คณิตศาสตร์คอมฯ-หน่วยที่ 1 ระบบจำนวน

หน่วยการเรียนร้ทู ี่ ๑ ระบบจานวน

วิวฒั นาการของระบบจานวนและตวั เลข มนุษยร์ จู้ ักการใชส้ ัญลักษณใ์ นการบอกปริมาณมาตั้งแต่ยุคหิน สัญลักษณ์รอยขีดบนผนังถ้า หรือรอยขีดบนกระดูกสัตว์ เป็นหลักฐานที่บ่งบอกวา่ มนษุ ยใ์ นยุค 30,000 กว่าปีที่แล้ว ได้ทาการบันทึกปริมาณของอะไรบางอย่าง เช่น จานวนสัตว์ที่ล่า ได้ หรืออาจจะใชน้ บั วันเวลากอ็ าจเป็นไปได้เช่นกนั การนบั ของมนุษยใ์ นยคุ กอ่ นประวตั ศิ าสตรอ์ าจเรม่ิ ตน้ จากการนับสงิ่ ของจานวนนอ้ ย ๆ โดยอาจใช้น้ิวมือ หรืออาจจะใช้ ก้อ นหิ น เ ป็น ตั ว แ ท น ตัว เ ล ข ต่า งๆ ก า ร นั บอ ย่ า ง ง่ า ย ๆ น้ี เ ป็น จุ ดเ ร่ิ ม ต้น ท่ี ท า ให้ เ กิ ดก า ร ติ ดต่ อ ส่ื อ ส า ร ท่ีมีประสิทธิภาพมากขึ้น ทาให้เกิดความเข้าใจและเกิดความรู้มากข้ึน เช่น ถ้านาย ก จะบอกกับนายว่า ข “วันน้ี ล่าสัตว์ได้ III ตัว เม่ือวานได้ II ตัว” โดยใช้สัญลักษณ์ I แทนสัตว์ท่ีล่าได้หน่ึงตัว ย่อมดีกว่าบอกว่า “วันนี้ล่าสัตว์ ได้น้อยกว่าเม่อื วาน” ดังนั้นการนับและระบบจานวนอาจเป็นภาษาอย่างหน่ึงท่ีมนุษย์ใช้ในการสื่อสาร หรือใช้ในการบันทึก มนุษย์ ในยุคแรกๆ ก่อนประวัติศาสตร์ มักจะใช้สัญลักษณ์ง่ายๆ เพ่ือแทนจานวน เช่น I แทนจานวนของส่ิงของหน่ึงช้ิน อันท่ีจริงสัญลักษณ์น้ีถูกใช้มาจนกระทั่งถงึ ปจั จบุ ัน เพราะเปน็ สัญลักษณท์ ่ีเขา้ ใจงา่ ย การนับของมนุษย์ในยุคแรกๆ ได้ใช้การนับนิ้วมือ คงเป็นเพราะสะดวกท่ีสุด ซึ่งจะนับได้แค่สิบ แต่มีบางชนเผ่า ท่ีฉลาดข้ึนได้เพิ่มจานวนการนับให้มากขึ้นโดยการนับช่องว่างระหว่างน้ิวด้วย ซ่ึงจะนับได้ถึง 18 และบางชนเผ่า ยังใช้อวัยวะส่วนอื่นของร่างกายเพ่ือเพิ่มจานวนการนับให้มากขึ้น เช่น ชนเผ่าหน่ึงในนิวกีนี (New Guinea) ใช้อวัยวะ ส่วนบนของรา่ งกายเพื่อแทนการนบั ไดถ้ ึง 27 จานวน

วิวฒั นาการของระบบจานวนและตัวเลข สาหรับระบบตัวเลขท่ีได้มีการบันทึกไว้คาดว่าจะเริ่มเม่ือประมาณ 8,000 ถึง 3,500 ปีก่อนคริสต์ศักราช โดยชาวสุเมเรียน (Sumerians) ชนเผ่าที่อาศัยอยู่บริเวณประเทศอิรักในปัจจุบันปั้นดินเหนียวให้เป็นรูป ต่างๆ ใช้แทนตัวเลข และต่อมาประมาณ 3,500 ปีก่อนคริสต์ศักราช รูปปั้นดินเหนียวได้ถูกพัฒนามาเป็นการเขียนลงดินเหนียว แทนการป้นั ก่อนนาไปตากแดดหรอื เผาให้แห้งซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของภาษาที่เรียกว่า อักษรรูปล่ิมหรือคูนิฟอร์ม (Cuneiform) แ ล ะ ต่ อ ม า อั ก ษ ร คู นิ ฟ อ ร์ ม นี้ ไ ด้ ถู ก ถ่ า ย ท อ ด ม า ยั ง ช น เ ผ่ า บ า บิ โ ล เ นี ย น ( Babylonian) ที่ เ จ ริ ญ รุ่ ง เ รื อ ง และเข้ามาแทนที่ชนเผ่าสุเมเรียน และเป็นชนเผ่าท่ีมีความเช่ียวชาญทางด้านดาราศาสตร์ การคานวณ และระบบเวลา ชาวบาบิโลเนียนได้สร้างระบบจานวนฐาน 60 หรือที่เรียกว่า แซกซาเจซซิมอล (Sexagesimal) นั่นคือ มีตัวเลขนับได้ถึงหก สิบ ซึ่งได้ใช้ในการกาหนดองศาของตาแหน่งดวงดาว และใช้ในการนับเวลา เช่น ถ้าผู้เรียนดูนาฬิกาที่เป็นตัวเลข จะ สังเกตเห็นว่าเมือ่ ตวั เลขในหลักวินาทีเพิ่มขึ้นไปเร่ือยๆ จาก 1, 2, …, 59 ก็จะเปลี่ยนกลับไปเป็น 0 อีกครั้ง และจะมีการเพิ่ม ตัวเลขในหลักนาทขี ้นึ ไปหน่ึงนาที สญั ลกั ษณแ์ ทนตวั เลขของชาวบาบโิ ลเนียน

