Matemática 1 - Cálculo Diferencial - Dennis Zill

3.4 Límites trigonométricos 113 puesto que ambos límites existen. Así, lím sen (x 1) Qlím 1 3R Qlím sen tR 1 . 1 41. xS1 tS0 t 4 xS1 x2 2x 3 x EJEMPLO 8 Uso de una identidad pitagórica Encuentre el límite lím 1 cos x. xS0 x Solución Para calcular este límite empezamos con un poco de ingenio algebraico al multi- plicar el numerador y el denominador por el factor conjugado del numerador. Luego usamos la identidad pitagórica fundamental sen2 x ϩ cos2 x ϭ 1 en la forma 1 Ϫ cos2 x ϭ sen2 x: lím 1 cos x lím 1 cos x . 1 cos x x x1 cos x xS0 xS0 lím 1 cos2 x x(1 cos x) xS0 lím sen2 x x) . x(1 cos xS0 Para el siguiente paso de nuevo se acude al álgebra para volver a escribir la expresión frac- cionaria como un producto, y luego se usan los resultados en (5): lím 1 cos x lím sen2 x x) x x(1 cos xS0 xS0 lím Q sen x . sen x R x cos xS0 1 x Q lím sen x R . Q lím sen x R. xS0 x xS0 cos 1 x Debido a que lím (sen x)͞(1 ϩ cos x) ϭ 0͞2 ϭ 0 se tiene y xS0 1 lím 1 cos x 0. (13) x xS0 Puesto que el límite en (13) es igual a 0, puede escribirse y ϭ cos x Ϫ1 x (cos x 1) lím 1 cos x lím ( 1)lím cos x 1 0. 2␲ x xS0 x xS0 xS0 x x Ϫ2␲ Luego, al dividir entre Ϫ1 se obtiene otro importante límite trigonométrico: lím cos x 1 0. (14) x xS0 Ϫ1 En la FIGURA 3.4.6 se muestra la gráfica de f(x) ϭ (cos x Ϫ1)>x. Los resultados en (10) y (14) FIGURA 3.4.6 Gráfica de se usarán en la sección “Desarrolle su competencia 3.7” y también en la sección 3.4. f(x) ϭ (cos x Ϫ 1)͞x 3.4 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-9. Fundamentos 7. lím 1 8. lím 5t cot 2t t csc tS0 En los problemas 1-36, encuentre el límite dado, o concluya tS0 t sec 4t que no existe. 9. lím 2 sen2 t 10. lím sen2 (t>2) tS0 t cos2 t tS0 sen 3t sen ( 4t) sen t 2t 1. lím 2. lím t sen2 6t t3 tS0 t2 sen2 tS0 11. lím 12. lím sen x 1 sen x tS0 tS0 3t cos x 1 cos x 3. lím 4 4. lím sen(x 1) x 2p xS0 xS0 cos 2x tan x 13. lím 2x 2 14. lím sen x cos 3x 3x xS1 5. lím 6. lím x S 2p xS0 xS0

114 UNIDAD 3 Límite de una función 15. lím cosx 16. lím 1 sen u En los problemas 39 y 40, use el teorema de compresión para x cos u establecer el límite dado. xS0 u S p>2 17. lím cos(3x p>2) 18. lím sen(5x 10) 39. lím x sen 1 0 40. lím x2 cos p 0 xS0 xS 2 x x x 4x 8 xS0 xS0 19. lím sen 3t 20. lím sen 2t csc3t 41. Use las propiedades de los límites dadas en el teorema sen 7t tS0 3.2.3 para demostrar que tS0 21. lím sen t 22. lím 1 cos1t a) lím x 3 sen 1 0 b) lím x 2 sen2 1 0. tS0 1t tS 0 1t x x xS0 xS0 23. lím t2 5t sen t 24. lím cos4t 42. Si 0 f(x) 0 Յ B para toda x en un intervalo que contiene tS0 t2 cos8t a 0, demuestre que lím x2f (x) ϭ 0. tS0 xS0 25. lím (x 2 1sen x)2 26. lím (1 cos x)2 En los problemas 43 y 44, use el teorema de compresión para xS0 xS0 x x establecer el límite dado. 27. lím cosx 1 28. lím sen x tan x 43. lím f (x) donde 2x Ϫ 1 Յ f (x) Յ x2 Ϫ 2x ϩ 3, x 2 cos2x 1 xS2 xS0 xS0 x 44. lím f (x) donde 0 f (x) Ϫ 1 0 Յ x2, x 0 sen 5x2 t2 xS0 x2 cos t 29. lím 30. lím 1 xS0 tS0 Piense en ello 31. lím sen(x 2) 32. lím x2 9 En los problemas 45-48, use una sustitución idónea para encontrar el límite dado. xS2 x2 2x 8 xS3 sen(x 3) 33. lím 2 sen 4x 1 cosx 34. lím 4x2 2 sen x 45. lím sen x cosx 46. lím xp xS0 x xS0 x xSp>4 x p>4 xSp tan2x 35. lím 1 tanx 36. lím cos2x x 47. lím sen (p>x) 48. lím cos(p>x) cosx sen x cos x sen xS1 xS2 x S p>4 x S p>4 x 1 x 2 37. Suponga que f(x) ϭ sen x. Use (10) y (14) de esta sec- 49. Analice: ¿La función ción junto con (17) de la sección 2.4 para encontrar el límite: p f Qp4 R. sen x, x 0 4 x f Q hR f(x) • h lím 1, x 0 hS0 38. Suponga que f(x) ϭ cos x. Use (10) y (14) de esta sec- es continua en 0? ción junto con (18) de la sección 2.4 para encontrar el 50. La existencia de lím sen x no implica la existencia de x límite: xS0 f Q p hR f Q p R lím sen 0 x 0 . Explique por qué el segundo límite no existe. 