บทที่3-สมการกำลังสอง

หอ้ ง.......... เลขท่ี.......... เอกสารประกอบการเรียนวิชาเพิม่ เตมิ ค 20205 ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรียนท่ี 1 หน่วยที่ 3 สมการกาลงั สอง ชอ่ื .............................................นามสกลุ ................................... แผนการเรียน............................หอ้ งเรยี นประจา........................ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนเบญจมราชทู ิศ จังหวดั จนั ทบรุ ี สานักงานเขตพ้ืนที่การศึกษามธั ยมศกึ ษาเขต 17

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑ บทที่ 3 สมการกาลงั สอง การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวท่ีอยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว ท่ี a ≠ 0 และท่ีสามารถ แยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c ให้อย่ใู นรูปการคูณกันของพหนุ ามดีกรีหนง่ึ สองพหุนามท่ีมีสัมประสิทธเ์ิ ปน็ จานวนเต็มทน่ี ักเรียน ทราบมาแล้วน้ัน เป็นพ้ืนฐานความรู้ท่ีจาเป็นต่อการเรียนในบทน้ีซ่ึงจะกล่าวถึงการแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีทาเป็น กาลังสองสมบรู ณ์และผลต่างของกาลังสอง สาหรบั คาตอบของสมการกาลงั สองนี้จะขยายไปถึงจานวนที่เขยี นอยู่ในรูปของกรณฑท์ ่สี อง นอกจากนี้ยังได้กล่าวถึงการหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว ที่ a ≠ 0 โดยใช้สูตร x = −b±√b2−4ac เพ่ือให้นกั เรยี นมีวธิ ีหาคาตอบของสมการได้หลากหลายวิธี รวมถึงการนาความรู้เก่ยี วกับสมการกาลังสองไปใชแ้ ก้ปญหหา 2a ในสถานการณต์ า่ งๆ ได้มากย่ิงขึ้น จดุ มุ่งหมายของบทเรียนบทนี้ มดี ังน้ี 1. แกส้ มการกาลังสองตัวแปรเดียวได้ 2. แกโ้ จทยป์ ญหหาเกี่ยวกบั สมการกาลงั สองตวั แปรเดยี ว พร้อมท้งั ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคาตอบทไ่ี ด้ เอกสารแนะแนวทาง 3.1 ทบทวนสมการกาลงั สอง นักเรียนเคยทราบมาแล้วว่า สมการกาลังสองตัวแปรเดียวท่ีมี x เป็นตัวแปร มีรูปท่ัวไป เป็น ax2 + bx + c เม่ือ a , b , c เป็นค่าคงตัวและ a ≠ 0 และหาคาตอบของสมการดังกล่าวโดยแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c ให้อยู่ในรูปของการคูณกัน ของพหุนามดีกรีหน่ึงสองพหุนาม แล้วใช้สมบัติของจานวนจริงที่กล่าวว่า ถ้า m , n เป็นจานวนจริง และ mn = 0 แล้ว m = 0 หรอื n = 0 ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตัวอย่างท่ี 1 จงแกส้ มการ x2 − 5x = 0 วธิ ีทา x2 − 5x = 0 x(x − 5) = 0 ตรวจสอบ ดงั นนั้ x = 0 หรอื x – 5 = 0 จะได้ x = 0 หรือ x = 5 1) แทน x ด้วย 0 ในสมการ x2 − 5x = 0 จะได้ …………………………………. …………………………………. เป็นสมการที่เป็นจริง 2) แทน x ด้วย 5 ในสมการ x2 − 5x = 0 จะได้ …………………………………. …………………………………. …………………………………. เป็นสมการทเ่ี ป็นจริง ดงั นั้น ….. และ ….. เป็นคาตอบของสมการ x2 − 5x = 0

