บทที่-1-เรื่องกรณฑ์ที่สอง

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 1 บทที่ 1 เร่อื งกรณฑ์ทสี่ อง จานวนต่างๆ ท่ีนามาใช้ในชีวิตประจาวัน จะเกี่ยวกับจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะซ่ึงเป็นจานวนจริง ในบทน้ีนักเรียน จะได้เรียนเนื้อหาท่ีเน้นเฉพาะรากที่สองท่ีเป็นบวกของจานวนจริง (กรณฑ์ที่สอง) เพ่ิมเติม และจะได้เรียนสมบัติบางประการ รวมถึง การดาเนินการของจานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง เพ่ือนักเรียนจะได้นาความรู้ทั้งหมดไปใช้แก้ปัญหาโจทย์หรือสถานการณ์ต่างๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั จานวนจริงซึง่ อยใู่ นรปู กรณฑท์ ี่สองได้มากยิ่งข้นึ จดุ ม่งุ หมายของบทเรยี นบทน้ี มีดังนี้ 1. ใชส้ มบัตขิ อง a เมือ่ a ≥ 0 สองขอ้ ตอ่ ไปนใ้ี นการแก้ปัญหาได้ 1) a b = ab เมอ่ื a ≥ 0 , b ≥ 0 2) a = a เมอ่ื a ≥ 0 , b ≥ 0 b b 2. บวก ลบ คูณ และหารจานวนจริงซึ่งเก่ียวกับกรณฑ์ท่ีสองท่ีกาหนดให้และนาไปใช้ในการแก้ปัญหา พร้อมท้ังตระหนักถึง ความสมเหตสุ มผลของคาตอบที่ได้ เอกสารแนะแนวทาง 1.1 สมบตั ขิ อง a เม่ือ a ≥ 0 นักเรยี นเคยเรยี นเรื่องรากท่สี องและทราบความหมายของรากท่ีสองมาแล้ว ดงั นี้ 1. เมอ่ื a แทนจานวนจริงบวกใดๆ หรอื ศนู ย์ (เขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ a ≥ 0 ) รากที่สองของ a คือจานวนจรงิ ทีย่ กกาลงั สองแล้วได้ a ตวั อยา่ ง 9 เปน็ รากที่สองของ ……… เพราะ 92 = ……… -9 เป็นรากท่สี องของ ……… เพราะ (-9)2 = ……… 3 เป็นรากที่สองของ ……… เพราะ ( 3 ) 2 = ……… 4 4 - 3 เปน็ รากทส่ี องของ ……… เพราะ (¯ 3 ) 2 = ……… 4 4 2.5 เปน็ รากที่สองของ ……… เพราะ (2.5)2 = ……… -2.5 เปน็ รากทีส่ องของ ……… เพราะ (-2.5)2 = ……… 2. เมือ่ a เป็นจานวนจริงบวก รากท่ีสองของ a มสี องราก คอื รากท่สี องทเี่ ปน็ บวก ซึ่งแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ a (เรียกอกี อย่างหนึ่งว่า กรณฑท์ ี่สองของ a) และรากทส่ี องทเี่ ปน็ ลบ ซงึ่ แทนดว้ ยสัญลักษณ์ - a เม่ือ a = 0 รากที่สองของ a คอื 0

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 2 ตวั อยา่ ง รากทส่ี องของ 49 มสี องรากคอื ……… และ ……… หรือ ……… และ ……… รากที่สองของ 9 มีสองรากคอื ……… และ ……… 25 หรือ ……… และ ……… รากท่สี องของ 0.04 มสี องรากคือ ……… และ ……… หรอื ……… และ ……… รากที่สองของ 15 มีสองรากคือ ……… และ ……… ซง่ึ ท้ังสองรากนเ้ี ปน็ จานวน …………………………. ในกรณที ี่รากทสี่ องของจานวนเต็มบวกไมเ่ ปน็ จานวนเต็ม รากทส่ี องของจานวนเต็มบวกนน้ั จะเป็นจานวนอตรรกยะ 3. เม่ือ a เปน็ จานวนจริงบวก (√a)2 = a และ (−√a)2 = a ตวั อยา่ ง (√3)2 = ......... (−√19)2 = ......... 2 (√2) = ......... 5 (−√0.03)2 = ......... เอกสารทบทวนเพิ่มเติม 1.1.1 1. รากทส่ี องของแต่ละจานวนต่อไปนเี้ ป็นจานวนใดบา้ ง 1) 36 2) 196 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) 50 4) 200 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 5) 16 6) 24 81 75 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 7) 0.16 8) 0.0049 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 3 9) 0.4 10) 0.025 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 2. จานวนตอ่ ไปนเ้ี ป็นรากท่ีสองของจานวนใด 1) 4 2) -25 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 4) 0.36 3) - 9 16 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 5) 12 6) - 3 7 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 7) 0.9 8) - 0.16 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. นกั เรียนเคยทราบมาแลว้ วา่ คา่ สมั บูรณ์ของจานวนใดๆ หาไดจ้ ากระยะท่ีจานวนนน้ั อยู่หา่ งจาก 0 บนเส้นจานวน เชน่ 2.5 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 2.5 หนว่ ย เรากลา่ ววา่ คา่ สัมบรู ณข์ อง 2.5 เท่ากบั 2.5 - 3 อยหู่ า่ งจาก 0 เป็นระยะ 3 หน่วย 4 4 เรากล่าววา่ ค่าสัมบรู ณ์ของ - 3 เทา่ กับ 3 4 4

