บทที่2 เรื่องการแยกตัวประกอบ

เอกสารประกอบการเรยี น รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ค 20205 หน่วยที่ 2 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม ช่อื -สกุล............................................................... ชน้ั .........................เลขท่ี........................... โรงเรยี นเบญจมราชูทิศ จงั หวัดจันทบรุ ี สำนักงานเขตพน้ื ทีก่ ารศกึ ษามัธยมศกึ ษาเขต 17

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 1 บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม นักเรียนเคยทราบมาแล้วเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็นจำนวนเต็มที่ a ≠ 0 และได้ตัวประกอบทม่ี ีสัมประสทิ ธข์ิ องแต่ละพจน์เป็นจำนวนเตม็ ซึง่ เปน็ สาระทจี่ ำเป็นที่นกั เรยี นจะต้องเรยี นรู้เพ่ือนำไปใช้แก้ปัญหา ในบทนจ้ี ะขยายความรู้เพิม่ เตมิ เก่ยี วกับการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทีเ่ ป็นผลตา่ งของกำลงั สองและพหนุ ามที่ทำเปน็ กำลัง สองสมบรู ณซ์ ่งึ มสี มั ประสทิ ธิข์ องแต่ละพจนข์ องตัวประกอบเปน็ จำนวนจรงิ อกี ท้ังยังมสี าระใหม่ทกี่ ลา่ วถงึ การแยกตวั ประกอบ ของพหุ นามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็ม และได้ตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ เป็นจำนวนเต็มเท่าน้ัน โดยใช้สมบัติการเปลย่ี นหมู่ สมบตั กิ ารสลบั ที่ สมบัติการแจกแจง หรอื ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ทกั ษะในการแยกตัวประกอบ ของพหุนาม จะเปน็ พนื้ ฐานการเรียนรู้ในระดบั ท่สี ูงขนึ้ สามารถใชแ้ กป้ ญั หาในสถานการณต์ า่ งๆ ได้มากข้ึน จดุ มงุ่ หมายของบทเรียนน้ี มดี ังน้ี 1. แยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองทีเ่ ป็นผลตา่ งของกำลังสองได้ 2. แยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องโดยวธิ ีทำเป็นกำลงั สองสมบรู ณ์ได้ 3. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มและได้ตัวประกอบที่มีสัมประสิทธิ์ ของแตล่ ะพจน์เป็นจำนวนเตม็ ได้โดยใช้สตู ร หรืออาศยั วิธที ำเปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์ หรือใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลอื เอกสารแนะแนวทาง 2.1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องท่เี ป็นผลตา่ งของกำลังสอง นักเรียนรูจ้ กั สตู รการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองทเ่ี ปน็ ผลตา่ งของกำลังสองมาแล้วดงั น้ี A2 − B2 = (A + B)(A − B) เมอ่ื A และ B เป็นพหนุ าม นักเรียนยังทราบมาแล้วว่า (√a)2 = a เมือ่ a เป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์ เรานำความรู้ดังกล่าวมาใช้แยกตัวประกอบ ของพหุนามที่เปน็ ผลตา่ งของกำลงั สองได้ ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 - 2 วิธที ำ x2 - 2 = x2 - ( 2)2 = …………………… ดงั นั้น x2 - 2 = …………………… ตัวอยา่ งที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 1 x2 − 5 วิธีทำ 4 1 x2 − 5 = (1 2 − (√5)2 42 x) = ……………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 2 ตัวอยา่ งท่ี 3 ดงั น้ัน 1 x2 − 5 = …………………………………… วธิ ที ำ 4 จงแยกตัวประกอบของ 8 − (x − 3)2 8 − (x − 3)2 = (2√2)2 − (x − 3)2 = …………………………………………………………………… = …………………………………………………………………… = …………………………………………………………………… ดงั นัน้ 8 − (x − 3)2 = ……………………………………………………………………. ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ (2x + 7)2 − 12 วิธที ำ (2x + 7)2 − 12 = (2x + 7)2 − (2√3)2 = …………………………………………………………………… = …………………………………………………………………… ดังน้นั (2x + 7)2 − 12 = ……………………………………………………………………. เอกสารฝกึ หดั เพม่ิ เติม 2.1 2. x2 − 7 …………………………………………………………………… จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้ …………………………………………………………………… 1. x2 − 3 4. 18 − x2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. 20 − x2 6. x2 − 5 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 36 5. x2 − 3 …………………………………………………………………… 4 …………………………………………………………………… 8. 25 x2 − 24 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 16 7. 1 x2 − 15 …………………………………………………………………… 9 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 3 9. 7x2 − 24 10. (x − 1)2 − 6 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 11. (x + 3)2 − 10 12. (x − 2)2 − 27 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 13. 50 − (x − 4)2 14. 