ใบความรู้และแบบฝึกทักษะ เรื่อง สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

1 โรงเรียนสีค้วิ “สวสั ดผิ์ ดงุ วทิ ยา” แบบฝึกหัด/ใบงาน กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชา คณิตศาสตร์ 6 เร่ือง ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 รหสั วิชา ค 23102 ผ้สู อน ครูสมพร ขวญั สนั เทยี ะ หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ช่ือนักเรยี น..............................................................................................ชั้น ม...../........ เลขที.่ ........................ ใบความรทู้ ่ี 1 เรอื่ ง กราฟและคำตอบของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร สมการเชิงเสน้ สองตัวแปรมีรูปทว่ั ไปเปน็ Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เปน็ ค่าคงตวั ที่ A และ B เป็นศูนยพ์ รอ้ มกัน เมื่อ x และ y แทนจำนวนจริงใด ๆ กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรจะเปน็ เสน้ ตรง ซงึ่ เราสามารถหาคู่อนั ดับ (x, y) ทีส่ อดคล้องกับสมการเชงิ เส้นสองตัวแปไดม้ ากมายนบั ไม่ถว้ น โดยคอู่ ันดับโดยคู่อันดับ (x, y) เหลา่ นน้ั เป็นจุดท่อี ยู่บนเสน้ ตรง เราเรยี กคอู่ นั ดับท่ีสอดคล้อง เหล่าน้ันวา่ คำตอบของสมการ ตวั อย่างท่ี 1 จงพิจารณาว่าคู่อนั ดบั (-5, 9) เป็นคำตอบของสมการ x + y = 4 หรือไม่ วิธีทำ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ตัวอย่างท่ี 2 จงพจิ ารณาว่าคู่อันดบั (3, 1) เป็นคำตอบของสมการ x − 2y = 6 หรอื ไม่ วธิ ีทำ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ สรุป: โดยท่วั ไป เราเรยี กค่อู ันดับ (x, y) ทสี่ อดคล้องกับสมการ Ax + By + C = 0 เมอื่ A, B, C เปน็ ค่าคงตวั ที่ A และ B เป็นศูนยพ์ รอ้ มกัน วา่ คำตอบของสมการ

2 แบบฝึกทกั ษะ เรอ่ื ง กราฟและคำตอบของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร จงพจิ ารณาคูอ่ ันดับ (x, y) ท่ีกำหนดให้ วา่ เปน็ คำตอบของสมการหรอื ไม่ 1. ค่อู นั ดบั (2, 0) เปน็ คำตอบของสมการ y = −2x + 4 หรอื ไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. คอู่ ันดับ (8, 5) เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3y = 31 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. คู่อนั ดับ (-4, -3) เป็นคำตอบของสมการ 3x − 4y +12 = 0 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ค่อู ันดับ (3, -2) เปน็ คำตอบของสมการ x + y −1 = 0 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3 ใบความรู้ที่ 2 x -2 0 2 เรื่อง กราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร y ในบทเรยี นนี้ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คือ ระบบท่ีประกอบด้วยสมการ 2 สมการ ดังน้ี ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริงท่ี a, b ไม่เป็นศูนยพ์ รอ้ มกนั และ c, d ไมเ่ ป็น ศูนย์พรอ้ มกัน ดงั นี้ ax + by = e ------------- (1) cx + dy = f ------------- (2) เรยี กว่า ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรท่มี ี x และ y เป็นตัวแปร โดยที่ a และ c เป็นสัมประสิทธิ์ของ x b และ d เป็นสมั ประสทิ ธ์ิของ y ไปดูลักษณะกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ที่อาจเกดิ ขึ้น เมื่อวาดกราฟโดยใชแ้ กนคเู่ ดยี วกนั ตวั อย่างที่ 1 กำหนดให้ x + y = 8 ---------------- (1) x − 2y = −1 ---------------- (2) เขียนกราฟของท้ังสองสมการ ได้ดงั นี้ กราฟท่ีเกิดขึน้ มลี ักษณะ: เส้นตรง 2 เส้น ตัดกันทจ่ี ุด (5, 3)

4 ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนด 3x − 2y = 3 ------------------ (1) 3x − 2y = −6 ------------------ (2) เขยี นกราฟของทงั้ สองสมการ ได้ดังนี้ กราฟทเ่ี กดิ ขึ้นมลี กั ษณะ: เสน้ ตรง 2 เสน้ ขนานกัน ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนด x − 2y = −3 ------------------ (1) − 3x + 6y = 9 -------------------(2) เขียนกราฟของท้งั สองสมการ ได้ดังนี้ กราฟทเ่ี กิดขึ้นมีลักษณะ: เส้นตรง 2 เสน้ ทับกนั จากตวั อย่างที่ 1 ถงึ ตัวอยา่ งท่ี 3 จะได้ลกั ษณะกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร เกดิ ขึน้ ได้ 3 ลกั ษณะ ดังน้ี 1. เสน้ ตรง 2 เสน้ ตัดกันท่ีจุด ๆ หนึ่ง 2. เส้นตรง 2 เส้น ขนานกนั 3. เส้นตรง 2 เสน้ ทบั กัน