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒ ตวั อยา่ งที่ 2 จงแกส้ มการ 3x2 − 7x + 2 = 0 วธิ ีทา 3x2 − 7x + 2 = 0 ตรวจสอบ (3x − 1)(x − 2) = 0 ดังนั้น …………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….. จะได้ ……………………………………………………………………….. 1) แทน x ด้วย 1 ในสมการ 3x2 − 7x + 2 = 0 3 จะได้ …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… เป็นสมการทีเ่ ป็นจริง 2) แทน x ดว้ ย 5 ในสมการ 3x2 − 7x + 2 = 0 จะได้ …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… เปน็ สมการที่เปน็ จริง ดังนนั้ ….. และ ….. เปน็ คาตอบของสมการ 3x2 − 7x + 2 = 0 ตวั อย่างที่ 3 จงแก้สมการ 9x2 − 6x + 1 = 0 วิธที า 9x2 − 6x + 1 = 0 ตรวจสอบ (3x)2 − 2(3x)(1) + (1)2 = 0 (3x − 1)2 = 0 ดงั น้ัน …………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………….. จะได้ ……………………………………………………………………….. 1) แทน x ดว้ ย 1 ในสมการ 9x2 − 6x + 1 = 0 3 จะได้ …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… เปน็ สมการท่เี ป็นจริง ดงั น้ัน ….. เป็นคาตอบของสมการ 9x2 − 6x + 1 = 0 ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแก้สมการ 2a2 + 5 = 0 วธิ ีทา 2a2 + 5 = 0 จะได้ a2 + 5 = 0 2 a2 = − 5 2 เนื่องจากจานวนจรงิ ใดๆ ยกกาลังสองแลว้ จะต้องเป็นจานวนจรงิ บวกหรอื 0 ดงั นน้ั ไมม่ จี านวนจริงใดยกกาลงั สอง แล้วไดผ้ ลลพั ธ์เป็น − 5 นนั่ คือ สมการ 2a2 + 5 = 0 ไม่มคี าตอบ 2

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓ จากตัวอย่างขา้ งต้นจะเห็นวา่ สมการกาลังสองตวั แปรเดยี ว อาจมคี าตอบทเ่ี ปน็ จานวนจรงิ ไดส้ องคาตอบ หน่ึงคาตอบหรอื ไม่มคี าตอบ ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ x2 = 18 วธิ ีทา x2 = 18 ตรวจสอบ x2 − 18 = 0 x2 − (3√2)2 = 0 …………………………………………………………………………. ดังน้ัน …………………………………………………………………………. จะได้ ……………………………………………………………………….. ซง่ึ อาจเขียนได้ว่า ………………………………………………………… 1) แทน x ดว้ ย 3 2 ในสมการ x2 = 18 จะได้ …………………………………………………… …………………………………………………… เป็นสมการทีเ่ ป็นจริง 2) แทน x ดว้ ย - 3 2 ในสมการ x2 = 18 จะได้ …………………………………………………… …………………………………………………… เป็นสมการที่เปน็ จรงิ ดงั นนั้ ……… และ ……… เปน็ คาตอบของสมการ x2 = 18 การหาคาตอบของสมการในตัวอย่างท่ี 5 อาจทาไดอ้ ีกวธิ หี นึ่งโดยไม่ต้องแยกตัวประกอบแตใ่ ชส้ มบตั ิของรากทส่ี องของจานวนจริงดงั นี้ จากสมการ x2 = 18 จะได้ x = 18 หรือ x = - 18 ดังนน้ั x = 3 2 หรอื x = - 3 2 เมอ่ื นาค่า x ไปตรวจสอบดังในตวั อยา่ งท่ี 5 จะได้ 3 2 และ - 3 2 เปน็ คาตอบของสมการ ตวั อย่างที่ 6 จงแกส้ มการ (x − 7)2 = 3 วิธที า (x − 7)2 = 3 (x − 7)2 - 3 = 0 จะได้ (x − 7)2 − (√3)2 = 0 ……………………………………………………………………… ดงั นัน้ …………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………… จะได้ ……………………………………………………………………….. ซึง่ อาจเขยี นได้ว่า …………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๔ ตรวจสอบ 1) แทน x ดว้ ย 7 + 3 ในสมการ (x − 7)2 = 3 จะได้ …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… เปน็ สมการที่เป็นจรงิ 2) แทน x ด้วย 7 - 3 ในสมการ (x − 7)2 = 3 จะได้ …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… เป็นสมการทีเ่ ปน็ จริง ดังน้นั ………….. และ ………….. เปน็ คาตอบของสมการ (x − 7)2 = 3 ตัวอย่างที่ 7 จงแกส้ มการ (5x − 2)2 − 10 = 0 วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………........................................................................

