GIÁO TRÌNH TOÁN 9

CƠ SỞ DẠY THÊM & HỌC THÊM LỚP TOÁN TT Địa chỉ: 35F1 Chi Lăng - Phường 9 - TP. Đà Lạt Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm GIÁO TRÌNH HỌC TẬP TOÁN 9 ĐÀ LẠT - 6/2023



MỤC LỤC Phần 1. ĐẠI SỐ Chương 1. CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA Bài 1. Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Bài 2. Phép tính căn thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bài 3. Căn hai lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bài 4. Trục căn thức ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Bài 5. Phương trình vô tỷ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bài 6. Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 1. Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Bài 3. Ôn tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Bài 4. Hệ phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bài 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bài 6. Hệ phương trình đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Bài 7. Ôn tập chương 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chương 4. HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài 1. Hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Bài 4. Định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Bài 5. Định lý Vi-ét đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Bài 6. Phương trình tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Bài 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bài 8. Tương giao đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bài 9. Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Phần 2. HÌNH HỌC Chương 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Bài 2. Tỷ số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bài 3. Bài toán thực tế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Bài 4. Các hệ thức lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Bài 5. Ôn tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 2. ĐƯỜNG TRÒN Bài 1. Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bài 2. Một số định lý đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bài 3. Luyện tập: Đường tròn và một số định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Bài 4. Tiếp tuyến với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bài 5. Hai tiếp tuyến cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Bài 6. Luyện tập: Tiếp tuyến với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Chương 3. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Bài 1. Góc với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Bài 2. Luyện tập: Góc với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Bài 3. Phương tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Bài 4. Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Bài 5. Ôn tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Chương 4. HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN - HÌNH CẦU Bài 1. Hệ thức hình tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Bài 2. Hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Bài 3. Hình nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Bài 4. Hình nón cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Bài 5. Hình cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Bài 6. Ôn tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107



Chương 1 CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA Bài 1 Căn bậc hai | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số không âm A là số x sao cho x2 = A. 2. Lưu ý: √√ - Số dương A có 2 căn bậc hai đối nhau là A và − A, số 0 có một căn bậc hai là 0, số âm không có căn bậc hai. √ - A2 = |A|. √2 √2 - A = − A = A. √ - A có nghĩa khi A ≥ 0. 3. Tính chất: - Ta có thể đưa một số không âm vào trong dấu căn bậc hai bằng cách bình phương số đó lên rồi đưa vào. √ √ √√ a = √a. bb - Nếu tất cả các căn đều có nghĩa thì: a.b = a. b; √√ - Với biểu thức dạng a b ta gọi a là hệ số, b là phần căn thức, b là biểu thức trong căn. II. Bài tập: √ 9 4) 81; 7) ; Bài 1. Phá các căn thức sau: √ √ 16 5) 2 225; 81 1) 22; 8) . √ 32 25 6) 52 ; 2) 42; √2 √ √2 √2 5) 2 − 1 ; 3) 2 + 3 ; 3) 169; √2 √2 6) 2 + 6 . Bài 2. Thực hiện phép tính: 4) 6 + 3 ; √2 1) 8 ; √2 2) 121 ; Bài 3. Rút gọn biểu thức: | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 1

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm √ 3) C = (2x − 1)2; 1) A = x2; √ 2) B = (x − 1)2; 4) D = x4. Bài 4. Rút gọn biểu thức: √ 4) D = x2 + 4x + 4 với x = 7; 1) A = (x − 2)2 với x ≥ 2; √ √√ 5) E = 1 − 4x + 4x2 với x = − 5; 2) B = x2 − 6x + 9 với x ≥ 3; √ 6) F = 1 + 3a √ − 4a + 4 với a = 3 a2 . 3) C = x2 + 4x + 4 với x = 5; a−2 2 | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT Bài 5. Đưa số ra ngoài căn: √ 7) (−5)2.2; √ 4) 3.196; √ 1) 22.3; 5) (−2)2.3; 8) 32; √ √ √ 2) 52.2; 6) 363; 9) − 500. √ 3) 75; Bài 6. Đưa số không âm vô trong căn: √√ √ 1) 3 11; 3) 3 13; 5) −5 3; 2√ 4) − 4 √ 6) − 3 √ 2) 3; 3; 4. 7 2 5 Bài 7. Tìm điều kiện của x để các căn thức có nghĩa: √√ 1) x; 4) −x; 7) 2(x + 1); √ √ √ 2) x − 1; 5) 8 − 5x; 8) −x − 3; √ √ 9) −(x + 2). 3) 2x + 3; 6) 5 − 2x; Bài 8. Tìm điều kiện của x để các căn thức có nghĩa: √√ x+1 5) − x 2 2 ; 1) 5 − 3x; 3) ; − 2 2) 1 − 2x; 2x − 4 √√ 4 4) −2 ; 2 15 − 59 6) 7 − x . Bài 9. Tìm điều kiện xác định cho các biểu thức sau: √√ 1) x + x + 1; 6) x(x + 1); 1 10) −4x + 2 ; √√ 7) −3 (x − 1)(x + 2); 2) 2x − x + 4; √√ −2 6 + 23 √√ 11) −x + 5 ; 3) 2 15 − 3x − 3 5 − x; 12) √x − 1 . √√ 8) − (2 − x)(3 − x); x−3 4) 2 3x − 9 + 5 9 − x; √√ √√ √√ 7) 7 3 và 4 8; 5) 3x − 9 − 5 9 − x; 9) ( x − 7)( x + 7); √√ Bài 10. So sánh các cặp số sau: √√ 8) 4 5 và 2 10; √√ 4) 5 2 và 3 2; √ 1) 2 và 3; √ 9) − 6 và −2; √√ 5) 5 và 2; 2) 3 và 10; √ √√ 6) 8 và 3; 3) 3 3 và 3 5; 2 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 √√ √ √ 10) −3 7 và −4 3; 11) −10 và −8 2; 12) − 8 và −3. Bài 11. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: √ √ √√ √ √ √ √√ √ 4) −7 2; −4 5; −6 3; − 97; −3 11; 1) 6 2; 3 5; 5 3; 73; 2 11; √ √√ √ √ √√√ 5) −4 3; −2 5; − 15; −3 2; 2) 11; 3 6; 2 3; 4 2; √√ √ √ √ √√ √ 6) 20; 2 7; −6 2; −5 3. 3) 3 6; 2 7; 39; 5 2; Bài 12. Sắp xếp theo thứ tự giảm dần: √ √ √√ √ √ √√ √ 4) 5 3; 2 17; 6 2; 61; 3 6; 1) 2 5; 7 2; 37; 4 6; √ √√ 5) 21; 2 7; 15 3; − 123; √ √√√ | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 2) − 47; −5 2; −3 5; −2 15; √√√ 6) −27; 4 3; 16 5; 21 2. √√ √ √ 3) 28 2; 14; 2 147; 36 4; Bài 13. So sánh các cặp số sau: √√ √√ √√ 4) 2 + 3 và 4 + 5; 7) 3 và − 3; 1) 3 7 và 2 5; √ √√ √√ 5) 3 và 0; 8) 7 2 và −9 7; 2) 2 3 và 3 5; √ √√ √√ 6) 0 và − 3; 9) 2 2 và −2 3. 3) 3 + 3 và 5 + 5; Bài 14. So sánh các biểu thức sau: √ √√ √√ 4) 1 − 3 và 2 − 6; 1) 2 + 2 và 5 − 3; √√ √√ √√ √√ 2) 3 − 3 2 và −4 3 + 5 2; 5) 2021 − 2020 và 2023 − 2022; √√ √√ √√ √√ 3) 3 − 3 5 và −4 3 + 5 2; 6) 2023 − 2022 và 2022 − 2021. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 2 Phép tính căn thức I. Kiến thức cơ bản: 1. Phép cộng - trừ: Ta chỉ có thể cộng trừ các căn \"đồng dạng” bằng cách cộng trừ hệ số với hệ số, phần căn giữ nguyên. 2. Phép nhân - chia: Ta nhân chia hệ số với hệ số, biểu thức trong căn với biểu thức trong căn. II. Bài tập: Bài 1. Thực hiện các phép nhân sau: | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 3

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm √√ √√ √√ 1) 2. 2; 3) 2 2.3 6; 5) − 5.3 5; √√ √√ √√ 2) 2 3. −3 3 ; 4) 3 8. − 6 ; 6) −4 3 . −5 2 . Bài 2. Thực hiện các phép chia sau: √√ √√ 2 √ √ 1) 3 2 : 2 ; 5) 2 24 : 4 2 ; 12 : ( 3); √√ 9) − 5 10 : 10 5 ; 7 √√ √√ 2) 6 10 : −3 5 ; 6) 10) √ : − 8 √ ; 20 : 3 5 ; 8 15 3 3 √√ | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 3) − 20 : 3 5 ; 7) √√ 11) −15 6 : 3 3 ; √√ 8) − 5 √ : 6√ √√ 4) 20 12 : 5 3 ; 40 10 ; 12) −15 60 : −2 4 . 65 Bài 3. Thực hiện phép tính: √√√ √√ 4) 3 6 + 2 6 − 5 6; 1) 5 2 + 2 2; √√√√ √√ 5) 3 5 − 2 5 + 3 3 + 4 3; 2) 6 3 − 3 3; √√√√ √√ 6) 6 2 − 8 2 + 3 2 − 2 2. 3) 4 5 − 2 5; Bài 4. Rút gọn biểu thức: √√ √ √√√√ 1) 7 3 + 22.3 − 25.3; 7) 2 24 + 54 − 63 + 343; √√ √ √√ √√ 2) 3 − 63 + 175; 8) −3 5 + 363 − 10 3 + 125; √ √√ √ √√ √ 3) 411 − 99 + 275; 9) 845 + 5 13 − 320 + 832; √√√ √ √√ √ √ 10) 5 6 − 176 − 294 + 3 11; 4) 45 − 80 + 125 − 5; √√ √ 11) 3 √ − 7 √ − 9 √ 11√ 12 75 300 + 108; 5) 10 5 − 2 125 − 3 45; 2 5 10 16 6) √√√ 2√ 12) 5 √ − 1√ 3 √ − 1√ − 20 + 3 75 − 2 300 + 108; 48 363 + 147 192. 6 8 33 14 4 −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 3 Căn hai lớp I. Kiến thức cơ bản: √ Phá căn hai lớp dạng a ± b c Bước 1: Làm cho căn nhỏ xuất hiện hệ số 2. Bước 2: Tách số trong căn nhỏ thành tích hai số có tổng bằng số ngoài căn nhỏ. Bước 3: Viết biểu thức trong căn lớn về dạng bình phương. Bước 4: Phá căn lớn và rút gọn. 4 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 II. Bài tập: √ 2 √√ √2 5) 3 − 2 3 2 + 2 ; Bài 1. Phá các căn hai lớp sau: √ √ | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 6) 3 + 2 6 + 2; 1) ( 2 + 1)2; √ √ 7) 5 + 2 5 + 1; 2) ( 2 − 1)2; √ √ 8) 3 − 2 3 + 1. 3) (1 − 3)2; √ √2 √ 6) 14 − 6 5; 4) 3 + 2 31 + 12; √ Bài 2. Phá các căn hai lớp sau: 7) 11 − 4 7; √√ √ 1) 5 − 2 3 2; 8) 15 − 200; √ √√ 2) 5 + 2 6; 9) 2 3 − 4 + 2 3; √ √√ 3) 11 + 2 10; 10) 20 − 6 + 2 5. √ √√ 4) 10 + 2 21; 3) 7 + 2 6 − 7 − 2 6; √ √√ 5) 13 − 2 30; 4) 12 − 2 11 − 12 + 2 11. Bài 3. Phá các căn hai lớp sau: √√ 1) 5 − 2 6 + 5 + 2 6; √√ 2) 7 − 2 10 − 7 + 2 10; Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: √√ √ 1) 5 − 3 − 29 − 12 5; 4) 10 + 2 17 − 4 9 + 4 5; √√ √ √√ √ 2) 6 + 2 5 − 29 − 12 5; 5) 6 + 2 2 3 − 2 + 12 + 4 − 2; √ √√ √ √ 3) 13 + 30 2 + 9 + 4 2; 6) 14 10 6 35 6 + 35. Bài 5. Phá căn 2 lớp sau: √ √√√ √√ √ 3 − 5; 4) 6 − 2 2 + 2 3 − 2 6; 1) 3 + 5 10 − 2 √ √√ √ √√ √ 2) 5 + 21 14 − 6 5 − 21; 5) 10 − 2 6 − 2 10 + 2 15; √√√ √√√ 3) 6 + 2 2 − 2 3 − 2 6; 6) 18 + 4 6 + 8 3 + 4 2. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 5

