Aranda E. (2013) Algebra lineal con aplicaciones y Python, Primera Edición

C Soluciones a los ejercicios de repaso C1 NU´ MEROS COMPLEJOS 1.1 4 − 7i; 2 + i; 2; 1 + 17i; 2; −45 + 17i; − 13 + 11 i; − 23 − 41 i; − 1 + 2 i; −2 − 5i; − 3 + i; 4+i 29 29 34 34 5 5 5 1.2 −i; 3 + 2i; π + e + i; e − π; i; −1 − 3 i 2 √√ 1.3 2, π; 1, − π ; 5 2, − π ; 6, 5π ; 2, − 2π ; 2 2, − 3π 2 4 6 3 4 1.4 2 =−225−(c−−1−os2−35πi√i√==+332+i5i√s√=3e2n2ie2e=π−e−)−ii;63π442πe3π5=6=π−=i5=22√=√622ceo−ccscoi(ooπ2s−ss(((=5−2−63πππc4))34oπ)++s)+(ii−+siseeπ2sinne)s(n(e+−5(n6π−(i2−)3πsπ4e)3)n4π()− π ) 2 √√ √√ √ √√ √ 32 3 2 2 i; 3 1 2 2 1 3 1.5 −1; 2 + − 2 − 2i; 4 + 4 i; − 3 − 3 i; − 2 + 2 i √√ 1.6 i; 16 + 16 3i; 4096; − 1 + 3 i 2 2 1.7 √ √√ √ √ √ 4 2, − 4 2, 4 2i, − 4 2i; − 3 + 1 i, 3 + 1 i, − 1 i; 4 4 4 4 2 √√ √ √ 3 1 3 1 3 1 3 1 2 + 2 i, 2 − 2 i, − 2 + 2 i, − 2 − 2 i, i, −i; 1.8 √√ √√ 5i, − 5i; − 1 + 3 i, − 1 − 3 i; 2 2 2 2 √√ 1 √23 i, 1 3 0, − 2 + − 2 − 2 i; −1 + 2i, −1 − 2i; √ 1 √√ 2 11 1 11 3, 5i, − 5i; −1, − + 2 i, − 2 − 2 i; 399

400 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso C2 MATRICES Y DETERMINANTES 2.1 Ü ê (a) 24500 11200 R1 = 14750 19000 7000 21250 22400 11500 R2 = 5125 4000 2450 16125 17200 (b) (R2)22 = 17200; (R1)33 = 2450 (c) (R2)11 (d) (R1)11 + (R1)22 + (R1)33 = (R2)11 + (R2)22 = 38450 Ää Ää 6 6 6 2 2.2 8 , 8 , , 22 62 2.3 êÜ ê −6 − 5i 1 − 10i Ü 5 + 5i 5 + 8i 1 − 2i 2 + 3i 7 + i −3i 3 + 2i −14 − 4i 1 + 5i −7 + i 7 10 − 4i −3 − 3i −15 + i −25 + 10i −1 + 7i Ü êÜ ê 11 − 3i 27 − 12i −2 −1 2 − 2i −10 − 10i 2 + 3i 10 + 8i 7 9 + 2i −2 + 3i 15 + 2i −10 + 2i −12 + 12i 2 + 9i 12 − 9i −2 − 2i 26 + 11i Üê 13 + 3i 29 + 2i 2 + 2i 2 + 5i 2 + 10i −7 − 2i −10 + 4i −16 − 2i −2 − 9i 2.4 Ü êÜ ê Ü ê 231 x −1 (a) 3 3 1 y = 1 ⇒ x = 2, y = −1, z = −2 241 z −2 Ü êÜ ê Ü ê 1 −2 −1 x 0 (b) 3 −5 −2 y = 5 ⇒x= 9 , y = − 1 , z= 11 3 1 −2 2 2 2 z2

C.2 Matrices y determinantes 401 2.5 Üê àí 1 00 −17 23 − 5 −10 2 (a) − 11 41 (b) 5 −8 1 4 5 55 2 − 1 − 1 1 4 −5 1 2 5 5 5 2 −1 2 0 −1 2.6 (a) E32 (1)E3( 1 )E23 (−1)E13 (−3)E12 (−2) 5 (b) E21 (−2)E31 (−3)E32 (1)E41 (−2)E42 (−2)E43 (−2)E4(−1)E3 ( 1 ) 2 · E24(−2)E23(−2)E14(−1)E13(2)E12(−1) 2.7 (a) 3 (b) 4 2.8 (a) F2 − F1, F4 − F3 ⇒ dos filas iguales (b) F2 − F1, F3 − F2, F4 − F3 y al resultado F3 − F2, F4 − F3 ⇒ dos filas iguales

