กฎทฤษฏีเลข

กฎเกณฑ์ เบื้องต้นเกี่ยว กับการนับ

หลักการบวก ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งวิธี การทำงานออกเป็น 2 กรณี โดยที่ (addition principle) กรณีที่ 1 สามารถทำงานได้ กรณีที่ 2 สามารถทำงานได้ ซึ่งวิธีการทำงานในทั้งสองกรณีีไม่ซ้ำซ้อนกัน และการทำงานในแต่ละกรณีทำให้งานเสร็จ สมบูรณ์แล้วจะสามารถทำงานนี้ได้ทั้งหมด วิธี

สามารถอธิบายแนวคิดของหลักการบวกได้ ดังแผนภาพ ซึ่งจะเห็นได้ง่ายว่า จำนวนวิธี การทำงานทั้งหมดเท่ากับ วิธี การทำงาน กรณีที่ 1 วิธี กรณีที่ 2 วิธี

ตัวอย่างที่ 1 ถา บัวตองจะเดินทางจากกรุงเทพฯ กลับไปเยี่ยม บานที่เชียงใหม โดยจะเลือกเดินทาง โดยเครื่อง บินหรือรถประจําทาง และสมมติวามีสายการบิน และบริษัทรถประจําทาง ใหเลือกดังตารางแลว บัว ตองจะเลือกบริษัทผูใ หบ ริการไดท ั้งหมดกี่วิธี

แสดงโดยใช้ แผนภาพต้นไม้

แสดงโดย แจกแจงกรณี ในรูปตาราง

หลักการบวก ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งวิธี การทำงานออกเป็น 2 กรณี โดยที่ กรณีที่ 1 เดินทางโดยเครื่องบิน 6 วิธี กรณีที่ 2 เดินทางโดยรถประจำทาง 5 วิธี ซึ่งวิธีการทำงานในทั้งสองกรณีีไม่ซ้ำซ้อนกัน และการทำงานในแต่ละกรณีทำให้งานเสร็จ สมบูรณ์แล้วจะสามารถทำงานนี้ได้ทั้งหมด 6 + 5 = 11 วิธี

ตัวอย่างที่ 2 สมมติว่าเมืองหนึ่งมีถนนและลำคลองอยู่หลายสาย และ ในการเดินทางจากตำบล A ไปยังตำบล B ในเมืองนี้ สามารถไปทางถนนได้ 3 เส้นทาง และสามารถไปทาง ลำคลองได้ 2 เส้นทาง ถ้าต้องการเดินทางจากตำบล A ไปยังตำบล B โดยใช้เส้นทางตามถนนหรือตามลำคลอง เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งแล้วจะมีเส้นทางจากตำบล A ไป ยังตำบล B ทั้งหมดกี่เส้นทาง

แสดงโดยใช้ แผนภาพต้นไม้

แสดงโดย แจกแจงกรณี ในรูปตาราง

หลักการบวก เนื่องจากเส้นทางตามถนนและเส้นทางตาม ลำคลองไม่ซ้ำซ้อนกัน และพิจารณาการเดิน ทางจากตำบล A ไปยังตำบล B ได้ดังนี้ ใช้เส้นทางตามถนนมี 3 เส้นทาง ใช้เส้นทางตามลำคลองมี 2 เส้นทาง จากหลักการบวก จึงได้ว่า มีเส้นทางจากตำบล A ไปยังตำบล B ทั้งหมด 3 + 2 = 5 เส้นทาง

ตัวอย่างที่ 3 กมลนำกระเบื้องรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่แต่ละด้านยาว 1 หน่วย จำนวน 4 แผ่น มาจัดเรียงชิดกัน ดังรูป จากการจัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดกี่รูป

เฉลย รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการจัดเรียงกระเบื้องดังรูปมี 2 ขนาด ได้แก่ ขนาดที่ 1 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละด้านยาว 1 หน่วย มี 4 รูป ขนาดที่ 2 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละด้านยาว 2 หน่วย มี 1 รูป จากหลักการบวก จะได้ว่า มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด 4 + 1 = 5 รูป

ตัวอย่างที่ 4 จำนวนเต็มบวกสองหลักที่มีผลบวกของเลขโดดทั้งสอง หลักเป็นจำนวนคู่มีทั้งหมดกี่จำนวน