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm Bài 4 Trục căn thức ở mẫu I. Kiến thức cơ bản: Cách 1: Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn. | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT Cách 2: Nhân tử và mẫu cho căn ở mẫu (mẫu ở dạng tích). Cách 3: Nhân tử và mẫu cho lượng liên hợp của mẫu (mẫu ở dạng tổng, hiệu). Lượng liên hợp √√ √√ của ( a + b) là ( a − b) và ngược lại. II. Bài tập: Bài 1. Phân tích thành nhân tử: √√ √ √√ √ 5) 5 2 − 2 5; 9) 5 3 + 3 5 − 15; 1) 4 + 4. 3; √ 10) ab2 − √ − ab; √√ √√ 6) 3 − 2 3; 2 ab 2) 2. 3 + 2. 5; √ √√ √ √√ 7) 3 2 − 6; 11) a a + a; 3) 15 − 6; √√ √√ √√ 8) 12 10 − 16 4; 12) a a − 2 b a; 4) 14 − 7; Bài 2. Nhân cả tử và mẫu với căn ở mẫu: √ √ 1) √2 ; 3) √2 ; 5) −4√2; 7) 2 +√ 11 3 5 35 5 ; √ √ 2) √3 ; 4) √−2 ; 5 +√ 2 −1√2 3 2 7 6) 36 ; 8) 77 . Bài 3. Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn: √ √√ √√ √ 7 2 4) 5 √5 − 1 ; − 11 8√− 11 10 7 √− 7; 7) ; 10) 1) √ ; 35 8 − 11 10 − 7 7 √ √ √√ 2) √2 ; 6 −√ 6 3 −√ 3 3 6 −√ 2 2 5) ; 8) ; 11) 1−3 3 ; 46 33 √ √ √√ √√ 3 3 6) 6 −√5 3 2 3√− 6 2 5√− 5 2 ; 9) ; 12) . 3) √ ; 23 3 53 10 Bài 4. Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của mẫu: √ 8) √2 + 1 ; √√ 4) √ 1 ; a− b 2 −√1 9) 2 − √3 ; 1) √ √ √ √ ; 5−1 a + b)( a − b 5) 4√ ; 2 + √3 √√ 10) 5 − √6 ; 2− 3 2) √ 2 √3 +√ 2 √ ; 6) 3√ ; 5 + √6 3 − 2)( 3 + 2 1− 2 11) 3 + √2 . √√ 3− 2 −2 5 − 7 3) √ √ √ √ ; 7) 3√ ; 2− 5 5 + 7)( 5 − 7 6 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 Bài 5. Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của mẫu: √ √√ √√ 1) 3 − √5 ; 4) 2√5 − √7 ; 7) 2√7 − 3√3 ; 4+ 5 2 5+ 7 2 7+3 3 √√ √√ √√ 3 2+ 3 2) 2√2 − √3; 5) 2√2 + 3√3 ; 8) √ √ √; 2− 6+3 2+ 3 2 2+ 3 2 2−3 3 √√ √ √√ 1 a− b 3) 1 + √3 ; 6) 4√5 − 3√3 ; 9) √ √ √. a + ab + b a − b 1− 3 √ 4 5+3 3 √a − 5 Bài 6. Cho biểu thức: A = a+2 + a−2 . a−4 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 1) Tìm điều kiện của a để biểu thức A có nghĩa.=; 2) Rút gọn biểu thức A. √ 2a√− 2 √ a √a + 1 a− a Bài 7. Cho biểu thức: B = a− a+1 − . 1 1) Tìm điều kiện của a để biểu thức B xác định; 2) Rút gọn biểu thức B. √ √ √− √ x +√ x 4 x Bài 8. Cho biểu thức: C = x−2 x+2 · , với x > 0 và x ̸= 4. 2x 1) Rút gọn biểu thức C; 2) Tìm x để C = −3. x2 √− √ − 2x√+ √ x 2√(x − 1) Bài 9. Cho biểu thức: D = x . + x+ x+1 x x−1 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa; 2) Rút gọn biểu thức D; 3) Tìm x để D = 2. √ √ √ Bài 10. Cho biểu thức: E = 3√x + 2 + √x − 1 − x − 6 √x + 5 . 2x − 1 x + 4 2x + 7 x − 4 1) Tìm điều kiện của x để E xác định; 2) Rút gọn biểu thức E; 1 3) Tìm x để E > ; 2 4) Tìm x thuộc Z để D thuộc Z. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 5 Phương trình vô tỷ | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 7

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT I. Kiến thức cơ bản: √√ 1. Dạng 1: A = B. - Điều kiện: A ≥ 0 hoặc B ≥ 0. - Phương trình trở thành: A = B. √ 2. Dạng 2: A = B. - Điều kiện: B ≥ 0. - Phương trình trở thành: A = B2. II. Bài tập: √√ Bài 1. Giải các phương trình sau: (Dạng A = B) √√ √√ 1) x = 2 − 2x; 6) 5 + 2x = 36; √√ √√ 2) x − 2 = 3 − 2x; 7) −2x − 2 − x = 0; √√ √√ 3) x + 1 − 2x − 3 = 0; 8) 4x − 1 − x − 3 = 0; √√ √√ 4) x − 2 = 3 − 2x; 9) 5x + 1 = 4 − x; √√ √√ 5) 2x − 3 − x + 3 = 0; 10) x − 1 − 3 − x = 0. Bài 2. Giải các phương trình sau: √√ √√ 6) x2 − 5 − 4x − 9 = 0; 1) x − −5x = 0; √√ √√ 2) −4x − 4 − x = 0; 7) x − 2 − x2 − 2x − 2 = 0; √√ √√ 3) 2x − 3 − x + 3 = 0; 8) 2x2 − 3x − x2 = 0; √√ √√ 4) x − 5 = 5x; 9) x2 − x − 1 − x − 1 = 0; √√ √√ 5) 2 − x − 3 + x = 0; 10) x2 − x + 2 − x + 1 = 0. √ Bài 3. Giải các phương trình sau: (Dạng A = B) √√ 1) x = −1; 6) x2 − 3x = x − 5; √ √ 2) 2x = 3; 7) 2x − 15 − 3 = 0; √ √ 3) 3x = −2; 8) x2 + 2x − 15 = x; √ √ 4) x − 1 = 5; 9) 2x + 7 = 5; √ √ 5) x − 7 − 2 = 0; 10) 4x2 − x + 1 = 2x. Bài 4. Giải các phương trình sau: √√ √√ 4) x2 − 1 − 15 = 0; 1) x = 2; √√ √√ 2) 2x − 3 − 2 = 0; 5) 5 + 2x = 36; √ √ 3) 3x + 1 − 3 = 0; 6) 2x2 − 5 = x; 8 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 √ √ 7) x − x = 0; 10) x2 + 1 = x − 1; √ √ 8) x2 − 6x + 13 − 2 = 0; 11) x2 − x + 3 − 2 + x = 0; √ √ 9) 3 − x2 + 3 = 0; 12) 9x2 − x + 3 − 3 + 3x = 0. Bài 5. Giải các phương trình sau: √√ √ √√ 1) 9x + 25x − x = 28; 6) 3 16x − 48 − 2 25x − 75 = 6; √√ √ 7) √ − 5 − √ − 20 − 1√ − 45 = 1; 2) 4x + 25x + 9x = 20; x 2 4x 9x 3 √√ 3) 4x + 4 + x + 1 = 3; √ x − 2 − √ − 18 = 8; 8) 49x − 98 − 14 9x √ √√ 49 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 4) 16x − 16 − 9x − 9 + x − 1 = 5; √√ 9) 5 9x − 18 − 2 25x − 50 = 10; √ x+1 10) 1√ − 72 + √ − 2 − √ − 2 = 7. 5) 9x + 9 − 4 = 5; 36x x 5x 4 6 Bài 6. Giải các phương trình sau: √ 10) 3x − 1 − 4x2 − 12x + 9 = 0; 1) (x − 1)2 = 2; √ √ 11) x2 − 6x + 9 − x + 2 = 0; 2) x2 − 2x + 1 = 7; √ √√ 12) x + x + 1 = 0; 3) x2 − 2x + 1 = x − 1; √ √√ 13) x − 2 − x − 1 = 0; 4) 4x2 − 4x + 1 = 3; √√ 5) 4(1 − x)2 = 12; 14) x − 2x = 0; 6) (x − 1)2 = x + 3; √√ √ 15) 5x − x2 = 0; 7) x2 − 4x + 4 = x − 2; √ √ 16) (x − 1)2 − x + 1 = 0; 8) 4x2 − 4x + 1 = 2 − x; √√ √ 17) 4x2 − 4x + 1 − 9x2 + 6x + 1 = 0; 9) 16 − 8x + x2 = 4 + x; √√ 18) 16 − 8x + x2 − 4 − 4x + x2 = 0; −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 6 Ôn tập chương 1 Bài 1. Tìm điều kiện của x để các căn sau có nghĩa: √√ 1) 3x + 9; 2) 5 − 2x; √ Bài 2. Với giá trị nào của x thì 2x − 3 có nghĩa. √ Bài 3. Với giá trị nào của x thì 2x + 8 có nghĩa? √ Bài 4. Với giá trị nào của a thì 4 + 6a có nghĩa? √ Bài 5. Với giá trị nào của x thì 5x − 11 có nghĩa? | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 9

