บทเรียนสำเร็จรูปเมตริกซ์เล่ม 7

บทเรียนสำเร็จรูป วชิ ำคณติ ศำสตร์เพมิ่ เตมิ เร่ือง เมตริกซ์ ช้ันมัธยมศึกษำปี ท่ี 5 เล่มท่ี 7 กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นโดยเมตริกซ์ ...(1) 3x + 2y = 5 ...(2) 5x +3y = 8 3 2  x = 5    5 3  y  8     x=1; y =1 นำยเสน่ห์ ประทุม กลุ่มสำระกำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ โรงเรียนมวกเหลก็ วิทยำ จงั หวัดสระบุรี

คำนำ บทเรียนสำเร็จรูปวชิ ำคณิตศำสตร์ เร่ือง เมตริกซ์ ในรำยวชิ ำคณิตศำสตร์เพิ่มเติม สำหรบั นกั เรียนช้นั มธั ยมศกึ ษำปี ท่ี 5 มจี ำนวน 7 เลม่ ดงั น้ี เลม่ ท่ี 1 ควำมหมำยและสญั ลกั ษณ์ของเมตริกซ์ เล่มที่ 2 เมตริกซช์ นิดตำ่ งๆ และกำรเทำ่ กนั ของเมตริกซ์ เล่มท่ี 3 กำรบวกกำรลบเมตริกซ์ กำรคูณเมตริกซ์ดว้ ยจำนวนจริง เลม่ ท่ี 4 กำรคณู เมตริกซด์ ว้ ยเมตริกซ์ เล่มที่ 5 ดีเทอร์มนิ นั ตข์ องเมตริกซ์ เล่มที่ 6 อินเวอร์สกำรคูณของเมตริกซ์ เลม่ ที่ 7 กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ โดยเมตริกซ์ ในกำรจดั ทำไดศ้ กึ ษำหลกั สูตรแกนกลำงปรบั ปรุง พ.ศ. 2560 และหลกั สูตรสถำนศึกษำ โรงเรียนมวกเหล็กวทิ ยำ เน้ือหำสำระ ผลกำรเรียนรู้เพมิ่ เตมิ หลกั ในกำรสรำ้ ง องคป์ ระกอบของ บทเรียนสำเร็จรูป หลกั จติ วิทยำทเ่ี กยี่ วขอ้ ง แต่ละเลม่ จะเขยี นครบกระบวนกำรเรียนกำรสอน ประกอบดว้ ยกรอบนำหรือทบทวน กรอบให้ควำมรู้ กรอบกิจกรรม กรอบเฉลยกจิ กรรม กรอบ ทบทวนหรือแบบฝึกหัด กรอบเฉลยแบบฝึกหัด และกรอบทดสอบ แต่ละกรอบมีควำมสัมพนั ธ์ ต่อเนื่องกนั และมีกำรเสริมแรงเป็นระยะๆ มีคำช้ีแจงแนะนำนกั เรียนในกำรเรียนบทเรียนสำเร็จรูป ให้ปฏบิ ตั ิตำม โดยมีจุดประสงคเ์ พือ่ ใชเ้ ป็นสื่อประกอบแผนกำรจดั กำรเรียนรู้ หรือใชเ้ ป็นสื่อใน กำรจดั กำรเรียนกำรสอนซ่อมเสริม ใหน้ กั เรียนเกดิ กำรเรียนรู้ตำมควำมสำมำรถของบคุ คลท่ี แตกต่ำงกนั เพรำะสำมำรถศกึ ษำเพิม่ เติมนอกหอ้ งเรียนและใชเ้ วลำมำกนอ้ ยเทำ่ ใดก็ได้ ทำให้ นกั เรียนไม่เบอ่ื หน่ำยต่อกำรเรียนรู้ ผเู้ ขยี นหวงั วำ่ บทเรียนสำเร็จรูปวิชำคณิตศำสตร์ เรื่อง เมตริกซ์ ท้งั 7 เลม่ จะช่วยให้ นกั เรียนเขำ้ ใจเน้ือหำตำ่ งๆ ไดอ้ ย่ำงถอ่ งแท้ และมคี วำมรู้ตำมมำตรฐำนกำรเรียนรูข้ องหลกั สูตร เสน่ห์ ประทมุ

