AlgebraLineal Kolman Bernard Hil David R

Respuestas a ejercicios con número impar y a exámenes de capítulo A77 Sección B.2, página A35 ⎛⎡ ⎤⎞ ⎡ ⎤ b1 2b1 − b3 13. Invertible. L−1 ⎝⎣b2⎦⎠ = ⎣b1 + b2 − b3⎦. 1. (a) (−3, −3, −1). (b) (4x + y, 3x, 3x + 2y). b3 −b1 + b3 3. (a) 6t2 − 2t. (b) 2at2 − bt. 15. No es invertible. 5. (a) (−3, 6). (b) (1, 4). 17. Invertible. L−1(dt2 + et + f ) = −dt2 + et − f. (c) (x − 2y, 3y). (d) (x, −2x + 3y). 19. Invertible. 21. No es invertible. ⎡⎤ 22 ⎡ 1 − 1 1 ⎤ 2 7. (a) B = ⎣−3 −1⎦. 2 2 2 2⎤⎡ ⎤ 23. ⎢⎣⎢− 3 3 − 1 ⎥⎥⎦. ⎡ 2 2 2 2 32 −1⎦. 1 2 1 1 1 2 2 (b) A1 = ⎣2 2 ⎦, A2 = ⎣−3 2 − 2 −6 3 1 ⎡ 1 ⎤ 2 2 − 9 ⎣⎢⎢ 2 9. (a) −1 3 . (b) −4 7 . 25. 2 −5 5 −6 8 1 0⎥⎥⎦. 2 11. No invertible. 5 3 −1 2



ÍNDICE A Cantor, Georg, 537 Cauchy, Augustin-Louis, 236 Acceso en dos etapas, 128 Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 236 Adjunta, 200 Cayley-Hamilton, teorema de, 446 Adyacencia, matriz de, 126 Cero Almacenamiento de multiplicadores, 112 Ángulo entre vectores, 234, 237 dimensión, 310 Antisimétrica, matriz, 51 matriz, 39 Arcos (aristas, lados) dirigidos, 125 polinomio, 275 Atractor, 456, 466 subespacio, 279 Autosimilar, 542 vector, 222, 231, 273 Ciclo de voltaje, 145 B Cilindro elíptico, 494 Base 303, A21 hiperbólico, 495, 496 canónica, 303, 304 parabólico, 495, 496 coordenadas respecto de una, 340 Circuito(s) eléctrico(s), 144 estándar, 303, 304 Circunferencia, 485 natural, 303, 304 Clan, 129 ordenada, 340 Codificación, función, 120 ortogonal, 353 Código de corrección de error, 122, 124 ortonormal, 353 de un solo error, 122 vacía, 318 doble, 122 vector de coordenadas respecto de una, 340 lineal, 124 Código de Hamming, 399 Batería (pila eléctrica), 144 Código de verificación de paridad (m, m + 1), 123 Binaria, matriz, 18 Códigos de Reed-Solomon, 403 Binaria, representación, 17 Coeficientes, 16 Binario, sistema lineal, 80 de detalle, 172 Bloques, multiplicación por, 31 Cofactor, 196 Booleana, matriz, 18 Cola Borel, Emile, 598 de un segmento de recta dirigido, 216 Bunyakovsky, Viktor Yakovlevich, 237 de un vector, 218 Columna(s) C de una matriz, 10 dominante(s), 610 Cabeza pivote, 65, 582 de un segmento de recta dirigido, 216 recesiva(s), 610 un vector, 216, 218 Comandos de MATLAB, 643 Combinación lineal, 16, 283 Cable, 144 Complemento ortogonal, 360 Cadena de Markov, 45, 83, 149 Componentes Caja negra, 98 de un u-vector, 229 Cálculo de un determinante de un vector, 216, 217, 218 por reducción a la forma triangular, 191 Cantor, conjunto de, 537 I1

I2 Índice desarrollo por columna, 197 desarrollo por fila, 197 Compresión de información, 166 Diagonal principal, 10 Condición(es) inicial(es), 452 de una matriz, 10 Conjugada de una matriz, A5 Diagrama de fase, 465 Conjugado de un número complejo, A2 Diferencia Conjunto de matrices, 15 de números complejos, A2 convexo, 565 de vectores, 222, 231 convexo acotado, 566 Digráfica; vea Gráfica dirigida, 125 convexo no acotado, 566 Dilatación, 57, 502 convexo, punto extremo de, 566 en la dirección x, 141 de Cantor, 537 en la dirección y, 141 de puntos de Cantor, 537 transformación matricial, 141 generador, 291 Dimensión, 310, A21 ortogonal, 353 cero, 310 ortonormal, 353, A21 Dirección Cono, 494 de un segmento de recta dirigido, 216 Consumo, matriz de, 162 de un vector, 216 Contracción, 57, 502 Distancia transformación matricial, 141 de Hamming, 405 