คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 4 การคำนวนเลขฐาน

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ ๔ การคานวณเลขฐาน

การบวกในระบบเลขฐานตา่ งๆ การบวกเลขเป็นการคานวณทางคณิตศาสตร์ท่ีง่ายท่ีสุดและสาคัญที่สุด เพราะจะเป็นพื้นฐานในการคานวณอื่นๆ ไม่ว่า จะลบ คูณ หรือหาร ต่อไป นอกจากนั้นคอมพิวเตอร์ยังใช้การบวกเลขเป็นหลักในการคานวณอ่ืนๆ เพราะหลักการบวกเลข ในฐานสอง สามารถสร้างไดด้ ้วยวงจรไฟฟ้าประเภทตรรกะได้ง่ายท่ีสดุ ส่วนการคานวณอ่ืนๆ ได้แก่ การลบ การคูณ การหาร สามารถทาได้โดยการใช้โปรแกรม โดยเปลี่ยนการคานวณเหล่านั้นให้อยู่ในลักษณะการบวก หรือแม้กระท่ังการคานวณ คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนข้ึนไป เช่น การหาค่าทางตรีโกณมิติ การหาค่าของเลขยกกาลัง ก็สามารถทาได้โดยใช้พื้นฐานในการ บวก หลักการของการบวกเลขในระบบฐานต่างๆ จะคล้ายกบั หลกั นับท่ีไดศ้ กึ ษามาในหน่วยที่ 3 นนั่ คือเมื่อนับจานวนเพ่ิมขึ้น เรอ่ื ยๆ จนครบสัญลกั ษณข์ องระบบเลขฐานนัน้ ๆ กจ็ ะทดข้ึนไปหน่ึง แลว้ กลบั ไปเรมิ่ นับศูนยใ์ หม่ ดังนนั้ จุดสาคญั ของการบวก เลขคอื การทด (Carry) โดยจะเรมิ่ ศกึ ษาจากการบวกเลขในระบบเลขฐานสิบก่อน ยกตัวอย่างการบวกเลขง่ายๆ ดังน้ี 5+4 = 9 ผลบวกไม่เกินค่าของฐาน ดังน้ันจึงเขียนผลบวกได้ทันที แต่ถ้า 7+8 ผลบวกมคี ่ามากกวา่ สัญลักษณ์ทม่ี ใี นเลขฐาน (เกนิ 9) จะใชห้ ลกั คดิ จากการนับ คือการกระจายเป็น (7+1) +7 = (8+1) + 6 = (9+1) +5 = 10+5 = 15 น่นั คอื เม่ือนบั ตวั ตง้ั เพ่ิมทีละหนึ่ง และลดคา่ ของตัวบวกลงทีละหนึ่ง จนกระทั่งตัวต้ังมีค่าเท่ากับ เลขฐาน ซ่งึ สัญลกั ษณท์ ่ีใช้จะครบ จงึ ทดขึ้นไปหนง่ึ แลว้ กลับมานบั ศนู ย์ใหม่ เมื่อเข้าใจหลักการดังกล่าวแล้ว อาจไม่จาเป็นต้องกระจายให้ยืดยาว ลดเหลือแค่ (7+3) + 5 ซ่ึงทาให้คิดได้รวดเร็วข้ึน นั่นคือ กระจายใหต้ วั ตั้งบวกดว้ ยค่าที่ทาใหเ้ ท่ากับฐาน (10 ในกรณีน)้ี

การบวกในระบบเลขฐานตา่ งๆ ตวั อยา่ ง ใหห้ าผลลพั ธ ์ 79 + 89 วธิ ที า ในระบบเลขฐาน 9 มีสญั ลกั ษณเ์ กา้ ตวั ดงั นั้นเมือ่ นับครบเกา้ จะตอ้ งทดขนึ้ ไปหนึ่งใน หลกั ถดั ไป ดงั น้ัน เราจะกระจายใหต้ วั ตง้ั บวกกบั สอง ดงั นี้ (7 + 2)9 + 69=109+69=169 ตวั อย่าง ใหห้ าผลลพั ธ ์ 12 + 12 วธิ ที า เมอื่ จานวนตวั เลขมหี ลกั 1ห2ล+าย1ๆ2 = (1 + 1)2 + 02 = 102 ้ โดยการ หลกั ยงั สามารถใชห้ ลกั การบวกดงั กลา่ วได บวกทลี ะหลกั และถา้ มตี วั ทดในหลกั สงู ขนึ้ ไปก็บวกตวั ทดดว้ ย ดงั เชน่ ในเลขฐานสบิ