คำแนะนำสำหรับนกั เรียน บทเรียนสำเร็จรูปเล่มน้ี จดั ทำข้ึนเพื่อใหน้ กั เรียนไดศ้ กึ ษำดว้ ยตนเอง โปรดอำ่ นคำแนะนำ กอ่ นศกึ ษำบทเรียนดงั ตอ่ ไปน้ี 1. ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน ซ่ึงเป็นขอ้ สอบแบบปรนยั ชนิดเลอื กตอบ นกั เรียนตอ้ งต้งั ใจทำให้เต็มควำมสำมำรถถึงแมว้ ำ่ นกั เรียนจะไม่เคยเรียนมำกอ่ นกต็ ำม 2. เร่ิมศึกษำต้งั แต่กรอบท่ี 1 เรียงไปตำมลำดบั และไม่ขำ้ มกรอบใดกรอบหน่ึง โดยอำ่ นคำอธิบำย ศึกษำตวั อย่ำง ไตร่ตรองและคิดใหด้ ีให้เขำ้ ใจ แลว้ ตอบคำถำมตำมที่บทเรียน กำหนด 3. เมอ่ื ตอบคำถำมเสร็จแลว้ จึงดูคำตอบในกรอบถดั ไปหรือกรอบทกี่ ำหนดไว้ เพื่อตรวจสอบคำตอบว่ำถกู หรือไม่ ถำ้ ตอบถูกให้ศกึ ษำและทำกจิ กรรมในกรอบตอ่ ๆ ไป ถำ้ คำตอบผดิ ให้ยอ้ นกลบั ไปศกึ ษำและทำกจิ กรรมในกรอบท่ผี ่ำนมำใหม่ ทำควำมเขำ้ ใจให้ดี แลว้ ตอบคำถำมใหม่ 4. ศึกษำและทำกิจกรรมไปชำ้ ๆ ไมต่ อ้ งรีบ เพรำะกำรเรียนโดยบทเรียนสำเร็จรูป ไม่จำกดั เวลำในกำรเรียนรู้ นกั เรียนแต่ละคนอำจใชเ้ วลำเรียนมำกนอ้ ยไมเ่ ท่ำกนั ข้นึ อยกู่ บั ควำมสำมำรถในกำรเรียนรู้ของแต่ละบคุ คล 5. เม่อื ศกึ ษำและทำกจิ กรรมจบทุกกรอบของบทเรียน ให้นกั เรียนทำแบบทดสอบ หลงั เรียน ซ่ึงเป็นฉบบั เดยี วกนั กบั แบบทดสอบกอ่ นเรียน แลว้ ตรวจคำตอบดว้ ยตนเอง ตำมทบ่ี ทเรียนเฉลยไว้ เพอ่ื ทรำบผลควำมกำ้ วหนำ้ ในกำรเรียนรูข้ องตนเอง 6. นกั เรียนท่ดี ีตอ้ งมีควำมซื่อสัตยต์ อ่ ตนเอง ตอ้ งไมด่ คู ำตอบกอ่ นตอบเดด็ ขำด จงึ จะประสบผลสำเร็จในกำรเรียนโดยบทเรียนสำเร็จรูป

สำรบัญ หนำ้ จดุ ประสงคก์ ำรเรียนรู้ 1 แบบทดสอบก่อนเรียน 2 กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นโดยใชเ้ มตริกซ์ผกผนั 5 กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นโดยใชก้ ฎของครำเมอร์ 8 กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นโดยใชว้ ิธกี ำรดำเนินกำรตำมแถว 11 แบบฝึ กหดั 16 แบบทดสอบหลงั เรียน 20 เฉลยคำตอบแบบทดสอบกอ่ นเรียนและหลงั เรียน 23 เอกสำรอำ้ งอิง 24

1 บทเรียนสำเร็จรูปวิชำคณติ ศำสตร์เพ่มิ เติม เร่ือง เมตรกิ ซ์ เล่มที่ 7 กำรแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นโดยเมตริกซ์ จดุ ประสงค์กำรเรียนรู้ สำมำรถหำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นซ่ึงมตี วั แปรไมเ่ กิน 3 ตวั แปร ท่กี ำหนดให้ โดยเมตริกซ์ไดถ้ กู ตอ้ ง

2 แบบทดสอบก่อนเรียนบทเรียนสำเร็จรูป วิชำคณิตศำสตร์เพ่มิ เติม เรื่อง เมตริกซ์ เลม่ ท่ี 7 กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นโดยเมตริกซ์ คำช้ีแจง แบบทดสอบฉบบั น้ีเป็นขอ้ สอบปรนยั ชนิดเลอื กตอบจำนวน 10 ขอ้ เวลำในกำรสอบ 30 นำที คำสงั่ ใหน้ กั เรียนเลือกคำตอบท่ถี ูกท่สี ุดเพียงคำตอบเดียว จำก ก, ข, ค หรือ ง แลว้ ทำเครื่องหมำย X ลงในกระดำษคำตอบ จดุ ประสงคก์ ำรเรียนรู้ สำมำรถหำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเสน้ ซ่ึงมีตวั แปรไม่เกนิ 3 ตวั แปร ทก่ี ำหนดให้ โดยเมตริกซไ์ ดถ้ กู ตอ้ ง 1. จงหำคำ่ ของ x −y เมื่อระบบสมกำรคอื 2x − y = 4 x+y=2 ก. 0 ข. 2 ค. 3 ง . 4 2. ถำ้ 1 3 x = 8 แลว้ x2 −y2 เทำ่ กบั จำนวนใด 1 − 2  y 3  ก. 4 ข. 9 ค. 24 ง . 35 3. กำหนดให้ 4x +3y =1 และ 2x +5y =11 แลว้ x y คือเมตริกซใ์ นขอ้ ใด ก. 2 ข. 3 3 2 ค. − 2 ง .  3   − 2  3 

3 4. กำหนดให้ x + 2y = 3 2x −4y = 6 จงใชก้ ฎของครำเมอร์ แกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ แลว้ หำคำ่ x−y ก. – 3 ข. 3 ค. 4 ง . 5 5. กำหนดระบบสมกำร 2x + y+z =1 x − 2y −3z =1 3x + 2y + 4z = 5 ดงั น้นั (x + y+z)3 เท่ำกบั จำนวนใด ก. 0 ข. 8 ค. – 8 ง . – 1 6. กำหนดระบบสมกำร x −2y+ z = −1 3x + y − 2z = 4 y−z =1 ข. 1 ง.–1 ดงั น้นั x2 − y+2z เท่ำกบั เท่ำไร ก. 0 ค. – 2 7. ถำ้ 2 −53.xy = −1 แลว้ 5x +2y เท่ำกบั จำนวนใด 3    2  ก. 1 ข. 7 19 19 ค. 9 ง . 1 19