402 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso C3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1 (a) x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1 (b) No tiene solucio´n 3.2 (a) x = 3, y = 1, z = 1 (b) x = 1, y = 2, z = −2 3.3 rango(A) = 3 3.4 (a) x1 = 3 − 2x3 − x5, x2 = − 9 + 3x3 − 1 x4 + 2x5 2 2 (b) No tiene solucio´n (c) x1 = −3 + 3x3, x2 = 2 − x3 (d) x1 = 5 − x3 + x4, x2 = 2 − x3 − x4 3.5 (a) ea = 0.1; er = 0.02 ≡ 2 % (b) ea = 0.000015; er = 0.000021287 ≡ 0.0021 % 3.6 Solucio´n exacta: x = 13 , y = − 19 , z = −5. 5 5 Gauss sin pivoteo: x = 2.598, y = −3.797, z = −5. ea = 0.036, er = 0.0052 ≡ 0.59 %. Gauss con pivoteo parcial: x = 2.585, x = −3.782, z = −4.979. ea = 0.0314, er = 0.0046 ≡ 0.46 %. 3.7 àí àí 111 2 10 00 010 1 (a) L = 11 00 U= 12 ; 0 0 1 −3 0 0 0 −6 10 2 0 −1 1 àí àí 1 0 00 1 −1 1 0 0 10 2 (b) L = −1 1 0 0 ; U= 0 04 4 1 −1 1 0 0 0 0 −2 0 2 1 1 2

C.3 Sistemas de ecuaciones lineales 403 Üê Üê 100 1 2 −1 (c) P A descompone en L = 0 1 0 ; U = 0 1 −1 Üê 201 00 2 010 con P = 1 0 0 001 3.8 Solucio´n exacta: x1 ≈ 1203.84615, x2 ≈ −1153.84615. Solucio´n aproximada: x1 = 1450, x2 = −1500. ea = 424, 7519, er = 0.2547 ≡ 25 %. 3.9  x(11) = 0.3333, x2(1) = 0.0, x(31) = 0.5714    (a) x(12) = 0.1428, x2(2) = −0.3571, x3(2) = 0.4285  x(13) = 0.0714, x2(3) = −0.2142, x(33) = 0.6632    x(11) = 0.9, x(21) = 0.7, x3(1) = 0.6    (b) x1(2) = 0.97, x(22) = 0.91, x3(2) = 0.74  x1(3) = 0.991, x2(3) = 0.945, x(33) = 0.782   3.10  x(11) = 0.3333, x(21) = −0.1666, x3(1) = 0.5   (a)  x(12) = 0.1111, x(22) = −0.2222, x3(2) = 0.6190  x1(3) = 0.0529, x2(3) = −0.2328, x3(3) = 0.6485    x(11) = 0.9, x(21) = 0.79, x(31) = 0.758    (b) x1(2) = 0.979, x2(2) = 0.9495, x3(2) = 0.7899  x1(3) = 0.9949, x(23) = 0.9574, x(33) = 0.7914  

404 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso C4 ESPACIOS VECTORIALES 4.1 (a) Independientes (b) Dependientes: (1, 2, 3) − (1, 3, 2) − (0, −1, 1) (c) Dependientes: 0 · (1, 0, 1, 0) + (2, 1, 3, 1) + (0, 1, 1, 1) − (2, 2, 4, 2) 4.2 (a) 3 (b) 2 (c) 2 4.3 (a) Independientes (b) Independientes (c) Dependientes 4.4 (a) Forman base (b) Forman base (c) No forman base 4.5 (a) rango(A) = 2 y rango(C) = 3, luego contiene una base (b) B = {(1, 5, 1), (2, 1, 0), (1, 0, 0)} 4.6 Como rango(S) = 3, es sistema generador. S1 = {x + 1, x − 1, x2 − 1} 4.7 (a) rango(B ) = 3 (b) (3, −5, 7)B ê Ü 00 1 (c) xB = −1 1 0 xB 0 −1 1 4.8 (a) S´ı (b) No (c) S´ı (d) S´ı 4.9 No 4.10 S´ı 4.11 (a) Dimensi´on: 2; base: {(−1, 3, 2, 0), (1, 0, 0, 1)} (b) Dimensio´n: 2; base: {(−1, 1, 0, 0), (7, 0, −3, 1)} (c) Dimensio´n: 2; base: {(−1, −1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)}   x1 − x3 = 0 (b) −6x1 + 2x3 − 4x4 = 0  x1 − x5 = 0  4.12 (a) x1 − x2 + x4 = 0  x1 − x2 − x5 = 0  