5 ใบความรทู้ ี่ 3 เรือ่ ง คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร กำหนดใหร้ ะบบสมการประกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 2 สมการ ดงั น้ี ax + by = e ------------- (1) cx + dy = f ------------- (2) คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมการท้งั สองของระบบสมการ หรอื คู่อนั ดบั (x, y) ท่ีแทนคา่ x และคา่ y ในสมการท้งั สอง แลว้ ทำให้สมการทงั้ สองของระบบสมการเป็นจรงิ เราจะพิจารณาหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ด้วยการดูลักษณะของกราฟทีอ่ าจตัดกัน ขนานกนั หรอื ทับกัน ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดให้ y = 4x −1 ------------- (1) y = −x + 4 ------------- (2) เขยี นกราฟของทง้ั สองสมการ ได้ดงั นี้ จากกราฟจะเห็นวา่ มีคอู่ ันดบั มากมายทีเ่ ปน็ คำตอบของสมการ y = 4x −1 และสมการ y = −x + 4 เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปน็ เสน้ ตรงสองเส้นซ่งึ ตดั กนั ทจี่ ดุ (1, 3) เพยี งจุดเดยี ว แสดงว่ามีคูอ่ ันดบั เพียงคู่เดยี ว คือ (1, 3) ซึ่งเปน็ คำตอบของระบบสมการ น่ันคือ ระบบสมการน้มี เี พยี งคำตอบเดียว คือ (1, 3)

6 ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนดให้ x + 5y = 5 ----------- (1) 2x +10y = 10 ----------- (2) จากกราฟ จะเห็นว่ามคี ู่อนั ดบั มากมายทีเ่ ป็นคำตอบของสมการ x + 5y = 5 และสมการ 2x +10y = 10 เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปน็ เสน้ ตรงสองเสน้ ที่ทบั กนั หรอื เปน็ เส้นตรงเดยี วกัน แสดงวา่ คู่อันดับทีเ่ ปน็ พกิ ดั ของจุดบนเสน้ ตรงทที่ บั กนั น้ี เปน็ คำตอบของระบบสมการ น่ันคือ ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัด ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ 2x − 3y = 6 --------------- (1) − 2x + 3y = 0 --------------- (2) จากกราฟ จะเหน็ ว่ามคี อู่ นั ดบั มากมายทเ่ี ปน็ คำตอบของสมการ 2x − 3y = 6 และสมการ − 2x + 3y = 0 เนือ่ งจากกราฟของสมการท้ังสองเป็นเสน้ ตรงสองเส้นซ่งึ ขนานกัน จงึ ไมม่ ีจดุ ตดั แสดงวา่ ไมม่ ีคู่อันดบั ใดเปน็ คำตอบของระบบสมการน้ี นัน่ คือ ระบบสมการน้ีไมม่ คี ำตอบ

7 สรุป: การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ดว้ ยการเขียนกราฟของแต่ละสมการ บนระนาบโดยใช้แกนคเู่ ดียวกัน ดังนี้ 1. กราฟเส้นตรง 2 เสน้ ตัดกนั จะได้คำตอบของระบบสมการ คอื จดุ ตัดของกราฟ 2. กราฟเสน้ ตรง 2 เส้น ทบั กัน แสดงวา่ ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไมจ่ ำกัด 3. กราฟเส้นตรง 2 เส้น ขนานกนั แสดงวา่ ระบบสมการนีไ้ ม่มีคำตอบ คำชแี้ จง: จงเขยี นกราฟของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรที่กำหนดให้ตอ่ ไปนี้ แลว้ ตรวจสอบวา่ ระบบสมการนน้ั มคี ำตอบหรอื ไม่ 1. กำหนด 3x − y = 3 ------------- (1) 2x + y = 2 -------------- (2) กำหนดคา่ x และหาคา่ y จากสมการ ดงั นี้ 3x − y = 3 2x + y = 2 x -1 0 1 x -1 0 1 y y เขียนกราฟของทงั้ สองสมการ ไดด้ งั นี้ ระบบสมการน้ีมีคำตอบหรือไม่ …………………………………………………………………………………..

8 2. กำหนด 3x + 6y = 6 ------------- (1) x + 2y = 8 ------------- (2) กำหนดคา่ x และหาคา่ y จากสมการ ดงั นี้ 3x + 6y = 6 x -2 0 2 y ระบบสมการน้ีมคี ำตอบหรือไม่ ………………………………………………………………………………….. 3. กำหนด 2x + y = −3 ------------- (1) − 4x − 2y = 6 ------------- (2) กำหนดค่า x และหาคา่ y จากสมการ ดังนี้ 2x + y = −3 x -1 0 1 y − 4x − 2y = 6 -1 0 -1 ระบบสมการน้ีมีคำตอบหรือไม่ …………………………………………………………………………………..