6 h 6 . x lím xS0 hS0 En algunos textos se usa el 3.5 Límites que involucran el infinito símbolo ϩq y las palabras más infinito en lugar de q e Introducción En las secciones 2.2 y 2.3 se consideraron algunas funciones cuyas gráficas infinito. poseían asíntotas. En esta sección se verá que las asíntotas vertical y horizontal de una grá- fica están definidas en términos de límites que implican el concepto de infinito. Recuerde, los símbolos de infinito, Ϫq (“menos infinito”) y q (“más infinito”) son herramientas de nota- ción usadas para indicar, a su vez, que una cantidad decrece o crece sin límite en la dirección negativa (en el plano cartesiano esto significa a la izquierda para x y hacia abajo para y) y en la dirección positiva (a la derecha para x y hacia arriba para y). Aunque la terminología y notación usadas cuando se trabaja con Ϯq son estándar, lamen- tablemente son ligeramente desafortunadas y pueden ser confusas. Así, desde el principio se advierte que se considerarán dos tipos de límites. Primero se analizarán • límites infinitos. La expresión límites infinitos siempre se refiere a un límite que no existe porque la función f exhibe un comportamiento no acotado: f(x) S Ϫq o f(x) S q. Luego se considerarán • límites en el infinito.

3.5 Límites que involucran el infinito 115 La expresión en el infinito significa que se está intentando determinar si una función f posee A lo largo de todo el análisis, no un límite cuando se deja que el valor de la variable x disminuya o aumente sin límite: x S Ϫq olvide que Ϫq y q no repre- o x S q. Estos límites pueden o no existir. sentan números reales y nunca deben manipularse aritmética- Límites infinitos El límite de una función f no existe cuando x tiende a un número a siem- mente como se hace con los pre que los valores de la función crecen o decrecen sin límite. El hecho de que los valores de números. la función f(x) crecen sin límite cuando x tiende a a se expresa simbólicamente por f(x) S q cuando x S a o bien, lím f(x) q. (1) xSa Si los valores de la función decrecen sin límite cuando x tiende a a, se escribe f(x) S q cuando x S a o bien, lím f(x) q. (2) xSa Recuerde que el uso del símbolo x S a significa que f muestra el mismo comportamiento —en este caso, sin límite— a ambos lados del número a sobre el eje x. Por ejemplo, la nota- ción en (1) indica que f (x) S q cuando x S a y f(x) S q cuando x S a . Vea la FIGURA 3.5.1. y y y ϭ ƒ(x) xϭa y ϭ ƒ(x) xx xϭa a) lím ƒ(x) ϭ ϱ b) lím ƒ(x) ϭ Ϫϱ x→a x→a FIGURA 3.5.1 Dos tipos de límites infinitos En forma semejante, la FIGURA 3.5.2 muestra el comportamiento sin límite de una función f cuando x tiende a a por un lado. Observe en la figura 3.5.2c) que no es posible describir el comportamiento de f cerca de a usando un solo símbolo de límite. yy y xϭa xϭa xϭa y ϭ ƒ(x) y ϭ ƒ(x) xx x y ϭ ƒ(x) a) lím ƒ(x) ϭ ϱ b) lím ƒ(x) ϭ Ϫϱ c) lím ƒ(x) ϭ ϱ y lím ƒ(x) ϭ Ϫϱ x → aϪ x → aϩ x → aϪ x → aϩ FIGURA 3.5.2 Tres tipos más de límites infinitos En general, cualquier límite de los seis tipos lím f(x) q, lím f(x) q, (3) xSa xSa q, lím f(x) q, lím f(x) xSa xSa q, lim f(x) q, xSa lím f(x) xSa se denomina límite infinito. De nuevo, en cada caso de (3) simplemente se está describiendo de manera simbólica el comportamiento de una función f cerca del número a. Ninguno de los límites en (3) existe. En la sección 2.3 se repasó cómo identificar una asíntota vertical para la gráfica de una función racional f (x) ϭ p(x)>q(x). Ahora ya podemos definir una asíntota vertical de cual- quier función en términos del concepto de límite.