เฉลย จำนวนเต็มบวกสองหลักจะมีผลบวกของเลขโดดทั้งสองหลักเป็น จำนวนคู่ สามารถเกิดขึ้นได้ 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 เลขโดดทั้งสองหลักเป็นจำนวนคู่ มีทั้งหมด 20 จำนวน 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, ... , 66, 68, 80, 82, 84, 86, 88 กรณีที่ 2 เลขโดดทั้งสองหลักเป็นเลขคี่ มีทั้งหมด 25 จำนวน 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, ... , 77, 79, 91, 93, 95, 97, 99 จากหลักการบวก มีทั้งหมด 20 + 25 = 45 จำนวน

เฉลย

ตัวอย่างที่ 5 สมคิดนำกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่แต่ละด้านยาว 1 หน่วย จำนวน 9 แผ่น มาจัดเรียงชิดกัน ดังรูป จากการจัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป

เฉลย รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 3 ขนาด ได้แก่ ขนาดที่ 1 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 1 หน่วย มี 9 รูป ขนาดที่ 2 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 2 หน่วย มี 4 รูป ขนาดที่ 3 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 3 หน่วย มี 1 รูป จากหลักการบวก จะได้ว่า มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 9+4+1 = 14 รูป

ปัญหาชวนคิด สมมติวาบัวตองจะขับรถยนตจ ากกรุงเทพฯ กลับ ไปเยี่ยมบานที่เชียงใหม โดยระหวา ง ทางจะตอ ง แวะเยี่ยมญาติที่นครสวรรคดว ย ถา เสนทางจาก กรุงเทพฯ ไปนครสวรรค มี 2 เสนทาง และ เสนทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม มี 3 เสนทาง แลวบัวตอง จะขับรถจากกรุงเทพฯ ไปเชียง ใหมไดทั้งหมดกี่เสนทาง

แสดงโดยใช้ แผนภาพ

แสดงโดยใช้ แผนภาพต้นไม้

แสดงโดย แจกแจงกรณี ในรูปตาราง

หลักการคูณ ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งวิธี การทำงานออกเป็น 2 ขั้นตอน ซึ่งต้องทำต่อ (Multiplication เนื่องกัน โดยที่ principle) ขั้นตอนที่ 1 สามารถทำงานได้ วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำ ขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ วิธี แล้วจะสามารถ ทำงานนี้ได้ทั้งหมด x วิธี

สามารถอธิบายแนวคิดของหลัก การคูณได้ดังแผนภาพ ซึ่งจะเห็นได้ ว่า จำนวนวิธีการทำงานทั้งหมดมี วิธี

หลักการคูณ ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งวิธี การทำงานออกเป็น 2 ขั้นตอน ซึ่งต้องทำต่อ เนื่องกัน โดยที่ ขั้นตอนที่ 1 สามารถทำงานได้ 2 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำ ขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ 3 วิธี แล้วจะสามารถ ทำงานนี้ได้ทั้งหมด 2 x 3 = 6 วิธี

ตัวอย่างที่ 5 รา นอาหารแหงหนึ่งมีอาหารคาว 4 อยา ง และขนม 3 อยา ง ถาลูกคา ตองการ อาหารคาวหนึ่งอยางและ ขนมหนึ่งอยาง เขาจะมีวิธีเลือกสั่ง อาหารไดกี่วิธี



ข้อสังเกตหลักการคูณและหลักการบวก หลักการคูณมีความแตกต่างจากหลักการบวก คือ หลักการบวก ใช้นับจำนวนวิธีการทำงานโดยการแบ่งกรณี ซึ่งการทำงานใน แต่ละกรณีจะทำให้ได้งานที่เสร็จสมบูรณ์ ในขณะที่หลักการคูณ ใช้นับจำนวนวิธีการทำงานซึ่งแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอน โดยการ ทำงานเพียงขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่ง ยังไม่ทำให้ได้งานที่เสร็จ สมบูรณ์ แต่ต้องทำจนครบทุกขั้นตอน จึงจะทำให้งานนั้นเสร็จสิ้น

ตัวอย่างที่ 6 ชายคนหนึ่งมีเสื้อ 6 แบบ กางเกง 3 แบบ และเนคไท 5 แบบ ถ้าชายคนนี้ แต่งตัวออกจากบ้านโดยใส่เสื้อ กางเกง และผูกเนคไทแล้ว ชายคนนี้ จะสามารถแต่งตัวได้ทั้งหมดกี่แบบ

ตัวอย่างที่ 7 นักเรียน 3 คน ต้องการเข้าและออกห้อง ประชุมห้องหนึ่งซึ่งมีประตู 3 บาน โดย นักเรียนคนที่ 1 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานเดียวกัน นักเรียนคนที่ 2 เข้าและออกโดยไม่ใช้ประตูบานเดิม และ นักเรียนคนที่ 3 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานใดก็ได้ จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คน จะเข้าและออกห้องประชุมนี้