C.5 Aplicaciones lineales 405 C5 APLICACIONES LINEALES 5.1 Todas son lineales. 5.2 11 0 (a) 2 0 −1 Üê 1 −1 0 (b) 0 1 2 2 0 −3 Ää (c) 3 −1 1 5.3 Base de M3×2(R): Ü ê Ü ê Ü êÜ êÜ êÜ ê 00 00 00  10 01 0 0  0,0 1,0 0,0    00 01 00 00 , 00 , 1 0,    00 00 0 1    Ää Matriz de la aplicaci´on traza: T = 1 0 0 1 0 0 àí 1 0 0 −1 5.4 T = 0 −1 0 1 1 0 01 0 01 0 5.5 (a) (f + f ) ◦ g → 26 7 (f + f ) ◦ g → 7 27 −1 1 1 −2 Üê 12 11 g ◦ (f + f ) → 5 −1 7 f ◦ (g + g ) → 7 1 14 9 3 21 66 Üê Üê 7 1 14 933 g ◦ (f + f ) → 6 −2 7 (g + g ) ◦ f → 11 2 0 3 −3 0 933

406 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso Üê (g + g ) ◦ (f + f ) → 12 0 21 33 34 13 −1 21 (f + f ) ◦ (g + g ) → 12 0 21 0 −1 (b) (f + f ) ◦ g: Biyectiva; (f + f ) ◦ g : Biyectiva; f ◦ (g + g ): Biyectiva; g◦(f +f ): Nada; g ◦(f +f ): Nada; (g+g )◦f ’: Nada; (g+g )◦(f +f ): Nada; (f + f ) ◦ (g + g ): Biyectiva. 5.6 La matriz de f es A = 11 y la de g es B = 2 −1 . Basta ver 12 −1 1 que AB = I. Üê −2 −2 3 5.7 Es invertible porque det(T ) = 0. T −1 = 0 −1 1 3 4 −5 Ü −10 − 25 ê −6 2 5.8 −5 −3 − 7 2 66 8 Üê 403 5.9 0 1 1 012 5.10 (a) Base de ker(A) = {(−1, 0, 1)}. Im(A) : {x + y − z = 0 A no es ni inyectiva ni sobreyectiva. (b) ker(B) = {0}, Im(B) = C2. B es inyectiva y sobreyectiva. (c) Base de ker(D) = {(2i, −2, 1)}. Im(D) : {−ix + z = 0 D no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

C.6 Diagonalizacio´ n 407 C6 DIAGONALIZACIO´ N 6.1 (a) p(λ) = λ2 + λ − 2; Autovalores: −2, 1. (b) p(λ) = λ2 − 6λ + 9; Autovalores: 3 (doble). (c) p(λ) = −λ3 + 6λ2 − 11λ + 6; Autovalores: 1, 2, 3. (d) p(λ) = −λ3 − λ2 + λ + 1; Autovalores: −1 (doble), 1. (e) p(λ) = −λ3 − 10λ2 − 32λ − 32; Autovalores: −4 (doble), −2. (f) p(λ) = −λ3 + λ2; Autovalores: 0 (doble), 1. (g) p(λ) = λ4 − 2λ3 + λ2; Autovalores 0 (doble), 1 (doble). (h) p(λ) = λ4 − 4λ3 + 3λ2 + 4λ − 4; Autovalores 2 (doble), −1, 1. 6.2 (a) {(−2, 1), (−1, 1)}. (b) No hay base de autovectores. (c) {(1, −2, 2), (1, −3, 3), (−1, 0, 1)}. (d) No hay base de autovectores. (e) {(1, 2, 0), (1, 0, 6), (2, 3, 1)} (f) No hay base de autovectores. (g) No hay base de autovectores. (h) No hay base de autovectores. 6.3 êÜ ê Ü 2 00 0 2 −1 (a) D = 0 −2 0 P = 1 1 3 0 05 31 3 (b) No es diagonalizable en R3. Ü êÜ ê 200 111 (c) D = 0 3 0 P = 1 1 0 003 101