Contracción en la dirección x, 141 entre puntos, 235 Contracción en la dirección y, 141 entre vectores, 235, A21 Coordenada Distribución de un punto, 232 de edad estable, 419 x (abscisa), 215, 232 estable, 44 y (ordenada), 215, 216, 232 División de números complejos, A2 z, 232 Dominancia, 610 Coordenadas, 214 2-espacio, 215 cartesianas, sistema de, 215 de un punto, 215 E de un vector, 340 rectangulares, sistema de, 215, 232 Ecuación respecto de una base, 340 característica, 412 Costos de oportunidad, 596 cuadrática, 484 Cramer, Gabriel, 204 cuadrática, término producto cruz en, 486 Criptografía, 251 lineal, 1 Criterio de optimalidad, 580 lineal, incógnitas en una, 1 Curva lineal, solución de una, 2 de Koch, 542 de Sierpinski, 546 Ecuación(es); vea también Sistema(s) lineal(es) H, 538 en forma simétrica, 266 lineal(es), 1 D polinomial(es) de segundo grado, 492 sistema lineal de, 1 Dantzig, George B., 575 Datos esparcidos (dispersos), 167 Ecuaciones diferenciales, 451 Degeneración, 587 autónomas, 462 Degenerada, solución básica factible, 587 sistema lineal homogéneo de, 451 Demanda, vector(es) de, 163 solución particular, 452 Dependencia lineal, 294 teoría cualitativa de, 462 Descartes, René, 215 Descomposición LU, 109 Ecuaciones paramétricas, 266, 271 Desigualdad Eje de Cauchy-Schwarz, 236 coordenado x, 215, 232 del triángulo, 238 coordenado y, 215, 232 Detección coordenado z, 232 de doble error, 122 imaginario, A3 de k o menos errores, 121 real, A3 Determinante, 183 x, 215, 232 cálculo por reducción a la forma triangular, 191 de Vandermonde, 195

y, 215, 216, 232 Índice I3 z, 232, 233 Ejes coordenados, 214, 232 Firma de una forma cuadrática, 481 Elemento de una matriz, 10 Forma canónica (estándar), 481, 484 Eliminación con pivotes, 583 Eliminación gaussiana (de Gauss), 70 de Jordan, 440 Elipse, 485 de una forma cuadrática, 481 Elipsoide, 494, 496 Forma cuadrática Elíptico positiva definida, 482 cilindro, 494 rango, 481 Enfoque real, 476 de iteración aleatoria, 545 Forma escalonada por filas, 62, 68 determinista, 545 Forma escalonada reducida por filas, 62, 68 Entrada de una matriz, 10 Forma paramétrica, 540 Entrada principal, 57, 62 Forma simétrica de una recta, 266 Equilibrio en un proceso de Markov, 152 Forma(s) cuadrática(s), 476 Errores, código de corrección de, 122 con n variables, 476 Escalar(es), 214, 229, 272 equivalentes, 477 Espacio columna, 329 firma de, 481 Espacio con producto interno, A21 forma canónica de, 481 base para, A21 matriz de, 476 dimensión de, A21 rango de, 481 Espacio fila, 329 y polinomios de segundo grado, 492 Espacio nulo, 282 Formulación matricial de la representación de Espacio propio, 417 Espacio solución, 282 promedio-diferencia, 170 Espacio vectorial, 272, 276 Fourier, Jean Baptiste Joseph, A25 base para, 303, A21 Fractal, 539 complejo, 273, A12 conjunto generador para, 291 de Cantor, 539 de dimensión finita, 305 de Koch, 542 de dimensión infinita, 305 de Levy, 548 dimensión de, 310, A21 H, 539 generado, 291 triángulo de Sierpinski, 545 real, 272, 276 Fuertemente conexa, gráfica dirigida (digráfica), 132 subespacio de, 279 Fuerza resultante, 223 Estado estacionario, vector de, 152 Función Estado inicial, vector de, 151 de codificación, 120, 121 Estado, vector(es) de, 151 de codificación de paridad (m, m + 1), 123 Estocástica, matriz, 150 inyectiva, 120 Estrategia, 602 matricial, 