4 8. ถำ้ 3 −84.xy = 11 แลว้ [ x y ] เทำ่ กบั เมตริกซใ์ นขอ้ ใด 5 22 ก. 4 1 ข. 2 1 2  4  ค. 2 1 ง. 4 1 2  4   3 −1 −1 x 1 9. ถำ้ −1 2.y  แลว้ x + y+z เท่ำกบั จำนวนใด −4 − = 1  2 −1 − 3 z  1   ก. − 1 ข. − 1 7 8 ค. 1 ง . 1 78 10. ระบบสมกำรใดมีคำตอบเป็น ( – 5 , 3 , – 2 ) x + 3y + z = 2 x + 2y−z = 3 ก. y − 2x = 7 ข. z − 2x = 8 x+y+z =1 x+y−z =1 x + 3y + z = 2 x + 2y−z = 3 ค. − 2x − y = 7 ง. z − 2x = 8 x+ y−z = 0 x−y+z = 0

5 กรอบ 1 กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นโดยใช้เมตริกซ์ พจิ ำรณำระบบสมกำรเชิงเสน้ ที่มีจำนวนตวั แปรเทำ่ กบั จำนวนสมกำร เชน่ 3x + 2y = 5 5x + 3y = 8 สำมำรถเขียนแทนระบบสมกำรน้ีดว้ ยเมตริกซ์ โดยอำศยั บทนิยำมกำรเท่ำกนั ของ เมตริกซ์จะได้  3x + 2y = 5  3y     5x +  8  แต่  3x + 2y = 3 2 x    3 y  5x + 3y   5 ดงั น้นั เขียนแทนระบบสมกำรดว้ ยเมตริกซด์ งั น้ี 3 2 x = 5  3 y    5  8  สำหรับระบบสมกำรเชิงเสน้ โดยทวั่ ไป ซ่ึงมี n ตวั แปร และ n สมกำร สำมำรถเปล่ยี น ใหอ้ ยูใ่ นรูปเมตริกซ์ไดเ้ สมอ กรอบ 2 จงเขยี นเมตริกซแ์ ทนระบบสมกำรเชิงเสน้ ทกี่ ำหนดให้ต่อไปน้ี 1. –x + y = 15 ……(1) 3x – 2y = – 1 …...(2) 2. 7x – 3y – 3z = 4 ……(1) –x + y = 3 ……(2) –x + z = 9 ……(3) เฉลยคำตอบกรอบ 2 1. −1 1 x = 15  − 2 y  −1  3    7 − 3 − 3 x 4 2.    =  −1 1 0 y 3 −1 0 1   z  9   เก่งมำกท่ีตอบถูกท้งั 2 ขอ้ ให้ศกึ ษำกำรหำคำตอบของระบบสมกำรในกรอบท่ี 3 ต่อไป

6 กรอบ 3 กำรหำคำตอบโดยใช้เมตริกซ์ผกผนั (อินเวอร์สกำรคณู )ของเมตริกซ์สัมประสิทธ์ิ ให้ A, B, X เป็นเมตริกซ์ โดยท่ี A เป็นนอนซิงกูลำร์เมตริกซ์ กำหนดโดย AX = B A-- 1(AX) = A-- 1B (A—1A) X = A-- 1B I X = A-- 1B ดงั น้นั X = A-- 1B นน่ั คือ ถำ้ A X = B แลว้ X = A-- 1B เมื่อ A เป็นนอนซิงกลู ำร์เมตริกซ์ ( det (A)  0 ) ตวั อย่ำงที่ 1 จงแกร้ ะบบสมกำร 3x + 2y = 5 5x + 3y = 8 วธิ ีทำ เขียนสมกำรเมตริกซ์แทนระบบสมกำรไดด้ งั น้ี 3 2 x = 5  3    5 y  8  ซ่ึงอยูใ่ นรูปของ AX = B ดงั น้นั X = A-- 1B จะได้ x =  3 2 −1  5  y  3    5  8  x = 1 3 −2 5 y 9 − 10 −5 3  8   x = (–1 )  −1 = 1 y  −1 1  ดงั น้นั x = 1 และ y = 1

7 กรอบ 4 จงแกร้ ะบบสมกำรตอ่ ไปน้ีโดยใชเ้ มตริกซผ์ กผนั ของเมตริกซส์ ัมประสิทธ์ิ 4x + 3y = 1 2x + 5y = 11 วิธีทำ เขยี นสมกำรเมตริกซ์แทนระบบสมกำร จะได้  4 3 x = 1    y 11  2 5  x =  4 3  −1 1  y   11  2 5  = ……………………………... = ………………………………. ดงั น้นั x = ……….. , y = ………… เฉลยคำตอบกรอบ 4 = 1 5 −3  1  − 2  11 4(5)− 2(3) 4  = − 2     3  ดงั น้นั x = –2 , y = 3 ตรวจคำตอบดซู ิครบั ... ถกู ตอ้ งใช่ไหมครบั คณิตศำสตร์ไมย่ ำกอย่ำงทคี่ ดิ ถำ้ เรำสนใจสกั นิด ท่จี ะศึกษำ และมีทศั นคตทิ ด่ี ตี ่อคณิตศำสตร์......