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๕ เอกสารฝกึ หดั เพิ่มเตมิ 3.1 1. จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี 1) x2 = 3x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) 2x2 − 5x = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) 4x + 33 = x2 + 36 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๖ 4) 25x2 + 4 = 20x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5) 6m2 + 13m − 5 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6) 8p = −(16p2 + 1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๗ 7) 2k2 + 5k + 3 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8) 8t2 + 5 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9) −3x2 + 7x − 4 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๘ 10) 3x2 = 51 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 11) (x − 2)2 − 60 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 12) (y + 2)2 + 20 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๙ 13) (2x + 3)2 = 36 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 14) (3m − 4)2 = 18 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 15) (7x − 5)2 = 26 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๐ 16) (2x + 3)2 = 25x2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 17) (2x + 1)2 − (x + 3)2 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 18) (3x + 2)2 = (x − 1)2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๑ 19) 9 1 x − x2 = 22 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 20) −9x2 − 4 = −4x 9 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เอกสารแนะแนวทาง 3.2 การแก้สมการกาลงั สองโดยวธิ ที าเป็นกาลงั สองสมบูรณ์ นกั เรียนเคยแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เป็นกาลงั สองสมบูรณ์มาแล้ว เชน่ x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 4x2 − 12x + 9 = (2x − 3)2 x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 x2 − 2ax + a2 = (x − a)2 ในการหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a , b , c เป็นค่าคงตัวและ a ≠ 0 นั้น ในบางคร้ังไม่สามารถ แยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมาในกรณีเช่นน้ีเราอาจใช้ความรู้ในเร่ืองกาลังสองสมบูรณ์ และผลตา่ งของกาลังสองมาชว่ ยในการแยกตัวประกอบของพหุนามน้นั พจิ ารณาการแก้สมการ ax2 + bx + c = 0 ในกรณีที่ a = 1 ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๒ ตัวอยา่ งท่ี 1 จงแกส้ มการ x2 + 4x − 2 = 0 วิธีทา x2 + 4x − 2 = 0 ตรวจสอบ [x2 + 2(2)x + 22] − 22 − 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 1) แทน x ด้วย ………………. ในสมการ x2 + 4x − 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) แทน x ด้วย ……………….. ในสมการ x2 + 4x − 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ดงั นั้น ………….. และ ………….. เป็นคาตอบของสมการ x2 + 4x − 2 = 0 ตัวอย่างท่ี 2 จงแก้สมการ x2 − 5x + 2 = 0 วธิ ที า x2 − 5x + 2 = 0 [x2 − 2 (5) x + (5)2] − (5)2 + 2 = 0 22 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตรวจสอบ เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๓ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 1) แทน x ด้วย ………………. ในสมการ x2 − 5x + 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) แทน x ดว้ ย ……………….. ในสมการ x2 − 5x + 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ดังน้ัน ………………. และ ………………. เป็นคาตอบของสมการ x2 − 5x + 2 = 0 ตวั อย่างที่ 3 จงแก้สมการ x2 − 2√2 x + 2 = 0 วิธที า x2 − 2√2 x + 2 = 0 ตรวจสอบ [x2 − 2√2 x + (√2)2] − (√2)2 + 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. แทน x ด้วย ………………. ในสมการ x2 − 2√2 x + 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ดังนนั้ ………….. เป็นคาตอบของสมการ x2 − 2√2 x + 2 = 0

