บทที่ 3 เรื่องสมการกำลังสองptt

บทท่ี 3 สมการกาลงั สอง

สมการกาลงั สอง

3.1 ทบทวนสมการกาลงั สอง

02 − 5 0 = 0 0=0 52 − 5 5 = 0 25 − 25 = 0 0=0 05

3x − 1 = 0 หรอื x−2=0 หรอื x=2 3x = 1 x=2 1 x=3 12 1 3 3 −7 3 +2=0 17 3− 3 +2=0 0=0 2 3 2 2−7 2 +2=0 12 − 14 + 2 = 0 0=0 12 3

3x − 1 = 0 หรอื 3x − 1 = 0 3x = 1 1 x=3 12 1 9 3 −6 3 +1=0 1− 2 +1=0 0=0 1 3

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าสมการ กาลังสองตัวแปรเดียว อาจมีคาตอบท่ี เป็นจานวนจริงได้สองคาตอบ หน่ึง คาตอบหรือไมม่ คี าตอบ

(x − 3 2)(x + 3 2) = 0 x − 3 2 = 0 หรอื x + 3 2 = 0 x=3 2 x = −3 2 x = ±3 2 3 2 2 = 18 18 = 18 −3 2 2 = 18 18 = 18 3 2 −3 2

(x − 7 − 3)(x − 7 + 3) = 0 x − 7 − 3 = 0 หรอื (x − 7 + 3) = 0 ������ − 7 = 3 ������ − 7 = − 3 ������ = 7 + 3 ������ = 7 − 3 ������ = 7 ± 3 ลองตรวจสอบคาตอบดว้ ยตนเองดู

3.2 การแกส้ มการกาลงั สองโดยวธิ ที าเป็น กาลงั สองสมบรู ณ์



x+2 2−4−2=0 x+2 2−6=0 x+2 2− 2 6 =0 (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0 x+2− 6 =0 หรอื (x + 2 + 6) = 0 x+2= 6 x+2=− 6 x = −2 + 6 x = −2 − 6 −2 + 6 2 −2 + 6 + 4 −2 + 6 − 2 = 0 4−4 6+6−8+4 6−2=0 0 = 0 เป็นสมการทเ่ี ป็นจรงิ −2 − 6 −2 − 6 2 + 4 −2 − 6 − 2 = 0 4+4 6+6−8−4 6−2=0 0 = 0 เป็นสมการทเ่ี ป็นจริง −2 + 6 −2 − 6

5 2 25 x−2 − 4 +2=0 5 2 17 x−2 − 4 =0 52 2 x−2 − 17 2 =0 5 17 5 17 x−2− 2 x−2+ 2 =0 ดงั นน้ั 5 17 หรอื 5 17 x−2− 2 =0 x−2+ 2 =0 5 17 5 17 x=2+ 2 x=2− 2 ลองตรวจสอบคาตอบดว้ ยตนเองดู

ดงั นน้ั 2 x− 2 −2+2=0 x− 2 2=0 x− 2 x− 2 =0 x− 2 =0 x= 2 ลองตรวจสอบคาตอบดว้ ยตนเองดู

12 1 x+2 −4+1=0 12 3 x+2 +4=0 x + 1 2 ≥ 0 สาหรบั ทกุ ค่าของ x 2 เน่อื งจาก x + 1 2 + 3 > 0 สาหรบั ทกุ ค่าของ x 2 4 จะได ้ แสดงวา่ ไมม่ คี ่า x ทท่ี าใหส้ มการ x + 1 2 + 3 = 0 เป็นจรงิ 2 4 นนั่ คอื สมการ x2 + x + 1 = 0 ไมม่ คี าตอบ

พจิ ารณาการแกส้ มการ ax2 + bx + c = 0 ในกรณที ่ี a ≠ 0 และ a ≠ 1 ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

m2 − 2m 7 + 7 2 − 7 2 − 1 = 0 66 63 72 72 1 ������ − 6 − 6 − 3 = 0 7 2 49 1 ������ − 6 − 36 − 3 = 0 72 2 61 ������ − 6 − 6 = 0 7 61 7 61 m−6− 6 m−6+ 6 =0 ดงั นน้ั 7 61 m=6± 6 ลองตรวจสอบคาตอบดว้ ยตนเองดู

