บทที่5 เรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ค 20205 หน่วยที่ 5 เร่อื ง พนื้ ที่ผิวและปริมาตร ชอ่ื -สกุล............................................................... ชน้ั .........................เลขท่ี........................... โรงเรียนเบญจมราชทู ศิ จงั หวดั จนั ทบรุ ี สำนักงานเขตพ้นื ทกี่ ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษาเขต 17

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ บทท่ี 5 พ้ืนท่ีผิวและปริมาตร เนื้อหาในบทนี้เป็นสาระเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ผิว และปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติที่เน้นการหาพื้นที่ผิวของ พีระมิด กรวย และทรงกลม ซึ่งจะทำให้นักเรียนสามารถนำความรู้ทั้งหมดเกี่ยวกับพื้นที่ผิว และปริมาตรของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ไปใช้แก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ในชีวิตประจำวันได้อยา่ งหลากหลาย ใน การเรียนรู้แต่ละกิจกรรมนักเรียนจะต้องลงมือปฏิบัติโดยศึกษาสำรวจ สังเกต คิดวิเคราะห์ และสร้างข้อความคาดการณ์ เพอ่ื หาขอ้ สรปุ ดว้ ยตนเอง รวมถึงการนำสตู รตา่ งๆ ท่คี ้นพบไปใชแ้ ก้ปญั หาท่ีซับซอ้ นได้มากยิง่ ข้นึ จดุ มุ่งหมายของบทเรียนบทน้ี มีดงั น้ี 1. หาพ้นื ที่ผิวของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลมได้ 2. แก้ปัญหาหรือสถานการณ์ที่กำหนดให้โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตรได้พร้อมตระหนักถึงความ สมเหตุสมผลของคำตอบ เอกสารแนะแนวทางเพ่มิ เตมิ 5.1 พืน้ ท่ผี ิวของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม นักเรียนเคยหาพื้นท่ีผวิ ของปรซิ ึมและทรงกระบอกมาแลว้ ในหวั ข้อนน้ี กั เรยี นจะได้ศึกษาเพ่ิมเตมิ เกี่ยวกับการหาพ้ืนท่ี ผิวของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม สำหรบั พรี ะมิดและกรวยท่ีจะกลา่ วถึงต่อไปน้จี ะกล่าวถึงเฉพาะพีระมิดตรง และกรวย ตรง เท่านัน้ พื้นทผี่ วิ ของพีระมิด ใหน้ กั เรียนทำกจิ กรรมตอ่ ไปน้ี สว่ นสงู เอยี ง ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาพีระมิดฐานสามเหลยี่ มด้านเท่าดงั รปู แลว้ ตอบคำถามต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ กำหนดให้ OA , OB และ OC เป็นสนั ของพีระมิด Δ OAB , Δ OBC และ Δ OAC เปน็ หนา้ ของพรี ะมิด ซ่ึงมี OX , OY และ OZ เปน็ ส่วนสงู ของรูปสามเหลีย่ มแตล่ ะรปู ตามลำดบั 1. OA = OB = OC หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด 2. AB = BC = CA หรือไม่ เพราะเหตุใด 3. Δ OAB , Δ OBC และ Δ OCA เท่ากนั ทกุ ประการหรือไม่ เพราะเหตุใด 4. หนา้ ทุกหนา้ ของพรี ะมิดมีพน้ื ที่เท่ากนั หรือไม่ เพราะเหตุใด 5. OX = OY = OZ หรอื ไม่ เพราะเหตุใด 6. สว่ นสงู เอียงของพรี ะมิดท่ีมีฐานเป็นรูปสามเหลีย่ มด้านเทา่ แต่ละเสน้ ยาวเทา่ กันหรอื ไม่ 7. นกั เรยี นคดิ วา่ พีระมิดท่ีมฐี านเป็นรปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่ามมุ เทา่ จะมสี ่วนสูงเอยี งทุกเส้นยาวเทา่ กันหรือไม่ พีระมดิ ท่ีมฐี านเปน็ รูปหลายเหลยี่ มดา้ นเท่ามมุ เท่า จะมีส่วนสงู เอยี งทกุ เสน้ ยาว เท่ากนั เทา่ กนั หรือไม่ ใหน้ ักเรียนพิจารณาสว่ นสงู เอียงของพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมผนื ผา้ ดังรปู แล้วตอบคำถามต่อไปน้ี กำหนดให้สี่เหลี่ยม ABCD มี AB ยาวกว่า BC , OX และ OY ตั้งฉากกับ AB และ BC ที่จุด X และจุด Y ตามลำดับ 1. OA = OB = OC หรือไม่ เพราะเหตุใด 2. AX = BX และ BY = CY หรือไม่ เพราะเหตใุ ด 3. BX ยาวกวา่ หรอื สั้นกว่า BY เพราะเหตุใด 4. OX ยาวกว่าหรอื ส้นั กวา่ OY เพราะเหตใุ ด 5. นกั เรียนคดิ วา่ ส่วนสูงเอียงของพรี ะมิดฐานสเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ยาวเทา่ กนั ทกุ เส้นหรือไม่