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm Bài 6. Với giá trị nào của x thì √ 1 có nghĩa? 2x + 4 √ √ √√ √ Bài 7. ắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: 6 2; 3 5; 5 3; 73; 2 11. √ √√ √ Bài 8. Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 2 5; 7 2; 37; 4 6. √√ Bài 9. So sánh: 3 7 và 5 3. √ Bài 10. So sánh: 11 và 3. √ Bài 11. So sánh: 15 và 4. | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT √ Bài 12. So sánh: 5 2 và 7. √ √√√ Bài 13. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 11; 3 6; 2 3; 4 2. Bài 14. Tính: 4) a +√2 √ a+1 √2 ; a+1 1) 3 − 2 ; √ √ a − √b + b −√ ab 2) 4, 9 · 640; 5) √ . √ a− b b 3) √ 98 ; √ √ √√ 2 162 4) D = 8 − 3 3 + 4 18 2 + 2 ; Bài 15. Rút gọn biểu thức: 5) E = √ 1 √ − √ 1 √ ; 3 √√√ 3 − 11 3 + 11 √√ 1) A = 4 2 + 3 18 − 72; 6) F = 12 − 3 7 − 12 + 3 7. √√ 2) B = 3 −27 + 3 343; √√ 1 3) C = 75 − 4 48 + 9 ; 3 Bài 16. Tính: √√√ √√ 4) 3 75 − 2 48 + 3 12; 1) 3 125 − 3 48; √√ 5) √ 1 √ + √ 1 √ ; 2) 48. 12; 5− 3 5+ 3 √ a −√2 a + 1 √a − 1 3) a − 1 ; 6) a−1 . Bài 17. Thực hiện phép tính: √√ √ √√ 4) 4 20 + 2 125 − 5 80; 1) 50. 2; 5) √10 − 4 1 √2 √ + 2−1 ; 22 2) √47; √ 3 6) a +√4 a + 4 + + √a − 4 . a+2 a−2 √ √√ 3) 3 −64 + 3 27 − 3 −8; Bài 18. Tính: √√ √√ 3) ( 2 − 3)2; √√ 1) 16. 25; 3√2 + 2√ 3 √ 4) 3+ 2 . 2) √27; 48 Bài 19. Rút gọn biểu thức: 10 Năm học: 2023 - 2024

√ √2 √ √2 GIÁO TRÌNH TOÁN 9 1) 5+ 2 + 5− 2 ; √√√ 2) 4 27 − 2 75 + 5 48. Bài 20. Tính: 2) √4 − 1 √2 √ √ √√ + 3−2 . 1) 5 48 + 4 27 − 2 12 : 3; 33 Bài 21. Thực hiện phép tính: √√ 1) √ 1 √ + √ 1 √ ; 2) 3 −27 − 3 125. 5− 6 5+ 6 Bài 22. Thực hiện phép tính: √√ | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM √√ 5) 21, 6 810 112 − 52; 1) 16 + 25; √ √√√ √ √ 6) 8 − 3 2 + 10 2 − 2 5; 2) 16 + 9; √√√√ 7) 80 + 20 − 5 − 5 45; √1 3) 0, 4 100 + ; √ √2 8) 0, 2 (−10)23 + 2 3 − 5 . 9 4) √√ 1 3 810 : 3 10 3 ; 3 Bài 23. Rút gọn: √ √ √33 1) 1√ − √ − − 5 1 2) a −√6 a+ 9 + √a − 9 . 48 2 72 1; a −3 a−3 2 11 3 Bài 24. Thực hiện phép tính: 2) √3 + 1 − √ + √2 1) 0, 40, 250, 1; 2 18 1− 2 . 22 Bài 25. Rút gọn các biểu thức sau: √√ √√ a − √b √ab + a √a − 2 √a + 2 1) √ − ; 5) a + 2 − a − ; a+ b b+1 2 √√ √ √√ aa − √b b a√ b ab − b a√ ; √ − b ; 2) a−b + √ +b 6) − a a a √√ √√ aa + √b b aa − √b b √1 √1 7) √ − √ ; 3) a+ + a− ; a+ b a− b 3 3 √√ √ √√ a a−b b ab√ . √a − 3 √a + 3 8) a−b +√ 4) a + 3 + a − ; a+ b 3 Bài 26. Tìm x, biết: 2) 4(x − 2)2 − 16 = 0. √√ 1) 5x2 − 45 = 0; √ √√ Bài 27. Tìm x không âm, biết: 25x + 9x − 81x = −24. √√ √ Bài 28. Tìm x không âm, biết: 36x − 100x − 64x = −48. √√ Bài 29. Tìm x biết: 4x − 4 + 9x − 9 = 15. Bài 30. Tìm x biết: | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 11

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm √√ 2) 9 (x2 − 4x + 4) = 12. 1) 25x − 25 + 9x − 9 = 8; Bài 31. Giải phương trình: √ √√ 2) 3 3x − 1 = 2. 1) 4x + 4 + 25x + 25 = 14; Bài 32. Tìm x, biết: √ √ 2) x2 + 9 − 6x = 0. 1) 3x − 2 = 5; | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT Bài 33. Tìm x, biết: 2) 4(1 − x)2 − 8 = 0. √√√ 1) 3 x − 2 9x + 16x = 5; Bài 34. Tìm x, biết: 2) 9(1 − x)2 − 6 = 0. √ √√ 1) 2 25x − 3 x − 36x = 2; Bài 35. Tìm giá trị của x, biết: √√ √ 2) 2 x + 1 + 9x + 9 = 10. 1) x2 − 6x + 9 = 5; Bài 36. Giải các phương trình sau: √ 1) 3x − 1 = 4; √√ √ 2) 3 x − 2 25x + 3 16x = 5; 3) √√ 1 √ − 45 = 4. 4x − 20 + x − 5 − 9x 3 Bài 37. Tìm x, biết: 4) 4(1 − x)2 − 8 = 0; √ 1) 1 − x = 4; √ 5) 2√ − √ − 2 = 1√ 2) x2 − 6x + 9 = 2; 15x 15x 15x; √3 √ √ 3 √ 3) 9x2 = 12; 6) 3x − 6 = 15. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− 12 Năm học: 2023 - 2024

Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 1 Hàm số bậc nhất | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM I. Kiến thức cơ bản: 1. Hàm số bậc nhất: - Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ̸= 0). Trong đó: a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc. - Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc R. - Hàm số bậc nhất đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi a < 0. 2. Đồ thị hàm số: - Đồ thị hàm số là tập hợp các điểm có tọa độ (x; y) thỏa phương trình biểu diễn hàm số. −b - Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng đi qua hai điểm (0; b) và ; 0 . a - Góc tạo bởi đồ thị của hàm số bậc nhất và trục Ox: Là góc α tạo bởi phần trên của đồ thị và chiều dương của trục Ox. Khi a > 0 thì α là góc nhọn, khi a < 0 thì α là góc tù. II. Bài tập: Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a; b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến? (Giải thích vì sao hàm số đó đồng biến, nghịch biến). √ √√ 1) y = 3 − 0, 5x; 4) y = 2 − 1 x + 1; 7) y = ( 3 − 2)(x − 1); 2) y = −1, 5x; √√ 1 3) y = 5 − 2x2; 5) y = 3 x − 2 ; 8) y = 1 + ; √√ x 6) y + 2 = x − 3; 9) y = 2(x + 3) − 4. Bài 2. Cho hàm số bậc nhất y = (2m − 1)x + 5. Tìm giá trị của m để hàm số: 1) Đồng biến trên R; 2) Nghịch biến trên R. √ Bài 3. Cho hàm số y = (1 − 2)x + 2, hãy xác định hệ số a, b. Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? Bài 4. Cho hàm số y = f (x). Tính f (x): | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 13

