vecter01

บทเรียนคอมพวิ เตอร์ วชิ าคณติ ศาสตร์ โรงเรียนมวกเหลก็ วทิ ยา เรอื่ ง เวกเตอร์

ความหมายของเวกเตอร์ เวกเตอร์ คือปริมาณทีบ่ อกท้ังขนาดและทศิ ทาง เราเขยี นส่วนของเส้นตรง แทนขนาดของเวกเตอร์และหวั ลกุ ศรแทนทิศทาง C B A D เป็นเวกเตอร์ จาก A ไป B หรอื มีขนาด = เปน็ เวกเตอร์ จาก C ไป D หรือ มีขนาด =

เวกเตอร์ทีเ่ ทา่ กนั G B DE A C FH จากรปู = เมอ่ื AB = CD หรือ u = v 1. = 2. และ มีทศิ ทางเดยี วกัน EF = GH หรอื a = b

นยิ าม เวกเตอร์ u เท่ากบั v ก็ตอ่ เมอ่ื เวกเตอร์ท้ังสองมีขนาดเท่ากัน และมีทศิ ทางเดียวกนั เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ u = v

เวกเตอรท์ ี่เป็นนเิ สธกัน B D AC u และ v เปน็ นิเสธกนั เมื่อ 1. = 2. u และ v มที ิศทางตรงกันข้ามกนั นั่นคอื u = - v หรือ v = -u และ u กับ -u เปน็ นิเสธกนั

นยิ าม นเิ สธของ u คือเวกเตอรท์ ี่มีขนาดเท่ากับ u แต่มที ิศทางตรงข้ามกัน เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ -u

แบบฝกึ หดั D C O AB 1.จากรปู ABCD เปน็ ส่ีเหล่ยี มด้านขนานให้นกั เรียนเขยี นเวกเตอรท์ เี่ ท่ากับเวกเตอรต์ ่อไปนี้ 1) AB 5) BA 2) AD 6) CB 3) AO 7) OA 4) BO 8) OB

D C O AB 2. จากรปู ABCD เป็นส่เี หล่ยี มด้านขนานให้นักเรียนเขยี นนเิ สธของเวกเตอร์ตอ่ ไปน้ี 1) AB คือ 5) BA คือ 2) BC คอื 6) DA คือ 3) AO คอื 7) OA คือ 4) BO คอื 8) OB คอื

การใชเ้ วกเตอร์แทนการเคลอ่ื นท่ีของวัตถุ ทิศทางของการเคล่ือนทข่ี องวัตถุ กาหนดโดยบอกค่าของมมุ ท่วี ดั จากทิศเหนือตามเข็มนาฬิกาไปยังทิศเหนือท่ีต้องการ คา่ ของมุมจะอยู่ ระหว่าง 0 องศาถึง 360 องศา ในกรณีท่ีมมุ นัน้ มีค่านอ้ ยกว่า 100 องศา ให้เตมิ เลข 0 ลงขา้ งหน้าใหค้ รบ 3 หลัก เช่น 045 องศา หมายถึงมุมท่ีวดั จากทศิ เหนอื ไปตามเข็มนาฬกิ าเป็นมมุ 45 องศา ระบบท่ีใช้บอกค่าของ มมุ แบบน้ีเรยี กว่า ระบบเลขสามตวั ( three figure system )

ทิศเหนอื 150๐ ทิศตะวันออก 25 km u ขนาด 25 กโิ ลเมตร ทิศทาง 1500

แบบฝกึ หดั 1. จงเขยี นส่วนของเส้นตรงทม่ี ีทิศทางแทนปรมิ าณของเวกเตอร์ตอ่ ไปน้ี 1.1) 120 เมตร ไปทางทศิ เหนอื 1.2) 100 เมตร ไปทางทศิ 1500 1.3) 75 กโิ ลเมตร ไปทางทิศ 0600 1.4) 50 เมตร ไปทางทศิ 3200

2 . หน่อยเดินทางไปทางทศิ ตะวันออกเฉยี งเหนอื เป็นระยะทาง 5 กิโลเมตร แล้ว เดนิ ทางต่อไปทางทศิ ตะวนั ตกเฉียงเหนอื เปน็ ระยะทาง 5 กิโลเมตร ดังนนั้ หน่อย จะอยู่ห่างจากจุดตั้งต้นเท่าใดและอยูท่ างทิศใดของจุดเริ่มต้น 5 km x2 = 5 + 5 x = 25 + 25 5 km = 50 x =5 2