ตัวอย่างที่ 8 ต้องการสร้างจำนวนที่มีสามหลัก จากเลขโดด 2, 4, 6, 7, 8 โดยที่แต่ หลักใช้เลขโดดไม่ซ้ำกัน จะสร้างได้ ทั้งหมดกี่จำนวน

ตัวอย่างที่ 9 สมมติว่าหมายเลขทะเบียนรถยนต์นั่งส่วนบุคคลใน กรุงเทพมหานคร ประกอบด้วยเลขโดด 1 ตัว ที่ไม่ใช่ 0 ตามด้วยพยัญชนะไทย 2 ตัว และจำนวนเต้มบวกที่ไม่ เกิน 4 หลัก 1 จำนวน โดยพยัญชนะที่นำมาใช้กำหนด หมายเลขทะเบียนรถยนต์ มีเพียง 35 ตัว (พยัญชนะที่ ไม่นำมาใช้มี 9 ตัว ได้แก่ ฃ ฅ ซ ฏ ฑ ป ฝ ฟ ห) จงหาว่า หมายเลขทะเบียนรถยนต์นั่งส่วนบุคคลในกรุงเทพ มหานคาร จะมีได้ไม่เกินกี่หมายเลข

ตัวอย่างที่ 10 มีจดหมายที่แตกต่างกัน 3 ฉบับ และมี ตู้จดหมายที่แตกต่างกัน 4 ตู้ จะมีวิธี นำจดหมายไปใส่ในตู้ได้ทั้งหมดกี่วิธี

ตัวอย่างที่ 11 มีตู้จดหมายที่แตกต่างกัน 4 ตู้ และมีสี 3 สี คือ สีเขียว สีเหลือง และสีแดง ถ้าต้องการทาสีตู้จดหมายตู้ละหนึ่งสี แล้วจะทาสีตู้จดหมายได้ทั้งหมดกี่แบบ

ตัวอย่างที่ 12 ห้างสรรพสินค้าต้องการจัดแสดง เสื้อ กระโปรง และกางเกง ของสตรี โดยใช้หุ่นโชว์หน้าร้าน ถ้าห้างสรรพสินค้า มีเสื้อ 12 แบบ กระโปรง 8 แบบ และกางเกง 6 แบบ โดยที่กระโปรง และกางเกงจะไม่ใส่พร้อมกัน จะมีวิธีในการ จัดชุดเสื้อผ้าสำหรับหุ่นโชว์ได้ทั้งหมดกี่วิธี

ตัวอย่างที่ 14 ต้องการสร้างเลข 5 หลัก จากเลขโดด ได้กี่จำนวน ถ้า 1) ใช้เลขซ้ำกันได้ในแต่ละหลัก 2) ห้ามใช้เลขซ้ำกันในแต่ละหลัก

ตัวอย่างที่ 15 ต้องการสร้างเลข 3 หลัก จากเลขโดด ได้กี่จำนวน ถ้า 1) ใช้เลขซ้ำกันได้ในแต่ละหลัก 2) ห้ามใช้เลขซ้ำกันในแต่ละหลัก 3) เป็นจำนวนคี่

ตัวอย่างที่ 1ุ6 ต้องการสร้างเลข 4 หลัก ที่เป็นจำนวนคู่ จากเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 โดยใช้ ตัวเลขไม่ซ้ำกัน ได้กี่จำนวน

ตัวอย่างที่ 17 ต้องการสร้างจำนวนเต็มบวกห้าหลักที่ เป็นจำนวนคู่ โดยที่แต่ละหลักใช้เลขโดด ไม่ซ้ำกัน จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน

ตัวอย่างที่ 18 ถ้าหยิบตัวอักษร 3 ตัว จากคำว่า STAND มาจัดเรียงเป็นคำใหม่ โดยไม่คำนึงถึง ความหมาย จะสามารถจัดคำต่างๆได้ ทั้งหมดกี่คำ

ตัวอย่างที่ 19 นำตัวอักษรจากคำว่า HISTORY มาสร้าง เป็นคำใหม่ ที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว โดยไม่สนใจความหมาย จะสร้างได้กี่วิธี เมื่อคำที่สร้างนี้ ต้องขึ้นต้นและลงท้าย ด้วยพยัญชนะ

ตัวอย่างที่ 19 จากอักษรในคำว่า “PHYSIC” นำมาสร้างคำ ใหม่ประกอบด้วย 3 อักษร ต่างกัน (ไม่สนใจ ความหมายของคำเหล่านั้น) โดยที่ 1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2) ต้องเป็นพยัญชนะทั้งหมด