คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 6 พีชคณิตบูลีนและวงจรตรรกะ

พีชคณหนว่ิตยกบารลูเรียีนนรูท้ ี่ ๖ และวงจรตรรกะ

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ ในการคานวณของคอมพิวเตอร์นั้น จะใช้สัญญาณทางไฟฟ้าสองลักษณะในการคานวณดังนั้นการคานวณจึงอยู่บน พื้นฐานของระบบเลขฐานสอง ในการออกแบบวงจรทางไฟฟ้า (ส่วนที่เรียกว่า ฮาร์ดแวร์) เพ่ือที่จะให้คอมพิวเตอร์สามารถ คานวณ หรือ ประมวลผลสัญญาณท่ีแทนเลขฐานสองนั้น จะตั้งอยู่บนพ้ืนฐานของหลักการตรรกศาสตร์ ซ่ึงมีสถานะสอง ลกั ษณะ คอื คา่ ความจริง เป็นจริง หรือ เป็นเท็จ โดยเฉพาะเมื่อต้องการให้คอมพิวเตอร์ ตัดสินใจ กระทา หรือไม่กระทา ส่ิง ใดสิง่ หนง่ึ นัน้ ตอ้ งมีเหตุ ปจั จยั ตามที่กาหนด ในการนาเอาหลักการตรรกศาสตร์ ท่ีได้เรียนในหน่วยการเรียนท่ีผ่านมา มาสร้างเป็นวงจรทางไฟฟ้าของคอมพิวเตอร์ นั้น เราจะเร่ิมจากแนวคิดของประตูตรรกะ (Logic gate) ต่างๆ แล้วประกอบกันเป็นวงจรตรรกะ (Logic circuit) ท่ีมีความ ซบั ซอ้ นขนึ้ เพ่ือทจ่ี ะคานวณพชี คณิตของเลขฐานสองได้ กอ่ นจะศกึ ษาแนวคดิ ของประตตู รรกะในเชิงวงจรไฟฟ้า ให้พิจารณาแนวคิดของประตูตรรกะที่แสดงได้ด้วยระบบส่งน้า ตามทอ่ ไปยังผู้ใช้ เปรยี บเทยี บสถานะทางตรรกะกบั ระบบสง่ นา้

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ จากรูป ถ้ากาหนดให้ สถานะของประตูน้า (Valve) เปิด แทนด้วยค่าความจริงเป็นจริงหรือ v = T และให้สถานะของ ประตนู ้า ปิด แทนด้วยคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ หรอื v = F จะ เห็นว่าเม่ือประตูน้าเปิด หรือ v = T บ้านจะได้รับน้าาจากแทงค์ ส่งน้า โดยอาจแทนสถานะของบ้านที่ได้รับน้า ด้วยค่าความจริงเป็น จริง หรือให้ h = T ในทางกลับกัน ถ้าสถานะของ ประตนู ้าปิด หรือ v = F บ้านก็จะไม่ได้รับนา้ ซึ่งเราแทนด้วยคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ หรือให้ h = F จากแนวคดิ ดงั กล่าวข้างตน้ จะพิจารณาเหตกุ ารณ์ ในกรณีต่างๆ ดังต่อไปนี้ ก) ถ้ามีประตูน้า สองประตู ต่อกันแบบอนุกรม (series) ซ่ึงจะเห็นว่าบ้านจะได้รับน้า ก็ต่อเมื่อประตูน้าทั้งสองประตู ต้องเปดิ ถา้ ประตใู ดประตหู นึ่งปิด บ้านกจ็ ะไม่ได้รบั น้าซึ่งสามารถเขยี นสรุปเปน็ ตารางคา่ ความจรงิ ได้ดงั น้ี ตารางคา่ ความจรงิ เมอื่ ประตนู า้ สองประตตู อ่ แบบอนุกรม

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ เมอื่ ประตนู า้ สองประตตู อ่ กนั แบบอนุกรม สงั เกตจากตารางค่าความจรงิ ขา้ งตน้ จะเห็นว่าเป็ นตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ ผสมทเี่ ชอื่ มดว้ ย และ น่ันเอง (h = V1 • V2)