116 UNIDAD 3 Límite de una función Definición 3.5.1 Asíntota vertical Se dice que una recta x ϭ a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si por lo menos una de las seis afirmaciones en (3) es verdadera. Vea la figura 2.2.1. En el repaso de las funciones en la unidad 2 se vio que las gráficas de funciones racio- nales a menudo poseen asíntotas. Se vio que las gráficas de las funciones racionales y ϭ 1>x y y ϭ 1>x2 eran semejantes a las gráficas en la figura 3.5.2c) y 3.5.1a), respectivamente. El eje y, es decir, x = 0, es una asíntota vertical para cada una de estas funciones. Las gráficas de y y ϭ x 1 a y y ϭ (x 1 a)2 (4) Ϫ Ϫ y ϭ 1 x Ϫ a se obtienen al desplazar las gráficas y ϭ 1>x y y ϭ 1>x2 horizontalmente 0 a 0 unidades. Como se x observa en la FIGURA 3.5.3, x ϭ a es una asíntota vertical para las funciones racionales en (4). Se tiene lím 1 q y lím 1 q (5) xSa x a xSa x a xϭa 1 a)2 a) y lím q. (6) xSa (x y 1 Los límites infinitos en (5) y (6) son justo casos especiales del siguiente resultado general: Ϫ y ϭ a)2 ( x 1 q 1 q, a)n lím (x y lím (x a)n (7) xSa xSa para n un entero positivo impar y x lím 1 q, (8) a)n xϭa xSa (x b) para n un entero positivo par. Como consecuencia de (7) y (8), la gráfica de una función racio- nal y ϭ 1>(x Ϫ a)n se asemeja a la gráfica en la figura 3.5.3a) para n impar o la de la figura FIGURA 3.5.3 Gráfica de las funciones en (4) 3.5.3b) para n par. Para una función racional general f(x) ϭ p(x)>q(x), donde p y q no tienen factores comu- nes, por este análisis debe resultar evidente que cuando q contiene un factor (x Ϫ a)n, n un entero positivo, entonces la forma de la gráfica cerca de la recta vertical x ϭ a debe ser alguna de las que se muestran en la figura 3.5.3 o su reflexión en el eje x. y EJEMPLO 1 Asíntotas verticales de una función racional Al inspeccionar la función racional y ϭ xϩ2 f (x) ϭ xϩ2 x2(x ϩ 4) x2(x ϩ 4) 1 se observa que x = - 4 y x ϭ 0 son asíntotas verticales para la gráfica de f. Puesto que el deno- x minador contiene los factores (x Ϫ (Ϫ4))1 y (x Ϫ 0)2, es de esperar que la gráfica de f cerca 1 de la recta x = - 4 se asemeje a la figura 3.5.3a) o a su reflexión en el eje x, y la gráfica de x ϭϪ4 xϭ0 f cerca de x = 0 se asemeje a la figura 3.5.3b) o a su reflexión en el eje x. FIGURA 3.5.4 Gráfica de la Para x próxima a 0 por cualquier lado, resulta fácil ver que f(x) 7 0. Pero para x cerca de - 4, por ejemplo x = - 4.1 y x = - 3.9, se tiene f(x) 7 0 y f(x) 6 0, respectivamente. Al función en el ejemplo 1 usar la información adicional de que sólo hay una intersección x simple (-2, 0), se obtiene la gráfica de f en la FIGURA 3.5.4. EJEMPLO 2 Límite por un lado En la figura 2.6.6 se vio que el eje y, o la recta x ϭ 0, es una asíntota vertical para la función logarítmica natural f(x) ϭ ln x puesto que lím ln x q. xS0

3.5 Límites que involucran el infinito 117 La gráfica de la función logarítmica y ϭ ln(x ϩ 3) es la gráfica de f(x) ϭ lnx desplazada 3 y x unidades a la izquierda. Por tanto, x = -3 es una asíntota vertical para la gráfica de xϩ2 y ϭ ln(x ϩ 3) puesto que lím ln(x + 3) = - q. yϭ x S Ϫ 3ϩ EJEMPLO 3 Límite por un lado Grafique la función f(x) ϭ x . 