9 ใบความรูท้ ่ี 4 เร่อื ง การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร นอกจากใช้กราฟในการหาคำตอบแล้ว สามารถใช้การแก้ ระบบสมการในการหาคำตอบได้ โดยอาศยั สมบัติการเท่ากนั ไดแ้ ก่ สมบัตสิ มมาตร สมบตั ถิ า่ ยทอด สมบตั ิการบวกดว้ ย จำนวนท่ีเท่ากนั และสมบตั ิการคูณด้วยจำนวนทีเ่ ท่ากัน ซึ่งการหาคำตอบของระบบสมการโดยวิธีน้ี ในทางคณิตศาสตร์ ถอื ว่า เมื่อใชส้ มบัตดิ ังกล่าวแลว้ จะได้ระบบสมการเชิงเสน้ ใหม่ทมี่ ีคำตอบเดียวกนั กบั คำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ ท่ี โจทยก์ ำหนดให้ หรอื กลา่ วว่าระบบสมการท้ังสองสมมูลกัน สมบัติการเท่ากัน 1. สมบตั ิสมมาตร เม่ือ a, b เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ถา้ a = b แลว้ b = a เชน่ 5 = y จะไดว้ า่ y = 5 2. สมบัติถ่ายทอด เม่ือ a, b, c เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = c เช่น x = 2 และ 2 = y จะไดว้ ่า x = y 3. สมบัตกิ ารบวกด้วยจำนวนทเี่ ท่ากัน เม่ือ a, b, c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เชน่ x + 5 = 8 จะไดว้ ่า x + 5 – 5 = 8 -5 ดังนั้น x = 3 4. สมบัติการคณู ดว้ ยจำนวนที่เทา่ กัน เมอ่ื a, b, c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ถ้า a = b แลว้ ac = bc เชน่ 2x = 8 จะไดว้ ่า 1  2x = 1 8 ดังนัน้ x = 4 22 หลกั การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตวั แปร ดังนี้ 1. จดั ระบบสมการ ดงั นี้ ให้ a, b, c, d, e และ f เปน็ จำนวนจริงที่ a, b ไมเ่ ปน็ ศนู ย์พร้อมกัน และ c, d ไม่เปน็ ศนู ยพ์ ร้อม กัน ดงั น้ี ax + by = e ------------- (1) cx + dy = f ------------- (2) 2. ทำสัมประสทิ ธห์ิ นา้ ตวั แปรตัวใดตัวหน่งึ ให้เท่ากัน โดยการหา ค.ร.น แลว้ อาศยั สมบัตกิ ารคูณ 3. เม่อื สัมประสิทธ์หิ นา้ ตวั แปรใดเท่ากนั แล้ว ถา้ เครอื่ งหมายเหมือนกนั จะนำสมการทั้งสองนน้ั ลบกนั แตถ่ า้ เครื่องหมายตา่ งกนั จะนำสมการทง้ั สองนน้ั บวกกนั โดยข้างซ้ายของสมการบวกหรือลบกับขา้ ง ซา้ ย และขา้ งขวาของสมการบวกหรือลบกับขา้ งขวา 4. สรปุ คำตอบของระบบสมการ

10 ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปน้ี พร้อมเขียนกราฟของระบบสมการเพ่ือตรวจสอบคำตอบ ดังนี้ x + 2y = 4 --------------(1) x − y = 1 ---------------(2) วธิ ีทำ จากระบบสมการ x + 2y = 4 ------------(1) สมั ประสทิ ธ์ขิ องตัวแปร x เท่ากัน (1) – (2); x − y = 1 -------------(2) และมีเครื่องหมายเหมอื นกันแล้ว จงึ ต้องนำสมการทั้งสองมาลบกนั (x + 2y) − (x − y) = 4 −1 x + 2y − x + y = 3 3y = 3 y =1 แทนค่า y = 1 ในสมการ (2); จะได้ x −1=1 x =1+1 x=2 ดังนั้นระบบสมการมคี ำตอบคือ (2, 1) เขียนกราฟของสมการ x + 2y = 4 และ x − y = 1 ได้ดงั น้ี เน่อื งจากกราฟของสมการ x + 2y = 4 และกราฟของสมการ x − y = 1 เป็นเส้นตรงสองเส้นตดั กนั ท่ีจดุ (2,1) ดังนน้ั ระบบสมการนม้ี เี พยี งคำตอบเดียว คือ (2, 1)

11 ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ พร้อมเขยี นกราฟของระบบสมการเพือ่ ตรวจสอบคำตอบ ดังน้ี 2x + 5y = 11 ------------(1) 3x − y = −9 ------------(2) วิธีทำ จากสมการ (1) และจากสมการ (2) พบว่าสมั ประสิทธิ์ของตวั แปรทงั้ สองมีค่าไม่เทา่ กัน เมือ่ ต้องการกำจดั ตวั แปร x จึงต้องหา ค.ร.น. ของ 2 กบั 3 คือ 6 (1) 3 หมายถงึ การนำ 3 มาคูณทุก พจน์ของสมการ 1 (1) 3; 6x +15y = 33 -------------(3) (2) 2 หมายถงึ การนำ 2 มาคูณทกุ พจนข์ องสมการ 2 (2) 2; 6x − 2y = −18 -------------(4) (3) – (4); __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ แทนคา่ __________ ในสมการ (1); __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ ดงั น้ันระบบสมการมคี ำตอบคือ _________________ เขียนกราฟของสมการ 2x + 5y = 11 และ 3x − y = −9 ได้ดงั นี้ เนื่องจากกราฟของสมการ 2x + 5y = 11 และกราฟของสมการ 3x − y = −9 เป็นเสน้ ตรงสองเส้นตัดกันทีจ่ ุด (-2,3) ดงั นั้น ระบบสมการนี้มีเพียงคำตอบเดยี ว คือ (-2, 3)

12 ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ 2x − 6y = 5 -------------(1) x − 3y = 3 -------------(2) วธิ ที ำ จากสมการ (1) และสมการ (2) จะต้องทำสมั ประสิทธห์ิ น้าตัวแปรตวั ใดตวั หนง่ึ ให้เทา่ กนั (2)  2; 2x − 6y = 6 -------------(3) (1) - (3); (2x − 6y) − (2x − 6y) = 5 − 6 2x − 6 y − 2x + 6 y = −1 0 = −1 สมการไม่เป็นจรงิ ดงั นน้ั ระบบสมการน้ไี มม่ ีคำตอบ ตัวอยา่ งที่ 4 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนี้ พร้อมเขยี นกราฟของระบบสมการเพ่อื ตรวจสอบคำตอบ ดังน้ี x − 5y = 3 -------------(1) y = x − 6 -------------(2) 5 วิธที ำ จากสมการ (2) y = x − 6 ตอ้ งจัดรูปสมการใหม่ ดังน้ี 5 (2)  5; 5y = x − 6 สัมประสิทธิ์ของตวั แปร x เท่ากัน แต่เครือ่ งหมายตา่ งกัน จึงตอ้ งนำ − x + 5y = −6 -------------(3) สมการทง้ั สองมาบวกกนั (1) + (3); (x − 5y) + (−x + 5y) = 3 + (−6) x − 5y − x + 5y = −3 0 = −3 สมการทไ่ี ม่เปน็ จริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมม่ ีคำตอบ เขยี นกราฟของสมการ x − 5y = 3 และ − x + 5y = −6 ไดด้ งั น้ี เน่อื งจากกราฟของสมการ x − 5y = 3 และกราฟของสมการ − x + 5y = −6 เปน็ เส้นตรงทีข่ นานกัน ดงั นน้ั ระบบสมการนีม้ ีไมม่ ีคำตอบ