32 − (x + 5)2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 15. (2x + 3)2 − 24 16. (3x − 2)2 − 52 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 17. (5x − 1)2 − 48 18. 72 − (4x + 3)2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… เอกสารแนะแนวทาง 2.2 การแยกตัวประกอบพหนุ ามดกี รสี องโดยวิธที ำเปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์ นกั เรยี นรู้จกั สตู รการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่เี ปน็ กำลงั สองสมบูรณ์มาแล้ว ดังนี้ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 − 2AB + B2 = (A − B)2 จากสูตรนจี้ ะไดว้ ่า x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 เมือ่ a เปน็ คา่ คงตวั x2 − 2ax + a2 = (x − a)2 เมอื่ a เปน็ คา่ คงตัว นกั เรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ าม เช่น x2 + 6x + 5 โดยใชว้ ธิ แี ยกตวั ประกอบทีท่ ราบมาแลว้ ไดด้ ังนี้ x2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 4 พิจารณาการแยกตัวประกอบของ x2 + 6x + 5 อีกวิธีหนึ่งซึ่งจะเขียนนิพจน์ x2 + 6x ให้มีบางส่วนเป็นกำลังสองสมบูรณ์ก่อน แลว้ จงึ แยกตัวประกอบ เนอ่ื งจาก x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 ดังนนั้ เม่ือต้องการเขียน x2 + 6x ใหม้ ีบางสว่ นเป็นกำลงั สองสมบรู ณ์ จะต้องจัดเป็น x2 + 6x = x2 + 2(3)x จากนน้ั เพ่มิ 32 เขา้ ไปและเพ่ือให้ไดน้ ิพจน์ท่ีเทา่ เดมิ ก็จะหักออกดว้ ยพจน์ 32 ดงั นี้ x2 + 6x = [x2 + 2(3)x + 32] − 32 = (x + 3)2 − 32 ดงั น้นั แยกตัวประกอบของ x2 + 6x + 5 ไดด้ งั น้ี x2 + 6x + 5 = [x2 + 2(3)x + 32] − 32 + 5 = (x + 3)2 − 9 + 5 = (x + 3)2 − 4 = (x + 3)2 − 22 = [(x + 3) + 2][(x + 3) − 2] = (x + 5)(x + 1) การแยกตวั ประกอบของ x2 + 6x + 5 ดว้ ยวธิ ขี า้ งต้นน้ี เรยี กวา่ วิธีทำเป็นกำลังสองสมบรู ณ์ การแยกตัวประกอบโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะช่วยให้นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองบางพหุนาม ท่ีไม่สามารถแยกได้ด้วยวิธีท่ีนักเรยี นเคยทราบมาแล้ว เช่น x2 + 4x + 1 ในการแยกตัวประกอบของ x2 + 4x + 1 โดยใช้วธิ ีทำเปน็ กำลังสองสมบรู ณท์ ำได้ดงั น้ี x2 + 4x + 1 = [x2 + 2(2)x + 22] − 22 + 1 = (x + 2)2 − 4 + 1 = (x + 2)2 − 3 = (x + 2)2 − (√3)2 = [(x + 2) + √3][(x + 2) − √3] = (x + 2 + √3)(x + 2 − √3) ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ าม x2 + 10x + 6 โดยใช้วธิ ีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ วิธีทำ x2 + 10x + 6 = x2 + 2(5)x + 6 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. ดังนัน้ x2 + 10x + 6 = ……………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 5 ตวั อย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหนุ าม x2 + 12x − 9 โดยใช้วิธีทำเปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์ วิธที ำ x2 + 12x − 9 = x2 + 2(6)x − 9 ตวั อยา่ งที่ 3 วธิ ีทำ = ……………………………………………….. ตัวอย่างท่ี 4 = ……………………………………………….. วธิ ที ำ = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. ดังน้นั x2 + 12x − 9 = …………………………………………………… จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 − 6x + 2 โดยใช้วิธที ำเปน็ กำลังสองสมบูรณ์ x2 − 6x + 2 = x2 − 2(3)x + 2 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. ดงั นัน้ x2 − 6x + 2 = …………………………………………………… จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 − 7x − 6 โดยใชว้ ธิ ีทำเปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ x2 − 7x − 6 = x2 + 2 (7) x − 6 2 = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. = ……………………………………………….. ดงั น้นั x2 − 7x − 6 = ……………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 6 เอกสารฝึกหดั เพม่ิ เติม 2.2 ก จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ีโดยใช้วิธีทำเปน็ กำลงั สองสมบูรณ์ 1. x2 + 24x + 140 2. x2 + 16x − 561 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. x2 − 28x + 195 4. x2 − 26x − 155 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. x2 + 8x + 10 6. x2 + 2x − 5 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 7 7. x2 − 6x + 6 8. x2 − 2x − 10 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. x2 + 10x + 1 10. x2 − 7x + 11 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 11. x2 + 9x + 19 12. x2 + 5x − 2 