วิวัฒนาการของระบบจานวนและตัวเลข และในยุคใกล้เคียงกันน้ี คือประมาณ 3,400 ปีก่อนคริสต์ศักราช อารยธรรมอียิปต์ ก็ได้พัฒนาภาษาไฮโรกลิฟิกส์ (Hieroglyphics) ซ่งึ รวมถงึ ตวั เลขด้วย ต่อมาในช่วงประมาณ 700 ร้อยปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวกรีกโบราณได้สร้างระบบตัวเลขท่ีเรียกว่า Acrophonic Attic โดยสัญลักษณท์ ใ่ี ชแ้ ทนตัวเลขจะเปน็ อกั ขระตัวแรกของคาอา่ นของตัวเลข (ยกเว้น 1) ดงั น้ี สัญลักษณ์แทนตัวเลขของชาวกรีกโบราณ

วิวฒั นาการของระบบจานวนและตวั เลข ตวั เลขของชาวกรกี เปน็ พ้ืนฐานตอ่ ตัวเลขของชาวโรมนั ซง่ึ ยงั คงใช้อยู่จนถึงทุกวันน้ี และอาจจะคนุ้ เคยมาบ้าง ดังน้ี สญั ลักษณ์แทนตวั เลขของชาวโรมนั

วิวฒั นาการของระบบจานวนและตัวเลข ระบบตัวเลขที่ใช้ในปัจจุบันเรียกว่า ระบบตัวเลข ฮินดู-อารบิก ซึ่งกาเนิดข้ึนเมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ที่ ประเทศอินเดีย โดยเป็นระบบตัวเลขฐานสิบท่ีมีสัญลักษณ์สิบตัว เช่น ที่ใช้ในปัจจุบันคือ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 และใช้การ วางเรียงกันเพอ่ื ที่จะประกอบเป็นตวั เลขที่มากกว่า 9 เช่น 15 มกี ารสันนิษฐานว่าระบบตัวเลขของอินเดียหรือท่ีเรียกว่า ฮินดู นี้ได้แพร่ไปยังชาวอาหรับในช่วง ค.ศ. 700-800 โดยตาราคณิตศาสตร์ของชาวอินเดีย หลังจากนั้นก็ได้แพร่กระจายไปยัง ประเทศในแถบยโุ รป โดยมีการแปลไปเป็นภาษาลาตินในช่วง ค.ศ. 1100-1200 และแปลไปเป็นภาษาอังกฤษต่อมาในช่วงปี ค.ศ. 1400-1500 และใชม้ าจนกระทง่ั ปัจจุบัน ซึง่ ถูกเรียกว่าเลขอารบิก ในความหมายของระบบตวั เลข ฮินดู-อารบกิ นั้น ขอใหเ้ ข้าใจว่าเป็นวิธกี ารบอกปรมิ าณดว้ ยการเรียบเรียงสญั ลักษณ์จาก สัญลักษณ์ทั้งสิบตัว เพื่อแทนปริมาณหนึ่งๆ ซึ่งมิได้หมายความว่าจะต้องใช้สัญลักษณ์ 0 1 ... 9 เสมอไป ดังเช่นในประเทศ ไทยก็ใชร้ ะบบตัวเลขอารบิก โดยมี สัญลักษณ์เป็นของตัวเองคือ ๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙ หรือถ้าเป็นภาษาอาหรับเองก็จะ ใช้สญั ลกั ษณต์ ่างออกไป ตารางเปรยี บเทียบสญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชใ้ นระบบตวั เลข ฮนิ ดู-อารบกิ

โครงสรา้ งของระบบจานวน ระบบจานวนเป็นแนวคิดที่เป็นนามธรรมเก่ียวกับการบอกปริมาณ จานวน รวมทั้งการใช้สัญลักษณ์เพ่ือแทนสิ่ง ต่างๆ (เช่น บาร์โค้ด เบอร์โทรศัพท์) ในระบบจานวน จะให้สัญลักษณ์ตัวเลขในการแทนจานวนต่างๆ ดังน้ันจริงๆ แล้ว ตัวเลขจึง เป็นเพยี งสัญลกั ษณ์ท่ีใช้สื่อความหมายของระบบจานวน นักคณิตศาสตร์ได้จัดหมวดหมู่ของจานวนในระบบจานวน เพ่ือให้ง่ายในการศึกษา และนาไปใช้งาน ระบบจานวนจะ ประกอบไปด้วยจานวนตา่ งๆ ทีม่ คี ุณสมบตั ิและประโยชนเ์ ฉพาะตัว จานวนต่างๆ เหล่าน้ีมีมากมาย ข้ึนอยู่กับวิธีการแบ่งแยก และมีช่ือต่างๆ ต้ังแต่จานวนง่ายๆ ที่คุ้นเคย เช่น จานวนนับ จานวนเต็ม ท้ังเต็มบวกและเต็มลบ จานวนเฉพาะหรือจานวน ไพร์ม (Prime numbers) จานวนตรรกยะ อตรรกยะ ไปจนกระทง่ั ถึงจานวนทซี่ ับซอ้ นขน้ึ เชน่ จานวนจินตภาพ (Imaginary numbers) จานวนคาดินอล (Cardinal numbers) ซึ่งเป็นจานวนที่เป็นเคร่ืองมือในการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์และ วิศวกรรมศาสตร์ข้นั สูงทจ่ี ะไม่กลา่ วถงึ ในบทนี้ โครงสร้างหลักของระบบจานวนท่ีใกล้ตัวผู้เรียนจะเป็นระบบจานวนจริง (Real numbers) เพราะเป็นระบบจานวนท่ี พบและใช้งานบ่อยในชวี ิตประจาวนั ดังน้ัน ระบบจานวนทจ่ี ะกลา่ วถงึ ในหวั ข้อนี้ คอื ระบบจานวนจริง จากโครงสร้างของระบบจานวนจริงเราสามารถแบง่ จานวนจรงิ (Real numbers) เป็นสองกลุม่ ใหญๆ่ คือ จานวนตรรก ยะ (Rational numbers) และจานวนอตรรกยะ (Irrational numbers) และในจานวนตรรกยะยังสามารถแบ่งย่อยได้อีก เป็นสองกลุ่มคือ จานวนทศนิยม (Decimal) และจานวนเต็ม (Integer) และในส่วนของจานวนเต็มยังแบ่งย่อยได้อีกเป็น จานวนเต็มบวก ศูนย์ และจานวนเต็มลบ ในส่วนของจานวนเต็มบวก ยังสามารถแบ่งย่อยเป็นจานวนไพร์มและจานวนคอม โพซิท ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดในแตล่ ะจานวนในหัวขอ้ ตอ่ ๆ ไป

