คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ ๕ ตรรกศาสตรเ์ บื้องตน้

นิยามของประพจน์ จากตัวอย่างที่กล่าวถึงในแนวคิด จะเรียกข้อความ “เงินฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่า หน่ึงหมื่นบาท” และ “ผู้ฝากจะได้ ดอกเบี้ยร้อยละสามต่อปี” ว่าเป็น ประพจน์ ซ่ึงจากเงื่อนไขถ้าประพจน์แรกเป็นจริงแล้ว ประพจน์ที่สองเป็นจริง แสดงว่า ธนาคารที่กล่าวข้อความดังกล่าวน้ันพูดความจริง นยิ าม ประพจน์ คือ ข้อความทีส่ ามารถบอกได้ว่า จรงิ หรอื เท็จ อย่างใดอยา่ งหน่ึงเทา่ นั้น ซง่ึ เราจะเรียกว่า ค่าความจริง เปน็ จรงิ หรอื เป็นเท็จ ตวั อยา่ ง ขอ้ ความตอ่ ไปน้ีเปน็ ประพจนห์ รอื ไม่ 1. ประเทศไทยอยใู่ นทวีปเอเชีย ขอ้ ความน้เี ปน็ จริง หรอื มีค่าความจรงิ เปน็ จริง ดงั นัน้ จงึ เปน็ ประพจน์ 2. เดอื นมกราคม มี 30 วนั ขอ้ ความนเ้ี ป็นเท็จ หรอื มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ดังนนั้ จงึ เปน็ ประพจน์ 3. วนั นช้ี ่างสดใสจรงิ ๆ ข้อความนี้เป็นการกล่าวท่ัวไป ซึ่งอาจจะจริงสาหรับบางคน หรือไม่จริงสาหรับคนอื่นก็ได้ ดังน้ันค่าความจริงยังไม่ ชัดเจนแนน่ อนว่าเป็นจรงิ หรือ เป็นเทจ็ ดงั นน้ั จงึ ไมเ่ ป็นประพจน์ 4. 5-6=1 สมการดังกลา่ วซ่งึ ถือเปน็ ขอ้ ความ มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ดงั นน้ั จงึ เป็นประพจน์

นิยามของประพจน์ 5. x + 6 > 0 ขอ้ ความ (อสมการ) ดังกล่าว อาจเป็นจริงในบางคา่ ของตวั แปร x และอาจเปน็ เท็จในบางค่า (เช่น x = -7) ดังนั้น ถ้ายัง ไม่ทราบค่าของตัวแปร x ที่แน่นอน จะไม่สามารถระบุค่าความเป็นจริงของข้อความดังกล่าวได้ ดังนั้นข้อความน้ีจึงไม่เป็น ประพจน์ 6. ประเทศไทยอย่ใู นทวีปใด ข้อความน้เี ป็นคาถาม ซึง่ ไม่สามารถระบุไดว้ ่าเป็นจริงหรือเท็จ ดงั นั้นจึงไมเ่ ปน็ ประพจน์ 7. x0 < 0 เมื่อ x เป็นจานวนจรงิ ขอ้ ความนีเ้ ป็นเท็จเสมอ ไมว่ า่ x จะเป็นจานวนจรงิ ใดๆ เพราะ x0= 1 ดังน้ันจึงเปน็ ประพจน์ 8. ประพจน์นเ้ี ปน็ เท็จ ข้อความข้างต้นเป็นตัวอย่างท่ีทาให้สงสัยได้ง่ายว่าเป็นประพจน์หรือไม่ แต่ถ้าเราสมมติว่า ข้อความดังกล่าวเป็นจริง ดังนัน้ ขอ้ ความในประโยคถกู ต้องซึง่ ข้อความบอกว่าเปน็ เท็จดังนัน้ จึงไมส่ ามารถระบไุ ด้ว่าจริงๆ ข้อความดังกล่าวเป็นจริงหรือ เท็จ แต่ถ้าเราสมมติใหม่ว่าให้ข้อความดังกล่าวเป็นเท็จ ดังน้ันข้อความดังกล่าวไม่จริง ดังน้ันประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งจะ ตรงข้ามกับท่ีสมมติว่าให้เป็นเท็จ ดังน้ันจึงไม่สามารถระบุค่าความเป็นจริงของข้อความดังกล่าวได้ จึงสรุปได้ว่าข้อความ ดังกล่าวไมเ่ ป็นประพจน์

