FONKSİYONLAR Örnek y y = f(x) –3 01 23 x –4 –2 –1 y = g(x) Yukarıda, y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. h(x) = f(x) – g(x) olduğuna göre, h(x) fonksiyonunun negatif tanımlı olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (–3 , –3) £ (1, 2) B) (–2, 1) C) (–3, 1) D) (1, 3) E) (–3, 1) £ (1, 2) h(x) negatif tanımlı olduğuna göre, h(x) < 0 f(x) – g(x) < 0 , f(x) < g(x) yazılabilir. Bu da f(x)’in grafiğinin g(x)’in grafiğinin altına kaldığı kısım olan (–2, 1) aralığını işaret eder. Cevap B şıkkıdır. FONKSİYONLARIN ARTAN, AZALAN OLDUĞU ARALIKLAR 99 x büyüdükçe f(x) büyüyorsa f artan, x büyüdükçe f(x) küçülüyorsa f azalandır. 99 Entelcesini yazarsak; x2 > x1 için f(x2) > f(x1) ise f artan, x2 > x1 için f(x2) < f(x1) ise f azalandır. 99 y y = f(x) b x a (–3, a] £ [b, +3) aralığında f artan [a, b] aralığında f azalandır. 51
FONKSİYONLAR Örnek f(x) fonksiyonu [–2, 3] aralığında artan, [3, 7] aralığında azalandır. Buna göre, I) f(0) > f(–1) II) f(2) > f(6) III) f(5) > f(7) ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III Bu soru için temsili yandaki grafiği çizebiliriz: f(0) > f(–1) olduğu görülüyor. f(2) ile f(6) arasında kesin bir yorum yapa- mayız. Fakat f(5) > f(7) olduğu açıktır. Yani cevap D şıkkıdır. –2 –1 0 2 3 567 FONKSİYONLARIN EN BÜYÜK, EN KÜÇÜK DEĞERLERİ Fonksiyonların tanımlı oldukları aralıkta –varsa– görüntü kümesinin en büyük elemanına maksimum değer, yine eğer –varsa– görüntü kümesinin en küçük elemanına minimum değer denir. Maksimum değere ait olan noktaya maksimum nokta, minimum değere ait olan noktaya minimum nokta denir. Burada özellikle “varsa” ifadesini kullandım. Çünkü her fonksiyon bu değerlere sahip olmayabilir. 99 y Yandaki fonksiyonun en büyük değeri b’dir. b Ama en küçük değeri yoktur. A(a, b) noktası maksimum noktasıdır. 0 ax 99 y Yandaki fonksiyonun en küçük değeri b ve minimum noktası A(a, b)’dir. 0 a b x Ama en büyük değeri yoktur. 52
FONKSİYONLAR 99 y y3 y1 x4 x Yandaki fonksiyonun en büyük değeri y3 ve maksimum 0 x3 noktası A(x3, y3)’tür. x2 En küçük değeri y4 ve minimum noktası B(x4, y4)’tür. x1 y2 y4 Örnek y 3 –4 3 4 x 0 5 3 y = f(x) –4 [–4, 5] kapalı aralığında tanımlı y = f(x)’in grafiği yukarıda verilmiştir. Buna göre, I) [1, 3] kapalı aralığında f azalandır II) |f(x)|’in en büyük değeri 4’tür III) (fof)(a) değerini en büyük yapan a değerleri toplamı 4’tür ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) Yalnız II E) I, II ve III Grafiğe bakıldığında [1, 3] aralığında görüntüler gittikçe küçülüyor. Dolayısıyla f bu aralıkta azalandır. Yani I doğru. y = |f(x)|’in grafiği, y şeklinde olduğundan en büyük değerin 4 olduğu görülmektedir. O zaman II de doğru. 4 Gelelim son kısma: 3 (fof)(a)’nın en büyük değeri alması demek, f(f(a))’nın en büyük değeri alması yani –4 3 4 5 x f(f(a)) = 3 olması demektir. O zaman 0 f(a) = 0 ve a = –4, 3, 5 olur. Toplamları ise 4’tür. O zaman cevap E şıkkıdır. 53