โครงสรา้ งของระบบจานวน แสดงโครงสรา้ งของระบบจานวนจรงิ

จานวนจริง จานวนจริงจะเป็นเซตใหญ่ที่ประกอบไปด้วยจานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ ดังน้ันระบบจานวนท้ังหมด คือ จานวนธรรมชาติ หรือจานวนเต็มบวก ศูนย์ จานวนเต็มลบ จานวนตรรกยะ และ จานวนอตรรกยะ เป็นเซตย่อยของระบบ จานวนจรงิ ตัวอย่าง ใหจ้ าแนกจานวนจรงิ วา่ อย่ใู นประเภทย่อยใด

จานวนจริง สมบตั ิของจานวนจริง จานวนจรงิ มสี มบตั ิ ดงั นี้ 1. สมบตั ปิ ิ ด (Closure Law) ถา้ a, b เป็ นจานวนจรงิ ใดๆ และ c = a + b แลว้ c จะเป็ นจานวนจรงิ และ d = a•b แลว้ d จะเป็ นจานวนจรงิ 2. สมบตั กิ ารจดั หมู่ (Assocative Law) ถา้ a, b, c เป็ นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ (a+b) + c = a + (b + c) และ (a•b)•c = a•(b•c) 3. สมบตั กิ ารสลบั ที่ (Commutative Law) ถา้ a, b เป็ นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ a+b = b+a และ a•b = b•a

จานวนจริง 4. สมบตั กิ ารแจกแจงหรอื การกระจาย ถา้ a, b, c เป็ นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ a • (b + c) = a • b + a • c 5. สมบตั กิ ารมเี อกลกั ษณ์ เอกลกั ษณข์ องการบวกคอื 0 น่ันคอื ถา้ a เป็ นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ a+0=a เอกลกั ษณข์ องการคณู คอื 1 น่ันคอื ถา้ a เป็ นจานวนจรงิ ใดๆ แลว้ a•1=a 6. สมบตั กิ ารผกผนั สาหรบั จานวนจรงิ a ใดๆ ผกผนั ของการบวกคอื - a น่ันคอื a + (-a) = 0 และผกผนั ของการคณู คอื 1 น่ันคอื a 1 a⋅ a = 1 , เมอื่ a≠0

จานวนเต็ม จากจุดเริ่มต้นท่ีจานวนธรรมชาติซึ่งเป็นจานวนเต็มบวกเพียงอย่างเดียว ซ่ึงในยุคแรกๆ ยังไม่มีจานวนศูนย์ ชาวกรีก โบราณเองยังไม่แน่ใจว่าศูนย์ควรจะเป็นส่วนหน่ึงของระบบจานวนหรือไม่ เพราะแนวคิดเรื่องไม่มีกับมีศูนย์ดูเหมือนจะดู ผิดปกติ เช่น ถ้าไม่มีเงินเลย แต่บอกเพื่อนว่าวันนี้มีเงินศูนย์บาท ซึ่งคงจะดูแปลกๆ แต่ยังไงก็ตาม เม่ือโลกเจริญขึ้นแนวคิด เก่ียวกับจานวนศูนย์ก็เร่ิมจาเป็นมากข้ึน เพราะการบอกว่าสิ่งใดไม่มีด้วยการบอกว่ามีศูนย์จะมีประโยชน์และดูจะ สมเหตสุ มผล เช่น การนบั เวลา เมอ่ื เขม็ วนิ าทบี อกเวลาถึง 59 วนิ าที กจ็ ะเปล่ียนเป็น 0 วนิ าที ไม่ใช่ 1 ซึ่งเปน็ ส่ิงท่ถี กู ตอ้ ง นอกจากการเริ่มใชจ้ านวนศูนยแ์ ลว้ มนุษย์กเ็ ริม่ มีแนวคดิ เรือ่ งจานวนเต็มลบ ซึ่งจะตรงข้ามกับจานวนเต็มบวก เชน่ การ มบี ญั ชีเงินฝากหรือเงินกู้กับธนาคาร ถ้ามีเงินหนึ่งหมื่นบาท ในบัญชีสมุดบัญชีธนาคารก็จะปรากฏตัวเลขเป็น 10,000 แต่ถ้า เปน็ หน้หี นง่ึ หม่ืนบาท ธนาคารก็จะใชจ้ านวนเตม็ ลบในการแทนการเปน็ หนี้ นน่ั คือ -10,000 บาท การเรียกระบบจานวนท่ีประกอบด้วยจานวนธรรมชาติ ศูนย์ และจานวนเต็มลบ จะเรียกรวมกันว่าระบบจานวนเต็ม (Integers) ซึง่ มกั จะใช้สัญลักษณ์ I แทนเซตของจานวนเตม็ นั่นคือ I = {…,-2, -1, 0, 1, 2, …} นักคณิตศาสตร์บางท่านอาจจะใช้สัญลักษณ์ Z แทนจานวนเต็ม ซึ่งมาจากภาษาเยอรมัน Zahlen ซ่ึงแปลว่า จานวน ตัวเลข

