Angulos_en_la_circunferencia

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1 7 – ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:Resuelve los siguientes ejercicios:1) En cada caso, calcula α y β siendo O el centro de la circunferencia y justifica tu respuesta:a) b) c) t es tangente a C α 76º 30º O β t 68º O α α βd) e) f) AP y BQ son tangentes a la circunferencia. 56º α Aα x 110º O 40º B β 50º 28º PQAngulo inscripto en una circunferencia: ángulo cuyo vértice pertenece a la circunferencia y cuyos lados son secantes a la misma.Angulo al centro en una circunferencia: ángulo con vértice en el centro de la circunferencia.Otro ejercicio: → ¿Cuánto mide APˆB ?a) APB inscripto en (CO) AB diámetrob) APB inscripto en (CO) → ¿Qué se puede decir de APB? APB = 90ºA partir de este ejercicio, se puede concluir el famoso…Lugar Geométrico de Tales: Dada una cuerda fija AB, el conjunto de puntos del plano que \"ven\" al segmento AB bajoun ángulo recto es la circunferencia de diámetro AB (exceptuando los puntos A y B).™ ¿Qué relación encuentras entre la medida de un ángulo inscripto y el ángulo al centro que abarca el mismo arco? Justifica tu respuesta.Sugerencia: considera primero el caso en que uno de los lados del ángulo inscripto pasa por el centro de lacircunferencia. Utilizando eso deduce la propiedad para el caso en que el centro es interior al ángulo y por último para elcaso en que es exterior.™ ¿Qué relación encuentras entre ángulos inscriptos que abarcan la misma cuerda? ¿Y si están en diferentes semiplanos respecto de ella?2009 7 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1Angulo semiinscripto en una circunferencia: ángulo con vértice pertenece a la circunferencia, uno de sus lados essecante a la misma y el otro es tangente.Qué relación encuentras entre un ángulo semiinscripto y el inscripto que abarcan el mismo arco?ARCO CAPAZ P' P A BSi consideramos A, B, P pertenecientes a una circunferencia de centro O ycualquier punto P' perteneciente al arco AB que contiene a P™ ¿Qué puedes decir de APˆB y APˆ ' B ?¿Por qué?Concluimos que la medida del ángulo APB = α es constante para cualquierpunto que pertenezca al arco AB y a un mismo semiplano de borde AB.Por otro lado...Vamos a considerar A, B, P pertenecientes a (CO) , I ∈ AP, E ∈ op PA.Denominamos AIB = β, APB = α, AEB = γ.™ ¿Qué relación existe entre α y β? ¿Por qué?™ ¿Y entre α y γ?Deducimos que:- si un punto E es exterior a la circunferencia → el ángulo AEB es menorque el ángulo inscripto APB- si un punto I es interior a la circunferencia → el ángulo AIB es mayorque el ángulo inscripto APBVemos que todos los puntos que son vértices de ángulos que \"ven\" al segmento AB bajo un ángulo demedida α constante, están en un mismo arco AB.Con lo visto podemos dar la siguiente definición:Arco Capaz de segmento AB y ángulo α: conjunto de puntos que 'ven' al segmento AB bajo un ángulo α y están en un mismo semiplano de borde AB.