408 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso Üê Üê 10 0 0 1 −1 (d) D = 0 1 0 P = 1 0 0 0 0 −1 01 1 (e) No es diagonalizable en R3. 6.4 Ü ê Üê −1 1 1 210 (a) J = 0 2 1 P = 0 1 0 002 −1 1 0 Üê Üê −1 1 0 103 (b) J = 0 −1 0 P = 1 1 3 0 03 104 Üê Üê 210 1 −2 0 (c) J = 0 2 1 P = 0 1 0 002 −1 1 1 Üê Üê 210 113 (d) J = 0 2 0 P = 4 0 0 002 301 6.5 (a) Autovalores: 0 y 2 − i; Autovectores: (1 + i, −1) y (i, 1). Matrices de paso: 1+i i No hay matriz de paso real. −1 1 (b) Autovalores: 1 − 3i y 1 + 3i; Autovectores: (−i, 3) y (i, 3). Matrices de paso compleja y real: −i i 0 −1 33 30 (c) i y −i (dobles); Autovectores: (−i, 0, 1, 0), (i, −i, 0, 1), (i, 0, 1, 0), (−i, i, 0, 1). Matrices de paso compleja y real: àí àí 0 −1 0 1 −i i i −i 0 −i 0 i 0 0 0 −1 1 01 0 1 00 0 0 10 1 0 01 0

C.6 Diagonalizacio´ n 409 Üê 100 6.6 0 1 0 001

410 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso C7 ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS 7.1 (a) xk = 5 2k + 5 (−1)k 6 3 (b) xk = 2k−1 (c) xk = c13k + c2k3k + c3(−1)k (d) xk = c1 cos k π + c2 sen k π + c3k cos k π + c4 sen k π 2 2 2 2 7.2 un = 6n, vn = 6n än Ä än Ä 7.3 xn = √ + √ − √ 1 − √ 5 1 5 5 2 5 5 2 5 2 2 3 7.4 c 2 Üê −2 7.5 c 1 4

C.8 Espacio vectorial eucl´ıdeo 411 C8 ESPACIO VECTORIAL EUCL´IDEO Üê 321 8.1 2 2 1 111 8.2 {(1, 0, 0), (0, −2, 0), (0, 0, 5)} 8.3 {(−2, 1, 0), (−3, −6, 5)} 8.4 (a) No (b) S´ı (c) No 8.5 {−5x3 + 3x, −15x2 + 12x + 9} 8.6 c= − 7 , − 6 , − 8 , 15 , 0 + 7 , 6 , 25 , 19 , 1 17 17 17 17 17 17 17 17 8.7 (2, 1, 1) 8.8 (a) {x, x2 − x} (b) 3 + 9 x2 − 8 + 2 x e e 8.9 (a) (1, −1) (b) (2, −2, 1)

412 Ape´ ndice C Soluciones a los ejercicios de repaso C9 ESPACIO AF´IN 9.1 Cambio de sistÜemaêde refÜerencia: êÜ ê 1 10 0 1 x = 1 2 −1 x y 22 2 y Ecuacio´n de la recta: 4x + y − 2 = 0 9.2 (a) (x, y, z) = (1, 2, −1) + t(1, −1, 4) (b) (x, y, z, t) = (0, 1, −1, 0) + t(0, 1, −1, 1) (c) (x, y, z) = t(−1, 2, 3) 9.3 Se cruzan. 9.4 (a) x − 2y + z = 1 (b) 5x − 7y + z = −3 (c) −x + 5y + 2z = 0 √ 9.5 d(P, r) = 5, d(P, π) = √2 11 9.6 d(r1, r2) = d (2, 1, −1, 0), 3 , 0, 1 , 1 = √3 2 2 2   1000 1000    2 1 2 2 1 2 2 3 − 3 − 3  0 − 3 3 3 9.7 (a) 3  (b)      2 − 2 1 − 2  0 2 − 1 2 3 3 3 3  3 3 3   2 − 2 − 2 1 0 2 2 − 1 3 3 3 3 3 à3 í3 1000 2 −1 0 0 (c) 0 0 −1 0 2 0 0 −1 9.8 2 , 5 , − 4 (a) 3 3 3 (b) (c) 1 , − 7 , − 5 3 3 3 8 , 11 , − 3 , 10 7 7 7 7