จานวนเต็ม สมบัติของจานวนเตม็ ในระบบจานวนเต็มสามารถใช้การกระทาทางคณิตศาสตร์ทั่วไปได้ เช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร ยกกาลัง เป็นต้น แต่อย่างไรก็ตาม ผลการกระทาทางคณิตศาสตร์บางอย่าง อาจจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่จานวนเต็ม การกระทาทาง คณติ ศาสตรท์ ่สี าคัญและเป็นพืน้ ฐาน คอื การบวก และการคูณ ซง่ึ การกระทาทัง้ สองจะมสี มบัติที่สาคัญดงั น้ี สมบตั ิของการบวก และการคูณ จานวนเต็ม 1. สมบตั ปิ ดิ (Closure Law) - สมบัติปดิ ของการบวก ถ้าให้ a, b เปน็ จานวนเต็ม (a, b∈I) และ ให้ c = a + b แลว้ c จะเปน็ จานวนเต็ม (c ∈ I) - สมบตั ิปิดของการคณู ถา้ ให้ a, b เปน็ จานวนเตม็ (a, b ∈ I) และให้ d = a•b แลว้ d จะเป็นจานวนเต็ม น่ันคือ ผลลัพธจ์ ากการบวกและการคูณกนั ของจานวนเตม็ จะได้ผลลัพธเ์ ป็นจานวนเตม็ หมายเหตุ a • b เป็นสัญลักษณ์การคูณระหวา่ ง a กับ b ซ่ึงมคี วามหมายเชน่ เดียวกับ axb หรือบางครง้ั อาจใช้ แค่ ab ลักษณะการเลอื กใช้ขน้ึ กบั ความชัดเจน ไม่สบั สนกับความหมายอื่นๆ เชน่ x อาจจะไปใกล้เคียงกับอักษร x

จานวนเตม็ 2. สมบตั กิ ารจดั หมู่ (Associative Law) ให ้ a, b, c เป็ นจานวนเต็ม (a, b, c ∈ I) • การบวก (a + b) + c = a + (b + c) • การคูณ (a • b) • c = a •(b • c) 3. สมบตั กิ ารสลบั ที่ (Commutative Law) ให ้ a, b เป็ นจานวนเต็ม (a, b ∈ I) • การบวก a+b=b+a • การคูณ a•b=b•a 4. สมบตั กิ ารแจกแจงหรอื การกระจาย (Distributive Law) ให ้ a, b, c เป็ นจานวนเต็ม แลว้ (a, b, c ∈ I) a • (b + c) = a • b + a • c

จานวนเต็ม 5. เอกลกั ษณข์ องการบวก เอกลกั ษณก์ ารบวก คอื ศนู ย ์ เพราะ a + 0 = a เมอื่ a เป็ นจานวนเต็มใดๆ (a ∈ I) เอกลกั ษณก์ ารคณู คอื หนึ่ง เพราะ a • 1 = a เมอื่ a เป็ นจานวนเต็มใดๆ (a ∈ I) สมบัติการผกผนั (Inverse) นยิ าม จานวนผกผัน คอื จานวนท่ีกระทาทางคณติ ศาสตร์กบั จานวนใดๆ แลว้ ผลลัพธท์ ีไ่ ดเ้ ปน็ เอกลักษณ์ ผกผันของการ บวกของจานวนเต็ม คอื จานวนเต็มทีบ่ วกกบั จานวนเตม็ ใดๆ แล้วได้ 0 (เอกลกั ษณข์ องการบวก) ดังน้ัน ถ้าให้ a, b เปน็ จานวนเต็ม b เปน็ ผกผนั ของ a กต็ อ่ เมอ่ื a+b=0 นน่ั คือ b = -a ดังน้นั ผกผนั ของ a คอื -a นัน่ เอง

จานวนเต็ม ผกผันของการคูณของจานวนเต็มไม่มี เนื่องจากไม่มีจานวนเต็มที่คูณกับจานวนเต็ม ใดๆ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 (เอกลกั ษณ์ของการคณู ) ถ้าให้ a เปน็ จานวนเต็มและ 1 a•b = 1 จะได้ b = a แต่ถ้า a เป็นจานวนเต็มใดๆ (ยกเว้น 1) แล้ว ส่วนกลับของ a หรือ 1 จะไม่ใช่จานวนเต็ม ดังน้ันจานวนเต็มจึงไม่มี a สมบตั ิการมผี กผันของการคณู