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาปัญหาต่อไปนี้ ปราโมทย์ต้องการทาสีหลงั คาดา้ นนอกของศาลาพักผ่อน ถา้ ปราโมทย์จะ ประมาณพ้นื ทีท่ ต่ี ้องทาสีท้ังหมด เขาจะต้องคำนวณหาสิ่งใดบ้าง จากรูปข้างต้น จะเห็นวา่ หลังคานีม้ ีลักษณะเป็นพีระมิดฐานส่ีเหลีย่ มมมุ ฉาก เมื่อพิจารณาสว่ นของหลังคาที่ต้องทาสี จะเปน็ ส่วนที่แรเงาดังรปู พื้นที่ของส่วนที่แรเงาทั้งหมดคือ พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด และถ้านำพื้นที่ส่วนใต้หลังคาซึ่งเป็นฐานของพีระมิดมา รวมด้วยจะเรียกพื้นท่ีทั้งหมดว่า พ้นื ท่ผี วิ ของพรี ะมดิ ตวั อย่าง จากรูป พื้นที่ส่วนที่แรเงาสีฟ้าทั้งหมด คือ พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดฐาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ส่วนที่แรเงาสีเหลือง คือ พื้นที่ฐานของพีระมิดฐาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส พน้ื ทีข่ องส่วนทแ่ี รเงาสฟี ้า + พน้ื ทขี่ องส่วนทีแ่ รเงาสเี หลือง = พนื้ ที่ผวิ ของพรี ะมดิ หรอื พ้นื ที่ผวิ ขา้ งของพรี ะมิด + พ้ืนที่ฐานของพรี ะมิด = พืน้ ที่ผวิ ของพีระมิด พนื้ ที่ผิวของพีระมิดเทา่ กับผลบวกของพน้ื ทีผ่ ิวข้างของพีระมดิ กับพ้นื ท่ีฐานของพรี ะมิด

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ให้นกั เรยี นทำกจิ กรรมต่อไปน้ี พืน้ ทีผ่ ิวขา้ งหาได้อย่างไร ให้นักเรียนพิจารณาการหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลาย เหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า มีส่วนสูงเอียงยาวเท่ากันทุกเส้น เช่น รูป ก กำหนด เป็นพีระมิดฐาน แปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีฐานยาวด้านละ a หน่วยและ ส่วนสงู เอยี งยาว  หน่วย จากพีระมิดทก่ี ำหนดให้ จะเห็นวา่ พ้ืนท่ผี วิ ของพรี ะมิดมี 2 สว่ น คือ พน้ื ท่ีของรปู สามเหลย่ี มทัง้ หมดดังรูป ข เป็น พื้นท่ผี ิวขา้ ง และพน้ื ทีข่ องรปู แปดเหล่ยี มดงั รปู ค เป็นพืน้ ท่ีฐาน ใหน้ กั เรยี นตอบคำถามตอ่ ไปนี้ 1. รูปสามเหลี่ยมในรูป ข มกี รี่ ูป แต่ละรปู มีพ้นื ที่เท่าไร 2. พน้ื ท่ีผวิ ข้างของพีระมิดรปู ก เป็นเท่าไร 3. ถ้าให้ p แทนความยาวรอบรูปของฐานของพรี ะมดิ รูป ก แลว้ พรี ะมิดรูป ก จะมพี ื้นท่ีผวิ ขา้ งเปน็ เทา่ ไร พื้นทผี่ วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ที่มีฐานเป็นรปู หลายเหล่ียมด้านเท่ามุมเท่า = 1 × ความยาวรอบรูปของฐาน × สูงเอยี ง 2

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาพืน้ ท่ผี ิวของพรี ะมิดฐานสี่เหลย่ี มจตั ุรัส ซ่งึ มฐี านยาวด้านละ 14 เซนติเมตร และสูง 24 เซนติเมตร วธิ ีทำ กำหนดให้สี่เหลี่ยม ABCD เป็นฐานของพีระมิดฐานสี่เหลีย่ มจัตุรัส ฐาน มีด้านยาวดา้ นละ 14 เซนตเิ มตร O เป็นจดุ ยอดของพรี ะมดิ OX เปน็ สว่ นสงู และ OY เป็นสว่ นสงู เอยี ง ดงั รูป จาก Δ OXY เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก มี OX = 24 เซนตเิ มตร และ XY = 14 = 7 เซนตเิ มตร โดยทฤษฎบี ทพที าโกรสั 2 จะได้ OY2 = OX2 + XY2 = …………………… = …………………… ดังนั้น OY = …………………… เนื่องจาก พื้นที่ผิวข้างของพรี ะมิดฐานส่ีเหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 1 × ความยาวรอบรูปของฐาน × สูง 2 เอยี ง จะได้ พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดเท่ากับ ………………………………………………… = ……………….. ตาราง เซนตเิ มตร พืน้ ที่ฐานของพรี ะมดิ เทา่ กับ ……………………… = ……………….. ตารางเซนติเมตร ดงั นั้น พ้นื ท่ีผวิ ของพรี ะมิดเทา่ กับ ………………………………….. = ……………….. ตารางเซนติเมตร

