คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 9 หลักการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์

หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ ๙ หลักการคานวณ ด้วยคอมพิวเตอร์

หลักการลบเลขของคอมพิวเตอร์ การออกแบบวงจรตรรกะสาหรับลบเลขฐานสอง สามารถทาได้โดยใช้หลักการเดียวกันกับการบวกเลขดังที่ได้เรียนไป แล้วในหน่วยการเรียนที่ผ่านมา คือ หาตารางค่าความจริง แล้วนาไปสร้างเป็นวงจรตรรกะ แต่โดยทั่วไปแล้ว ในเครื่อง คอมพิวเตอร์ มกั จะไมใ่ ชว้ ธิ นี ใ้ี นการลบเลข แต่จะใช้หลกั การบวกแทน เพราะมีวงจรบวกอยูแ่ ล้ว โดยไมจ่ าเป็นต้องสร้างวงจร ลบเพมิ่ แต่ต้อง มกี ารดดั แปลงขอ้ มลู หรือคา่ ของตวั ลบก่อน หลักการดังกล่าว อาจแสดงได้ง่ายๆ คือ จะเปลี่ยนจากการลบไปเป็นการบวกด้วยจานวน ที่เป็นค่าลบ ซึ่งอาจจะเขียน เป็นสมการไดด้ งั นี้ a - b = a + (-b) ซึ่งจะเห็นว่า สามารถใช้วงจรบวกได้เช่นเดิม แต่ต้องมีการเปลี่ยนค่าของตัวลบ b ไปเป็น -b ก่อน ซึ่งจะมีหลักการ ดงั ต่อไปน้ี

หลักการลบเลขของคอมพิวเตอร์ ตัวเลขสว่ นเตมิ เต็ม (Complement) พจิ ารณาการลบเลขฐานสิบต่อไปน้ี 7 - 4 = 7 - 4 + 10 - 10 = 7 + (10 - 4) -10 = (7 + 6) - 10 = 13 – 10 = 3 ประเด็นที่สาคัญของสมการข้างต้นก็คือว่า จาก 7 - 4 = 3 ถ้าเปล่ียนเป็นการบวก 7 + 6 = 13 จะเห็นว่าค่าที่ได้จะ มากกวา่ 3 อยู่ 10 นนั่ คอื ถ้าลบดว้ ย 10 ก็จะได้คาตอบเหมือนกบั วิธกี ารลบธรรมดา ซง่ึ การลบออกด้วย 10 น้ี ไม่จาเป็นต้อง คานวณเลย เพราะแค่ตัด 1 ออกจากหลกั บน ของ 13 นั่นเอง พิจารณาคา่ ต่อไปนี้ 8 - 6 = 2 กับ 8 + 4 = 12 6 - 3 = 3 กับ 6 + 7 = 13 9 - 5 = 4 กบั 9 + 5 = 14 ซง่ึ จะเห็นว่า ถ้าตัด 1 ออกจากหลกั บนของผลบวกในสมการทางขวามือ จะได้ค่าของผลลบ ของสมการทางซา้ ยมือ

หลักการลบเลขของคอมพิวเตอร์ หลักการนจ้ี งึ สามารถนาไปใช้ในการลบเลขโดยเปล่ียนเป็นการบวกได้ โดยตัวที่นาไปบวกแทนตัวลบ จะมีค่ารวมกับตัว ลบแล้วเป็นสิบพอดี เช่นจากข้างต้น 6 กับ 4, 3 กับ 7 และ 5 กับ 5 จะเรียกตัวเลขนั้นว่า ส่วนเติมเต็มสิบ (10’s complement) (คือเติมค่าให้เต็มสิบจากค่าเดิม หรือ บวกกับค่าเดิมแล้วได้สิบ) เช่น 4 เป็นส่วนเติมเต็มสิบของ 6 หรือ 7 เปน็ ส่วนเติมเต็มสิบของ 3 และ 5 เป็นส่วนเติมเต็มสิบของ 5 ซ่ึงค่าของส่วนเติมเต็มสิบนี้หาได้ง่ายคือ สิบลบด้วยค่าของเลข น้ันๆ ดงั น้ันสามารถสรปุ ข้นั ตอนการลบเลขโดยใช้การบวกแทนไดด้ ังนี้ 1. เปลี่ยนตัวลบให้เป็นสว่ นเตมิ เตม็ สบิ ของตัวลบ 2. นาสว่ นเติมเต็มสิบไปบวกกับตัวตง้ั 3. ตดั ตวั เลข 1 ในหลักสงู สุดทงิ้ หมายเหตุ การลบด้วยวิธีน้ี ตัวต้ังจะต้องมากกว่าตัวลบ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็นค่าบวก ในกรณีที่ตัวตั้งน้อยกว่า ตัวลบ และผลลพั ธ์มคี า่ เป็นลบ จะตอ้ งมีวิธีการแทนตวั เลขทเ่ี ปน็ ค่าลบ ซึ่งจะกล่าวถึงในหนว่ ยต่อไป