นิยามของประพจน์ จากประพจน์ท่ีเป็นข้อความ ซึ่งมีสถานะหรือค่าความจริงอยู่สองสถานะ คือ จริง หรือ เท็จ เมื่อการวิเคราะห์หาค่า ความจริงของประพจน์ที่มีหลายๆ ประพจน์ผสมกันในลักษณะต่างๆ จะเร่ิมซับซ้อนขึ้น ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์ จะแทน ประพจน์ซ่ึงเป็นข้อความต่างๆ นั้น ด้วยตัวแปรและค่าของตัวแปรก็จะมีค่าสองสถานะ คือ จริง หรือ เท็จ ซึ่งมีลักษณะ เหมือนกับเลขฐานสองที่มีสองสัญลักษณ์ และทาให้การคานวณทางตรรกศาสตร์สามารถกระทาได้โดยคอมพิวเตอร์ ซ่ึงใช้ เลขฐานสองในการคานวณ ตวั แปรทใี่ ชแ้ ทนขอ้ ความที่เป็นประพจน์ อาจใช้ตัวแปรใดก็ได้ แต่โดยส่วนใหญ่ หนังสือคณิตศาสตร์มักจะใช้สัญลักษณ์ p, q, r และต่อๆ ไปเร่ือยๆ ดังเช่น ถ้าเราให้ p = “เงินฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่าหน่ึงหมื่นบาท” q = “ผู้ฝากจะได้ดอกเบ้ีย ร้อยละสามต่อปี” เขียนเง่ือนไขได้เป็น ถ้า p แล้ว q และค่าความจริงของประพจน์ จะแทนด้วย T เมื่อประพจน์มีค่าความ จรงิ เป็นจริง (มาจาก True) และใช้ F เมอื่ ประพจนม์ คี า่ ความจริงเป็นเทจ็ (มาจาก False)

ประพจน์ผสม ถ้า “นักเรียนได้เกรดไม่ต่ากว่า 3.5” และ “นักเรียนเป็นเด็กดี” แล้วโรงเรียนจะมอบเกียรติบัตรจากข้อความดังกล่าว หน่อยจะไดร้ บั เกียรตบิ ตั ร กต็ อ่ เมือ่ เง่ือนไขทง้ั สองอยา่ งเปน็ จรงิ ซึ่งจะเหน็ วา่ การตัดสินใจของโรงเรยี น ในการมอบเกยี รติบตั ร นั้น ค่าความจริงของประพจนท์ ้ังสองต้องเป็นจรงิ ทง้ั คู่ พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ ถ้า “สญั ญาณไฟเขยี ว” หรอื “ฝั่งตรงขา้ มไม่มีรถ” แลว้ ใหก้ ลบั รถได้ดงั นน้ั เราสามารถกลับรถ ได้ ถา้ คา่ ความจริง ของประพจนใ์ ดประพจนห์ น่ึง จากสองประพจน์ดงั กลา่ วเปน็ จรงิ จากเงือ่ นไขดงั กลา่ วขา้ งต้นในหลายๆ คร้ัง การตัดสนิ ใจอย่างใดอย่างหน่ึง อาจต้องขึ้นอยู่กับสาเหตุหลายๆ ปัจจัย หรือ ในรูปของประพจน์ คือ มีหลายประพจน์เป็นองค์ประกอบ ซึ่งจะเรียกว่า ประพจน์ผสม (Compound) ซ่ึงประพจน์หลายๆ ประพจน์อาจเชอื่ มต่อกันดว้ ยเงอ่ื นไข “และ” และเงื่อนไข “หรือ” ดังตัวอย่างข้างต้น ซ่ึงค่าความจริงของประพจน์ผสมก็จะ ขึน้ กับคา่ ความจริงของประพจนย์ อ่ ยแต่ละตัวและคาเช่ือม