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานยาว 40 เซนติเมตร กว้าง 16 เซนติเมตร และ พรี ะมิดสูง 15 เซนตเิ มตร วธิ ที ำ กำหนดให้ส่เี หลี่ยม ABCD เปน็ ฐานของพรี ะมิด O เปน็ จดุ ยอดของพรี ะมดิ OX เปน็ ส่วนสงู OE เปน็ สว่ นสงู เอยี งทต่ี ้ังฉากกับ AB และ OF เปน็ สว่ นสงู เอยี งที่ต้ังฉากกบั BC ดงั รปู จากรปู AB = 40 เซนตเิ มตร และ BC = 16 เซนติเมตร จะได้ XF = 40 = 20 เซนติเมตร และ XE = 16 = 8 เซนติเมตร 2 2 โดยทฤษฎบี ทพที าโกรัส จาก Δ OXE จะได้ …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. ดังนน้ั OE = …………… จาก Δ OXF จะได้ …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………….. ดงั นั้น OF = …………… พ้นื ทีผ่ วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานสี่เหล่ียม ABCD เทา่ กบั ผลบวกของพื้นท่ีของ Δ OAB , Δ OBC , Δ OCD และ Δ ODA ดงั น้นั พน้ื ท่ีผิวขา้ งของพีระมิดเทา่ กับ …………………………………………………. ………………………………………………… …………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ตัวอยา่ งที่ 3 พีระมดิ ฐานหกเหลย่ี มด้านเทา่ มุมเท่ามีฐานยาวด้านละ 10 เซนติเมตร ส่วนสงู เอยี งยาว 12 เซนตเิ มตร เมอ่ื กำหนดให้ 3 ≈ 1.732 จงหา 1) พนื้ ที่ฐานของพีระมดิ 2) พื้นทผี่ วิ ข้างของพีระมดิ 3) พืน้ ทีผ่ ิวของพีระมิด วธิ ีทำ 1) กำหนดให้ รูปหกเหลี่ยม ABCDEF เป็นฐานของพีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แต่ละด้านยาว 10 เซนตเิ มตร จากสูตร พื้นท่ีของรปู สามเหลยี่ มดา้ นเท่า เทา่ กบั ………………… เมอื่ a แทนความยาวของดา้ น จากรูป จะได้พน้ื ท่ขี อง Δ APB เป็น …………………. = ……………. ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ฐานของพีระมิดเท่ากับ …………………………………………….. ≈ ………………… ตาราง เซนติเมตร 2) พน้ื ทผี่ วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานหกเหลยี่ มด้านเท่ามุมเท่า เทา่ กบั ………………………………………………………… จะได้ พื้นท่ผี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ เทา่ กบั ………………………………. = ………………. ตารางเซนตเิ มตร 3) พ้ืนทผี่ วิ ของพีระมดิ = …………………………………………………………….. จะได้ พน้ื ทผี่ วิ ของพรี ะมิดประมาณ ………………………………… ≈ ………………… ตารางเซนตเิ มตร

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ เอกสารฝึกหดั เพ่มิ เตมิ 5.1 ก 1. จงหาพ้ืนท่ผี วิ ของพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ซ่งึ มีฐานยาวด้านละ 12 เซนติเมตร สว่ นสูงเอยี งยาว 12 เซนติเมตร 2. จงหาพื้นท่ีผิวขา้ งของพีระมดิ ฐานหา้ เหล่ยี มดา้ นเทา่ มุมเทา่ ฐานยาวดา้ นละ 10 เซนตเิ มตร และสว่ นสงู เอยี งยาว 6 เซนตเิ มตร 3. พีระมิดทำด้วยไม้อันหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 6 เซนติเมตร และพีระมิดสูง 4 เซนติเมตร ถา้ ตอ้ งการทาสีพน้ื ผิวของพีระมิดน้ี บรเิ วณที่ทาสมี พี ้ืนที่กีต่ ารางเซนตเิ มตร 4. จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 32 เซนติเมตร และ 10 เซนติเมตร และมคี วามสงู 12 เซนตเิ มตร 5. พีระมิดฐานห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ฐานยาวด้านละ 8 เซนติเมตร และมีพื้นที่ผิวข้าง 120 ตารางเซนติเมตร จะมีสูงเอยี งเทา่ ไร 6. พีระมิดฐานสิบเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า วัดความยาวรอบฐานได้ 56 เมตร และมีพื้นที่ผิวข้าง 224 ตารางเมตร ส่วนสงู เอียงของพีระมิดยาวเท่าใด 7. รปู จำลองศลิ าจารกึ มีส่วนลา่ งเป็นปริซึมส่เี หลยี่ มจตั ุรสั ส่วนบนเปน็ พีระมดิ ดังรปู ฐานของทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ 30 นิ้ว และมี ปรมิ าตรทง้ั หมด 40,200 ลูกบาศกน์ ว้ิ ถ้าสว่ นลา่ งสงู 42 นวิ้ จงหา 1) สูงเอียงของพรี ะมิด 2) พนื้ ทีผ่ วิ ท้ังหมดของรูปจำลองศิลาจารกึ พ้ืนทีผ่ วิ ของกรวย ถ้าตัดกรวยกระดาษอันหนึ่งตามแนวส่วนสูงเอียง แล้วคลีก่ ระดาษออก รูปคลี่ของกรวยจะมีลกั ษณะเปน็ รูป สามเหล่ยี มฐานโค้ง ดงั รูป