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 4 โดยทั่วไป ค่าสัมบูรณข์ องจานวนจรงิ a ใดๆ ท่ีไม่เปน็ ศูนย์ เป็นจานวนจริงบวกเสมอ และค่าสัมบรู ณ์ของศูนย์เทา่ กับศนู ย์ เขยี นแทนค่าสมั บรู ณ์ของ a ด้วยสญั ลกั ษณ์ a เมอ่ื a > 0 ค่าสมั บูรณข์ อง a เทา่ กบั a เมอื่ a < 0 ค่าสัมบรู ณ์ของ a เท่ากบั -a และเมือ่ a = 0 ค่าสมั บรู ณข์ อง a = 0 น่นั คือ a = a เมื่อ a > 0 a = -a เม่ือ a < 0 a = 0 เมื่อ a = 0 ตัวอยา่ ง |5| = ……… |−5| = ……… = ……… เอกสารทบทวนเพิ่มเติม 1.1.2 ให้นักเรียนตอบคาถามตอ่ ไปน้ี 1. √72 = 7 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. √72 เท่ากบั ค่าสัมบูรณ์ของ 7 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. √(−15)2 = √152 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. √(−15)2 = 15 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. √(−15)2 เท่ากบั คา่ สัมบรู ณข์ อง −15 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 6. √(− 3)2 เทา่ กบั ค่าสมั บรู ณข์ อง − 3 หรอื ไม่ 77 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 7. √(0.5)2 เทา่ กบั คา่ สัมบูรณ์ของ 0.5 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 8. นกั เรียนคิดวา่ √(−111)2 เท่ากับเทา่ ใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 9. √(−111)2 เทา่ กบั คา่ สัมบรู ณข์ อง −111 หรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 10. นักเรยี นคิดวา่ เมื่อ a เปน็ จานวนจริงใดๆ a2 เทา่ กับค่าสัมบูรณ์ของ a หรอื ไม่ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 5 คาตอบทไี่ ดจ้ ากกิจกรรมข้างต้น เปน็ ไปตามสมบัตขิ องรากท่ีสองของจานวนจริงดังนี้ a2 = a เม่ือ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ เนือ่ งจาก a = a เมือ่ a ≥ 0 จึงไดว้ า่ a2 = a เมอื่ a ≥ 0 ตัวอยา่ งที่ 1 จงหา 36 วธิ ที า เน่อื งจาก 36 = 62 = ……… ดงั นัน้ 36 = ……… ตวั อย่างท่ี 2 จงหา - 49 วิธที า เนอ่ื งจาก - 49 = - 72 = ……… ดังนน้ั - 49 = ……… ตัวอย่างท่ี 3 จงหา √(−11)2 = |−11| วธิ ีทา เนื่องจาก √(−11)2 = ……… = ……… ดังนน้ั √(−11)2 ตัวอย่างที่ 4 จงหา √4 = √(2)2 วธิ ีทา 9 3 เนื่องจาก √4 = ……… 9 = ……… ดังนั้น √4 9 ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหา 0.36 วธิ ที า เนื่องจาก 0.36 = (0.6)2 = ……… ดังน้นั 0.36 = ………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 6 ตัวอย่างที่ 6 จงหา −√(−0.04)2 = −|−0.04| วธิ ีทา เนอื่ งจาก −√(−0.04)2 = ………….. = …………. ดังนั้น −√(−0.04)2 ตัวอย่างที่ 7 จงทา 4x2 เมอ่ื x > 0 ให้อยใู่ นรูปอย่างงา่ ย วธิ ีทา เนือ่ งจาก 4x2 = (2x)2 = ……… = ……… ดงั น้ัน 4x2 = ………. เมือ่ x > 0 ตวั อย่างที่ 8 จงทา 25p2q8 ใหอ้ ยใู่ นรปู อย่างง่าย วิธีทา เนอ่ื งจาก 25p q2 8 = (5pq4 )2 = ……… = ……… ดงั น้ัน 25p2q8 = ……… ตัวอยา่ งท่ี 9 จงทา 1.69m4n12 ให้อย่ใู นรูปอยา่ งงา่ ย วธิ ที า เน่ืองจาก 1.69m4n12 = (1.3m2n6 )2 = ……… = ……… ดงั นนั้ 1.69m4n12 = ……… จานวนในรปู a เมอ่ื a ≥ 0 มสี มบตั ทิ ่ีสาคญั สองขอ้ ดังนี้ 1. a b = ab เมอ่ื a ≥ 0 , b ≥ 0 เมื่อ a ≥ 0 , b ≥ 0 2. a = a b b สมบตั สิ องข้อน้ชี ่วยให้การจัดรปู และการหาคา่ ประมาณของจานวนจริงซงึ่ เกยี่ วกับกรณฑท์ ส่ี องทาได้สะดวกขน้ึ ดังตวั อย่างต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 7 ตัวอย่างที่ 10 จงทา 8 ให้อยใู่ นรูปอยา่ งง่าย วิธีทา เนอื่ งจาก 8 = 2 × 2 × 2 = 22 × 2 = …………………… = …………………… ดงั นัน้ 8 = …………………… ตัวอยา่ งที่ 11 จงหาผลลัพธ์ 32 × 2 วิธีทา เน่ืองจาก 32 × 2 = 32 × 2 ตวั อย่างท่ี 12 = …………………… วธิ ที า = …………………… = …………………… ดังนน้ั 32 × 2 = …………………… จงหาผลลัพธ์ 8 2 เนอื่ งจาก 8 = 8 2 2 = …………………… = …………………… ดังน้นั 8 = …………………… 2 ตวั อยา่ งที่ 13 จงหาผลลัพธ์ 81 วิธีทา 625 เนอ่ื งจาก 81 = 81 625 625 = …………………… ดงั น้นั 81 = …………………… 625 = ……………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 8 ตัวอยา่ งที่ 14 จงหาผลลัพธ์ m4 วิธีทา 25 เนอ่ื งจาก m4 = m4 25 25 = …………………… ดงั นั้น m4 = …………………… 25 ตวั อยา่ งที่ 15 จงหาค่าประมาณของ 12 เมอ่ื กาหนดให้ 3 ≈ 1.732 วธิ ีทา เนื่องจาก 12 = 2×2×3 = 22 × 3 ≈ …………………… ≈ …………………… ดังน้ัน 12 ≈ …………………… ตัวอยา่ งท่ี 16 จงหาค่าประมาณของ 3 50 เมอ่ื กาหนดให้ 2 ≈ 1.414 วธิ ที า เนือ่ งจาก 3 50 = 3 5×5×2 ตวั อย่างที่ 17 วิธที า = 3×5× 2 = …………………… ≈ …………………… ≈ …………………… ดังน้ัน 3 50 ≈ …………………… จงหาคา่ ประมาณของ 75 เม่ือกาหนดให้ 3 ≈ 1.732 4 เนื่องจาก 75 = 75 4 4 = 5× 5 × 3 2×2 = …………………… ≈ …………………… ≈ …………………… ดงั น้ัน 75 ≈ …………………… 4

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 9 เอกสารฝึกหัดเพิม่ เติม 1.1 2) √(−17)2 1. จงทาจานวนในแต่ละขอ้ ต่อไปนใี้ หอ้ ยูใ่ นรปู อยา่ งงา่ ย ……………………………………………………………. 1) √112 ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 4) −√(−140)2 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) −√352 …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 5) √( 25 2 6) √(− 71)2 84 112 ) ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 8) −√(0.08)2 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 7) −√( 19 2 10) √ 9 x6y8 175 ) 16 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 12) −√0.0625a16b24 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 9) √0.25a4 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 11) √121 m10n20 625 …………………………………………………………. …………………………………………………………. ………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 10 2. จงทาจานวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรปู อย่างงา่ ย 2) - 28 1) 27 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 4) 675 3) 200 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 6) 1,350 5) - 725 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 8) - 7,200 7) 5,000 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 2) 48 × 12 3. จงหาผลลพั ธ์ ……………………………………………………………. 