การคูณในระบบเลขฐานต่างๆ พิจารณาตัวอย่างการคูณ 4 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 + 6 + 6 + 6 น่ันคือ ส่ีบวกกันหกคร้ัง หรือ หกบวก กนั สคี่ รงั้ ดงั น้นั จริงๆ แลว้ การคณู กค็ อื การบวกค่าของตวั ตั้งซา้ ๆ กนั ไปเป็นจานวนครั้งเท่ากับตัวคูณหรือกลับกัน คือการบวก ค่าของตัวคูณซา้ ๆ กนั ไป เปน็ จานวนครั้งเทา่ กบั ตัวต้งั (อยา่ ลืมวา่ การคูณมีสมบัตกิ ารสลบั ที่ เราจงึ สลับท่รี ะหว่างตวั ตงั้ และตวั คูณได้เสมอ) บางครง้ั การคูณจะถกู เรียกว่าเปน็ ทางลดั (short cut) ของการบวก จากตวั อย่างขา้ งตน้ ถ้าเรากระจายและจัดกลุ่มการบวกใหม่ ได้ดังนี้ 4 + 4 + (2 + 2) + 4 + 4 + 4 = (4 + 4 + 2) + (2 + 4 + 4) + 4 = 10 + 10 + 4 = 20 + 4 สาหรับการคูณเลขฐานสิบ ผู้เรียนอาจคุ้นเคยกับการท่องสูตรคูณ จึงทาให้ไม่ เหน็ ความจาเป็นในการกระจาย และจดั กลุ่มดังกล่าวข้างตน้ แตส่ าเหตทุ เ่ี ราจดั กลมุ่ การบวกตัวเลขในวงเลบ็ ก็เพื่อที่จะให้ครบ เป็นจานวนเท่ากับเลขฐาน (จะช่วยให้ง่ายข้ึนเม่ือเป็นเลขฐานอื่นๆ) ซึ่งเม่ือครบก็จะต้องใช้การทดขึ้นไป ซ่ึงจากตัวอย่าง ข้างตน้ เราตอ้ งทดข้นึ ไป 20 พจิ ารณาการคูณในเลขฐานอนื่ ๆ เชน่ (4 x 6)9 เมือ่ เราใช้การกระจาย ดังน้ี 69 + 69 + 69 + 69 = (6 + 3)9 + (3 + 6)9 + 69 = 109 + 109 +69 = 209 + 69 = 269 จะเห็นได้ว่า ด้วยการใช้วิธีน้ีเราไม่ต้องใช้สูตรคูณ เพราะไม่เช่นน้ัน ผู้เรียนคง ต้องทอ่ งสูตรคณู สาหรบั เลขฐานอืน่ ๆ วธิ กี ารดังกลา่ วเป็นการคณู โดยที่ไมต่ ้องแปลงเปน็ เลขฐานสิบก่อน แต่อาจจะยืดยาวไปบ้างถา้ ใช้วิธีการคณู ในเลขฐานสิบ ก่อน แล้วค่อยแปลงกลับก็จะได้เช่นกัน เช่น 4 x 6 = 24 = 9 x 2 + 1 x 6 = 269 ซ่ึงผู้เรียนก็ต้องมีทักษะที่ดีในการแปลง กลบั ไปกลับมาระหว่างเลขฐานต่างๆ กบั เลขฐานสบิ