´Indice terminolo´ gico 413 ´Indice terminolo´ gico A conjunto, 375 aplicacio´n, 378 cociente, 182, 377 diferencia, 377 af´ın, 363 interseccio´n, 376 biyectiva, 202, 213, 378 partes de, 376 composici´on, 201, 378 unio´n, 376 diagonalizable, 231, 240 vac´ıo, 376 dominio, 378 identidad, 192 coordenadas, 150 imagen, 209, 211, 213, 378 cuerpo, 15, 136, 183, 380 inversa, 202, 378 inyectiva, 210, 213, 378 D lineal, 191 dependencia lineal, v´ease linealmente nu´cleo, 209, 210, 213 nula, 192 independiente, 152 producto por escalar, 200 desigualdad sobreyectiva, 213, 378 suma, 200 de Bunyakowski, 314 aritm´etica de coma flotante, 103 de Cauchy, 314 automorfismo, 193 de Schwarz, 313, 348 autovalor, 229, 234, 303 triangular, 16, 314 autovector, 229, 234, 303 determinante, 59 de Vaandermonde, 86 B propiedades, 60–66 base dimensio´n, 153 direccio´n, 353 cano´nica, 150 distancia, 352 definicio´n, 149 doble implicacio´n, 375 ortonormal, 324 binomio de Newton, 381 E para matrices, 269 ecuacio´n C caracter´ıstica, 294 cambio de base en diferencias, 286 ecuaciones diferenciales, 124 en aplicaciones lineales, 204 elemento, 375 en espacios vectoriales, 158 endomorfismo, 192, 227 cambio de sistema de referencia, 351 equivalencia, v´ease doble implicacio´n clase de equivalencia, 377 error combinacio´n lineal, 140, 147, 191 absoluto, 103 complemento ortogonal, 326 de proyeccio´n, 330, 334 de redondeo, 102, 397

414 ´Indice terminolo´ gico de Gauss, 49, 52, 54, 72, 80, 92–94, 103, 108 de truncamiento, 102 relativo, 103 con pivoteo parcial, 105 escalares, 35 con pivoteo total, 107 espacio de Gauss-Seidel, 117 af´ın, 349 de Jacobi, 116, 122 espacio af´ın, 349 de ortogonalizacio´n de espacio m´etrico, 352 espacio unitario, 312 Gram-Schmidt, 319 espacio vectorial del orlado, 70 de dimensi´on finita, 156 matriz de dimensi´on infinita, 156 adjunta, 74 definicio´n, 136 adjunta de un elemento, 58 eucl´ıdeo, 311 antisim´etrica, 88 estructura algebraica, 379 banda, 127 columna, 36 F cuadrada, 37 fo´rmula de adyacencia, 80 de cambio de base, 158 de de Moivre, 20 de cofactores, v´ease matriz adjunta de Euler, 19 de Gram, v´ease matriz de un de la dimensio´n producto escalar en aplicaciones, 213 de Jordan, 253 para subespacios, 175 de paso, 243, 256 factorizacio´n LU, 107 de permutacio´n, 112 forma cano´nica de Jordan, 256 de proyeccio´n, 333 real, 265 de un producto escalar, 316 fractal, 26 de un sistema, 48 conjunto de Julia, 34 de una aplicacio´n af´ın, 364 curva de Koch, 27 de una aplicacio´n lineal, 195, 200, de Mandelbrot, 27, 30 funcio´n, v´ease aplicacio´n 227 definicio´n, 36 H diagonal, 227, 268 homomorfismo, 192 homotecia, 372 por cajas, 253, 257 diagonal dominante, 119 I diagonalizable, 231 imagen elemental, 50, 57, 65, 108 elemental de Jordan, 252 de un subespacio, 193 equivalente, 252 de una base, 194 fila, 36 implicacio´n, 375 identidad, 42 inclusio´n, 376 inversa, 45, 54, 74 isomorfismo, 192 invertible, v´ease matriz regular, 57 menor, 69 L nu´mero de condicio´n, 114 linealmente independiente, 141, 142 nilpotente, 88, 269 longitud, v´ease norma vectorial nula, 39 ortogonal, 324 M producto, 40, 43, 46 m´etodo