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 8 13. x2 + 11x + 29 14. x2 + 7x + 9 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 15. x2 − 9x + 12 16. x2 − 15x + 40 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… การแยกตวั ประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมอ่ื a = 1 ทก่ี ล่าวมาแล้วน้ัน ทำไดโ้ ดยใช้วธิ ีทำเปน็ กำลงั สองสมบรู ณ์ สำหรับ ในกรณีที่ a ≠ 1 เราก็สามารถใช้วิธีนี้แยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c ได้เช่นกัน โดยใช้สมบัติการแจกแจงทำสัมประสิทธ์ิ ของ x2 ให้เปน็ 1 ก่อน ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแยกตัวประกอบของ 3x2 − 8x − 35 วธิ ที ำ 3x2 − 8x − 35 = 3 [x2 − 8 x − 35] 33 = ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 9 = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. ดงั น้ัน 3x2 − 8x − 35 = ………………………………………………. หรอื ………………………………………….. ตัวอย่างท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ 2x2 + 4x + 1 วธิ ที ำ 2x2 + 4x + 1 = 2 [x2 + 2x + 1] 2 = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. ดงั น้ัน 2x2 + 4x + 1 = ……………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 10 ตวั อยา่ งท่ี 7 จงแยกตัวประกอบของ −4x2 + 8x + 20 วิธีทำ −4x2 + 8x + 20 = −4[x2 − 2x − 5] = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. ดังน้นั −4x2 + 8x + 20 = ………………………………………………. ตวั อยา่ งที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ −x2 + 5x + 7 วธิ ีทำ −x2 + 5x + 7 = −[x2 − 5x − 7] = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. = ………………………………………………………….. ดังนน้ั −x2 + 5x + 7 = ……………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 11 เอกสารฝกึ หัดเพ่มิ เติม 2.2 ข จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนโ้ี ดยใช้วิธที ำเปน็ กำลังสองสมบูรณ์ 1. 3x2 + 19x − 14 2. 11x2 − 142x − 13 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. 15x2 − 77x + 10 4. −2x2 − 12x + 4 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. −3x2 + 24x + 15 6. 3x2 + 5x − 1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 12 7. 6x2 + 36x − 8 8. 4x2 + 18x + 10 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. −2x2 + x + 7 10. −x2 + 5x − 3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 11. 10x2 + 17x + 4 12. −4x2 − 26x − 4 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 13 เอกสารแนะแนวทาง 2.3 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสงู กวา่ สองท่ีมีสัมประสิทธ์ิเปน็ จำนวนเตม็ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสงู กว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์เปน็ จำนวนเต็ม และตัวประกอบ ทีไ่ ด้มามีสัมประสทิ ธข์ิ องแตล่ ะพจน์เปน็ จำนวนเต็มดว้ ย พจิ ารณาการหาผลคูณของพหุนามในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 1. (x + 5)(x2 − 5x + 25) = x3 − 5x2 + 25x + 5x2 − 25x + 125 = x3 + 125 = x3 + 53 2. (2x + 3)(4x2 − 6x + 9) = 8x3 − 12x2 + 18x + 12x2 − 18x + 27 = 8x3 + 27 = (2x)3 + 33 3. (x − 5)(x2 + 5x + 25) = x3 + 5x2 + 25x − 5x2 − 25x − 125 = x3 − 125 = x3 − 53 4. (2x − 3)(4x2 + 6x + 9) = 8x3 + 12x2 + 18x − 12x2 − 18x − 27 = 8x3 − 27 = (2x)3 − 33 เรยี กพหนุ าม เชน่ x3 + 53 และ (2x)3 + 33 ว่า ผลบวกของกำลงั สาม และเรียกพหนุ าม เช่น x3 − 53 และ (2x)3 − 33 วา่ ผลต่างของกำลังสาม จากผลคูณของพหนุ ามในขอ้ 1 ถึงขอ้ 4 ขา้ งต้น จะเหน็ วา่ เมื่อมผี ลคูณเปน็ พหนุ ามท่อี ยู่ในรูปผลบวกของกำลงั สามหรือ ผลตา่ ง ของกำลงั สาม สามารถใช้สมบัตขิ องการเทา่ กันเขียนพหนุ ามทเี่ ปน็ ผลคูณนนั้ ในรปู การคณู ของพหุนามได้ น่ันคือจะได้ การแยกตวั ประกอบของ x3 + 53 , (2x)3 + 33 , x3 − 53 และ (2x)3 − 33 เป็นดงั นี้ 1. x3 + 53 = (x + 5)(x2 − 5x + 25) 2. (2x)3 + 33 = (2x + 3)(4x2 − 6x + 9) 3. x3 − 53 = (x − 5)(x2 + 5x + 25) 4. (2x)3 − 33 = (2x − 3)(4x2 + 6x + 9) พจิ ารณา x3 + 53 = (x + 5)(x2 − 5x + 25) หรือ x3 + 53 = (x + 5)[x2 − (x)(5) + 52] และพจิ ารณา (2x)3 + 33 = (2x + 3)(4x2 − 6x + 9) หรือ (2x)3 + 33 = (2x + 3)[(2x)2 − (2x)(3) + 32] จะเหน็ ว่า การแยกตัวประกอบของพหนุ ามขา้ งตน้ มลี ักษณะพเิ ศษทส่ี ังเกตได้ดังนี้ (พจน์หน้า)3 - (พจนห์ ลงั )3 = (พจน์หนา้ - พจนห์ ลงั )[(พจน์หนา้ )2 + (พจน์หน้า)(พจน์หลงั ) + (พจนห์ ลัง)2]