การคณู ในระบบเลขฐานตา่ งๆ ตัวอย่าง ใหห้ าผลคณู (6 x 5)8 วธิ ที า เมื่อใช้การกระจาย จากการคูณมาเป็นการบวก จะได้ดังน้ี 68 + 68+ 68+ 68+ 68 = (6 + 2)8 + (6 + 2)8 + (6 + 2)8 + 68 = 108 + 108+ 108+ 68 = 368 เมือ่ เขา้ ใจหลกั การคูณ ของเลขหนง่ึ หลักในระบบเลขฐานใดๆ แล้ว สามารถนามา ใช้หาการคูณของจานวนท่ีสูงข้ึนซ่ึงมี หลายหลกั โดยเลยี นแบบการคูณในระบบเลขฐานสบิ เชน่ ทผ่ี า่ นมา

การคูณในระบบเลขฐานต่างๆ ตวั อย่าง ใหห้ าผลคูณของ 101102 x 1102 วธิ ีทา การคูณในระบบเลขฐานสองจะง่ายที่สุด เนื่องจากผลคูณของแต่ละหลักน้ันมีค่า ไม่เป็นศูนย์ก็เป็นหนึ่ง จาก 101102 x 1102 = 101102 x 1002 + 101102 x 102 + 101102 x 02 โดยเราจะหาตามข้นั ตอนดังน้ี ข้นั ตอนที่ 1 หาค่าของ 101102 x 02 เน่อื งจากตัวคูณเป็นศูนย์ ดังนนั้ ผลคณู จงึ เป็นศูนย์ นน่ั คือ 101102 x 02 =02 ขัน้ ตอนที่ 2 หาคา่ ของ 101102 x 102 เนื่องจากตัวคณู หลักทส่ี องเป็น 1 และมศี นู ยต์ ่อท้ายในหลกั แรก ดงั นัน้ ผลคูณจะ ไดง้ ่ายเชน่ กัน นนั่ คือ 101102 x 102 = 1011002 ข้ันตอนที่ 3 หาค่าของ 101102 x 1002 เชน่ เดียวกบั ขน้ั ตอนที่ 2 ผลลพั ธจ์ ะไดจ้ ากการเพิม่ ศนู ย์สองตัวไปยังตัวตั้ง ดังน้ี 101102 x 1002 = 10110002 ขัน้ ตอนท่ี 4 นาผลการคณู ในขั้นตอนที่ 1 ถงึ 3 มารวมกัน จะไดด้ ังนี้

การลบในระบบเลขฐานตา่ งๆ การลบเปน็ การกระทาทางคณิตศาสตรท์ ี่ตรงกนั ขา้ มกับการบวก จากหวั ขอ้ เรื่องการบวกได้เรียนรู้เร่ืองการบวกด้วยการ นบั เพ่มิ ขน้ึ ดังน้ันในการลบกค็ อื การนับลงนน่ั เอง พจิ ารณาคา่ ของ 9-4 เรานบั ถอยหลงั จาก 9 ลงมาสคี่ า่ เหลอื 8, 7, 6, 5 พิจารณาค่าของ B16-516 เราจะนับถอยลงมาห้าค่าดังนี้ A, 9, 8, 7, 6 ดังนั้น B16-516 = 616 ซ่ึงสามารถคานวณได้โดย ไมต่ อ้ งแปลงเป็นเลขฐานสิบกอ่ น ดังนน้ั จะเหน็ ได้ว่า การบวกและการลบเลขเกิดจากพ้ืนฐานการนับขน้ึ และลงนัน่ เอง แตใ่ นกรณีจานวนตวั เลขทีม่ ีหลายหลัก ถ้าตัวต้ังของหลักต่ากว่าถูกนับลงจนน้อยกว่าศูนย์จะต้อง ยืม ค่าจากหลักถัดไป แนวคิดเรื่อง การยืม ก็จะตรงกันข้ามกับ การทด ในการบวกเลขเมื่อผลบวกมีค่าเกินกว่าสัญลักษณ์ท่ีมีใช้ในเลขฐาน น้ันๆ ตัวอย่างต่อไปน้ี จะเป็นวิธกี ารลบเมอื่ มกี ารยมื ของเลขฐานสิบ ซึง่ เราจสามารถประยุกต์ใชก้ บั การลบเลขฐานอน่ื ได้