´Indice terminolo´ gico 415 producto por escalar, 38 producto regular, 45, 65, 88 escalar, 311 sim´etrica, 37, 88 interno, 312 singular, 45 submatriz, 58 proyeccio´n ortogonal, 329, 358 suma, 38 Python traspuesta, 37, 44, 46 tridiagonal, 127 slicing, 78, 389 vac´ıa, 115, 127 E, 25 mejor aproximacio´n, 335 I, 24 multiplicidad LUdecomposition, 121 algebraica, 239 Matrix, 77, 215 geom´etrica, 239 Symbol, 25 , 23 N abs, 24 nu´mero complejo append, 220 arg, 24 argumento, 17 astype, 395 conjugado, 13 bmat, 369 definicio´n, 12 break, 31 divisio´n, 14, 19 col joint, 369 forma binomial, 12 concatenate, 369 forma polar, 19 conjugate, 24 forma trigonom´etrica, 18 diagflat, 123 imaginario puro, 12 diagonal, 123 mo´dulo, 16 diag, 128 multiplicacio´n, 13, 19 dot, 180, 340 parte imaginaria, 12 dtype, 395 parte real, 12 eigenvals, 307 potencia, 20 eigenvects, 275, 306 ra´ız, 20 else, 31 representacio´n gra´fica, 15, 18 evalf, 24 resta, 13 exit, 123 suma, 13 expand, 25 unidad imaginaria, 12 eye, 271 norma float, 31 eucl´ıdea, 113 for, 31, 390 matricial, 114 for-else, 31 vectorial, 113, 313 if, 123, 390 import, 391 O integrate, 341 origen de coordenadas, 351 lambda, 129 ortogonalidad, 317, 325 linalg.cond, 122 linalg.eigvals, 275 P linalg.eig, 275 particio´n de multiplicidad, 255 linalg.lstsq, 181, 342 plano complejo, 15 linalg.solve, 119 polinomio caracter´ıstico, 235 linspace, 128 potencia de una matriz, 268 lu, 121 principio de induccio´n, 61–63, 233, 380 matplotlib, 28, 31, 129

416 ´Indice terminolo´ gico S s´ımbolo de Kronecker, 42 matrix, 76, 215 simetr´ıa, 197, 365 norm, 341 sistema de ecuaciones lineal nullspace, 214 ones, 128 bajada, 108 path, 182 compatible, 91 r , 369 condicionamiento, 113, 114 range, 389 definicio´n, 47 raw input, 221, 385 determinado, 91 reshape, 180 grado de libertad, 93 return, 393 homog´eneo, 94, 165, 170 re, 25 incompatible, 91 roots, 271 indeterminado, 91 row join, 273, 369 m´etodos directos, 103 rref, 79, 120 m´etodos iterativos, 115 shape, 77 resolucio´n, 58 simplify, 23, 397 solucio´n, 48 solve lineal system, 120 solucio´n aproximada, 337 solve, 25, 307 solucio´n trivial, 94 sqrt, 24 subida, 49, 107 subs, 307 triangular, 49 symbols, 271, 341, 397 sistema de referencia, 351 type, 387 sistema generador, 147 determinante, 79 de un subespacio, 163 diccionario, 217 sistemas dina´micos discretos, 286 funcio´n, 127, 393 subconjunto, 376 subespacio vectorial, 162, 170 argumento por defecto, 123 ecuaciones impl´ıcitas, 171 objetos, 394 interseccio´n, 174 operaciones con complejos, 23 invariante, 229, 254 rango, 181 ma´ximo, 254 str, 220 propio, 239 tipos de datos, 386 propio generalizado, 253 suma, 174 cadenas, 388 suma directa, 176 complejos, 387 enteros, 387 T listas, 388 teor´ıa de grafos, 80 reales, 387 teorema R de Jordan, 253 ra´ıces de la unidad, 21 de Kronecker-Capelli, v´ease rango teorema de Rouch´e-Frobenius de un conjunto de vectores, 146 de Pit´agoras, 318, 348 de una matriz, 69, 100, 142, 213 de Rouch´e-Fonten´e, v´ease teorema regla de Cramer, 95 relacio´n de Rouch´e-Frobenius de equivalencia, 182, 377 de Rouch´e-Frobenius, 98, 144, 337 de orden, 15, 377 fundamental del A´ lgebra, 22 rotacio´n, 197, 230, 237 traslacio´n, 364 traza de una matriz, 189, 222