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ พนื้ ทขี่ องรูปคลี่ของกรวยกระดาษข้างต้น คือ พ้ืนทผ่ี ิวขา้ งของกรวย ถ้าเปน็ กรวยกระดาษทีม่ ฝี าปิดจะไดฝ้ าวงกลมเป็นฐานของกรวย และพนื้ ที่ของรปู วงกลมจะเปน็ พืน้ ทฐ่ี านของกรวย พ้นื ทผ่ี ิวของกรวยเท่ากับผลบวกของพืน้ ที่ผิวข้างของกรวยกับพื้นทีฐ่ านของกรวย เราอาจหาพืน้ ท่ีผวิ ของกรวยได้โดยใช้ความร้เู กย่ี วกบั อตั ราสว่ น ดงั กจิ กรรมตอ่ ไปนี้ พ้ืนทผี่ วิ ของกรวย นักเรียนเคยสรา้ งกรวยจากกระดาษรปู วงกลมมาแล้ว ดังรูปตอ่ ไปนี้ จากรูป จะเห็นวา่ O เป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลมและเปน็ จุดยอดของกรวย  แทนรศั มีของวงกลมและแทนสูงเอยี งของกรวย ความยาวของส่วนโคง้ AXB ของวงกลมเปน็ ความยาวของเสน้ รอบวงของฐานของกรวยซง่ึ เทา่ กับ 2πr พื้นทข่ี องรปู สามเหลยี่ มฐานโคง้ OAXB เทา่ กบั พื้นที่ผิวข้างของกรวย วงกลมทม่ี ี O เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง รศั มี  มพี ื้นท่เี ทา่ กับ π2 และความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมเทา่ กับ 2π

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ เนื่องจากอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAXB ต่อพื้นที่ของวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี  เทา่ กับอตั ราส่วนของความยาวของส่วนโค้ง AXB ตอ่ ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมที่มี O เป็นจดุ ศนู ยก์ ลาง รัศมี  ดงั น้นั จงึ เขียนความสมั พนั ธเ์ ป็นสัดส่วนได้ดังนี้ พ้ืนทผ่ี ิวข้างของกรวย = 2πr π2 2π จะได้ พนื้ ท่ผี ิวข้างของกรวย = 2πr × π2 2π = πr เน่อื งจาก พืน้ ท่ผี วิ ของกรวย = พื้นท่ีผิวขา้ งของกรวย + พ้ืนท่ฐี านของกรวย ดงั น้ัน พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย = πr + πr2 เม่ือ r แทนรศั มีของฐานของกรวย และ  แทนสูงเอยี งของกรวย พ้ืนท่ผี ิวของกรวย = πr + πr2 เมือ่ r แทนรศั มขี องฐานของกรวย และ  แทนสูงเอียงของกรวย ตัวอย่างท่ี 1 ฝาชีครอบอาหารท่ีสานด้วยตอกไม้ไผ่มลี ักษณะใกล้เคียงกับกรวย ถ้าฝาชีใบหนึ่งมี เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 30 เซนติเมตรและสูงเอียง 39 เซนติเมตร ฝาชีสูงกี่เซนติเมตร และ ส่วนทีส่ านดว้ ยตอกไม้ไผม่ พี ้ืนท่ีก่ีตารางเซนติเมตร (กำหนดให้ π ≈ 22 ) 7 วธิ ีทำ ฝาชมี ีเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางยาว 30 เซนตเิ มตร จะมรี ศั มี 30 = 15 เซนตเิ มตร 2 สูงเอียงของฝาชี 39 เซนติเมตร ถ้าให้ h แทนส่วนสงู ของ ฝาชี จะได้ h2 = …………………………….. = …………………………….. = …………………………….. h = …………………………….. ดังนัน้ ฝาชีสงู ……… เซนตเิ มตร เนอื่ งจาก พื้นท่ีผวิ ข้างของกรวยเท่ากบั …………………. ดงั นนั้ ส่วนท่ีสานดว้ ยตอกไม้ไผม่ พี ้ืนทปี่ ระมาณ …………………………………………. ≈ ……………………. ตาราง เซนติเมตร