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm 1) Cho hàm số y = f (x) = −4x + 5. Tính f (−1); f (3); 2) Cho hàm số y = f (x) = −3x + 5 Tính: f (0); f (−2); f 3 ;f −3 ; . 22 52 3) Cho hàm số y = f (x) = 2x + 3. Tính 2f (0) + f (4). Bài 5. Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất: 1) y = (m − 2)x + 4; 4) y = m2 − 3m x − 3; | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 2) y = 2mx − 1; 5) y = mx2 + (m − 1)x + 5; 3) y = 2 + (2 − 3m)x; 6) y = (2 − m)x3 − mx − 10. Bài 6. Tìm điều kiện của k để hàm số đã cho đồng biến, nghịch biến: 1) y = (k + 3)x − 7; 3) y = (−2k − 6)x − 4; 2) y = (4 − 2k)x + 3; 4) y = 6 − 2kx + x. Bài 7. Biểu diễn các điểm sau lên cùng mặt phẳng tọa độ: 1) A(1; 2); B(−4; 2); C(2; −3); D(2; 5) 2) G(−1; −2); H(−2; 2); I(−2; 3); K(−3; −4). Bài 8. Lập bảng giá trị của các hàm số sau: 1) y = 3x + 3 tại x = 0, x = 1, x = −1, x = 2, x = −2; 2) y = 2x − 2 tại x = 0, x = 3, x = −3, x = 6, x = −6; 3) y = −2x + 2 tại x = 0, x = 1, x = −1, x = 2, x = −2; 4) y = −x + 4 tại x = 0, x = 2, x = −2, x = 4, x = −4. Bài 9. Vẽ đồ thị các hàm số sau: 1) y = x + 1; 1 5) y = 11; 3 3) y = x; 6) x = −2; 7) x = ; 2 2 8) x = 3. 2) y = −x + 2; 4) y = 2x − 1; Bài 10. Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox: 1) y = x + 2; 2) y = 3x − 1; 1 4) y = −2x. 3) y = x + 2; 2 Bài 11. Kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng không? 1) A(1; 3) có thuộc đường thẳng (d) : y = 3x không? Vì sao?; 2) B(2; 5) có thuộc đường thẳng (d) : y = x + 2 không? Vì sao?; 3) C(−4; 9) có thuộc đường thẳng (d) : y = −2x + 1 không? Vì sao?; 4) D(0; −2) có thuộc đường thẳng (d) : y = 10x + 2 không? Vì sao?. Bài 12. Điểm thuộc đường thẳng: 1) (d1) : y = x + 2 đi qua điểm A có hoành độ là 3. Tìm tung độ điểm A; 14 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 2) (d2) : y = −x + 1 đi qua điểm B có tung độ là 4. Tìm hoành độ điểm B; 3) (d3) : y = −2x − 3 đi qua điểm C có tung độ là −1. Tìm tọa độ điểm C; 4) Tìm tọa độ của điểm D biết F thuộc trục tung và có tung độ là 2; 5) Tìm tọa độ của điểm E biết G thuộc trục hoành và có hoành độ là −3; 6) Tìm tọa độ của điểm F biết F thuộc trục tung và có tung độ là −5. Bài 13. Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng bằng đồ thị: 1) (d) : y = x + 1 và (d′) : y = −x + 1; 2) (d1) : y = x − 2 và (d2) : y = −x và (d3) : y = 3x + 4. | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM Bài 14. Tìm giao điểm A của các đường thẳng dưới đây bằng phép tính: 1) (d1) : y = x + 1 và (d2) : y = −x + 1; 2) (d1) : y = −x + 4 và (d2) : y = −3x − 2; 3) (d1) : y = 2x − 1 và (d2) : y = x + 2; 4) (d1) : y = 1 − 1 và (d2) : y = x + 1; x 2 5) (d1) : y = x − 5 và (d2) : y = 3x + 1; 6) (d1) : y = 3x và (d2) : y = x − 4. Điểm A có thuộc (d3) : y = −x − 8 không?. Bài 15. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy: 1) (d1) : y = x + 1; (d2) : y = 2; (d3) : y = 3 − x; 2) (d1) : y = 4x − 3; (d2) : y = 3x − 1; (d3) : y = x + 3; = 4x − 3; (d2) : y = 5 (d3) : y = 3x − 1. 3) (d1) : y x; 2 4) (d1) : y = x + 2; (d2) : y = 2x + 1; (d3) : y = 3x; = −5x + 3 y = −2x + 3; (d3) : y = 3x − 4. 5) (d1) : y 4 ; (d2) : 2 2 Bài 16. Tìm m để ba đường thẳng đồng quy: 1) (d1) : y = x + 1; (d2) : y = −x + m; (d3) : y = 3x; 2) (d1) : y = 2x; (d2) : y = −x − 3; (d3) : y = mx + 5; 3) (d1) : y = 2x − 1; (d2) : y = x + 2; (d3) : y = 2mx − 3; 4) (d1) : y = 3x − 5; (d2) : y = 2x; (d3) : y = −x + m. Bài 17. Gọi A, B là giao điểm của (d) : y = x − 4 với 2 trục tọa độ. 1) Xác định A, B; 2) Tính độ dài các cạnh tam giác OAB; 3) Tính góc BAO. | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 15

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm Bài 18. Gọi A, B là giao điểm của (d) : y = −x − 4 với 2 trục tọa độ. 1) Xác định A, B; 2) Tính độ dài các cạnh tam giác OAB; 3) Tính góc BAO. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT Bài 2 Vị trí tương đối của đường thẳng I. Kiến thức cơ bản: Cho hai đường thẳng (d) : y = ax + b và (d′) : y′ = a′x + b′:  - (d) trùng với (d′) khi  a = a′ .  b = b′ - (d) cắt (d′) khi a ̸= a′.  - (d) cắt (d′) tại một điểm nằm trên trục tung khi  a ≠ a′ .  b = b′  - (d) song song với (d′) khi  a = a′ .  b ̸= b′ - (d) vuông góc với (d′) khi a.a′ = −1. II. Bài tập: Bài 1. Vẽ đồ thị của các đường thẳng sau trên cùng một hệ trục tọa độ, quan sát đồ thị và cho biết vị trí tương đối của chúng: 1) (d) : y = 2x − 1 và (d′) : y = 3x + 2; 2) (d) : y = 2x + 3 và (d′) : y = 2x + 2; 3) (d) : y = x + 3 và (d′) : y = −2x; 4) (d) : y = 5x + 2 và (d′) : y = 2 + 5x. Bài 2. Tìm giá trị của m và k thỏa điều kiện: 1) (d1) : y = (m − 2)x + k trùng với (d2) : y = x + 2; 2) (d1) : y = (2m + 1)x − 3k trùng với (d2) : y = (m + 1)x + k − 2; 3) (d1) : y = 3mx − 4 song song (d2) : y = 3x; 16 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 4) (d1) : y = 2 − x song song (d2) : y = 5 + mx; 5) (d1) : y = mx − 1 cắt (d2) : y = 2x + 1; 6) (d1) : y = (m − 1)x + 2 cắt (d2) : y = x − 5; 7) (d1) : y = (m − 2)x + k cắt (d2) : y = −x + 3 tại một điểm nằm trên trục tung; 8) (d1) : y = (2m − 3)x − 2k cắt (d2) : y = −3x + 6 tại một điểm nằm trên trục tung; 9) (d1) : y = mx + 1 vuông góc (d2) : y = −3x + 2; 10) (d1) : y = 2 + (m + 1)x vuông góc (d2) : y = 2x − 1. Bài 3. Viết phương trình đường thẳng: 1) (d1), biết (d1) có hệ số góc là 2 và đi qua A(−1; 3); 2) (d2), biết (d2) có hệ số góc là −1 và đi qua B(2; 1); 3) (d3), biết (d3) song song với (d) : y = 2x + 1 và đi qua C(3; −1); 4) (d4), biết (d4) song song với (d) : y = 3x − 2 và cắt trục hoành tại D có hoành độ là 4; 5) (d5), biết (d5) song song với (d) : y = −3x + 2 và cắt trục tung tại E có tung độ là 3; 6) (d6), biết (d6) vuông góc với (d) : y = 2x − 1 và đi qua điểm F (4; −2); 7) (d7), biết (d7) vuông góc với (d) : y = −2x + 1 và cắt trục hoành tại G có hoành độ là −2; 8) (d8), biết (d8) vuông góc với (d) : y = 2 − 3x và cắt trục tung tại H có tung độ là −3. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 3 Ôn tập chương 2 Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định hệ số a; b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến? (Giải thích vì sao hàm số đó đồng biến, nghịch biến). 1) y = 2 − 3x2; 3 5) y = 1, 5x − 0, 5; 2) y = −2x + 1; 3) y = + 1; 6) y = 2, 5x2. 2x √ 4) y = 5(x + 1) − 3; √ Bài 2. Cho hàm số: y = ( 7 − 3)x + 5. Xác định hệ số a; b. Hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao? Bài 3. Vẽ đồ thị các hàm số: | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 17

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm 1) y = 2x + 4; −1 3) y = −x + 3. 2) y = x + 2; 2 Bài 4. Vẽ đồ thị hàm số: y = x + 1. Bài 5. Cho hàm số bậc nhất y = (2k + 1)x + 3. Tìm giá trị của k để hàm số đồng biến trên R. Bài 6. Cho hàm số bậc nhất y = (2m − 1)x + 5. Tìm giá trị của m để hàm số: 1) Đồng biến trên R; 2) Nghịch biến trên R. √ Bài 7. Cho đường thẳng (d) : y = ( 3 − 1)x + 5. Biết điểm A thuộc đường thẳng (d) và điểm A √ | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT có hoành độ 3 + 1. Tính tung độ điểm A. Bài 8. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax + 3 đi qua M (2; −1). Tìm hệ số a. Bài 9. 1) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 4; 2) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) : y = 2x + 4 và trục Ox (làm tròn đến độ). Bài 10. Cho hàm số y = 2x − 4. 1) Vẽ đồ thị hàm số đã cho; 2) Biết điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x − 4 và điểm A có tung độ bằng 4. Tính hoành độ điểm A. Bài 11. Cho hàm số y = (3 − 2m)x + 8. 1) Tìm m để hàm số trên đồng biến trên R; 2) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4. Bài 12. Tính góc tạo bởi các đường thẳng sau với trục hoành: y = −3x + 2. Bài 13. 1) Vẽ đồ thị hàm số: y = x − 1; 2) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x − 1 và trục Ox (làm tròn đến phút). Bài 14. Cho hàm số: y = (m − 4)x + 5. 1) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến?; 2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2). Bài 15. Cho hàm số bậc nhất: y = (2k + 1)x + 3. Tìm giá trị của k để hàm số đồng biến trên R. Bài 16. 1) Vẽ đồ thị hàm số: y = 3x + 3; 2) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 3x + 3 và trục Ox (làm tròn đến phút). √ Bài 17. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ( 3 − 1)x + 2. Biết điểm A thuộc đường thẳng √ (d) và điểm A có hoành độ là 3 + 1. Tính tung độ của điểm A. 18 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM Bài 18. Cho hàm số y = f (x) = −4x + 5. Tính f (−1) + f (3). Bài 19. Tìm m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất: 1) y = (2m − 5)x + 2; 2) y = m2 − 4 x2 + (m + 2)x + 3; 3) y = (m + 1)x2 + 3mx + 1. Bài 20. Tìm m để hàm số: 1) y = mx + 3 là hàm số bậc nhất; 2) y = (m − 2)x + 4m đồng biến; 3) y = (m − 2)x + 4m có đồ thị đi qua gốc tọa độ; 4) y = (m − 2)x + 4m có đồ thị đi qua A(1; 2). Bài 21. Cho hàm số bậc nhất y = (2 − a)x + a + 1. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M (3; 1). Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao? √ Bài 22. Cho đường thẳng (d)) có phương trình y = ( 3 − 1)x + 5. Biết điểm A thuộc đường √ thẳng (d) và điểm A có hoành độ bằng 3 + 1. Tính tung độ điểm A. Bài 23. 1) Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x + 4; 2) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d) : y = 2x + 4 và trục Ox (làm tròn đến độ). Bài 24. Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ: 1) y = x + 6 và y = −1 x + 1; 4 2) y = x + 5 và y = −1 x + 2. 2 Bài 25. Xác định hàm số y = ax + b biết: 1) Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −11 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5, 5; 2) Biết đồ thị hàm số đi qua B(2; 5) và song song với đường thẳng y = −3x + 2; 3) Biết tung độ góc là −3 và đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −2x + 1 tại điểm có hoành độ là −2. Bài 26. Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b. Biết tung độ gốc là −2 và đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x − 2 tại điểm có hoành độ −3. Bài 27. Cho (d1) : y = (m − 1)x + 2; (d2) : y = 2x − 3. Tìm m để (d1) cắt (d2). Bài 28. Cho hai đường thẳng (d) : y = m2x − 1(m ̸= 0); (d′) : y = 4x + m − 1. Tìm M để (d) song song với (d′). √ Bài 29. Cho hàm số: y = m − 2x + k. | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 19

| Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT | Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm 1) Tìm m để hàm số trên là hàm số bậc nhất; 2) Tìm m và k để đồ thị hàm số đã cho trùng với đường thẳng y = x − 3. Bài 30. Cho điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 3 có hoành độ là 5. 1) Tìm tọa độ điểm A; 2) Xác định đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết (d) song song với (d1) : y = 3x − 1 và đi qua điểm A. Bài 31. Tìm m để hai đường thẳng: (d1) : y = 1 + m2 x và (d2) : y = 3x + m trùng nhau. 3 Bài 32. Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc bằng − và đi qua giao điểm của hai 4 đường thẳng (d) : y = x − 3; (d′) : y = 2x + 1. Bài 33. Xác định hàm số y = ax + b biết: 1) Đồ thị có hệ số góc là 2 và đi qua A(1; 2); 2) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) và song song với đường thẳng y = 4x; 3) Đường thẳng đi qua điểm A(−2; −2) và cắt (d) : y = −2x + 4 tại một điểm trên trục hoành. Bài 34. Tìm m để hai đường thẳng y = (3m − 5)x − 2 và y = (4m + 1)x + 3 song song. Bài 35. Cho (d) : y = −mx + n + 2 và (d′) : y = −2x + 2 trùng nhau. Tính m + n. 22 −−−−−⋆⋆⋆−−−−− 20 Năm học: 2023 - 2024

Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 1 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM Phương trình bậc nhất hai ẩn I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c (a, b ≠ 0).  2. Nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát của phương trình là:  x∈R c − ax . y = b II. Bài tập: −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế I. Kiến thức cơ bản: 21   ax + by = c 1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng  a′x + b′y = c′ . 2. Phương pháp thế: Bước 1: Chọn một phương trình rồi biểu diễn ẩn này theo ẩn kia. Bước 2: Thay vào phương trình còn lại để khử ẩn vừa biểu diễn. II. Bài tập: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT    x=1  2x + y = −1 1) ; 11) ; x + 3y = 10 −x + 3y = −10    y = 2x  2x + y = 5 2) ; 12) ; 3x − 4y = 5 x − 2y = −8    y = 3+2  2x − y = 3 3) ; 13) ; 3x + y = 7 3x + 4y = 10    y = 2x − 1  3x − y = 5 4) ; 14) ; 10x + y = 35 5x + 2y = 23   3x + y = 0 −2x + 3y = 12 5) ; 15) ; x + 2y = 5  3x + 4y = −1    2x + y = 7 −5x + 3y = 22 6) ; 16) ; x − 4y = 10  3x + 2y = 2   5x + 2y = −4  3x + 5y = −7 7) ; 17) ;  x + 3y = 7 −2x + 3y = −8    x + 3y = 1  2x + 3y = 8 8) ; 18) ; −3x + 2y = 8 −3x + 2y = −12   −2x − 8y = −7 −5x + 4y = 2 9) ; 19) ;  x + 4y = 5  3x + 2y = 12   −7x + 2y = −3 2x − 3y = 10 10) ; 20) .  x + 3y = 7  5x − 2y = 6 −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số I. Kiến thức cơ bản: Phương pháp cộng đại số: Bước 1: Chọn một ẩn và làm cho hai hệ số trước ẩn đối nhau. 22 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 Bước 2: Cộng vế theo vế để khử ẩn vừa chọn. II. Bài tập:  | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM  4x + 7y = 16 Bài 1. Hệ phương trình đã cân bằng: 7) ;  −4x + 3y = 24  x − 5y = 16  1) ;  2x + 3y = 2 −x + 3y = −10 8) ; −2x + y = 12  −3x + 2y = −3  2) ;  2x + y = 3  3x − 4y = 5 9) ; −2x − 3y = 1  2x − y = 3  3) ; 3x + y = 3 3x + y = 7 10) ; 2x − y = 7  2x − 11y = −7  4) ;  2x + 5y = 8 10x + 11y = 31 11) ; −2x + 3y = 0   −2x + y = 2  5) ;  −x + y = 1 −2x + 2y = 7 12) . x + 3y = 11   2x + 5y = 5  6) ; −2x + 3y = 15 −2x + 3y = 1 8) ;  −2x + y = 1 Bài 2. Hệ phương trình chưa cân bằng dấu:   x + 2y = −4  −3x − y = 8 9) ; 1) ; −3x − 2y = 6 x + 2y = −2   −4x − 3y = 11  −x + 3y = 5 10) ; 2) ; −4x − 5y = 13 −x − 2y = −5    4x + y = 2  4x + y = 2 11) ; 3) ; 4x + 6y = 14 4x + 6y = 14    4x − 5y = 2 7x − 4y = 10 12) ; 4) ; 4x + 6y = 24  7x + y = 15   2x + 4y = 1 2x + 3y = −8 13) ; 5) ; 2x + 3y = 3  2x − 5y = 8   2x − 10y = 6 3x − 2y = −2 14) ; 6) ; 2x − 3y = 10  3x + 5y = 26   4x − y = −7 7) ; 4x − 2y = −2 | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 23

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm   4x + 3y = 6  3x − y = 1 15) ; 18) ; 4x + 2y = 8 3x − 6y = 6   3x + 4y = 5  8x + 4y = 7 16) ; 19) ; 3x − 6y = 9 −x + 4y = 10   2x − 10y = 4 −4x + 2y = −6 17) ; 20) .  2x + y = 5  6x + 2y = 14 | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT Bài 3. Hệ phương trình chưa cân bằng hệ số:    2x + y = −1  x + 3y = 1 6) ; −x + 3y = −10 1) ; −3x + 2y = 8  −7x + 2y = −3  7) ;  2x + y = 7  x + 3y = 7 2) ; −x + 4y = 10   2x + y = 5  8) ; 5x + 2y = −4 x − 2y = −8 3) ;  x + 3y = 7   2x − y = 3  9) ; 3x + y = 0 3x + 4y = 10 4) ; x + 2y = 5   3x − y = 5  10) . −2x − 8y = −7 5x + 2y = 23 5) ;  x + 4y = 5 Bài 4. Hệ phương trình tìm BCNN để cân bằng hệ số:   −2x + 3y = 12 1) ; −2x + 3y = −13  3x + 4y = −1 6) ;  5x + 2y = 4   2x − 3y = 10 −5x + 3y = 22 7) ; 2) ;  5x − 2y = 6  3x + 2y = 2    3x + 5y = −7 2x − 3y = 5 3) ; 8) ; −2x + 3y = −8 3x − 4y = 1    2x + 3y = 8 7x − 2y = −9 4) ; 9) ; −3x + 2y = −12  3x − 5y = 10   3x − 2y = 11 −5x + 4y = 2 10) . 5) ;  4x − 5y = 3  3x + 2y = 12 Bài 5. Hệ phương trình hệ số là phân số: 24 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9   y5  x+y=2  x + =  − 22 2 ; 1) 1 5;  x+y= 6) x y=1 7 24  7  1  x+y=5  x+y = 2  7) 24 2) 2 x − 3 ; ; 3 2y = −1   x + 3y = 6  3  1 1 2 4 − x + y = 0  x + y=7 3) 2 3 ;  3 5 2  −x + y = 1 8) 3 ; 4  x − 5 y=3   3 x − 6y = −2  − 3 y = −6 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM  x 2 ; 4) 4 ; 9) 3  3x + 2y = 5  x+y =4  2  3x − y = 6 1 − 5 = −3  x y 5) 2 ; 10) 2 6 . 4x + 3y = −1  x + 2y = 5 Bài 6. Hệ phương trình cần đặt ẩn phụ: 3 − 1 =7 2 − 1 =1 y ;  ;  1 1) x 8) x y 12 2 + = 8 + = 8  y  y x x  15 −7 =9 2 1 y ; + =7 2)  9  x y x  4 4 + = 35 9) −1 ;  y  x + = 10 x  y  1 + 3 = −10 3 2 −   xy + = −1 3) 1 − 5 = 16 ; x y xy 10) 8 ;  6 =5  − x + y  1 3 − + y = −10 x + 1 = −1 2 31 y + = 4) 2 ;  2x − y − x − 2y = 2  2 1 1  11) 18 ; x  2x − y x − 2y  1 − 2 = −5 3 1 y  b 5)  2 ; a − 2b − 1 =7 x ; 3 2 + =1 12)  x y   − 2b + b = 8 a 4 5 + =3  y ;  6) x 5 2 (x − 2) + 3 (y + 1) = −2 2 y =0 13) ; − 3 (x − 2) − 2 (y + 1) = −3  x 1 − 1 =1  y ; −2 (2x + 1) + 3 (2 − 3y) = 12 7)  4 14) . x  3 (2x + 1) + 4 (2 − 3y) = −1 + = 5 3  y x −−−−−⋆⋆⋆−−−−− | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 25

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm Bài 4 Hệ phương trình tham số | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT I. Kiến thức cơ bản: II. Bài tập: Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất:   mx + y = 2 1) ;  mx − ny = 2  x−y=3 6) ; 2mx + 3ny = 4    (2m + 1) x − y = 5  3x + ny = 7 7) ; 2) ; 4x − (3 − 2m) y = 7 mx + ny = 5    2x − my = 5  mx + y = 3 3) ; 8) ; 3x + 4y = −10 3x − (1 − 2m) y = 2    x+y=3 (m + 5) x + 3y = 1 4) ; 9) ; −mx − y = 2m  mx + 2y = −4   mx − 2y = 3  x+y=1 10) . 5) ;  x − my = 4 mx + 2y = m Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình có vô số nghiệm:   mx − y = 5 6x + a2y = a 1) ; 6) ;  x+y=1  3x + 2y = 1   mx + 6y = 1 mx − 12y = 4 2) 1 ; 7) (m ̸= 0); 2x + 3y =  3x − my = 2 2  3mx + m2y = 4  8) ;  3x + my = 4  3x − y = −m 3) √ ; 9x − m2y = −3 3    x+y=3 4) ;  2x − 3y = 2 −mx − y = 2m 9) ; mx + ny = 6    mx + 3y = 5  3x − y = m 10) . 5) ; 3x + my = −5 mx + 2y = 3 26 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 Bài 3. Tìm điều kiện m để phương trình vô nghiệm:    ax + by = 3  mx + my = 5 1) ; 6) ; (a − 1) x − by = 7 3x + my = −5    2x − my = 5  2x + 6y = 1 2) ; 7) ; 3x + 4y = −10 mx − 3y = 2    x+y=1 mx + y = −1 3) ; 8) ; mx + 2y = m  x + my = 1   | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM  x+y=3 4) ; 3mx + m2y = 4 −mx − y = 2m 9) ;  3x + my = 4   (m − 2) x + 3y = 1 5) ; 2 (m + 1) x + (m + 2) y = m − 3  7x − y = 12 10) .  (m + 1) x + my = 3m + 7 −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 5 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình I. Kiến thức cơ bản: Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Chọn 2 ẩn, đặt đơn vị và điều kiện cho hai ẩn. Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo hai ẩn. Bước 3: Lập hệ phương trình hai ẩn. Bước 4: Giải hệ, so sánh với điều kiện rồi kết luận. II. Bài tập: Dạng 1: KHÁC Bài 1. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m, nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn? Bài 2. Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 13m và chu vi bằng 122m. Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 5m và giảm chiều rộng 5m thì diện tích giảm 105m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 27

| Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT | Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm Bài 4. Có hai rổ trứng. Số trứng ở rổ 1 bằng 2 lần số trứng ở rổ 2. Nếu thêm 15 quả vào rổ 2, bớt 7 quả ở rổ 1 thì số trứng ở hai rổ là bằng nhau. Tính số trứng mỗi rổ lúc đầu. Bài 5. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ hai sang giá thứ nhất thì số sách 4 giá thứ hai bằng số sách giá thứ nhất. Tính số sách ở mỗi giá. 5 Bài 6. Hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu bớt chiều dài 12cm, tăng chiều rộng 22cm thì hai cạnh bằng nhau. Tính chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu. Bài 7. Một sân trường hình chữ nhật có chu vi bằng 360m. Bốn lần chiều dài bằng năm lần chiều rộng. Tính diện tích sân trường. Bài 8. Học sinh khối 9 và khối 8 được phân công trồng 120 cây xanh. Biết rằng khối 9 trồng được nhiều hơn khối 8 là 38 cây. Tính số cây mỗi khối trồng được. Bài 9. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải số đó thì được số mới lớn hơn số đã cho 628. Bài 10. Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm đi 3m thì diện tích của nó không đổi. Diện tích của thửa ruộng cũng được giữ nguyên khi tăng chiều rộng 2, 4m và giảm chiều dài 3m. Hãy tính diện tích thửa ruộng. Bài 11. Hai cạnh góc cạnh góc vuông của một tam giác vuông hơn kém nhau 2cm. Nếu giảm cạnh lớn đi 4cm và tăng cạnh nhỏ lên 6cm thì diện tích không đổi. Tính diện tích của tam giác vuông. Bài 12. Hai giá sách có 500 cuốn. Nếu chuyển 30 cuốn từ giá hai sang giá một thì số sách ở giá 3 một bằng số sách ở giá hai. Tìm số sách mỗi giá. 2 Bài 13. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90m. Nếu giảm chiều dài 5m và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 140m2. Tính diện tích mảnh đất đó. Bài 14. Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vi là 6 và tổng hai chữ số là 8. Bài 15. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. Nếu gấp đôi một cạnh và giữ nguyên một √ cạnh thì cạnh huyền mới là 2 13. Tính độ dài hai cạnh góc vuông. 28 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM Bài 16. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 156, nếu lấy số lớn chia số bé thì được thương là 6 và dư 9. Bài 17. Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ 2, tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20%, do đó cuối tháng hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Bài 18. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1006. Nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 2 và số dư là 124. Bài 19. Một người mua hai loại mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10%, và tăng mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng. Nhưng nếu giảm giá cả hai mặt hàng là 10% thì người đó phải trả 180 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi mặt hàng lúc đầu. Bài 20. Một rạp hát có 300 chỗ ngồi. Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế thì rạp hát giảm đi 11 chỗ ngồi. Hãy tính xem trước khi dự kiến sắp xếp thì rạp hát có mấy dãy ghế? Bài 21. Có 45 người bác sĩ và luật sư, tuổi trung bình của họ là 40 tuổi. Tính số bác sĩ và luật sư biết tuổi trung bình của bác sĩ là 35 tuổi, tuổi trung bình của luật sư là 50 tuổi. Dạng 2: CHUYỂN ĐỘNG Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3h. Nếu xe chạy chậm mỗi giờ 10km thì đến nơi bị chậm mất 5h. Tính vận tốc của xe lúc đầu. Bài 2. Có hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 350km. Nếu đi ngược chiều thì hai xe gặp nhau sau 2h. Tìm vận tốc mỗi xe, biết rằng xe đi từ A nhanh hơn xe đi từ B 10km/h. Bài 3. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai điểm A và B cách nhau 30km và gặp nhau sau 1h. 2 Tính vận tốc mỗi xe biết rằng xe đi từ A có vận tốc bằng vận tốc xe đi từ B. 3 Bài 4. Một ô tô đi từ A và dự kiến đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến B chậm hơn 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô. Bài 5. Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi từ A đến B là 4 giờ 20 phút. Thời gian đi từ B đến A là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 29

| Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT | Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm là 10km/h, vận tốc xuống dốc là 15km/h. Tính quãng đường AC và CB. Bài 6. Một ô tô đi từ A đến B. Sau 17 phút một xe tải đi từ B đến A. Sau khi xe tải đi 28 phút hai xe gặp nhau. Biết quãng đường AB dài 88km. Vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe tải là 20km/h. Tính vận tốc hai xe. Bài 7. Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi từ A đến B là 40 phút. Thời gian đi từ B đến A là 41 phút. Biết vận tốc lên dốc là 12km/h, vận tốc xuống dốc là 15km/h. Tính quãng đường AC và CB. Bài 8. Ca nô xuôi dòng 108km, ngược dòng 63km hết 7h. Cũng trong 7h ca nô xuôi dòng 81km, ngược dòng 84km. Tính vận tốc ca nô và vận tốc dòng nước. Bài 9. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì hai xe gặp nhau sau 5h22′ kể từ lúc xe chạy chậm khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 10. Quãng đường AB dài 8km, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C sau 1, 2h. Sau đó, người thứ nhất đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trước 10km/h còn người thứ hai đi đến A với vận tốc như cũ. Kết quả, người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai 48 phút. Tính vận tốc ban đầu của mỗi người. Bài 11. Một chiếc thuyền xuôi ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc dòng nước. Bài 12. Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu. Biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga (từ đầu máy đến hết toa cuối cùng) mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. Dạng 3: NĂNG SUẤT Bài 1. Hai người cùng làm một công việc thì trong 7 giờ 12 phút thì xong việc. Nếu người thứ 1 nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được công việc. Hỏi mỗi người làm 2 riêng thì bao lâu xong việc. Bài 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn thì đầy nước trong 16 giờ. Nếu vòi thứ nhất chảy 3 1 giờ và vòi thứ hai chảy 6 giờ thì được bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu 4 30 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 thì đầy bể. Bài 3. Hai đội chở cát cùng san lấp một khu đất trong 12 ngày thì xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày, sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong 7 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc. Bài 4. Hai người thợ cùng cùng sơn sửa một căn nhà trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người thứ | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc. Bài 5. Một đoàn xe vận tải có 15 xe tải lớn và 4 xe tải nhỏ tất cả chở 178 tấn hàng. Biết mỗi xe tải lớn chở nhiều hơn xe tải nhỏ là 3 tấn. Tính số tấn hàng mỗi xe tải từng loại đã chở. Bài 6. Hai vòi nước chảy vào bể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy 14 trong 6 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì 15 sau bao lâu thì đầy bể? Bài 7. Hai người cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ và người thứ hai là trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc? Bài 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ 6 nhất trong 9 giờ và mở vòi thứ hai trong giờ nữa thì đầy bể. Hỏi vòi hai chảy một mình thì 5 bao lâu mới đầy bể? 1 Bài 9. Hai máy ủi trong 10 giờ thì san lấp được khu đất. Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình 10 trong 42 giờ rồi nghỉ sau đó, máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy san lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì cả hai máy san lấp khu đất đó trong bao lâu? Bài 10. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 3 giờ 45 phút thì đầy bể. Hỏi nếu vòi một chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể? Biết rằng vòi thứ hai chảy chậm hơn vòi thứ nhất 4 giờ. Bài 11. Hai người cùng làm chung một công việc hết 6h. Nếu làm riêng và mỗi người làm nửa công việc thì tổng số giờ làm là 12 giờ 30 phút. Hỏi nếu mỗi người làm một mình xong cả công việc thì mất bao nhiêu giờ? Bài 12. Ở một nông trường có hai máy cày cùng cày một thửa ruộng sau 2 giờ thì xong. Nếu mỗi máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ nhất cày xong trước máy thứ hai là 3 giờ. Tính | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 31

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm thời gian mỗi máy cày riêng để xong thửa ruộng đó. Bài 13. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ I may trong 3 ngày, tổ II may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong 1 ngày, tổ I may được nhiều hơn tổ II là 10 cái. Hỏi tổ I trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? −−−−−⋆⋆⋆−−−−− | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT Bài 6 Hệ phương trình đối xứng I. Kiến thức cơ bản: Dạng 1: Là hệ mà khi đổi vai trò của x và y ta được hệ mà mỗi phương trình không thay đổi. Bước 1: Biến đổi phương trình để làm xuất hiện các biểu thức x + y và xy. Bước 2: Đặt ẩn phụ S = x + y và P = x.y, biểu diễn hệ về ẩn S và P , giải hệ tìm S và P . Bước 3: Kiểm tra điều kiện S2 ≥ 4P . Ứng dụng định lý Vi-ét đảo để tìm x và y rồi kết luận. Lưu ý: Các hằng đẳng thức đáng nhớ: x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy (x − y)2 = (x + y)2 − 4xy x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy (x + y) Dạng 2: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của x và y thì phương trình này của hệ biến thành phương trình kia. Bước 1: Trừ vế theo vế của hai phương trình ta được một phương trình tích đơn giản hơn gồm một phương trình x − y và một phương trình bộ phận (thường là vô nghiệm hoặc có thể tính được x theo y). Bước 2: Từ các phương trình bộ phân ta cô lập biến và khử biến để được phương trình một ẩn, giải phương trình này tìm ẩn. Bước 3: Thay ẩn vừa tìm được vào phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại và kết luận. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− 32 Năm học: 2023 - 2024