´Indice terminolo´ gico 417 V valor propio, v´ease autovalor valores singulares, 342 variedad af´ın, 353 lineal, v´ease subespacio vectorial vector, 137 de equilibrio, v´ease vector estacionario estacionario, 302 nulo, 140 propio, v´ease autovector

418 ´Indice de autores ´Indice de autores A G Al-Jwarizmi, Muhammad ibn Musa, Gauss, Carl Friedrich (1777–1855), 11, (˜780–850), 3 12, 22 Argand, Jean-Robert (1768–1822), 15 Girard, Albert (1595–1632), 22 Gram, Jørgen Pedersen (1850–1916), 316 B Grassmann, Hermann (1809–1877), 135, Bellavitis, Giusto (1803–1880), 135 Bessel, Friedrich Wilhem (1784–1846), 140, 191 348 H Bombelli, Rafael (1526–1572), 13 Hamilton, William Rowan (1805–1865), Bunyakowski, Viktor (1804–1889), 314 135 C Hilbert, David (1862–1943), 228 Capelli, Alfredo (1855–1910), 98 Cardano, Gerolamo (1501–1576), 11, 58 J Cauchy, Augustin Louis (1789–1857), Jacobi, Gustav Jakov (1804–1851), 116 Jordan, Camille (1838–1922), 245 58, 228, 314, 320 Julia, Gaston (1893–1978), 34 Cayley, Arthur (1821–1895), 38 Cramer, Gabriel (1704–1752), 95 K Koch, Helge von (1870–1924), 26 D Kronecker, Leopold (1823–1891), 42, 98 d’Alambert, Jean Le Rond (1717–1783), L 22 Lagrange, Joseph-Louis (1736–1813), de Moivre, Abraham (1667–1754), 20 Doolittle, Myrick Hascall (1830–1911), 228, 235 Laplace, Pierre-Simon (1749–1827), 320 107 Leibniz, Gottfried Wilhelm von E (1646–1716), 58 Euler, Leonhard (1707–1783), 12, 19, 80, Lorenz, Edward (1917–2008), 27 228, 349 M Maclaurin, Colin (1698–1746), 95 F Mandelbrot, Benoˆıt (1924–2010), 26, 27 Fibonacci, v´ease Pisa, Leonardo da Markov, Andr´ei Andr´eyevich (1170–1250) (1856–1922), 300 Fonten´e, Georges (1848–1923), 98 Fourier, Joseph (1768–1830), 336 N Frobenius, Ferdinand Georg Newton, Isaac (1643–1727), 381 (1849–1917), 69, 98

´Indice de autores 419 P Parseval, Marc-Antoine (1755–1836, 348 Peano, Giuseppe (1858–1932), 135 Pisa, Leonardo da (1170–1250), 286 Poincar´e, Henri (1854–1912), 27 R Rey Pastor, Julio (1888–1962), 98 Rouch´e, Eug`ene (1832–1910), 98 S Sarrus, Pierre Fr´ederic (1798–1861), 60 Schmidt, Erhard (1876–1959), 320 Schwarz, Hermann Amandus (1843–1921), 313 Seidel, Philipp Ludwig von (1821–1896), 117 Seki, Kowa (1642–1708), 58 Steinitz, Ernst(1871–1928), 140 Sylvester, James Joseph (1814–1897), 36 T Turing, Alan (1912–1954), 113 V Vandermonde, Alexandre (1735–1796), 86 W Wessel, Caspar (1745–1818), 15 Weyl, Hermann Klaus Hugo (1885–1955), 313