ประพจน์ผสม ประพจนผ์ สมทเ่ี ชื่อมดว้ ย “และ” (AND) ถ้าประพจน์สองประพจน์เช่ือมด้วยเง่ือนไข “และ” ค่าความจริงของประพจน์ผสมจะเป็นจริงเม่ือประพจน์ทั้งสองเป็น จริง ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี ตัวอยา่ ง ให้หาคา่ ความจรงิ ของประพจนผ์ สมต่อไปนี้ 1. ประเทศไทยอยใู่ นทวีปเอเชยี และ เดอื นมกราคมมี 31 วัน คา่ ความจริงของประพจน์ทัง้ สองเป็นจรงิ ดงั นั้นค่าความจริงของประพจนผ์ สมทเ่ี ชื่อมดว้ ย “และ” ในข้อนจี้ ึงเปน็ จริง 2. ประเทศไทยอยใู่ นทวีปเอเชีย และ เดือนมกราคมมี 30 วัน ค่าความจริงของ ประพจน์แรกเป็นจริง แต่ ค่าความจริงของประพจน์ที่สองเป็นเท็จ (เพราะเดือนมกราคมมี 31 วัน) ดงั นน้ั ประพจนผ์ สมที่เชอื่ มด้วย “และ” ในข้อนจ้ี ึงเป็นเท็จ 3. ประเทศไทยอยูใ่ นทวปี ยโุ รป และ เดอื นมกราคมมี 31 วนั ค่าความจริงของประพจน์แรกเป็นเท็จ ส่วนค่าความจริงของประพจน์ที่สองเป็นจริง ดังน้ันประพจน์ผสมท่ีเช่ือมด้วย “และ” ในข้อนีจ้ งึ เปน็ เท็จ 4. ประเทศไทยอยูใ่ นทวปี ยุโรป และ เดือนมกราคมมี 30 วัน คา่ ความจริงของทง้ั สองประพจน์ เปน็ เท็จ ดังนัน้ ประพจน์ผสมท่เี ชอื่ มดว้ ย “และ” ในข้อน้ีจึงมีค่าความจริงเป็นเทจ็

ประพจน์ผสม ถ้าให้ p แทนประพจน์แรก และ q แทนประพจน์ที่สอง ซ่ึงเชื่อมด้วย “และ” โดยใช้สัญลักษณ์ • แทน (คล้ายกับ เคร่อื งหมายคณู ) ซ่ึงเขียนได้เป็น p • q (อา่ นวา่ พแี ละคิว) เราสามารถเขียนคา่ ความจริงของประพจนผ์ สมของทั้งสองจากท้ัง สก่ี รณีข้างตน้ ได้ดังตารางต่อไปน้ี ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “และ”

ประพจน์ผสม ประพจนผ์ สมท่เี ชือ่ มดว้ ย “หรอื ” (OR) ประพจน์ผสมสองประพจน์ท่ีมตี ัวเช่ือม “หรอื ” จะมคี ่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองเป็นเท็จ และจะมีคา่ ความจริงเป็นจริง ในกรณีอืน่ ๆ ทเี่ หลอื พิจารณาตัวอย่างต่อไปน้ี ตวั อยา่ ง ใหห้ าคา่ ความจรงิ ของประพจนผ์ สมต่อไปนี้ 1. รถยนต์มีส่ีล้อ หรอื รถจักรยานมีสองล้อ ประพจนท์ ง้ั สองเปน็ จรงิ ดงั นน้ั ประพจน์ผสมจึงเปน็ จริง 2. รถยนต์มีสลี่ อ้ หรือ รถจักรยานมสี ล่ี อ้ ประพจน์แรกเป็นจริง ส่วนประพจน์ที่สองเป็นเท็จ แต่เม่ือผสมกันด้วยตัวเช่ือม“หรือ” ทาให้ประพจน์ผสมมีค่าความ จรงิ เป็น จริง 3. รถยนต์มีสองล้อ หรือ รถจักรยานมีสองล้อประพจน์แรกเป็นเท็จ ส่วนประพจน์ที่สองเป็นจริง เมื่อผสมกัน ด้วย ตวั เช่ือม “หรอื ” ทาใหป้ ระพจนผ์ สมมีคา่ ความจรงิ เป็น จริง 4. รถยนต์มสี องล้อ หรอื รถจกั รยานมีส่ีล้อ ประพจนท์ ัง้ สองเปน็ เท็จ เมือ่ ผสมกัน ดว้ ยตัวเช่อื ม “หรือ” ทาใหป้ ระพจน์ผสมมคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ

ประพจนผ์ สม ถ้าให้ประพจน์แรก แทนด้วย p และประพจน์ที่สองแทนด้วย q และประพจน์ผสมที่เช่ือมด้วย “หรือ” แทนด้วย + หรอื เขยี นได้เป็น p + q ซึง่ เหมอื นกับเคร่ืองหมายการบวกแต่มิใช่การบวก เราสามารถสรุปตารางค่าความจริงของประพจน์ ผสมทงั้ สีก่ รณีนไี้ ด้ ดงั ตารางข้างลา่ ง ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “ หรอื ”

ประพจน์ผสม นเิ สธของประพจน์ (Negation หรอื NOT) นิเสธของประพจนค์ ือประพจนท์ ี่มคี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์ตงั้ ตน้ พจิ ารณาตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี ตวั อยา่ ง ใหห้ าค่าความจริงของประพจนต์ ่อไปนี้ 1. กรงุ เทพ เปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย มีคา่ ความจรงิ เป็น จริง 2. กรุงเทพ ไม่เปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย มคี า่ ความจริงเป็น เทจ็ 3. เชียงใหม่ อยู่ในภาคใต้ มีคา่ ความจริงเป็น เท็จ 4. เชียงใหม่ ไมอ่ ยู่ในภาคใต้ มีคา่ ความจรงิ เป็น จรงิ

ประพจนผ์ สม ถ้าเราให้ p แทนประพจน์ต้ังต้น และนิเสธประพจน์ของ p แทนด้วย p เราสามารถสรุปค่าความจริงได้ดังตาราง ขา้ งลา่ ง แสดงคา่ ความจรงิ ของนิเสธประพจน์ จากประพจนผ์ สม ซงึ่ ประกอบไปด้วยตัวเชอื่ ม “และ” “หรอื ” รวมทง้ั นเิ สธประพจน์ประพจน์ผสม อาจมีหลายรูปแบบ กว่านี้ โดยอาจมีการผสมกันระหว่าง ตัวเช่ือมดังกล่าวที่ผ่านมาหรือรวมท้ังประพจน์ผสมท่ีเกิดจากหลายประพจน์มากกว่า สองประพจน์ ซ่ึงวิธีการหาค่าความจริงก็สามารถประยุกต์ใช้ตารางค่าความจริงจากการเชื่อมประพจน์ ด้วย และ หรือ รวมทั้งประพจน์ตรงขา้ ม ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ประพจนผ์ สม ตัวอย่าง กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ ให้หาตารางค่าความจริง ของ p • q วิธีทา ทาทีละขัน้ ตอน โดยอาจให้ p • q ก่อน แลว้ ค่อยหา p • q ดังตารางขา้ งลา่ ง จากตาราง ค่าความจรงิ ของ p • q กค็ ือ คา่ ความจริงท่ตี รงขา้ มกบั p • q ซ่งึ เรยี กว่า NAND (NOT AND)

ประพจน์ผสม ตวั อย่าง ให้หาตารางคา่ ความจริงของ (p + q) • p • q วิธที า ใช้หลกั การเดยี วกันกับตัวอย่างท่ีผ่านมา โดยการทาทีละขั้น ซ่ึงเร่ิมจากการหาค่าความจริงของ p+q และ p • q แล้ว นาผลค่าความจรงิ จากทง้ั สองมาเชือ่ มกันด้วย • ดงั ตารางตอ่ ไปน้ี

ประพจน์ผสมแบบสัจนิรันดร์และแบบขดั แย้ง สัจนิรันดร์ ความหมายของคาว่า สัจนิรันดร์ คือ เป็นจริงเสมอ นั่นคือประพจน์ผสมบางรูปแบบให้ค่าตารางความจริงเป็นจริงทุกๆ กรณี ไมว่ า่ ประพจน์ต้ังตน้ จะมีค่าความจรงิ เปน็ จริงหรอื เท็จกต็ าม พิจารณาตัวอยา่ งต่อไปนี้ ตวั อยา่ ง ใหห้ าค่าความจรงิ ของ p + p วิธที า จากตาราง จะเหน็ ว่าผลของประพจน์ผสม จะมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ เราจงึ เรียกวา่ p + p เปน็ สจั นริ นั ดร์

