ikinci_dereceden_denklemler_2

yayıncılık KSISEARvİe SÖZİ 2. DERECEDEN DENKLEMLER Engin GÜNÇE

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER DENKLEMİN KURULUŞU ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklemlerdir. Üç farklı çözüm tekniği vardır: I) Çarpanlara ayırma II) Tam kare ifadeye benzetme III) Diskriminant yöntemi NOT: Diskriminant yönteminde 3 = b2 – 4ac x1 = –b + 3 , x2 = –b – 3 olur. 2a 2a Burada denklemi ax2 + bx + c = 0 haline getirmek ön şarttır. Örnek x= 6x – 5 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. x ÇÖZÜM Örnek Bir tezgâhtar tanesi 3x – 6 TL olan gömleklerden x + 5 adet satıyor ve bu satıştan ₺54 ciro elde ediyor. Buna göre x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM İfade eğer 2. Dereceden değilse, uygun dönüşümler yapılarak denklem ax2 + bx + c = 0 formatına getirilir. 2

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Örnek x – 3 x – 4 = 0 denklemini sağlayan x reel sayısını bulunuz. ÇÖZÜM Örnek a bir reel sayı olmak üzere, a4 = 5a2 – 4 eşitliğini sağlayan a değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Örnek x bir gerçel sayı olmak üzere, (x2 + 2x)2 – 2 . (x2 + 2x) – 3 = 0 denklemini sağlayan farklı x değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Bir denklemin kökü o denklemi sağlar. Örnek x2 = x + 5 denklemini sağlayan x gerçel sayılarından biri a olmak üzere, (a + 2)(a – 3) çarpımının sonucu kaçtır? A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 ÇÖZÜM 3

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Örnek Aşağıdaki denklemlerin gerçel sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz. a) x – 2 = 16 x+4 b) x(x – 6) = 2x – 16 c) x2 = 2x – 5 SONUÇ: ax2 + bx + c = 0 denkleminde I) 3 > 0 ise iki farklı gerçel (reel) kök vardır II) 3 = 0 ise eşit (çakışık) iki reel kök vardır III) 3 < 0 ise reel kök yoktur. ax2 + bx + c = 0 (a, b, c gerçel sayı) ifadesinde 3 = 0 olduğunda  Çözüm kümesi bir elemanlıdır  Eşit iki gerçel kök vardır  ax2 + bx + c ifadesi tam karedir. Örnek x2 – mx + 4 = 0 denkleminin gerçel sayılarda çözüm kümesi boş küme olduğuna göre m’nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 7 ÇÖZÜM 4

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Örnek a bir gerçel sayı olmak üzere, (x – 3)2 = a – 4 denklemini sağlayan bir x gerçel sayısı olduğuna göre a kaçtır? A) 1 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM Örnek a bir gerçel sayı olmak üzere, ax2 – ax + 1 =0 a denkleminin iki farklı gerçel kökü olduğuna göre, a’nın en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır? A) 3 B) 2 C) 4 D) 1 E) 5 ÇÖZÜM Örnek (x2 – ax + 5)2 – 6 . (x2 – ax + 5) + 9 = 0 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi iki elemanlı olduğuna göre, a’nın en büyük negatif tam sayı değeri kaçtır? A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1 Örnek x2 – 12x + m – 3 = 0 denkleminin kökleri birer doğal sayıdır. Buna göre, m kaç farklı değer alır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ÇÖZÜM 5

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KÖK KATSAYI İLİŞKİSİ ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, I) x1 + x2 = – b a II) x1 . x2 = c a III) |x1 – x2| = 3 |a| IV) Kökler simetrik ise b = 0 ifadeleri kullanılır. Bu formülleri aslında x1 = –b + 3 , x2 = –b – 3 2a 2a eşitliklerini kullanarak sizler de çıkarabilirsiniz. Örnek x2 + 5x – 10 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere, I. x1 ve x2 birbirinden farklı iki negatif gerçel sayıdır. II. Kökler arası uzaklık 8’den küçüktür. III. x12 + x22 = 45’tir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III ÇÖZÜM Örnek x= x +1 x–b denklemini sağlayan x değerleri toplamı –4 olduğuna göre, b kaçtır? A) –5 B) –4 C) 2 D) –3 E) 3 ÇÖZÜM 6

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Örnek a ve b gerçel sayılar olmak üzere, x2 – 4x + a = 0 … (I) x2 + bx – 4 = 0 … (II) denklemleri verilmiştir. I no’lu denklemin kökler toplamı, II no’lu denklemin bir kökü ve II no’lu denklemin kökler çarpımı I no’lu denkle- min bir kökü olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –29 B) 32 C) –35 D) 35 E) –30 ÇÖZÜM Örnek 0<a< r olmak üzere, 2 2x2 – sina . x – 4 = 0 denklemini sağlayan x değerleri toplamı 1 olduğuna göre, a değeri aşağıdakilerden hangisidir? 4 A) r B) r C) r D) r E) r 3 4 8 6 12 ÇÖZÜM Örnek 2x2 – 6x + m – 3 = 0 denkleminin kökleri a ve b gerçel sayılarıdır. 2a – b = 9 olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) –3 B) –2 C) –4 D) –6 E) –5 ÇÖZÜM 7