FONKSİYONLAR Bir Fonksiyonun Ortalama Değişim Hızı Bir fonksiyonun [a, b] aralığında y’deki değişiminin x’deki değişimine oranına o fonksiyonun [a, b] aralığındaki “ortalama değişim hızı” denir. y y = f(x)’in [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı, y = f(x) f (b) – f (a) olur. b–a f(b) a x 0 b f(a) Örnek f(x) = x – x3 fonksiyonunun [–1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır? Bu soruda, f (3) – f (–1) = f (3 – 33) – (–1– (–1)3) 3 – (–1) 4 ifadesini –24 = –6 = –6 olarak buluruz. 4 “Doğrusal fonksiyonların tüm aralıklarda değişim hızları aynıdır ve bu eğime eşittir.” Örnek y = f(x) doğrusal fonksiyonu için, • [m, 2m + 7] kapalı aralığında tanımlıdır • f(x) = (2m – 5)x + 15 şeklindedir • Tanımlı olduğu aralıkta ortalama değişim hızı m – 3’tür ifadeleri verildiğine göre f(x) fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır? A) 4 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13 f doğrusal olduğundan tüm aralıklarda değişim hızı eğimdir. 2m – 5 = m – 3 ise m = 2 olur. O zaman [m, 2m + 7] aralığı [2, 11] ve f(x) = –x + 15 olur. Eğim negatif olduğundan fonksiyon azalan ve en büyük değerini f(2) = 13 olarak alır. Cevap E şıkkıdır. 54
FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 9 1. f(x) = 2–x 5. Gerçel sayılarda tanımlı x +1 f(x) = |x – 4| – |x + 2| fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı aşağıdakilerden hangisidir? fonksiyonu veriliyor. A) – 3 B) – 9 C) –1 Buna göre, 10 10 I) [–2, 4] kapalı aralığında f azalandır II) f’nin en büyük değeri 6’dır D) – 1 E) – 1 III) x > 4 için f artandır 5 6 ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III 2. y = f(x) fonksiyonu [–3, 6] aralığında negatif değerli ar- D) II ve III E) I, II ve III tan bir fonksiyondur. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) f(0) . f(–2) < 0 B) fc– 3 m > fc 17 m 2 3 C) [0, 9] aralığında f(x – 3) azalandır D) [–3, 6] aralığında –f(x) azalandır 6. y E) |f(–2)| < f(3) unschool.com.tr 3 –4 4 x 0 x2 – x – 6 , x < –1 3. f(x) = 3x – 12 , x ≥ –1 fonksiyonunun x ekseninin kestiği noktaların ap- –5 sisleri toplamı kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 [–4, 4] kapalı aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir. Buna göre, f(a) = f(b) = 0 4. y = f(x) fonksiyonu için f(c) . f(d) > 0 • Azalan bir fonksiyondur • Doğrusaldır ifadelerini sağlayan birbirinden farklı a, b, c, d sa- • Tanım kümesi [–3, 6] kapalı aralığıdır yıları için • Görüntü kümesi [–4, 5] kapalı aralığıdır I) a < c < d < b ifadeleri veriliyor. II) c < b < a < d Buna göre f(0) kaçtır? III) a < c < b < d eşitsizliklerinden hangileri doğru olabilir? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III A) 2 B) –1 C) 4 D) –3 E) 0 D) II ve III E) I, II ve III 1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 55