ประพจนผ์ สมแบบสจั นิรันดร์และแบบขัดแย้ง ประพจน์ขัดแยง้ ความหมายของประพจน์ขัดแย้ง คือ ประพจน์ผสมที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี ซึ่งจะตรงข้ามกับประพจน์ สจั นิรนั ดร์ เช่น ตวั อยา่ ง ให้หาค่าความจรงิ ของ (p + q) • (p + q) วิธที า ผลทไี่ ด้ คา่ ความจรงิ ของ (p + q) • (p + q) เปน็ เทจ็ ทุกกรณี ดังน้ัน ประพจน์ผสม (p + q) • (p + q) จึงเป็นประพจน์ ท่ขี ดั แยง้ กัน

ประพจน์สมมูล การเขียนประพจน์หรือข้อความสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ แต่ยังคงมีความหมายเดียวกัน พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี “หก มีค่ามากกว่า สอง” และ “สอง มีค่าน้อยกว่า หก” ทั้งสองข้อความดังกล่าวมีความหมาย เหมอื นกนั อาจเรียกวา่ ทั้งสองข้อความเปน็ ข้อความสมมูล พิจารณาประพจน์ สองประพจน์ตอ่ ไปนี้ “นกมีสองขา และ แมวมีส่ีขา” กับ “แมวมีส่ีขา และ นกมีสองขา’ ประพจน์ท้ังสองข้างต้นดังกล่าว มคี วามหมายเหมอื นกัน ซ่ึงเรยี กได้ว่าเป็นประพจน์สมมูล และเมื่อพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ท้ัง สอง ค่าความจริงจะต้องเหมือนกัน เช่น ถ้าให้ p แทน นกมีสองขา q แทนแมวมีส่ีขา จากข้อความ ประพจน์ข้างต้น เราเขียนในเชิงสัญลักษณ์ ได้เป็น p • q และ q • p และเม่ือสรา้ งเป็นตารางค่าความ จรงิ จะไดด้ ังตารางดังนี้

ประพจน์สมมูล ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของประพจนส์ มมูล p•q กบั q•p ซึ่งจะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองมีค่าเหมือนกันทุกกรณี และใช้สัญลักษณ์ ≡ แทนสมมูล ดังเช่นจาก ตวั อยา่ งขา้ งต้น เขยี นได้เป็น p•q ≡ q•p จงึ สรุปเป็นนยิ ามไดด้ ังนี้ ประพจน์สมมลู คอื ประพจนท์ ่ีมตี ารางคา่ ความจริงเหมือนกนั ทกุ กรณี

ประพจนส์ มมลู ตวั อย่าง จงแสดงใหเ้ ห็นวา่ (p • q) และ p + q เป็ นประพจนส์ มมูล วธิ ที า สามารถแสดงไดโ้ ดยการเปรยี บเทยี บตารางคา่ ความจรงิ ดงั นี้ จากตาราง จะเห็นว่า ค่าความจริงของ p • q เหมือนกับค่าความจริงของ p + q ในทุกกรณีดังน้ันสรุปได้ว่า (p • q) ≡p+q

ประพจน์ผสมแบบเงื่อนไข ประพจน์ผสมทเ่ี ชื่อมดว้ ย ถ้า … แล้ว … (if … then …) การเชอื่ มประพจน์ดว้ ย “ถ้า p แล้ว q ” ดงั ตวั อย่างที่ผ่านมาในแนวคิด คือ “ถ้าเงินฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่าหน่ึงหม่ืน บาท แล้ว ผฝู้ ากจะไดด้ อกเบี้ยร้อยละสามต่อปี” p แทน เงนิ ฝากในบัญชีมีไม่น้อยกว่าหนง่ึ หม่นื บาท และ q แทน ผฝู้ ากจะได้ ดอกเบ้ยี ร้อยละสามตอ่ ปี และ ใช้สัญลักษณ์ p→q มีความหมายวา่ ถา้ p เปน็ จรงิ q จะเปน็ จรงิ ในการหาค่าความจริงของการเชื่อมประพจน์นี้ ใหพ้ จิ ารณาเหตกุ ารตอ่ ไปนี้ โดยใช้เง่ือนไขข้างต้น ดังน้ี 1. ถ้าน้องรถเมล์ มีเงินฝากในบัญชีสองหมื่นบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสามต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูด จรงิ หรือไม่ คาตอบคือ จรงิ นัน่ คือ เขียนได้เป็น p = T, q = T, p → q = T 2. ถ้าน้องรถเมล์ มีเงินฝากในบัญชีสองหม่ืนบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสองต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูด จรงิ หรือไม่ คาตอบคอื เท็จ นนั่ คือ เขียนได้เปน็ p = T, q = F, p → q = F