จานวนธรรมชาติ จานวนธรรมชาติ ก็คือจานวนเต็มบวกนั่นเอง เน่ืองจากเป็นจานวนท่ีเกิดข้ึนในยุคแรกๆ เพ่ือใช้ในการนับสิ่ง ต่างๆ ซึ่ง โดยธรรมชาติมนุษย์จะนับส่ิงของต่างๆ ด้วยจานวนเต็มบวกโดยเริ่มจาก 1, 2, … ดังนั้นจานวนเต็มบวกนี้จึงได้ช่ือว่าเป็น จานวนธรรมชาติ และบางคร้ังถูกเรียกว่าเป็นจานวนนับ (Counting numbers) ข้อสังเกตอย่างหน่ึงก็คือ จานวนธรรมชาติ หรือจานวนนับน้ีจะไม่รวมศูนย์ เพราะโดยธรรมชาติแล้ว จะนับส่ิงของอะไรบางอย่างที่มีจานวนๆ หน่ึง ถ้าไม่มีส่ิงของเลยก็ จะไม่ตอ้ งนับ ดังน้ันจงึ ไมร่ วมศนู ย์เป็นสว่ นหนง่ึ ของจา นวนธรรมชาติ เช่น ถา้ มีดนิ สออยู่บนโต๊ะ 5 ด้าม ก็นับจานวนดินสอได้ เปน็ 5 ดา้ ม แต่ถา้ ไม่มดี นิ สอเลย กจ็ ะไม่นบั จานวนธรรมชาติถูกใช้เพื่อการนับ เช่น การนับจานวนรถที่วิ่งผ่านหน้าโรงเรียน ในช่วงเวลาตอนเช้ามี 102 คัน การ บอกปริมาณของอะไรก็ตามทเ่ี ป็นจานวนเต็ม เชน่ จานวน พิกเซล (Pixel) ของกล้องถ่ายรปู ดจิ ทิ ัล เชน่ 4 ลา้ นพิกเซล หรอื ใช้ ในการกาหนดอตั ลักษณ์ (Identity) เชน่ เบอร์โทรศัพท์ หรือบาร์โค้ดท่ีติดกับสินค้า ในการใช้งานเหล่านี้จะไม่ใช้จานวนอ่ืนๆ ท่ีไม่ใช่จานวนธรรมชาติ เช่น คงไม่นับจานวนรถท่ีวิ่งผ่านหน้าโรงเรียนเป็นจานวน 121.5 คัน หรือคงไม่มีเบอร์โทรศัพท์ หมายเลข 092(-3)017905 หรือคงไมม่ ีบ้านเลขที่ -105.3

จานวนธรรมชาติ เซตของจานวนธรรมชาติสามารถเขยี นแทนดว้ ย N = {1, 2, 3,…} โดย N เป็นเซตของจานวนธรรมชาติ (N มาจาก Natural) ซ่ึงมีสมาชิกคือ 1, 2, 3, … โดยที่ สัญลักษณ์ “…” (จุดสาม จุด) หมายถึง ต่อไปเรื่อยๆ ตามลาดับ และถ้าต้องการจะบอกว่า a เป็นจานวนธรรมชาติ สามารถใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ หรอื สญั ลักษณ์ดงั นี้ a∈N น่ันคือสามารถอ่านได้ว่า “a เป็นสมาชิกของเซต N” ซ่ึงเซต N ได้ถูกนิยามไว้ก่อนแล้วว่าเป็นจานวนธรรมชาติ สญั ลกั ษณ์ ∈ ใชแ้ ทนคาวา่ “เป็นสมาชิกของ” สมบตั ิของการบวกและการคูณของจานวนธรรมชาติ จานวนธรรมชาติจะมีสมบัติปิด การจัดหมู่ การสลับท่ี และการแจกแจงเหมือนกับสมบัติของจานวนเต็ม แต่สาหรับ สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์จานวนธรรมชาติจะมีเอกลักษณ์ของการคูณ คือ 1 นั่น คือ ถ้า a เป็นจานวนธรรมชาติ a•1 = a และ 1 คอื จานวนธรรมชาติ แตจ่ านวนธรรมชาติจะไม่มเี อกลกั ษณ์ของการบวก และไมม่ ีสมบัติการผกผัน

จานวนธรรมชาติ จานวนศูนย์และจานวนเต็มลบ (Negative Integers) จานวนศูนยแ์ ละจานวนเต็มลบ มีความสมั พนั ธ์กนั เพราะสมัยโบราณหากหวั หนา้ ครอบครัวล่าสตั ว์มาไมไ่ ด้ เขาจะกล่าว ว่า “ล่าสัตว์มาได้ 0 ตัว” จะเห็นได้ว่า 0 คือจานวนที่ไม่มีค่าและหากหัวหน้าครอบครัวถูกปล้นจ้ี อาหารที่เตรียมไปเป็น เสบียง แล้วยังกลับบ้านโดยล่าสัตว์ไม่ได้เลยเช่นกัน (แบบนี้หมายความว่าอย่างไร) นักคณิตศาสตร์ในสมัยนั้นจึงคิดจานวน ข้ึนมาอีกชุดหนง่ึ คือ จานวนที่ติดลบ หรือเรียกอกี อย่างว่า “จานวนเตม็ ลบ” (negative integers) เช่น -1, -2, -3,..., -n กลา่ วโดยสรปุ จานวนธรรมชาติ (จานวนเต็มบวก), จานวนเต็มศูนย์ และจานวนเต็มลบ รวมกันเรียกว่า “จานวนเต็ม” ซึ่งสามารถ เขยี นเปน็ เปน็ แผนผงั ไดด้ งั น้ี

