ลิมิตของลำดับจากกราฟ

บทนิยาม ลาดบั (sequence) คอื ฟังก์ชนั ทมี่ โี ดเมนเป็นเซตของจานวน เต็มบวก เรยี กลาดับท่มี ีโดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, ..., n} วา่ ลาดบั จากัด (finite sequence) เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n เรยี กลาดับทม่ี โี ดเมนเป็นเซต {1, 2, 3, ...} ว่า ลาดับอนนั ต์ (infinite sequence) เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ a 1 , a 2 , a 3 , . . .



บทนิยาม ลาดับเลขคณติ (arithmetic sequence) คือ ลาดับซ่งึ มีผลต่างท่ไี ดจ้ ากการนาพจนท์ ่ี n+1 ลบด้วยพจนท์ ี่ n เปน็ ค่าคงตวั ที่เท่ากนั เรยี กค่าคงตัวน้ีวา่ ผลตา่ งร่วม (d) น่ันคือ d =



บทนยิ าม ลาดบั เรขาคณติ (geometric sequence) คือ ลาดบั ซงึ่ มีอตั ราส่วนของพจน์ท่ี n+1 ตอ่ พจนท์ ี่ n เป็นค่าคงตัว ท่เี ท่ากนั เรยี กค่าคงตัวนี้วา่ อัตราสว่ นรว่ ม ( r ) นนั่ คือ r =





ลิมติ ของลาดับ (limit of a sequence) ลมิ ติ ของลาดบั คือ การหาค่าของพจนท์ ่ี n (an) วา่ มีคา่ เขา้ ใกล้ค่าใดค่าหน่งึ เม่อื n มคี า่ มากข้นึ โดยไม่มีทสี่ ้นิ สุด ลาดับทนี่ ามาพจิ ารณาหาลมิ ิตต้องเป็นลาดับอนนั ต์





ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นกราฟของลาดับ an  1 2n n1 2 3456… an 1 1 1 1 1 1 … 2 4 8 16 32 64 1 an 0 123 456 n ถ้า n มคี า่ มากขึ้นโดยไมม่ ที ่ีสิ้นสุดแลว้ คา่ ของ an จะมคี ่าลดลงจน เขา้ ใกล้ 0 กล่าวว่า ลมิ ิตของลาดับมคี า่ เทา่ กับ 0

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟของลาดบั an  2 n1 2 3456… an 2 2 2 2 2 2 … an 3 2 1 0 123 456 n ถา้ n มีคา่ มากขึน้ โดยไม่มที ส่ี ิน้ สุดแล้ว ค่าของ anมีค่าคงทเ่ี ทา่ กบั 2 กล่าววา่ ลิมิตของลาดบั มีคา่ เทา่ กบั 2

ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของลาดับ an  1  (1)n n n1 2 3456… an 0 3 25 4 7 … 2 34 5 6 2 an 1 0 123 456 n ถจนา้ เnขา้ มใีคก่าลม้ 1ากขกล้นึ า่โดวยว่าไมม่ ลที ิมสี่ติ ้นิขสอดุงลแาลด้วบั คม่าีคขา่ อเทงา่ aกับn จะมีค่าเพม่ิ ขึ้นและลดลง 1

ตวั อยา่ งที่ 4 จงเขยี นกราฟของลาดบั an  2n 1 n1 2 3456… an 1 3 5 7 9 11 … an 10 5 0 123 456 n ถ้า n มีคา่ มากขน้ึ โดยไมม่ ีทสี่ ้นิ สุดแล้ว ค่าของ an จะมีค่าเพิ่มขนึ้ ไมม่ ีท่ีส้นิ สุด กลา่ วว่า ลาดบั นี้ไมม่ ีลิมิต

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงเขยี นกราฟของลาดับ an   5 n  4  n12 3 4 5 6 … an 5 25 125 625 3125 15625 … 4 16 64 256 1024 4096 4 an 0 123 456 n -4 ถเป้าน็ nระมยีคะ่าเพม่ิมากขขน้ึ ึน้ ไมโด่สยิ้นไสมดุ ่มีทก่ีสล้ิน่าสวุดวแา่ ลว้ ลาคด่าบัขนอ้ไีงม่มaลี nมิ ติจะมีค่าเพ่มิ ข้นึ และลดลง

ตวั อย่างที่ 6 จงเขียนกราฟของลาดับ an  n n12 3 456… n an 1  2  3  4  5  6 … 0 an 1 2 3 4 5 6 -5 ถา้ n มคี า่ มากขน้ึ โดยไมม่ ีที่ส้นิ สุดแลว้ ค่าของ an จะมีคา่ ลดลง โดยไมม่ ีท่ีสนิ้ สุด กลา่ วว่า ลาดบั น้ีไมม่ ีลมิ ิต

ตวั อยา่ งท่ี 7 จงเขยี นกราฟของลาดบั an  (1)n1 n1 2 3456… an 1 1 1 1 1 1 … 1 an 0 123 456 n -1 ถลา้ดลnงเมปคี ็น่ารมะายกะขเท้นึ า่ โกดนัยไมกม่ ลีทา่ ่ีสวนิ้วส่าดุ ลแาลดว้ บั คน่า้ไี ขมอ่มงลี มิ aิตn จะมคี า่ เพิม่ ขนึ้ และ

ในกรณีท่พี จน์ที่ n ของลาดบั มีค่าเข้าใกลห้ รอื เทา่ กับจานวนจรงิ L เพียงจานวนเดยี วเทา่ นัน้ เมอ่ื n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีท่ีสน้ิ สดุ จะเรียก L ว่าเปน็ ลิมิตของลาดับนัน้ เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ เรียกลาดบั อนันตท์ ่มี ีลิมิตวา่ ลาดบั ลู่เขา้ (convergent sequence)

ลาดบั ในตัวอย่างที่ 1, 2, และ 3 ค่าของ an มคี า่ เข้าใกล้หรือ เทา่ กับจานวนใดจานวนหนึ่ง เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์

ลาดบั ในตวั อยา่ งที่ 4, 5, และ 6 คา่ ของ an เพ่มิ ข้นึ และลดลง โดยไม่มที ่สี น้ิ สดุ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์

ลาดับในตวั อยา่ งท่ี 7 คา่ ของ an มีค่าเพมิ่ ขนึ้ และลดลงเป็นระยะเทา่ กนั โดยไม่เข้าใกล้จานวนใดจานวนหนงึ่ เรยี กลาดบั น้ีวา่ ลาดับแกวง่ กวัด (oscillating sequence) เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ เรียกลาดบั อนนั ตท์ ไี่ ม่มลี ิมิตว่า ลาดบั ลูอ่ อก (divergent sequence)