Bibliograf´ıa La mayor´ıa de libros publicados que tratan sobre a´lgebra lineal incluyen buena parte de los contenidos cubiertos en este texto, por lo que adema´s de los citados aqu´ı [3, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 22], el lector puede encontrar material similar en muchos otros textos. Por otra parte, internet se ha convertido en una fuente inagotable de recursos, tanto de pa´ginas web como de material sin publicar, que esta´ a disposici´on de todos gracias al trabajo de personas de todo el mundo; algunos de esos materiales son citados aqu´ı [1, 2, 5, 8, 10, 13, 18, 23], aunque son tantas las pa´ginas visitadas durante la elaboraci´on de este texto que a veces resulta dif´ıcil referenciar todo el material empleado. REFERENCIAS [1] The mactutor history of mathematics archive. url: www.gap-system.org/ ~history/. [2] Wikipedia. url: www.wikipedia.org/. [3] J. Acher. A´lgebra Lineal y Programaci´on Lineal. Ed. Montaner y Sim´on, 1967. [4] I. Arregui, A. Ferreiro, y J.A. Garc´ıa. Programaci´on en python orientado a la ingenier´ıa. II Curso intensivo i-MATH de Software Libre orientado a Ciencias e Ingenier´ıa, 2009. [5] Rafael Lo´pez Camino. Aplicaciones afines. Material docente para el alumno. url: www.ugr.es/~rcamino/docencia/geo1-03/g1tema8.pdf. [6] Agust´ın de la Villa. Problemas de ´algebra. CLAGSA, 1994. [7] L.I. Golovin´a. A´lgebra lineal y algunas de sus aplicaciones. Editorial Mir, 1980. [8] Chelo Ferreira Gonza´lez. Modelos discretos elementales. ecuaciones en diferencias. url: pcmap.unizar.es/~chelo/teoria/docum_teor_out/ tema4.pdf. 421

422 Bibliograf´ıa [9] Stanley I. Grossman. A´lgebra lineal. McGraw-Hill, 1996. [10] Jim Hefferon. Linear algebra. url: joshua.smcvt.edu/linearalgebra/. [11] Bernard Kolman. A´lgebra lineal con aplicaciones y MATLAB. Prentice Hall, 1999. [12] Ron Larson, Bruce H. Edwards, y David C. Falvo. A´lgebra lineal. Ediciones Pira´mide, 2004. [13] Vicent Aranu Llombart. Ampliacio´n de estructura de computadores. url: www.uv.es/varnau/AEC_520.pdf. [14] Rau´l Gonz´alez Luque. Python para todos. url: mundogeek.net/ tutorial-python/. [15] Deivi Luzardo y Alirio J. Pen˜a. Historia del A´ lgebra lineal hasta los albores del siglo xx. Divulgaciones Matem´aticas, 14(2):153–170, 2006. [16] Andr´es Marzal y Isabel Gracia. Introduccio´n a la programaci´on con Python, volume 147. 2002. [17] Luis Merino y Evangelina Santos. A´lgebra Lineal con m´etodos elementales. Thomson, 2006. [18] Rafel Amer Ramon y Vicen¸c Sales i Ingl`es. A` lgebra lineal. problemes resolts. url: ruth.upc.es/assignatures/algebra.html. [19] Guillermo Da´vila Rasco´n. El desarrollo del ´algebra moderna. parte i: El ´algebra en la antigu¨edad. Apuntes de Historia de las Matem´aticas, 1(3):5– 21, 2002. [20] Guillermo Da´vila Rasco´n. El desarrollo del ´algebra moderna. parte ii: El a´lgebra de las ecuaciones. Apuntes de Historia de las Matem´aticas, 2(1):27– 58, 2003. [21] Guillermo Da´vila Rasc´on. El desarrollo del ´algebra moderna. parte iii: El surgimiento del ´algebra abstracta. Apuntes de Historia de las Matem´aticas, 2(2):38–78, 2003. [22] Jesus Rojo. Algebra Lineal. McGraw-Hill, 2001. [23] Luis Ra´ndez. Eliminacio´n gaussiana con pivote parcial. url: pcmap. unizar.es/~pilar/pivote.pdf. [24] Ferr´an Mir Sabat´e. El teorema fundamental del a´lgebra. 2005. url: http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/id1.html. [25] Gema Calbo Sanju´an y Juan C. Cort´es L´opez. Aplicaci´on de las matrices invertibles en criptograf´ıa. Ensayos: Revista de la Facultad de Educaci´on de Albacete, 18:279–284, 2003.