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 14 ในกรณที ่วั ไป เมอ่ื A และ B เป็นพหุนาม เรยี กพหนุ ามทีอ่ ยใู่ นรูป A3 + B3 วา่ ผลบวกของกำลงั สาม และเรียกพหนุ าม ท่อี ยู่ในรูป A3 − B3 วา่ ผลต่างของกำลังสาม การแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งสองทำได้ตามสตู รดังนี้ ������������ + ������������ = (������ + ������)(������������ − ������������ + ������������) ������������ − ������������ = (������ − ������)(������������ + ������������ + ������������) ตัวอยา่ งที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x3 + 1 วิธีทำ x3 + 1 = x3 + 13 = ……………………………………….. = ……………………………………….. ดังน้ัน x3 + 1 = ………………………………………. ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ x3 + 125 วิธที ำ x3 + 125 = x3 + 53 = ……………………………………….. = ……………………………………….. ดังน้ัน x3 + 125 = ………………………………………. ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 27x3 + 64 วธิ ที ำ 27x3 + 64 = (3x)3 + 43 = ……………………………………….. ……………………………………….. = ………………………………………. ดังนนั้ 27x3 + 64 = ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ (2x + 1)3 + (x − 3)3 วธิ ที ำ (2x + 1)3 + (x − 3)3 = [(2x + 1) + (������ − 3)][(2������ + 1)2 − (2������ + 1)(������ − 3) + (������ − 3)2] = ……………………………………………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………………………………….. ดงั นน้ั (2x + 1)3 + (x − 3)3 = ………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 15 ตัวอยา่ งท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ x3 − 216 วธิ ที ำ x3 − 216 = x3 − 63 = ……………………………………….. = ……………………………………….. ดังนน้ั x3 − 216 = ………………………………………. ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 1000 − x3 วิธที ำ 1000 − x3 = 103 − x3 = ……………………………………….. ……………………………………….. = ………………………………………. ดังนั้น 1000 − x3 = ตัวอยา่ งท่ี 7 จงแยกตวั ประกอบของ 8x3 − 27y3 วธิ ีทำ 8x3 − 27y3 = (2x)3 − (3y)3 = ……………………………………….. = ……………………………………….. ดงั นั้น 8x3 − 27y3 = ………………………………………. ตวั อย่างท่ี 8 จงแยกตัวประกอบของ (x − 3)3 − (3x + 2)3 วิธีทำ (x − 3)3 − (3x + 2)3 = [(x − 3) − (3x + 2)][(x − 3)2 + (x − 3)(3x + 2) + (3x + 2)2] = ……………………………………………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………………………………….. ดงั นน้ั (2x + 1)3 + (x − 3)3 = ……………………………………………………………………… เอกสารฝกึ หัดเพ่ิมเติม 2.3 ก 2. y3 + 64 …………………………………………………………………… จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปนี้ 1. x3 + 27 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 16 3. 8x3 + 1 4. 64z3 + 125 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. 27x3 + 512y3 6. 729 + (x − 2)3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. (3x − 1)3 + (x − 4)3 8. (2x + 5)3 + (5x − 9)3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. x3 − 1 10. z3 − 216 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 17 11. 125y3 − 64 12. 1,000 − 216x3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 13. 1,331y3 − 343z3 14. (4x + 3)3 − 125 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 15. (7x − 2)3 − (6x + 9)3 16. (8x − 15)3 − (3x − 7)3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง บางครั้งอาจทำได้โดยจัดพหุนามนั้นให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ ผลต่างของ กำลังสอง ผลบวกของกำลังสามหรือผลต่างของกำลังสาม จากนั้นนักเรียนสามารถนำความรู้ทีเ่ คยเรียนมาแลว้ มาใช้ ในการแยกตัวประกอบ ตอ่ ได้ ดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 18 ตวั อยา่ งที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ 16x4 − 81 วิธีทำ 16x4 − 81 = (4x2)2 − 92 = ……………………………………….. ……………………………………….. = ……………………………………….. ……………………………………….. = ดงั นั้น 16x4 − 81 = ตวั อย่างที่ 10 จงแยกตวั ประกอบของ x4 + x2 + 1 วธิ ที ำ x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) − x2 = ……………………………………….. = ……………………………………….. = ……………………………………….. ดังนนั้ x4 + x2 + 1 = ……………………………………….. ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ x4 + 4 วิธที ำ x4 + 4 = (x2)2 + 22 = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. ดงั นั้น x4 + 4 = ……………………………………………………. ตัวอย่างท่ี 12 จงแยกตวั ประกอบของ x6 − 64 วธิ ที ำ วธิ ที ี่ 1 แยกตัวประกอบโดยจดั พหนุ าม x6 − 64 ใหอ้ ยใู่ นรูปผลตา่ งของกำลังสองก่อน x6 − 64 = (x3)2 − 82 = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. ดังนนั้ x6 − 64 = …………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 19 วธิ ีท่ี 2 แยกตวั ประกอบโดยจดั พหนุ าม x6 − 64 ให้อย่ใู นรปู ผลต่างของกำลังสามกอ่ น x6 − 64 = (x2)3 − 43 = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. ดงั น้ัน x6 − 64 = ……………………………………………………………………. เอกสารฝึกหดั เพ่ิมเติม 2.3 ข 2. 81y4 − 625 …………………………………………………………………… จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี …………………………………………………………………… 1. x4 − 625 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. 81x4 − 256y4 4. x4 + 3x2 + 4 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 5. y4 + 6y2 + 25 6. x4 + 64 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 20 7. y4 + 324 8. y6 − 1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. 64x6 − 729 10. x6 − y6 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 11. x6 + 216 12. 343x6 + 1,000z6 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 13. 512 − y6 14. 216x6 − 27y6 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ในบางครั้งการแยกตัวประกอบของพหุนาม อาจต้องจัดพจน์ของพหุนามใหม่โดยใช้สมบัติการเปลี่ยนหมู่ สมบัติการสลับที่และ สมบัตกิ ารแจกแจง ดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 21 ตวั อย่างที่ 13 จงแยกตวั ประกอบของ x3 − 6x2 + 12x − 8 วิธที ำ x3 − 6x2 + 12x − 8 = (x3 − 8)2 − (6x2 − 12x) = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. ดงั น้ัน x3 − 6x2 + 12x − 8 = …………………………………………………….. หรอื x3 − 6x2 + 12x − 8 = …………………………………………………….. ตวั อยา่ งที่ 14 จงแยกตวั ประกอบของ 16x4 − y2 + 2y − 1 วิธีทำ 16x4 − y2 + 2y − 1 = 16x4 − (y2 − 2y + 1) = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. = ……………………………………………………. ดังนัน้ 16x4 − y2 + 2y − 1 = …………………………………………………….. เอกสารฝกึ หดั เพิม่ เติม 2.3 ค 2. y4 + 2y3 − y − 2 …………………………………………………………………… จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี …………………………………………………………………… 1. x3 − x2 − x + 1 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 3. z3 + z2 − 4z − 64 4. y3 + 9y2 − 54y − 216 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 22 5. x3 − 5x2 − 15x + 27 6. 6x3 + 12x2y + 4xy2 + 8y3 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 7. x4 − 3x3 − 4x2 + 12x 8. 9x4 − y2 − 6y − 9 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 9. 4x4 − 4x2y + y2 − 121 10. 9x4 − 6x2y + y2 − 9 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… 11. 1 − x2 − 2xy2 − y4 12. x4 − 4y4 − 20y2 − 25 …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 23 13. x4 − 2ax2 + a2 − z2 เมอื่ a เปน็ ค่าคงตัว 14. 4x4 − 4ax2 + 2by + a2 − b2 − y2 เมอ่ื a และ b เป็นคา่ คงตวั …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… …………………………………………………………………… เอกสารแนะแนวทาง 2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมสี ัมประสิทธ์ิเปน็ จำนวนเตม็ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ พจิ ารณาการหารพหุนาม x2 + 3x − 4 ดว้ ยพหุนาม x − 2 ดงั นี้ จากการหารขา้ งตน้ จะเหน็ ว่าเม่อื หารพหุนาม x2 + 3x − 4 ดว้ ยพหุนาม x − 2 จะได้เศษเป็น 6 ให้ P(x) แทนพหุนาม x2 + 3x − 4 น่นั คือ P(x) = x2 + 3x − 4 เมอื่ แทน x ดว้ ย 2 ใน P(x) = x2 + 3x − 4 จะได้ P(2) = 22 + 3(2) − 4 = 4+6−4 =6 P(2) เปน็ คา่ ท่ีได้จากการแทน x ดว้ ย 2 ในพหนุ าม P(x) จากท่แี สดงขา้ งตน้ จะเห็นว่า P(2) เทา่ กบั เศษที่ได้จากการหารพหุนาม P(x) ดว้ ยพหุนาม x – 2 ในกรณีทั่วไป เมอ่ื หารพหนุ าม P(x) ใดๆ ดว้ ยพหุนาม x – a ที่ a เปน็ ค่าคงตวั จะไดเ้ ศษซึง่ ต่อไปนจี้ ะเรียกวา่ เศษเหลอื ดังทฤษฎีบทต่อไปน้ี ทฤษฎบี ท (ทฤษฎีบทเศษเหลอื ) ถ้าหารพหนุ าม P(x) ด้วยพหนุ าม x – a ท่ี a เปน็ ค่าคงตวั แลว้ จะไดเ้ ศษเหลือเป็น P(a)