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KARMAŞIK SAYILAR –1 ! R olduğundan –1 ifadesine sanal sayı anlamında –1 = i adı verilir. Buradan i2 = –1 olur. Dolayısıyla x2 + 1 = 0 denkleminde x2 = –1, x1 = –1 ve x2 = – –1 olur. Yani x1 = i ve x1 = –i olur. Çözüm kümesi de Ç = {–i, i} olarak yazılır. Buna göre aşağıdaki karmaşık sayıları i türünden yazınız. –4 = –9 = –12 = 9 + –16 = a ile b birer gerçel sayı olmak üzere z = a + ib sayılarına karmaşık sayılar denir ve bu sayıların oluşturduğu kümeye Karmaşık Sayılar Kümesi denir. Karmaşık Sayılar Kümesi, gerçel (reel) sayılar kümesini kapsar ve C ile gösterilir. z = a + ib ifadesinde a reel kısım olup Re(z) = a, b imajiner (sanal) kısım olup İm(z) = b biçiminde gösterilir. Örnek Aşağıdaki karmaşık sayıların reel ve sanal kısımlarını yazınız. Karmaşık Sayı Reel Kısım Sanal Kısım –3i + 5 –60 + 40 –3i 7 –1 = i veya i2 = –1 olmak üzere i1 = i i2 = –1 ifadesi periyoduk olarak devam eder. i3 = –i i4 = 1 8

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Örnek i15 + i17 toplamının sonucu nedir? ÇÖZÜM NOT: z, z karmaşık sayısının eşleniğidir. Eşleniği oluştururken karmaşık sayının sanal kısmının işareti değiştirilir. z = a + bi ise z = a – bi olur. z z 3 – 2i 4i – 5 –7i 12 12 – 3 Örnek z1 = 2 – 3i , z2 = 1 + i olmak üzere, a) z1 + z2 ifadesinin sonucunu bulunuz. b) z1 – z2 ifadesinin sonucunu bulunuz. c) 2z1 – 4z2 ifadesinin sonucunu bulunuz. d) z1 . z2 ifadesinin sonucunu bulunuz. e) z1 ifadesinin sonucunu bulunuz. z2 9

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Örnek Karmaşık sayılar kümesinde, (3 – i) . (3 – 9i) . i (1– 2i) . (1+ 2i) işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 3 C) 2 D) 6 E) 5 ÇÖZÜM Örnek z karmaşık sayısının eşleniği z olmak üzere, 7+i =z+i z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 – i B) 1 – 3i C) 1 – 2i D) 1 + 4i E) 1 – 5i ÇÖZÜM 10

İKİNCİ DERECEDEN SIRA SENDE - 1 DENKLEMLER 1. A, B ve C kümeleri için, 5. x2 – 2x – 2 = 0 denkleminin diskriminantı 2x2 – x + c = 0 denkleminin bir kökü olduğuna göre, A = {(x, 4 – x)) : x ! R} c kaçtır? B = {(x, x2 + 2x) : x ! R–} C = {(x, 3x) : x ! R+} A) –144 B) –276 C) 184 D) –288 E) 288 şeklinde tanımlanıyor. (a, b) ! A + B ve (c, d) ! B + C olduğuna göre b–a c+d ifadesinin değeri kaçtır? A) 1 B) –1 C) 2 D) 3 E) 4 6. m bir gerçel sayı olmak üzere, 2x2 – mx – 12 = 0 denkleminin kökler toplamı 3 oldu- ğuna göre, 3x2 – 2x + m + 3 = 0 denkleminin kökler çarpımı kaçtır? 2. a ile b sıfırdan ve birbirinden farklı birer gerçel sayı ol- A) 1 B) –1 C) 0 D) –2 E) 3 mak üzere, x2 + (a + 2)x + 2b – 2a = 0 denkleminin köklerinden biri a – b sayısıdır. Buna göre, b oranı aşağıdakilerden hangisidir? unschool.com.tr a A) 1 B) 1 C) 3 D) 2 E) 1 2 3 7. a ≠ 0 olmak üzere, x2 – 4x + a = 0 denkleminin kökler çarpımı aynı zaman- da bu denklemin bir kökü olduğuna göre, a kaçtır? 3. Karmaşık sayılar kümesinde, A) –1 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3 (6 – 2i) . (9 + 3i) (1– i) . (1+ i) E) 25 işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 15 C) 10 D) 20 4. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, 8. a, b, c ve d pozitif reel sayılar olmak üzere, 2x2 – 5ax + 8b = 0 x2 – 2x + 3 = 0 denkleminin kökleri a ve b’dir. Buna göre, b kaçtır? denkleminin köklerinden biri a – bi, x2 – 4x + 5 = 0 denkleminin köklerinden biri c + di olduğuna göre, a . b . c . d çarpımı kaçtır? A) –2 2 B) 2 C) 0 E) – 2 A) 12 B) 6 C) 8 D) 4 E) 10 D) 2 2 1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.E 7.E 8.D 11