จานวนตรรกยะ เม่ือสังคมมนุษย์เร่ิมซับซ้อนข้ึน ระบบจานวนตัวเลขท่ีมีแต่จานวนเต็มก็ไม่เพียงพอเพราะการบอกปริมาณของอะไร บางอยา่ งอาจจะไม่สมบูรณถ์ ูกต้องถา้ ใชแ้ ต่เพียงจานวนเต็มเพียงอย่างเดียว เช่น ถ้ามีส้ม 10 ผล แบ่งให้เด็ก 4 คน เด็กๆ จะ 2 ไดส้ ม้ คนละก่ีผล ซ่งึ ทุกคนคงจะทราบคาตอบอยู่แล้ว น่ันคือ เด็กๆ จะได้ส้มคนละ 2 ผล กับอีก 2 ใน 4 ผล หรือ 4 ผล หรือ 0.5 ผล ซงึ่ จะเห็นวา่ นอกจากจานวนเตม็ แลว้ ยงั ตอ้ งการจานวนอนื่ เพือ่ บอกข้อมลู ให้ละเอียดถูกต้องมากขึน้ การบอกปรมิ าณหรือจานวนใดๆ ทไี่ มเ่ ปน็ จานวนเต็ม โดยถ้าจานวนนั้นๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษสว่ นได้ เราจะใช้ ระบบตวั เลขท่ีเรยี กว่า ตรรกยะ นยิ าม จานวนตรรกยะ คอื จานวนทส่ี ามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู ของเศษส่วนของจานวนเตม็ สองจานวน โดยจานวนเต็มที่ เป็นส่วนจะต้องไม่เท่ากับศูนย์ หรือน่ันคือ ถ้าให้ p, q เป็นจานวนเต็มใดๆ จานวนตรรกยะก็คือจานวนใดๆ ท่ีสามารถเขียน p แทนได้ดว้ ย q โดย q ≠ 0 ตขวั้ออสยัง่าเกงขตอจงจาานนววนนเตต็มรรทกุกยจะาตนาวมนนยิกา็เปม็ขน้าจงาตน้นวนเชตน่ รร71กย, ะ32เช, ่น-43กัน, -เ72พ,ร2า7ะ2ส,า1ม.6ารแถลเขะีย0นแทนด้วยเศษส่วนได้ โดยส่วนจะ 8 3 เป็น 1 ดังเช่น 7 =7 และบางครั้งอาจจะเขียนจานวนตรรกยะในรูปของทศนิยม ดังเช่น 5 ซ่ึงก็คือ 1.6 หรือ 2 = 0.666666... 1

จานวนตรรกยะ ทศนิยมซ้าร้จู บ (Terminating Decimal) เป็ นตวั เลขตรรกยะทผี่ ลจากการหารแลว้ เป็ นทศนิยมทมี่ จี านวนจากดั เชน่ ทศนิยมซ้าไม่รจู้ บ (Repeating Decimal) เป็ นตวั เลขตรรกยะทผี่ ลจากการหารแลว้ เป็ นทศนิยมซา้ ไปเรอื่ ยๆ ไม่มที สี่ นิ้ สดุ เชน่ โดยทศนิยมซา้ ไม่รจู ้ บเราอาจเขยี นยอ่ ไดด้ งั นี้

จานวนตรรกยะ เซตของจานวนตรรกยะจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ Q แทน (มาจากคาวา่ Quotient ซงึ่ แปลว่า ผลหาร) ดงั นี้ ซงึ่ อ่านไดว้ ่า Q เป็ นเซตของจานวนใดๆ ทเี่ ขยี นไดใ้ นรูปเศษส่วนของจานวนเต็มสอง จานวน โดยสว่ นจะตอ้ งไม่เป็ นศนู ย ์ สมบัติของจานวนตรรกยะ เนื่องจากจานวนเต็มเป็ นเซตย่อยของจานวนตรรกยะ ดงั น้ันสมบตั ขิ องจานวนตรรก ยะจงึ ครอบคลมุ สมบตั ขิ องจานวนเต็ม และมสี มบตั เิ พมิ่ เตมิ ดงั นี้

จานวนตรรกยะ สมบัติการมีผกผนั ของการคูณ จากทไี่ ดก้ ล่าวไปแลว้ ในสมบตั กิ ารผกผนั ของจานวนเต็ม ซงึ่ จะมแี ต่สมบตั กิ ารผกผนั ของการบวก แตส่ าหรบั จานวนตรรกยะจะมสี มบตั กิ ารผกผนั ของการคณู ดว้ ย น่ันคอื ถา้ ให ้ a เป็ นจานวนตรรกยะใดๆ ทไี่ ม่เป็ นศนู ย ์ แลว้ จะมจี านวนตรรกยะ b ทที่ าให ้ a•b = 1 โดยที่ b = 1 เพยี งอยา่ งเดยี ว a

จานวนอตรรกยะ จากระบบจานวนท่ผี ่านมา อาจคิดว่าน่าจะเพยี งพอแลว้ สาหรับใช้ในการบอกปรมิ าณ และการคานวณในชีวิตประจาวัน ทั่วไป แต่อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขบางประเภทท่ีไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของจานวนตรรกยะได้ เช่น 2 เน่ืองจากไม่ สามารถเขียนให้อย่ใู นรปู เศษส่วนระหว่างจานวนเตม็ สองจานวนได้ หรือน่ันคือไม่สามารถหา p, q ท่ีเป็นจานวนเต็ม ที่ทาให้ p q = 2 (ผเู้ รียนลองหาจานวนเต็ม p, q ค่าต่างๆ แล้วคานวณดู) ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงได้สร้างจานวนอีกประเภทขึ้นมา เพอ่ื ใช้แทนจานวนทไี่ ม่สามารถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรปู จานวนตรรกยะได้ โดยเรยี กวา่ จานวนอตรรกยะ เน่ืองจากจานวนอตรรกยะ ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มสองจานวนใดๆ ได้ ดังน้ันเม่ือเขียนอยู่ ในรปู ทศนยิ มกจ็ ะเป็นทศนิยมไมซ่ า้ และไม่รู้จบ ดงั เชน่ 2 = 1.4142135 6237310... ซง่ึ บางครง้ั ถูกเรียกว่าเป็นค่าคงท่ีของ พีทาโกรสั (Pythagoras’ constant) ตวั อยา่ งเพิม่ เตมิ เชน่ คา่ กรณฑ์ของจานวนธรรมชาติ เช่น 2 =1.73205... 7 = 2.64575... 10 = 3.16227...