1x ϩ 2 Solución Al inspeccionar f se observa que su dominio es el intervalo (Ϫ2, q) y la intersec- ción con el eje y es (0, 0). A partir de la tabla siguiente se concluye que f decrece x S Ϫ2ϩ Ϫ1.9 Ϫ1.99 Ϫ1.999 Ϫ1.9999 x f (x) Ϫ6.01 Ϫ19.90 Ϫ63.21 Ϫ199.90 sin límite cuando x tiende a Ϫ2 por la derecha: lím f (x) ϭ Ϫq. x ϭϪ2 FIGURA 3.5.5 Gráfica de la fun- x S Ϫ 2ϩ ción en el ejemplo 3 Por tanto, la recta x ϭ Ϫ2 es una asíntota vertical. La gráfica de f se proporciona en la FIGURA 3.5.5. Límites en el infinito Si una función f tiende a un valor constante L cuando la variable independiente x crece sin límite (x S q) o cuando x decrece (x S Ϫq) sin límite, entonces se escribe lím f (x) ϭ L o lím f (x) ϭ L (9) x SϪq xSq y se dice que f posee un límite en el infinito. A continuación se presentan todas las posibili- dades para límites en el infinito lím f (x) y lím f (x): x SϪq xSq • Un límite existe pero el otro no. • Tanto lím f (x) como lím f (x) existen y son iguales al mismo número. x SϪq xSq • Tanto lím f (x) como lím f (x) existen pero son números diferentes. x SϪq xSq • Ni lím f (x) ni lím f (x) existen. x SϪq xSq Si por lo menos uno de los límites existe, por ejemplo, lím f (x) = L, entonces la gráfica de f xSq puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y = L cuando x crece en la dirección positiva. Definición 3.5.2 Asíntota horizontal Se dice que la recta y ϭ L es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f si por lo menos una de las dos declaraciones en (9) es verdadera. En la FIGURA 3.5.6 se han ilustrado algunas asíntotas horizontales típicas. Se observa, junto con la figura 3.5.6d) que, en general, la gráfica de una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, aunque la gráfica de una función racional f(x) ϭ p(x)>q(x) puede tener cuando mucho una. Si la gráfica de una función racional f posee una asíntota horizontal y = L, entonces su comportamiento final es como se muestra en la figura 3.5.6c); es decir: f(x) S L cuando x S q y f(x) S L cuando x S q. y yy y y ϭ L2 yϭL y ϭ L1 x yϭL yϭL x x x a) ƒ(x) → L cuando x → ϱ b) ƒ(x) → L cuando x → Ϫϱ c) ƒ(x) → L cuando x → Ϫϱ, d) ƒ(x) → L1 cuando x → Ϫϱ, ƒ(x) → L cuando x → ϱ ƒ(x) → L2 cuando x → ϱ FIGURA 3.5.6 y ϭ L es una asíntota horizontal en a), b) y c); y ϭ L1 y y ϭ L2 son asíntotas horizontales en d)

118 UNIDAD 3 Límite de una función Por ejemplo, si x se vuelve sin límite en la dirección positiva o en la negativa, las funcio- nes en (4) tienden a 0 y se escribe lím 1 0, lím 1 0 y lím 1 0, lím 1 0. (10) xS q(x a)2 xSq (x a)2 x Sq x a xS q x a En general, si r es un número racional positivo, y si (x Ϫ a)r está definido, entonces Estos resultados también son lím (x 1 0 y lím (x 1 0. (11) a)r a)r verdaderos cuando x – a se sus- xS q xSq tituye por a – x, en el supuesto EJEMPLO 4 Asíntotas horizontal y vertical que (a – x)r esté definido. El dominio de la función f(x) ϭ 4 x es el intervalo (Ϫq, 2). En virtud de (11) puede escri- 12 Ϫ birse y lím 4 0. xS q 12 x yϭ 4 Observe que no es posible considerar el límite de f cuando x S q porque la función no está 2Ϫx definida para x Ն 2. No obstante, y ϭ 0 es una asíntota horizontal. Luego, por el límite en 1 infinito x yϭ0 lím 4 q 1 xϭ2 xS2 12 x FIGURA 3.5.7 Gráfica de la fun- ción en el ejemplo 4 se concluye que x ϭ 2 es una asíntota vertical para la gráfica de f. Vea la FIGURA 3.5.7. En general, si F(x) ϭ f(x)>g(x), entonces en la siguiente tabla se resumen los resultados para límites de las formas lím F(x), lím F(x) y lím F(x). El símbolo L denota un número xSa xSq x SϪq real. forma límite: L Ϯq , L 0 L0, L 0 x S a, q, Ϫq Ϯq L infinito (12) el