangan (M + 2), (M + 3), (M + 4), … (M + 101)? 19. Carilah semua bilangan asli x dan y yang memenuhi persamaan 1 - 1 = 1 ! xy 3 20. Bilangan real 0.200620062006… merupakan bilangan rasional sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk m , dengan m dan n bilangan-bilangan bulat, n  0. Jika n dipilih m dan n yang relatif prima, maka berapakah m + n? (Catatan: Dua bilangan m dan n dikatakan relatif prima jika faktor persekutuan terbesar dari m dan n adalah 1 )

21. Tuliskanlah 9  80  9  80 dalam bentuk yang paling sederhana! 22. Jika a dan b adalah 2 bilangan positif yang memenuhi ab = ba dan b = 2a. Berapakah nilai b? 23. Suatu bilangan yang terdiri atas 11 digit, yakni a123456789a, habis dibagi 8. Berapakah nilai a? 24. Jika x(x - a)(x - b) = x(x - c)(x - d), berapakah x? 25. Misalkan a, b, dan c merupakan bilangan-bilangan real positif yang memenuhi persamaan a + b2 + 2ac = 29 b + c2 + 2ab = 18 c + a2 + 2bc = 25 Berapakah nilai a + b + c?

KUNCI JAWABAN 1. 10 2. 2007 4012 3. 4 4. Hari Senin 5. 300 6. H 7. 2959 8.   4 9. 9 atau - 9 10. Hari Kamis 11. 6 12. 6338 dan 2535 13. 2006 14. 56 15. 11 16. 1 17. 379 18. 0 19. x = 2 , y = 6 20. 12.005 21. 2 5 22. 4 23. 6 24. 0 atau ab - cd (a + b) - (c + d) 25. 8

LATIHAN TAHAP II TINGKAT PROVINSI TAHAP II SOAL URAIAN 1. Misalkan f(x) = x2 + 3x + 2 dan himpunan S = {0, 1, 2, …, 25}. Berapa banyakkah unsur a di S sehingga f(a) bersisa 0 ketika dibagi 6? 2. Diketahui x dan y adalah bilangan-bilangan berbeda sehingga 2006 + x = y2 dan 2006 + y = x2. Berapakah nilai xy? 3. Sebuah kereta berangkat dari stasiun A ke stasiun B dengan kecepatan 60 km/jam dan kembali dari stasiun B ke stasiun A dengan kecepatan 120 km/jam. Berapa kecepatan rata-rata kereta tersebut? 4. Matematikawan August Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Pada tahun terakhir dalam hidupnya dia mengatakan bahwa: “Dulu Aku berusia x tahun pada tahun x2”. Pada tahun berapakah August Morgan dilahirkan? 5. Jika Arif memacu sepedanya ke sekolah dengan kecepatan 20 km/jam, maka dia akan terlambat 5 menit. Jika dia memacu sepedanya dengan kecepatan 30 km/jam, maka dia akan sampai 5 menit lebih awal. Berapa jauh jarak yang Arif tempuh ke sekolah? 6. Misalakan A = 20062006 , B = 2006 – 2006, C = (- 2006)2006, dan D = (- 2006) – 2006. Berapakah ABCD? 7. Berapakah nilai dari 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + … - 9999? 8. Berapakah nilai dari 612  392 ? 512  492 9. Tentukan semua nilai x yang memenuhi (200610)(200620)(200630)(200640) = (2006x)x

10. Misalkan Y menyatakan suatu digit. Jika diketahui Y3 × 6528 = 8256 × 3Y, berapakah Y? 11. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 102006 – 2006? 12. Berapa banyaknya bilangan real x yang memenuhi persamaan 32x + 2 - 3x + 3 - 3x + 3 = 0? 13. Misalkan a, b, c, d, dan e adalah bilangan-bilangan bulat positif. Jika diketahui 5a = 4b = 3c = 2d = e, berapakah nilai terkecil untuk a + 2b + 3c + 4d + 5e? 14. Di dalan persegi LMNO terdapat titik P sehingga NOP merupakan segitiga sama sisi. Berapakah besar sudut PML? 15. Budi berlari lebih cepat dari kecepatan Iwan berjalan kaki. Misalkan Iwan yang lebih cerdas dari Budi menyelesaikan ujian pada pukul 02:00 dan muai berjalan pulang. Budi menyelesaikan ujian pada pukul 02:12 dan berlari mengejar Iwan. Pada pukul berapa Budi tepat menyusul Iwan?

KUNCI JAWABAN 1. 16 2. -2005 3. 80 km/jam 4. 1806 5. 10 km 6. 1 7. -5.000 8. 11 9. 10 atau -10 10. 4 11. 2006 12. 2 13. 3,5 14. 15 15. Pukul 02:18

BAGIAN III TINGKAT NASIONAL SOAL PEMBAHASAN Waktu 120 Menit SOAL URAIAN 1. A adalah suatu himpunan bilangan. Himpunan A memiliki sifat tertutup terhadap pengurangan, artinya hasil pengurangan dua bilangan di A akan menghasilkan bilangan di A juga. Jika diketahui dua anggota dari A adalah 4 dan 9, tunjukan bahwa a. 0 A b. – 13 A c. 74 A d. Selanjutnya, daftarlah semua anggota himpunan A! 2. (2, 0, 4, 1) adalah salah satu solusi dari x1 + x2 + x3 + x4 = 7. Jika semesta pembicaraan pada persamaan ini adalah himpunan semua bilangan bulat tidak negative, tentukan banyaknya solusi yang mungkin dari x1 + x2 + x3 + x4 = 7 ! 3. Adi adalah karyawan pada salah satu perusaan tekstil yang bertugas menyimpan data tentang kenaikan produksi selama lima periode. Setelah dicari Adi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu 4 %, 9 %, 7 %, dan 5 %. Satu data lagi, yaitu data ke-5, tidak ditemukan. Selidaiki data kenaikan yang ke-5, bila Adi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data tersebut adalah sama! 4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi sistem persamaan berikut : x(y +1) = y2 -1 y(x +1) = x2 -1