Bài 7 GIÁO TRÌNH TOÁN 9 Ôn tập chương 3 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:   2x + y = 3 (x − 3) (y + 2) = xy − 17 3) 1) x−y = 3 (x + 4) (y + 2) = xy + 18 5 9  15 − 7 =9 3x + y = 2 x y 2x + 12 y =  | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 3  2) 4) 49  + y = 35 x Bài 2. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = −2x + 6 và y = x + 3 bằng phép tính. Bài 3. Viết phường trình đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết (d) đi qua A (3; 2) , B (−1; −2) .  Bài 4. Xác định m, n để hai hệ phương trình (I) x+y = 2 và (II)  3x + ny = 7 tương 2x + 1 = 1 mx + ny = 5 đương.  Bài 5. Cho hệ phương trình: mx − 12y = 4 , (m ≠ 0) . Tìm m để hệ phương trình có vô số  3x − my = 2 nghiệm?  Bài 6. Tìm a, b để hệ phương trình  ax − y = 5 nhận (−2; 1) làm nghiệm. (a + 1) x + by = 4 Bài 7. Tìm tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng 4x + 5y = 3 và x − 3y = 5 bằng phép tính. Bài 8. Viết phường trình đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết (d) đi qua A (1; 2) , B (3; 5) .  Bài 9. Cho hệ phương trình  2x − y = 1 . Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm ax + 3y = 5 dương. Bài 10. Tìm tọa độ giao điểm N của hai đường thẳng 3x + 2y = 2 và 2x + 3y = 6 bằng phép tính.  Bài 11. Xác định các hệ số a và b biết hệ phương trình (a − 2) x + 5by = 25 có nghiệm là  2ax − (b + 2) y = 5 (3; 1) . Bài 12. Viết phường trình đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết (d) đi qua A (−4; −3) , B 1 . 3; 2 Bài 13. Viết phường trình đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết (d) đi qua A (1; 2) , B (3; 4) .  Bài 14. Tìm m và n để hệ phương trình (3m + n) x + my = 2 có nghiệm x = 1; y = 1.  nx − 2my = −3 | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 33

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm  Bài 15. Tìm a để hệ phương trình 6x + a2y = a có vô số nghiệm.  3x + 2y = 1 Bài 16. Viết phường trình đường thẳng (d) : y = ax + b. Biết (d) đi qua A (3; 4) , B (4; 5) .  Bài 17. Tìm m và n để hệ phương trình: (4m + n) x + 2my = 5 có nghiệm x = 1; y = 1.  nx − my = −2  Bài 18. Cho hệ phương trình: mx − y = 5 . | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT  x+y=1 1) Tìm m để hệ vô nghiệm; 2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 19. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm: A (−1; 3) và B (−2; −4) .  Bài 20. Xác định a và b để  2x + ay = b + 4 có nghiệm là x = 3; y = −1. ax + by = 8 + 9a  Bài 21. Cho hệ phương trình:  2x − my = 5 . 3x + 4y = −10 1) Tìm m để hệ vô nghiệm; 2) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 22. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm: M (1; 2) và B (−1; −4) .  Bài 23. Tìm m để hệ phương trình sau vô số nghiệm  3x − y = −m √. 9x − m2y = −3 3  Bài 24. Tìm a và b để hệ phương trình 3ax − (b + 1) y = 93 nhận (1; −5) làm nghiệm.  bx + 4ay = −3 Bài 25. Tìm a và b để đường thẳng (d) : y = ax + b đi qua hai điểm A (−5; 3) , B 3 ; −1 . 2  Bài 26. Hệ phương trình mx + y = 2 có một nghiệm là (1; −2) khi m có giá trị là bao nhiêu?  x−y=3 Bài 27. Xác định a, b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm: A (−1; 6) và B (2; −3) .  Bài 28. Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm: 2 (m + 1) x + (m + 2) y = m − 3 .  (m + 1) x + my = 3m + 7  Bài 29. Xác định m, n để hệ phương trình:  3x + ny = 7 có nghiệm là (−1; 3) . mx + ny = 5 Bài 30. Xác định a, b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm: A (2; 3) và B (−1; −3) .  Bài 31. Xác định các hệ số a và b biết rằng hệ phương trình:  ax + by = 3 (I) có nghiệm (a − 1) x − by = 7 34 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 là (2; −3) .  Bài 32. Tìm m để hệ phương trình 3mx + m2y = 4 vô nghiệm.  3x + my = 4  Bài 33. Tìm m để hệ phương trình  x+y=1 có: mx + 2y = m 1) Vô số nghiệm; 2) Nghiệm duy nhất.  Bài 34. Cho hệ phương trình:  x+y=3 . Xác định m để hệ phương trình vô nghiệm? | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM −mx − y = 2m  Bài 35. Tìm m để hệ phương trình 3mx + m2y = 4 có vô số nghiệm.  3x + my = 4 Bài 36. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó: 1) 2x − y = 1; 2) x + 4y = 3; 3) x + 3y = 0. Bài 37. Tìm tọa độ giao điểm M của (d1) : 3x + y = 0 và (d2) : x + y = 2. Bài 38. Xác định a, b của hàm số y = ax + b, biết đồ thị của nó đi qua hai điểm A (−1; −5) và B (2; 4) .  Bài 39. Cho hệ phương trình  2ax + by = −2 . Tìm a, b biết hệ phương trình có nghiệm ax − 3by = −15 (x; y) = (−3; −2) .  Bài 40. Cho hệ phương trình (m + 5) x + 3y = 1 . Tìm giá trị của m để hệ phương trình có  mx + 2y = −4 nghiệm duy nhất. Bài 41. Cho ba điểm A (1; 1) , B (−2; −5) , C (3; 5) . Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bài 42. Tìm a và b để đường thẳng ax − 8y = b đi qua M (9; −6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) : 2x + 5y = 17, (d2) : x + y = 4. Bài 43. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy: (d1) : 2x + 3y = 10, (d2) : mx + (2m − 1) y = m + 3 và (d3) : 3x − 2y = 2.  Bài 44. Xác định giá trị của m để hệ phương trình:  mx − 2y = m2 − m + 6 có nghiệm (x; y) (m + 1) x − 2y = m2 + 7 thỏa 2x − y + 3 = 0. | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 35

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm  Bài 45. Tìm m để hệ phương trình mx + 2y = −10 có nghiệm (x0; y0) thỏa x0 − y0 = 5. x + y = 4m − 5 −−−−−⋆⋆⋆−−−−− | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 36 Năm học: 2023 - 2024

Chương 4 HÀM SỐ y = ax2 (a ̸= 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài 1 | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM Hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 (a ̸= 0) . Hàm số bậc hai xác định với mọi x ∈ R. Hàm số bậc hai đồng biến khi a và x cùng dấu, nghịch biến khi a và x trái dấu. 2. Đồ thị của hàm số bậc hai: Là một đường cong parabol có đỉnh là gốc tọa độ O (0; 0) và nhận trục Oy làm trục đối xứng. II. Bài tập: Bài 1. Cho hàm số y = x2. 1) Đồ thị hàm số nằm phía trên hay phía dưới trục hoành?; 2) Điền các giá trị tương ứng vào bảng sau: x −2 −1 0 1 2 y 3) Vẽ đồ thị hàm số; 4) Cho điểm M thuộc đồ thị có hoành độ bằng −3. Tìm tung độ điểm M ; 5) Trên đồ thị có bao nhiêu điểm mà tung độ bằng 9. Tìm hoành độ của chúng. Bài 2. Vẽ đồ thị các hàm số sau: 3) (P ) : y = 1 x2; 1) (P ) : y = 2x2; 2 2) (P ) : y = −x2; 4) (P ) : y = − 1 x2. Bài 3. Tìm hệ số a biết rằng: 4 | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 37

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm 1) (P ) : y = ax2 đi qua M (1; −1); 3) (P ) : y = ax2 đi qua A (−2; −2); 2) (P ) : y = ax2 đi qua N (2; 4); 4) (P ) : y = ax2 đi qua B (−2; 1). Bài 4. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và Parabol bằng đồ thị: 1) (P ) : y = x2 và (D) : y = 3x − 2; x2 4) (P ) : y = và (D) : y = x + 1; 2 | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 2) (P ) : y = −x2 và (D) : y = x − 2; x2 x 3) (P ) : y = x2 và (D) : y = 5x − 6; 5) (P ) : y = và (D) : y = + 2; 42 6) (P ) : y = − x2 và (D) : y = 3x. 2 −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 2 Phương trình bậc hai một ẩn I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 2. Phương pháp giải: Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c. Bước 2: Tính biệt thức đen-ta: ∆ = b2 − 4ac. Bước 3: Dựa vào dấu của ∆ xác định số nghiệm của phương trình. Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai ng√hiệm phân biệt:√ −b + ∆ −b − ∆ x1 = 2a ; x2 = 2a Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm. Bước 4: Kết luận tập nghiệm S của phương trình. II. Bài tập: 3) x2 + x − 1 = 0; 4) 2x2 + 5 = 0. Bài 1. Giải các phương trình: 1) 2x2 − 8 = 0; 2) 5x2 − 15x = 0; Bài 2. Giải các phương trình: 38 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 1) x2 − 6x + 8 = 0; 9) 5t2 + 2t − 8 = 0; 2) 4x2 − 9x + 3 = 0; 10) 2b2 + 5b − 7 = 0; 3) t2 − 2t + 1 = 0; 11) x2 + 5x + 7 = 0; 4) 4x2 + 4x + 1 = 0; 12) 49x2 − 28x + 4 = 0; 5) 9a2 + 9a + 2 = 0; 13) 9x2 + 6x + 1 = 0; 6) x2 − 6x + 10 = 0; 14) 2t2 − 3t − 5 = 0; | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 7) x2 − 3x + 2 = 0; 8) y2 + 4y − 5 = 0; 15) 1 a2 − 2a + 2 = 0; 2 16) 4x2 + x + 1 = 0. Bài 3. Giải các phương trình: √ √√ √ 8) 1 − 2 x2 − 2 2x + 3 = 0; 9) (x − 1)2 = 2x + 1; 1) x2 + 5x − 1 = 0; 10) −x2 + 2 = 2(x + 1)2; √ 11) (2x + 3)2 = (1 − x) (x + 9); 12) (x − 1) (2x + 3) = x2 + x; 2) x2 + 5x − 11 = 0; 13) (3 − x)2 + 4x = 0; √√ 14) (2x − 3)2 − (x − 1)2 + 4x − 5 = 0. 3) x2 − 1 + 2 x + 2 = 0; √ 4) 4x2 + 2 13x − 3 = 0; √√ 5) x2 − 5 − 3 x − 5 3 = 0; √ 6) 2x2 + 2 7x + 3 = 0; √√ 7) 3x2 − 1 − 3 x − 1 = 0; −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 3 Phương trình quy về phương trình bậc hai Bài 1. Giải các phương trình: 9) x4 − x2 − 20 = 0; 1) x4 − 4x2 = 0; 10) x4 − 6x2 − 7 = 0; 2) 3x4 − 48x2 = 0; 11) x4 − 3x2 − 10 = 0; 3) 9x4 − 25x2 = 0; 12) 9x4 + 6x2 + 1 = 0; 4) 2x4 + 3x2 = 0; 13) 9x4 − 10x2 + 1 = 0; 5) x4 − 144 = 0; 14) 4x4 − 4x2 + 1 = 0; 6) 2x4 = 512; 15) 11x4 + 3x − 2 = 3x − 15x2 − 6; 7) 3x4 − 12x2 + 9 = 0; 16) 4x4 − 25x2 + 6 = 0. 8) x4 − x2 − 72 = 0; | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 39