™ ¿Puedes escribir esta definición en términos de “Lugar Geométrico”?Ejercicios “teóricos” importantes:1. Dada C O, r calcula en función de r la medida de las cuerdas correspondientes a ángulos inscriptos de 30º, 45º, 60º, 90º y 120º.2. Bisectrices de los ángulos inscriptos en la misma cuerda: Se da C O, r, una cuerda PQ en ella y X un punto que varía en uno de los arcos PQ. Demostrar que las bisectrices de los ángulos PXQ pasan por un punto fijo e indicar cuál es. ¿Qué propiedad interesante utilizaste para resolver este ejercicio? Enúnciala para poder utilizarla en futuros problemas3. Justificar que en todo triángulo, la mediatriz de un lado y la bisectriz del ángulo opuesto se intersecan en un punto perteneciente a la circunferencia circunscripta a dicho triángulo.4. Dado el segmento AB, construir: i) AC AB, 30º ii) AC AB, 45º iii) AC AB, 120º iv) AC AB, α Encuentra al menos tres maneras de hacerlo para cada caso.2009 8 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1Angulo interior a una circunferencia: ángulo cuyo vértice es interior a la circunferencia.¿Puedes encontrar una relación entre el ángulo interior AIB y los ángulos al centroAOB y DOC?Angulo exterior a una circunferencia: ángulo cuyo vértice es exterior a lacircunferencia y cuyos lados son secantes con ella.¿Puedes encontrar una relación entre el ángulo exterior AEB y los ángulos alcentro AOB y DOC?2009 9 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1Cuadriláteros inscriptosCuadrilátero inscripto en una circunferencia: cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una circunferencia.™ ¿Qué relación existe entre los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscriptible? Justifica tu respuesta.™ ¿Puedes enunciar y demostrar una condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea inscriptible a partir de la respuesta anterior?™ ¿Existe algún paralelogramo inscriptible? Justifica.™ ¿Existe algún trapecio inscriptible? Justifica.Cuadriláteros circunscriptosCuadrilátero circunscripto a una circunferencia: cuadrilátero con sus cuatro lados tangentes a la misma.™ ¿Qué relación existe entre la suma de los lados opuestos? Justifica tu respuesta.Sugerencia: recuerda el resultado obtenido en el ejercicio 7 del repartido 2.™ ¿Es cierta la propiedad recírpoca? Justifica tu respuesta.b) Si los lados opuestos de un cuadrilátero suman lo mismo, entonces es circunscriptible a unacircunferencia. (ABCD) con AB + CD = BC + DA (ABCD) circunscriptible a una circunferenciaDem. Construimos ( CAB,BC,CD ) tangente a AB, BC y CD respectivamente.Si suponemos que (ABCD) no es circunscriptible → → existe X ∈ CD / (ABCX) circunscripto a ( CAB,BC,CD ) ⎯( ? )→ → AB + CX = AX + BC (1)como AB + CD = AD + BCy CD = CX +/- XD → AB + CX +/- XD = AD + BC → → AB + CX = AD + BC +/- XD (2)⎯ de (1) y (2) → AX = AD +/- XD cosa que no puede ser si miramos el triángulo (AXD)2009 10 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1 PROBLEMAS – REPARTIDO 71.- Hallar x Sabiendo que t tangente a (C) en T.2.- i) AOB = 100º, ABT = 75º. ii) AOB = 115º, t tangente a (C) en T. BOC = 105º. Hallar x. Hallar ADC.3.- (ABC) rectángulo en A e isósceles. P ∈ BC. Med AP ∩ med BP = {Q}. Demostrar que (AQP) rectángulo. (Sug: construir la circunferencia circunscipta al (ABP)).4.- t tangente a (C) en T, r pasando por O Hallar x en función de α.5.- AB cuerda de una circunferencia. Por A se traza la tangente a la circunferencia y sobre dicha recta se toma un punto C / AC = AB. D el punto de intersección de BC con la circunferencia. Probar que DC = DA.6.- (CO,r ) de diámetro AB y CD una cuerda paralela a AB, (ABCD) antihorario. La perpendicular por C a AD corta a la tangente a (CO,r ) en A en el punto H. i) Probar que HAC es isósceles. ii) Probar que HAD es isósceles. iii) Cuando HAC equilátero, hallar CD en función de r.7.