13 ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ พร้อมเขียนกราฟของระบบสมการเพื่อตรวจสอบคำตอบ ดงั น้ี 3x + y = 5 ------------(1) 6x + 2y = 10 -------------(2) วิธีทำ จากสมการ (1) และสมการ (2) จะต้องทำสัมประสทิ ธ์ิหนา้ ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งให้เทา่ กนั (1) 2; 6x + 2y = 10 ------------(3) จะเหน็ ไดว้ า่ สมการ (3) เปน็ สมการเดียวกับสมการ (2) แสดงวา่ ระบบสมการน้ี มีคำตอบเปน็ อยา่ งเดยี วกัน ซึ่งมีมากมายไมจ่ ำกัด ดังนั้นจงึ หาค่อู ันดบั ทเ่ี ปน็ คำตอบของระบบสมการน้ีได้จากสมการหนง่ึ ดังน้ี จากสมการ (2); 6x + 2y = 10 2y = −6x + 10 y = − 6x +10 2 y = −3x + 5 ดงั นั้น ระบบสมการน้ีจงึ มคี ำตอบมากมายไมจ่ ำกัดในรปู ( x, − 3x + 5) เขียนกราฟของสมการ 3x + y = 5 และสมการ 6x + 2y = 10 ได้ดงั น้ี เนอื่ งจากกราฟของสมการ 3x + y = 5 และกราฟของสมการ 6x + 2y = 10 เปน็ เส้นตรงสองเส้นท่ีทบั กนั ดงั น้นั ระบบสมการน้จี ึงมีคำตอบมากมายไมจ่ ำกัดในรปู ( x, − 3x + 5)

14 แบบฝึกทักษะ เรอ่ื ง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจดั ตวั แปร คำชี้แจง: จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรต่อไปนี้ 2. x + y = 3 --------------(1) 1. x + y = 12 --------------(1) 3x − y = 1 --------------(2) x − y = 4 --------------(2) วิธที ำ ____________________________________ วิธที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 4. x − 2y = 3 --------------(1) 3. 5x − 2y = 30 --------------(1) 2x − 4y = 8 --------------(2) 10x + 3y = 25 --------------(2) วิธีทำ ____________________________________ วธิ ีทำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________

15 5. 4x − 2y − 9 = 0 --------------(1) 6. 3x + y = 5 --------------(1) 8x − 4y + 4 = 0 --------------(2) 6x + 2y = 10 --------------(2) วิธที ำ ____________________________________ วิธที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 7. 2x − 3y = 5 --------------(1) 8. 3x − 2y = 6 --------------(1) − 5x + 6y = 30 --------------(2) − 6x + 9y = −12 --------------(2) วธิ ที ำ ____________________________________ วธิ ีทำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________

16 9. 4x − 3y = 12 --------------(1) 10. x + y = 1 --------------(1) 1 x − 1 y = 1 --------------(2) 2 34 x −3y = 1 --------------(2) 6 วิธที ำ ____________________________________ _________________________________________ วิธที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 11. 2x + 3y = 1.6 --------------(1) _________________________________________ _________________________________________ 3x − 4y = 4.1 --------------(2) _________________________________________ วธิ ีทำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 12. 4x − 3y = 12 --------------(1) _________________________________________ _________________________________________ 1 x − 1 y = 1 --------------(2) _________________________________________ _________________________________________ 34 _________________________________________ _________________________________________ วิธที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________

17 13. 0.4x − 0.5y = 3.3 --------------(1) 14. x − y = 1 --------------(1) 0.3x − 0.2y = 1.6 --------------(2) 4 5 20 วธิ ที ำ ____________________________________ _________________________________________ x − y =1 --------------(2) _________________________________________ 32 _________________________________________ _________________________________________ วธิ ที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 15. 5(x − 2y) − 20 = 0 --------------(1) 16. 3x − 7 y = 2 --------------(1) x−y=6 --------------(2) 2x − 14 y = 4 --------------(2) 2 33 วธิ ที ำ ____________________________________ วธิ ที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________

18 ใบความร้ทู ่ี 5 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนคา่ ตัวแปร การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการแทนค่าตัวแปร เปน็ การแทนค่าตวั แปรตวั ใดตวั แปรหนึง่ กอ่ น โดยหาในรปู ของตวั แปรอีกตัวแปรหน่ึง แลว้ นำไปแทนคา่ ในสมการอกี สมการหนึ่ง จะเหลือตัวแปรเพยี งตัวเดียว จากนน้ั แกส้ มการหาค่าตัวแปรตวั นน้ั โดยอาศยั สมบตั ิการเทา่ กนั ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้ โดยวิธกี ารแทนค่าตัวแปร x + y = 5 ------------(1) 2x + 4y = 14 ------------(2) วิธีทำ กรณีที่ 1 จากระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร เม่อื ต้องการแทนคา่ x จากสมการ 1 ในสมการ 2 จาก (1); x = 5 − y ------------(3) แทนค่า x จาก (3) ลงใน (2) จะได้วา่ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ แทนคา่ y = _____ ลงใน (3) จะได้วา่ __________________________________ __________________________________ ดงั นั้น คำตอบของระบบสมการ คอื _______________ กรณีที่ 2 จากระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร เมื่อตอ้ งการแทนค่า x จากสมการ 1 ในสมการ 2 จาก (1); y = 5 − x ------------(3) แทนค่า y จาก (3) ลงใน (2) จะไดว้ ่า __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ แทนค่า x = _____ ลงใน (3) จะไดว้ า่ __________________________________ __________________________________ ดังน้ัน คำตอบของระบบสมการ คือ _______________ ไม่วา่ จะแทนคา่ ตวั แปรใดก่อน คำตอบของระบบสมการยอ่ มได้คำตอบเดยี วกันเสมอ

