บทที่3 เรื่องสมการกำลังสอง

เอกสารประกอบการเรียน รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค 20205 หนว่ ยท่ี 3 เรอ่ื ง สมการกำลังสอง ช่ือ-สกลุ ............................................................... ช้นั .........................เลขท่ี........................... โรงเรยี นเบญจมราชูทศิ จงั หวัดจนั ทบรุ ี สำนักงานเขตพน้ื ท่ีการศกึ ษามัธยมศกึ ษาเขต 17

บท สมการก

ทท่ี 3 กาลงั สอง

สมกา

ารกาลงั สอง

3.1 ทบท

ทวนสมการกาลงั สอง



02 − 5 0 = 0 0=0 52 − 5 5 = 0 25 − 25 = 0 0=0 05

3 1 3

3x − 1 = 0 หรอื x−2=0 หรอื x=2 3x = 1 x=2 1 x=3 12 1 3 3 −7 3 +2=0 17 3− 3 +2=0 0=0 2 3 2 2−7 2 +2=0 12 − 14 + 2 = 0 0=0 12 3

3x 1 3

x−1=0 หรอื 3x − 1 = 0 3x = 1 1 x=3 12 1 9 3 −6 3 +1=0 1− 2 +1=0 0=0



จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าสมการ กาลังสองตัวแปรเดียว อาจมีคาตอบท่ี เป็นจานวนจริงได้สองคาตอบ หน่ึง คาตอบหรือไมม่ คี าตอบ

x− 32

(x − 3 2)(x + 3 2) = 0 − 3 2 = 0 หรอื x + 3 2 = 0 x=3 2 x = −3 2 x = ±3 2 3 2 2 = 18 18 = 18 −3 2 2 = 18 18 = 18 2 −3 2

ลองตรว

(x − 7 − 3)(x − 7 + 3) = 0 x − 7 − 3 = 0 หรอื (x − 7 + 3) = 0 ������ − 7 = 3 ������ − 7 = − 3 ������ = 7 + 3 ������ = 7 − 3 ������ = 7 ± 3 วจสอบคาตอบดว้ ยตนเองดู

3.2 การแก

กส้ มการกาลงั สองโดยวธิ ที าเป็น กาลงั สองสมบรู ณ์





x+2 2−4−2=0 x+2 2−6=0 x+2 2− 2 6 =0 (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0 x+2− 6 =0 หรอื (x + 2 + 6) x+2= 6 x+2= x = −2 + 6 x= −2 + 6 2 −2 + 6 + 4 −2 + 6 − 2 = 0 4−4 6+6−8+4 6−2=0 0 = 0 เป็นสมกา −2 − 6 −2 − 6 2 + 4 −2 − 6 − 2 = 0 4+4 6+6−8−4 6−2=0 0 = 0 เป็นสมการ −2 + 6 −2 − 6

=0 =− 6 = −2 − 6 ารทเ่ี ป็นจริง รทเ่ี ป็นจริง

5 2 25 x−2 − 4 +2=0 5 2 17 x−2 − 4 =0 52 2 x−2 − 17 2 =0 5 17 5 17 x−2− 2 x−2+ 2 =0 ดงั นนั้ 5 17 หรอื x−2− 2 =0 5 17 x=2+ 2 ลองตรวจสอบคาตอบ

5 17 x−2+ 2 =0 5 17 x=2− 2 บดว้ ยตนเองดู

ดงั นน้ั 2 x− 2 −2+ x− 2 x− 2 x− x− 2 ลองตรวจสอบคาตอบ

+2=0 2 2=0 2 =0 2 =0 x= 2 บดว้ ยตนเองดู

x + 1 2 ≥ 0 สาหรบั 2 เน่อื งจาก x + 1 2 + 3 > 0ส 2 4 จะได ้ แสดงวา่ ไมม่ คี ่า x ทท่ี าใหส้ มการ x นนั่ คอื สมการ x2 + x + 1

12 1 x+2 −4+1=0 12 3 x+2 +4=0 บทกุ ค่าของ x สาหรบั ทกุ ค่าของ x + 1 2 + 3 = 0 เป็นจรงิ 2 4 = 0 ไมม่ คี าตอบ

พจิ ารณาการแกส้ มการ ax2 ในกรณีท่ี a ≠ ดงั ตวั อยา่

+ bx + c = 0 0 และ a ≠ 1 างต่อไปน้ี

m2 − 2m 7 + 7 2 − 66 72 ������ − 6 − 72 ������ − 6 − 72 ������ − 6 − 7 61 7 m−6− 6 m−6+ ดงั นนั้ 7 61 m=6± 6 ลองตรวจสอบคาตอบดว้ ยตนเองดู

7 2−1=0 63 72 1 6 −3=0 49 1 − 36 − 3 = 0 2 61 6 =0 61 + 6 =0

สมการกาลงั สอง a และ a ≠ 0 ถ้า b2 − 4 ถา้ b2 − 4

สมการกาลงั สอง ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a , b , c เปน็ ค่าคงตัว 4ac ≥ 0 แลว้ จะมีคำตอบของสมการเป็นจานวนจริง 4ac < 0 แล้ว จะไมม่ ีคำตอบของสมการเปน็ จานวนจรงิ





ตวั อยา่ ง







ตวั อยา่ ง



กรณีที่สมการ ax2 + bx + c = 0 เม่อื a , b , c ซ่งึ ไมม่ คี าตอบของสมการทเี่ ปน็ จานวนจรงิ มตี ตวั อยา่ ง

c เปน็ ค่าคงตัวและ a ≠ 0 และ b2 − 4ac < 0 ตวั อย่างดังน้ี

3.3 โจทยป์ กาลงั ส

ปัญหาเก่ียวกบั สมการ สอง

x2 + 484 − 44x + x2 = 274 2x2 − 44x + 210 = 0 x2 − 22x + 105 = 0 1 −22 105 −22 2 − 4(1)(105) 484 − 420 64