500 mixta, 603 no lineal, 247 óptima, 604 objetivo (función lineal), 561 pura, 603 G F Gauss, Carl Friedrich, 69-70 Factorización Geometría fractal, 542 LU, 109 Google©, 13 QR, 375 Grado Fibonacci, Leonardo, 447 de un polinomio, 275 Fibonacci, sucesión de, 448 de un polinomio trigonométrico, A24 Fila objetivo, 580 Gráfica dirigida (digráfica), 125 Fila pivote, 582 arcos dirigidos, 125 Fila(s) clan en, 129 de dominancia, 127 de una matriz, 10 matriz de adyacencia, 126 dominantes, 610 no fuertemente conexa, 132 operaciones elementales por, 063 nodos, 125 recesiva(s), 610 trayectoria, 132 vértices, 125 Gram, Jörgen Pederson, 354

I4 Índice L H Leontief, Wassily, 159 Ley Hamming, Richard, 397 Hermite, Charles, A6 de corriente de Kirchhoff, 145 Hipérbola, 485 de voltaje de Kirchhoff, 145 del paralelogramo, 246, A29 degenerada, 491 Lista de equivalencias no singulares, 100, 204, 337, 413, 528, Hiperboloide A34 de dos hojas, 495, 496 Longitud de un vector, 219, 235, A21 de una hoja, 494, 496 Homogéneo, sistema, 75 M Householder, matriz, 117 Magnitud I de un segmento de recta dirigido, 216 de un vector, 216, 235 Idempotente, matriz, 117 (norma) de un vector, 219 Identidad Mandelbrot, Benoit, 539 aditiva, 39 Mano derecha, sistema de coordenadas, 232 de Jacobi, 263 Mano izquierda, sistema de coordenadas, 232 matriz de, 42 Markov, Andrei Andreevitch, 149 Igualdad Markov, matriz de, 150 de números complejos, A1 Markov, proceso regular, 153 de n-vector(es), 229 MATLAB, 615 de vector(es), 217, 218 MATLAB, resumen de comandos, 643 Imagen, 54, 247, 508, 512 Matrices Impar, permutación, 183 Inclinación (corte) combinación lineal de, 16 en la dirección x, 139, 503 congruentes, 477 en la dirección y, 141, 503 diferencia de, 15 Incógnitas, 1 divididas en bloques 31 Independencia lineal, 294 divididas en bloques, multiplicación de, 31 Índice de la suma, 32 iguales, 13 Inercia, 492 multiplicación de, 23 Intercambio, matriz de, 161 partición de una, 31 Interpolación polinomial, 78 producto de, 23 Inversa resta de, 15 de una matriz, 91, 200 semejantes, 422 de una transformación lineal, A32 suma de, 14 propiedades de, 92 Matriz, 10 Inversión en una permutación, 183 adjunta, 200 Inverso aditivo de una matriz, 40 antihermitiana, A9 Invertible, matriz, 91 antisimétrica, 51 Inyectiva, función, 120 aumentada, 28 Isometría, 532 binaria, 17, 80 booleana, 18 J canónica (estándar), 253 canónica para representación de una transformación Jordan, forma canónica, 440 Jordan, Wilhelm, 70 lineal, 253 Juego, 599 cero, 9 columnas de, 10 de azar, 599 compleja, A5 de dos personas, 599 conjugada de, A2 de estrategia, 599 cuadrada, 10 de suma cero, 599 de adyacencia para una gráfica dirigida, 126 de suma constante, 599 de código, 391 del caos, 546 de comprobación, 392 estrictamente determinado, 600 de consumo, 162 justo, 600, 604 de consumo productiva, 164 matricial, teorema fundamental, 608 de Hamming, 397 Juegos matriciales, 599