SIRA SENDE - 9 FONKSİYONLAR 7. y 9. Derinliği 18 cm olan boş bir kap, birim zamanda eşit miktarda su akıtan bir musluk tarafından 4 dakikada 3 x tamamen dolduruluyor. Aşağıdaki grafik, bu kaptaki 2 suyun yüksekliğinin zamana bağlı değişimini vermek- 1 tedir. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Su yüksekliği (cm) 18 Dik koordinat düzleminde [–3, 3] kapalı aralığında ta- Zaman (dakika) nımlı f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. 4 (fof)(x) fonksiyonu en küçük değerini x = a noktasında Buna göre, kabın şekli aşağıdakilerden hangisi ola- aldığına göre, bilir? (Kabın su girişinin olduğu kısım aşağıdaki şekil- lerde üstte kalmaktadır.) a sayısı aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) B) A) (–1, 0) B) (1, 2) C) (–3, –2) D) (2, 3) E) (–2, –1) unschool.com.tr C) D) E) 8. Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu azalan, g fonksiyo- nu artan birer fonksiyondur. • f(3m – 3) < f(2m + 7) • g(4m – 17) < g(2m + 15) eşitsizlikleri verildiğine göre, m’nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? A) 27 B) 42 C) 65 D) 72 E) 90 7.B 8.C 9.C 56
FONKSİYONLAR TEK – ÇİFT FONKSİYONLAR f: [–a, a] → R olmak üzere her x ‰ [–a, a] için f(–x) = f(x) ise f çift fonksiyondur. Burada fonksiyonun tanım aralığının y eksenine göre simetrik olduğuna da dikkat edelim. f: R → R ifadesi için de f(–x) = f(x) oluyorsa f çift fonksiyondur. Yani buradan çıkaracağımız sonuç şu: Bir fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise o fonksiyon çift fonksiyondur. 99 f: R → R f(x) = x2 çift fonksiyondur. Çünkü x ‰ R için f(–x) = (–x)2 = x2, f(–x) = f(x) olur. 99 f: [–5, 5] → R f(x) = 3x4 – 2x2 + 7 fonksiyonu çift fonksiyondur. Çünkü x ‰ [–5, 5] için f(–x) = 3 . (–x)4 – 2.(–x)2 + 7 f(–x) = 3x4 – 2x2 + 7 , f(–x) = f(x) olur. 99f: [–3, 4] → R , f(x) = –x2 + 6 fonksiyonu çift fonksiyon değildir. f(–x) = f(x) olmasına rağmen tanım kümesi olan [–3, 4] kapalı aralığı y eksenine göre simetrik değildir. Örnek olarak, f(–4) = f(4) olmaz. Çünkü –4 elemanı tanım kümesinde yoktur, 4 elemanı tanım kümesinde vardır. 99f: R → R f(x) = |x| + x2 + 6 fonksiyonu çift fonksiyondur. x ‰ R için f(–x) = |–x| + (–x)2 + 6 , f(x) = |x| + x2 + 6 , f(–x) = f(x) olur. 99f: R → R f(x) = |x – 4| + x4 + 5 fonksiyonu çift fonksiyon değildir. Çünkü, f(–x) = |–x – 4| + (–x)4 + 5 , f(–x) = |x + 4| + x4 + 5 f(–x) ≠ f(x) olur. f: [–a, a] → R olmak üzere, her x ‰ [–a, a] için f(–x) = –f(x) ise f(x) tek fonksiyondur. Burada da çift fonksiyonda olduğu gibi tanım kümesinin y eksenine göre simetrik olduğuna dikkat edelim. Yine aynı şekilde, f: R → R ifadesi için de f(–x) = –f(x) oluyorsa f tek fonksiyondur. O zaman şu sonucu çıkarabiliriz: Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrik ise o fonksiyon tek fonksiyondur. 99f: [–6, 7] → R , f(x) = x3 fonksiyonu f(–x) = –f(x) koşulunu sağlamasına rağmen tek değildir. Çünkü, tanım kümesi olan [–6, 7] kapalı aralığı y eksenine göre simetrik değildir. 99f: [–6, 6] , f(x) = –4x3 + 5x fonksiyonu tek fonksiyondur. x ‰ [–6, 6] için f(–x) = –4(–x)3 + 5(–x) f(–x) = 4x3 – 5x , f(–x) = –f(x) olur. 57