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 24 ตวั อยา่ งที่ 1 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร 2x2 − 5x + 6 ด้วย x – 3 วิธีทำ ให้ P(x) = 2x2 − 5x + 6 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(3) เปน็ เศษเหลือท่ีได้จากการหาร P(x) ดว้ ย x – 3 P(3) = 2(3)2 − 5(3) + 6 = ……………………………. = ……………………………. ดงั นนั้ เศษเหลือเท่ากบั ………… ตัวอยา่ งท่ี 2 จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจ้ ากการหาร 8x2 − 4x + 11 ดว้ ย x + 5 วธิ ีทำ ให้ P(x) = 8x2 − 4x + 11 เนอ่ื งจาก x + 5 = x – (-5) จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(-5) เป็นเศษเหลอื ท่ไี ดจ้ ากการหาร P(x) ดว้ ย x – (-5) P(-5) = 8(−5)2 − 4(−5) + 11 = ……………………………. = ……………………………. ดงั น้นั เศษเหลอื เทา่ กับ ………… ตวั อยา่ งที่ 3 จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือทไ่ี ดจ้ ากการหาร −5x3 + x − 7 ดว้ ย x – 4 วธิ ที ำ ให้ P(x) = −5x3 + x − 7 จากทฤษฎบี ทเศษเหลือ จะได้ P(4) เปน็ เศษเหลือทีไ่ ด้จากการหาร P(x) ดว้ ย x – 4 P(4) = −5(4)3 + 4 − 7 = ……………………………. = ……………………………. ดังนัน้ เศษเหลือเท่ากบั ………… ตวั อย่างที่ 4 จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื หาเศษเหลอื ทีไ่ ด้จากการหาร 3x5 − x4 − 5x3 + 2x2 − 9x + 7 ด้วย x + 2 วิธีทำ ให้ P(x) = 3x5 − x4 − 5x3 + 2x2 − 9x + 7 เนื่องจาก x + 2 = x – (-2) จากทฤษฎีบทเศษเหลอื จะได้ P(-2) เป็นเศษเหลอื ท่ีได้จากการหาร P(x) ดว้ ย x – (-2) P(-2) = 3(−2)5 − (−2)4 − 5(−2)3 + 2(−2)2 − 9(−2) + 7 = ……………………………. = ……………………………. ดังน้นั เศษเหลอื เท่ากบั …………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 25 ตวั อยา่ งที่ 5 จงใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลอื หาเศษเหลือท่ีได้จากการหาร x3 + 4x2 − 11x − 30 ด้วย x – 3 วิธที ำ ให้ P(x) = x3 + 4x2 − 11x − 30 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ P(3) เปน็ เศษเหลอื ที่ได้จากการหาร P(x) ดว้ ย x – 3 P(3) = 33 + 4(3)2 − 11(3) − 30 = ……………………………. = ……………………………. ดังน้นั เศษเหลือเท่ากบั ………… จากตัวอย่างที่ 5 จะเห็นว่าเมื่อหาร x3 + 4x2 − 11x − 30 ด้วย x – 3 จะได้เศษเหลือเป็น ……… แสดงว่า x – 3 หาร x3 + 4x2 − 11x − 30 ไดล้ งตัว ดงั นั้น จะได้ว่า x – 3 เป็นตวั ประกอบของ x3 + 4x2 − 11x − 30 นำ x – 3 ไปหาร x3 + 4x2 − 11x − 30 โดยการตั้งหาร จะได้ดงั น้ี จะเห็นว่า เม่อื นำ x – 3 ไปหาร x3 + 4x2 − 11x − 30 จะไดผ้ ลหารเป็น x2 + 7x + 10 และเศษเหลือเปน็ ……… จากความสมั พนั ธข์ องตวั ต้ัง ตวั หาร ผลหาร และเศษเหลอื ซ่ึงเป็นดังน้ี ตัวต้งั = (ตัวหาร × ผลหาร) + เศษเหลือ จะไดว้ า่ x3 + 4x2 − 11x − 30 = (x − 3)(x2 + 7x + 10) + 0 หรอื x3 + 4x2 − 11x − 30 = (x − 3)(x2 + 7x + 10) แตส่ ามารถแยกตัวประกอบของ x2 + 7x + 10 ไดเ้ ปน็ x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) ดงั นน้ั x3 + 4x2 − 11x − 30 = (x − 3)(x + 2)(x + 5) นน่ั คอื แยกตัวประกอบของ x3 + 4x2 − 11x − 30 ได้ดังน้ี x3 + 4x2 − 11x − 30 = (x − 3)(x + 2)(x + 5) จะเห็นว่า การแยกตัวประกอบของ P(x) = x3 + 4x2 − 11x − 30 ข้างต้นนี้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือในการแยกตัวประกอบก่อน โดยพิจารณาจาก P(3) = 0 ทำให้ไดว้ า่ x – 3 เป็นตวั ประกอบหน่ึงของ P(x) จากน้ันจงึ หาตวั ประกอบอื่นตอ่ ไป กลา่ วไดว้ ่า ในการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม P(x) โดยใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลอื ต้องหาจำนวน a ที่ทำให้ P(a) = 0 กอ่ น ใหส้ ังเกตวา่ พหนุ าม x3 + 4x2 − 11x − 30 น้มี ีสมั ประสทิ ธ์เิ ปน็ จำนวนเต็มและสัมประสทิ ธข์ิ องตัวแปรทมี่ กี ำลงั สงู สุดเปน็ 1 และ เมื่อพิจารณาตัวประกอบของ x3 + 4x2 − 11x − 30 คือ x – 3 , x + 2 และ x + 5 จะเห็นว่าจำนวนเต็ม 3 , -2 และ -5 หาร จำนวนเตม็ -30 ไดล้ งตัว ซ่ึง -30 คือพจนท์ ี่เป็นค่าคงตวั ของพหนุ าม x3 + 4x2 − 11x − 30 นอกจากนเี้ มื่อหา P(-2) และ P(-5) จะได้ P(-2) = 0 และ P(-5) = 0 ด้วยเช่นกัน ในกรณีทัว่ ไป เมอ่ื P(x) เป็นพหนุ ามทม่ี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจำนวนเตม็ และสมั ประสทิ ธข์ิ องตวั แปรทีม่ กี ำลังสงู สดุ เป็น 1 และ a เป็น จำนวนเต็มทท่ี ำให้ P(a) = 0 จะได้วา่ a หารพจนท์ ่ีเป็นค่าคงตัวของพหนุ าม P(x) ได้ลงตวั ดงั นน้ั การหาจำนวนเตม็ a ท่ที ำให้ P(a) = 0 จะพจิ ารณาจากจำนวนเตม็ ท่หี ารพจน์ทเ่ี ป็นคา่ คงตัวของพหนุ าม P(x) ไดล้ งตัว