19 ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการต่อไปน้ี โดยวิธกี ารแทนคา่ ตัวแปร 2x − 6y = 5 ----------(1) x − 3y = 3 ----------(2) วธิ ที ำ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ดงั นนั้ ______________________________________________________________________ จากตัวอยา่ งที่ 2 เม่ือแทนค่าตวั แปรตวั ใดตัวแปรหนึง่ ในสมการอกี สมการหน่งึ สมการนั้นไมเ่ ป็นจริง แสดงวา่ ระบบสมการนนั้ ไมม่ ีคำตอบซึง่ หากเขยี นกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ จะได้กราฟเปน็ เส้นตรงสองเส้นขนานกนั ตัวอยา่ งที่ 3 จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี โดยวธิ ีการแทนคา่ ตวั แปร 2x + y = 8 -----------(1) 4x + 2y = 16 -----------(2) วิธีทำ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ นนั่ คือ ระบบสมการนี้มคี ำตอบมากมายไม่จำกัด ซงึ่ สามารถหาคำตอบในรปู ของตัวแปรตัวใดตัวหนง่ึ ได้จาก สมการใดสมการหน่ึง ดงั น้ี จาก (1); y = 8 − 2x ดังนัน้ ระบบสมการนี้มคี ำตอบมากมายไมจ่ ำกดั ในรูป ( x , 8− 2x ) เมือ่ x แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ จากตวั อย่างที่ 3 เมอื่ แทนคา่ ตวั แปรตวั ใดตวั แปรหนึ่งในสมการอีกสมการหนึ่งสมการนนั้ เปน็ สมการทีเ่ ป็นจรงิ แสดงวา่ ระบบสมการนั้นมคี ำตอบมากมายไม่จำกัด ซง่ึ สามารถหาคำตอนในรูปทวั่ ไป ท่ียงั คงตดิ ตวั แปรตัวใดตวั หน่ึงไว้ และหากเขยี นกราฟของระบบสมการเชิงเส้น จะได้กราฟเป็นเส้นตรงสองเส้นทบั กัน

20 แบบฝึกทกั ษะ เรอ่ื ง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่าตวั แปร คำชีแ้ จง: จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยวิธกี ารแทนค่าตัวแปร 1. 3x − y = 1 ------------(1) 2. x + 2y = 2 -------------(1) 2x + 3y = 8 ------------(2) 2x + y = −2 -------------(2) วธิ ที ำ ____________________________________ วิธีทำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 3. 4x + y = 8 ------------(1) 4. x − 2y = −3 -------------(1) x + 1 y = 2 ------------(2) − 3x + 6y = 9 -------------(2) วิธีทำ ____________________________________ 4 _________________________________________ วธิ ที ำ ____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________

21 ใบความร้ทู ี่ 6 เรื่อง การเขียนประโยคสัญลกั ษณ์แทนโจทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั สมการเชิงเส้นสองตวั แปร การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรเปน็ การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ซงึ่ สามารถ นำมาแก้ปัญหาเก่ยี วกบั โจทย์ปญั หาทางคณิตศาสตร์ โดยมขี นั้ ตอนในการดำเนนิ การ ดงั นี้ 1. อ่านโจทย์ และทำความเข้าใจเกี่ยวกบั โจทย์ เปน็ ขั้นวิเคราะหโ์ จทย์ปญั หา - โจทย์ถามอะไร - โจทยก์ ำหนดอะไร 2. กำหนดตวั แปรแทนสิ่งทีโ่ จทย์ตอ้ งการให้หา 2 ตวั ทแ่ี ตกต่างกัน โดยใหอ้ กั ษรภาษาอังกฤษ บางตวั เช่น x แทนตวั ทไ่ี ม่ทราบคา่ และ y แทนตัวทีไ่ ม่ทราบค่าอกี ตัวหน่งึ 3. เขียนระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 2 สมการ จากข้อความตามทีโ่ จทยก์ ำหนดให้ดู เครอ่ื งหมายจากทโ่ี จทยก์ ำหนด เชน่ คำวา่ “ผลรวม”คอื เครือ่ งหมายบวก, “ผลต่าง” คือ เคร่ืองหมายลบ เป็นตน้ 4. นำมาเขยี นในรูปประโยคสญั ลกั ษณ์ ตัวอย่างเชน่ โจทยป์ ัญหา กำหนดตวั แปร ประโยคสัญลกั ษณ์ 1. จำนวนหนงึ่ มากกว่าอกี จำนวนหนงึ่ อยู่ 43 2. ครึ่งหนง่ึ ของจำนวนหนึ่งเป็นสามเท่า ของจำนวนหน่งึ 3. เลขสองหลักจำนวนหน่ึง ตัวเลขหลกั หน่วย นอ้ ยกว่าหลักสิบอยู่ 6 และผลบวกของสองเท่า ของหลักสบิ กบั สามเท่าของหลกั หน่วยเทา่ กับ 22 4. มานิตมเี งนิ 100 บาท เขาตอ้ งการซ้อื ดอกกหุ ลาบ และดอกคารเ์ นชนั คละกันเปน็ จำนวน 12 ดอก อยากทราบว่าเขาจะซอ้ื ดอกกุหลาบและ ดอกคาร์เนชันได้อย่างละกดี่ อกถ้าดอกกุหลาบ ราคาดอกละ 5 บาท และดอกคารเ์ นชนั่ ราคา ดอกละ 15 บาท