8 กรอบ 5 กำรแก้ระบบสมกำรโดยใช้กฎของครำเมอร์ ( Cramer , s rule ) ทฤษฎบี ท ( กฎของครำเมอร์ ) ถำ้ A เป็นเมตริกซม์ ิติ n n โดยท่ี det (A)  0 แลว้ ระบบสมกำรท่เี ขยี นในรูปสมกำร เมตริกซ์ AX = B เม่อื ตวั ไมท่ รำบค่ำคือ x1, x2 , …, xn และ b1 , b2 ,…, bn เป็นค่ำคงตวั  x1   b1     b2   x 2     .  โดยท่ี X = , B = .     .   .    .   .       x   b n  n มคี ำตอบคอื x1 = det ( A1 ) , x2 = det ( A2 ) , … , xn = det ( An ) det ( A) det ( A ) det ( A) เมือ่ Ai คอื เมตริกซท์ ่ไี ดจ้ ำกกำรแทนหลกั ที่ i ของ A ดว้ ยหลกั ของเมตริกซ์ B ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำคำตอบของระบบสมกำรทกี่ ำหนดโดยใชก้ ฎของครำเมอร์ 4x + 3y = 1 2x + 5y = 11 วิธีทำ เขียนสมกำรเมตริกซ์แทนระบบสมกำร จะได้  4 3 x = 1    y 11  2 5  ซ่ึงอยู่ในรูปของ AX = B ให้ A= 4 3 ดงั น้นั det(A) = 4(5) – 2(3) = 14    2 5  โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ำ่ A1 = 1 3  det (A 1) = – 28 ดงั น้นั x = det ( A1) = −28 = –2 11 5  det (A 2) = 42 =3 det ( A ) 14 A2 = 4 1 ดงั น้นั y = det ( A1) = 42 2 11 det ( A ) 14 คำตอบของระบบสมกำร คอื (– 2, 3)

ตวั อย่ำงที่ 3 จงหำคำตอบของระบบสมกำรทก่ี ำหนดโดยใชก้ ฎของครำเมอร์ 9 x+y+z = 6 10 2x – y – z = – 3 x – 3y + 2z = 1 วธิ ีทำ เขียนสมกำรเมตริกซไ์ ดด้ งั น้ี 1 1 1 x  6    =  −1 y −3  2 −1 1 − 3 2    z   1    1 1 1   ให้ A = −1 ดงั น้นั det (A) = –15 2 −1 1 − 3 2 โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ำ่  6 1 1   A1 = −1  det ( A 1 ) = – 15  −3 −1     1 −3 2  ดงั น้นั x = det( A1) = −15 = 1 det ( A ) −15 1 6 1 A2 =    det ( A 2 ) = – 30 2 −3 −1  1 1 2 ดงั น้นั y = det( A2 ) = −30 = 2 det ( A ) −15 1 1 6 A3 =    det ( A 3 ) = – 45 2 −1 − 3  1 − 3 1 ดงั น้นั z = det(A3 ) = −45 = 3 det ( A) −15 คำตอบของระบบสมกำร คือ (1 , 2 , 3)

กรอบ 6 จงแก้ระบบสมกำรเชิงเส้นต่อไปนโี้ ดยใช้กฎของครำเมอร์ x – 2y – 3z = 3 x+y–z = 2 2x – 3y = 5z + 5 วธิ ีทำ เขียนระบบสมกำรใหม่ไดด้ งั น้ี x – 2y – 3z = 3 x+y–z = 2 2x – 3y – 5z = 5 เขียนสมกำรเมตริกซ์ไดด้ งั น้ี 1 −2 − 3 x 3  1 −1  =  1 y  2  5 2 −3 − 5  z    1 − 2 − 3 ให้ A =  1 −1 ดงั น้นั det (A) = ……. 1 2 − 3 − 5 โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ่ำ     A1 =   det (A1) = ……. ดงั น้นั x = …….         A2 =   det (A2) = ……. ดงั น้นั y = …….         A3 =   det (A3) = ……. ดงั น้นั z = …….     คำตอบของระบบสมกำร คอื ……………. 11