- i) Dados A y B fijos de modo que AB = 4 cm. construya el arco capaz para ángulos de 30º, 45º, 60º, 90º, 120º. ii)Dada CO,r calcule en función de r las cuerdas correspondientes a ángulos inscriptos de 30º, 45º, 60º, 90º, 120º.8.- A, B, C alineados de modo que B separa los puntos A y C, AB = 5cm., BC = 3 cm. Hallar un punto P / APB = 45º y BPC = 75º.9.- (CAB ) semicircunferencia de diámetro AB y centro O. C ∈ (CAB ). La perpendicular por O a AC corta a (CAB ) en D. AD ∩ BC = {E}. Probar que (ABE) es isósceles.10.- (ABC) cualquiera. Las bisectrices de los ángulos B y C intersecan a la circunferencia circunscripta al (ABC) en P y Q respectivamente. La recta PQ interseca al lado AB en D y al lado AC en E. ¿ Cuál es la naturaleza del triángulo (ADE)?. Demuestre.11.- (ABCD) antihorario inscripto en (CO) / AOB = 150º y COD = 50º. AC ∩ BD = {I}, AD ∩ BC = {E}. i) Calcular AIB. ii) Calcular AEB.12.- i) (ABT) antihorario inscripto en (CO). ii) (ABT) antihorario inscripto en (CO).2009 AOT = 165º. t tangente a (CO) en T. AB diámetro, ABT = 55º, t tangente a (CO) en T, AB ∩ t = {P}. AOB = 130º, AB ∩ t = {P}. Calcular BPT. Calcular ATB, TAB y APT. 11 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 113.- i) (ABCD) antihorario inscripto en (CO). ii) (ABCD) antihorario inscripto en (CO). AC ∩ BD = {I}. AOB = 120º, CID = 100º. AOB = 70º, CED = 20º. Calcular COD. AD ∩ BC = {E}. Calcular CAD.14.- (ABCD) antihorario inscripto en (CO,r ). AB = r√2, DAC = 70, AC ∩ BD = {I}, AD ∩ BC = {E}. i) Calcular AIB. ii) Calcular AEB.15.- (ABCD) antihorario inscripto en (CO,r ). AC ∩ BD = {I}, AD ∩ BC = {E}. CID = 80º, AEB = 25º. i) Calcular AOB. ii) Calcular COD.16.- (ABCDE) pentágono regular. AD ∩ BE = {I}. Calcular AIB.17.- Condición Necesaria y Suficiente de trapecios isósceles: (ABCD) trapecio (1) (ABCD) inscriptible (2) (ABCD) isósceles (3) (ABCD) isoángulo (4) (ABCD) con diagonales iguales.Sugerencia: Demostrar (1) ⇒ (2); (2) ⇒ (3); (3) ⇒ (4) ; (4) ⇒ (1)18.- (ABC) acutángulo. HA , HB , HC los pies de las alturas sobre los lados, H ortocentro. i) Demostrar que (AHBHHC) y (AHBHAB) son inscriptibles. ii) Demostrar que O1O2 ⊥ AC siendo O1 y O2 los centros de las circunferencias circunscriptas a los cuadriláteros de la parte i). iii) Nombrar otros cuatro cuadriláteros inscriptibles.19.- (ABCD) cuadrado. E variable en BC. Se considera (CE,EC). (CE,EC) ∩ AC = {F,C}, DF ∩ (CE,EC) = {F,M}. i) Probar que M pertenece a la circunferencia circunscripta al cuadrado. ii) Se toma H ∈ AB / BH = EF. a) Naturaleza de (HBEF) b) Demostrar que (HBEF) tiene perímetro constante. c) ¿(HBEF) tiene área constante? iii) O centro del cuadrado. Demostrar que (OHBMEF) inscriptible.20.- (C) circunferencia circunscripta a un triángulo (ABC) de ortocentro H. CH ∩ AB = {HC}. CH ∩ (C) = {C’}. Demostrar que HHC = HCC’.21.- (C) circunferencia circunscripta a un triángulo (ABC) acutángulo. HA , HB , HC los pies de las alturas sobre los lados. (C) ∩ AHA = {A, A'}, (C) ∩ BHB = {B, B'}, (C) ∩ CHC = {C, C'}. Demostrar que A'HA, B'HB, C'HC son bisectrices del (A'B'C' ).22.- (C) circunferencia circunscripta a un triángulo (ABC) acutángulo. Biz BAC ∩ (C) = {VA}, biz ABC ∩ (C) = {VB}, Biz ACB ∩ (C) = {VC}. Demostrar que AVA ⊥ VBVC , BVB ⊥ VAVC , CVC ⊥ VAVB .23.