22 แบบฝกึ ทักษะ เรื่อง การเขียนประโยคสญั ลักษณ์แทนโจทยป์ ัญหาเกย่ี วกับสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คำชแ้ี จง: จงเขียนประโยคสญั ลักษณ์แทนโจทย์ปัญหาเกยี่ วกับสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 1. สี่เทา่ ของผลต่างของสองจำนวนเป็น 50 x แทน........................................................ y แทน........................................................ ประโยคสัญลักษณ์ คอื ................................................................................................................................ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. ผลบวกและผลตา่ งของจำนวน 2 จำนวน เท่ากบั 18 และ 6 ตามลำดับ จงหาจำนวนทง้ั สอง x แทน........................................................ y แทน........................................................ ประโยคสัญลักษณ์ คือ................................................................................................................................ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. จำนวนหนง่ึ มากกว่าอกี จำนวนหนึง่ อยู่ 10 ผลบวกของจำนวนทั้งสองนอ้ ยกวา่ สามเท่าของจำนวน ท่ีน้อยกวา่ อยู่ 4 x แทน........................................................ y แทน........................................................ ประโยคสญั ลกั ษณ์ คือ................................................................................................................................ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. กระปกุ ออมสนิ ใบหน่งึ มเี หรยี ญหา้ บาทและเหรียญบาท รวมกนั 52 เหรยี ญคิดเปน็ เงินท้ังสิน้ 124 บาท x แทน........................................................ y แทน........................................................ ประโยคสญั ลักษณ์ คือ................................................................................................................................ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5.อัตราค่าบรกิ ารของสระวา่ ยนำ้ แหง่ หนง่ึ ต่อครั้งเปน็ ดงั นี้ ผ้ใู หญ่ คนละ 60 บาท เด็กคนละ 30 บาท วนั นมี้ ผี ู้ใชบ้ รกิ ารท้งั หมด 80 คนและเก็บเงินไดท้ ัง้ หมด 3,000 บาท x แทน........................................................ y แทน........................................................ ประโยคสัญลักษณ์ คือ................................................................................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

23 ใบความรู้ท่ี 7 เรอื่ ง การแก้โจทย์ปัญหาสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรเก่ยี วกับจำนวน การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรเปน็ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึง่ สามารถนำมาแก้ปญั หาเกยี่ วกับโจทย์ปญั หาทางคณติ ศาสตร์ โดยมีขนั้ ตอนในการดำเนนิ การ ดงั นี้ 1. อา่ นโจทย์ และทำความเขา้ ใจเกีย่ วกับโจทย์ เป็นขั้นวิเคราะห์โจทย์ปัญหา - โจทย์ถามอะไร - โจทยก์ ำหนดอะไร 2. กำหนดตวั แปรแทนส่งิ ที่โจทยต์ ้องการให้หา 2 ตัว 3. เขยี นระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 2 สมการ จากขอ้ ความตามทโี่ จทยก์ ำหนดให้ 4. แก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ตามแต่วิธที ีส่ ะดวก 5. ตรวจสอบคำตอบ ตัวอยา่ งที่ 1 ในกระจาดใบหนงึ่ มีจำนวนมะมว่ งและจำนวนสม้ รวมกันอยู่ 78 ผล ถ้าจำนวนมะมว่ งนอ้ ยกว่า จำนวนส้มอยู่ 24 ผล กระจาดใบน้ีมมี ะมว่ งและสม้ อย่างละก่ีผล วธิ ีทำ ให้ x แทนจำนวนมะมว่ ง y แทนจำนวนส้ม เขยี นประโยคสญั ลกั ษณไ์ ด้ ดังน้ี จำนวนมะมว่ งและจำนวนส้มรวมกนั เทา่ กับ 78 ผล : x + y = 78 -------------(1) และ จำนวนมะม่วงน้อยกวา่ จำนวนส้มอยู่ 24 ผล : y – x = 24 -------------(2) จาก (2) ; y = 24 + x -----------(3) แทนค่าของ y = 24 + x ใน (1) จะได้ x + (24 + x) = 78 2x + 24 = 78 2x = 54 x = 54 = 27 แทนค่าของ x = 27 ใน (3) จะได้ 2 y = 24 +27  y = 51 ตรวจคำตอบ จำนวนมะมว่ งและจำนวนส้มรวมกันเทา่ กับ 27 + 51 = 78 ผล และจำนวนมะม่วงน้อยกวา่ จำนวนส้มอยู่ คือ 51 – 27 = 24 ผล ซ่งึ เปน็ จริงตามเงือ่ นไขในโจทย์ ดงั นัน้ มีจำนวนมะม่วง 27 ผล และมจี ำนวนส้ม 51 ผล

24 ตวั อย่างท่ี 2 ถ้าหนง่ึ ในสามของผลบวกของจำนวนเต็มสองจำนวนเปน็ 25 และสามเทา่ ของจำนวนที่หน่ึงมากกวา่ สองเท่าของจำนวนทส่ี องอยู่ 55 จงหาจำนวนท้งั สอง วธิ ีทำ ให้ x แทน ______________________________________ y แทน ______________________________________ เขยี นประโยคสัญลกั ษณไ์ ด้ ดงั น้ี หนึง่ ในสามของผลบวกของจำนวนเตม็ สองจำนวนเป็น 25 : __________________________________ __________________________________ สามเท่าของจำนวนท่ีหนึ่งมากกวา่ สองเท่าของจำนวนทส่ี องอยู่ 55 : ________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ตวั อยา่ งที่ 3 อายุของแดงแกก่ ว่าอายุของดำ 3 ปี แต่ 1 ของอายขุ องแดงรวมกบั 1 ของอายขุ องดำเทา่ กับ 75 9 ปี จงหาอายุของแดงและดำ วิธที ำ ให้ x แทน ______________________________________ y แทน ______________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