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 26 จากที่กล่าวมานี้ จะเห็นว่าอาจแยกตัวประกอบของ P(x) ซึ่งเป็นพหุนามทีม่ ีสัมประสิทธิ์เปน็ จำนวนเต็มและสัมประสิทธิข์ องตัวแปร ทม่ี กี ำลงั สงู สุดเป็น 1 ไดโ้ ดยใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลือ ซงึ่ สรปุ เป็นขน้ั ตอนไดด้ งั นี้ 1. หาจำนวนเตม็ ท้งั หมดท่หี ารพจน์ท่ีเป็นคา่ คงตัวของพหนุ าม P(x) ได้ลงตวั 2. จากจำนวนเต็มท่ีหาได้ในข้อ 1 เลือกจำนวนเตม็ a ที่ทำให้ P(a) = 0 จะไดว้ ่า x – a เปน็ ตวั ประกอบของ P(x) 3. นำ x – a ที่ได้ในข้อ 2 ไปหารพหุนาม P(x) ได้ผลหารเป็นพหุนามใหม่ที่ไม่ซ้ำกับพหุนาม P(x) จะให้ผลหารนี้เป็นพหุนาม Q(x) ซง่ึ ดีกรขี องพหุนาม Q(x) จะนอ้ ยกว่าดกี รขี องพหนุ าม P(x) อยู่ 1 และ P(x) = (x – a)Q(x) 4. ถ้าพหุนาม Q(x) ทไ่ี ดใ้ นข้อ 3 เปน็ พหุนามทีม่ ีดกี รสี งู กวา่ สองและสามารถแยกตวั ประกอบตอ่ ไปไดอ้ ีกกแ็ ยกตวั ประกอบ ของ พหุนาม Q(x) โดยใช้วิธีตามขั้นตอนในข้อ 1 ข้อ 2 และข้อ 3 แต่ถ้าพหุนาม Q(x) ที่ได้ในข้อ 3 เป็นพหุนามดีกรีสองและสามารถแยกตัว ประกอบต่อไปไดอ้ ีก ก็ใหแ้ ยกตวั ประกอบของพหุนาม Q(x) โดยใชว้ ธิ แี ยกตวั ประกอบทีเ่ คยเรียนมาแลว้ หรือจะใช้วธิ ตี ามขนั้ ตอน ในข้อ 1 ขอ้ 2 และข้อ 3 กไ็ ด้ ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ x3 − x2 − 8x + 12 วธิ ที ำ ให้ P(x) = x3 − x2 − 8x + 12 พจนท์ ่ีเป็นค่าคงตวั ของ P(x) คือ 12 จำนวนเต็มทหี่ าร 12 ได้ลงตวั คือ ……………………………………………………………………………….. พจิ ารณา P(1) P(1) = …………………………………………… = …………………………………………… จะเห็นว่า P(1) ≠ 0 พจิ ารณา P(-1) P(-1) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… จะเหน็ ว่า P(-1) ≠ 0 พิจารณา P(2) P(2) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดังน้ัน x – 2 เปน็ ตวั ประกอบของ x3 − x2 − 8x + 12 นำ x – 2 ไปหาร x3 − x2 − 8x + 12 ไดผ้ ลหารเป็น x2 + x − 6 จะได้ P(x) = (x − 2)(x2 + x − 6) = (x − 2)(x + 3)(x − 2) ดังนน้ั x3 − x2 − 8x + 12 = …………………………………………. หรอื x3 − x2 − 8x + 12 = ………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 27 ตวั อย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ x3 + 3x2 − 2 วิธีทำ ให้ P(x) = x3 + 3x2 − 2 พจน์ที่เป็นคา่ คงตัวของ P(x) คือ -2 จำนวนเต็มทีห่ าร -2 ไดล้ งตวั คอื ……………………………………………………………………………….. พิจารณา P(1) จะได้ P(1) ≠ 0 พจิ ารณา P(-1) P(-1) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดังนั้น x – (-1) หรอื x + 1 เป็นตัวประกอบของ x3 + 3x2 − 2 นำ x + 1 ไปหาร x3 + 3x2 − 2 ไดผ้ ลหารเป็น x2 + 2x − 2 จะได้ P(x) = (x + 1)(x2 + 2x − 2) ดงั นนั้ x3 + 3x2 − 2 = …………………………………………. ตวั อยา่ งท่ี 8 จงแยกตัวประกอบของ x4 − 15x2 − 10x + 24 วธิ ีทำ ให้ P(x) = x4 − 15x2 − 10x + 24 พจน์ที่เป็นคา่ คงตัวของ P(x) คอื 24 จำนวนเตม็ ที่หาร 24 ได้ลงตวั คือ ………………………………………………………………………………………………………………………… พิจารณา P(1) P(1) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดงั น้ัน x – 1 เปน็ ตัวประกอบของ x4 − 15x2 − 10x + 24 นำ x – 1 ไปหาร x4 − 15x2 − 10x + 24 ไดผ้ ลหารเป็น x3 + x2 − 14x − 24 จะได้ P(x) = (x − 1)(x3 + x2 − 14x − 24) ให้ Q(x) = x3 + x2 − 14x − 24 พจนท์ เ่ี ปน็ คา่ คงตวั ของ Q(x) คอื -24 จำนวนเตม็ ทีห่ าร -24 ได้ลงตวั คอื ……………………………………………………………………………………………………………………….. พิจารณา Q(1) , Q(-1) และ Q(2) จะได้ Q(1) ≠ 0 , Q(-1) ≠ 0 และ Q(2) ≠ 0 พิจารณา Q(-2) Q(-2) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดงั นั้น x + 2 เปน็ ตัวประกอบของ x3 + x2 − 14x − 24 นำ x + 2 ไปหาร x3 + x2 − 14x − 24 ไดผ้ ลหารเปน็ x2 − x − 12

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 28 จะได้ Q(x) = (x + 2)(x2 − x − 12) ดงั นั้น P(x) = …………………………………………… = …………………………………………… นน่ั คือ x4 − 15x2 − 10x + 24 = …………………………………………. ตวั อย่างที่ 9 จงแยกตวั ประกอบของ x4 + 3x3 − 27x − 81 วธิ ที ำ วธิ ที ี่ 1 ใช้การเข้าวงเล็บดังน้ี x4 + 3x3 − 27x − 81 = (x4 + 3x3) − (27x + 81) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดังน้ัน x4 + 3x3 − 27x − 81 = …………………………………………… วิธที ่ี 2 ใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือดงั นี้ ให้ P(x) = x4 + 3x3 − 27x − 81 พจน์ท่เี ปน็ ค่าคงตัวของ P(x) คอื -81 จำนวนเตม็ ทห่ี าร -81 ไดล้ งตัว คอื ……………………………………………………………………………………………………………………… พิจารณา P(1) และ P(-1) จะได้ P(1) ≠ 0 และ P(-1) ≠ 0 พจิ ารณา P(3) P(3) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดงั นน้ั x – 3 เป็นตวั ประกอบของ x4 + 3x3 − 27x − 81 นำ x – 3 ไปหาร x4 + 3x3 − 27x − 81 ไดผ้ ลหารเปน็ x3 + 6x2 + 18x + 27 จะได้ P(x) = (x − 3)(x3 + 6x2 + 18x + 27) ให้ Q(x) = x3 + 6x2 + 18x + 27 พจนท์ ี่เปน็ ค่าคงตัวของ Q(x) คอื 27 จำนวนเตม็ ท่ีหาร 27 ไดล้ งตวั คอื ……………………………………………………………………………………………………………………….. พิจารณา Q(1) , Q(-1) และ Q(3) จะได้ Q(1) ≠ 0 , Q(-1) ≠ 0 และ Q(3) ≠ 0 พิจารณา Q(-3) Q(-3) = …………………………………………… = …………………………………………… = …………………………………………… ดงั นน้ั x + 3 เปน็ ตัวประกอบของ x3 + 6x2 + 18x + 27