- Construir (ABCD) circunscriptible conociendo: AB = 4cm, BC = 7cm, B = 75º, C = 45º.2009 12 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1 Desafíos1.- Las circunferencias son tangentes entre si en el punto Q. PA, PQ y PB son tangentes. APB = 80º. Calcular AQB.2.- Las circunferencias son tangentes en Q. t la recta tangente a ambas circunferencias en Q. P ∉ t, PA y PB tangentes de modo que APB = 100º. Calcular AQB.3.- (ABC) cualquiera. B' ∈ op.BC / B'B = BA, C' ∈ op.CB / C'C = CA. (CO) circunferencia circunscripta al (AB'C' ). Demostrar que AO es bisectriz de BAC.4.- (ABCD) inscripto en (C). M, N, P, Q puntos medios de los arcos AB, BC, CD, DA respectivamente. Demostrar que MP ⊥ NQ.5.- Demostrar que las bisectrices de un cuadrilátero (que no sea rombo ni romboide) limitan un cuadrilátero inscriptible.6.- Por el punto medio M de un arco AB de una circunferencia se trazan dos cuerdas MC y MD que cortan a la cuerda AB en E y F. Demostrar que (DFEC) es inscriptible.7.- PQ cuerda de longitud constante y posición variable en una circunferencia de diámetro AB. M punto medio de PQ. U y T los pies de las perpendiculares trazadas por P y Q a la recta AB. Demostrar que (UMT) es isósceles.2009 13 Ficha 3

Instituto de Profesores “Artigas” Geometría – Unidad 1 La Belleza y el Poder1.- (ABC) cualquiera. Se consideran P, Q, R cualesquiera pertenecientes a AB, BC y CA respectivamente. Demostrar que las circunferencias determinadas por (APR), (PBQ) y (QCR) se cortan en un punto. Considerar los casos: i) el punto es interior al triángulo ABC; ii) el punto es exterior al triángulo ABC; iii) el punto pertenece a alguno de los lados.2.- (ABC) cualquiera. Se construyen exteriormente los triángulos equiláteros (ABC'), (BCA') y (CAB'). i) Probar que las circunferencias circunscriptas a los triángulos equiláteros pasan por un mismo punto. ii) Demostrar que AA', BB', CC' son concurrentes. iii) Demostrar que los centros de los triángulos equiláteros determinan otro triángulo equilátero.( Ver ej.2 de LA BELLEZA Y EL PODER del PRÁCTICO 3 ).3.- Triángulo órtico. (ABC) acutángulo. HA , HB , HC los pies de las alturas sobre los lados. Demostrar que CHA , BHB , CHC son bisectrices del (HAHBHC ). (Suegerencia: observar que (AHBHHC), (BHCHHA), (AHBHAB) son inscriptibles).4.- Recta de Simson. Construya (ABC) con AB = 6cm., BC = 4cm., CA = 5,5cm. y C(ABC) su circunferencia circunscripta. B' diametralmente opuesto a B. P ∈ B'C que no contiene a B. R, S, T los pies de las perpendiculares trazadas por P a las rectas AB, BC y CA respectivamente. i) ¿Qué puede decir de los puntos R, S, T ? Para demostrarlo proceda de la siguiente manera: ii) Demostrar (ARTP) inscriptible y deducir: APR = ATR. iii) Demostrar (TCSP) inscriptible y deducir: CPS = CTS. iv) Demostrar (RBSP) inscriptible y deducir: RPS = APC. v) Deducir APR = CPS y ATR = CTS. vi) Concluir: R, S, T alineados.5.- Circunferencia de Feuerbach. Construya (ABC) con AB = 10cm., BC = 9cm., CA = 8cm. y considere: MA , MB , MC puntos medios de BC, AC, AB respectivamente. HA , HB , HC pies de alturas respecto a los vértices A, B, C PA , PB , PC puntos medios de HA, HB, HC respectivamente, siendo H el ortocentro del (ABC). i) ¿Qué puede decir acerca de esos nueve puntos?. ii) Naturaleza de (PAPBMAMB) y (MCPBPCMB) y deducir que estos seis puntos pertenecen a una circunferencia. iii) Demostrar que HA , HB , HC pertenecen a la misma circunferencia.2009 14 Ficha 3