หลักการลบเลขของคอมพิวเตอร์ ตัวอย่าง ให้หาค่าของผลลัพธ์ 9 - 2 โดยวธิ กี ารบวก วธิ ที า เริ่มจากการเปลี่ยนตัวลบ คือ 2 ให้เป็นส่วนเติมเต็มสิบ ซึ่งก็คือ 8 แล้วนาไปบวกกับตัวตั้งซึ่งจะได้ค่าเป็น 9 + 8 = 17 และเม่ือตัด 1 ในหลักบนสดุ ท้งิ จะได้ผลลัพธค์ อื 7 น่ันเอง ในกรณีที่จานวนหลกั ของตวั เลขมากขนึ้ เช่น 45 - 12 กย็ ังคงใช้หลกั การเดยี วกบั ข้างต้นได้ โดยการเปลี่ยนค่าของตัวลบ คือ 12 ไปเป็นส่วนเติมเต็มสิบสองหลัก (บวกกันแล้วได้ 100 แต่จะไม่เรียกว่าเป็นส่วนเติมเต็มร้อย) นั่นก็คือ 88 แล้วนาไป บวกกับตวั ตัง้ ซงึ่ จะได้คา่ เป็น 45 + 88 = 133 และเมื่อตัดค่า 1 ของหลักบนสุดออก ก็จะเหลือ 33 ซึ่งเป็นคาตอบของ 45 - 12 น่ันเอง

หลกั การลบเลขของคอมพิวเตอร์ ส่วนเติมเตม็ สอง จากหลกั การลบเลขโดยการบวกดว้ ยส่วนเติมเต็มของตัวลบดังทกี่ ล่าวมา เม่อื นามาประยกุ ต์ใชก้ บั เลขฐานสอง เพอื่ ใช้ใน คอมพิวเตอร์ จงึ ต้องหาสว่ นเตมิ เตม็ ของเลขฐานสอง ซง่ึ หาได้ดังนี้ จากหลักการของส่วนเติมเตม็ ในเลขฐานสิบ ไดร้ วู้ า่ สว่ นเติมเต็มสิบ กค็ อื ตัวเลขท่ีบวกกับค่าเดิมแล้วได้เท่ากับสิบ ดังนั้น ในการหาสว่ นเตมิ เตม็ ในเลขฐานสอง ซงึ่ จะเรียกวา่ ส่วนเติมเต็มสอง น่ันก็หาไดจ้ ากตวั เลขทีน่ าไปบวกกบั ค่าเดิมแล้วได้เท่ากับ สอง หรือ 102 ในระบบเลขฐานสอง เชน่ - สว่ นเติมเต็มสองของ 02 คือ 102 เพราะ 02 + 102 = 102 - สว่ นเตมิ เต็มสองของ 12 คือ 12 เพราะ 12 + 12 = 102 ในกรณีที่หลักของตัวเลขเพ่ิมขึ้น ผลบวกของส่วนเติมเต็มสองกับค่าเดิมก็จะมีหลักเพ่ิมขึ้นตาม นั่นคือได้ 100 สาหรับ ตวั เลขสองหลกั หรอื ถา้ เปน็ ตัวเลขสามหลกั ก็ตอ้ งบวกกันแล้วได้ 1000 และต่อไปเรือ่ ยๆ