ประพจน์ผสมแบบเงื่อนไข 3. ถา้ น้องรถเมล์ มีเงินฝากในบัญชีห้าพันบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสามต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูดจริง หรอื ไม่ คาตอบคอื จริง (ถูกต้องแล้ว เพราะถึงเงินฝากจะไม่ถึงหนึ่งหมื่นบาท ธนาคารก็ไม่ได้บอกว่าจะไม่ให้ดอกเบี้ยร้อยละ สาม ดงั นน้ั ธนาคารจึงพูดจริง) นัน่ คือ เขียนได้เปน็ p = F, q = T, p → q = T 4. ถ้าน้องรถเมล์ มีเงินฝากห้าพันบาท แล้วธนาคารให้ดอกเบี้ยร้อยละสองต่อปี นักเรียนคิดว่า ธนาคารพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ จริง (เพราะน้องรถเมล์มีเงินฝากไม่ถึงหนึ่งหม่ืนบาท ดังนั้นธนาคารมีสิทธิท่ีจะให้ดอกเบี้ยเท่าไหร่ก็ได้) น่ันคือ เขียนไดเ้ ปน็ p = F, q = F, p → q = T ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “ ถา้ แลว้ ”

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ตวั อยา่ ง จงแสดงว่า ประพจน์ผสม “ถา้ p แลว้ q” (p → q) เปน็ ประพจนส์ มมูลกบั “ไมใ่ ช่ p หรือ q” (p + q) วธิ ีทา ใช้วธิ ีการสรา้ งตารางคา่ ความจริง เพ่อื เปรยี บเทยี บคา่ ความจรงิ ของท้ังประพจนผ์ สมทงั้ สองดังนี้ จากตารางค่าความจริง จะเห็นว่า p → q กับ p + q มีค่าความจริงเหมือนกันในทุกกรณีดังนั้น ท้ังสองจึงเป็น ประพจน์สมมลู

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ประพจน์ผสมทเ่ี ชื่อมดว้ ย “ก็ตอ่ เมอ่ื ” (if and only if) อีกกรณีหนึ่งคือ การเชื่อมประพจน์ด้วย “p ก็ต่อเม่ือ q” ซ่ึงจะมีความหมายคือ ค่าความจริงของทั้งสองประพจน์ จะต้องเหมือนกัน นั่นคือ ถ้าประพจน์ p เป็นจริง แล้วประพจน์ q จะต้องเป็นจริงและถ้าประพจน์ p เป็นเท็จ ประพจน์ q จะตอ้ งเปน็ เทจ็ ดว้ ย ถึงจะทาใหค้ ่าความเป็นจริงของ “p ก็ตอ่ เมอ่ื q” เปน็ จริง พจิ ารณาตวั อย่างเหตกุ ารณ์ต่อไปนี้ “คุณพ่อซ้ือจักรยานให้โจ้ ก็ต่อเม่ือโจ้เรียนได้เกรดเฉล่ียอย่างน้อย 3.8” เปรียบเทียบกับข้อความ “ถ้าโจ้เรียนได้เกรด เฉลีย่ อยา่ งนอ้ ย 3.8 เทา่ น้ัน แลว้ พ่อซ้ือจักรยานให้” ใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาความเป็นไปได้ต่อไปน้ี โดยให้ประพจน์ p แทน “คุณพ่อซื้อจักรยานให้โจ้” และ q แทน “โจ้เรียน ได้เกรดเฉล่ียอยา่ งนอ้ ย 3.8” เราใช้สญั ลักษณ์ p↔q (p equivalents to q) แทน “p ก็ต่อเมอื่ q” 1. โจ้ เรียนได้เกรดเฉลี่ย 3.9 แล้วคุณพ่อซื้อจักรยานให้โจ้ นักเรียนคิดว่าคุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ จริง นั่นคือ เราเขยี นคา่ ความจรงิ ไดเ้ ปน็ p = T, q = T, p ↔ q = T 2. โจ้เรียนได้เกรดเฉล่ีย 3.9 แต่คุณพ่อไม่ซ้ือจักรยานให้โจ้ นักเรียนคิดว่าคุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ เท็จ ดังน้ัน เราเขียนคา่ ความจรงิ ไดเ้ ป็น p = F, q = T, p ↔ q = F