การลบในระบบเลขฐานตา่ งๆ ตวั อย่าง ใหห้ าค่าของ 24-6 วิธที า เนื่องจากหลักแรกของตัวตงั้ คอื 4 มีคา่ นอ้ ยกว่า ตัวลบคือ 6 ดังน้ัน เราต้องยืมค่าจากหลักท่ีสองมา ซึ่งมีค่าเป็น 10 ลบ ดว้ ย 6 แลว้ ค่อยรวมกับค่าเดิมคือ 4 ซึ่งจะได้ 8 และหลักที่สองเดิมมีค่าเป็น 20 เม่ือถูกยืมไป 10 จึงเหลือ 10 ดังนั้นคาตอบ จงึ ไดเ้ ปน็ 18 หลักการดงั กล่าว สามารถเขียนกระจายไดด้ ังนี้ 24-6 = 20+4-6 = 10+10+4-6 = 10+4+(10-6) = 10+4+4 = 18

การลบในระบบเลขฐานตา่ งๆ ตัวอยา่ ง ให้หาค่าของ A2D16 - 13F16 วธิ ีทา ใช้วธิ กี ารกระจาย แล้วลบกันในแต่ละหลักทีต่ รงกัน ดังน้ี จากการกระจายข้างต้น หลักที่หน่ึงของตัวต้ังหรือ D16 น้อยกว่าตัวลบ หรือ F16 จึงต้องยืมค่าจากหลักท่ีสอง คือ 2016 ซงึ่ ทาใหห้ ลักท่สี องของตวั ต้งั น้ีเหลอื 1016 ซึ่งนอ้ ยกวา่ ตัวลบคอื 3016 จงึ ต้องยมื คา่ จากหลักท่สี ามซ่งึ กค็ อื A0016 และทาให้ค่า ในหลักนี้เหลอื 90016 ซง่ึ จะไดด้ ังนี้

การลบในระบบเลขฐานตา่ งๆ ตัวอย่าง ใหห้ าคา่ ของ 2035 -245 วธิ ีทา จะใชว้ ิธีการกระจายค่าของตัวตงั้ ดงั นี้

การหารในระบบเลขฐานตา่ งๆ การหารเป็ นการกระทาทางคณิตศาสตรท์ ตี่ รงขา้ มกนั กบั การคณู จากหวั ขอ้ เรอื่ งการ คูณไดเ้ รยี นรแู ้ ลว้ วา่ 6 x 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 ซงึ่ เป็ นการบวกกนั ของ 6 เป็ น จานวน 4 ครงั้ ในทางตรงขา้ มกนั ถา้ เราเอาค่า 24 ตงั้ แลว้ ลบออกดว้ ย 6 เราจะตอ้ งลบ เป็ นจานวนครง้ั 4 ครง้ั จงึ เหลอื คา่ เป็ นศนู ย ์ น่ันคอื จะเห็นไดว้ า่ การหารก็คอื การลบคา่ ของตวั ตงั้ ลงไปเรอื่ ยๆ ดว้ ยตวั หาร จนเหลอื ค่าเป็ น ศูนย ์ ในกรณีทีก่ ารหารลงตวั หรอื เหลือเศษ ทีน่ อ้ ยกว่าตวั หาร ในกรณีที่หารไม่ลงตวั จานวนครง้ั ทลี่ บก็คอื ผลของการหารน่ันเอง ดงั นั้นอาจเรยี กการหารว่าเป็ นทางลดั ของ การลบ คลา้ ยๆ กบั ทกี่ ารคณู เป็ นทางลดั ของการบวกน่ันเอง จากหลกั การคูณทเี่ ราเรมิ่ เรยี นรูโ้ ดยการคูณตวั เลขหลกั เดยี วกอ่ น แลว้ เพมิ่ หลกั ขนึ้ โดยใชก้ ารทด แต่สาหรบั การหารจะยากกว่ามาก เพราะถา้ เราใชว้ ธิ กี ารลบตวั ตง้ั ดว้ ย ตวั หารลงมาเรอื่ ยๆ ในกรณีทตี่ วั ตง้ั มคี ่ามากกวา่ ตวั หารมากๆ เราคงตอ้ งทาการลบหลาย ครง้ั มากๆ กว่าจะไดผ้ ลลพั ธแ์ ต่อย่างไรก็ตาม วธิ กี ารนีจ้ ะเหมาะสมกบั การคานวณดว้ ย คอมพวิ เตอรซ์ งึ่ คานวณไดเ้ รว็ ดงั นั้นโดยท่วั ไปแลว้ เราจะหาผลหารดว้ ยการหารยาว จากหลกั สูงสุดของตวั เลขลงมา ซงึ่ จะสวนทางกบั การคณู ทเี่ ราเรมิ่ คณู จากหลกั แรกขนึ้ ไป พจิ ารณาตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

