SACH Moi

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO YÊN LẠC TRƯỜNG THCS NGUYỆT ĐỨC CẨM NANG HỌC TẬP Tác giả: Nguyễn Thu Oanh – Phạm Thanh Tâm 1

HƯỚNG DẪN Đây là dạng Ebook 3D tương tác – đa phương tiện Vì vậy các bạn có thể Đọc Xem Nghe Làm Chúc các bạn học tập hiệu quả! Tác giả: Nguyễn Thu Oanh – Phạm Thanh Tâm 2

TOÁN 8 3

PHẦN ĐẠI SỐ 4

CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN – CHIA ĐA THỨC 5

CHỦ ĐỀ 1 PHÉP NHÂN ĐA THỨC 6

CHỦ ĐỀ 1. PHÉP NHÂN ĐA THỨC 1. Trọng tâm kiến thức a. Nhân đơn thức với đa thức - Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Công thức:​ A(B + C) = AB + AC với A, B, C là các đơn thức, đa thức. b. Nhân đa thức với đa thức - Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. Công thức: (A + B).(C + D)=A.(C + D) + B.(C + D) = AC + AD + BC + BD Chú ý: Tích hai đa thức là một đa thức. Nhắc lại: am:an = am−n,(m≥n) a​ m.an = am+n, m,n∈N (ba)m = am (b≠0) bm (am)n = amn (a.b)m = am.bm

CHỦ ĐỀ 1. PHÉP NHÂN ĐA THỨC 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Làm tính nhân Phương pháp giải: - Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức - Lưu ý quy tắc dấu của phép nhân và rút gọn các hạng tử đồng dạng. Ví dụ: 3x.(3x2 − 2x + 3) = 3x.3x2 − 3x.2x + 3x.3 = 9x3−6x2+9x Nhận xét: - Tích hai đa thức dạng (x+a)(x+b) = x2 + (a+b).x + ab 8

CHỦ ĐỀ 1. PHÉP NHÂN ĐA THỨC 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: - Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức, bỏ dấu ngoặc, thu gọn các hạng tử đồng dạng. - Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính. Ví dụ: A = x(x − y) + y(x + y), tại x = −6, y = 8 A = x.x − x.y + y.x + y.y A = x2 − xy + yx + y2 = x2 + y2 thay x=−6, y=8 vào A ta được giá trị biểu thức A​ =(−6)2+82 = 100 9

CHỦ ĐỀ 1. PHÉP NHÂN ĐA THỨC 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 3: Chứng minh a. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của các biến. Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không chứa biến. Ví dụ: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến. A = (2x–3)(x+7) – 2x(x+5) - x A = 2x2+ 14x - 3x -21 – 2x2 -10x - x A = -21 Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x b. Chứng minh đẳng thức: Phương pháp giải: - Biến đổi một vế thành vế kia, hoặc biến đổi cả 2 vế cùng bằng một biểu thức. Ví dụ: Chứng minh đẳng thức. (x - y)(x3 + x2y + xy2 + y3) = x4 – y4 Lời giải: Xét vể trái T = (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3) T = x4 + x3y + x2y2 + xy3 - x3y - x2y2 - xy3 - y4 = x4 - y4 Ta thấy vế trái T đúng bằng vế phải P nên đẳng thức đã cho đúng 10

CHỦ ĐỀ 1. PHÉP NHÂN ĐA THỨC 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 4: Tìm x Phương pháp giải: - Thực hiện các phép nhân đa thức rồi thu gọn về dạng ax = b - Suy ra x = b (a≠0) a Ví dụ: Tìm x biết 3x.(12x+4) − 9x(4x−3)=30 ↔ 36x2 + 12x − 36x2 + 27x = 30 ↔ 29x = 30 ⇔ x = 30 29

CHỦ ĐỀ 1. PHÉP NHÂN ĐA THỨC LUYỆN TẬP 12

CHỦ ĐỀ 2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 13

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 1. Trọng tâm kiến thức 1. Bình phương của một tổng - Bình phương của tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích hai biểu thức đó cộng bình phương biểu thức thứ hai. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. Bình phương của một hiệu - Bình phương của hiệu hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất trừ hai lần tích hai biểu thức đó cộng bình phương biểu thức thứ hai. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3. Hiệu hai bình phương - Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức. A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4. Lập phương của một tổng - Lập phương của tổng hai biểu thức bằng tổng của lập phương biểu thức thứ nhất, ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai và lập phương biểu thức thứ hai. (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 1. Trọng tâm kiến thức 5. Lập phương của một hiệu - Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai. (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6. Tổng hai lập phương - Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. Hiệu hai lập phương - Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Vận dụng các HĐT để tính Phương pháp giải: - Xem biểu thức đã cho thuộc hằng đẳng thức nào thì vận dụng hằng đẳng thức ấy để khai triển ra và ngược lại. Ví dụ: Tính (4x + 7)2 (4x + 7)2 = (4x)2 + 2.4x.7 + 72 = 16x2 + 56x + 49