จานวนอตรรกยะ คา่ คงทตี่ า่ งๆ เชน่

การคานวณทางคณิตศาสตร์ของจานวนจริง ใช้ระบบจานวนจริงในการบอกหรือวัดปริมาณของอะไรบางอย่าง เช่น การวัดส่วนสูงและน้าหนักของทารกแรกเกิด เพ่ือที่จะบอกข้อมูลที่เป็นประโยชน์และง่ายในการเข้าใจหรือนาไปใช้งานอย่างอื่น อาจจาเป็นท่ีจะต้องทาการคานวณหรือ ประมวลผลจากขอ้ มูลอ่ืนๆ เช่น การหาค่าเฉลย่ี ของสว่ นสงู และนา้ หนักของทารกแรกเกิด เพ่ือเป็นประโยชน์ในการวิเคราะห์ ว่าทารกแรกเกิดอื่นๆ เป็นไปตามเกณฑ์มาตรฐานหรือไม่ ดังนั้นจึงต้องเรียนรู้การคานวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของระบบ จานวนจริง ในหัวข้อนี้จะศึกษาการคานวณทางคณิตศาสตร์ของระบบจานวนจริง ได้แก่ การบวก ลบ คูณ หาร ซ่ึงเป็นพื้นฐานท่ี สาคัญ

การคานวณทางคณิตศาสตร์ของจานวนจริง เสน้ จานวนจริง ระบบจานวนจริงใช้สัญลักษณ์ตัวเลขต่างๆ ในการแทนข้อมูล เพ่ือท่ีจะเห็นภาพเป็นรูปธรรมมากข้ึน จะใช้เส้นจานวน จรงิ เพื่อสอื่ ความหมายและแสดงความสัมพันธ์ต่างๆ ของระบบจานวนจริง เส้นจานวนจริงสามารถแสดงได้ดังในรูปโดยมีลักษณะดังน้ี เส้นจานวนจริงจะมีศูนย์ (0) เป็นจุดเร่ิมต้น บางคร้ังอาจ เรียกกว่าเปน็ กาเนดิ หรอื จดุ อ้างอิง ค่าจานวนจริงทมี่ ีค่ามากกวา่ ศนู ย์ หรอื เป็นจานวนจรงิ บวก จะอยู่ทางด้านขวาของ 0 ส่วน คา่ ท่เี ปน็ จานวนจริงลบ จะอยู่ทางดา้ นซ้ายของ 0 ซ่ึงทาใหเ้ รามขี อ้ สังเกตวา่ สาหรับจานวนจรงิ ใดๆ สองจานวน จานวนจริงที่ มคี า่ มากกว่าจะอยทู่ างดา้ นขวามือของจานวนจริงทม่ี ีคา่ นอ้ ยกว่า เช่น 2 อยูท่ างขวามอื ของ 1 ดังน้นั สองมากว่าหน่ึง ซ่ึงเขียน แทนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็น 2 > 1 หรือเราอาจจะบอกว่าหน่ึงน้อยกว่าสองก็ได้ ซึ่งเขียนแทนด้วย 1 < 2 หรือ เช่น -3 อยู่ทางซ้ายมือของ -1 ดังนั้น ลบสามจึงน้อยกว่าลบหน่ึง หรือเขียนแทนด้วย -3 < -1 หรือจะบอกว่า ลบหน่ึง มากกว่าลบสาม ซึง่ แทนด้วย -1 > -3 แสดงเสน้ จานวนจรงิ

การคานวณทางคณิตศาสตรข์ องจานวนจริง หลักการอย่างหนึ่งที่สาคัญของระบบจานวนจริง คือ ค่าสัมบูรณ์ ซ่ึงเป็นการบอกระยะห่างระหว่างจานวนจริง ใดๆ บน เส้นจานวนกับจุดเร่ิมต้น โดยจะใช้สัญลักษณ์ |a| แทนค่าสัมบูรณ์ของ a เม่ือ a เป็นจานวนจริงใดๆ การบอกระยะห่างน้ีจะ เปน็ ค่าบวกเท่านัน้ ไมว่ า่ จานวนจรงิ ใดๆ น้ันจะอยู่ทางด้านขวาซ่ึงเป็นค่าบวก หรือจะอยู่ทางด้านซ้ายซึ่งเป็นค่าลบก็ตาม เช่น คา่ สมั บรู ณ์ของ -2 คือ ระยะห่างจาก 0 ถึง -2 ซึ่งก็คือ 2 หน่วย และเช่นเดียวกัน ค่าสัมบูรณ์ของ 2 คือระยะห่างระหว่าง 0 ถึง 2 ซ่งึ ก็คอื 2 หนว่ ยเชน่ กัน แสดงคา่ สมั บรู ณ์ของ -2 และ 2

การคานวณทางคณิตศาสตรข์ องจานวนจริง หลักการบวกและการลบในระบบจานวนจริง ผู้เรียนคงจะคุ้นเคยกับการบวกลบเลขมาแล้ว เช่น 3 + 5 = 8 หรือ 5 - 3 = 2 ซึ่งผลลัพธ์จะชัดเจนตามที่ได้เรียนมา ตัวเลขสองจานวนท่ีนามาบวกหรือลบ ตัวเลขตัวแรกจะเรียกว่า ตัวต้ังและอีกตัวจะเรียกว่าตัวบวกหรือตัวลบ ผลท่ีได้ก็จะ เรียกว่าผลลัพธ์ และเนื่องจากระบบจานวนจริงมีสมบัติการสลับที่ของการบวก ดังนั้นตัวต้ังกับตัวบวกหรือตัวลบจึงสามารถ สลบั ทไี่ ด้ ดังนัน้ ชื่อท่ีใช้เรียกตัวต้งั กับตวั บวกหรือตวั ลบดูจะไมค่ อ่ ยสาคัญมากนกั เพราะสามารถสลับทก่ี นั ได้นั่นเอง การบวกจานวนท่อี ย่ใู นรูปเศษส่วน เราทาได้โดยการทาส่วนให้เท่ากันก่อนโดยใช้ตัวคูณร่วมน้อย ซ่ึงก็คือจานวนเต็มท่ี น้อยที่สุดท่ีหารด้วยเทอมสว่ นของทั้งตัวตงั้ และตวั บวกแลว้ ไดผ้ ลลัพธ์เป็นจานวนเต็ม