การหารในระบบเลขฐานตา่ งๆ ตวั อยา่ ง ใหห้ าผลลพั ธ ์ 42558÷123 วธิ ที า

การหารในระบบเลขฐานต่างๆ ในการคิดจะพยายามลบตัวตั้งในสามหลักบนสุด หรือ 425 ด้วยค่าของตัวหาร หรือ 123 ซ่ึงจะต้องลบถึงสามคร้ังค่า ของ 425 จงึ เหลอื นอ้ ยกว่าค่าของตัวหาร น่ันคือเหลือ 56 หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ พยายามหาจานวนเต็มที่มีค่ามากท่ีสุด ท่ีคูณ กับตัวหารแล้วค่ายังน้อยกว่าตัวต้ังสามหลักบนสุด ซึ่งก็คือ 3 ถ้าลองคูณด้วย 4 ก็จะมากกว่าค่าของตัวต้ังสามหลักบนสุด ดังนน้ั จงึ เลือกคณู ค่าตัวหารดว้ ย 3 แล้วจงึ ใส่ 3 หลงั จากนัน้ คา่ ท่เี หลอื จากการลบซึ่งน้อยกว่าตัวหารจะถูกต่อด้วยหลักต่าลง มาเพื่อให้ได้สามหลัก ซ่ึงจะกลายเป็น 565 แล้วก็ทาเช่นเดียวกัน คือ ลบด้วยค่าของตัวหารจนกว่าจะได้ค่าน้อยกว่าตัวหาร แล้วเก็บจานวนครั้งในการลบ ซึ่งก็คือ 4 น่ันคือต้องลบสี่ครั้ง หรือเอาตัวหารคูณด้วยสี่ แล้วค่ายังน้อยกว่า 565 ซ่ึงก็คือค่า 123 x 4 = 492 เม่อื นาไปลบออกจาก 565 แลว้ เหลอื ค่า 73 ซึ่งน้อยกว่าตัวหาร จงึ นาเอาหลักต่าลงมาต่อท้ายอีก กลายเป็น 738 และทาเช่นเดิมคือ ลบด้วย 123 ซ่ึงตอ้ งลบถงึ 6 คร้ังถึงจะเหลือศูนย์ หรือคูณตัวหารด้วย 6 ซึ่งเป็นค่าน้อยท่ีสุดที่ไปคูณ กบั 123 แล้วคา่ ไม่มากไปกว่า 738 ซ่ึงสดุ ท้ายได้คาตอบเป็น 346 จากตัวอยา่ งข้างต้น จะเหน็ วา่ ในการหารแตล่ ะครง้ั ต้องใช้การลบค่าจากหลกั ท่ีมคี ่ามากท่ีสดุ กอ่ น หรอื ถ้าใช้วิธีการหาตัว คูณท่ีเป็นจานวนเตม็ ที่มากทีส่ ดุ ที่คณู กบั ตวั หารแลว้ ค่าไมเ่ กนิ ตัวตั้งเพ่ือท่ีจะนาไปลบกับตัวตั้งครั้งเดียวไม่ต้องลบหลายๆ คร้ัง ซึ่งจะทาใหร้ วบรัดข้นึ