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๔ ตวั อยา่ งที่ 4 จงแกส้ มการ x2 + x + 1 = 0 วิธีทา x2 + x + 1 = 0 [x2 + 2 (1) x + (1)2] − (1)2 + 1 = 0 22 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. พิจารณาการแกส้ มการ ax2 + bx + c = 0 ในกรณที ี่ a ≠ 0 และ a ≠ 1 ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตวั อยา่ งที่ 5 จงแก้สมการ 3m2 − 7m − 1 = 0 วิธีทา 3m2 − 7m − 1 = 0 จะได้ m2 − 7 m − 1 = 0 33 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตรวจสอบ เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๕ 1) แทน m ด้วย ………………. ในสมการ 3m2 − 7m − 1 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) แทน m ดว้ ย ……………….. ในสมการ 3m2 − 7m − 1 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ดงั นน้ั ………………. และ ………………. เป็นคาตอบของสมการ 3m2 − 7m − 1 = 0 เอกสารฝึกหดั เพิ่มเติม 3.2 ก จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ 1. x2 − 6x − 1 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๖ 2. y2 + 8y + 5 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. x2 + 2x + 2 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. a2 + 3a − 5 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๗ 5. x2 − 2√3 x + 3 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. x2 + 5x + 8 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. 3x2 − 4x − 1 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๘ 8. 2y2 + 2y + 7 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. 2t2 + 8t − 25 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. 10x2 + 7x − 12 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๑๙ 11. 2x2 + 9x + 6 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 12. 4x2 + 3x + 2 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 13. −6x2 + 11x = 4 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๐ 14. x2 + √10 x + 5 = 0 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 15. 21x + 10 = 9x2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 16. 3x2 = 8x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๑ 17. 9 + 6x − 3x2 = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 18. −9x2 − 7x + 2 = 4x2 − 3x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 19. 11x2 − 7x = 10x2 + 2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๒ 20. −1 1 x2 = 1 1 x − 12 22 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a , b , c เป็นคา่ คงตัวและ a ≠ 0 ถา้ b2 − 4ac ≥ 0 แลว้ จะมีคาตอบของสมการเปน็ จานวนจริง ถา้ b2 − 4ac ≤ 0 แล้ว จะไม่มีคาตอบของสมการเป็นจานวนจรงิ สาหรับสมการ ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a , b , c เป็นค่าคงตัวและ a ≠ 0 และ b2 − 4ac ≥ 0 ซึ่งมีคาตอบของสมการ เป็นจานวนจริง เราสามารถหาคาตอบได้โดยการแยกตัวประกอบ หรือทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์ หรือใช้สูตร x = −b±√b2−4ac 2a และการหาว่าคาตอบที่เป็นจานวนจริงของสมการน้ันมสี องคาตอบหรอื หน่ึงคาตอบทาได้โดยพจิ ารณาจาก b2 − 4ac ดงั นี้ กรณที ี่ 1 ถา้ b2 − 4ac > 0 ตวั อย่าง จะได้ √b2 − 4ac และ −√b2 − 4ac เปน็ จานวนจรงิ ท่ีตา่ งกนั จากสูตร x = −b±√b2−4ac จะไดค้ าตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 2a เป็นสองคาตอบคอื −b+√b2−4ac และ −b−√b2−4ac ดังตัวอย่าง 2a 2a กาหนดสมการ 24x2 − 74x + 55 = 0 ในที่นี้ a = 24 , b = -74 และ c = 55 จะได้ b2 − 4ac = (−74)2 − 4(24)(55) = 196 ดังนั้น x = −(−74)±√196 2(24) = 74±14 48 x = 74+14 หรอื x = 74−14 48 48 จะได้ x = 11 หรือ x = 5 6 4 น่นั คอื 11 และ 5 เปน็ คาตอบของสมการ 24x2 − 74x + 55 = 0 64