límite es: 0 infinito Se dice que límites de la forma lím F(x) = Ϯq o lím F(x) = Ϯq son límites infinitos en xSq x SϪq el infinito. Además, las propiedades de los límites dadas en el teorema 3.2.3 se cumplen al sustituir el símbolo a por q o Ϫq en el supuesto de que los límites existen. Por ejemplo, f(x) lím f(x) xSq ( )( )lím f(x)g(x) lím f(x) lím g(x) y lím g(x) , (13) xSq xSq xSq lím g(x) xSq xSq siempre que lím f (x) y lím g(x) existan. En el caso del límite de un cociente, también debe xSq xSq tenerse lím g(x) 0. xSq Comportamiento final En la sección 2.3 vimos que la forma en que una función f se com- porta cuando 0x 0 es muy grande se denomina comportamiento final. Como ya se analizó, si lím f (x) = L, entonces la gráfica de f puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y = L xSq para grandes valores positivos de x. La gráfica de una función polinomial, f (x) ϭ anxn ϩ anϪ1xnϪ1 ϩ . . . ϩ a2x2 ϩ a1x ϩ a0, se asemeja a la gráfica de y ϭ anxn para 0 x 0 muy grande. En otras palabras, para (14) f (x) anxn an 1xn 1 . . . a1x a0 Los términos encerrados en el rectángulo en (14) son irrelevantes cuando la gráfica de una función polinomial se observa globalmente; es decir, para 0x 0 muy grande. Así, se tiene ( )xSlímqan xn ... lím anxn an 1x n 1 a1x a0 , (15) xS q cuando (15) es q o - q dependiendo de an y n. En otras palabras, el límite en (15) consti- tuye un ejemplo de límite infinito en el infinito.

3.5 Límites que involucran el infinito 119 EJEMPLO 5 Límite en el infinito Evalúe lím 6x4 x2 1. xSq 2x4 x Solución No es posible aplicar la ley del límite de un cociente en (13) a la función dada, puesto que lím (Ϫ6x4 ϩ x2 ϩ 1) ϭ Ϫq y lím (2x4 Ϫ x) ϭ q. No obstante, al dividir el xSq xSq numerador entre x4 y el denominador podemos escribir 6x4 x2 1 6 Q 1 R Q 1 R 2x4 x lím x2 x4 lím xSq 2 Q 1 R xSq x3 lím c 6 Q 1 R Q x14R d El límite del numerador x2 existe, así como el límite xSq d del denominador, y el límite del denominador lím c 2 Q 1 R d no es cero x3 xSq 600 3. 20 Esto significa que la recta y ϭ Ϫ3 es una asíntota horizontal para la gráfica de la función. Solución alterna En virtud de (14) es posible descartar todas las potencias de x, menos la más alta: descartar términos de los recuadros T lím 6x4 x2 1 lím 6x4 lím 6 3. 2x4 x 2x4 2 xSq xSq xSq EJEMPLO 6 Límite infinito en el infinito Evalúe lím 1 x23 . 3x xSq Solución Por (14), lím 1 x3 lím x3 1 lím x 2 q. 3x 2 3x 3 xSq xSq xSq En otras palabras, el límite no existe. EJEMPLO 7 Gráfica de una función racional y Grafique la función f (x) ϭ 1 x2 x2 . y ϭ x2 Ϫ Ϫ x2 1 Solución Al inspeccionar la función f se observa que su gráfica es simétrica con respecto al x eje y, la intersección con el eje y es (0, 0) y las asíntotas verticales son x = -1 y x = 1. Luego, y ϭ Ϫ1 a partir del límite lím f(x) lím x2 lím x2 lím 1 1 xSq 1 x2 x2 xSq xSq xSq se concluye que la recta y ϭ Ϫ1 es una asíntota horizontal. La gráfica de f se muestra en la x ϭϪ1 x ϭ1 FIGURA 3.5.8. FIGURA 3.5.8 Gráfica de la función en el ejemplo 7 Otra ley de los límites que se cumple para límites en el infinito es que el límite de una raíz n-ésima de una función es la raíz n-ésima del límite, siempre que el límite exista y la raíz n-ésima esté definida. En símbolos, si lím g(x) ϭ L, entonces xSq lím 1n g(x) 1n lím g(x) 1n L , (16) xSq xSq en el supuesto de que L Ն 0 cuando n es par. El resultado también se cumple para x S Ϫq.