การคานวณทางคณิตศาสตร์ของจานวนจริง อย่างไรก็ตามในการลบเลขในระบบจานวนจริงน้ันจะใช้หลักการบวกแทนก็ได้ โดยที่การลบน้ันสามารถทาได้โดยการ เปลยี่ นการลบไปเป็นการบวกด้วยค่าที่เป็นค่าลบของจานวนนั้นๆ เช่น จาก 5-3 อาจจะเปลี่ยนเป็นการบวกโดยนาเอาตัวตั้ง คอื 5 บวกด้วยค่าลบหรือค่าผกผันของ 3 เขียนได้เป็น 5 + (-3) น่ันเอง ข้อดีของวิธีน้ีแทนท่ีจะลบกันแบบตรงๆ ก็คือในการ คานวณของคอมพวิ เตอร์ ซงึ่ ตอ้ งอาศัยอปุ กรณท์ ่เี ป็นวงจรทางไฟฟ้านัน้ โดยทวั่ ไปจะมีแต่วงจร ท่ีทาหน้าที่ในการบวกเท่าน้ัน ซึ่งถ้าผู้ใช้ต้องการจะลบเลขก็ต้องใช้วิธีการอย่างที่ได้อธิบายไป นั่นคือต้องเปล่ียนไปเป็นการ บวก โดยเปล่ียนจานวนตัวเลขทีเ่ ป็นตัวลบให้เปน็ ค่าลบของตัวเลขนนั้ ๆ (ผู้เรยี นจะศึกษาวิธีการคานวณแบบคอมพิวเตอร์น้ีใน บทต่อๆ ไป) ดังนั้นจะเห็นว่า ในวิธีการน้ี จะต้องใช้สมบัติการผกผันของการบวกเข้ามาช่วย นั่นคือ ผกผันของจานวนจริง ใดๆ คือ ค่าท่ีนามาบวกกับจานวนจริงนั้นๆ แล้วได้ 0 ซ่ึงเป็นเอกลักษณ์ของการบวก เช่น ถ้า a เป็นจานวนจริงใดๆ -a จะเป็นผกผัน การบวกของ a เพราะ a + (-a) = 0 ดังน้ันสรุปไดว้ ่า การลบเลขจานวนจรงิ ใดๆ สามารถทาไดโ้ ดย เอาตวั ต้งั บวกดว้ ยคา่ ผกผันการบวกของตัวลบ

การคานวณทางคณิตศาสตร์ของจานวนจริง หลักการคูณและการหารในระบบจานวนจริง ในการคูณตัวเลขจานวนจรงิ สองจานวนเราจะเรยี กตัวเลขจานวนแรกวา่ ตัวต้งั และอกี จานวนวา่ ตัวคูณ และผลลัพธ์ที่ได้ เรียกว่าผลคูณ และเนื่องจากจานวนจริงมีสมบัติการสลับท่ีของการคูณ ตัวตั้งและตัวคูณ จึงสามารถสลับท่ีกันได้ ทาให้ชื่อที่ ใช้เรียกตัวตง้ั กบั ตวั คณู ดไู ม่ค่อยจะมคี วามสาคัญมากนกั ในการคูณจานวนจริงสองจานวนท่ีมีเคร่ืองหมายเหมือนกัน ผลท่ีได้จะมีค่าเป็นบวก น่ันคือ ถ้าตัวตั้งและตัวคูณมี เครื่องหมายเป็นบวกทั้งคู่ หรือเป็นลบทั้งคู่ ผลคูณจะมีค่าเป็นบวก เช่น 4•5 = 20 และ (-4)•(-5) = 20 แต่ถ้าตัวตั้งและตัว คูณมเี ครือ่ งหมายต่างกนั ผลคูณจะมีค่าเป็นลบเชน่ (-4)•(5) = -20 และ (4)•(-5) = -20 ในการคูณตวั เลขท่อี ยใู่ นรูปเศษสว่ น เราทาไดโ้ ดยการเอาเทอมเศษของตัวตงั้ และตัวคูณคูณกนั และเทอมสว่ นของตัวต้ัง และตัวคูณคูณกัน

การคานวณทางคณิตศาสตร์ของจานวนจริง ในการหารเลขจานวนจริงสองจานวน เช่น 20÷5 = 4 เราเรียกจานวนตัวเลขแรก (20) ว่าตัวต้ัง และอีกตัว (5) ว่า ตัวหาร ผลลพั ธ์ทไ่ี ด้เรียกวา่ ผลหาร (4) ในการหารจะไม่มีสมบัติการสลับท่ี น่ันคือ 20÷5≠5÷20 บางคร้ังเราจะเขียนการ 20 หารดว้ ยเศษส่วน เช่น 20÷5 = 5 = 4 ในการหารนี้เราสามารถเปลี่ยนไปเป็นการคูณได้ โดยเอาตัวตั้งคูณด้วยค่าผกผันของตัวหาร เช่น 20÷5 = 20•15 = 4 ซ่ึงจะคล้ายกับการที่เราใช้การบวกในการลบเลขจานวนจริงแต่อย่างไรก็ตาม จานวนจริงใดๆ น้ันจะมีสมบัติการมีผกผันเม่ือ a จานวนจริงนนั้ ไม่เป็นศนู ย์ ดังนัน้ ถ้า a, b เป็นจานวนจริงใดๆ b = a•1b เมอ่ื b ≠ 0