หลักการลบเลขของคอมพิวเตอร์ ตวั อยา่ ง ให้หาส่วนเติมเต็มสองของเลขฐานสองตอ่ ไปนี้ 112 , 102, 1102, 1012, 0102, 10112 วธิ ีทา - สว่ นเตมิ เต็มสองของ 112 คอื 012 เพราะ 112 + 012 = 1002 - ส่วนเติมเตม็ สองของ 102 คอื 102 เพราะ 102 + 102 = 1002 - ส่วนเติมเตม็ สองของ 1102 คอื 0102 เพราะ 1102 + 0102 = 10002 - สว่ นเติมเตม็ สองของ 1012 คือ 0112 เพราะ 1012 + 0112 = 10002 - สว่ นเติมเตม็ สองของ 10112 คอื 01012 เพราะ 10112 + 01012 = 100002 ในทางปฏิบัติ การหาส่วนเตมิ เตม็ สอง น้ันสามารถทาไดต้ ามขน้ั ตอนดังน้ี 1. กลับคา่ ของตวั เลขในแตล่ ะหลกั จาก 1 เป็น 0 หรือจาก 0 เป็น 1 บางครั้งในขั้นตอนน้ี เรียกค่าท่ีได้ว่าเป็น ส่วนเติม เต็มหนงึ่ (1’s complement) 2. นาคา่ ที่ไดจ้ ากขน้ั ตอนท่ี 1 บวกด้วย 1

หลกั การลบเลขของคอมพิวเตอร์ การลบเลขฐานสองดว้ ยวธิ ีบวกส่วนเติมเต็ม เม่อื รู้จกั กับสว่ นเติมเต็มสองแล้ว จะนามาใชใ้ นการคานวณหาผลลบ โดยมขี น้ั ตอนดงั นี้ 1. หาสว่ นเติมเตม็ สองของตวั ลบ 2. นาเอาตวั ตงั้ บวกด้วยสว่ นเตมิ เตม็ สอง 3. ตัดตวั เลข 1 ที่อยู่หลักบนสดุ ทง้ิ ตัวอยา่ ง ให้หาผลลพั ธข์ อง 11012 - 10002 ด้วยวธิ ีบวกส่วนเติมเตม็ สอง วธิ ีทา วธิ บี วกดว้ ยสว่ นเตมิ เตม็ หาไดจ้ ากขัน้ ตอนดงั นี้ 1 หาสว่ นเตมิ เต็มสองของตวั ลบ หรือ 10002 จะได้ 01112 + 12 = 10002 2. บวกตัวต้งั คือ 11012 ด้วยส่วนเติมเต็มสองหรือ 10002 จะได้ 11012 + 10002 = 101012 3. ตดั 1 ในหลักบนสดุ ทิ้ง จะได้ 01012 หรอื 1012 นัน่ เอง ดังนนั้ สรปุ ว่า 11012 - 10002 = 1012

การประมาณค่าตวั เลข การคานวณของเคร่ืองคอมพิวเตอร์จะใช้การประมาณค่าของตัวเลขที่มีความละเอียดสูงเน่ืองจากคอมพิวเตอร์มี ทรัพยากรจากัด ไม่ว่าจะเป็นการเก็บตัวเลขที่เข้ารหัสแบบต่างๆ ท่ีเก็บในหน่วยความจาท่ีมีขนาดจากัด หรือวงจรในการ คานวณทีม่ ีขนาดจากัด หรือจะเป็นการตดิ ต่อรบั ส่งข้อมลู ระหวา่ งวงจรการคานวณและสว่ นท่ีเกบ็ ข้อมลู กร็ ับสง่ ไดอ้ ยา่ งจากัด ตัวอย่างเช่น ถ้าผู้พัฒนาโปรแกรมต้องการประหยัดหน่วยความจาท่ีใช้เก็บข้อมูลของความสูงของเด็ก จึงเลือกใช้การ เก็บข้อมูลแบบจานวนเต็มบวก ซึ่งใช้จานวนบิตในการเก็บข้อมูลน้อยที่สุด แต่ความสูงของเด็กท่ีวัดในหน่วยเซนติเมตรจะไม่ เป็นคา่ จานวนเต็ม เช่น ถา้ ความสงู 120.2 เซนตเิ มตร การเก็บข้อมลู ดว้ ยจานวนเตม็ บวกก็ต้องยอมเสียความละเอียดโดยการ ประมาณคา่ ใหเ้ ปน็ จานวนเตม็ ซึง่ อาจจะเก็บค่า 120 แทน ทาให้เกิดความผิดพลาดไป 0.2 เซนติเมตร นอกจากนั้นถึงแม้จะ ใช้การเก็บตัวเลขแบบจานวนจริงที่เข้ารหัสแบบเลขวิทยาศาสตร์ฐานสองก็ตาม แต่ก็ไม่สามารถจะเก็บค่าตัวเลขที่เป็น จานวนอตรรกยะได้อย่างถูกต้องร้อยเปอร์เซ็น เน่ืองจากค่าตัวเลขเหล่าน้ันจะเป็นทศนิยมไม่รู้จบ ดังน้ันจึงมักจะใช้การ ประมาณค่าไม่เช่นน้ันการคานวณจะซับซ้อนจนเกินไป เช่น มักจะประมาณค่า π ≈ 3.1416 (ใช้สัญลักษณ์ ≈ แทนการ ประมาณ) ซงึ่ ค่าจรงิ ๆ ของ π จะเปน็ ทศนยิ มไมร่ จู้ บคอื 3.14159265358979 (จริงๆ แลว้ ยงั มีทศนยิ มตอ่ ไปเรื่อยๆ)