1) 27 × 3 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 11 3) 200 × 50 4) 98 2 …………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 5) 108 6) 121 27 625 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 7) 0.0064 × a18 8) 484 เมอ่ื m≠ 0 m28 …………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 4. จงหาคา่ ประมาณของจานวนในแต่ละข้อต่อไปน้ี เมื่อกาหนดให้ 2 ≈ 1.414 , 3 ≈ 1.732 , 5 ≈ 2.236 1) 18 2) - 75 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) 162 4) 243 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 12 5) - 450 6) 7 3,125 121 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. เอกสารแนะแนวทาง 1.2 การดาเนินการของจานวนจรงิ ซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง เนื่องจากการบวกและการคูณจานวนจริงมีสมบัติการสลับท่ี สมบัติการเปล่ียนหมู่ และสมบัติการแจกแจง ดังนั้น การบวกและ การคูณจานวนในรปู a เมอื่ a ≥ 0 กม็ ีสมบัตกิ ารสลบั ที่ สมบตั กิ ารเปล่ียนหมู่ และสมบัติการแจกแจงด้วย กลา่ วคือ สมบตั ิการสลบั ทสี่ าหรับการบวก a+ b = b+ a เชน่ 2 + 3 = 3 + 2 สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมูส่ าหรับการบวก ( a + b) + c = a + ( b + c) เชน่ ( 3 + 5) + 7 = 3 + ( 5 + 7) สมบัตกิ ารสลับท่ีสาหรบั การคณู a× b = b× a เช่น 11 × 13 = 13 × 11 สมบัตกิ ารเปล่ียนหมสู่ าหรบั การคณู ( a × b) × c = a × ( b × c) เช่น ( 13 × 15) × 17 = 13 × ( 15 × 17) สมบัตกิ ารแจกแจง a × ( b + c) = ( a × b) + ( a × c) และ ( b + c ) × a = ( b × a) + ( c × a) เชน่ 5 × ( 7 + 11) = ( 5 × 7) + ( 5 × 11) และ ( 3 + 7) × 12 = ( 3 × 12) + ( 7 × 12) ในการดาเนินการเก่ียวกับกรณฑ์ท่ีสองของจานวนจริง จะใช้สมบัติของ a เม่ือ a ≥ 0 ในหัวข้อ 1.1 สมบัติการสลับท่ี สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู่ และสมบตั กิ ารแจกแจงดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 13 การบวกและการลบ ตวั อย่างที่ 1 จงหาผลบวก 4 2 + 2 2 วิธีทา เนอ่ื งจาก 4 2 + 2 2 = (4 + 2) 2 = ………………….. ดังนั้น 4 2 + 2 2 = ………………….. ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก 12 + 27 วิธที า เนอื่ งจาก 12 + 27 = 2 × 2 × 3 + 3 × 3 × 3 = ………………………. = ………………………. = ………………………. ดงั นนั้ 12 + 27 = ………………………. ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาผลลบ 50 - 8 วิธีทา เนื่องจาก 50 - 8 = 5 × 5 × 2 - 2 × 2 × 2 = ………………………. = ………………………. ดงั น้นั 50 - 8 = ………………………. ตวั อย่างที่ 4 จงหาผลลบ 3 20 - 500 วิธที า เน่ืองจาก 3 20 - 500 = 3 2 × 2 × 5 - 10 × 10 × 5 = …………………………… = …………………………… = …………………………… ดังน้ัน 3 20 - 500 = …………………………… ตัวอย่างท่ี 5 จงหาผลลพั ธ์ 450 + 200 - 72 วิธีทา เนอ่ื งจาก 450 + 200 - 72 = 15 × 15 × 2 + 10 × 10 × 2 - 6 × 6 × 2 = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. ดังนั้น 450 + 200 - 72 = ……………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 14 ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาผลลัพธ์ 7 12 + 75 - 15 27 = 7 4 × 3 + 25 × 3 - 15 9 × 3 วิธที า เน่ืองจาก 7 12 + 75 - 15 27 = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. ดังนั้น 7 12 + 75 - 15 27 = ………………………………………………….. = …………………………………………………… ตัวอย่างท่ี 7 จงหาผลลัพธ์ (2 5 + 3 7) - (2 7 + 3 5) = 2 5+3 7 -2 7 -3 5 วิธีทา เนอื่ งจาก (2 5 + 3 7) - (2 7 + 3 5) = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. ดงั นน้ั (2 5 + 3 7) - (2 7 + 3 5) = ………………………………………………….. = …………………………………………………… ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาผลลัพธ์ (7 + 32) - (4 + 8) วธิ ที า 7 + 32 - 4 - 8 เนอ่ื งจาก (7 + 32) - (4 + 8) = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. = ………………………………………………….. = …………………………………………………… ดงั นัน้ (7 + 32) - (4 + 8) = เอกสารทบทวนเพ่มิ เติม 1.2.1 จงพจิ ารณาโดยไม่ต้องคานวณโดยตรงว่าประโยคในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้เี ป็นจริงหรือไม่ เพราะเหตุใด 1. 