เฉลยคำตอบกรอบ 6 det (A) = 1 3 − 2 − 3 A1 =   det (A1) = –1 ดงั น้นั x = −1 = –1 2 1 −1 1 5 − 3 − 5 1 3 − 3 A2 =  2 −1 det (A2) = 1 ดงั น้นั y = 1 = 1 1 5 − 5 2 1 1 − 2 3 A3 =   det (A3) = – 2 ดงั น้นั z = −2 = – 2 1 1 2 1 2 − 3 5 คำตอบของระบบสมกำร คอื (–1 , 1 , –2 ) กรอบ 7 จำกกำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเส้นโดยใชเ้ มตริกซท์ ่กี ล่ำวมำแลว้ คอื กำรหำคำตอบของระบบ สมกำรดว้ ยวธิ ีของอินเวอร์สกำรคูณของเมตริกซ์ และวธิ ีกำรโดยใชก้ ฎของครำเมอร์ ซ่ึงท้งั สอง วธิ ีที่กล่ำวมำน้นั ตอ้ งมีกำรหำคำ่ ดีเทอร์มินนั ตข์ องเมตริกซ์ ตอ่ ไปจะเป็นกำรหำคำตอบของระบบ สมกำรเชิงเสน้ ดว้ ยวิธีกำรดำเนนิ กำรแถว (row operation) ซ่ึงวิธีน้ีเกดิ จำกแนวควำมคดิ พน้ื ฐำน ท่ีว่ำคำตอบของระบบสมกำรไม่เปลย่ี นแปลง เมอ่ื มกี ำรเปลีย่ นแปลงสมกำรในระบบดว้ ยวธิ ี ตอ่ ไปน้ี 1. กำรสลบั ทรี่ ะหวำ่ งสมกำรสองสมกำรใดๆ 2. กำรใชค้ ่ำคงตวั ทไ่ี ม่ใชศ่ นู ยค์ ณู สมกำรใดสมกำรหน่ึง 3. กำรเปลี่ยนสมกำรใดสมกำรหน่ึงในระบบ โดยใชค้ ำ่ คงตวั ท่ไี ม่ใชศ่ นู ยค์ ณู สมกำร ตอ้ งกำรเปลีย่ น และใชค้ ำ่ คงตวั อีกตวั หน่ึงทไ่ี มใ่ ชศ่ นู ยค์ ณู อกี สมกำรหน่ึง แลว้ นำมำบวกหรือลบกนั เป็นสมกำรใหมท่ ่ใี ชแ้ ทนสมกำรเดมิ วิธีกำรดงั กล่ำวท้งั 3 ขอ้ น้ี สำมำรถนำมำใชป้ รบั ให้เมตริกซ์ของสัมประสิทธ์ิซ่ึงไดจ้ ำกระบบ สมกำรเป็นเมตริกซ์เอกลกั ษณข์ องกำรคณู ได้ ในกำรดำเนนิ กำรมขี ้นั ตอนทส่ี ำคญั ดงั น้ี

12 ข้ันตอนท่ี 1 จดั ระบบสมกำรใหอ้ ยใู่ นรูปตอ่ ไปน้ี + +a11x1 a12x2 ... + a1nxn = b1 + +a21x1 a22x2 ... + a 2n x n = b2 . . . + +an1x1 an2x2 ... + annxn = bn ซ่ึงเขยี นเป็นสมกำรเมตริกซ์ไดด้ งั น้ี a11 a12 ... a1n   x1  bb.12  a 21 a 22 ...      . a 2n   x.2    .     =  . .    .   .   .   ..    a n1 an2 a nn  x n  bn  ข้ันตอนที่ 2 เขียนเมตริกซ์ใหมใ่ นรูปเมตริกซ์ [A | B] นน่ั คอื เขยี นเมตริกซข์ องสมั ประสิทธ์ิ แลว้ ต่ออีกหลกั หน่ึงดว้ ยคำ่ คงตวั b1, b2 , ... , bn ไดเ้ มตริกซด์ งั น้ี a11 a12 ... a1n b1  a b.2   21 a 22 ... a 2n  .   . .   . .   ... a n1 an2 a nn bn  ข้ันตอนท่ี 3 เปลย่ี นแปลงเมตริกซแ์ ต่งเตมิ ในข้นั ตอนที่ 2 โดยกระบวนกำรขอ้ ใดขอ้ หน่ึงหรือ หลำยขอ้ ต่อไปน้ี 1. สลบั ทีร่ ะหว่ำงสองแถวใดๆ ของเมตริกซ์แตง่ เตมิ 2. ใชค้ ่ำคงตวั ท่ีไมใ่ ชศ่ นู ย์ คณู สมำชิกทกุ ตวั ของแถวใดแถวหน่ึง 3. เปลีย่ นแปลงแถวใดแถวหน่ึง โดยใชค้ ่ำคงตวั ทไี่ ม่ใช่ศูนยค์ ูณสมำชิกทกุ ตวั ในแถวอื่น แลว้ นำผลมำบวกกบั สมำชิกในลำดบั เดียวกนั ของแถวท่จี ะเปลี่ยน ใชผ้ ลบวกที่ไดแ้ ทนท่ีสมำชิกใน แถวท่ีจะเปลีย่ น