de Householder, 117 Índice I5 de intercambio, 161 de juego estrictamente determinado, 600 submatriz de una, 29 de Leslie, 419 transpuesta de una, 16 de Markov, 150 trazo de, 116 de pagos, 599 triangular, 20 de permutación, 400 unitaria, A6 de probabilidades, 150 valor propio de, 408 de transición, 150, 344 valores característicos de, 408 de transición regular, 153 valores latentes de, 408 de un operador lineal, 527 vector propio de, 408 de una forma cuadrática, 476 Matriz cuadrada, 10 de una transformación lineal, 521 de orden n, 10 de verificación de Hamming, 397 Matriz triangular defectuosa, 432 inferior, 20 determinante de, 183 superior, 20 diagonal, 12 Máximos de columna, 601 diagonal principal de, 10 Menor (determinante), 196 diagonalizable, 423 Mensaje, 119 diagonalizable ortogonalmente, 436 Método de eliminación, 2, 70 ecuación característica de, 412 con pivotes, 583 elemento de, 10 Método de reducción de Gauss-Jordan, 69 entrada de, 10 Método símplex equivalente por filas, 64 de solución de problemas de programación lineal, 575 escalar, 13 para problemas de programación lineal, 585 espacio columna de, 329 Métodos de punto interior, 588 espacio nulo de, 282 Mínimos de fila, 601 estocástica, 150 Misma dirección, vectores, 238 factorización LU de, 109 Modelo factorización QR de, 375 abierto, 162 filas de, 10 abierto de Leontief, 162 forma escalonada por filas, 62, 68 cerrado, 160 forma escalonada reducida por filas, 62, 68 cerrado de Leontief, 159 generadora, 391 de intercambio, 160 hermitiana, A6 productivo, 164 idempotente, 117 Módulo de un número complejo, A3 identidad, 42 Morgenstern, Oskar, 599 inercia de, 492 Movimiento armónico simple, 463 inversa de, 91 Multiplicación invertible; vea también Matriz no singular, 91 de matrices, 23 múltiplo escalar de, 15 de números complejos, A2 nilpotente, 117, 421 por bloques 31 no invertible, 91 Multiplicación por escalar no singular, 91 de un vector, 230 normal, A7 por escalares, 230 nula, 39 por un escalar, 15, 222, 272 nulidad de, 320 Multiplicidad, 426 orden de, 10 Múltiplo escalar de un vector, 221, 222, 230 ortogonal, 435 Múltiplo escalar de una matriz, 15 polinomio característico de, 412 positiva definida, 482 N potencias de una, 43 que representa una transformación lineal, 521 n factorial, 182 rango columna de, 331 Negativo de un vector, 222, 231, 272 rango de, 333 Negativo de una matriz, 15, 40 rango fila de, 331 n-espacio, 229 simétrica, 46 Neutro aditivo, 39 singular, 91 Nilpotente, matriz, 117, 421 No coincidentes, rectas, 270 No fuertemente conexa, gráfica dirigida, 132 No invertible, matriz, 91

I6 Índice Permutación, 182 impar, 183 No singular, matriz, 91 inversión en, 183 Nodo de corriente, 145 par, 183 Nodos, 125 Norma de un vector, 235 Perturbación, 588 Normal a un plano, vector, 267 Pivotes, 583 Normalización de un vector, 356 Plano, 267 Notación de suma, 32 Notación matricial, 575 complejo, A3 Núcleo (kernel), transformación lineal, 509 fase, 462 Núcleo de una transformación lineal, 509 xy, 233 Nula, transformación lineal, 256, 508 xz, 233 Nulidad, 320 yz, 233 normal al, 267 de una transformación lineal, 515, 551 vectores en, 217, 218 Número de umbral, 173 Poincaré, Jules Henri, 462 Número(s) complejo(s), A1 Polinomio, 274 característico, 412 conjugado de, A2 cero, 275 diferencia de, A2 de Fourier, A25 división de, A2 de mínimos cuadrados, 385 igualdad de, A1 de segundo grado y formas cuadráticas, 492 matriz de, A5 matricial, A8 módulo de, A3 trigonométrico, A24 multiplicación de, A2 trigonométrico, grado de, A24 parte imaginaria de, A1 Polinomio, grado de, 275 parte real de, A1 Posición de equilibrio, 462 producto de, A2 Posición estándar de secciones cónicas, 484 suma de, A2 Positiva definida, forma(s) cuadrática(s), 482 valor absoluto de, A3 Positiva