การประมาณค่าตัวเลข ตั ว อ ย่ า ง ใ ห้ เ ป รี ย บ เ ที ย บ พื้ น ที่ ว ง ก ล ม ท่ี มี รั ศ มี 0 . 5 เ ม ต ร โ ด ย ใ ช้ ค่ า π ≈ 3 . 1 4 1 6 กั บ π ≈ 3.14159265358979 วธิ ีทา จากสตู รการคานวณพื้นท่วี งกลม a = πr2 เมือ่ a เป็นพ้นื ท่ี และ r เปน็ รศั มี ในกรณีแรกเมอื่ π ≈ 3.1416 จะได้ a = 3.1416 x 0.52 = 0.7854 ตารางเมตร และในกรณีที่ π ≈ 3.14159265358979 จะได้ a = 3.14159265658979 x 0.52 = 0.785398163397448 ซ่ึงจะแตกต่างกันอยู่ 0.00000183660255170803 ตารางเมตร ซึ่งถือว่าน้อยมากๆ เมื่อเทียบกับ ขนาดของพ้ืนที่ วงกลมทีค่ านวณได้ จากตัวอย่างง่ายๆ ข้างต้น ทาให้เห็นว่า ในบางคร้ังไม่จาเป็นต้องคานวณโดยใช้ตัวเลข ที่ละเอียดมากๆ เพราะจะ เสยี เวลาและทรัพยากร ในขณะท่ีการประมาณค่าก็ไม่ได้ผดิ พลาดไปมากนัก ดังน้ันในโลกแห่งความเป็นจริง การคานวณทาง ตวั เลขเกอื บทกุ อย่างจะใช้หลกั การประมาณคา่ (ตวั อยา่ งในชีวิตประจาวัน แม่ค้าในตลาดมักจะประมาณราคาสินค้าจากการ ชงั่ นา้ หนกั อยา่ งหยาบๆ เพอ่ื ให้ตัวเลขลงตัวเปน็ บาทหรอื แม้กระทง่ั ห้าบาท ซ่ึงจะแตกต่างกับการใช้เครือ่ งช่ังอิเล็กทรอนิกส์ ท่ี คานวณราคาสินค้าท่ีละเอยี ดกวา่ ถงึ ระดับสตางค์ ตามรา้ นค้าใหญ่ๆ)

การประมาณค่าตัวเลข นยั สาคัญของตัวเลข ความละเอียดของตัวเลขสามารถระบไุ ดโ้ ดยจานวนหลักของนัยสาคัญ เชน่ ถ้ามีเครื่องช่ังน้าหนักสองชนิด ที่สามารถช่ัง น้าหนักได้สูงสุด 99 กิโลกรัม แต่เคร่ืองชั่งชนิด a สามารถชั่งน้าหนักได้ต่าสุดคือ 0.01 กิโลกรัม และเคร่ืองชั่งชนิด b สามารถช่ังน้าหนักได้ต่าสุดที่ 0.1 กิโลกรัม ถ้านาเอาส้มซ่ึงมีน้าหนักจริงๆ 15.4237 กิโลกรัมมาช่ังด้วยเครื่องช่ังทั้งสองชนิด ชนิด a จะแสดงน้าหนกั เปน็ 15.42 กโิ ลกรัม ส่วนชนดิ b จะแสดงนา้ หนักเป็น 15.4 กิโลกรมั จะเห็นว่าเครื่องชั่งชนิด a จะมี ความละเอียดของตัวเลขสูงกว่าชนิด b โดยเคร่ืองช่ังชนิด a จะมีนัยสาคัญของตัวเลข สี่หลัก ส่วนชนิด b จะมีนัยสาคัญแค่ สามหลัก (อาจไม่สาคัญมากในกรณีการชง่ั ส้ม แตถ่ ้าเปลยี่ นจากส้มเป็นทองคา นา้ หนักท่ผี ิดพลาดไปเล็กน้อยจะมมี ูลค่ามาก) พจิ ารณานา้ หนักในหนว่ ยออนซ์ คือ 1 ออนซ์ เท่ากับ 28 กรัม หรือ 0.028 กิโลกรัม ในการระบุค่าตัวเลขในหน่วยกรัม และกิโลกรมั ขา้ งตน้ ให้ความละเอียดที่เท่ากัน ดังน้ัน ตัวเลข สี่หลักของ 0.028 กิโลกรัม ก็ไม่ได้หมายความว่านัยสาคัญของ ตัวเลขจะเป็นส่ีหลัก เพราะ 0.0 ท่ีอยู่ข้างหน้าไม่ได้มีความสาคัญในการกาหนดความละเอียดไปกว่าการบอกว่า 28 กรัม ดงั นน้ั ในการพจิ ารณานยั สาคัญของตวั เลขมีหลักดังน้ี 1. ตัวเลขทไ่ี ม่ใชศ่ นู ยจ์ ะมีนยั สาคัญ 2. เลขศนู ยท์ ่ีอยรู่ ะหวา่ งตวั เลขอื่นๆ ทไ่ี ม่ใช่ศนู ยจ์ ะมีนัยสาคัญ 3. เลขศนู ย์ทุกๆ ตวั ท่ีอยู่หนา้ ตัวเลขอน่ื ๆ จะไมม่ นี ยั สาคัญ