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ตัวอย่างที่ 2 ปากกรวยกระดาษสำหรับดืม่ น้ำจากเครอื่ งทำนำ้ เยน็ มีรศั มี 3.5 เซนติเมตร สูงเอียง 10 เซนตเิ มตร กำหนดให้ π ≈ 22 จงหา 7 1) กระดาษทใี่ ช้ทำกรวยแตล่ ะใบมีพื้นท่ีอย่างน้อยกีต่ ารางเซนติเมตร 2) กรวยกระดาษจนุ ้ำไดม้ ากทสี่ ุดเทา่ ไร 3) ถ้าขวดน้ำบนเครื่องทำนำ้ เยน็ มีความจุ 18.9 ลิตร จะสามารถใช้กรวยกระดาษนี้กดนำ้ ด่มื ได้ อยา่ งน้อยกค่ี ร้ัง วธิ ีทำ 1) ปากกรวยมรี ศั มี 3.5 เซนตเิ มตร สงู เอยี ง 10 เซนตเิ มตร จากสตู ร พน้ื ทผี่ วิ ข้างของกรวยเทา่ กบั ………………. ดังนั้น กระดาษที่ใช้ทำกรวยมีพื้นที่อย่างน้อยประมาณ ………………………. ≈ ………… ตารางเซนติเมตร 2) ใหก้ รวยกระดาษสงู h เซนตเิ มตร จะได้ h2 = ……………………… = ……………………… = ……………………… = ……………………… h ≈ …………………….. จะได้ กรวยกระดาษสูงประมาณ ……………. เซนตเิ มตร จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวยเท่ากบั ………………….. ดังนั้น กรวยกระดาษจุน้ำได้มากที่สุดประมาณ ………………………..... ≈ …………… ลกู บาศก์เซนติเมตร 3) ขวดนำ้ บนเครื่องทำน้ำเย็นมคี วามจุ 18.9 ลติ ร และน้ำ 1 ลติ รเท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์ เซนตเิ มตร จะได้ นำ้ ในขวดเท่ากับ ……………………………………………… ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร ดงั นัน้ สามารถใช้กรวยกระดาษกดน้ำด่ืมได้อยา่ งน้อยประมาณ ………………………………… นนั่ คือ ใชก้ รวยกระดาษกดนำ้ ด่มื ไดอ้ ยา่ งนอ้ ย ……………… คร้งั

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ เอกสารฝกึ หัดเพม่ิ เติม 5.1 ข ในการทำแบบฝกึ หดั ต่อไปนี้ ใหน้ กั เรียนเลือกใชค้ ่า π ประมาณ 22 หรือ 3.14 ตามความเหมาะสม 7 1. จงหาพ้นื ท่ีผวิ ข้างของกรวยสงั กะสอี ันหนง่ึ ทมี่ เี ส้นผ่านศนู ยก์ ลางของฐานยาว 10 เซนตเิ มตร และสงู 12 เซนตเิ มตร 2. โรงเรียนอนุบาลแหง่ หน่ึงทำกระโจมที่มีส่วนล่างเป็นทรงกระบอกมีหลังคาเปน็ กรวยสำหรับให้นักเรยี นเข้าไปเล่น ส่วนท่ี เปน็ ทรงกระบอกสงู 120 เซนติเมตร หลังคากระโจมสงู 150 เซนตเิ มตร ฐานกระโจมมรี ศั มียาว 80 เซนติเมตร ถา้ ทาง โรงเรยี นตอ้ งการเขยี นลวดลายบนหลังคา จงหาพน้ื ที่ท่ีต้องการเขยี นลวดลาย 3. ลูกตุ้มเหล็กมีลักษณะเปน็ กรวยมีความสูง 4 เซนติเมตร มีเส้นผ่านศนู ย์กลางยาว 6 เซนติเมตร ลูกตุ้มลูกน้ีมพี ื้นที่ผิว และปรมิ าตรเท่าไร 4. ต้องการทำหมวกกระดาษรูปกรวยสำหรับงานเลี้ยงปใี หม่ ให้มีความยาวรอบฐานหมวก 62.8 เซนติเมตร ส่วนสูงเอียง ยาว 30 เซนติเมตร หมวกแต่ละใบตอ้ งใชก้ ระดาษอยา่ งน้อยก่ตี ารางเซนติเมตร พน้ื ทผ่ี ิวของทรงกลม นักเรียนทราบแล้วว่าจุดทุกจุดบนผวิ โคง้ ของทรงกลมอยหู่ า่ งจากจดุ ศูนย์กลางของทรงกลมเท่ากัน ในการหาพื้นที่ผิวโค้งของทรงกลมอาจทำได้โดยใช้วิธีการแบ่งผิวโค้งออกเป็นส่วนย่อย เช่น อาจแบ่งเป็นรูปหลาย เหลีย่ มหลายๆ รปู แล้วหาผลบวกของพ้นื ทข่ี องรูปหลายเหล่ียมเหล่าน้ันทั้งหมด เมื่อเราแบ่งผิวโค้งของทรงกลมออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมหลายๆ รูป เช่น รูปห้าเหลี่ยมหรือรูปหกเหลี่ยมบนผิวโค้ง ของลูกฟุตบอลข้างบนนี้ ถ้าแบ่งเป็นจำนวนนอ้ ยรูป พื้นผิวบนรูปหลายเหลีย่ มแต่ละรปู จะเป็นผิวโค้งไมแ่ บนราบ แต่ถ้าเรา แบ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมให้มากรูปขึ้นเป็นร้อยรูป พันรูป หมื่นรูป ฯลฯ พื้นผิวบนรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นก็มีความ โค้ง น้อยลงจนเกือบเป็นแบนราบ ผลบวกของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นก็จะใกล้เคียงกับพื้นที่ผิวของทรงกลม ดัง ตวั อยา่ ง