25 ตวั อย่างท่ี 4 แมค่ า้ ซอ้ื เงาะโรงเรยี นมา 50 กโิ ลกรมั และซือ้ เงาะสชี มพอู กี 40 กิโลกรัม เป็นเงนิ รวมกนั 1,600 บาท ขายเงาะโรงเรียนได้กำไร 15 % ขายเงาะสชี มพไู ดก้ ำไร 20 % ถา้ แม่ค้าไดก้ ำไรทัง้ หมด 270 บาท จงหาวา่ แม่ค้าซ้อื เงาะโรงเรยี นและเงาะสีชมพมู าราคากโิ ลกรัมละกี่บาท วิธที ำ ให้ แม่คา้ ซอ้ื เงาะโรงเรียนมากโิ ลกรัมละ ______________ บาท และ แมค่ า้ ซือ้ เงาะชมพมู ากโิ ลกรัมละ ______________ บาท ดงั นน้ั แมค่ า้ ซอ้ื เงาะโรงเรียนมา 50 กโิ ลกรมั เป็นเงนิ ___________________ บาท ซ้อื เงาะสีชมพูมา 40 กโิ ลกรมั เป็นเงนิ ___________________ บาท จากโจทย์: แม่ค้าซ้ือเงาะโรงเรยี นและเงาะสีชมพูรวมกัน 1,600 บาท จะได้สมการ _____________________________________________________ จากโจทย์: ขายเงาะโรงเรียนไดก้ ำไร 15 % ดงั นนั้ แมค่ ้าขายเงาะโรงเรยี นได้กำไรทั้งหมด = ________________________________ บาท จากโจทย์: ขายเงาะสชี มพูไดก้ ำไร 20 % แม่คา้ ขายเงาะสชี มพูได้กำไรท้งั หมด = ________________________________ บาท จากโจทย์: แมค่ ้าขายเงาะท้งั สองชนดิ ไดก้ ำไรทงั้ หมด 270 บาท จะไดส้ มการ _____________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

26 ตวั อยา่ งที่ 5 เมอื ง A และเมอื ง B อยู่ห่างกนั 560 กิโลเมตร นงนชุ ขับรถยนต์จากเมือง A ไปเมอื ง B วธิ ที ำ ส่วนนงลักษณข์ บั รถยนตจ์ ากเมือง B ไปเมอื ง A บนเสน้ ทางเดียวกนั ทง้ั สองออกเดนิ ทางเวลา 6.00 น. และพบกันเวลา 10.00 น. โดยนงนุชขับรถไดร้ ะยะทางมากกว่านงลกั ษณ์ 80 กโิ ลเมตร จงหาวา่ แต่ละคนขบั รถด้วยอัตราเรว็ เทา่ ไร ให้ นงนุชขบั รถด้วยอัตราเร็ว x กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง นงลกั ษณ์ขับรถด้วยอตั ราเร็ว y กิโลเมตรต่อช่ัวโมง ท้ังสองขบั รถต้ังแต่เวลา 6.00 น. ถึง 10.00 น. คิดเป็นเวลา 4 ช่ัวโมง จะได้สมการเป็น 4x + 4y = 560 x + y = 140 -----------------(1) เวลา 4 ชั่วโมง นงนชุ ขบั รถไดร้ ะยะทางมากกวา่ นงลักษณ์ 80 กโิ ลเมตร จะไดส้ มการเป็น 4x − 4y = 80 x − y = 20 --------------------(2) (1) – (2); 2y = 120 y = 60 แทน y = 60 ในสมการ (1) จะได้ x = 80 ดังนั้น นงนชุ ขบั รถด้วยอตั ราเร็ว 80 กโิ ลเมตรต่อชว่ั โมง นงลักษณ์ขบั รถด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชว่ั โมง ตัวอยา่ งท่ี 6 ดินสอ 1 โหล ปากกา 3 ด้าม ราคารวมกันเปน็ 120 บาท แต่ดินสอ 3 แท่งกับปากกา 1 โหล ราคารวมกัน 255 บาท ดินสอและปากการาคาเท่าไร วิธที ำ ให้ ดินสอ 1 แทง่ ราคา _______________ บาท ปากกา 1 แทง่ ราคา _______________ บาท ดนิ สอ 1 โหล ปากกา 3 ด้าน ราคา = ________________________ บาท ดนิ สอ 3 แทง่ ปากกา 12 ดา้ ม ราคา = ________________________ บาท จะไดส้ มการเปน็ __________________________________ --------------(1) __________________________________ --------------(2) ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