การประมาณค่าตวั เลข ตัวอย่าง จากตัวเลขต่อไปนี้ให้ระบุจานวนหลักท่ีมีนัยสาคัญ และระบุด้วยว่าค่าใดมีนัยสาคัญสูงสุดและต่าสุด 2.32, 2982, 80.341, 1.002, 0.0017, 5.890 วธิ ที า 2.32 มีนัยสาคญั 3 หลกั และ 2982 มนี ยั สาคัญ 4 หลัก จากหลักข้อที่ 1 คา่ ท่มี นี ยั สาคญั สงู สุดคือค่าตัวเลขทางซ้ายมือ สุด คือ 2 และค่าที่มนี ัยสาคัญตา่ สดุ อยู่ทางขวามอื สุดคอื 2 80.341 มนี ัยสาคญั 5 หลกั จากหลกั ขอ้ ท่ี 2 โดยคา่ ท่ีมนี ยั สาคัญสงู สุดคือ 8 และคา่ ทีม่ ีนยั สาคัญต่าสุดคอื 1 1.002 มีนัยสาคัญ 4 หลัก จากหลกั ขอ้ ท่ี 2 โดยค่าท่ีมีนยั สาคญั สงู สดุ คอื 1 และคา่ ทม่ี ีนยั สาคญั ต่าสดุ คอื 2 0.0017 มีนัยสาคัญ 2 หลัก จากหลักข้อที่ 3 โดยค่าท่ีมีนัยสาคัญสูงสุดคือ 1 เพราะ 0 สามตัวแรกไม่มีนัยสาคัญ และ ค่าทีม่ นี ยั สาคัญต่าสุดคอื 7 5.890 มีนัยสาคัญ 4 หลัก เพราะ 0 ในหลักท้ายสุดไม่ได้อยู่หน้าตัวเลขอื่นๆ ซึ่งไม่เข้า หลักท่ี 3 และค่าที่มีนัยสาคัญ สงู สุดคอื 5 ส่วนคา่ ท่ีมีนัยสาคญั ต่าสุดคอื 0 เพ่ือให้เห็นความสาคัญของเลข 0 ที่อยู่หลักหลังสุดในตัวอย่างสุดท้ายข้างต้น ลองพิจารณาการช่ังน้าหนักทองคา ถ้า เครื่องช่ัง a แสดงผลเป็น 5.89 กรัม อาจเกิดข้อสงสัยว่าน้าหนักจริง คงไม่ใช่ 5.89 กรัม แต่อาจจะเป็น 5.894, 5.896, 5.899 หรืออ่นื ๆ แตถ่ ้าชงั่ ด้วยเครือ่ งชงั่ b ซง่ึ แสดงผลเป็น 5.890 ทาให้เห็นได้ชัดเจนว่าน้าหนักในหลักที่สามหลังจุดทศนิยม เปน็ 0 จริงๆ (ส่วนหลักต่อไปอาจไม่ใช่ก็ได้) ดังน้ันจึงทาให้เห็นความแตกต่างของนัยสาคัญระหว่าง 5.89 กับ 5.890 ซึ่งมอง อย่างผวิ เผนิ แล้วเปน็ ตวั เลขท่ีมคี า่ เทา่ กัน