120 UNIDAD 3 Límite de una función EJEMPLO 8 Límite de una raíz cuadrada Evalúe xlSímqA 2x3 5x2 4x 6. 6x3 2x Solución Debido a que el límite de la función racional en el radical existe y es positivo, puede escribirse xlSímqA 2x3 5x2 4x 6 lím 2x3 5x2 4x 6 lím 2x 3 1 1. 6x3 2x 6x3 2x 6x 3 A3 13 A xSq A xSq EJEMPLO 9 Gráfica con dos asíntotas horizontales Determine si la gráfica de f(x) ϭ 5x tiene asíntotas horizontales. 2x2 ϩ 4 Solución Puesto que la función no es racional, es necesario investigar el límite de f cuando x S q y cuando x S Ϫq. Primero, recuerde del álgebra que 2x2 es no negativa, o más al punto, 2x2 ϭ 0x0 ϭ e x, xՆ0 Ϫx, x 6 0. Luego, volvemos a escribir f como 5x 5x 5x f (x) ϭ 2x2 ϭ 0 x 0 ϭ 0 x 0 . 2x2 ϩ 4 2x2 ϩ 4 4 2x2 2x2 A1 ϩ x2 Los límites de f cuando x S q y x S Ϫq son, respectivamente, y yϭ5 5x 5x lím 5 y ϭ 5x x2ϩ 4 lím f(x) lím 0x0 lím x xSq 5 5, 1 xSq xSq 4 xSq 4 4R x2 x2 x2 A1 A1 A lím Q 1 xSq x 5x 5x lím ( 5) y lím f(x) lím 0x0 lím x xS q 5 5. 1 y ϭ Ϫ5 xS q xS q 4 xS q 4 4 x2 x2 x2 A1 A1 A xSlímqQ1 R FIGURA 3.5.9 Gráfica de la Por tanto, la gráfica de f tiene dos asíntotas horizontales y ϭ 5 y y ϭ Ϫ5. La gráfica de f, que función en el ejemplo 9 es semejante a la figura 3.5.6d), se proporciona en la FIGURA 3.5.9. En el siguiente ejemplo se ve que la forma del límite dado es q Ϫ q, pero el límite existe y no es 0. EJEMPLO 10 Uso de racionalización Evalúe lím (x2 2x4 7x2 1). xSq Solución Debido a que f (x) ϭ x2 Ϫ 2x4 ϩ 7x2 ϩ 1 es una función par (compruebe que f(Ϫx) ϭ f(x)) con dominio (Ϫq, q), si lím f (x) existe, debe ser el mismo que lím f (x). Primero racionalizamos el numerador: xSq x S Ϫq lím A x2 2x4 7x2 1B Ax2 2x4 7x2 1 B . ax2 2x4 7x2 1b lím 1 x2 2x4 7x2 1 xSq xSq x4 (x4 7x2 1) lím 2x4 7x2 1 xSq x2 lím 7x2 1 . xSq x2 2x4 7x2 1

3.5 Límites que involucran el infinito 121 Luego, el numerador y el denominador se dividen entre 2x4 ϭ x2: 7x2 1 lím 7x2 1 lím 2x4 2x4 xSq x2 2x4 7x2 1 xSq x2 2x4 7x2 1 2x4 7 1 x2 lím xSq 1 7 1 1 B x2 x4 lím a 7 1 b y x2 1 xSq x lím 1 B lím a 1 7 1 b 1 x2 x4 xSq xSq y ϭ x 2 Ϫ x 4 ϩ 7x 2 ϩ 1 7 27. yϭϪ7 11 2 Con ayuda de un SAC, la gráfica de la función f se proporciona en la FIGURA 3.5.10. La recta FIGURA 3.5.10 Gráfica de la y ϭ Ϫ72 es una asíntota horizontal. Observe la simetría de la gráfica con respecto al eje y. función en el ejemplo 10 y Cuando se trabaja con funciones que contienen la función exponencial natural, los cuatro y ϭ eϪx y ϭ ex siguientes límites ameritan una atención especial: lím ex q, lím ex 0, lím e x 0, lím e x q. (17) (0, 1) xSq xS q xSq xS q yϭ0 x Como se analizó en la sección 2.6 y se comprobó por los límites segundo y tercero en (17), yϭ0 asíntota y ϭ 0 es una asíntota horizontal para la gráfica de y ϭ ex y y ϭ eϪx. Vea la FIGURA 3.5.11. asíntota horizontal horizontal EJEMPLO 11 Gráfica con dos asíntotas horizontales FIGURA 3.5.11 Gráficas de funciones exponenciales Determine si la gráfica de f (x) ϭ 1 6 tiene alguna asíntota horizontal. ϩ eϪx Solución Debido a que f no es una función racional, es necesario analizar lím f (x) y podemosx Sq lím f (x). Primero, en virtud del tercer resultado proporcionado en (17) xS Ϫq escribir lím 1 6 lím 6 6 6. ex 10 xSq xSq lím (1 e x ) yϭ6 y xSq Así, y ϭ 6 es una asíntota horizontal. Luego, debido a que lím eϪx ϭ q por la tabla en (12) 6 x SϪq ϩ eϪx se concluye que y ϭ 1 x lím 1 6 0. 