ประพจน์ผสมแบบเงือ่ นไข 3. โจ้เรียนได้เกรดเฉลี่ย 3.7 แต่คุณพ่อซื้อจักรยานให้ นักเรียนคิดว่า คุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ เท็จ (ใช่แล้ว เพราะคณุ พอ่ จะซ้อื จกั รยานใหก้ ็ตอ่ เม่ือโจ้ได้เกรดเฉลย่ี อย่างน้อย 3.8 เทา่ น้นั เมือ่ โจ้เกรดต่าไปแต่คุณพ่อยังซ้ือให้จึงเป็นเท็จ) ดังนน้ั เราเขยี นคา่ ความจริงไดเ้ ป็น p = T, q = F, p ↔ q = F 4. โจ้เรียนได้เกรดเฉล่ีย 3.7 และ คุณพ่อไม่ซ้ือจักรยานให้โจ้ นักเรียนคิดว่า คุณพ่อพูดจริงหรือไม่ คาตอบคือ จริง น่ัน คือ p = F, q = F, p ↔ q = T ตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ “ก็ตอ่ เมอื่ ”

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ตัวอย่าง จงแสดงวา่ p ↔ q ≡ (p→q)•(q→p) วิธที า ใช้วธิ ีสรา้ งตารางค่าความจรงิ แล้วเปรียบเทยี บค่าความจรงิ ของประพจนผ์ สมท้งั สอง ดงั น้ี จากตาราง จะเห็นได้ว่า ประพจน์ผสมท้ังสอง มีค่าความจริงเหมือนกันในทุกกรณี ดังน้ันจึงสรุปได้ว่า p ↔ q ≡ (p→q)•(q→p)

ประพจนผ์ สมแบบเงื่อนไข ในการเช่ือมประพจน์แบบเง่ือนไขนี้ เป็นพื้นฐานที่สาคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ ในทาง คณิตศาสตร์ โดยการเชื่อมประพจน์ด้วย “ถ้า… แล้ว…” จะเรยี กเง่ือนไข (ประพจน์แรกหลังคาว่า ถ้า) ว่าเป็นเง่ือนไขเพียงพอ (sufficient) ที่จะทาให้ผลลัพธ์ (ประพจน์ที่อยู่หลังคาว่าแล้ว) เป็นจริง เช่น พิจารณาประพจน์ “ถ้า x = 2 แล้ว x = 2 ” ถ้าประพจน์แรก คือ x = 2 เป็นจริงก็เป็นเงื่อนไขที่ เพียงพอ ท่ีทาให้ ประพจน์ x = 2 เป็นจริง แต่ก็ไม่ใช่ว่า เป็นเง่ือนไขท่ีจาเป็นหรือ เป็นเง่ือนไขเพียง อย่างเดียวท่ที าให้ ประพจน์ผลลพั ธเ์ ปน็ จรงิ ได้ เช่น ถ้า x = -2 ก็ทาใหป้ ระพจน์ x = 2 ไดเ้ ชน่ กัน ส่วนในกรณีที่เช่ือมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” ประพจน์ทั้งสองจะต้องมีค่าความจริงเหมือนกัน ดังน้ัน ประพจน์ท้ังสองสามารถจะสลับท่ีกันได้ และเราจะเรียกประพจน์หลัง “ก็ต่อเมื่อ” ว่าเป็นเง่ือนไขที่ เพียงพอและจาเป็น (sufficient and necessary conditions) ท่ีทาใหป้ ระพจน์ท่ีสองเป็นจริงพิจารณา ตัวอย่าง “x-1=1 ก็ต่อเม่ือ x=2” หรือ เขียนได้อีกอย่างเป็น “ถ้าเพียงแต่ x=2 แล้ว x-1=1” จะเห็นได้ ว่าประพจน์ x=2 เป็นเง่ือนไขที่เพียงพอที่ทาใหป้ ระพจน์ x-1=1 และยังเป็นเง่ือนไขจาเป็นด้วย (หรือ เง่ือนไขเดียวเท่าน้ัน) เพราะไม่มีค่า x ค่าอ่ืนอีกแล้วที่ทาให้ประพจน์ x-1=1 เป็นจริงได้ ซึ่งจะแตกต่าง จากกรณที ่แี ลว้