13 เรียกกำรดำเนินกำรกบั เมตริกซใ์ ดๆ ตำมวิธีกำรในขอ้ 1 ถึง 3 น้ีวำ่ กำรดำเนินกำรตำมแถว เมตริกซแ์ ตง่ เตมิ ใหมท่ ่ีไดจ้ ำกำรดำเนนิ กำรตำมแถวน้ี อำจเป็นเมตริกซท์ ีไ่ ม่เท่ำกบั เมตริกซ์แต่งเตมิ เดมิ แตจ่ ะเป็นเมตริกซแ์ ตง่ เติมของระบบสมกำรท่มี ีคำตอบเหมอื นกนั ซ่ึงเรียกว่ำเป็นเมตริกซ์ท่ี สมมูลกนั บนแถวเขียนแทน “เมตริกซ์ X สมมลู บนแถวกบั เมตริกซ์ Y ” ดว้ ย X ~ Y ในกำรแกร้ ะบบสมกำรท่มี ี n สมกำรและ n ตวั แปร โดยใชก้ ำรดำเนินกำรตำมแถวน้นั ตอ้ งพยำยำมใชก้ ำรดำเนินกำรตำมแถวสร้ำงเมตริกซ์ใหม่ให้อยใู่ นรูป [ I | C] ดงั ตอ่ ไปน้ี หลกั ที่ 1 หลกั ที่ 2 หลกั ท่ี 3 ... หลกั ที่ n หลกั ท่ี n +1 แถวท่ี 1 1 0 0 ... 0 c1  แถวท่ี 2  1 0 .... 0  แถวท่ี 3 0 0 1 ... 0 c2  0 . แถวที่ n  0 0 . c3   .   ... 1 .   .   0 .    cn  จะไดค้ ำตอบของระบบสมกำรเป็น c1 , c2 , ... , cn ตำมลำดบั กำรเขียนวธิ ีกำรดำเนินกำรตำมแถวกำกบั ไวห้ ลงั เมตริกซใ์ หม่ที่ไดใ้ นตวั อย่ำงต่อไป มีขอ้ ตกลง เบ้อื งตน้ ดงั น้ี 1. เขียน R แทน กำรสับทรี่ ะหวำ่ งแถวที่ i กบั แถวที่ j ij 2. เขียน cRi แทน กำรคณู สมำชิกทกุ ตวั ในแถวท่ี i ดว้ ยค่ำคงตวั c โดยท่ี c  0 3. เขียน Ri +cR j แทน กำรบวกแถวท่ี i ดว้ ย c เทำ่ ของแถวท่ี j เช่น ถำ้ เขยี น R13 กำกบั ไว้ แสดงวำ่ เมตริกซใ์ หม่เกิดจำกกำรสลบั ทรี่ ะหว่ำงแถวที่ 1 กบั แถวที่ 3 ของเมตริกซเ์ ดิม ถำ้ เขียน 5 R2 กำกบั ไว้ แสดงวำ่ แถวที่ 2 ของเมตริกซใ์ หม่เกดิ จำกกำรคณู สมำชิกทกุ ตวั ใน แถวท่ี 2 ของเมตริกซเ์ ดิมดว้ ย 5 ถำ้ เขยี น R3 −2R1 กำกบั ไว้ แสดงว่ำแถวที่ 3 ของเมตริกซใ์ หมไ่ ดจ้ ำกกำรนำ –2 คณู สมำชิก ทกุ ตวั ของแถวท่ี 1 ของเมตริกซเ์ ดิม แลว้ นำมำบวกกบั สมำชิกในลำดบั เดียวกนั ของแถวที่ 3 ของ เมตริกซเ์ ดมิ

14 ตวั อย่ำง จงแกร้ ะบบสมกำรตอ่ ไปน้ี x −5y + 7z = −7 4x − y +9z = −9 5x + y + z = −9 วิธีทำ เขียนในรูปเมตริกซ์แตง่ เติม แลว้ ใชก้ ำรดำเนินกำรตำมแถวไดด้ งั น้ี 1 − 5 7 − 7 1 −5 7 − 7   ~  4 −1 9 − 9 0 19 −19 19  R 2 − 4R1 5 1 1 − 9 0 26 −34 26  R 3 − 5R1  1 − 5 7 − 7 ~   0 1 −1 1 1 R 2 13 19 0 13 −17 1 2 R 3 ~ 1 0 2 − 2 R1 + 5R 2   0 1 −1 1 0 0 − 4  0  R 3 −13R 2 1 0 0 − 2 R1 + 1 R 3 2 ~   1 0 1 0 1 R − 4 R 2 3 0 0 1  0  − 1 R 4 3  x = –2 , y = 1 , z = 0 ดงั น้นั คำตอบของระบบสมกำร คอื (– 2 , 1 , 0 ) กำรดำเนินกำรตำมแถวนอกจำกจะชว่ ยเปล่ียนแปลงเมตริกซ์แต่งเติมใหอ้ ยูใ่ นรูปทีม่ องเห็นคำตอบ ของระบบสมกำรไดง้ ำ่ ยแลว้ ยงั สำมำรถนำไปใชห้ ำอินเวอร์สกำรคณู ของเมตริกซ์ A ใด ๆ ท่ีเป็นเมตริกซ์ซ่ึงมิใชเ่ อกฐำน ดว้ ยกำรสร้ำงเมตริกซ์ใหมใ่ นรูป [A | I] นนั่ คอื เขียนเมตริกซ์ A แลว้ ต่อดว้ ยเมตริกซเ์ อกลกั ษณท์ ี่มีมิติเท่ำกบั เมตริกซ์ A เปลี่ยนเมตริกซ์ [A | I] ดว้ ยกำรดำเนนิ กำร ตำมแถวจนกระทงั่ เมตริกซ์ใหมอ่ ยใู่ นรูป I ต่อดว้ ยเมตริกซ์ D นนั่ คอื อยใู่ นรูป [A | D] จะได้ เมตริกซ์ D เป็นอินเวอร์สกำรคณู ของเมตริกซ์ A ดงั ตวั อย่ำงต่อไปน้ี

15  7 − 3 − 3 ตวั อย่ำง จงหำ A-- 1 เมอื่ กำหนดให้ A = −1  1 0 −1 0 1   วธิ ีทำ เขียนเมตริกซ์ในรูป [A | I] แลว้ เปล่ียนเมตริกซน์ ้ีโดยใชก้ ำรดำเนินกำรตำมแถว ดงั น้ี  7 −3 −3 1 0 0 [A | I] −1 1 0  = 0 1 0 −1 0 1 0 0 1 ~ −1 0 1 0 0 1 R13 −1 1 0  0 1 0 1 0 0  7 −3 −3  1 0 −1 0 0 −1 (−1)R1 ~   R2 −R1 0 1 −1 R 3 + 7R1 0 − 3 4 0 1 −1 1 0 7 1 0 −1 0 0 −1 ~  0 1 −1 0 1 −1 0 0 1 1 3 4 R 3 + 3R 2 1 0 −1 0 0 −1 ~   0 1 0 1 4 3 R 2 + R 3 0 0 1 1 3 4 1 0 0 13 3 R1 + R3 ~   0 1 0 1 4 3 0 0 1 1 3 4 ให้ D = 1 3 3  1 4 3 1 3 4 เม่ือทดสอบ AD และ DA จะได้ AD = DA = I นน่ั คือ A-- 1 = 1 3 3  1 4 3 1 3 4