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm Bài 2. Phương trình đặt ẩn phụ: 10) x2 − 4x + 2 2 + x2 − 4x + 4 = 0; 1) y4 − 1, 16y2 + 0, 16 = 0; 11) x2 + 3x − 1 2 + 2 x2 + 3x − 1 − 8 = 0; 12) 2x2 + x − 2 2 + 10x2 + 5x − 16 = 0; 2) 36t4 − 13t2 + 1 = 0; 13) 3x2 − 2 2 + 3 3x2 − 2 − 4 = 0; 3) 1 x4 − 1 x2 + 1 = 0; 14) x2 − 3x + 4 x2 − 3x + 2 = 3; 326 15) x2 − 2x 2 − 2x2 + 4x − 3 = 0; √√ 4) 3x4 − 2 − 3 x2 − 2 = 0; √ 16) 3 x2 + x + 1 − x = x2 + 3; | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 5) x2(2x − 1)2 − 2 2x2 − x + 3 = 0; 6) 3 x2 + x 2 − 2 x2 + x − 1 = 0; 17) 2x2 + 7x − 8 2x2 + 7x − 3 − 6 = 0; 2x2 5x 7) x2 + 2x 4 + 3 x2 + 2x 2 − 4 = 0; √√ 18) (x + 1)2 − x + 1 = −3. 8) x − x = 5 x + 7; √ 4) 4x2 + 2x + 10 = 3x + 1; 9) (4x − 5)2 − 6 (4x − 5) + 8 = 0; √ Bài 3. Giải các phương trình: 5) x − x − 1 − 3 = 0. √ 1) 5x + 6 = x − 6; √√ 2) 3 − x = x + 2 + 1; √ 3) 2x2 + 5 = x + 2; Bài 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: 1) 30 − 30 = 1; 1 x x−2 4) x + x − 3 = 5; 2x x + 2 x 3 x 4 49 2) + = 2; 5) + + + = ; x + 2 2x 3 x 4 x 12 x + 1 x − 1 2x + 1 x2 − 3x + 6 1 6) x + 2 + x − 2 = d x + 1 . 3) = ; x2 − 9 x−3 Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: 1) x2 − 21 + 10 − x2 + 4x − 6 = 0; 6 4x x2 − 3x + 5 ; 1 + 2 = 4) x2 − x − x2 − x + 2 = 1; 2) x2 − 2x + 3 = x2 − x + 1 x2 − x − 2 x2 − 2x + 2 6 x2 − 2x + 4 ; 12 5) x − x + 1 = 3. 3) x2 − 3x + 3 + x2 − 3x + 4 10. x+1 x Bài 6. Giải các phương trình sau: 1) (x − 3)2 + (x + 4)2 = 23 − 3x; 2) x3 + 2x2 − (x − 3)2 = (x − 1) x2 − 2 ; 3) 3x2 + 4 (x − 1) = (x − 1)2 + 3; √√ 4) x2 + x + 3 = 3x + 6; 40 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 5) (x − 1)3 + 2x = x3 − x2 − 2x + 1; 6) (x + 2)2 − 3x − 5 = (1 − x) (1 + x); 7) x x2 − 6 − (x − 2)2 = (x + 1)3; 8) (x + 5)2 + (x − 2)2 + (x + 7) (x − 7) = 12x − 23; 9) (x + 1)3 − x + 1 = (x − 1) (x − 2); | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM 10) x2 + x + 1 2 = (4x − 1)2; 11) x2 + 3x + 2 2 = 6 x2 + 3x + 2 ; 12) 2x2 + 3 2 − 10x3 − 15x = 0; 13) x3 − 5x2 − x + 5 = 0. Bài 7. Giải các phương trình: 4) (x + 1) (x − 3) x2 − 2x = −2; 1) 3x3 + 6x2 − 4x = 0; 2) x3 − x2 − 8x − 6 = 0; 5) x2 + 5x + 8 x2 + 6x + 8 = 2x2; √ 6) √ x 4x − 1 3) x3 − x2 − x = 1 + = 2. ; 4x − 1 x 3 Bài 8. Phương trình đưa về phương trình tích: 1) 3x3 + 6x2 − 4x = 0; 4) x2 + 3x + 2 2 = 6 x2 + 3x + 2 ; 2) (x + 1)3 − x + 1 = (x − 1) (x − 2); 5) (2x + 3)2 − 10x3 − 15x = 0; 3) x2 + x + 1 = (4x − 1)2; 6) x3 − 5x2 − x + 5 = 0. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 4 Định lý Vi-ét I. Kiến thức cơ bản: b S = x1 + x2 = − Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: ca .  P = x1.x2 = a II. Bài tập: Bài 1. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau: | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 41

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm 1) x2 − 8x − 7 = 0; 6) 2x2 − x + 1 = 0; 2) x2 − 5x + 2 = 0; 7) 3x2 − 2x − 1 = 0; 3) x2 + 2x − 17 = 0; 8) 16x2 + 13x − 48 = 0; 4) 4x2 − 4x + 1 = 0; √√ 5) x2 − 2x − 35 = 0; 9) 4x2 − 4 + 3 x + 3 = 0; √√ 10) x2 − 3x − 2 − 6 = 0. Bài 2. Dùng hệ thức Vi – ét để nhẩm nghiệm của phương trình: | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 1) 2x2 + 9x + 7 = 0; √√ 5) 5 + 2 x2 + 5 + 2 x − 10 = 0; 2) 7x2 − 9x + 2 = 0; 6) 1 x2 − 3 − 11 = 0; 3) 23x2 − 9x − 32 = 0; x 3 26 4) 1975x2 + 4x − 1979 = 0; 7) 31, 1x2 − 50, 9x + 19, 8 = 0. Bài 3. Dùng hệ thức Vi – ét để nhẩm nghiệm của phương trình: 1) x2 − 6x + 8 = 0 ; 4) x2 − 3x − 10 = 0; 2) x2 − 12x + 32 = 0; 5) x2 + 3x − 10 = 0. 3) x2 + 6x + 8 = 0; Bài 4. Cho phương trình x2 + 2x − 3 = 0. 1) Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1, x2; 2) Tính tổng và tích hai nghiệm; 3) Tính x1x2 − 2x1 − 2x2. Bài 5. Cho phương trình x2 + 3x − 4 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: 11 2) B = (x1 + x2)2 − 3x1x2; 3) C = x12 + x22. 1) A = + ; x1 x2 Bài 6. Cho phương trình: 3x2 + x − 2 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: x21 + x22. Bài 7. Phương trình 12x2 − 8x + 1 = 0 có nghiệm x1 = 1 thì nghiệm còn lại là bao nhiêu? 2 Bài 8. Cho phương trình: x2 + 3x − 4 = 0. Hãy tính: 1) x1 + x2 + x1x2; 2) x12 + x22; 3) x1 + x2 ; 4) x12x2 + x1x22. x2 x1 Bài 9. Cho phương trình: 3x2 − 5x − 4 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: x31x2 + x1x32. Bài 10. Cho phương trình: x2 + 9x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: 1 + 1 . x1 x2 Bài 11. Cho phương trình: x2 − 3x + 2 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: (x1 − x2)2. Bài 12. Cho phương trình: x2 − x − 2 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: x13 + x23. Bài 13. Cho phương trình: x2 − 3x − 6 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: 42 Năm học: 2023 - 2024

GIÁO TRÌNH TOÁN 9 1) (x1 − x2)2 − 3x1x2; 2) x12 + x2 + 2 (x1 + 1) (x2 + 1). Bài 14. Cho phương trình x4 − x2 + m = 0. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 15. Cho phương trình: x2 + 6x − 7 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: 2x21 + 3x1x2 + 2x22. Bài 16. Cho phương trình: −x2 + 8x − 7 = 0. Không giải phương trình, hãy tính: x21x22 − x1 − x2. Bài 17. Cho phương trình x2 + 5x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 4x1 + 3x2 = −1. Bài 18. Cho phương trình x2 − 11x + 2m − 4 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa 2x1 − x2 = −2. | NGUYỄN ĐỨC THẮNG - PHẠM NGỌC TRÂM Bài 19. Cho phương trình x2 − 2 (m + 1) x − 4m − 12 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 − x2 = 4. Bài 20. Cho phương trình x2 − x − m (x − 1) = 0. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. Bài 21. Cho phương trình 2x2 − x + 1 + m = 0 (1). 1) Giải phương trình đã cho với m = 0; 2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1x2. (x1x2 − 2) = 3 (x1 + x2). Bài 22. Tìm giá trị của m để các nghiệm của phương trình: −2x2 − (m + 1) x + 7m = 0 trái dấu nhau và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau (m là tham số). Bài 23. Cho phương trình x2 − 2 (m + 1) x − m − 3 = 0. 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m. Bài 24. Cho phương trình x2 + 2 (m + 1) x + m2 = 0. 1) Giải phương trình khi m = 5; 2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng −2. Bài 25. Cho phương trình x2 − 2 (m + 1) x + m2 + 5m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích của chúng bằng 6. Bài 26. Cho phương trình: x2 − x + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1x2 − 1)2 = 9 (x1 + x2) . Bài 27. Cho phương trình x4 − 5x2 + m = 0. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. Bài 28. Cho phương trình x2 − 2x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 11 x2 thỏa mãn x21 + x22 = 1. Bài 29. Cho phương trình x2 − 2mx − 6m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm này gấp đôi | LỚP TOÁN TT - 35F1 Chi Lăng, P.9, TP. Đà Lạt 43

| Nguyễn Đức Thắng - Phạm Ngọc Trâm nghiệm kia. Bài 30. Cho phương trình mx2 − (2m − 3) x + m − 4 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào tham số m. Bài 31. Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0, với a, b là tham số. 1) Giải phương trình khi a = 3 và b = −5;  2) Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 − x2 = 3 x31 − x23 = . | Cơ sở dạy thêm & học thêm: LỚP TOÁN TT 9 Bài 32. Cho phương trình x2 − 2 (m + 1) x + m2 = 0. 1) Tìm m để phương trình có nghiệm; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào tham số m. Bài 33. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 + mx + m + 3 = 0. 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt; 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x21 + x22 = −3; 3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 5; 4) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = −3. Tính nghiệm còn lại; 5) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào tham số m. −−−−−⋆⋆⋆−−−−− Bài 5 Định lý Vi-ét đảo I. Kiến thức cơ bản:  Nếu có hai số u và v thỏa:  u + v = S và S2 ≥ 4P thì u và v là hai nghiệm của phương trình  u.v = P bậc hai: x2 − Sx + P = 0. II. Bài tập: 4) a + b = 5 và ab = 6; 5) a + b = 7 và ab = 12; Bài 1. Tìm hai số a và b biết: 6) S = −3 và P = −4; 1) a + b = 3 và ab = 2; 2) a + b = 1 và ab = −6; 3) a + b = −1 và ab = −12; 44 Năm học: 2023 - 2024