วงจรตรรกะและประตตู รรกะ โดยทั่วไปในวงจรไฟฟ้า เราจะใช้สัญลกั ษณ์ แทนตัวเช่ือม และ ซ่ึงจะเรียกว่า AND gate และเนื่องจากนา เลขฐานสองมาใช้ในการคานวณ จะให้ 0 แทนค่าความจริงเป็นเท็จ หรือ F = 0 และ ให้ 1 แทนค่าความจริงเป็นจริง หรือ T = 1 ดังน้ัน จากตารางคา่ ความจริงของประพจนผ์ สมทเ่ี ชื่อมดว้ ย และ จะสามารถแทนด้วยสัญลกั ษณด์ ังในรปู สญั ลกั ษณข์ องตวั เชอื่ มประพจนแ์ ละในกรณีอนิ พทุ ตา่ งๆ ข) ในกรณีที่ประตูน้าสองประตูต่อกันแบบขนาน ซึ่งแสดงกรณีต่างๆ ของการปิดเปิดประตูน้า ที่สามารถเป็นไปได้และ ผลลัพธ์ที่บ้านจะได้รับน้า ซึ่งจะเห็นว่าในทุกกรณี บ้านจะได้รับน้า ยกเว้นเม่ือประตูน้าท้ังสองถูกปิด หรือมีค่าความจริงเป็น เทจ็ ซ่ึงสามารถสรปุ เปน็ ตารางคา่ ความจริงไดด้ งั นี้

วงจรตรรกะและประตตู รรกะ ตารางคา่ ความจรงิ เมอื่ ประตนู า้ สองประตตู อ่ กนั แบบขนาน จากตารางสงั เกตได้วา่ เป็นตารางค่าความจริงของประพจนผ์ สมท่เี ชอ่ื มดว้ ย หรอื นนั่ เอง (h = V1 + V2)

วงจรตรรกะและประตตู รรกะ เมอื่ ประตนู า้ ตอ่ กนั แบบขนาน

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ ในทางไฟฟ้าจะใช้สญั ลักษณ์ แทนตวั เชือ่ ม หรือ ซ่ึงจะเรียกว่า OR gate ดังนั้นในกรณีต่างๆ ของสถานะของ ประตนู ้า ผลลพั ธท์ ไี่ ดจ้ ากการเชอื่ มดว้ ย หรือ สามารถเขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณด์ งั นี้ สญั ลกั ษณข์ องตวั เชอื่ มประพจนห์ รอื ในกรณีอนิ พทุ ตา่ งๆ ค) พิจารณากรณีเม่ือประตูน้าเปิด น้าจะไหลออกจากท่อ ทาให้ไม่มีแรงดันน้าพอท่ีจะส่งไปยังบ้าน (เสมือนท่อน้าแตก และน้าเลอื กที่จะไหลไปยังจุดทีไ่ หลไดส้ ะดวกกวา่ ) และเมื่อประตูนา้ ปิด น้าจงึ ไหลไปยังบ้าน เพราะไหลไปไหนไม่ได้

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ ประตรู ะบายนา้ ทงิ ้ จากรปู เมอื่ สถานะของประตนู า้ เปิ ด หรอื เป็ นจรงิ บา้ นจะไม่ไดร้ บั นา้ หรอื มสี ถานะเป็ น เท็จและเมอื่ ประตนู ้าปิ ด หรอื เป็ นเท็จ บา้ นจงึ ไดร้ บั น้า หรอื มสี ถานะเป็ นจรงิ สรปุ ค่าความ จรงิ เป็ นตารางไดด้ งั นี้ ซงึ่ จะเห็นไดว้ า่ เป็ นตารางคา่ ความจรงิ ของนิเสธของประพจนน์ ่ันเอง แทน ซงึ่ จะเรยี กวา่ NOT gate ( h = v ) และในทางไฟฟ้ าจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ ตารางคา่ ความจรงิ ของสถานะประตนู า้ และการรบั นา้