3 5 < 5 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 2. 3 5 + 2 3 = 5 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 3. 1 + 5 < 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 4. 2 3 - 3 < 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 5. 2 3 + 3 3 < 10 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 15 6. 2 + 3 < 5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 7. 7 5 - 6 5 < 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 8. 5 3 - 4 2 > 1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 9. 3 + 5 > 5 + 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... 10. 2 + 3 + 5 > 5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..... เอกสารฝึกหัดเพ่มิ เตมิ 1.2 ก 2) 15 7 - 7 7 อ ……………………………………………………………. 1. จงหาผลลพั ธ์ ……………………………………………………………. 1) 8 2 + 7 2 …………………………………………………………. 4) - 3 7 + 28 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) 4 3 - 12 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 6) 80 - 45 + 20 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 5) 50 + 18 - 8 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 8) 500 - 3 125 - 245 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 7) 675 - 432 + 243 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. ………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 16 2. จงหาผลลพั ธ์ 2) (23 2 + 7 5) - (9 5 + 4 2) 1) (2 6 + 4 3) + (8 3 - 5 6) ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 4) ( 675 + 45) - ( 300 - 125) 3) ( 180 - 72) - ( 200 + 20) ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. 6) (3 1,350 + 2 450) + (2 98 - 3 288) 5) (12 48 + 25) - (48 - 2 75) ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. การคณู และการหาร ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาผลคูณ 2 × 10 วิธีทา เนื่องจาก 2 × 10 = 2 × 10 = ………………. = ………………. ดังน้ัน 2 × 10 = ……………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 17 ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาผลคูณ 12 × 2 3 วิธที า วธิ ที ่ี 1 เน่ืองจาก 12 × 2 3 = 2×2×3×2 3 = ………………. = ………………. = ………………. = ………………. ดังนั้น 12 × 2 3 = ………………. วธิ ีท่ี 2 เน่ืองจาก 12 × 2 3 = 12 × 4 × 3 = ………………. = ………………. ดงั นน้ั 12 × 2 3 = ………………. ตวั อยา่ งท่ี 11 จงหาผลลัพธ์ 3 × ( 3 + 3) วธิ ีทา เน่อื งจาก 3 × ( 3 + 3) = 3 × 2 3 = ………………. = ………………. = ………………. ดงั นนั้ 3 × ( 3 + 3) = ………………. ตวั อย่างที่ 12 จงหาผลลัพธ์ 2 × ( 2 + 12) วธิ ที า วิธที ่ี 1 เนอ่ื งจาก 2 × ( 2 + 12) = ( 2 × 2) + ( 2 × 12) = ………………. = ………………. วิธีท่ี 2 เนื่องจาก 2 × ( 2 + 12) = ( 2 × 2) + ( 2 × 12) = ………………. = ………………. ดงั น้นั 2 × ( 2 + 12) = ……………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 18 ตัวอยา่ งท่ี 13 จงหาผลลพั ธ์ 3 × ( 15 - 75) วิธที า เนือ่ งจาก 3 × ( 15 - 75) = ( 3 × 15) - ( 3 × 75) = ………………. = ………………. ดังนั้น 3 × ( 15 - 75) = ………………. ตวั อยา่ งท่ี 14 จงหาผลลพั ธ์ 2 6 × (3 6 - 2 24) วิธีทา เนอื่ งจาก 2 6 × (3 6 - 2 24) = (2 6 × 3 6) - (2 6 × 2 24) = ………………………………………………………… = ………………………………………………………… = ………………………………………………………… = ………………………………………………………… ดังนั้น 2 6 × (3 6 - 2 24) = ………………. ตวั อยา่ งที่ 15 จงหาผลลพั ธ์ 2 242 18 วธิ ีทา เนื่องจาก 2 242 = 2 242 18 18 = ………………. ดังนัน้ 2 242 = ………………. 18 = ………………. หรอื …………….. ตวั อย่างที่ 16 จงหาผลลัพธ์ 6 1,125 20 วิธีทา เนอ่ื งจาก 6 1,125 = 6 × 15 5 20 25 = ………………. ดงั น้นั 6 1,125 = ………………. 20