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 29 นำ x + 3 ไปหาร x3 + 6x2 + 18x + 27 ไดผ้ ลหารเป็น x2 + 3x + 9 จะได้ Q(x) = (x + 3)(x2 + 3x + 9) ดงั นัน้ P(x) = …………………………………………… น่ันคอื x4 + 3x3 − 27x − 81 = …………………………………………. เอกสารฝึกหัดเพมิ่ เติม 2.4 1. กำหนด P(x) และ a ดงั ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ จงหา P(a) 1) P(x) = x3 − x2 + 10x − 8 และ a = 3 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 2) P(x) = x3 + 3x2 − 6x − 5 และ a = -4 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 3) P(x) = 2x3 − 4x2 − 7x + 1 และ a = 0 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 4) P(x) = 3x4 + 5x3 + 9x2 − 6 และ a = -2 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 30 5) P(x) = −x4 − 8x3 + 4x + 12 และ a = 2 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 6) P(x) = −2x5 − 9x4 + 19x3 + 51x2 − 89x + 30 และ a = -3 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 2. จงใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื หาเศษเหลอื ทไี่ ดจ้ ากการหารพหุนามในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) x3 + 4x2 − x − 3 หารดว้ ย x – 4 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 2) 5x3 − 3x2 + 7x + 6 หารดว้ ย x + 2 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 31 3) 2x4 − 5x2 + 6x − 14 หารด้วย x + 3 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 4) 2x4 − 2x3 − 5x2 + 3x + 4 หารด้วย x + 1 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 5) −2x5 + 4x4 − 3x3 + 8x + 7 หารด้วย x – 1 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 6) 4x5 + 3x4 + 2x3 + 9x2 − 29x + 2 หารดว้ ย x + 2 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 32 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 3. จงใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลอื แสดงวา่ x + 2 หาร x3 − 2x2 − 2x + 12 ลงตัว ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 4. จงใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลอื แสดงว่า x – 4 เป็นตัวประกอบของ x4 − 23x2 + 18x + 40 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 33 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 5. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ีโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื 1) x3 − 8x2 + 19x − 12 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………… 2) x3 − 2x2 − 2x + 12 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 34 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 3) x3 − 19x − 30 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 4) x3 + 4x2 − 11x + 6 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 35 5) x3 + 2x2 − 16x − 32 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… 6) x3 − x2 − 11x − 4 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 36 7) x4 + 2x3 − 11x2 − 12x + 36 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 37 8) x4 − 5x3 − 17x2 + 129x − 180 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 38 9) x4 − 34x2 + 225 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 39 10) x5 − 23x3 − 6x2 + 112x + 96 ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 40 เอกสารประกอบการเรียน รายวชิ า คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ ค 20205 หนว่ ยท่ี 2 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม ชื่อ-สกุล............................................................... ชั้น.........................เลขที่........................... โรงเรยี นเบญจมราชทู ิศ จงั หวดั จนั ทบุรี สำนักงานเขตพื้นที่การศกึ ษามัธยมศกึ ษาเขต 17