5. Perhatikan gambar di bawah ini. ABCD adalah persegi dan E adalah titik sembarang di luar persegi ABCD. Selidiki apakah berlaku hubungan AE2 + CE2 = BE2 + DE2 pada gambar di bawah tersebut? E DC AB 6. Sebuah akuarium berbentuk balok dengan ukuran panjang 100 cm, lebar 60 cm dan tinggi 40 cm berisi air cukup banyak. Tino baru saja membersihkan akuarium tersebut, kemudian menumpahkan sebagian airnya yang dilakukan dengan cara memiringkan akuarium dan bertumpu pada sisi 60 cm. Ia menghentikan kegiatannya ketika garis permukaan air tepat berada pada pertengahan dasar akuarium (Lihat gambar). Bila Ia mengembalikan akuarium ke posisi semula (tegak), berapa ketinggian air yang tersisa sekarang? 40 cm 100 cm 7. Tina diminta menyusun bilangan-bilangan asli lebih besar dari 1 ke dalam tabel yang berisi 5 kolom (a, b, c, d,e) dengan masing-masing baris berisi 4 bilangan saja seperti pada tabel berikut a b cd e 2 3 45 9 8 76 10 11 12 13 17 16 15 14 ... Dengan pola tersebut, pada kolom manakah bilangan 2007 akan diletakkan? 8. Suatu survey rumah tangga di Surabaya memberikan laporan sebagai berikut: 40 % rumah tangga memiliki 2 anak atau lebih. Di antara keluarga dengan 1 anak, 30 % nya adalah anak laki-laki. Bila terdapat 10 % keluarga yang tidak memiliki anak, berapa persenkah keluarga di Surabaya yang memiliki tepat 1 anak perempuan?

9. Diberikan segitiga ABC yang memiliki sudut siku-siku di B, dengan panjang sisi AB = BC = 2 cm. Lengkungan BD dan BE masing-masing adalah busur lingkaran yang berpusat pada C dan A (lihat gambar). Jika luas lingkaran berjari-jari r adalah  r2, dengan  adalah konstanta. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut (nyatakan dalam  ). A D E BC 10. Di antara 7 buah titik dengan koordinat A(9, 17), B(6, 11), C(3, 5), D(7, 12), E( 7 , 6), F(5, 2 11), G(5, 9), lima di antaranya terletak pada garis lurus. Dua titik manakah yang tidak terletak pada garis tersebut? PEMBAHASAN 1. a. Karena 4  A , Maka 4 – 4 = 0  A b. Karena 9 dan 4 anggota A Maka 9 – 4 = 5  A 4–9=-5  A 4–5=-1  A - 5 – 5 = - 10  A - 10 – 4 = - 14  A - 14 – (- 1) = - 13  A c. 9  A dan (– 1) A Jika 9 dikurangi oleh ( – 1) terus menerus sampai 65 kali pengurangan, maka hasilnya adalah 74. Jadi, 74  A d. Dari bagian (a) dan (b) diperoleh bahwa 0  A dan (– 1)  A , kemudian dari pengurangan oleh 4 diperoleh bahwa 1  A. Jika 1 dikurangkan oleh (– 1) terus menerus, masing-masing akan menghasilkan 2, 3, 4, … Jadi, {2, 3, 4, …}  A. Kemudian jika (– 1) dikurangkan oleh 1 terus menerus masing-masing akan menghasil kan -2, - 3, - 4, …

Jadi, {… , - 4, - 3, -2}  A Karena {- 1, 0, 1}  A, {2, 3, 4, …}  A dan {… , - 4, - 3, -2}  A Maka A = {… , - 4, - 3, -2}  {- 1, 0, 1}  {2, 3, 4, …} = {… , - 2, - 1, 0, 1, 2, …} Jadi, seluruh anggota A adalah himpunan semua bilangan bulat. 2. Akan dikelompokkan semua bilangan mulai dari yang berdigit 1 sampai yang berdigit 4 tetapi jumlah digit-digitnya 7.  Berdigit 1 0007 --------- 1 Hanya terdapat 1 kemungkinan  Berdigit 2 0016 0025 0061 0070 --------- 7 Terdapat 7 kemungkinan  Berdigit 3 0106 0205 0700 0115 0214 0151 0241 0160 0250 --------- --------- -------- 76 1 Banyaknya kemungkinan adalah (7 + 6 + 5 + … + 1) yang merupakan jumlah deret aritmatika (Sn) dengan n = 7, U1 = 7, Un = 1, b = - 1 Sn = n ( U1 + Un) 2 = 7 (7 + 1) 2 = 7 (8) 2

= 28  Berdigit 4 1105 1600 1006 1114 1015 1051 1141 --------- 1060 1150 1 --------- --------- 2500 7 6 2005 2104 2014 2113 2041 2131 --------- 2050 2140 1 --------- --------- 6 5 7000 --------- 1 Banyaknya kemungkinan adalah (7 + 6 + … + 1) + (6 + 5 + … + 1) + … + 1 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 84 Jadi, banyaknya solusi yang mungkin adalah (1 + 7 + 28 + 84) = 120 3. Misalkan X adalah rata-rata kelima data tersebut dan y adalah data kenaikan ke-5 yang hilang. Maka X = 4 + 9 + 7 + 5 + y 5 = 25 + y 5 =5+ y 5 Karena rata-rata kelima data tersebut sama dengan mediannya Maka Median = 5 + y . 5