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ สญั ลกั ษณข์ องนิเสธในกรณีตา่ งๆ จากกรณีเปรยี บเทยี บทง้ั สามกรณีกบั ระบบสง่ น้า ทาใหไ้ ดแ้ นวคดิ ของประตตู รรกะทง้ั สามแบบดงั กลา่ วขา้ งตน้ (ประตู = Gate) และประตทู ง้ั สามแบบดงั กลา่ วเป็ นพนื้ ฐานหลกั ของการออกแบบวงจรตรรกะทซี่ บั ซอ้ นอนื่ ๆ ทเี่ กดิ จากการผสมประพจนแ์ บบตา่ งๆ เพราะ ประพจนผ์ สมทซี่ บั ซอ้ นเหล่านั้น จรงิ ๆ แลว้ สามารถแทนไดด้ ว้ ยการเชอื่ มดว้ ย และ หรอื นิเสธ แมก้ ระทง่ั การเชอื่ มประพจนด์ ว้ ยเงอื่ นไข ก็สามารถแทนดว้ ยประพจนส์ มมูลประกอบ ไปดว้ ยประพจนพ์ นื้ ฐานทง้ั สามดงั กลา่ วขา้ งตน้ (ใหด้ ตู วั อยา่ งในหน่วยการเรยี นทผี่ ่านมา)

วงจรตรรกะและประตตู รรกะ แสดงประตตู รรกะ สญั ลกั ษณ์ และตารางคา่ ความจรงิ

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ ตวั อย่าง จากวงจรตรรกะที่ประกอบไปดว้ ยประตูตรรกะแบบต่างๆ ใหห้ าค่าของ สญั ญาณออก s เมอื่ กาหนดใหส้ ญั ญาณเขา้ p =1 , q = 0 และ r = 1 วงจรตรรกะของตวั อย่าง วธิ ที า สญั ญาณออกจาก ประตู OR จะมคี ่าเป็ น 1 เพราะสญั ญาณเขา้ p = 1 แลว้ ถูกกลบั สญั ญาณไปเป็ น 0 เมอื่ ผ่าน ประตู NOT ซงึ่ เมอื่ นาไปเชอื่ มกบั สญั ญาณเขา้ r = 1 ดว้ ย ประตู AND ทาใหไ้ ดส้ ญั ญาณออก s = 0 ดงั แสดงในรปู ขา้ งลา่ งนี้ สญั ญาณออกทไี่ ดต้ ามคา่ ของสญั ญาณเขา้ จากโจทย ์

วงจรตรรกะและประตูตรรกะ ตัวอยา่ ง จงสร้างตารางแสดงความสัมพันธ์ ระหว่างสญั ญาณออก r กบั สัญญาณเข้า p และ q จากวงจรตรรกะ วงจรตรรกะของตวั อยา่ ง วิธที า สามารถสรา้ งตารางแสดงความสัมพนั ธ์ โดยใช้หลกั การเดยี วกบั การสรา้ งตารางค่าความจริงเพียงแต่แทนค่าความจริงท่ี เป็นจริงดว้ ย 1 และแทนค่าความจรงิ ทเี่ ปน็ เท็จดว้ ย 0 และ สญั ญาณเข้า q เม่ือผ่านประตู NOT จะให้เป็น q แล้วนาไปเชื่อม กับสญั ญาณเข้า p ดว้ ยประตู OR หรือ ตวั เช่อื ม หรอื นัน่ เอง ซงึ่ จะไดด้ งั ตาราง