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๓ กรณีที่ 2 ถ้า b2 − 4ac = 0 จะได้ b2 − 4ac = 0 จากสูตร x = −b±√b2−4ac 2a = −b±0 2a x = −b 2a คาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 จงึ มเี พยี งคาตอบเดียวคือ − b 2a ตวั อย่าง กาหนดสมการ 9t2 − 30t + 25 = 0 ในท่ีนี้ a = 9 , b = -30 และ c = 25 จะได้ b2 − 4ac = (−30)2 − 4(9)(25) =0 ดังนัน้ t = −(−30)±0 2(9) = −(−30) 18 จะได้ t = 5 หรอื 1 2 33 นน่ั คอื 5 หรอื 1 2 เปน็ คาตอบของสมการ 9t2 − 30t + 25 = 0 33 กรณีท่ีสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัวและ a ≠ 0 และ b2 − 4ac < 0 ซ่ึงไม่มีคาตอบของสมการ ทเ่ี ปน็ จานวนจริง มตี ัวอยา่ งดังนี้ ตัวอยา่ ง กาหนดสมการ 2x2 − 3x + 2 = 0 ในทีน่ ้ี a = 2 , b = -3 และ c = 2 จะได้ b2 − 4ac = (−3)2 − 4(2)(2) = 9 – 16 = -7 ดงั น้นั ไม่มีจานวนจรงิ ใดเป็นคาตอบของสมการ 2x2 − 3x + 2 = 0 ตัวอยา่ งที่ 6 จงหาวา่ สมการตอ่ ไปนี้มีคาตอบหรอื ไม่ ถ้ามี มีก่ีคาตอบ วิธีทา 1) 2x2 + 4x + 5 = 0 2) 9m2 − 3m + 1 = 0 4 3) 6x2 + 2x − 3 = 0 1) 2x2 + 4x + 5 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๔ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2) 9m2 − 3m + 1 = 0 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3) 6x2 + 2x − 3 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งท่ี 7 จงแกส้ มการ x2 − 4x + 13 = 0 วิธที า x2 − 4x + 13 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ตวั อยา่ งที่ 8 จงแก้สมการ 16x2 + 24x + 9 = 0 วิธที า 16x2 + 24x + 9 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๕ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ตัวอย่างท่ี 9 จงหาคาตอบของสมการ y2 + 2y − 13 = 0 วธิ ที า y2 + 2y − 13 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. เอกสารฝึกหดั เพิ่มเติม 3.2 ข 2) 3x2 + 7x − 1 = 0 …………………………………………………………………………… 1. จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้มคี าตอบหรือไม่ ถ้ามี มกี ี่คาตอบ …………………………………………………………………………… 1) 2x2 − 8x + 3 = 0 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 4) 3x2 − 2x + 1 = 0 …………………………………………………………………………… 3 3) 2x2 + 2x + 7 = 0 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๖ 5) 1 x2 + x = 5 6) 5x2 = 2x − 1 2 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 7) 4x2 − 4x − 35 = 0 8) 16x2 − 8x + 1 = 0 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 9) 21x2 + 9x + 100 = 0 10) 4x2 + 68x + 289 = 0 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 2. จงแกส้ มการโดยใชส้ ูตร 2) x2 − 3x − 10 = 0 1) x2 − 12x + 11 = 0 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๗ 3) x2 + 4x + 1 = 0 4) 3p2 + 2 = 2p …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 5) 2m2 = 3m + 14 6) 10x2 = 17x − 3 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 7) 4x2 − 4x − 35 = 0 8) 3y2 = 7y − 3 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๘ 9) 7x = 2x2 + 4 10) 4 − 4y − 5y2 = 0 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 3. จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้ 2) 5(x + 1)2 = 25 1) 2x(x − 1) = 3 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 4) x2 + 3 = 1 1 x 3) 2(x2 − 2) = x 2 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๒๙ 5) (2x + 1) x = x 6) 2m + (m − 1)2 = 1 2 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 8) 2p2 − 3p + 1 = 0 7) 1 (2x − 5)2 = 116 − x 2 55 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 10) − 17 (y2 − 1) = 8y − 1 9) 2x(x − 3) = 4(10 − x) 3 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๐ เอกสารแนะแนวทาง 3.3 โจทย์ปญั หาเกีย่ วกับสมการกาลงั สอง สมการกาลงั สองมีประโยชนใ์ นการหาคาตอบของปหญ หาบางปญหหา ดังตวั อยา่ งต่อไปน้ี ตัวอยา่ งที่ 1 จานวนสองจานวนรวมกนั เท่ากบั 22 และกาลงั สองของแต่ละจานวนรวมกันเทา่ กบั 274 จงหาจานวนท้ังสอง วิธที า ให้ x แทนจานวนจานวนหนึ่ง อกี จานวนหน่งึ คอื 22 – x กาลงั สองของแตล่ ะจานวนรวมกนั เท่ากบั 274 จะได้สมการเปน็ x2 + (22 − x)2 = 274 ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ในทนี่ ้ี a = ….. , b = ….. และ c = ….. จะได้ b2 − 4ac = …………………………………………………… = …………………………………………………… = …………………………………………………… จากสตู ร x = …………………………………………………… จะได้ x = …………………………………………………… x = …………………………………………………… ตรวจสอบ ดังนนั้ x = ….. หรือ x = ….