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ กำหนดให้ พ้ืนทผี่ ิวของทรงกลมเป็น s ตารางหนว่ ย 1. สมมติว่าแบ่งพื้นผิวของทรงกลมที่กำหนดให้ออกเป็นรูปหลายเหลี่ยม จำนวนมากๆ เช่น 10,000 รูปและให้แต่ละรูปมีพื้นที่เป็น a1 , a2 , a3 , a4 , … , a10,000 ตารางหนว่ ย จะได้ s = a1 + a2 + a3 + a4 + … + a10,000 2. เนื่องจากในข้อ 1 มีการแบ่งพื้นผิวของทรงกลมเปน็ รูปหลายเหล่ียมจำนวนมากๆ จึงทำให้เสมือนเป็นการแบ่งทรงกลม เป็นพรี ะมิดที่มี จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ ศนู ย์กลางของทรงกลมและพีระมิดแต่ละรูปมสี ว่ นสูงยาวเทา่ กบั รัศมีของทรงกลม (r) 3. เนอื่ งจาก ปริมาตรของพีระมดิ แตล่ ะรูปเท่ากบั 1 × พ้นื ท่ฐี าน × ความสูง 3 จะได้ ปรมิ าตรของทรงกลมเทา่ กับ 1 a1r + 1 a2r + 1 a3r + ... + 1 a10 , 000 r 3 3 3 3 = 1 r (a1 + a2 + a3 + … + a10,000) 3 = 1 rs 3 เนอ่ื งจาก ปริมาตรทรงกลมเทา่ กับ 4 πr 3 3 จะได้ 4 πr 3 = 1 rs 3 3 หรือ 1 rs = 4 πr 3 3 3 ดงั น้นั s = 4 πr 3 × 3 3 r = 4πr2 น่นั คอื พื้นทผี่ วิ ของทรงกลมเท่ากบั 4πr2 ตารางหนว่ ย สตู รการหาพื้นท่ผี วิ ของทรงกลมเปน็ ดงั นี้ พ้นื ที่ผวิ ของทรงกลม = 4πr2 เมอื่ r แทนรัศมขี องทรงกลม

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ตวั อยา่ งที่ 1 พงศธรใช้ปูนซีเมนต์ 12,348π ลูกบาศก์เซนติเมตร หล่อเป็นทรงกลมจะได้พื้นที่ผิวของทรงกลมประมาณ เทา่ ไร (กำหนดให้ π ≈ 22 ) 7 วธิ ีทำ ทรงกลมมีปริมาตร 12,348π ลูกบาศก์เซนติเมตร เนอื่ งจาก สตู รปรมิ าตรของทรงกลมเท่ากบั ……………… เมอื่ r แทนรศั มขี องทรงกลม จะได้ …………………………………………….... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ดังนน้ั …………………………………………….... จากสตู ร พนื้ ที่ผิวของทรงกลมเทา่ กับ ………………….. จะได้ พืน้ ทีผ่ ิวของทรงกลมน้ีประมาณ …………………………………………….... ≈ ……………………. ดังนั้น พ้นื ที่ผวิ ของทรงกลมนี้ประมาณ …………………. ตารางเซนตเิ มตร ตัวอยา่ งที่ 2 นุ่นซื้อไอศกรีมใส่ในกรวยขนมปัง ไอศกรีมเป็นก้อนทรงกลม เมื่อวางอยู่บนกรวยจะเห็นเป็นครึ่งทรงกลม ดังรูป ถ้ากรวยมีส่วนสูงเอียงยาว 7.8 เซนติเมตรและกรวยสูง 7.2 เซนติเมตร ไอศกรีมก้อนนี้มีปริมาตรกี่ลูกบาศก์ เซนติเมตรและสว่ นที่เห็นเปน็ ครึ่งทรงกลมมพี ื้นที่ผวิ เปน็ เท่าใด (กำหนดให้ π ≈ 22 ) 7 วิธีทำ จากรปู ให้ r แทนรศั มขี องปากกรวย ถว้ ยกรวยขนมปังมสี ว่ นสงู เอยี งยาว 7.8 เซนติเมตร กรวยสูง 7.2 เซนตเิ มตร จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส จะได้ (7.8)2 = r2 + (7.2)2 หรือ r2 = (7.8)2 - (7.2)2 จะได้ r = …………………………………. = …………………………………. = …………………………………. = …………………………………. = …………………………………. จากสูตรปริมาตรของทรงกลมเท่ากับ …………………. ดงั นน้ั ไอศกรมี กอ้ นน้ีมีปริมาตรประมาณ ………………………………. ≈ ……………….. ลูกบาศก์เซนตเิ มตร เน่ืองจาก พนื้ ท่ีผิวของทรงกลม เท่ากบั ……………… จะได้ พืน้ ทผี่ ิวของคร่ึงทรงกลม เทา่ กับ ………………