พีชคณิตบลู ีน เม่ือการเชื่อมต่อของประพจน์ผสมมีความซับซ้อนข้ึน ในการออกแบบวงจรทางตรรกะก็จะมีความ ซับซ้อนข้ึนเป็นเงาตามตัว นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ชื่อ จอร์จ บูล (George Boole) ได้เป็นผู้เริ่มใช้ หลักตรรกศาสตร์ ท่ีประกอบด้วยสัญลักษณ์สองลักษณะ (T กับ F หรือ 1 กับ 0) ซ่ึงเป็นท่ีมาของ พีชคณิตบูลีน ซึ่งจะเกี่ยวข้องกับการคานวณทางตรรกะ เราจะเรียกตัวแปรใดๆ ก็ตามท่ีมีค่าเป็นสอง สถานะ ว่าเป็นตัวแปรแบบบูลีน และประพจน์ผสมที่ประกอบด้วยตัวแปรแบบบูลีน เชื่อมต่อด้วย นิเสธ และ หรือ ( • + ) วา่ เป็นประพจน์แบบบลู ีน ในการคานวณของเครอ่ื งคอมพวิ เตอร์ ซึง่ อาศยั หลกั การพชี คณิตบูลนี นัน้ มกั จะใชส้ ญั ลักษณ์ 0 และ 1 แทน F และ T ดังนั้น ในเร่ืองการคานวณแบบบูลีนต่อไปน้ี เราจะใช้ 0 และ 1 และตัวกระทาทาง คณิตศาสตร์ของบูลีน ซึ่งจะประกอบไปด้วย • และ + ข้อสังเกต ตาราบางเล่มใช้สัญลักษณ์เป็น ~ แทน “นิเสธ” ∧ แทน “และ” ∨ แทน “หรือ” เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับการคานวณในระบบตัว เลขฐานสอง ดังน้ันในกรณีท่ีเป็นพิชคณิตบูลีน ผู้เรยี นต้องไม่สับสนกับการคานวณของพีชคณิตในระบบ เลขฐานสอง เม่อื ใช้เครือ่ งหมาย • และ + (โดยเฉพาะเคร่อื งหมาย +)

พีชคณิตบลู ีน ในการคานวณแบบพชี คณิตบูลนี จรงิ ๆ แลว้ สามารถใชต้ ารางค่าความจรงิ ในการหา คาตอบได ้ โดยเปลยี่ นจากคา่ ความจรงิ เป็ นตวั เลขแทน ดงั นี้ 1. ตวั กระทา หรอื ตวั เชอื่ ม หรอื ประตตู รรกะแบบ AND (และ) 1 • 1 = 1 (ไดจ้ าก T • T = T) 1 • 0 = 0 (ไดจ้ าก T • F = F) 0 • 1 = 0 (ไดจ้ าก F • T = F) 0 • 0 = 0 (ไดจ้ าก F • F = F) 2. ตวั กระทาา หรอื ตวั เชอื่ ม หรอื ประตตู รรกะแบบ OR (หรอื ) 1+1=1 1+0=1 0+1=1 0+0=0 3. ตวั กระทา หรอื ประตตู รรกะแบบ NOT (นิเสธ) 1= 0 0=1

พีชคณิตบลู ีน ตวั อย่าง จากประพจน์แบบบูลีน s = p • (q + r) ให้หาค่า s เมื่อกาหนดให้ p = 0 q = 0 r =1 วธิ ที า จากประพจน์บูลีน เม่ือเราแทนค่าตัวแปรตามโจทย์กาหนด แล้วทาการหาค่าทีละ ขน้ั ตอนโดยทาในวงเลบ็ ก่อน จะไดผ้ ลลพั ธด์ ังนี้ S = 0 • (0 +1) = 1• (0 + 0) = 1• 0 =0

พีชคณิตบลู ีน การเขียนประพจน์บูลีนจากวงจรตรรกะ ตวั อยา่ ง จากวงจรตรรกะในรูป จงเขยี นประพจนบ์ ูลนี ทเี่ ป็ นสญั ญาณออกจากวงจร ตรรกะ วธิ ที า จากรปู เขยี นประพจนไ์ ลไ่ ปจากทางซา้ ยมอื ไปจนถงึ สญั ญาณออก r ซงึ่ จะไดด้ งั รูป ตอ่ ไปนี้ จากรปู สรปุ ไดว้ า่ สญั ญาณออก r = (p + q) • (p•q)