การประมาณค่าตัวเลข การประมาณแบบใกล้เคียงที่สุด (Rounding) การประมาณค่าตัวเลขด้วยวิธีนี้เป็นวิธีที่ให้ค่าประมาณมีค่าใกล้เคียงกับค่าจริงๆ มากกว่าอีกวิธีที่จะกล่าวต่อไป พจิ ารณาความสูงของเด็ก 120.2 เซนตเิ มตร ถ้านกั เรยี นจะต้องเกบ็ คา่ เปน็ จานวนเตม็ จะเลือกค่าอะไรท่ีใกล้เคียงที่สุด ซ่ึงจะ เห็นได้ชัดเจนว่าจะต้องเป็นค่า 120 โดยปัด 0.2 ทิ้งไป แต่ถ้าความสูงเป็น 120.8 ควรจะเลือกจานวนเต็มอะไรที่ใกล้เคียง ทสี่ ุด ซึ่งกช็ ดั เจนวา่ จะต้องเป็น 121 แต่ถ้าเป็น 120.5 ควรเลือกจานวนเต็มค่าใด ระหว่าง 120 กับ 121 ซึ่งท้ังคู่ผิดพลาดไป จากคา่ จรงิ เทา่ กนั คือ 0.5 โดยทั่วไป จะมีหลักในการประมาณดังต่อไปนี้ จะเรียกตัวเลขที่เป็นหลักเร่ิมต้นที่ต้องการจะตัดท้ิงว่าเป็นหลักทดสอบ เชน่ ถา้ ตอ้ งการเกบ็ คา่ ตวั เลขโดยมนี ัยสาคัญแค่ 3 หลัก ของค่า 2.345678 จะมีหลักทดสอบคือหลักท่ี 4 นับจากทางซ้ายมือ นัน่ คอื ค่าตัวเลขในหลกั ทดสอบคือ 5 จะมีหลกั ในการประมาณดังตอ่ ไปน้ี 1. ปดั ทิ้ง ถ้าตัวเลขในหลักทดสอบมีค่าน้อยกว่า 5 จะตัดตัวเลขต้ังแต่หลักทดสอบ ลงไปทิ้ง น่ันคือ ค่าตัวเลขที่อยู่ก่อน หนา้ หลกั ทดสอบจะไม่เปล่ียนแปลง 2. ปัดขนึ้ โดยเพิ่มค่าตัวเลขก่อนหลักทดสอบขึ้นไปอีก 1 ถ้าตัวเลขในหลักทดสอบมีค่ามากกว่า 5 หรือเท่ากับ 5 โดยมี ตัวเลขในหลักถดั ไปไมเ่ ปน็ ศูนย์ 3. คปู่ ัดทิ้ง คป่ี ดั ขึน้ ถ้าตัวเลขในหลกั ทดสอบเท่ากับ 5 และตัวเลขในหลกั ถัดไปเป็น 0 จะใช้หลักปัดทิ้งถ้าตัวเลขในหลัก ก่อนหลักทดสอบเป็นเลขคู่ และใชห้ ลักปัดขน้ึ ถ้าตัวเลขในหลกั กอ่ นหลักทดสอบเป็นคี่

การประมาณคา่ ตัวเลข การประมาณโดยการปดั ทิ้ง (Truncate) การประมาณดว้ ยวิธขี ้างตน้ แมจ้ ะให้ค่าทีใ่ กล้เคียงกบั ตวั เลขจรงิ ๆ แต่ก็ต้องแลกด้วยความซับซอ้ น ดังนัน้ ในบางกรณีท่ไี ม่ ต้องการความถกู ตอ้ งของข้อมลู มากนัก เพ่ือลดความซับซ้อนในการคานวณ อาจประมาณตัวเลขได้โดยการปัดทิ้งเพียงอย่าง เดียว โดยไมต่ ้องตรวจสอบหลกั ทดสอบวา่ มากกว่าหรือน้อยกว่า 5 นั่นคือ ตัดตัวเลขที่ตามหลังตัวเลขท่ีมีนัยสาคัญท่ีต้องการ ทิง้ ไป ตัวอย่าง จงประมาณตัวเลขต่อไปน้ีให้มีนัยสาคัญสามตาแหน่ง โดยวิธีการปัดท้ิง 2.78431, 1.02130, 5.45671, 3.13714, 4.56512, 3.12501, 4.63501 วธิ ที า ปัดหลักท่ีสีล่ งไปนับจากซา้ ยมือทิง้ จะไดด้ งั ต่อไปน้ี 2.78, 1.02, 5.45, 3.13, 4.56, 3.12, 4.63

หลักการคานวณพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ จากหน่วยการเรียนที่ผ่านๆ มา ได้เรียนรู้หลักการสร้างวงจรเพ่ือให้คอมพิวเตอร์สามารถคานวณได้ รวมท้ังหลักการ คานวณโดยเลขฐานสอง นอกจากน้ันในหัวข้อที่ผ่านมาได้เรียนรู้หลักการประมาณค่าตัวเลขเบ้ืองต้น ในหัวข้อนี้จะเรียนรู้ หลักการคานวณในรูปแบบตัวเลข แบบต่างๆ คือ จานวนเต็ม และจานวนจริง ซ่ึงจะมีความแตกต่างอยู่บ้าง รวมท้ังข้อจากัด และความผิดพลาดที่อาจเกิดข้ึนได้ การรู้และเข้าใจข้อจากัดและความผิดพลาดที่เกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์จะทาให้นักเรียน สามารถเขยี นโปรแกรมใช้งานบนคอมพวิ เตอร์ได้อยา่ งมีประสิทธภิ าพและสามารถหาขอ้ ผดิ พลาดและแกไ้ ขโปรแกรมได้ หลกั การคานวณจานวนเตม็ ในหนว่ ยการเรยี นท่ี 1 ได้เรยี นรู้หลักการคานวณพ้ืนฐานและสมบัติของจานวนเต็ม ซึ่งเป็นจานวนเต็มท่ัวไป แต่สาหรับ เครอ่ื งคอมพวิ เตอรจ์ านวนเตม็ ที่คอมพวิ เตอร์คานวณได้จะมคี า่ จากัด

หลักการคานวณพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ การบวก ลบ และคณู จานวนเต็ม การบวกลบและคณู จานวนเต็มสามารถทาไดเ้ หมอื นปกติท่ัวไป และผลลพั ธ์ที่ไดก้ จ็ ะเปน็ จานวนเต็ม เช่น 35+6=41 แต่ อย่างไรก็ตามการบวกในคอมพวิ เตอร์เม่อื คา่ ตวั เลขถกู เขา้ รหัสด้วยจานวนบิตท่ีจากัด เช่น การเข้ารหัสจานวนเต็มบวก 8 บิต จะมีค่าสูงสุดคือ 255 ถ้าคอมพิวเตอร์คานวณค่า 200+57 จะได้ค่าเป็น 1 เพราะเมื่อคานวณในเลขฐานสองแปดบิต คอมพวิ เตอร์จะคานวณคา่ 200+57 = 110010002+001110012 = 1000000012 ซึ่งจานวนบิตจะเกิน 8 บิตหรือเกิดตัวทด แต่เมอ่ื เกบ็ ค่าแค่ 8 บติ กจ็ ะเกบ็ แต่ผลลพั ธ์ไม่เก็บตัวทด ดงั น้นั จึงไดเ้ ป็น 000000012 = 1 ความผิดพลาดแบบน้ีเรียกว่า การ เกดิ โอเวอร์โฟลว์ (over flow) ซง่ึ จะเกิดขน้ึ ได้ทง้ั การบวกการลบและการคณู การหารจานวนเต็ม สาหรับการหารจานวนเต็มน้ัน ผลลัพธ์อาจจะไม่เป็นจานวนเต็มก็ได้ ซ่ึงเมื่อเก็บผลลัพธ์ด้วยจานวนเต็มแล้วก็จะเกิด ความผดิ พลาด เชน่ 5/2= 2.5 เม่ือจะเกบ็ เป็นจานวนเตม็ กต็ ้องใชก้ ารประมาณอาจปดั ขึ้นเปน็ 3 หรือปดั ทิ้งเป็น 2 ก็ได้ ซ่ึงจะ เกดิ ความผดิ พลาดขึน้