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ดังนั้น พน้ื ทีผ่ วิ ของไอศกรีมส่วนทเี่ ห็นเทา่ กบั ……………………. ≈ …………………….. ≈ ………………. ตารางเซนติเมตร เอกสารฝกึ หดั เพมิ่ เตมิ 5.1 ค ในการทำแบบฝึกหดั ตอ่ ไปนี้ ให้นักเรยี นเลอื กใชค้ ่า π ประมาณ 22 หรือ 3.14 ตามความเหมาะสม 7 1. จงหาพื้นท่ผี วิ โดยประมาณของรูปเรขาคณิตสามมิตติ อ่ ไปน้ี (กำหนดหนว่ ยความยาวเปน็ เซนตเิ มตร) เอกสารแนะแนวทางเพ่ิมเตมิ 5.2 การนำไปใช้ ในหวั ขอ้ นน้ี กั เรียนจะไดเ้ ห็นการนำความรเู้ กีย่ วกับพ้ืนท่ผี ิวและปริมาตรของรปู เรขาคณิตสามมิติ ไปใช้ในการแก้โจทย์ ปัญหาทซ่ี ับซ้อน ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้ ตวั อยา่ งท่ี 1 บ้านหลังหนึ่งใช้น้ำเฉลี่ยสัปดาห์ละ 5 ลูกบาศก์เมตร ถ้าต้องการสร้างถังเก็บน้ำทรงกระบอกที่มีเส้นผ่าน ศูนย์กลางยาว 1 เมตร สูง 3 1 เมตร เพือ่ กกั เกบ็ น้ำฝนไว้ใชใ้ นฤดูรอ้ น 13 สัปดาห์ จะตอ้ งสรา้ งถังเก็บนำ้ อยา่ งนอ้ ยกี่ถงั 2 (กำหนดให้ π ≈ 22 ) 7 วธิ ที ำ ใช้น้ำโดยเฉลย่ี สัปดาห์ละ 5 ลูกบาศก์เมตร ในเวลา 13 สปั ดาหจ์ ะต้องมีน้ำไวใ้ ช้ ………………………… ลูกบาศกเ์ มตร ถังเก็บน้ำทรงกระบอกแต่ละถังมรี ัศมี 1 เมตร สูง 3 1 หรือ 7 เมตร 2 2 2 เนอื่ งจาก ปริมาตรของทรงกระบอกเทา่ กบั ………………….. ดงั นัน้ ถงั นำ้ แต่ละถงั จะเกบ็ น้ำได้ประมาณ …………………………….. ≈ ……………… ลูกบาศก์เมตร ดงั นน้ั จะตอ้ งสร้างถงั เกบ็ น้ำอย่างนอ้ ย ………………………………………… ถัง

เอกสารประกอบการเรียนการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ตัวอย่างท่ี 2 ประตทู างเข้าสวนสนกุ แหง่ หนึ่งมเี สาทรงกระบอกที่มยี อดเสาเปน็ กรวยอยู่ 3 เสา เสากลางสงู 7 เมตร ส่วนสูงเอียงของกรวยยาว 3 1 เมตร ฐานเสามีรัศมี 1 1 เมตร เสาข้างสองเสามีขนาดเท่ากันคือ สูง 5 3 เมตร ส่วนสูง 4 4 5 เอียงของกรวยยาว 2 3 เมตร ฐานเสามีรัศมี 1 เมตร ถ้าต้องการทาสีเสาทั้งสาม จงหาว่าพื้นที่ที่ต้องทาสีทั้งหมดเป็น 5 เท่าไร (กำหนดให้ π ≈ 22 ) 7 วธิ ที ำ ให้ h1 แทนความสูงของกรวยของเสากลาง กรวยของเสากลางมสี งู เอียง 3 1 หรือ 13 เมตร 4 4 ฐานของกรวยมีรศั มี 1 1 หรือ 5 เมตร 4 4 ดังนน้ั h2 = ………………………………………. 1 = ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. h1 = ………………………………………. จะได้ กรวยของเสากลางสูง …….. เมตร เนื่องจาก เสากลางมีความสูง 7 เมตร ดงั นนั้ ส่วนทเ่ี ปน็ ทรงกระบอกของเสากลางสงู …………………………. เมตร ให้ h2 แทนความสูงของกรวยของเสาขา้ ง กรวยของเสาข้างมสี ูงเอยี ง 2 3 หรือ 13 เมตร 5 5 ฐานของกรวยมรี ศั มี 1 เมตร ดงั นั้น h2 = ………………………………………. 2 = ………………………………………. = ………………………………………. = ………………………………………. h2 = ………………………………………. ดังนัน้ กรวยของเสาขา้ งสงู ………… เมตร เนือ่ งจาก เสาขา้ งสงู 5 3 หรือ 28 เมตร 5 5 ดงั น้นั ส่วนที่เปน็ ทรงกระบอกของเสาสองข้างสูง ………………………. = ………………. เมตร พ้นื ท่ผี ิวข้างของเสากลาง = พ้นื ที่ผิวข้างของทรงกระบอก + พื้นทผี่ วิ ขา้ งของกรวย