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 19 ตัวอยา่ งท่ี 17 จงหาผลลัพธ์ 5 3 × −4 √27 วิธที า เนอื่ งจาก 5 3 × −4 = 5 3 × −4 √27 √3 × 3 × 3 = ………………. = ………………. ดงั นน้ั 5 3 × −4 = ………………. หรือ …………….. √27 ในกรณีท่ีผลลัพธ์ที่ได้จากการดาเนินการเป็นเศษส่วนที่ตัวส่วนอยู่ในรูปกรณฑ์ท่ีสอง นิยมทาตัวส่วนให้เป็นจานวนเต็มด้วยการคูณ ทง้ั ตัวเศษและตัวส่วนนั้น ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ งท่ี 18 จงหาคา่ ประมาณของ 25 เม่อื กาหนดให้ 2 ≈ 1.414 2 วิธีทา เนอ่ื งจาก 25 = 25 2 2 = ………………. = ………………. = ………………. ≈ ………………. ดังนั้น 25 ≈ ………………. 2 ≈ ………………. ตัวอยา่ งที่ 18 จงหาคา่ ประมาณของ 50 เมอ่ื กาหนดให้ 6 ≈ 2.449 3 วธิ ีทา เนอ่ื งจาก 50 = 50 3 3 = ………………. = ………………. = ……………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 20 = ………………. ≈ ………………. ดงั น้นั 50 ≈ ………………. 3 ≈ ………………. ให้นกั เรยี นสงั เกตวา่ การทาให้ตวั สว่ นทอ่ี ยู่ในรปู กรณฑเ์ ปน็ จานวนเต็ม ชว่ ยใหก้ ารคานวณสะดวกขนึ้ เน่อื งจากการหารจานวนใดๆ ด้วยจานวนเตม็ ทาได้สะดวกกวา่ การหารดว้ ยทศนิยมท่เี ปน็ คา่ ประมาณของจานวนทีอ่ ยู่ในรปู กรณฑ์ ตวั อยา่ งที่ 20 จงทา 2 5+ 3 ใหอ้ ยูใ่ นรูปอย่างง่าย 5 วิธีทา เนอ่ื งจาก 2 5+ 3 = 2 5 + ( 3 × 5 ) 5 5 5 = ………………. = ………………. ดังนั้น 2 5+ 3 = ………………. 5 = ………………. เอกสารฝกึ หดั เพิ่มเติม 1.2 ข 2) 75 × 2 5 ……………………………………………………………. 1. จงหาผลลัพธ์ ……………………………………………………………. 1) 50 × 5 …………………………………………………………. 4) 7 × (2 7 + 5 5) …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) 2 125 × 3 5 ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. ………………………………………………………….

5) 2 3 × ( 12 + 3 72) เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 21 …………………………………………………………. …………………………………………………………. 6) - 3 15 × ( 60 - 135) …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. ……………………………………………………………. 2. จงหาผลลัพธ์ 1) 3 162 2) 3 18,000 18 20 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) -6 175 × 5 4) 12 8 × (- 18 ) × 3 2 98 72 3 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 5) 4 y × 3y เมอ่ื y > 0 6) 12x3 เม่ือ x > 0 3 2x …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 22 3. จงหาค่าประมาณของจานวนในแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ เมอื่ กาหนดให้ 2 ≈ 1.414 และ 3 ≈ 1.732 1) 49 2) 15 8 12 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 3) 2 98 4) 2 3 3 5 2 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. 4. จงทาจานวนในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยู่ในรูปอย่างงา่ ย 1) 5 11 - 7 + 3 2) 2 50 + 6 -4 162 11 11 72 …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. ……………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 23 5. จงหาผลลัพธ์ √49a2b2 + √(−5ab)2 เมอ่ื a > 0 และ b > 0 (√2ab)2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… เอกสารทบทวนเพ่ิมเติม 1.2.2 จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี 1) ถ้า a2 = 441 แล้ว a เปน็ เทา่ ใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) ถ้า (x + 1)2 = 16 แล้ว x เปน็ เทา่ ใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) ถา้ 4p = 8 แลว้ p เปน็ เท่าใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4) ถ้า 4(m + 1) = 20 แลว้ m เปน็ เทา่ ใด ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 24 เอกสารแนะแนวทาง 1.3 การนาไปใช้ ตวั อย่างท่ี 1 การเดนิ ทางไกลของลกู เสอื หม่หู นงึ่ เป็นไปตามแผนผงั ดงั รปู เริ่มออกเดินทางจากจดุ A ไปทางทิศเหนือ 7 กโิ ลเมตร ถงึ จุด B แลว้ เดินทางต่อไปทางทศิ ตะวันออก 9 กิโลเมตร ถงึ จุด C จากน้ันได้เดนิ ทางต่อขึน้ ไปทางทศิ เหนอื อกี 6 กโิ ลเมตร จนถงึ จุด D ซึ่งเป็นท่ีตั้งค่ายพักแรม จงหาว่าท่ีตั้งค่ายพักแรมอยู่ห่างจากจุดเร่ิมต้น กก่ี โิ ลเมตร วิธีทา จากรูป AD เป็นระยะหา่ งระหวา่ งทีต่ ้ังคา่ ยพกั แรมกบั จดุ เรมิ่ ต้น ถ้าต่อ DC ไปทางจดุ C และลาก AE ขนานกบั BC ตดั สว่ นตอ่ ของ DC ท่ีจดุ E โดยสมบัติของเสน้ ขนาน จะได้ AEˆD เป็นมุมฉาก ทาให้ได้ AE = BC และ CE = BA ดงั นนั้ AE = 9 กโิ ลเมตร และ DE = DC + CE = 6 + 7 = 13 กิโลเมตร เนือ่ งจาก ∆ AED เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก โดยทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้ AD2 = AE2 + ED2 ดังนนั้ AD2 = ………………… = ………………… = ………………… จะได้ AD = ………………… = ………………… = ………………… น่ันคอื ท่ีตั้งค่ายพักแรมอยหู่ ่างจากจุดเรม่ิ ต้น …………………. กิโลเมตร ตัวอยา่ งที่ 2 กลอ่ งทรงลูกบาศก์ใบหนึ่งมีแตล่ ะดา้ นยาว 12 นวิ้ ดังรูป จงหาว่า AC ยาวเท่าใด วธิ ที า จากรปู ∆ ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มทีม่ ี ABˆC เปน็ มุมฉาก ∆ BDC เปน็ รูปสามเหล่ยี มทมี่ ี BDˆC เป็นมุมฉาก และมี AB = BD = DC = 12 นิ้ว เน่ืองจาก BC2 = BD2 + DC2 ดังน้ัน BC2 = ………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 25 = …………………. เน่ืองจาก AC2 = AB2 + BC2 ดังนนั้ AC2 = …………………. จะได้ = …………………. = …………………. ดังนนั้ …………………. AC = …………………. = …………………. = AC ยาว ……………. นว้ิ ตัวอยา่ งที่ 3 ลานกฬี ากลางแจ้งรปู วงกลมสองแหง่ สาหรับผใู้ หญแ่ ละเดก็ มพี ้ืนท่ี 200π ตารางเมตร และ 50π ตารางเมตร วิธที า ตามลาดับ จงหาวา่ รศั มขี องลานกฬี าสาหรบั ผู้ใหญย่ าวกว่ารศั มีของลานกฬี าสาหรับเด็กกี่เมตร ให้รศั มีของลานกีฬาสาหรบั ผใู้ หญเ่ ป็น r1 เมตร และรศั มขี องลานกฬี าสาหรบั เดก็ เปน็ r2 เมตร จากสตู รการหาพ้นื ทข่ี องวงกลมซ่ึงเทา่ กบั πr2 และพ้นื ท่ีของลานกฬี าสาหรบั ผ้ใู หญเ่ ทา่ กับ 200π ตารางเมตร จะได้ πr12 = 200π r12 = ………… r1 = ………… ………… = ดังนน้ั รศั มีของลานกฬี าสาหรบั ผ้ใู หญเ่ ทา่ กบั ……………… เมตร เน่ืองจาก พ้นื ทข่ี องลานกีฬาสาหรับเด็กเท่ากบั 50π ตารางเมตร จะได้ πr22 = 50π r22 = ………… r2 = ………… ………… = ดังนน้ั รัศมีของลานกฬี าสาหรับเดก็ เทา่ กบั ……………….. เมตร ดังนน้ั r1 - r2 = ……………………………. = ……………………………. นน่ั คือ รัศมีของลานกฬี าสาหรบั ผู้ใหญ่ยาวกวา่ รัศมีของลานกฬี าสาหรบั เดก็ ………………….. เมตร