1 ex Sq x En consecuencia, y ϭ 0 es una asíntota horizontal. La gráfica de f se muestra en la FIGURA yϭ0 1 3.5.12. FIGURA 3.5.12 Gráfica de la función en el ejemplo 11 Funciones compuestas El teorema 3.3.3, el límite de una función compuesta, se cumple cuando a se sustituye por Ϫq o q y el límite existe. Por ejemplo, si lím g(x) ϭ L y f es xSq continua en L, entonces ( )lím f(g(x)) f lím g(x) f(L). (18) xSq xSq El resultado del límite en (16) es justo un caso especial de (18) cuando f (x) ϭ 1n x. El resul- tado en (18) también se cumple para x S Ϫq. El último ejemplo ilustra a (18) cuando implica un límite en q.

122 UNIDAD 3 Límite de una función y EJEMPLO 12 Otro repaso a una función trigonométrica y ϭ sen 1 En el ejemplo 2 de la sección 3.4 vimos que lím sen(1>x) no existe. No obstante, el límite en x xSq el infinito, lím sen(1>x), existe. Por la ecuación (18), podemos escribir x xSq yϭ0 1 1 lím sen x sen a lím x b sen 0 0. xSq xSq Como se observa en la FIGURA 3.5.13, y ϭ 0 es una asíntota horizontal para la gráfica de f(x) ϭ FIGURA 3.5.13 Gráfica de la fun- sen(1͞x). Compare esta gráfica con la mostrada en la figura 3.4.2. ción en el ejemplo 12 3.5 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-9. Fundamentos 29. f (x) ϭ ex Ϫ eϪx 30. f (x) ϭ 1 ϩ 2eϪx ex ϩ eϪx ex ϩ eϪx En los problemas 1-24, exprese el límite dado como un número, como Ϫq, o como q. 31. f(x) ϭ 0x Ϫ 50 32. f(x) ϭ 04x 0 ϩ 0x Ϫ 10 xϪ5 x 1 4 1. lím 2. lím 6)2 x 5 xS6 (x En los problemas 33-42, encuentre todas las asíntotas verti- xS5 cales y horizontales para la gráfica de la función dada f. Trace la gráfica. 3. lím (x 2 4. lím 10 4 4)3 x2 xS 4 xS2 5. lím 1 6. lím 1 33. f(x) ϭ x2 1 1 34. f (x) ϭ x2 x 1 xS1 (x 1)4 xS0 2x ϩ ϩ 7. lím 2 sen x 8. lím csc x 35. f(x) ϭ x x2 1 36. f (x) ϭ x2 Ϫ x xS0 x xSp ϩ x2 Ϫ 1 9. lím x2 3x 10. lím x2 37. f(x) ϭ 1 38. f (x) ϭ 4x2 4 4x 5 xSq1 x x2(x Ϫ 2) x2 ϩ xSq 2 2 11. lím Q5 2 R 12. lím a 6 1 b 39. f (x) ϭ A x x 1 40. f(x) ϭ 1 Ϫ 1x xSq x4 13 x 15 x Ϫ 1x xS q 13. lím 8 2x 14. lím 1 7 13 x 41. f(x) ϭ x Ϫ 2 42. f(x) ϭ x ϩ 3 xSq1 4 2x xS q 2 13 x 2x2 ϩ 1 2x2 Ϫ 1 15. lím a 3x x 1 b 16. lím a x 1b a 4x2 1b3 En los problemas 43-46, use la gráfica dada para encontrar: 2x 6 2x2 x xSq x 2 xSq 3x a) lím f (x) b) lím f (x) x S 2Ϫ x S 2ϩ 17. xlSímqA 3x 2 18. lím 3 2x 1 6x 8 7 16x c) lím f (x) d) lím f (x) xS q B x SϪq xSq (19. lím x 2x2 1) ( )20. lím 2x2 5x x 43. y xSq xSq 21. lím cos Q 5 R 22. x lím sen a 3 px b y ϭ ƒ(x) x 6x x xSq Sq FIGURA 3.5.14 Gráfica para el problema 43 23. lím sen 1a x b 24. lím ln a x 8b 1 44. y xS q 24x2 xSq x En los problemas 25-32, encuentre lím f (x) y lím f (x) para x SϪq xSq la función dada f. 25. f(x) ϭ 4x ϩ 1 26. f (x) ϭ 29x2 ϩ 6 y ϭ ƒ(x) 2x2 ϩ 1 5x Ϫ 1 x 27. f(x) ϭ 2x ϩ 1 28. f (x) ϭ Ϫ5x2 ϩ 6x ϩ 3 FIGURA 3.5.15 Gráfica para el problema 44 23x2 ϩ 1 2x4 ϩ x2 ϩ 1