definida, matriz, 482 N-vector(es), 11, 229 Potencias de una matriz, 43 binario, 18, 240 Precios componentes de, 229 ficticios, 596 iguales, 229 sombra, 596 producto interior de, 22 Preimagen (imagen inversa), 508 Probabilidad de transición, 150 O Probabilidad, vector(es) de, 153 Probabilidades, matriz de, 150 Operación elemental por filas, 63 Problema Operación producto cruz, 259 dual, 591 Operador identidad, 256, 508 dual, interpretación económica del, 595 estándar de programación lineal, 568 lineal, 256, 508 primal, 591 Operador lineal, 247, 502 Problemas con valores iniciales, 452 matriz de, 527 de programación lineal, criterio de optimalidad, 580 Órbita, 462 de programación lineal, problema dual, 591 Origen, 214, 215, 232 de programación lineal, restricciones en, 561 Ortogonal(es), vector(es), 238 de programación lineal, solución geométrica, 562 Procedimiento de Gram-Schmidt, 354 P Procedimiento de reducción de Gauss-Jordan, 69-70 Proceso de Markov, 149 Pago, 599 Proceso de Markov regular, 153 Palabra de código (codificada), 121 Proceso de Markov, equilibrio, 152 Palabras, 119 Producción, Par, permutación, 183 neta, 163 Parábola, 485 vector(es) de, 163 Paraboloide elíptico, 494 Producto Paraboloide hiperbólico, 495, 496 cruz, 259 Paralelo(s), vector(es), 238 de números complejos, A2 Parámetro, 540 Parte imaginaria, A1 Parte real, A1 Partición de una matriz, 30

exterior, 117 Índice I7 interior, 22 interno, A19 S interno estándar (canónico), A19, 235 punto, 220, 224 Schmidt, Ehrard, 354 punto complejo, A15 Schwarz, Karl Hermann Amandus, 236 punto de matrices, 23 Sección cónica, 475, 484 punto en R2, 235 punto exterior, 117 degenerada, 491 Programación lineal, problemas de, 558 en posición estándar, 484 Programas de cómputo para resolver problemas de forma canónica, 484 identificación de, 491 programación lineal, 588 no degenerada, 484, 485 Promedio final, 172 Segmento Promedio por pares, 168 de recta, 565 Promedios, 172 de recta dirigido, 216 Propiedad de cerradura, 273, 280 de recta dirigido, cabeza, 216 Proyección, 56, 502 de recta dirigido, cola, 216 Proyección ortogonal, 215, 367 de recta dirigido, dirección, 216 Punto(s), 214 de recta dirigido, magnitud, 216 Selección de solución básica factible inicial, 579 coordenadas de, 215, 232, 235 Serie de equilibrio, 466 de Maclaurin, A24 estable, 466 de Taylor, A24 extremo, 566 Simétrica, matriz, 46 fijo, 466, 550 Singular, matriz, 91 marginalmente estable, 466 Sistema no estable, 466 de función iterada, 546 repelente, 466 diagonal, 453 silla, 466, 469, 600 fundamental, 452 homogéneo, 75 R Sistema de coordenadas, 215, 232 cartesianas, 215 Rango, 333 de mano derecha, 232 columna, 331 de mano izquierda, 223 de una forma cuadrática, 481 rectangulares, 215, 232 de una transformación lineal, A32 Sistema homogéneo fila, 331 espacio solución de, 282 imagen, 54, 247 solución no trivial, 75 solución trivial, 75 Razón theta (θ), 582 Sistema lineal Recta(s), 264 consistente, 75 de coordenadas rectangulares, 215 de mínimos cuadrados, 382 inconsistente, 75 ecuación en forma simétrica, 266 matriz aumentada del, 28 ecuaciones paramétricas de, 266 no homogéneo, 336 en R2, 264, 265 Sistema masa-resorte, 463 no coincidente(s), 270 Sistema normal, 379 segmento de, 565 Sistema(s) Recuperación de información, 166 coordenado(s), 215, 232 Reducción de Gauss-Jordan, 69 dinámico(s), 462 