27 คำชี้แจง: ให้นกั เรียนวเิ คราะหโ์ จทย์ แสดงวิธีทำ และหาคำตอบของโจทย์ปญั หาท่กี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี 1. ผลบวกของเลขสองจำนวนเป็น 78 ผลต่างของเลขสองจำนวนเป็น 6 จงหาเลขสองจำนวนนนั้ 2. เลขสองจำนวนซ่งึ ผลบวกของสองเท่าของจำนวนน้อยกบั สามเทา่ ของจำนวนมากเทา่ กับ 42 และสามเทา่ ของ จำนวนนอ้ ยมากกวา่ จำนวนมากอยู่ 8 จงหาเลขสองจำนวนนัน้ 3. ถ้าครง่ึ หนง่ึ ของผลบวกของจำนวนสองจำนวนเปน็ 43 และสามเทา่ ของจำนวนน้อยมากกวา่ สองเทา่ ของจำนวน มากอยู่ 23 จงหาจำนวนสองจำนวนน้ัน 4. ครอบครวั “รกั ทำสวน” มีพ้นื ท่ี 240 ไร่ วางแผนทจี่ ะปลูกถ่วั เหลอื งและข้าวโพดในปนี ี้วา่ เขาควรจะปลกู ถวั่ เหลืองมากกวา่ ขา้ วโพด 80 ไร่ จงหาวา่ ครอบครัวนป้ี ลูกถว่ั เหลอื งและข้าวโพดอย่างละกี่ไร่ 5. หา้ งสรรพสินค้าแห่งหน่ึงลดราคาถุงนอ่ งสตรีสองแบบ โดยขายถุงน่องแบบท่ีหน่งึ ราคาคู่ละ 20 บาท และถงุ นอ่ ง แบบท่สี องราคาคลู่ ะ 25 บาท เม่อื สิ้นสุดการขายวนั หนง่ึ พนกั งานพบวา่ ไดข้ ายถงุ น่องทง้ั สองแบบไป 55 คู่ และได้เงินรวม 1,250 บาท จงหาว่าพนักงานขายถุงน่องแตล่ ะแบบไปกคี่ ู่ 6. ณเดชมีเหรียญห้าบาทมากกวา่ เหรยี ญสิบบาทอยู่ 21 เหรียญ เมอ่ื นับดแู ลว้ จะมีมลู ค่าถึง 255 บาท ดังนนั้ ณเดชมเี หรียญทัง้ หมดกเ่ี หรยี ญ 7. ซื้อสม้ 30 กิโลกรัม มงั คุด 40 กโิ ลกรัม เป็นเงิน 460 บาท ขายสม้ ไปได้กำไร 15% และขายมงั คดุ ไปได้ กำไร 20% คิดแลว้ ไดก้ ำไรเป็นเงินทงั้ หมด 83 บาท อยากทราบวา่ ซือ้ ส้มและมังคุดมากิโลกรมั ละกี่บาท 8. ซื้อลกู อมมาสองชนดิ ราคาถงุ ละ 35 บาท และ 27 บาท นำมาคละกนั แล้วขายไปถุงละ 30 บาท ไดเ้ งนิ เทา่ ทุน พอดจี งหาอัตราสว่ นการผสมของลกู อมสองชนิด 9. แม่ค้าคนหน่ึงซอ้ื น้ำตาลทรายชนิดท่หี นง่ึ มากิโลกรมั ละ 8 บาท และชนิดท่ีสองกโิ ลกรัมละ 10 บาท รวมเปน็ เงนิ 1,000 บาท แล้วนำนำ้ ตาลทรายท้งั สองชนดิ มารวมกนั แล้วขายไปราคากิโลกรมั ละ 12 บาท ได้กำไร 32% จงหาว่าเขาซื้อน้ำตาลทรายมาอย่างละก่กี ิโลกรัม 10. ก และ ข ออกเดินทางจากที่เดียวกนั โดย ข ออกก่อน 2 ชั่วโมง ถ้าความเร็วของ ก และ ข ต่างกัน 20 ไมล์ต่อ ชั่วโมง ก จะต้องออกเดนิ ทางด้วยความเรว็ เทา่ ไรจงึ จะทนั ข ภายใน 4 ชัว่ โมง นับตง้ั แต่เริ่มต้น 11. อายขุ องฟา้ แกก่ วา่ อายขุ องฝน 6 ปี แต่ 1 ของอายุของฟ้ารวมกบั 1 ของอายุของฝนเทา่ กับ 12 ปี 43 จงหาอายุของฟ้าและฝน 12. เมือ่ 10 ปีท่ีผ่านมา บดิ ามีอายเุ ป็น 4 เทา่ ของบุตร ถ้าในอีก 6 ปีข้างหน้า บดิ าจะมอี ายุเป็น 2 เทา่ ของบุตร ปัจจุบนั บดิ ามีอายเุ ทา่ ไร 13. เมอ่ื สองปีท่ีแล้วสดุ ามีอายเุ ปน็ 6 เทา่ ของรักษา อีก 18 ปขี ้างหนา้ สุดาจะมีอายเุ ปน็ 2 เท่าของอายขุ องรกั ษา จงหาผลบวกของอายขุ องคนทงั้ สองในปัจจบุ ัน 14. ดา้ นของรูปส่เี หลยี่ มจตั รุ ัสรูปหน่งึ ยาวกวา่ ด้านของรูปสามเหลยี่ มด้านเท่ารูปหนง่ึ อยู่ 40 เซนติเมตร ถา้ ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลย่ี มจตั ุรัสมากกวา่ ความยาวรอบรูปของรปู สามเหลยี่ มด้านเทา่ อยู่ 24 เซนตเิ มตร จงหาความยาวรอบรปู ของแต่ละรปู

28 เอกสารประกอบการสอน เร่ืองกราฟและระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร วชิ า คณิตศาสตร์ 6 รหัสวชิ า ค23102 ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2564 ช่อื …………………………………………………………………………..ชัน้ …………..เลขท…ี่ ……….. ครผู ู้สอน นางสาวสมพร ขวัญสันเทยี ะ โรงเรียนสีคว้ิ “สวัสด์ผิ ดงุ วิทยา” สังกดั สำนกั การศกึ ษา ศาสนาและวฒั นธรรม องค์การบริหารสว่ นจังหวัดนครราชสีมา