3.6 Límites: un enfoque formal 123 45. y ϭ ƒ(x) y senta un n-gono regular inscrito en un círculo de radio r. Use trigonometría para demostrar que el área A(n) del n-gono está dada por x n 2p 2 n A(n) r2 sen a b. FIGURA 3.5.16 Gráfica para el problema 45 b) Tiene sentido afirmar que el área A(n) tiende al área 46. y del círculo a medida que aumenta el número de lados del n-gono. Use una calculadora para obtener A(100) y ϭ ƒ(x) y A(1 000). c) Sea x ϭ 2p>n en A(n) y observe que cuando n S q x entonces x S 0. Use (10) de la sección 3.4 para demostrar que lím A(n) ϭ pr 2. nSq y FIGURA 3.5.17 Gráfica para el problema 46 r ␲րn En los problemas 47-50, trace una gráfica de una función f x que satisface las condiciones dadas. 47. lím f(x) q, lím f(x) q, f(2) 0, lím f(x) 0 xS1 xS1 xSq 48. f(0) 1, lím f(x) 3, lím f(x) 2 FIGURA 3.5.18 n-gono inscrito para xS q xSq el problema 56 49. lím f(x) q, lím f(x) q, lím f(x) 1 0, Piense en ello xS2 xS q xSq 57. a) Suponga que f(x) ϭ x2>(x ϩ 1) y g(x) ϭ x Ϫ 1. 50. lím f(x) 2, lím f(x) q, f A23B 0, f (3) Demuestre que xS1 xS1 lím [ f (x) g(x)] 0. lím f(x) 0, lím f(x) 0 xS q xSq xS q 51. Use una sustitución idónea para evaluar b) ¿Qué indica el resultado del inciso a) respecto a las gráficas de f y g, donde 0x 0 es grande? lím x sen 3x . c) De ser posible, asigne un nombre a la función g. xSq 58. Muy a menudo los estudiantes e incluso los profesores 52. Según la teoría de la relatividad de Einstein, la ma- trazan incorrectamente gráficas desplazadas vertical- mente. Por ejemplo, las gráficas de y ϭ x2 y y ϭ x2 ϩ 1 sa m de un cuerpo que se mueve con velocidad y es están dibujadas incorrectamente en la FIGURA 3.5.19a) pero lo están correctamente en la figura 3.5.19b). Demuestre m ϭ m0> 21 Ϫ y2>c2, donde m0 es la masa inicial y c que la figura 3.5.19b) es correcta al mostrar que la dis- tancia horizontal entre los dos puntos P y Q en la figura es la velocidad de la luz. ¿Qué ocurre a m cuando tiende a 0 cuando x S q. y S cϪ? yy Problemas con calculadora/SAC En los problemas 53 y 54, use una calculadora o SAC para investigar el límite dado. Conjeture su valor. 53. lím x2 sen 2 54. lím a cos 1 x x2 x xSq xSq b 55. Use una calculadora o un SAC para obtener la gráfica PQ de f (x) ϭ (1 ϩ x)1>x. Use la gráfica para conjeturar los Recta valores de f(x) cuando horizontal a) x S Ϫ1ϩ, b) x S 0 y c) x S q. xx 56. a) Un n-gono regular es un polígono regular de n lados a) Incorrecto b) Correcto inscrito en un círculo; el polígono está formado por n puntos equidistantes sobre el círculo. Suponga que FIGURA 3.5.19 Gráficas para el problema 58 el polígono que se muestra en la FIGURA 3.5.18 repre- 3.6 Límites: un enfoque formal Introducción En el análisis que se presenta a continuación se considerará un enfoque alterno a la idea de límite, que se basa en conceptos analíticos más que en conceptos intuitivos. Una demostración de la existencia de un límite jamás debe estar basada en la habilidad para ela- borar gráficas o en tablas de valores numéricos. Aunque una buena comprensión intuitiva de