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: - Vận dụng các HĐT đáng nhớ để khai triển các lũy thừa, khai triển các tích rồi rút gọn. - Thay các giá trị của biến x vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính. Ví dụ: Rút gọn biểu thức (7x + 4)2 – (7x + 4)(7x - 4) (4x + 7)2 – (7x + 4)(7x - 4) = 49x2 + 56x + 16 – (49x2 – 16) = 49x2 + 56x + 16 – 49x2 + 16 = 56x + 32 17

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 3: Chứng minh a. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của các biến. Phương pháp giải: - Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức đã cho thành một biểu thức không chứa biến. Ví dụ: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến. A = (3x + 2)(9x2 – 6x + 4) – 2(9x3 - 2) A = 27x3 + 8 - 27x3 + 6 A = 14 Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x b. Chứng minh đẳng thức: Phương pháp giải: - Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi một vế thành vế kia, hoặc biến đổi cả 2 vế cùng bằng một biểu thức. Ví dụ: Chứng minh đẳng thức. (x + y)2 - (x - y)2 = 4xy Biến đổi vể trái ta được T = ((x + y)2 - (x - y)2 T = x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2) = 4xy Ta thấy vế trái T đúng bằng vế phải P nên đẳng thức đã cho đúng

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 4: Tìm x Phương pháp giải: - Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển ra rồi thu gọn về dạng ax = b - Suy ra x = b (a≠0), ∀������ ∈ ������ nếu a=b=0, không có x nếu a=0, a b≠ 0 Ví dụ: Tìm x biết rằng (2x+1).(1 - 2x) + (2x−1)2 = 22 ↔ (2x+1).(1 - 2x) + (2x−1)2 = 22 ↔ 1 – 4x2 + 4x2 – 4x + 1 = 22 ⇔ -4x + 2 = 22 ⇔ -4x = 20 ⇔ x = 20 : (-4) = -5

CHỦ ĐỀ 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ LUYỆN TẬP 20

CHỦ ĐỀ 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 21

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1. Trọng tâm kiến thức a. Định nghĩa: - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. b. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử B1. Phương pháp đặt nhân tử chung - Nếu tất cả các hạng tử của một đa thức có một nhân tử chung, thì đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc theo công thức: AB + AC – AD = A.(B + B - D) B2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức - Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều ngược lại để phân tích đa thức thành nhân tử. 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 2. A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 5. A3 - 3A2 B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 3. A2 – B2 = (A + B)(A - B) 6. A3– B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 + B3 = (A + B)(A2 + AB + B2)

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. Phương pháp đặt nhân tử chung B1: Chọn nhân tử chung gồm: + Hệ số là UCLN của các hệ số + Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. B2: Viết các nhân tử còn lại của mỗi số hạng vào trong dấu ngoặc. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x2 – 3x 4x2 – 3x = x(4x - 3) Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử. Ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử (2x−1)(x+2)+(1−2x)(3−2x) =(2x−1)(x+2)−(2x−1)(3−2x) =(2x−1)(x+2)−(2x−1)(3−2x) =(2x−1)[(x+2)−(3−2x)]=(2x−1)[(x+2)−(3−2x)] =(2x−1)(3x−1)=(2x−1)(3x−1).

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức - Nếu đa thức có hai hạng tử thì vận dụng A2 – B2 = (A-B)(A+B) hoặc A3 ± B3 = (A ± B)(A2 ∓ AB + B2) - Nếu đa thức có ba hạng tử thì vận dụng (A2 ± AB + B2) = (A ± B)2 - Nếu đa thức có bốn hạng tử thì vận dụng (A2 ± 3A2 B + 3AB2 ± B2) = (A ± B)3 Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 25; x2 – 25 = x2 – 52 = (x-5)(x+5) Ví dụ 2: phân tích đa thức thành nhân tử: (2x – 5)2 - 64 (2x – 5)2 – 64 = (2x – 5)2 – 82 = (2x – 5 – 8)(2x – 5 + 8) = (2x - 13)(2x + 3)