FONKSİYONLAR O zaman konuyu özetleyelim Tanım kümesi y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda “–” yi yutan fonksiyonlar çift “–” yi kusan fonksiyonlar tektir. 99f: R → R f(x) = x fonksiyonu için, x2 + 4 f(–x) = –x 4 , f(–x) = – x 4 , f(–x) = –f(x) olduğundan f tek fonksiyondur. (–x)2 + x2 + Bir fonksiyon tek veya çift olmak zorunda değildir. 99İkisi de olmayabilir. Örneğin, f: [–4, 4] → R, f(x) = 2x2 + x + 1 fonksiyonu f(–x) = 2x2 – x + 1 olduğundan ne tek ne çifttir. 99İkisi de olabilir. Ama bunu sağlayan sadece bir fonksiyon vardır. O da tanım kümesi y eksenine göre simetrik olmak koşuluyla f(x) = 0 (sıfır fonksiyon) fonksiyonudur. f(–x) = f(x) ve f(–x) = –f(x) koşulunun ikisi de sağlanır. Grafiği inceleyelim: y x 0 (y = 0 doğrusu) y = 0 doğrusu yani x ekseni hem orijine hem de y eksenine göre simetriktir. O zaman tek fonksiyon çift fonksiyon karşılaştırması yapalım mı? Çift Fonksiyon Tek Fonksiyon 99 f(–x) = f(x) 99 f(–x) = –f(x) 99 Polinom şeklindeyse sadece çift dereceli 99 Polinom şeklindeyse sadece tek dereceli terimlerden oluşmalı terimlerden oluşmalı 99 y eksenine göre simetrik 99 Orijine göre simetrik 58
FONKSİYONLAR SIRA SENDE - 10 1. f fonksiyonu orijine göre simetrik olmak koşuluyla, 4. f: R → R biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. f(–x) + 2f(x) = (x – 3)2 + ax2 + b y eşitliği verildiğine göre f(a + b) değeri kaçtır? 4 A) –40 B) –60 C) 60 D) 40 E) 75 x 04 f Buna göre, I) f(|x|) çift fonksiyondur II) f(–x) tek fonksiyondur III) –f(–x) tek fonksiyondur ifadelerinden hangileri doğrudur? 2. I) İki veya daha fazla tek fonksiyonun toplamı veya A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III farkı tek fonksiyondur D) II ve III E) I, II ve III II) İki veya daha fazla çift fonksiyonun toplamı veya farkı çift fonksiyondur unschool.com.tr III) İki tek fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III 3. f fonksiyonu için 5. Reel sayılarda tanımlı f fonksiyonu tek, g fonksiyonu çift fonksiyondur. f(x) = x2 – 4x + 7 eşitliği veriliyor. f(–7) + g(12) = –21 olduğuna göre, g(–12) – f(7) değeri kaçtır? g(x) = f(x + a) ifadesini sağlayan g fonksiyonu y ek- senine göre simetrik olduğuna göre, a kaçtır? A) 21 B) –21 C) 10 D) –10 E) 0 A) 2 B) 3 C) –1 D) 0 E) –3 1.C 2.E 3.A 4.A 5.B 59
SIRA SENDE - 10 FONKSİYONLAR /n 8. y 5 6. f (k) = f(m) + f(m + 1) + … + f(n) k=m biçiminde yazılır. (n > m) Örneğin; –4 0 x 4 /5 f (k) = f(–1) + f(0) + … + f(5) k = –1 olmaktadır. f(x) = x olduğuna göre, x2 + 1 /6 [–4, 4] kapalı aralığında tanımlı f çift fonksiyonu veril- f (k) değeri aşağıdakilerden hangisidir? miştir. k = –5 A) 0 B) 4 C) 5 D) 6 E) 1 Buna göre, 17 26 37 I) f(x) + f(|x|) çift fonksiyondur II) –f(x) – |f(x)| tek fonksiyondur III) f(x + 4) + |f(x)| çift fonksiyondur ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve III C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III unschool.com.tr 7. f: R → R olmak üzere aşağıdaki fonksiyonların han- gisi tek fonksiyondur? A) f(x) = x |x| + 7 9. f(x) = (x2 – x + 1)20 + (x2 + x + 1)20 fonksiyonu veriliyor. B) f(x) = cosx + sinx f(x) fonksiyonunun açık şekli, f(x) = a . x40 + … + b . x17 + … + c C) f(x) = x2 2 şeklinde olduğuna göre, cosx + a + b + c toplamı kaçtır? D) f(x) = x2 + 7x + 1 E) f(x) = x4 + 1 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 x2 + 1 6.D 7.A 8.A 9.E 60
Search