3. ชายคนหนึ่งออกเดินทางไปทางทศิ 030๐ เป็นระยะทาง 6 กิโลเมตร แลว้ ออก เดินทางต่อไปในทิศ 150๐ เปน็ ระยะทาง 3 กโิ ลเมตร เขาจะอยหู่ ่างจากจดุ เริม่ ต้นเปน็ ระยะทางเทา่ ใดและอยู่ในทิศใดของจุดต้ังต้น

การบวกเวกเตอร์ นยิ าม ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ท่ีกาหนดให้ สามารถหา u + v ได้ดังน้ี 1. เลือกจุด A จดุ ใดจุดหนึ่งเป็นจุดเร่ิมตน้ 2. หาจดุ B ทท่ี าให้ u = AB 3. หาจดุ C ท่ีทาให้ v = BC 4. จะได้ w = AC ซึ่งนิยามว่าเป็นผลบวกของ u กบั v เขียนแทนไดด้ ้วย สญั ลักษณ์ w = u + v หรือ AC = AB + BC

w=u + v

การลบเวกเตอร์ สาหรับการลบเวกเตอร์ เรานยิ ามด้วยการบวกเวกเตอร์กับนิเสธของเวกเตอร์ตัวลบ นิยาม กาหนดให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ใดๆ ในระนาบ ผลลบของเวกเตอร์ u กับ v เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ u - v = u + (-v )

-v v u w=u -v

เวกเตอร์ศนู ย์ (Zero vector) บทนิยาม เวกเตอร์ศนู ย์คือเวกเตอร์ท่มี ีขนาดเท่ากบั ศนู ย์ เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ 0 B A จากรูป C AB+BC +CA = 0

สมบตั ิการบวกเวกเตอร์ กาหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ ใน ระนาบ 1. u + v เป็นเวกเตอร์ ระนาบ (สมบัติปิด) 2. u + v = v + u (สมบตั ิการสลับที่) (สมบัติการเปล่ยี นกลุ่ม) 3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ) 4. มี 0 เปน็ เอกลกั ษณ์การบวก (สมบตั ิการมีเอกลักษณ์) (สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส์ ) โดยที่ 0 + u = u = u + 0 (สมบตั กิ ารบวกด้วยเวกเตอร์ท่ีเท่ากนั ) 5. มี – u ที่ทาให้ u + -u = 0 = - u + u 6. ถ้า u = v แลว้ u + w = v + w

แบบฝกึ หดั จงหา 1. กาหนดเวกเตอรใ์ ห้ดังรูป 1) AB + BC =........ 2) AD + DC =........ DC 3) AB + BC + AD +AC =........ B 4) AB - CB =.......... A 5) BC - AC =.......... 6) CD - BC =..........

2. กาหนดรปู หกเหลย่ี ม ABCDEF เป็นรปู หกเหลี่ยมดา้ นเท่ามมุ เท่า ดงั รูป จงหา D E C 1) OA + OB + BA o 2) OB + DB + BC F B A 3) AB + BO + OC 4) AO + AB + CD 5) OA + OB + OC + OD + OE + OF

3.จากรู ป กำ หนด ABCDEF เปน็ รปู หกเหลี่ยมดา้ นเทา่ มมุ เทา่ และ AB = u , AF = v , BC = w ข้อใดต่อไปนเี้ ปน็ จรงิ และขอ้ ใดเปน็ เทจ็ .........1) AC = u + v ED .........2) AD = u + v + w .........3) AE = v + w FO C .........4) FC = v + u + w v w Au B

ED FO C A .........5) BF = v - u B .........6) AO = ( u + v + w ) .........7) BO = ( v + w - u ) .........8) (AO + DO + OF +OC) = 0

4. จากรู ป ABCDE เปน็ รูปห้าเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่D ข้อใดต่อไปนเี้ ปน็ จรงิ และขอ้ ใดเปน็ เทจ็ E C B .......1) AB + BC + CD = AE + ED .......2) EA + AB + BC = ED + DC .......3) AE + ED + DC = AB + BC A .......4) AB + CD + EA + BC + DE = AB + DA + BD

5. จากรู ป ABCD เปน็ รูปสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน และ AB = u และ AD = v D C ข้อใดต่อไปนเ้ี ปน็ จรงิ และขอ้ ใดเปน็ เทจ็ vO .....1) AC = u + v Au B .....2) DB = u - v .....3) OC = (u + v ) .....4) BO = (v - u ) .....5) DO = (u + v ) .....6) DO + OC = u

D C vO .....7) CO + OB= v .....8) OA + OB = u Au B .....9)AB + BO + OA = 0 .....10) BO + OC + CB = 0 .....11) OC + OD +CD =0 .....12) AB + BC + CD + DA = 0