16 คุณครูครบั ... กำรดำเนินกำรตำมแถว ยำกนะครบั ... ผมเลอื กใชก้ ฎของครำเมอร์ อย่ำงเดยี วไดไ้ หมครับ ไดค้ รับ... แตน่ กั เรียนตอ้ งรู้วิธกี ำร ของกำรดำเนินกำรตำมแกวไวน้ ะครบั ในโอกำสขำ้ งหนำ้ นกั เรียนอำจจำเป็น ตอ้ งใชแ้ กโ้ จทยป์ ัญหำเป็นบำงคร้ัง...นะครับ กรอบ 8 แบบฝึ กหดั จงแกร้ ะบบสมกำรต่อไปน้ีโดยเมตริกซ์ 1. จงแกร้ ะบบสมกำร x + 3y = 8 x – 2y = 3 คำตอบของระบบสมกำร คอื …………….. 2. จงแกร้ ะบบสมกำร 2 x – y + 3z = – 2 –x + y + z = 0 3x – 2y = 0 คำตอบของระบบสมกำร คือ ……………... 3. จงแกร้ ะบบสมกำรแลว้ หำค่ำ x + y จำก 2x – 3y = –1 3x + 5y = 2 x + y = …………….. 4. จงแกร้ ะบบสมกำรแลว้ หำคำ่ (x + y + z)2 จำก x + y + z = 6 2x – y – z = –3 x – 3y + 2z = 1 (x + y + z)2 = ……………...

17 เฉลยแบบฝึ กหดั 1. คำตอบของระบบสมกำร คือ ( 5 , 1) 2. คำตอบของระบบสมกำร คอื ( 2 , 3 , –1 ) 3. x + y = 8 19 4. (x + y + z)2 = 36 เฉลยแนวคดิ คำตอบแบบฝึ กหดั แนวคิดคำตอบ 1. เขียนสมกำรเมตริกซไ์ ดด้ งั น้ี 1 3 x = 8 1 − 2 y 3 ให้ A = 1 3 ดงั น้นั det (A) = – 5 1 − 2 โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ่ำ A1 = 8 3 det (A1) = – 25 ดงั น้นั x = −25 = 5 3 − 2 −5 A2 = 1 8 det (A2) = – 5 ดงั น้นั y = −5 = 1 1 3 −5 คำตอบของระบบสมกำร คือ ( 5 , 1) 2. เขยี นสมกำรเมตริกซ์ไดด้ งั น้ี  2 −1 3 x − 2    =  −1 1 1 y  0  3 −2 0  z   0       2 −1 3 ให้ A = −1  ดงั น้นั det (A) = – 2 1 1  3 −2 0  โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ำ่ − 2 −1 3 A1 =   det (A1) = – 4 ดงั น้นั x = −4 = 2 0 1 1  0 −2  0 −2

18  2 −2 3 A2 =   det (A2) = – 6 ดงั น้นั y = −6 = 3 −1 0 1 0 −2  3 0   2 −1 − 2 A3 = −1  det (A3) = 2 ดงั น้นั z = 2 = –1 1 0 −2  3 −2 0    คำตอบของระบบสมกำร คอื ( 2 , 3 , –1 ) 3. เขยี นสมกำรเมตริกซ์ไดด้ งั น้ี 2 − 3 x = −1 3   2 5  y  ให้ A = 2 − 3 ดงั น้นั det (A) = 19 3  5  โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ่ำ A1 = −1 − 3 det (A1) = 1 ดงั น้นั x = 1    2 5  19 A2 = 2 −1 det (A2) = 7 ดงั น้นั y= 7 3 2 19 ค่ำของ x + y = 8 19 4. เขียนสมกำรเมตริกซ์ไดด้ งั น้ี 1 1 1 x  6  −1 −1  =  2 y  − 3    1 −3 2  z   1     1 1 1 ให้ A =  −1 ดงั น้นั det (A) = –15 2 −1  1 −3 2  โดยกฎของครำเมอร์จะไดว้ ่ำ  6 1 1 A1 = − 3 −1 −1 det (A1) = –15 ดงั น้นั x = −15 = 1  2  1 −3 −15

19  1 6 1 A2 =  −1 det (A2) = – 30 ดงั น้นั y = −30 = 2 2 −3 −15  1 1 2  1 1 6 A3 =   det (A3) = – 45 ดงั น้นั z = −45 = 3 2 −1 − 3 −15  1 −3 1    ค่ำของ (x + y + z)2 = (1 + 2 + 3)2 = 62 = 36