Reflexión, 502 dinámico(s), plano fase de, 462 Región factible, 564 dinámico(s), trayectoria de, 462 Regla de Cramer, 204 lineal(es), 1 Relación recursiva, 448 lineal(es) binarios, 80 Resistencia, 144 lineal(es) consistente, 75 Restricciones, 561 lineal(es) homogéneo, 75 Resultante, fuerza, 223 lineal(es) homogéneo(s), espacio solución de un, 282 Rotación, 58, 502 lineal(es), incógnitas en, 1 Ruido, 120 lineal(es), matriz de coeficientes del, 28 lineal(es), método de eliminación, 2 lineal(es), método de solución por eliminación gaussiana, 70

I8 Índice T lineal(es), procedimiento de reducción Tablero inicial, 580 de Gauss-Jordan, 69-70 Teorema lineal(es), regla de Cramer, 204 de Cayley-Hamilton, 446 lineal(es), solución del, 2 de dualidad, 593 lineales homogéneos de ecuaciones de los ejes principales, 479 de Pitágoras, 246, A29 diferenciales, 451 fundamental de los juegos matriciales, 608 lineales homogéneos de ecuaciones Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, 462 diferenciales diagonales, 453 del caos, 542 lineales homogéneos de ecuaciones Término de producto cruzado, 486 Tiempo, 462 diferenciales utónomos, 462 Transformación lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales, afín, 539 de datos, 166, 168 sistema(s) dinámico(s), 462 de información, 168 lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales, Transformación lineal, 247, 502 compuesta, A30 solución general, 452 contracción, 502 lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales, dilatación, 502 identidad, 256 solución particular, 452 inclinación en la dirección x, 503 órbita de, 462 inclinación en la dirección y, 503 Sobre, 512 inversa de, A32 Solución invertible, A32 de mínimos cuadrados, 379 matriz de, 521 de un sistema homogéneo lineal de ecuaciones nula (o cero), 256, 508 nulidad de, 515 diferenciales, 452 proyección, 502 de un sistema lineal, 2 rango de, 54, 515 factible, 564, 576, 577, 578 rango (imagen) de, 247, 512 general, 452 reflexión, 502 geométrica, 562 representación matricial estándar, 253 no trivial, 75 rotación, 502 óptima, 564, 576, 577 sobre (sobreyectiva), 512 para una ecuación lineal, 1 uno a uno (inyectiva), 509 particular, 324, 452 Transformación matricial, 54 trivial, 75 contracción, 57 Solución básica, 578 dilatación, 57 factible, 578 proyección, 56 factible degenerada, 587 rotación, 58 factible inicial, 579 Transición regular, matriz de, 153 Subespacio, 508 Transición, matriz de, 150 invariante, 422, 508 Transmisión de información, 166 vectorial complejo, A13 Transpuesta, 16 Subespacio(s), 279 Traslación, 508, 539 cero, 279 Trayectoria, 462 suma directa de, 290 gráfica dirigida (digráfica), 132 Submatriz, 29 Trazo, 116 Sucesión de Fibonacci, 448 Triángulo de Sierpinski, 543 Suma de matrices, 14 U de números complejos, A2 de vectores, 221, 229 Unitario(s), vector(es), 239 directa, 290 Uno a uno (inyectiva), transformación lineal, 509 índice de, 32 Uno principal, 62 vectorial, 272 Superficie cuadrática, 492 identificación de, 496 Superficie cuádrica, 475, 492 Sustitución hacia adelante, 108 hacia atrás, 70, 108