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 26 ตวั อย่างท่ี 4 รูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่ามีความยาวด้านละ a หนว่ ย จะมีความสูงและพนื้ ท่ีเป็นเท่าไร วธิ ที า ให้ ∆ ABC เปน็ รปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่า มี BC = CA = AB = a หนว่ ย และ AD เปน็ ความสงู ของ ∆ ABC โดยสมบตั ขิ องรปู สามเหลีย่ มหนา้ จวั่ จะได้ AD ต้ังฉากและแบง่ ครึ่งฐาน BC CD = BC = a หนว่ ย 2 2 จากรูป ∆ ADC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ AC2 = AD2 + CD2 ดังน้นั AD2 = AC2 - CD2 จะได้ AD2 = …………………. AD = …………………. = …………………. = …………………. = …………………. ดงั นนั้ สว่ นสูงของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่ายาว ………………. หน่วย จะได้ พน้ื ท่ีของ ∆ ABC เทา่ กับ …………………………… = …………………………… ตารางหน่วย นัน่ คอื พนื้ ท่ขี องรปู สามเหลย่ี มด้านเท่า เท่ากบั ………………. ตารางหนว่ ย

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 27 เอกสารทบทวนเพ่มิ เตมิ 1.3.1 จงพิจารณาโดยไมต่ อ้ งคานวณโดยตรงว่าประโยคในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนีเ้ ป็นจรงิ หรือไม่ เพราะเหตใุ ด 1. 15 3 < 30 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. 10 3 < 3 10 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. 3 × 5 < 5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. 5 2 × 4 3 = 9 6 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. 2 × 7 < 3 × 5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6. 20 < 3 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 28 7. 26 <1 5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8. 14 > 7 2 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. 3 < 5 5 3 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. 3 × 0.01 < 3 0.01 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 29 เอกสารฝึกหดั เพิ่มเติม 1.3 1. กาหนดให้ ∆ ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ทีม่ ีด้านประกอบมุมฉากยาวเทา่ กนั และมีดา้ นตรงข้ามมุมฉากยาว 13 2 หน่วย จงหาว่า ดา้ นประกอบมุมฉากแตล่ ะดา้ นยาวเทา่ ใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาความยาวรอบรปู ของรูปสี่เหลี่ยมจตั รุ สั ท่มี ีเสน้ ทแยงมมุ ยาว 18 2 หน่วย ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 30 3. กาหนด ∆ ABC ดงั รปู ถา้ ความสูงจากจดุ C เป็น 5 5 หน่วย จงหาความยาวของ BC ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 31 4. ลานสนามหญา้ รปู วงกลมสองแหง่ แหง่ ท่หี นง่ึ มพี น้ื ท่ี 176 ตารางเมตร และแหง่ ทส่ี องมีพนื้ ที่ 44 ตารางเมตร เส้นผา่ นศูนย์กลางของ สนามหญา้ แห่งท่ีหนึ่งยาวเปน็ กี่เทา่ ของเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของสนามหญา้ แหง่ ที่สอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 32 5. บา้ นของออ้ ยอยู่ในซอยซึ่งหา่ งจากถนนใหญ่ 50 เมตร บนถนนสายนมี้ ีร้านอาหารอร่อยอยหู่ า่ งจากปากซอยบ้านของอ้อยไป 100 เมตร ดงั แผนภาพ ปกติอ้อยจะใชส้ องเสน้ ทางในการไปรบั ประทานอาหารร้านนี้ คอื ไปถนนใหญ่แล้วเดินข้ึนไป กับเดินทางลัดจากบ้านไปร้านอาหารโดยตรง อ้อยต้องการทราบวา่ เส้นทางลัดท่ีอ้อยใช้เป็นประจานั้นสั้นกว่าอีกเส้นทางหนึ่ง กเี่ มตร (กาหนดให้ 5 ≈ 2.236 ) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ 33 6. ถังน้าทรงกระบอกใบท่ีหนงึ่ สูง 7 ฟุต สามารถบรรจุน้าได้ 6,600 ลกู บาศก์ฟตุ ถังทรงเดยี วกนั ใบท่สี องสูง 14 ฟตุ สามารถบรรจุ นา้ ได้ 22,000 ลูกบาศกฟ์ ตุ รัศมีของถงั ใบท่หี นง่ึ เป็นกเ่ี ท่าของรัศมขี องถังใบท่สี อง (กาหนดให้ π ≈ 22 และ 15 ≈ 3.873 ) 7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………