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๑ ตัวอยา่ งท่ี 2 รูปส่ีเหล่ยี มมุมฉากรปู หนง่ึ มีด้านยาวยาวกว่าสามเท่าของดา้ นกวา้ งอยู่ 5 เซนติเมตร และมีพ้นื ที่ 138 เซนติเมตร จงหาความยาวของแต่ละด้านของรปู ส่เี หลี่ยมมุมฉากน้ี วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๒ ตวั อย่างที่ 3 บัหชากับธนกรขับรถมาพบกนั ท่ีทางแยกแหง่ หน่งึ หลงั จากน้นั บัหชาขับรถไปทางทิศตะวนั ตก ในขณะที่ธนกรขบั รถไป ทางทศิ เหนอื ดงั รปู เมอื่ เวลาผา่ นไป 1 ชวั่ โมง ธนกรขับรถไดร้ ะยะทางมากกวา่ บัหชา 20 กิโลเมตร และท้งั สองคน อย่หู า่ งกนั 100 กโิ ลเมตร จงหาวา่ บัหชาและธนกรขับรถไดร้ ะยะทางห่างจากทางแยกเทา่ ไร วิธีทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๓ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี 4 สโมสรแหง่ หนึง่ ต้องการสรา้ งสระว่ายน้ารูปสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากท่ีมขี นาดกวา้ ง 8 เมตร ยาว 25 เมตร และใหม้ ที างเดิน รอบสระวา่ ยน้าซึง่ ปูดว้ ยกระเบือ้ งทางเดินมีความกวา้ งเทา่ กนั โดยตลอด ถ้าบริเวณท่จี ะสร้างสระว่ายน้ารวมทางเดิน มพี น้ื ที่ 434 ตารางเมตร จงหาวา่ ทางเดนิ รอบสระวา่ ยนา้ กว้างเทา่ ไร วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๔ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๕ เอกสารฝึกหัดเพม่ิ เตมิ 3.3 1. พ้ืนหอ้ งเรียนรปู สเ่ี หล่ียมผนื ผ้ามีพน้ื ท่ี 180 ตารางเมตร ดา้ นยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เมตร หอ้ งเรยี นน้กี ว้างและยาวก่ีเมตร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. กาหนด ∆ ABC มี ABˆC เปน็ มมุ ฉาก AB ยาวกว่า BC 7 เซนติเมตร และ AC ยาวกวา่ AB 1 เซนตเิ มตร จงหาความยาวของ AB , BC และ AC ตามลาดบั ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๖ 3. ∆ ABC มีพนื้ ที่ 52 ตารางเซนตเิ มตร มีความสูงน้อยกวา่ สองเทา่ ของความยาวของฐาน BC อยู่ 3 เซนติเมตร จงหาความยาวของฐาน BC ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ผลคูณของจานวนคีบ่ วกสองจานวนท่ีเรยี งตดิ กันเปน็ 675 จงหาจานวนค่สี องจานวนน้นั ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๗ 5. ถังเกบ็ น้าทรงสีเ่ หลี่ยมมุมฉากใบหน่ึงมีพ้นื ทกี่ ้นถังเปน็ 120 ตารางเซนตเิ มตร ความยาวรอบปากถังภายในยาว 46 เซนตเิ มตร ถ้าถงั ใบนจี้ นุ า้ ได้ 720 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร จงหาขนาดภายในของถงั ใบนี้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. กรอบรูปไมส้ ักสาหรบั รปู ขนาด 24 × 30 ซม.2 มพี ้ืนทโ่ี ดยรอบของสว่ นที่เปน็ ไมส้ ักดา้ นหน้าของกรอบรูปเทา่ กับ 496 ตารางเซนตเิ มตร จงหาว่าไมท้ ่ีทากรอบรปู กว้างเท่าไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๘ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. พมิ พใ์ จตอ้ งการสรา้ งกรงกระต่ายใหม้ ีเน้อื ที่ 55 ตารางเมตรตดิ กบั รวั้ บ้าน ถา้ ความยาวของด้านท้ังสามของกรงกระตา่ ยรวมกนั เปน็ 21 เมตร จงหาความกว้างและความยาวของกรงกระตา่ ยน้ี ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๓๙ 8. รูปสี่เหล่ยี มจัตรุ สั ABCD และรูปสเี่ หล่ยี มมุมฉาก PQRS มพี ้ืนทเ่ี ท่ากันและมีขนาดดงั รูป จงหาขนาดของรปู ส่เี หลี่ยมแตล่ ะรปู (กาหนดหนว่ ยความยาวเปน็ เซนติเมตร) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๔๐ 9. สวนกานันจนุ่ ปลกู สม้ เรยี งเป็นแถวไว้ 2,000 ต้น แต่ละแถวมีจานวนตน้ สม้ เทา่ กนั ถา้ จานวนต้นสม้ ในแตล่ ะแถวนอ้ ยกวา่ จานวนแถวอยู่ 10 จงหาว่าสวนกานันจนุ่ ปลูกสม้ ไวก้ ี่แถวและแถวละก่ีตน้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. บดินทรม์ ที ่ีดินรปู สีเ่ หลย่ี มจัตุรัสอย่สู องแปลงไมต่ ดิ กนั แต่ละแปลงล้อมรว้ั ด้วยลวดหนามส่ีชน้ั ดังรปู ถ้าทดี่ ินทัง้ สองแปลงมเี น้ือที่รวมกัน เป็น 170 ตารางวา และใช้ลวดหนามทัง้ หมด 576 เมตร อยากทราบว่าทีด่ นิ แตล่ ะแปลงมเี นอ้ื ท่ีเท่าไร ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ๔๑ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………