หลกั การคานวณพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ ตวั อยา่ ง กาหนดใหต้ วั เลขตอ่ ไปนีเ้ ขา้ รหสั เป็ นจานวนเต็ม ใหห้ าคา่ 5 + 8 และ 5+8 33 3 วธิ ที า 5 = 1.666 เมอื่ เก็บเป็ นจานวนเต็มอาจปัดขนึ้ เป็ น 2 และ 8 = 2.666 ก็ปัดขนึ้ เป็ น 33 3 ดงั น้ัน 5 + 8 = 2+3 = 5 ส่วน 5+8 = 13 = 4.333 ซงึ่ อาจปัดลงเป็ น 4 ทาใหไ้ ดค้ ่า 33 33 ไม่ตรงกนั จากตวั อย่างขา้ งตน้ แสดงใหเ้ ห็นถงึ ความสาคญั ของลาดบั ขนั้ ตอนการคานวณ ซงึ่ ขนึ้ อยู่กบั ผูเ้ ขยี นโปรแกรม (คอมพวิ เตอรไ์ ม่สามารถคดิ เลขในใจไดอ้ ยา่ งมนุษย)์ นอกจากนั้นความผดิ พลาดทอี่ าจเกดิ ขนึ้ ก็คอื การหารดว้ ยศูนย ์ เพราะไม่นิยามทาง คณิตศาสตร ์ (นักเรยี นลองกดเครอื่ งคิดเลข 3/0) ดงั นั้นในการเขียนโปรแกรมการ คานวณดว้ ยคอมพวิ เตอร ์ อาจตอ้ งมกี ารตรวจสอบความผดิ พลาดเชน่ นีด้ ว้ ยเชน่ กนั

หลักการคานวณพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ หลกั การคานวณจานวนจรงิ ของเครื่องคอมพิวเตอร์ การใช้ตัวเลขจานวนจริงในการคานวณด้วยคอมพิวเตอร์ทาให้สามารถคานวณค่าท่ีมีความละเอียดได้สูงกว่าการใช้ จานวนเต็มมาก แต่ต้องแลกด้วยการใช้ทรัพยากรและเวลาในการคานวณ การคานวณด้วยจานวนจริงในคอมพิวเตอร์ จะใช้ หลักการคานวณบนพื้นฐานของการเข้ารหัสตัวเลขแบบวิทยาศาสตร์ฐานสอง ซึ่งจะกล่าวในหน่วยการเรียนถัดไป แต่เพ่ือ แสดงวิธีการคานวณ จะศึกษาหลกั การจากการคานวณในเลขฐานสิบ ซ่ึงจะเขียนอยู่ในรูปแบบตัวเลขวิทยาศาสตร์ ดังน้ี M x 10n โดยที่ 1 ≤ M < 10 สาหรบั จานวนบวก และ -10 < M ≤ -1 สาหรับจานวนลบ และ n จะเป็นจานวนเต็ม โดยจะ เรียก M ว่า แมนทสิ ซา (Mantissa) และเรียก n ว่าเอ็กซ์โปเนน (exponent) จึงจะเรียนรู้วิธีการแทนตัวเลขนี้อย่างละเอียด อีกครง้ั ในหน่วยการเรยี นถดั ไป

หลักการคานวณพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ การบวกและการลบ ถ้าตัวเลขในรูปแบบวิทยาศาสตร์มีส่วนที่เป็นเอ็กซ์โปเนนเท่ากัน การบวกหรือลบสามารถนาเอาค่าแมนทิสซามาบวก หรอื ลบกันไดโ้ ดยตรงๆ เช่น 2.112 x 103 + 3.760 x 103 = (2.112 + 3.760) x 103 = 5.872 x 103 การลบกเ็ ช่นเดยี วกนั เช่น 5.012 x 105 - 3.705 x 105 = (5.012 - 3.705) x 105 = 1.307 x 105 ในกรณที ีเ่ อก็ ซ์โปเนนมคี ่าไมเ่ ท่ากัน การบวกหรอื ลบทาได้โดยการปรบั ค่าของเอ็กซโ์ ปเนนใหเ้ ทา่ กัน โดยจะปรบั คา่ เอ็กซ์ โปเนนของตัวใดตัวหนึง่ ก็ได้ แต่โดยสว่ นใหญจ่ ะเลอื กปรบั เอก็ ซ์โปเนนของตัวทีน่ ้อยกวา่ ดังเชน่ 2.112 x 103 + 3.760 x 105 = 0.02112 x 105 + 3.760 x 105 = (0.02112 + 3.760) x 105 = 3.78112 x 105

หลักการคานวณพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ การคณู และการหาร การคูณและการหารในรูปแบบของเลขวิทยาศาสตร์ ทาได้โดยการเอาแมนทิสซามาคูณหรือหารกัน และเอาค่าเอ็กซ์ โปเนนมาบวกหรือลบกัน เชน่ (3.4455x102)(1.2311x104) = (3.4455x1.2311)x10(2+4) = 4.24175505x106 และในกรณีการหารจะได้ (3.44x102)÷(4.21x105) = (3.44÷4.21)x10(3-5) ≈ 0.8171x10-2