V Índice I9 Valor combinación lineal de, 16, 283 del juego, 600, 604 complejos ortogonales, A16 latente, 408 componentes de, 217, 218, 229 marginal, 597 conjunto ortogonal de, 353 conjunto ortonormal de, 353 Valor absoluto, 214 de estado estacionario, 152 de un número complejo, A3 diferencia de, 222, 231 distancia entre, 235, A21 Valor propio, 408 en el plano, 217, 218 de una matriz compleja, A16 en R3, 233 espacio propio asociado a un, 417 en R3 iguales, 233 multiplicidad de, 426 espacio vectorial complejo, 273 iguales, 217, 218, 229, 233 Valores característicos, 408 linealmente dependientes, 294 Vandermonde, Alexandre-Théophile, 195 linealmente independientes, 294 Vandermonde, determinante de, 195 longitud de, 219, 235, A21 Variable de entrada, 581 multiplicación por escalares, 222, 230, 272 Variable de salida, 582 múltiplo escalar de, 222, 230 Variable(s) negativo de, 222, 231, 273 norma de, 235 básicas, 578 ortogonales, 225, 238, 353, A17, A21 de holgura, 571 paralelos, 219, 238 no básicas, 578 perpendicular, 235 Vector perpendiculares, 225 de coordenadas, 340 resta de, 231 de demanda, 163 suma de, 221, 229 de estado, 151 sustracción de, 222 de estado inicial, 151 Vector(es), producto de probabilidad, 153 cruz de, 259 de producción, 163 interno de, A19 en el plano, 217, 218 interno estándar de, 235, A19 propio, 408 punto de, 22, 224, 235 propio de una matriz compleja, A16 Vectorial, suma, 272 unitario, 226, 239 Vértices, 125 velocidad, 465 Von Neumann, John, 598 Vector(es), 11, 214, 217, 272 ángulo entre, 224, 237 W cabeza de, 216, 218, 231 característico(s), 408 Wavelets (ondeletas), 166, 176 cero, 222, 272 cola de, 216, 218

LISTA DE SÍMBOLOS DE USO FRECUENTE A = ai j Una matriz de m × n, página 10 adj A La adjunta de la matriz A, página 200 AT La transpuesta de la matriz A, u, v, w, x, y, z Ab página 16 −→ Vectores de un espacio OP vectorial, páginas 214, 272 n Una matriz aumentada, u página 28 0 Un segmento de recta dirigido, <>ai −u página 216 Notación de suma, x·y i =1 página 32 θ Longitud del vector u, Rn páginas 219, 235 O La matriz cero de m × n, In página 39 u−v El vector nulo o cero, A−1 L páginas 222, 272 Bm La matriz identidad de n × n, L(u) e página 42 imagen(L) Negativo del vector u, A(G) × páginas 222, 272 x(k) La inversa de la matriz A, V, W página 91 Mmn Producto punto, producto p(jk) interno, páginas 22, 235 El conjunto de todos los m-vectores p(t) x(0) binarios, página 119 Pn Ángulo entre dos vectores no j1 j2 · · · jn nulos, páginas 224, 237 Una función de codificación, P det(A) página 121 n-espacio; el espacio vectorial |A| de todos los n-vectores, det(Mi j ) La matriz de adyacencia de una página 229 Ai j gráfica dirigida G, página 126 Distancia entre los vectores u El vector de estado de un proceso y v en Rn, página 235 de Markov en el periodo de observación k, página 151 Una transformación lineal, páginas 247, 502 La probabilidad de que un sistema esté en el estado j en el periodo La imagen de u, página 247 de observación k, página 151 Imagen de la transformación El vector de estado inicial de un lineal L, páginas 247, 512 proceso de Markov, página 151 Operador del producto cruz, Una permutación de página 259 S = {1, 2, . . . , n}, página 182 Espacios vectoriales, página 272 El determinante de la matriz A, Espacio vectorial de todas las página 183 matrices de m × n, página 274 El determinante de la matriz A, página 183 Un polinomio en t, página 274 El menor de ai j , página 196 Espacio vectorial de todos los polinomios de grado ≤ n El cofactor de ai j , página 196 junto con el polinomio cero, página 274 Espacio vectorial de todos los polinomios, página 276