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức a. Phương pháp giải - Phân tích đa thức thành nhân tử - Thay các biểu thức bởi giá trị của chúng rồi thực hiện các phép tính. b. Ví dụ Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức 2x2 + 6xy – 10x với x = -4; y = 3 Giải: 2x2 + 6xy – 10x = 2x(x + 3y - 5) = 2.(-4) . -4 + 3.3 – 5) = 0 Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)2 + 2(2x – 1)(3x + 1)+(3x+1)2 Với x = -1 5 Giải: M = (2x – 1)2 + 2(2x – 1)(3x + 1)+(3x+1)2 = (2x – 1 +3x +1)2 = 25x2 Với x = -1 thì M = 25. (-1)2 = 1 55

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 3: Tìm x a. Phương pháp giải - Chuyển tất cả các số hạng về vế trái, về kia bằng 0. - Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A.B=0. hoặc A2 = 0; A3 = 0; - Suy ra hoặc A = 0 hoặc B = 0, từ đó tìm được tất cả các giá trị của x. b. Ví dụ Ví dụ 1: Tìm x biết x2 + 4x = 0 Giải: x2 + 4x = 0  x(x+4) = 0. Do đó hoặc x = 0 hoặc x + 4 = 0 . Vậy x=0; x=-4 Ví dụ 2: Tìm x biết: 64 – 0,25x2 = 0 Giải: 64 – 0,25x2 = 0 suy ra (8 - 1 ������)(8 + 1 ������) = 0 22 Do đó: 8 - 1 ������ = 0 hoặc 8 + 1 ������ = 0 2 2 Vậy x = 16; x = -16.

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 4: Chứng minh a. Phương pháp giải - Biễn đổi biểu thức đã cho về dạng: A = k . B (k ≠ 0) Khi đó A ⋮ k b. Ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng 292 + 29.21 chia hết cho 50 Giải: Ta có: 292 + 29 . 21 = 29(29+21) = 50.29 ⋮ 50 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 212 + 1 chia hết cho 17. Giải: Ta có: 212 + 1 = (24)3 + 1 = 163 + 13 = (16 + 1)(162 -16 + 1) = 17 . 241 ⋮ 17

CHỦ ĐỀ 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ LUYỆN TẬP 28

CHỦ ĐỀ 4 PHÉP CHIA ĐA THỨC 29

CHỦ ĐỀ 4. PHÉP CHIA 1. Trọng tâm kiến thức 1. Chia hai lũy thừa cùng cơ số: xm : xn = xm - n m, n ∈ N, với x ≠ 0 và m ≥ n Quy ước: x0 =1 với x ≠ 0 2. Chia đơn thức A cho đơn thức B. - Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B - Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến trong B. - Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau 3. Chia đa thức A cho đơn thức B - Ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. 30

CHỦ ĐỀ 4. PHÉP CHIA 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Làm tính chia đơn thức (đa thức) cho đơn thức a. Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc ở mục “Trọng tâm kiến thức” b. Ví dụ: Ví dụ 1: Làm tính chia: a, (-x4y5) : (-xy)3 b, 20x5y3 : 4x2y2 Giải: a, (-x4y5) : (-xy)3 = x3y2 b, 20x5y3 : 4x2y2 = 5x3y 31

CHỦ ĐỀ 4. PHÉP CHIA 2. Các dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 2: Tìm điều kiện để đơn thức hoặc đa thức chia hết cho một đơn thức a. Phương pháp giải: - Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B thì mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. - Để đa thức A chia hết cho đơn thức B thì mỗi hạng tử của đa thức A đều phải chia hết cho đơn thức B. b. Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau đều là phép chia hết. a, 8xn : 4x5 ; b, 2x3 : xn+1 Giải: a, 8xn : 4x5  n ≥ 5 b, 2x3 : xn+1  n + 1 ≤ 2  n ∈ 0; 1; 2 . 32

CHỦ ĐỀ 4. PHÉP CHIA 2. Các dạng bài tập và phương pháp giảia Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức a. Phương pháp giải: - Thực hiện các phép chia rồi thu gọn kết quả. - Thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn rồi thực hiện các phép tính. b. Ví dụ: Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = 20x3y5z3 : 5x3y3z với x = 1,234; y = 18; z = - 1 12 Giải: Ta có: A = 20x3y5z3 : 5x3y3z = 4y2z2 Với x = 1,234; y = 18; z = - 1 thì A = 4 . 182 . (- 1 )2 = 9 12 12 33

CHỦ ĐỀ 4. PHÉP CHIA LUYỆN TẬP 34