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER KÖKLERİ VERİLEN 2. DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN KURULUŞU ax2 + b + c = 0 (a ≠ 0) denkleminde a : cx2 + b x + c m = 0 biçiminde düzenleme yaparsak a a x1 + x2 = – b (kökler toplamı) → T a x1 . x2 = c (kökler çarpımı) → Ç a düzenlemesinden sonra a . (x2 – T . x + Ç) = 0 biçiminde yazılabilir. Örnek Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden P(x) polinomu için P(x) = 0 denkleminin kökleri –3 ve 7 olduğunda, P(x) = 0 denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x2 + 4x – 21 = 0 B) x2 – 4x – 21 = 0 C) x2 – 12x + 7 = 0 D) x2 + 2x – 12 = 0 E) x2 + 4x –12 = 0 ÇÖZÜM Örnek x2 – 5x + 2 = 0 denkleminin kökleri a ve b olmak üzere, kökleri 2a ve 2b olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) –x2 + 10x – 8 = 0 B) x2 + 10x + 8 = 0 C) 2x2 – 10x + 16 = 0 D) –x2 – 10x + 8 = 0 E) x2 + 8x – 10 = 0 ÇÖZÜM Örnek 3x2 – (a – 1)x + 6 = 0 2x2 + (a + 1)x + b – 3 = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, a . b çarpımı kaçtır? A) 5 B) 7 C) – 7 D) 1 E) – 3 7 5 5 7 7 ÇÖZÜM 12

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Bilinmeyen sayısı iki tanedir ve bu bilinmeyenlerden en az birinde ikinci dereceden bir ifade vardır. Yine aynı şekilde yok etme, çarpanlara ayırma veya yerine koyma metotları uygulanır. Örnek x ve y gerçel sayılar olmak üzere, x2 + 3y2 = 7 2x2 + y2 = 9 denklem sistemini sağlayan x ve y değerleri için x . y çarpımının pozitif değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 ÇÖZÜM Örnek x ve y gerçel sayılar olmak üzere, x2 – xy – 2y2 + x + y = 8 x+y=1 olduğuna göre, x – y farkı kaçtır? A) 5 B) 1 C) 0 D) –4 E) –3 ÇÖZÜM Örnek x ve y gerçel sayılar olmak üzere, 62x + 62y = 153 6y – 3 . 6x = 3 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) 6 ÇÖZÜM 13

SIRA SENDE - 2 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER 1. Baş katsayısı 3 olan ikinci dereceden P(x) polinomu 4. a ve b pozitif gerçel sayılar olmak üzere, verilsin. a2 + 2b2 = 19 P(x) = 0 denkleminin kökleri 1 ve 2 olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? b =3 a A) 3x2 – 9x + 9 B) 3x2 – 9x + 6 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? C) 3x2 – 3x + 2 D) 3x2 – 3x + 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 E) 3x2 – x – 2 2. a, b ve c birer gerçel sayı olmak üzere, ikinci dere- unschool.com.tr 5. x ve y gerçel sayılar olmak üzere, ceden ax2 + bx+ c = 0 denkleminin köklerinden biri x2 – 3y2 = 6 2 – 3i’dir. x + 2y = 1 olduğuna göre, x . y çarpımının alabileceği en kü- Buna göre, a’nın en küçük doğal sayı değeri için çük değer kaçtır? a + b + c toplamı kaçtır? A) –75 B) –15 C) –3 D) –50 E) –45 A) 10 B) 9 C) 12 D) 11 E) 7 3. Koordinat düzleminde merkezi M(a, b) ve yarıçapı r 6. x ve y gerçel sayılar olmak üzere, olan çemberin denklemi x2 – y2 = 12 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x–y=2 olduğuna göre, x . y çarpımı kaçtır? formülüyle gösterilmektedir. Denklemi x2 + y2 = 5 olan çember ile y – 3x = 7 doğ- rusunun kesiştikleri noktalar A ve B olduğuna göre, |AB| uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 5 C) 10 10 10 5 D) 3 E) 3 A) –5 B) 4 C) 8 D) 0 E) –4 5 10 1.B 2.A 3.C 4.D 5.E 6.C 14