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ = ………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………….. ≈ ………………………………………………………………………….. ≈ ……………. ตารางเมตร พื้นท่ีผวิ ข้างของเสาขา้ ง 2 เสา = 2(พน้ื ที่ผิวข้างของทรงกระบอก + พน้ื ท่ีผิวข้างของกรวย) = ………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………. ≈ ………………………………………………………………………………. ≈ ……………. ตารางเมตร ดงั นนั้ พ้ืนทที่ ต่ี ้องทาสีท้ังหมดประมาณ …………………………………………. ตารางเมตร ตวั อยา่ งท่ี 3 วินัยนำท่อนเหล็กทรงกระบอกกลวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายในยาว 7 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลาง ภายนอกยาว 9 เซนติเมตร ท่อนเหล็กยาว 121.5 เซนติเมตร มาหลอมทำเป็นทรงกลมตัน จะได้ทรงกลมที่มีพื้นที่ผิว และปรมิ าตร เป็นเทา่ ไร (กำหนดให้ π ≈ 22 ) 7 วิธีทำ ทอ่ นเหลก็ ทรงกระบอกกลวงมเี ส้นผ่านศูนยก์ ลางภายในยาว 7 เซนติเมตร จะได้ รัศมีของวงกลมภายในเป็น 7 เซนติเมตร 2 เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางภายนอกยาว 9 เซนติเมตร จะได้ รศั มีของวงกลมภายนอกเปน็ 9 เซนติเมตร ทอ่ นเหล็กยาว 121.5 เซนตเิ มตร 2 ดังนั้น ปริมาตรของเหล็กท่อนน้ีเทา่ กบั ……………………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………… = ……………………………………………………………………………… = ……………………………………………………………………………… = ………………… ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร เนือ่ งจาก ปริมาตรของเหลก็ ทรงกลมตันเทา่ กบั ปริมาตรของเนื้อเหล็กทรงกระบอก จะได้ ………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ดงั นั้น ทรงกลมมรี ัศมี …………. เซนตเิ มตร เนือ่ งจาก พน้ื ที่ผิวของทรงกลมเทา่ กบั ……………….. ดงั นนั้ พนื้ ท่ผี วิ ของทรงกลมประมาณ ………………………………… ≈ ……………… ตารางเซนตเิ มตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลมเทา่ กบั ……………….. ดงั นัน้ ปรมิ าตรของทรงกลมประมาณ ………………………………… ≈ ……………… ตารางเซนติเมตร เอกสารฝกึ หัดเพิม่ เติม 5.2 ในการทำแบบฝึกหดั ตอ่ ไปน้ี ใหน้ ักเรยี นเลือกใช้คา่ π ประมาณ 22 หรือ 3.14 ตามความเหมาะสม 7 1. ตะกั่วทรงกลมสองลูก ลูกหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาวเป็นสองเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของอีกลูกหนึ่ง จงหาว่า ปรมิ าตรของตะกั่ว ทรงกลมลูกใหญเ่ ปน็ กเี่ ท่าของปรมิ าตรของตะกัว่ ทรงกลมลูกเลก็ 2. จากรปู กรวยแนบในคร่งึ ทรงกลมซ่งึ มรี ัศมยี าว r เซนติเมตรไดพ้ อดี จงหาอัตราสว่ นของปรมิ าตรของคร่งึ ทรงกลมต่อปรมิ าตรของกรวย 3. แก้วน้ำทรงกระบอกและแก้วน้ำปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวรอบปากแก้วด้าน ในเท่ากัน ถา้ แก้วทง้ั สองมีความลกึ เท่ากัน แกว้ ใดจุน้ำได้มากกว่า จงอธิบาย 4. ถา้ นำลูกต้มุ เหลก็ ทรงกลมซ่ึงมีรัศมี 3 เซนตเิ มตร 5 ลกู มาหลอมเป็นกรวยท่ีมีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางของฐานกรวยยาว 6 เซนติเมตรและสงู 6 เซนตเิ มตร จะไดก้ รวยเหลก็ ก่ีลูก 5. ถังเก็บน้ำมันใบหนึ่งมีลักษณะดังรูป ส่วนที่เป็นทรงกระบอกมีรัศมีของฐานยาว 2.1 เมตร สูง 7.8 เมตรและส่วนที่เป็น กรวยสูง 2.4 เมตร จงหาว่าถงั ใบนีจ้ ุน้ำมนั ได้กี่บารเ์ รล (1 บาร์เรล ≈ 159 ลติ ร)

เอกสารประกอบการเรยี นการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค ๒๐๒๐๕ เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค 20205 หนว่ ยท่ี 5 เร่อื ง พน้ื ที่ผิวและปริมาตร ชอื่ -สกลุ ............................................................... ชน้ั .........................เลขท่ี........................... โรงเรยี นเบญจมราชทู ศิ จงั หวดั จนั ทบรุ ี สำนกั งานเขตพืน้ ท่ีการศกึ ษามัธยมศกึ ษาเขต 17