20 แบบทดสอบหลงั เรียนบทเรียนสำเร็จรูป วิชำคณิตศำสตร์เพิม่ เติม เรื่อง เมตริกซ์ เล่มท่ี 7 กำรแกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ โดยเมตริกซ์ คำช้ีแจง แบบทดสอบฉบบั น้ีเป็นขอ้ สอบปรนยั ชนิดเลือกตอบจำนวน 10 ขอ้ เวลำในกำรสอบ 30 นำที คำส่ัง ให้นกั เรียนเลอื กคำตอบทีถ่ ูกทสี่ ุดเพียงคำตอบเดียว จำก ก, ข, ค หรือ ง แลว้ ทำเคร่ืองหมำย X ลงในกระดำษคำตอบ จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้ สำมำรถหำคำตอบของระบบสมกำรเชิงเส้นซ่ึงมีตวั แปรไม่เกนิ 3 ตวั แปร ที่กำหนดให้ โดยเมตริกซไ์ ดถ้ กู ตอ้ ง 1. จงหำค่ำของ x −y เมอ่ื ระบบสมกำรคอื 2x − y = 4 x+y=2 ก. 0 ข. 2 ค. 3 ง . 4 2. ถำ้ 1 3 x = 8 แลว้ x2 −y2 เท่ำกบั จำนวนใด 1 − 2 y 3 ก. 4 ข. 9 ค. 24 ง . 35 3. กำหนดให้ 4x +3y =1 และ 2x +5y =11 แลว้ x คอื เมตริกซใ์ นขอ้ ใด  y  ก. 2 ข. 3 3 2 ค. − 2 ง .  3   − 2  3 

21 4. กำหนดให้ x +2y = 3 2x −4y = 6 จงใชก้ ฎของครำเมอร์ แกร้ ะบบสมกำรเชิงเสน้ แลว้ หำคำ่ x−y ก. – 3 ข. 3 ค. 4 ง . 5 5. กำหนดระบบสมกำร 2x + y+z =1 x − 2y −3z =1 3x + 2y + 4z = 5 ดงั น้นั (x + y+z)3 เทำ่ กบั จำนวนใด ก. 0 ข. 8 ค. – 8 ง . – 1 6. กำหนดระบบสมกำร x −2y+ z = −1 3x + y − 2z = 4 y−z =1 ข. 1 ง.–1 ดงั น้นั x2 − y+2z เทำ่ กบั เทำ่ ไร ก. 0 ค. – 2 7. ถำ้ 2 −53.xy = −1 แลว้ 5x +2y เทำ่ กบั จำนวนใด 3    2  ก. 1 ข. 7 19 19 ค. 9 ง . 1 19

22 8. ถำ้ 3 −84.xy = 11 แลว้ [x y ] เท่ำกบั เมตริกซ์ในขอ้ ใด 5 22 ก. 4 1 ข. 2 1 2  4  ค. 2 1 ง. 4 1 2  4   3 −1 −1 x 1 9. ถำ้ −1 2.y  แลว้ เท่ำกบั จำนวนใด −4 − = 1 x+y+z  2 −1 − 3 z  1   ก. − 1 ข. − 1 7 8 ค. 1 ง . 1 78 10. ระบบสมกำรใดมีคำตอบเป็น ( – 5 , 3 , – 2 ) x + 3y + z = 2 x + 2y−z = 3 ก. y − 2x = 7 ข. z − 2x = 8 x+y+z =1 x+y−z =1 x + 3y + z = 2 x + 2y−z = 3 ค. − 2x − y = 7 ง. z − 2x = 8 x+ y−z = 0 x−y+z = 0

23 เฉลยคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียนบทเรียนสำเร็จรูป วชิ ำคณิตศำสตร์เพม่ิ เตมิ เร่ือง เมตริกซ์ เล่มที่ 7 กำรแก้ระบบสมกำรเชงิ เส้นโดยเมตริกซ์ 1. ข 2. ค 3. ค 4. ข 5. ก 6. ก 7. ง 8. ง 9. ก 10. ค

24 เอกสำรอ้ำงองิ ยุพนิ พิพธิ กุล. กำรสอนคณติ ศำสตร์ยุคปฏิรูปกำรศึกษำ. กรุงเทพ ฯ : บพธิ กำรพมิ พ,์ 2546. ส่งเสริมกำรสอนวทิ ยำศำสตร์และเทคโนโลยี, สถำบนั . หนังสือเรียนคณิตศำสตร์ ค 013 ระดับช้ันมธั ยมศึกษำตอนปลำย. กรุงเทพ ฯ : โรงพิมพค์ รุ ุสภำลำดพรำ้ ว, 2539. สมยั เหลำ่ วำนิชย์ และพวั พรรณ เหลำ่ วำนิชย.์ คณิตศำสตร์ ม.5 เล่ม 3 ค 013. กรุงเทพ ฯ : โรงพมิ พอ์ มรกำรพมิ พ,์ 2540. สุนนั ทำ สุนทรประเสริฐ. กำรสร้ำงส่ือกำรสอนและนวัตกรรมกำรเรียนรู้สู่กำรพัฒนำ ผ้เู รียน. รำชบรุ ี : ธรรมรักษก์ ำรพมิ พ,์ 2547. สุเทพ จนั ทร์สมศกั ด์ิ และสุเทพ ทองอยู่. ค่มู ือ-เตรียมสอบ คณิตศำสตร์ 3 ม.5 เล่ม 3 ค 013. กรุงเทพ ฯ : ภมู บิ ณั ฑติ , 2538. อเนก หิรญั . คณติ ศำสตร์ 013. กรุงเทพ ฯ : ฟิ สิกส์เซ็นเตอร์, 2538.