สมบตั ิต่างๆ ของพีชคณิตบลู ีน เม่ือประพจน์บูลีนมีความซับซ้อนขึ้น โดยอาจประกอบไปด้วยตัวแปรบูลีนหลายๆ ตัวแปรและตัวกระทาหรือประตู ตรรกะหลายๆ แบบผสมกัน การหาคา่ ของประพจนบ์ ูลีนก็จะยากข้นึ นอกจากน้ีในการออกแบบวงจรตรรกะ อาจต้องเปล่ียน รูปประพจน์บลู ีนไปเปน็ รปู สมมูลอ่ืนๆ ทเ่ี หมาะสมในการสรา้ งวงจรตรรกะ ซ่งึ อาจมขี อ้ จากดั ในทางวงจรไฟฟา้ ดังน้นั ในหวั ขอ้ น้จี ะเรียนรู้วิธีการเปลีย่ นรปู แบบของประพจน์บูลีน ไปเป็นประพจน์สมมูลในแบบต่างๆ โดยใช้กฎต่างๆ ของพชี คณติ บูลีน กฎพน้ื ฐานของพีชคณิตบลู นี 1. กฎของการสลบั ท่ี (Commutative laws) -p+q=q+p -p•q=q•p 2. กฎของการกระจาย (Distributive laws) - p +(q • r) = (p + q) • (p + r) - p • (q + r) = (p • q) +(p • r) 3. กฎของเอกลักษณ์ (Identity laws) -p+0=p -p•1=p

สมบัติต่างๆ ของพีชคณิตบลู ีน 4. กฎของสว่ นเตมิ เตม็ (Complement laws) -p+p=1 -p•p=0 5. กฎของนิเสธ (Negation laws) -p+p=1 -p•p=0 6. กฎของนิเสธซอ้ น (Double negation laws) -p=p 7. กฎของการไม่เปลยี่ นแปลง (Idempotent) -p+p=p -p•p=p 8. กฎของการมขี อบเขต (Bound laws) - p + 1= 1 -p•0=0

สมบตั ิตา่ งๆ ของพีชคณิตบลู ีน 9. กฎของการซมึ ซบั (Absorption laws) - p +(p • q) = p - p • (p + q) = p 10. กฎของการจดั หมู่ (Associative laws) - (p + q) + r = p +(q + r) - (p • q) • r = p • (q • r) 11. กฎของเดอมอรแ์ กน (DeMorgan’s laws) - (p + q) = p • q - (p • q) = p + q กฎทงั้ หมดดงั กล่าว สามารถพสิ ูจนไ์ ดด้ ว้ ยการสรา้ งตารางค่าความจรงิ เพอื่ แสดงให ้ เห็นวา่ ประพจนท์ างดา้ นซา้ ยของกฎสมมูลกบั ประพจนท์ างดา้ นขวาของกฎ (คา่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทกุ กรณี) กฎของพชี คณิตบูลนี ดงั กล่าว มปี ระโยชนใ์ นการนาไปหาประพจนส์ มมูลทอี่ ยู่ในรปู ที่ เหมาะกบั การนาไปออกแบบวงจรตรรกะ ซงึ่ จะไดศ้ กึ ษาในหวั ขอ้ ตอ่ ไป

สมบัติตา่ งๆ ของพีชคณิตบลู ีน ตัวอยา่ ง จงพสิ ูจน์กฎของการซึมซบั p +(p • q) = p โดยใช้กฎข้ออน่ื ๆ (ไมใ่ ชต้ ารางคา่ ความจรงิ ) วธิ ที า ข้ันตอนที่ 1 จากกฎของเอกลักษณ ์ p = p • 1 ดังนนั้ p +(p • q) = (p • 1)+(p • q) ข้ันตอนที่ 2 จากกฎการกระจาย p • (1+ q) = (p • 1)+(p • q) ดังนน้ั p +(p • q) = p • (1+ q) ขั้นตอนท่ี 3 จากกฎการมขี อบเขต 1+ q = 1 ดงั น้นั p +(p • q) = p • 1 ข้นั ตอนที่ 4 จากกฎของเอกลักษณ ์ p • 1= p ดงั น้นั p +(p • q) = p