สมการกาลงั สอง สมการกาลังสอง ax2 + bx + c = 0 เม่อื a , b , c เป็นค่าคงตวั และ a ≠ 0 ถ้า b2 − 4ac ≥ 0 แล้ว จะมคี ำตอบของสมการเปน็ จานวนจริง ถ้า b2 − 4ac < 0 แลว้ จะไม่มีคำตอบของสมการเป็นจานวนจรงิ



ตวั อยา่ ง



ตวั อยา่ ง

กรณีท่ีสมการ ax2 + bx + c = 0 เมือ่ a , b , c เป็นคา่ คงตวั และ a ≠ 0 และ b2 − 4ac < 0 ซง่ึ ไมม่ ีคาตอบของสมการทีเ่ ปน็ จานวนจรงิ มีตัวอย่างดงั น้ี ตวั อยา่ ง

3.3 โจทยป์ ัญหาเก่ียวกบั สมการ กาลงั สอง

x2 + 484 − 44x + x2 = 274 −b ± ������2 − 4������������ 2x2 − 44x + 210 = 0 2������ x2 − 22x + 105 = 0 −(−22) ± 64 1 −22 105 2 22 ± 8 2 15 7 −22 2 − 4(1)(105) 484 − 420 64

ตรวจสอบ ถ้าจานวนหนงึ่ คือ 15 จะไดอ้ ีกจานวนหนง่ึ คอื 22 – 15 = 7 กาลงั สองของ 15 คือ 225 และกาลังสองของ 7 คือ 49 กาลงั สองของแตล่ ะจานวนรวมกนั เท่ากบั 225 + 49 = 274 ซงึ่ เปน็ ไปตำมเงื่อนไขในโจทย์

3x+5 ตัวอย่ำงท่ี 2 รปู ส่ีเหลยี่ มมุมฉากรปู หนงึ่ มดี า้ นยาวยาวกว่าสามเทา่ ของดา้ นกว้างอยู่ 5 เซนติเมตร และมพี ้นื ที่ 138 ตารางเซนติเมตร จงหาความยาวของแตล่ ะด้านของรปู ส่เี หล่ียมมุมฉากนี้ x วธิ ีทำ ใหด้ ้านกว้างของรูปสี่เหล่ยี มมุมฉากนย้ี าว x เซนติเมตร ดังนนั้ ดา้ นยาวของรปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉากนยี้ าว 3x + 5 เซนติเมตร เน่อื งจากรูปส่ีเหล่ียมน้ีมพี ืน้ ที่ 138 ตารางเซนติเมตร จะได้สมการ คือ ������ 3������ + 5 = 138 3������2 + 5������ − 138 = 0 −b ± ������2 − 4������������ ������ = 2������ −46 −5 ± 41 6 ������ = 6 ดงั นนั้ ������ = 6 หรอื ������ = เน่อื งจาก x แทนความยาวของดา้ นรูปส่ีเหลยี่ มมมุ ฉาก ตอ้ งเปน็ จานวนจรงิ บวก ดังน้นั ������ = −46 จงึ ไมใ่ ช่คาตอบ 6 ตอบ ด้านกวา้ งยาว 6 เซนติเมตร และดา้ นยาวยาว 23 เซนติเมตร

ตรวจสอบ ถา้ ใหค้ วามยาวดา้ นกวา้ งยาว 6 เซนตเิ มตร จะได้ด้านยาว ยาว (3×6) + 5 = 23 เซนติเมตร และได้พ้นื ท่ีของรูปส่ีเหล่ยี มมุมฉากนีเ้ ปน็ 6×23 = 138 ตารางเซนตเิ มตร ซ่งึ เป็นไปตำมเง่อื นไขในโจทย์

Thank you